Számítsa ki a tehetetlenségi nyomatékokat! J u , J v és J uv:
Összeadva az első két képletet (3.14) kapjuk J u + J v= Jz+ Jy, azaz az egymásra merőleges tengelyek tetszőleges elforgatásához az összeg axiális nyomatékok a tehetetlenség állandó (invariáns) marad.
Főtengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok
A funkció feltárása J u a) a végletekig. Ehhez a deriváltot nullával egyenlővé tesszük J u(a) által a.
Ugyanezt a képletet kapjuk, ha a centrifugális tehetetlenségi nyomatékot nullával egyenlővé tesszük
.
A főtengelyek azok a tengelyek, amelyekre nézve a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok szélső értéket vesznek fel, a centrifugális tehetetlenségi nyomaték pedig nulla.
Végtelen számú fő tehetetlenségi tengely rajzolható meg, ha a sík bármely pontját vesszük origónak. Az anyagok ellenállási problémáinak megoldására csak az érdekel fő központi tehetetlenségi tengely. Fő központi tehetetlenségi tengelyekátmennek a szakasz súlypontján.
A (3.17) képlet két olyan megoldást ad, amelyek 90°-kal különböznek egymástól, azaz. lehetővé teszi a fő tehetetlenségi tengelyek dőlésszögének két értékének meghatározását az eredeti tengelyekhez képest. A tengelyek közül melyik a legnagyobb tengelyirányú tehetetlenségi nyomaték J 1 = J max , és melyikhez képest - a minimum J 2 = J min , a feladat jelentésének megfelelően kell majd megoldani.
Kényelmesebbek más képletek, amelyek egyértelműen meghatározzák az 1. és 2. főtengely helyzetét (levezetés nélkül megadva). Ebben az esetben a pozitív szöget a tengelytől mérjük Ozóramutató járásával ellentétes irányban.
A (3.19) képletben a „+” jel a maximális tehetetlenségi nyomatéknak, a „-” jel pedig a minimumnak felel meg.
Megjegyzés . Ha a szakasznak legalább egy szimmetriatengelye van, akkor ehhez a tengelyhez és bármely más, rá merőleges tengelyhez viszonyítva a centrifugális tehetetlenségi nyomaték egyenlő nullával. A fő tehetetlenségi tengelyek definíciójával összhangban megállapíthatjuk, hogy ezek a tengelyek a fő tehetetlenségi tengelyek, azaz. a szimmetriatengely mindig a fő központi tengely.
A választékban bemutatott szimmetrikus profilok, csatorna vagy I-gerenda esetében a fő központi tehetetlenségi tengely a profil magasságának felében metsző függőleges és vízszintes tengely lesz.
Tekintsük a tehetetlenségi nyomatékok változását a koordinátatengelyek elforgatásakor. Tegyük fel, hogy egy bizonyos szakasz tehetetlenségi nyomatékai a tengelyekre vonatkoztatva x És y (nem feltétlenül központi). Meghatározása kötelező J u , J v , J UV- tehetetlenségi nyomatékok a tengelyekkel kapcsolatban u , v , szögben elforgatva de. Tehát kivetítés OABC egyenlő a záró vetületével:
u= y bűnegy +x kötözősaláta a (1)
v=y cos a – x sin a(2)
Távolítsa el az u,v-t a tehetetlenségi nyomatékok kifejezéseiből:
J u = ∫v 2 dF; J v = ∫u 2 dF; J UV = ∫uvdF. Az (1) és (2) kifejezésekre behelyettesítve a következőket kapjuk:
J u =J x kötözősaláta 2 a-J xy sin 2a + J y bűn 2 a
J v =J x bűn 2 a+J xy sin 2a + J y kötözősaláta 2 a(3)
J UV =J xy cos2a + sin2a(J x -J y )/2
J u + J v = J x + J y = ∫ F (y 2 + x 2 ) dF => Az egymásra merőleges 2x tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege. Szögtől független tengelyek de. vegye észre, az x 2 + y 2 = p 2 . p- távolság a koordináták origójától az elemi területig. Hogy. J x + J y = J p .(4)
J p =∫ F p 2 dF – polármomentum, forgástól független x,y
2) T. Casteliano.
A rendszer potenciális energiájának parciális deriváltja az erőre vonatkoztatva egyenlő az erő alkalmazási pontjának ezen erő irányába történő elmozdulásával.
Tekintsünk egy betöltött rudat önkényes rendszerábrán látható módon rögzítjük.
Legyen a külső erők hatására a test térfogatában felhalmozódott potenciális deformációs energia U-val. Az F n erő d F n növekményét adjuk meg. Azután helyzeti energia Növekedést kapsz 
és U+ alakot vesz fel 
.(5.4)
Most változtassuk meg az erők alkalmazásának sorrendjét. Először jelentkezzünk rugalmas test erő dPn. Ennek az erőnek a kifejtésének helyén ennek megfelelően kis elmozdulás következik be, melynek vetülete az erő irányára dPn egyenlő . dδ n . Aztán az erő munkája dPn egyenlőnek bizonyul dPn dδn /2. Most alkalmazzuk a külső erők teljes rendszerét. Erő hiányában dPn a rendszer potenciális energiája ismét felvenné az értéket U. De most ez az energia a további munka mennyiségével megváltozik dPnδn melyik erő fogja megtenni dPn elmozduláson δ n , a külső erők egész rendszere okozza. A δ n értéke ismét a teljes elmozdulás vetülete az erő irányára Рn.
Ennek eredményeként az erők fordított sorrendjében a potenciális energia kifejezését a formában kapjuk meg
(5.5)
Ezt a kifejezést egyenlővé tesszük az (5.4) kifejezéssel, és elvetjük a szorzatot dPn dδn /2 mint a legmagasabb rendű kicsinységi mennyiség azt találjuk
(5.6)
Jegy 23
Valakinek nincs szerencséje
Jegy 24
1) Téglalap keresztmetszetű rúd csavarása (feszültségek és elmozdulások meghatározása). Téglalap alakú gerenda torziója, feszültségek a keresztmetszetben
P 
Ebben az esetben megsértik a lapos szakaszok törvényét, a nem kör alakú szakaszok meghajlanak a csavarás során - a keresztmetszet deformációja.
Négyszögletű metszet nyírófeszültségeinek diagramja.
;
, Jk és Wk - feltételesen tehetetlenségi nyomatéknak és torziós ellenállási nyomatéknak nevezik. Wk=hb2,
Jk= hb3, Maximális nyírófeszültségek max a hosszú oldal közepén lesznek, feszültségek a rövid oldal közepén: =max, együtthatók: ,, a referenciakönyvekben vannak megadva attól függően, hogy a h/b arány (például h /b=2,=0,246;=0,229;=0,795 esetén.
A torziós rúd (tengely) kiszámításakor két fő feladatot kell megoldani. Először is meg kell határozni a gerendában fellépő feszültségeket, másodszor pedig meg kell találni a gerenda szakaszok szögeltolódásait a külső nyomatékok értékétől függően.
Tegyük fel, hogy egy tetszőleges szakaszra (1.13. ábra) ismertek a z és y koordinátatengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok, valamint ismert az Izy centrifugális tehetetlenségi nyomaték is. Az eredeti z és y tengelyekhez képest szöggel elforgatott 11 zy tehetetlenségi nyomatékokhoz függőségeket kell megállapítani (1.13. ábra). A szöget pozitívnak tekintjük, ha a koordinátarendszer elforgatása az óramutató járásával ellentétes irányban történik. Legyen egy adott szakaszra IzI. yA feladat megoldásához keressük meg az összefüggést a dA hely koordinátái között az eredeti és az elforgatott tengelyekben. Az 1.13. ábrából következik: Háromszögből háromszögből Ezt figyelembe véve megkapjuk Hasonlóképpen az y1 koordinátára is megkapjuk Tekintettel arra, hogy végre van ), meghatározzuk a tehetetlenségi nyomatékot az új (elforgatott) z1 tengelyekhez képest y1: Hasonlóképpen az I centrifugális tehetetlenségi nyomatékot a forgó tengelyekhez viszonyítva a függőség határozza meg. Az (1.26)-ból (1.27) kivonva megkapjuk az (1.30) képletet a z és y tengely körüli centrifugális tehetetlenségi nyomaték kiszámítására, a z, y és z1, y1 tengelyekre vonatkozó ismert tehetetlenségi nyomatékok és képlet alapján (1.29) segítségével ellenőrizhető az összetett szakaszok tehetetlenségi nyomatékának számítása. 1.8. A metszet főtengelyei és főtehetetlenségi nyomatékai Szögváltozással (lásd 1.13. ábra) a tehetetlenségi nyomatékok is megváltoznak. A 0 szög bizonyos értékeinél a tehetetlenségi nyomatékok szélsőséges értékekkel rendelkeznek. A maximális és minimális értékű tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékokat a szakasz fő tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékainak nevezzük. A fő tehetetlenségi tengelyek azok a tengelyek, amelyekhez képest a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok maximális és minimális értékei vannak. Másrészt, mint fentebb megjegyeztük, a fő tengelyek azok a tengelyek, amelyekhez képest a szakasz centrifugális tehetetlenségi nyomatéka nulla. A főtengelyek helyzetének meghatározásához tetszőleges alakú szakaszok esetén vesszük az első deriváltot I-hez képest, és egyenlővé tesszük nullával: Megjegyzendő, hogy az (1.31) képletet az (1.28)-ból úgy kaphatjuk meg, hogy nullával egyenlővé tesszük. Ha az (1.31) kifejezésből meghatározott szög értékeit behelyettesítjük (1. 26) és (1.27), majd transzformáció után a metszet fő tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékait meghatározó képleteket kapunk, felépítésében ez a képlet hasonló a főfeszültségeket meghatározó (4.12) képlethez (lásd 4.3. fejezet). Ha IzI, akkor a második derivált vizsgálatai alapján az következik, hogy a z tengellyel szögben elforgatott főtengelyhez képest az Imax legnagyobb tehetetlenségi nyomaték, a minimális tehetetlenségi nyomaték pedig a z tengellyel szöget bezáróan megy végbe. - a másik főtengelyhez képest, amely 0 szöget zár be Ha II, akkor minden éppen ellenkezőleg változik. Az Imax és I fő tehetetlenségi nyomatékok értékei az (1,26) és (1,27) függésekből is kiszámíthatók, ha az érték helyett behelyettesítjük őket. Ebben az esetben magától megoldódik a kérdés: melyik főtengelyhez viszonyítva kapjuk meg a maximális tehetetlenségi nyomatékot és melyik tengelyhez viszonyítva a minimumot? Megjegyzendő, hogy ha egy szakaszon a fő központi tehetetlenségi nyomatékok a z és y tengely körül egyenlőek, akkor ennél a szakasznál bármely központi tehetetlenségi tengely a főtengely, és az összes fő központi tehetetlenségi nyomaték azonos (kör, négyzet , hatszög, egyenlő oldalú háromszög stb.). Ez könnyen megállapítható az (1,26), (1,27) és (1,28) függésekből. Valóban, tegyük fel, hogy bizonyos szakaszok esetében a z és y tengely a fő központi tengely, és ezen felül az I. yEzután az (1.26) és (1.27) képletekből azt kapjuk, hogy Izy , 1a az (1.28) képletből megbizonyosodunk arról, hogy 11 e. bármely tengely egy ilyen alak fő tehetetlenségi tengelye. 1.9. A forgási sugár fogalma Egy szakasz tehetetlenségi nyomatéka bármely tengelyhez viszonyítva ábrázolható a keresztmetszeti terület szorzataként egy bizonyos mennyiség négyzetével, amelyet a keresztmetszeti terület forgási sugarának nevezünk, ahol iz ─ a z tengelyhez viszonyított tehetetlenségi sugár. Ezután az (1.33)-ból következik: A fő központi tehetetlenségi tengelyek a fő tehetetlenségi sugaraknak felelnek meg: 1.10. Ellenállási nyomatékok Az axiális és poláris ellenállási nyomatékok megkülönböztetése. 1. A tengelyirányú ellenállási nyomaték az adott tengely körüli tehetetlenségi nyomaték és a keresztmetszet ettől a tengelytől legtávolabbi pontjától való távolság aránya. Tengelyirányú ellenállási nyomaték a z tengelyhez képest: és az y tengelyhez viszonyítva: max ahol ymax és zmax─, a z és y fő központi tengelyek távolsága a tőlük legtávolabbi pontoktól. A számítások során a fő központi tehetetlenségi tengelyeket és a fő központi nyomatékokat használjuk, ezért az (1.36) és (1.37) képletekben Iz és Iy alatt fogjuk megérteni a szakasz fő központi tehetetlenségi nyomatékait. Tekintsük néhány egyszerű szakasz ellenállási nyomatékának kiszámítását. 1. Téglalap (lásd 1.2. ábra): 2. Kör (lásd 1.8. ábra): 3. Gyűrűs csőmetszet (1.14. ábra): . Hengerelt profiloknál az ellenállási nyomatékok a választéktáblázatban vannak megadva, és nincs szükség meghatározásra (lásd 24 - 27. melléklet). 2. sarki pillanat az ellenállás a poláris tehetetlenségi nyomaték és a pólus és a szakasz legtávolabbi pontja közötti távolság aránya max 30. A szakasz súlypontját általában pólusnak veszik. Például egy kerek tömör szakaszhoz (1.14. ábra): Cső alakú körszelvényhez. A Wz és Wy tengelyirányú ellenállási nyomatékok tisztán geometriailag jellemzik a rúd (gerenda) hajlítási alakváltozással szembeni ellenállását, a W poláris ellenállási nyomaték pedig a csavarással szembeni ellenállást.
Tekintsünk egy sík alakot ismert geometriai jellemzőkkel 1 X , 1 évÉs 1 hu a tengelyekről xÉs nál nél(3.3. ábra). Használjuk őket a hasonló értékek meghatározására geometriai jellemzők a tengelyekről ÉsÉs v, amelyek a kezdeti rendszerrel a szöget zárnak be.
Számítsa ki egy infinitezimális terület elem súlypontjának koordinátáit! dA az új koordinátarendszerben ÉsÉs v:
Rizs. 3.3.
Tehetetlenségi nyomaték az elforgatott tengely körül Oi egyenlő lesz
Az eredeti tengelyekhez viszonyított geometriai jellemzők jelölését felhasználva megkapjuk
A másik két geometriai jellemző esetében a képleteket hasonló módon kapjuk meg:
A kapott képleteket trigonometrikus képletekkel transzformáljuk
A tengelyek forgatásakor a tengelyirányú és centrifugális tehetetlenségi nyomaték kiszámítására szolgáló képletek konvertálása után a következő alakot veszik fel:
Főtengelyek és fő tehetetlenségi nyomatékok
Korábban megjegyeztük, hogy a tengelyirányú nyomatékok összege állandó érték. Könnyen belátható, hogy ez az állítás a (3.22) képletekből is következik:
Tengelyek, amelyekről a tehetetlenségi nyomatékok a maximumot veszik fel és minimális érték, hívják főtengelyek fő tehetetlenségi nyomatékok.
A tengelyek elforgatásakor a tengelynyomatékok értékei megváltoznak, ezért kell lennie egy pár egymásra merőleges főtengelynek, amelyekhez képest a tehetetlenségi nyomatékok elérik a minimális és maximális értéket. Bizonyítsuk be ezt az álláspontot. Ehhez tanulmányozzuk az extrémum tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékát 1 és:
Mivel a zárójelben lévő kifejezésnek nullának kell lennie, egy képletet kapunk, amely lehetővé teszi az egyik fő tengely helyzetének meghatározását:
A 0 szög a tengelytől számítva Ó az óramutató járásával ellentétes irányba, meghatározza a főtengely helyzetét a tengelyhez képest Ó. Bizonyítsuk be, hogy az erre a tengelyre merőleges tengely egyben a főtengely is. Helyettesítse a kifejezést a következőre:
derivált szög a 0 + -:
Így a főtengelyek egymásra merőleges tengelyek.
Figyeljünk arra, hogy a (3.22) harmadik képlet szerinti zárójelben lévő kifejezés a centrifugális nyomatéknak felel meg. Így bebizonyítottuk, hogy a főtengelyekre vonatkozó centrifugális tehetetlenségi nyomaték nulla.
Használjuk ezt az eredményt, és állítsunk le egy képletet a fő tehetetlenségi nyomatékok kiszámításához. Ehhez átírjuk a második és harmadik képletet (3.22) a következő formában:
Mindkét egyenlet jobb és bal oldalát négyzetre emelve és összeadva azt kapjuk
Ebből következik a két fő tehetetlenségi nyomaték kiszámításának képlete:
A (3.25) képletben a plusz előjel a maximális főtehetetlenségi nyomatéknak, a mínusz előjel pedig a minimális értékének felel meg.
Egyes esetekben a főtengelyek helyzete számítások nélkül is meghatározható. Tehát, ha a metszet szimmetrikus, akkor a szimmetriatengely az egyik fő tengely, a második tengely pedig bármely rá merőleges tengely. Ez a helyzet közvetlenül következik a centrifugális tehetetlenségi nyomaték nullához való egyenlőségéből a tengelyek körül, amelyek közül az egyik a szimmetriatengely.
Az összes főtengelypár között megkülönböztethető egy speciális pár, amelynek mindkét tengelye átmegy a szakasz súlypontján.
A szakasz súlypontján átmenő főtengelyeket ún fő központi tengelyek, és az ilyen tengelyekkel kapcsolatos tehetetlenségi nyomatékok - fő- központi pillanatok tehetetlenség.
Mint már említettük, a koordinátarendszer elforgatása megváltoztatja a lapos alakzatok geometriai jellemzőit. Megmutatható, hogy egy adott szakaszhoz tartozó geometriai jellemzők halmazát szimmetrikus tenzor, ún. tehetetlenségi tenzor szakasz, amely mátrixként írható fel:
A tehetetlenségi tenzor első invariánsát, amely a tengelyirányú tehetetlenségi nyomatékok összege, már korábban megkaptuk (lásd a (3.23) képletet). A tehetetlenségi tenzor második invariánsának alakja van
Ezt az értéket fogják használni a rúd hajlításának általános megoldásához.