ahol p, J/(kg×K) – izobár hőkapacitás; r, kg/m 3 - sűrűség; l, W/(m×K) – hővezetési tényező; w x, w y , w z a folyadéksebesség vektor vetületei; qv, W / m 3 - a folyadék belső hőkibocsátásának térfogati sűrűsége.

Az (1.12) egyenlet erre az esetre van írva l=áll.

Differenciál a szilárd anyagok a hővezetés differenciálegyenletének nevezzük, és az (1.12)-ből a következő feltétellel kaphatjuk meg w x = w y = w z = 0, p=v-vel=tól től:

,

ahol - hődiffúzivitás, a test hőmérséklet-változásának sebességét jellemzi. Értékek a = f(t) a különféle testekhez a referenciakönyvekben találhatók.

Differenciálegyenlet hővezető

(1.13)

leírja a belső hőleadású szilárd testek nem stacionárius hőmérsékleti mezőjét (belső hőforrásokkal). Ilyen hőforrások lehetnek: Joule-hő, amely az elektromos áram vezetőkön való áthaladása során szabadul fel; az atomreaktorok fűtőelemei által felszabaduló hő stb.

Az (1.13) hőkülönbözeti egyenlet, beírva Derékszögű koordináták, hengeres alakban ábrázolható (r,z, φ) és gömb alakú (r, φ , ψ).

Különösen ben hengeres koordináták ( r- sugár; φ a polárszög; z- alkalmazza), a hővezetési differenciálegyenlet alakja

(1.14)

Egyediség feltételei

A differenciálegyenlet számos hővezetési folyamatot ír le. Ahhoz, hogy ebből a halmazból egy adott folyamatot kiemeljünk, meg kell fogalmazni ennek a folyamatnak a jellemzőit, amelyek ún egyediség feltételei és tartalmazza:

· geometriai feltételek a test alakjának és méretének jellemzése;

· fizikai feltételek a hőcserében részt vevő testek tulajdonságainak jellemzése;

· határviszonyok a folyamat körülményeinek jellemzése a test határán;

· kezdeti feltételek jellemzi a rendszer kezdeti állapotát at nem stacionárius folyamatok.

A hővezetési problémák megoldása során a következők vannak:

· az első típusú peremfeltételek ha megadjuk a hőmérséklet eloszlását a testfelületen:

t c = f (x, y, z, τ) vagy t c = állandó;

· a második típusú peremfeltételek ha megadjuk a hőáram sűrűségét a testfelületen:

q c = f (x, y, z, τ) vagy q c = állandó;

· a harmadik típusú peremfeltételek amikor a középhőmérséklet be van állítva t valamint a felület és a közeg közötti hőátbocsátási tényező.

A Newton-Richmann törvénynek megfelelően a hőáram a felület 1 m 2 területéről egy hőmérsékletű közegbe kerül. t,

Ugyanakkor ezt a hőáramot a test mélyrétegeiből a felület 1 m 2 -ére szállítják a hővezető képességgel.

Ekkor a testfelület hőmérlegének egyenlete a formába írható

(1.15)

Az (1.15) egyenlet a harmadik típusú peremfeltételek matematikai megfogalmazása.

A differenciálegyenletrendszer az egyediségi feltételekkel együtt a probléma matematikai megfogalmazása. A differenciálegyenletek megoldásai integrációs állandókat tartalmaznak, melyek meghatározása egyediségi feltételekkel történik.

Ellenőrző kérdések és feladatok

1. Elemezze a hőátadás módját forró víz levegőhöz a radiátor falán keresztül: vízből a belső felületbe, a falon keresztül, a külső felületről a levegőbe.

2. Miért van mínusz az (1.3) egyenlet jobb oldalán?

3. Elemezze a függőséget a szakirodalom segítségével! λ(t) fémek, ötvözetek, hőszigetelő anyagok, gázok, folyadékok esetében, és válaszoljon a kérdésre: hogyan változik a hővezetési együttható a hőmérséklettel ezeknél az anyagoknál?

4. Hogyan határozzák meg a hőáramot? (K, W ) konvektív hőátadással, hővezető képességgel, hősugárzással?

5. Írja fel derékszögű koordinátákkal a hővezető képesség differenciálegyenletét, amely egy háromdimenziós stacionárius hőmérsékleti mezőt ír le belső hőforrások nélkül!

6. Írja fel egy állandó elektromos terhelés mellett hosszú ideig feszültség alatt álló vezeték hőmérsékleti mezejének differenciálegyenletét!

2. HŐVEZETÉS ÉS HŐÁLLÍTÁS
ÁLLÍTOTT ÜZEMMÓDBAN

2.1. Lapos fal hővezető képessége

Adott: lapos egyenletes falvastagság δ (2.1. ábra) -val állandó együttható hővezető λ és állandó hőmérséklet t1És t2 felületeken.

Határozza meg: hőmérsékleti mező egyenlet t=f(x)és a hőáram sűrűsége q, W / m 2.

A fal hőmérsékleti mezőjét az (1.3) hővezetési egyenlet írja le a következő feltételek mellett:

Mivel az üzemmód álló;

· mivel nincsenek belső hőforrások;

· mivel hőfok t1És t2 a fal felületein állandóak.

A fal hőmérséklete csak egy koordináta függvénye xés az (1.13) egyenlet felveszi a formát

A (2.1), (2.2), (2.3) kifejezések a probléma matematikai megfogalmazásai, amelyek megoldása lehetővé teszi, hogy megkapjuk a szükséges hőmérsékleti téregyenletet t=f(x).

A (2.1) egyenlet integrálása azt adja

Ismételt integrálással megkapjuk a differenciálegyenlet megoldását a formában

Függőség t=f(x), a (2.5) szerint egy egyenes (2.1. ábra), amelyre igaz λ=áll.

A falon áthaladó hőáram sűrűségének meghatározásához a Fourier-törvényt használjuk

Számításba vesz megkapjuk a lapos falon áthaladó hőáram sűrűségének számítási képletét,

A (2.6) képlet így írható fel

ahol

Az értéket ún hővezető képesség hőellenállás lapos fal.

Az egyenlet alapján

qR=t 1 – t 2

megállapítható, hogy a fal hőellenállása egyenesen arányos a falvastagságon átívelő hőmérséklet-különbséggel.

Vegye figyelembe a hővezetési együttható hőmérséklettől való függését, λ(t), akkor lehetséges, ha a (2.6) és (2.7) egyenletbe behelyettesítjük az értékeket λav hőmérséklet-tartományhoz t 1 - t 2.

Vegye figyelembe a hővezető képességet többrétegű lapos fal, amely például három rétegből áll
(2.2. ábra).

Adott:δ1, δ2, δ3, λ1, λ2, λ 3, t 1 = állandó, t4=áll.

Határozza meg: q, W/m2; t2, t3.

Álló üzemmódban és a falfelületek állandó hőmérsékletén a háromrétegű falon áthaladó hőáram egyenletrendszerrel ábrázolható:

Hőmérséklet a réteghatárokon t2És t3 a (2.8) - (2.10) egyenletek segítségével számítható ki a hőáram sűrűsége ( q) által (2.12).

A (2.12) egyenlet általános alakja többrétegű síkfalra, amely a következőből áll P homogén rétegek állandó hőmérsékletű a külső felületeken és , alakja

2.2. Hengeres fal hővezető képessége
az első típusú peremfeltételek között

Adott: Homogén hengeres fal (csőfal) belső sugarú r1, külső - r2, hossza , állandó hővezető képességgel λ , állandó felületi hőmérséklet mellett t1És t2.
(2.3. ábra).

Határozza meg: hőmérsékleti mező egyenlet
t=f(r), a falon áthaladó hőáram
K, W.

A hővezetés differenciálegyenlete in hengeres koordináták(1.14) a probléma feltételeihez:

felveszi a formát

A (2.15) - (2.17) egyenletrendszer megoldási eljárása ugyanaz, mint a lapos fal esetében: megtaláljuk a (2.15) másodrendű differenciálegyenlet általános integrálját, amely két integrációs állandót tartalmaz.
1-tőlÉs 2 óta. Ez utóbbiakat a (2.16) és (2.17) peremfeltételek segítségével határozzuk meg, és értékeiket a differenciálegyenlet (általános integrál) megoldásába behelyettesítve kapjuk hengeres fal hőmérsékleti téregyenlete t = f (r) mint

Ha vesszük a (2.18) egyenlet jobb oldalának deriváltját és behelyettesítjük a (2.19)-be, akkor megkapjuk a számítási képletet a hengeres fal hőáramlása

(2.20)

A műszaki számításokban a hőáramot gyakran 1 m csőhosszra számítják ki:

és felhívott lineáris hőáram sűrűsége.

A (2.20) egyenletet így írjuk fel

ahol – hengeres fal hővezető képességének hőellenállása.

Háromrétegű hengeres falhoz(két réteg hőszigeteléssel borított cső) ismert állandó felületi hőmérséklettel ( t1És t4), ismert geometriai méretekkel ( r1, r2, r3, r4, ) és a rétegek hővezetési együtthatói ( λ1, λ2, λ 3) (2.4. ábra), a következő egyenleteket írhatjuk fel a hőáramra K:

Hőmérséklet a rétegek határain (t 2,t3) a (2.21) egyenletekből számítható ki.

Mert többrétegű hengeres fal, a következőket tartalmazza P rétegekbe írható be a (2.22) képlet Általános nézet

(2.23)

Hatékony hővezető képesség többrétegű hengeres falnál, valamint többrétegű síkfalnál a többrétegű fal hőellenállásainak összegének és a többrétegűvel azonos vastagságú homogén fal hőellenállásának egyenlőségéből kell meghatározni. Tehát egy cső kétrétegű hőszigeteléséhez
(2.4. ábra) effektív hővezető képesség (λeff) az egyenlőségből határozzák meg

2.3. Lapos és hengeres falak hővezető képessége
a harmadik típusú peremfeltételek mellett (hőátadás)

A harmadik típusú peremfeltételek a folyadék hőmérsékletének beállításából áll (t w)és hőátbocsátási tényező () a falfelület és a folyadék között.

Az egyik folyadékból a másikba való hőátadást az őket elválasztó falon keresztül nevezzük hőátadás.

A hőátadásra példa a füstgázokból a hőnek a gőzkazán csövének falán keresztül történő vízbe történő átvitele, a meleg vízből a környezeti levegőbe történő hőátvitel a fűtőelem falán keresztül stb.

A felület és a közeg (hűtőfolyadék) közötti hőcsere lehet konvektív ha a hűtőfolyadék folyékony (víz, olaj stb.) ill sugárzó-konvektív amikor a hőt konvektív hőátadással és sugárzással adják át, ha a hűtőközeg gáz (füstgázok, levegő stb.).

Tekintsük a sík és hengeres falakon keresztüli hőátadást csak konvektív hőátadás esetén a felületeken. Hőátadás sugárzó-konvektív hőátadással (komplex hőátadás) felületeken később lesz szó W / m 2 hőátadásról (Q

ha egy 1És a 2 hasonló.

Hőátadás többrétegű hengeres falon keresztül képlettel számítjuk ki

(2.35)

ahol F1És F2 a többrétegű hengeres fal belső és külső felületének területei.

z
x
4. ELŐADÁS
Hővezetési problémák különböző koordinátarendszerekben.
Descartes-rendszer koordináták
T
T
T
q
én
j
k
T T x, y, z, t
y
x
x
y
T
T T T
c
qV
t x x y y z z
c
T T
qV
t x x
(1)
(2)
(3)
A gyakorlatban gyakran vannak olyan feltételek, amelyek az egyenlet felírásához vezetnek
hővezető képesség más formában, kényelmesebb az oldat és annak fizikai ábrázolására
értelmezések.
Az egyenlet típusának függősége
a használt rendszerből
koordináták kizárhatók,
operátori jelölés használatával
1T
q
TÉVÉ
nál nél
2
x
2
2
y
2
2
z2
a c
T
c
div gradT qV
t
vagy
c
T
TqV
t
(4)
A hőleadást és az energiatárolást kifejező kifejezések változatlanok a tekintetében
koordinátarendszerek (azaz változatlanok); hanem a kapott vezetőképes kifejezést kifejező kifejezések
A hőáram a geometriától és ennek következtében a koordináta-rendszertől függ.

Hengeres koordinátarendszer
z
c
dr
r
dz
r, z
z
x
T
divq q
t
q T
x r cos
y
r, z
(5)
y r bűn
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r
z
d
y
dr
d
dy
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r 2 2 2
a t r r r
z
x
1 T 1 T
r
qV
a t r r
T
1T
T
; q
; qz
r
r
z
a
(9)
T Ts
c
(8)

r ,
Gömb alakú rendszer koordináták
z
dr
r ,
r
d
x
1T
divq q
nál nél
q T
y
1 2
1
1
2
2r
2
bűn
2
r bűn 2
r r r r sin
T
1T
1T
; q
; q
r
r
r bűn
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2T qV
2r
2
bűn 2
2
a t r r r r sin
r bűn
(11)
d
qr
1 T 1 2 T qV
2r
a t r r
x r sin cos
y r bűn bűn
z
(12)
z r cos
y
x

Hővezetési egyenletek kanonikus alakú testekre
Különösen kényelmes az egyenletek írása különböző koordinátarendszerekben,
amikor meg kell találni a hőmérséklet-eloszlást a kanonikus testekben
formák - hengerben vagy golyóban. Ezekben az esetekben az egyenletek lényegében
leegyszerűsödnek speciális feltételek megadásakor, amikor a hőmérsékleti mező
csak egy koordinátától függ.
paralelepipedon
tányér
henger
gömb
c
T T T T
qV
t x x y y z z
1 T 2T qV
2
a t x
qe
1 T 1 T qV
r
a t r r
1 T 1 2 T qV
r
2
a t r r
T Ts
z
y
x

1 T 1 n T qV
r
n
a t r r
Az utolsó három
egyenletek együtt:
n 0
n 2
n 1 henger
repülőgép
T T0
T* T0
t
t*
(13)
gömb
r
r*
1 1n
qV
n
Fo
Az asztalon
Fourier szám
nál nél*
Fo 2
r*
qV1:
nál nél*
nál nél
1: 2
2
r*
r*
(14)
qV r*2
qV
T* T0
q
T* T0 V r*2
1n
1
n
Fo

A hővezetés stacionárius problémái különböző koordinátarendszerekben
Hengeres fal: álló hővezetési folyamat be
hengeres fal (cső) belső sugara r1;
d1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r
a t r r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
u
dr
du 1
u 0
Dr-r
T C1 log r C2
q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
dr
r
d 2T
1dT
0
2 dr
dr
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
A fajlagos hőáram nem
állandó vastagságú és csökkenő
a külső felület felé
Álló körülmények között az áthaladó teljes hőáram
hengeres cső l és egyenlő hosszúságú szakasza
Q q F q 2 rl
Fajlagos hőáram
sugárral csökkenő
!!!
(19)
Felszíni terület
sugárral növekszik
A hőmérséklet a cső vastagságában még állandó értéken is nem lineárisan változik
hővezető
Az integrációs állandókat a peremfeltételekből találhatjuk meg.

r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 log r1 C2 ,
Lineáris rendszer
egyenletek
T2 C1 log r2 C2,
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
q
K
Lineáris hőáramlás
qp
(20)
dT
C
1
dr
r
dT
T
l 2 r
2 l,
dr
log r2 r1
kedd
K
2
T , T T1 T2
ln r2 r1
(21)
(22)

(a fal hőmérséklete nem ismert)
T C1 log r C2
Ugyanezt tehetjük:
r r1:
Csináljuk másképp:
(23)
T
T
1e T Te1 ; r r2:
2e Te2 T
r
r
Konvektív hőáram egységnyi hosszonként
a csöveknek egyenlőnek kell lenniük a lineáris hőárammal
a hővezető képesség miatt:
qp 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qp
log r2 r1
qp Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(M K)
1
1r
1
2-ben
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qp 2e T2 Te2 2 r2
Hőátbocsátási tényező a
hengeres falú
Rc
1
1
1r
1
2-ben
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
lapos fal
R
1 L 1
1 2
1 L 1
K
1
2
1
W/(M2 K)
A (23) egyenletrendszerből megtalálhatjuk
és falhőmérséklet, és helyettesítse (20)
Teljes termikus
cső ellenállás
(24)
(25)
(26)
Dimenzió
eltér
méret K for
lapos fal!
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
Tud
Az asztalon

Dimenzió nélküli változókban
r1
d2
d
r2
2
1d
0
d
(27)
d
Kettős
d
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
A feladat
házon:
1:
T Te 2
r
; r* r2
Te1 Te2
r2
d
Bi 1
d
(29)
2er2 1e
Kettős
2e
C1 log C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Óvatosan lépjen a dimenzió nélküli változókhoz
B) Keresse meg az integrációs állandókat a (30) rendszerből
B) építeni különböző értékeket paramétereket

10.

Alapelvek
következetes
És
párhuzamos
hőellenállások csatlakozásai egy áramkörben,
téglalap alakú síkfalra érvényes
koordináta-rendszer, a problémára is alkalmazható
hővezetés üreges hengerben.
Elektromos analógia
2
K
1
K
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
log r2 r1
2l
A folyadék egy csőben folyik, R 1 1
0
F 2 r1l
szigetelővel borított
anyag
dT
T
l 2 r
2l,
dr
log r2 r1
T
K
,
log r2 r1 2 l
Az alakban
Ohm törvénye
Hőálló
üreges henger
konvektív termikus
folyadék ellenállás
A folyadék konvektív ellenállásának soros kapcsolata van kettővel
vezető hőellenállások. Ha megadjuk a folyadék hőmérsékletét és a hőmérsékletet
külső felület:
T0 Ts
T
K
DE)
R
teljes
r
r
1
1
1
2-ben
3-ban
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Ellenállás
elkülönítés
Ha a belső és külső felületek hőmérséklete adott
B)
T
K
Rfull
T1 Ts
r
r
1
1
2-ben
3-ban
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)

11.

Példa
1 185
Hővezető képességű alumínium csőben
W/(m K), vízgőz áramlik
◦
110 C hőmérsékleten. A cső belső átmérője 10 cm, külső átmérője 12
Te
lásd A cső hőmérsékletű helyiségben található
30◦С; együttható
e
konvektív hőátadás a csőből
a levegőbe
egyenlő 15 W/(m2K). 1) Kötelező
keresse meg a cső egységnyi hosszára eső hőáramot, ha a cső nincs hőszigetelve.
2) A cső hőveszteségének csökkentése érdekében hőszigetelő réteggel vonták be
(2 0,2 ​​W / (m K)) 5 cm vastag.. Keresse meg az egységnyi hosszra eső hőáramot innen
hőszigetelt cső. Tegyük fel, hogy a konvektív termikus
gőzállóság elhanyagolható.
Megoldás. A hőszigetelés nélküli cső esetében a legjelentősebbek
maga a cső vezető hőellenállása és konvektív hő
helyiség légellenállása. Mivel a konvektív termikus
páraállóság elhanyagolható, a belső felület hőmérséklete
csövek hőmérséklete megegyezik a gőz hőmérsékletével. A cső egységnyi hosszára eső hőáram abból következik
kapcsolatok T T
110 30
80
q
0
e
log r2 r1
1
2 1
2 r2 e
65-ben
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/m.
A hőszigetelt csőhöz hőellenállást kell hozzáadni
hőszigetelés, és a hőáram aránya formát ölt
q
T0 Te
80
138
r3 r2 1,57 10 4 0,096 0,482
log r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
W/m

12.

Többrétegű hengeres fal
qc
Tn T1 1
n
d
1
log i 1
2 i
di
, d i 2r1
qc
én 1
A koncepció érvényben marad.
ekvivalens együttható
hővezető
ekv
log d n 1 d1
n
én 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d i 1
ln
én di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Hőmérséklet Ti 1
Ti 1 Ti
2 ekvivalens T1 Tn 1
log d n 1 d1
az i-edik és az i+1-es réteg határán
qc 1 d 2 1 d3
1d
ln... ln i 1
2 1 d1 2 d 2
én
di
(35)
Hőátbocsátási tényező:
Kc
1
1
1d1
n
én 1
1 di 1
1
ln
2 i di 2 d 2
(36)

13.

r1
A sugárirányú hőáram a csőben fordítottan arányos a logaritmussal
külső sugár (a radiális vezetés ellenállása nő);
r2
Ezzel egyenesen arányos a külső felületről történő hőleadás
sugár (a hűtőfelület területe megnő)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Ezért van egy bizonyos sugár, at
ahol a legnagyobb a hőveszteség.
Ha rögzített (kis) belső sugár esetén növelje
cső falvastagsága (azaz növelje a külső sugarat r2), majd a műveletet
logaritmus a hőellenállás képletében több lesz
erősebb, mint nagyobb belső sugárral

14.

A hőszigetelés kritikus átmérője
qc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Extrém állapot:
ad
r2*1
2
Kritikus sugár
Nulla belső ellenállás speciális esete, 1 1 0
y
q
2 Te1 Te 2
1
r
,x2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 A külső ellenállás is nulla
r1 r2
A falvastagság 0
1:x2r2
Adott belső sugár esetén a kritikus értéke
a külső sugár növekszik, ha nő
a cső hővezető képessége, vagy ha az együttható csökken
hőátadás a külső felületen
(37)
Bi 1

15.

szigetelés
A kritikus külső sugár megléte oda vezet, hogy at
néhány valós feltétel, ellentétben a szokásos elképzelésekkel,
a szigetelt cső hővesztesége tulajdonképpen csökkenthető
a szigetelés vastagságának csökkentésével
d1
d2
Teljes hőellenállás kétrétegű csőhöz, melynek keresztmetszete
ábrán látható, a képlet határozza meg
d3
Rc
1 2
pipa
Feltétel
szélsőség:
d2 d3*
d3 d2
(39)
- szigetelés vastagsága
A szigetelés hővezető képességének hőellenállása (I) a növekedéssel nő
a szigetelő bevonat vastagsága; hőátadó szigetelés hőellenállása
(II) - esik (mivel a hőátadó felület nő)
dRC
1
1
0
nn3 2 2 d3 2 n 32
Rc
d2 d3*
1
1
1d2
1d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(ÉN)
d3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
nem függ attól
d2
(40)
(azaz nem függ magának a csővezeték átmérőjétől)
A kritikus ponton a teljes termikus
az ellenállás minimális.
a szigetelés vastagságának növelése csökkenti a hőátadást
a kiválasztott bevonat felhordása kezdetben növekedést eredményez
hőátadás, és csak a kritikus átmérő elérésekor lesz a hőáram
csökken; akkor éri el azt az értéket, ami szigetelés nélkül volt, és csak akkor
a kívánt hatáshoz vezet.

16.

Probléma egy üreges golyóval
(labdafal)
d 2T
dr
2
2dT
0
r dr
(41)
Egy térbeli egydimenziós stacionáriusnak tekintünk
hővezetési probléma gömbfalban adott
a belső és külső felületek sugarai. Egydimenziós
probléma azt jelenti, hogy a hőmérséklet eloszlása ​​a falban
csak a sugártól függ
Cserélésével
változók
r1
dT
u
dr
du
2u
Közös döntés
dr
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21 ; T r 1 C2;
2
r
Dr-r
r
r2
Az első típusú peremfeltételek
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
T r 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Hőáram sűrűsége
Teljes hőáramlás
K
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
q
2C1
dr
1 r1 1 r2
r
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
dr
1 r1 1 r2
(46)

17.

A harmadik típusú peremfeltételek
T r
Közös döntés
nem változik
C1
C2
r
T
r r1: -
1T Te1
r
T
r r2: -
2 Te2 T
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
Dr-r
C2
(48)
A Q teljes hőáram nem
az áramsugártól függ
1r1 T 1r12 T
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
Adott hőmérsékletű közegek ideális hőátbocsátásának határában és
gömbfal (azaz végtelen hőátbocsátási együtthatónál) a probléma megoldása azzal
A harmadik típusú peremfeltételek egy peremfeltételes probléma megoldásába lépnek át
az első típusú feltételek.
4
K
T T
1 1 1 2
r1 r2
=
hőáramlás,
4 r1 2 1 Te1 T
jön
belső fal
=
hőáramlás,
4 r 2 2 2 T Te 2
kilépő
külső fal

18.

Hőmérséklet-eloszlás gömbfalban
a harmadik típusú peremfeltételekre
Házak:
játszani mindet
megoldás
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
T r
1 1
r1 r2
A fal hőmérsékletei:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1Te 2
T2
Golyófal vezetőképessége:
s
1 1
r1 r2
r1r2
r 2 r1

19.

A legegyszerűbb feladatok megoldásai dimenzió nélküli formában
Gyűjtsük össze a stacionárius feladatok megoldásait kanonikus alakú testekre
az első típusú peremfeltételek együtt
T p T1 T1 T2
r
r2
Otthon: játék!
Tc
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r2
T1 log r 2 r T 2 log r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T2
r
r2
0,8
p1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
c
p
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
Lapos falban a minőségi eloszlás
hőmérséklet (lineáris) nem függ attól
vastagság. De hengeres és gömb alakú -
nemlineárisan változik a sugárral;
karakter
eloszlás (a görbe görbülete) attól függ
a külső és belső sugarak aránya.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Hőmérséklet eloszlás lakásban
(1), hengeres (2) és golyós (3)
fal. folytonos vonalak
;
10
pontozott vonalak - . öt

20.

Harmadik típusú peremfeltételek esetén a legegyszerűbb problémák megoldása
a hőátadást jellemző paraméterektől függ.
Ugyanazok a hőátbocsátási tényezők.
T Te 2
Te1 Te2
r
r2
1 2
0,8
tányérhoz
1
1 1 2. o
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
hengerhez:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 log 2 log
ln
1 1
2
1 Biln
1 Biln
c
gömbhöz:
s
1
1 1 1 2
1
1 Bi 1
1 1 Bi
2
Kettős
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Hőmérséklet-eloszlás
a koordináta mentén a síkban (1),
hengeres (2) és gömb alakú
(3) falak feltételek mellett
konvektív hőátadás.
Folyamatos vonalak - Bi 2 ;
pontozott - Bi 1 0

21.

Példák: Dewar palack
Oxidfilmmel bevont fémrészecske
Házi feladat:
1. Fogalmazza meg a kétrétegű hőmérséklet-eloszlás problémáját!
gömb alakú héj konvektív hűtése során, az anyag felhasználásával
előadások. A rétegek közötti hőkontaktus ideálisnak tekinthető. Vezet
probléma dimenzió nélküli formára. Készítsen pontos analitikai megoldást
ez a feladat.
2.*Számítsa ki a labda belső és külső felületének hőmérsékletét!
héjak az 1. problémában, valamint az érintkező hőmérséklete; határozza meg a teljes
a labda felületét elhagyó hőáram, feltételezve, hogy a hőmérséklet
héjon belüli környezet - 175 C, hőmérséklet környezet-25 C;
a hőátbocsátási együtthatók azonosak és egyenlőek - 28,8 kcal / (m2 óra fok);
belső és külső héj sugara - 3 cm és 5 cm, vastagság
belső héj - 25 mm. A belső héj anyagból készült
1,45 kcal/(m óra fok) hővezető képességű anyag; külső
0,137 kcal/(m h fok) hővezetési együtthatójú anyag. Hogyan
a hőáram a külső vastagság változásával változik
25 mm-től 300 mm-ig terjedő héjak?

22.

d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
G.u. első fajta: r r1:
qV konst
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
G.u. harmadik fajta:
r r1:
-
T
1 T Te1 ;
r
r r2:
-
T
2 Te2 T
r
A megoldás első "útja":
A problémát elemi integráció oldja meg:
qV x 2
T x
C1xC2
2
dT
q
V x C1;
dx
(4)
Az általános megoldást behelyettesítve a CG-be, megtaláljuk az integráció állandóit.
A maximum bizonyos távolságra van a felületektől.
A maximális pozíció megtalálható a feltételből (extrémum feltétel)
dT
q x
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)

23.

Feladatok belső hőforrásokkal
HŐVEZETÉSI SÍKFAL TÉRFOGATÚ HŐKIBOCSÁTÁSSAL
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Csináljuk egy kicsit másképp. (A második út
megoldások)
qV x 2
T x
C1xC2
Tábornok
megoldás
2
(4)
A koordináták origóját arra a pontra helyezzük, ahol
a hőmérséklet maximum
T2
1; 2
- távolság a maximumtól a lemez széleiig
0
C10
A jobb oldali peremfeltételt a következőképpen írjuk át:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
Mivel az x=0 sík hőszigeteltnek tekinthető, ezért az összes hő felszabadul
táblát a jobb oldalon időegységenként a környezetbe kell terelni
hőátadáson keresztül a jobb falról. Ellenkező esetben a feltétel sérül
stacionaritás
qV 2 - a lemez térfogatában felszabaduló hőmennyiség \u003d 1 egységnyi idő alatt
A bal oldalon - a lemezfelület egységnyi területére eső hőátadási fluxus kifejezése

24.

Hasonló érvelés a vastagságú lemez bal rétegére vonatkozóan
1 2
kifejezéshez vezet
2
q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
A (6), (7) egyenlőségek segítségével megtaláljuk a pozíciót
maximális
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
A C2 konstans meghatározásával (bármelyik egyenlőség megfelelő), megtaláljuk az általános megoldást.
A legegyszerűbb formát ölti, ha
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
azután
qV qV 2
C2
Te
2
8
És
2
q
qV
2
T x
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Minél alacsonyabb, annál nagyobb a lemez hővezető képessége
Tmax T x 0
Te
8
2
q
A falhőmérséklet Ts T1 T2 V Te a hőátadás romlásával nő
2

25.

Az első típusú peremfeltételek
T1
2
1
T2
0
qv 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
T x T2
x
1
2
2 2
qV
Nagyon nagy értékekhez
x2:
qV x 2
T x
C1x C , C1 0 (4)
2
2
A harmadik típusú peremfeltételek átalakulnak peremfeltételekké
az első típusú feltételek. Ezért ugyanaz a megoldásunk
használja az előző megoldást
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Következésképpen a harmadik típusú peremfeltételekkel kapcsolatos szimmetrikus problémából (10) azt találjuk
2
qV
2
T x
x Ts
2 2
Tmax T x 0
q
V Ts
8
2
Hőfok
falak
(14)
Ugyanez az egyenlőség következik az előző megoldásból is, feltéve, hogy a falhőmérséklet egyenlő

26.

Tekintsünk egy végtelen tömör hengert egyenletesen fűtve (vagy
lehűtve) az oldalfelületről. A hőforrás a henger térfogatában található
állandó intenzitás. Meg kell találni a hőmérséklet-eloszlást
megállapított mód.
d 2T 1 dT q
dr
u dT dr
2
r dr
q r
du
r
u V 0
dr
V
vagy
0
(1)
d ru qV r
0
dr
qV r 2
hu
C1
2
q r C
dT
V 1
dr
2
r
Közös döntés
Első
integrál
(3)
qV r 2
T
C1 log r C2
4
Állapot a központban
tömör henger
dTdr0; r0
(2)
(4)
C10

27.

Henger térfogati hőelvezetéssel
dT
T Te
r R
dr
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
r
Te
C2
Te
4
2
2
4
q
q R
q R
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Külső állapot:
hőáram sűrűsége a henger felületén:
teljes hőáram a henger felületéről:
q Ts Te
QqF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
A térfogati hőleadású henger hűtésének problémája az, hogy in
különösen érdekes a katódok hőmérséklet-eloszlásának megtalálásához,
plazmafáklyákban használják ionáramlás generálására. Gyakorlatilag
alkalmazás esetén ez a probléma a következőképpen újrafogalmazható: keresse meg az erőt
elegendő forrás a katód porlasztásához, feltéve, hogy ez szükséges
eléri a katód anyagának olvadáspontját
A (4) általános megoldással meghatározható a hőmérséklet-eloszlás a vastagságban
üreges henger falai vagy védőréteggel borított henger vastagsága szerint
(továbbiakban megfontoljuk). Az első esetben be kell állítania a feltételeket a belső felületen
henger. A második esetben egy további feltétel szükséges a felületen
két eltérő tulajdonságú anyag, pl. a negyedik fajtájú peremfeltétel.

28.

Térfogati hőleadású gömb
qV r 2 C1
Otthon: show
T
C2(2)
(1)
mi az általános megoldás
6
r1
dr2
(1) alakja (2)
dT
Feltételek:
dTdr0; r 0 és dr T Te ; r R
q
q
adjunk C1 0-t és
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R1
3
6
R
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Maximális hőmérséklet
3
6
q
q
Felületi hőmérséklet
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R2dT
1
Teljes hőáram a felületen
K
R 3qV
4 dr r R 3
labda
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
henger
s
2
4
2
Hasonlítsa össze
d 2T
2 dT qV
0
r dr
Lapos réteg Tmax
qV qV 2
Te
2
8
q
T s V Te
2
(4), (5)

29.

1. példa Keresse meg az átengedhető maximális áramot
1 mm átmérőjű alumíniumhuzal (λ = 204 W / (m K)) úgy, hogy
a hőmérséklet nem haladta meg a 200 C-ot. A vezetéket levegőben függesztjük
hőmérséklet 25 C. A konvektív hőátadás együtthatója a vezetékről a
levegő 10 W/(m2 K). Elektromos ellenállás Re/l egységenként
a vezeték hossza 0,037 ohm/m.
Megoldás. Használjuk a (66) képletet, amelyből az következik
qV
Re I 2
R2l
Tmax
qV R R
I 2 Re
Te
1
Te
2
2
2Rl
R
1 2
A fizikai mennyiségek megadott értékeit helyettesítjük:
200 25
én
2
2 1 0 3
Innen találjuk a jelenlegi erősséget:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
I 12,2 A

30.

Huzal szigeteléssel
A probléma szigorú matematikai megfogalmazása:
d 2T1
dr
2
d 2T2
Az első feltétel a szimmetriafeltétel;
a második azt mondja, hogy a termikus
érintkezés a vezeték és a szigetelés között
tökéletes, a harmadik pedig megfelel
konvektív hőcserélő vezetékekkel
elszigeteltség a környezettől.
dr
2
1dT2
0
r dr
r0: dT dr0
r R: 1
r R
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2; T1 T2
dr
dr
r R: 2
A probléma általános megoldása:
1 dT1 qV
0
r dr
1
dT2
T2 Te
dr
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Otthon: show
Igazságszolgáltatás

31.

Huzal szigeteléssel
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
A probléma általános megoldása:
T2 C3 l n r C 4
A (3) feltételtől kezdve:
C10
q R
C
1 V 2 3
R
2 1
A (4) feltételek a következőket adják:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Az (5) feltétel a következőket jelenti:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
R C 4 Te
R
R22
2 2
Találunk:
qV R 2
q R
C 4 Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C 2 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R

32.

Ezért a hőmérséklet eloszlása ​​a vezetékben szigeteléssel
képletekkel írják le
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R41
És
qV R 2 2 qV R 2 R
T 2 Te
ln
2 2 R
2 2
r
A végső megoldást a következő formában mutatjuk be:
T Te
én i
T Te
qV R 2
T Te
1
r
R
1
Bi K
2
1 1 2
napló 1
4
K2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Határozza meg a hőáramot a felületről
karmester
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Menj haza a
dimenzió nélküli változók
0 1
Kettős
1 1
K
K
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Kettős
- a szigetelés nem távolítja el a hőt az áramvezetőből
- a vezető esetleges lehűlése a bemeneti hőveszteség miatt
környezet
R

33.

2. példa: Engedjen végig egy hosszú, 1 cm átmérőjű alumíniumhuzalt
folyó elektromosságáramerősség 1000 A. A vezetéket egy réteg borítja
3 mm vastag gumiszigetelés (λ2=0,15 W/(m K)). Hőfok
a szigetelés külső felülete 30 C. Határozza meg a belső hőmérsékletét
szigetelő felület. A vezeték ohmos ellenállása egységenként
hossza 3,7 10-4 Ohm/m.
Megoldás. A probléma megoldásához a Т2 második képletét használjuk
mellékes problémának tekinthető. Tekintettel arra, hogy a hőmérséklet be van állítva
2
a szigetelés külső felülete, pl.
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
Rl
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Az alumíniumhuzal hővezető képességének értékét felhasználva
1 232 W / (m K) és a T képlet alapján ki tudjuk számítani a hőmérsékletet a központban
1
vezetékek. A vizsgált feltételek mellett megvan
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2

34.

Házi feladat.
1. Az I \u003d 200A teljesítményű áramot egy rozsdamentes acélhuzalon vezetik át
2 mm átmérőjű és 1 m hosszúságú A vezeték elektromos ellenállása az
0,125 Ohm, hővezető képessége 17W/(m K). Hőfok
a huzal felülete 150 C. A hőmérsékletet a tengelyen kell kiszámítani
huzal.
2. Tegyük fel, hogy ugyanabban a feladatban a vezetéket szigetelőréteg borítja
(a szigetelés hővezetési tényezője 0,15 W/(m K)), és az együttható
hőátadás a szigetelő felületen 60 W/(m2K). Szükség szerint
módosítsa az áramerősséget (növelje vagy csökkentse) úgy, hogy a hőmérséklet
a huzal felülete 150 C-on maradt.

35.

Hatékony (ekvivalens) termofizikai tulajdonságok
Valóban használják a gépészetben és a körülöttünk lévő anyagokban
többkomponensűek és többfázisúak. Ez az acélra vonatkozik
ötvözetek, intermetallikus kompozitok, szinterezett anyagok,
szálas kompozitok, polimer alapú kompozitok, keverékek,
megoldások stb.
Ha a kezdeti komponensekhez (amelyekből a kompozitokat szintetizálják
különböző technológiák) vagy adott a felhasznált anyagok mindegyikének tulajdonságaival
többé-kevésbé világos, akkor az újonnan kifejlesztett anyagoknál
A tulajdonságok meghatározása nagy probléma.
Előfordulhat, hogy a standard kísérleti módszerek nem működnek, vagy nem válnak azzá
drága vagy munkaigényes
A számításhoz ismerni kell az összetevők tulajdonságait, szerkezetét és kölcsönösségét
a fizikai jelenségek egymásra gyakorolt ​​hatása.
Nincs adat fizikai tulajdonságok ah semmi tudományos nem lehetséges
vagy mérnöki számítás
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Keverékek és kompozitok hővezető képessége
anyagokat

36.

Modellek a tulajdonságok kiszámításához:
korpuszkuláris (molekuláris), kontinuum és kombinált
A korpuszkuláris modellekben a tulajdonságokat a természet ismerete alapján vizsgálják,
a részecskék kölcsönhatásának szerkezete és jellege. Fizikai tulajdonságok számítása in
Ebben az esetben ez csak más ingatlanokra vonatkozó adatok felhasználásával lehetséges.
A heterogén szerkezetek osztályozása:
Dulnev, pp.10-52 (nyitott)
Kompozitok: 106-130

37.

Az effektív együtthatók kiszámításának számos módja van
heterogén és porózus anyagok hővezető képessége
A legegyszerűbb közelítésben a hővezetési folyamathoz külön
mikrodomain (amely reprezentatív mennyiségnek tekinthető)
a fizikai egyenletek érvényesek
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Peremfeltételek az ideállal rendelkező régiók határfelületein
A hőérintkező a következő formában van:
T
T
k k k 1 k 1; Tk Tk 1
n
n
Egy anyag effektív hővezető képességének meghatározása (amelyből áll
különböző fázisok), meg kell határozni a fizikai mezők eloszlását közben
az összes mikrodomaint, majd térjünk át egy kvázi homogén környezetre
amelyek a kapcsolatok
JT*T
1
J k dV ;
V
1
Tk d
T
V
V
Ennek típusának megállapítása
Effektív együttható: f k , k ;
függőségek és van
fő feladat
- fázisfrakciók
különféle elméletek.
JT
T

38.

Kétfázisú rendszer
1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V , 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
k
T1 T1
2T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Ebből következik
előző
, k 1,2
- térfogat átlagos gradiens
A két egyenletrendszer (1) három ismeretlent tartalmaz. E záráshoz
további információkra van szükség, például szerkezeti adatokra
heterogén rendszer, egy speciálisan kialakított kísérlet adatai.
Az ilyen rendszerek bezárásának problémájának megoldása minden megjelenéséhez vezetett
sokféle módszer az átviteli együtthatók meghatározására (nem csak
hővezetési együttható), amely a szakirodalomban ismert

39.

1. A legegyszerűbb szerkezet esetén, amely rendszer
korlátlan számú lemez a J áramlással párhuzamosan
1 2 1
És
1 1 2 2
2. Ha a rétegek merőlegesek az áramlásra
1 T1 2 T2 ;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Az inhomogén közegek szerkezeti típusai igen változatosak. Szóval abban az esetben
kétfázisú közeg, amelyhez fázisok (különböző fázisokat tartalmazó mikrorégiók)
véletlenszerűen és rendezetten is eloszthatók a térben,
meg lehet különböztetni az egyik fázist izolált formában tartalmazó szerkezeteket
izomer (1) vagy anizotróp orientált (2) zárványok
folyamatos egyéb fázisú, szemcsés rendszerek folyamatos vázzal (3) ill
pórusok (4), rostos rostrendszerek (5) és pórusok (6), statisztikailag
hasonló méretű inhomogén (mikroinhomogén) rendszerek
alkatrészek (7), párhuzamos (8) és merőleges rétegrendszerek
(9) áramlási rétegek. Elképzelhető az egyénekből álló rendszerek
a leírt típusú különféle struktúrákkal rendelkező alrendszerek. Továbbá
a szerkezetekben szereplő fázisok mindegyike lehet többkomponensű és
és egykomponensű. Mindenesetre ki kell számítani az egyes fázisok tulajdonságait
vagy kísérleti definíciójuk.

40.

Kondorsky-egyenlet
3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevsky (módszer
1
hatékony környezet)
4
16
2
2 1
1 V1 V , 2 V2 V
13
2 1
1 2
integrál módszer
Kétoldalú becslések (becslések
Hashin-Shtrikhman)
Shermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Az 1. index a mátrixra, a "2" pedig a zárványokra utal
Az egyszerűsített médiamodellek ellenére néhány jól ismert képlet
lehetővé teszik meglehetősen megbízható becslések elvégzését, bár a képletek száma a
a média különféle speciális esetei a fázisok számának növekedésével gyorsan növekszik.

41.

Házak:
Van egy kompozit. A mátrix egy volfrám alapú ötvözet (úgy tekintjük
hővezető képessége megegyezik a wolfram hővezető képességével).
Részecskék (zárványok) titán-karbid.
A fenti képletek segítségével számítsa ki a függőségeket
a kompozit effektív hővezetési együtthatói a frakción
zárványok (ξ= 0-0,75). Rajzolj egy diagramon.
Milyen következtetést lehet levonni?

42.

Szemcsés és porózus anyagok tulajdonságai
A porózus anyagok effektív hővezető képességéről, egyéb feltételek mellett
körülményeket a szilárd fázis hővezető képessége befolyásolja. Ugyanakkor azért
egyes porózus anyagoknál (A12O3, BeO, MgO stb. alapján) együttható
a hővezető képesség a hőmérséklet növekedésével csökken, míg a
mások, SiO2, ZrO2, - növekszik. Döntő
a porozitás hatással van a hatékony hővezető képességre, mivel
maguk a pórusok a gáz alacsony vezetőképessége miatt hatékonyak
akadályozza a hő terjedését. Vannak azonban mások is
hőátadó mechanizmusok (konvekció, sugárzás).
A legegyszerűbb modellek egy porózus ill
diszpergált anyag lapos váltakozó rétegek formájában, komponált és
tömör keret (mag) és levegő.
1
1
2
2
1
1 1 2
- a pórusok aránya; porozitás
- levegő vagy egyéb anyag töltet hővezető képessége
porózus tér

43.

A középső ábrán bemutatott modellek nevekkel vannak társítva
Maxwell–Eucken (Maxwell-Aiken). Az eredmény úgy néz ki
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
tömör keret folyamatos
folyamatos porózus
tér
hatékony médiumelméleti modell

Hőterjedés hővezetéssel lapos és hengeres falakban álló üzemmódban (első típusú peremfeltételek)

Homogén egyrétegű síkfal. Tekintsük a hővezetéssel történő hőterjedést egy 8 vastagságú homogén egyrétegű, korlátlan szélességű és hosszúságú síkfalban.

Tengely x irányítsa a falra merőlegesen (7.4. ábra). A fal mindkét felületén, mint a tengely irányában y, valamint a tengely irányában G az egyenletes hőellátás és -elvonás miatt a hőmérsékletek egyenletesen oszlanak el.

Mivel a fal ezen tengelyek irányában végtelenül nagy méretű, a megfelelő hőmérsékleti gradiensek W / yu \u003d (k / (k= = 0, és így nincs befolyása a fal végfelületeinek hővezető képességének folyamatára. Ilyen egyszerűsítő feltételek mellett a stacionárius hőmérsékletmező csak a koordináta függvénye X, azok. egydimenziós problémát veszünk figyelembe. Ebben az esetben a hővezetés differenciálegyenlete a következő alakot ölti: (at d^dh = 0)

Az első típusú peremfeltételek a következők:

Rizs. 7.4.

Határozzuk meg a hőmérsékleti téregyenletet és határozzuk meg a területű falszakaszon áthaladó Ф hőáramot DE(ábrán. 1L a fal nincs feltüntetve, mivel az ábra síkjára merőleges síkban található). Az első integráció ad

azok. a hőmérséklet gradiens állandó a fal teljes vastagságában.

A második integráció után megkapjuk a kívánt hőmérsékleti téregyenletet

ahol deÉs b - integrációs állandók.

Így a hőmérséklet változás a falvastagság mentén lineáris törvényt követ, és az izoterm felületek a falfelületekkel párhuzamos síkok.

Az integráció tetszőleges állandóinak meghatározásához a peremfeltételeket használjuk:

Mivel? > ? CT2 , majd a gradiens vetülete a tengelyre x olyan negatív, mint

ez várható volt a tengely választott irányára, ami egybeesik a felületi hőáram-sűrűségvektor irányával.

A (7.24) konstansok értékét behelyettesítve megkapjuk a nulla hőmérséklet végső kifejezését

Vonal a-bábrán. 7.4, az ún hőmérsékleti görbe, a hőmérséklet változását mutatja a falvastagság függvényében.

A hőmérsékleti gradiens ismeretében a (7.10) Fourier-egyenlet segítségével meg lehet határozni a tengelyre merőlegesen áthaladó 8 () hőmennyiséget a 4 felületelemen. T.

és egy felületre DE

A (7.28) képlet a hőáramra és a felületi hőáram sűrűségére a formát ölti

Tekintsük a hő hővezetéssel történő terjedését több (például három) egymáshoz szorosan kapcsolódó rétegből álló többrétegű lapos falban (lásd 7.5. ábra).

Rizs. 7.5.

Nyilvánvalóan stacionárius hőmérsékleti mező esetén ugyanazon terület felületein áthaladó hőáram DE, minden rétegnél azonos lesz. Ezért a (7.29) egyenlet minden réteghez használható.

Az első réteghez

a második és harmadik réteghez

ahol X 2, A 3 - a rétegek hővezető képessége; 8 1? 8 2 , 8 3 - rétegvastagság.

A háromrétegű fal külső határain ismertnek tekinthetők a hőmérsékletek? St1 és? ST4. A hőmérsékletek a rétegek határfelületei mentén vannak beállítva? ST2 És? STZ, amelyeket ismeretlennek tekintenek. A (7.31) - (7.33) egyenleteket a hőmérséklet-különbségekre vonatkozóan fogjuk megoldani:

majd szóról szóra adja hozzá, és ezzel kiküszöböli az ismeretlen köztes hőmérsékleteket:

A z-rétegű falra általánosítva (7.36) kapjuk

Köztes hőmérsékletek meghatározásához? ST2, ? STz a rétegek elválasztási síkjain a (7.34) képleteket használjuk:

Végül az u-rétegű falra általánosítva a levezetést, képletet kapunk az i-edik és (r + 1)-edik réteg határán lévő hőmérsékletre:

Néha az ekvivalens hővezető képesség fogalmát használják R ekv. A sík többrétegű falon áthaladó hőáram felületi sűrűségéhez,

ahol a többrétegű fal összes rétegének teljes vastagsága. A (7.37) és (7.40) kifejezések összehasonlításával arra a következtetésre jutunk

ábrán A 7.5 szaggatott vonal formájában a hőmérséklet-változások grafikonját mutatja egy többrétegű fal vastagságában. A rétegen belül, mint fentebb bebizonyosodott, a hőmérsékletváltozás lineáris törvényt követ. A cp lejtő érintője, a vízszintes hőmérsékleti egyenes

azok. egyenlő a hőmérsékleti gradiens abszolút értékével ^1 "ac1 Tehát az egyenesek meredeksége szerint ab, bcés azzal

Következésképpen,

azok. A többrétegű lapos fal egyes rétegeinek hőmérsékleti gradiensei fordítottan arányosak e rétegek hővezető képességével.

Ez azt jelenti, hogy nagy hőmérsékleti gradiensek eléréséhez (amire szükség van például gőzvezetékek szigetelésénél stb.) alacsony hővezető képességű anyagokra van szükség.

Homogén egyrétegű hengeres fal. Határozzuk meg a hőmérséklet mezőt és a felületi hőáram sűrűségét stacionárius hővezetési mód esetén homogén egyrétegű hengeres fal esetén (7.6. ábra). A feladat megoldására a hengerkoordinátákban mért hővezetés differenciálegyenletét használjuk.

A 2. tengely a cső tengelye mentén lesz irányítva. Tegyük fel, hogy a cső hossza végtelenül nagy az átmérőhöz képest. Ebben az esetben figyelmen kívül hagyhatjuk a csővégek befolyását a hőmérséklet-eloszlásra a 2. tengely mentén. Feltételezzük, hogy az egyenletes hőellátás és -elvétel miatt a belső felületen a hőmérséklet mindenhol egyenlő? ST1, és a külső felületen -? ST2 (első típusú peremfeltételek). Ezekkel az egyszerűsítésekkel (k/ = 0, és tekintettel a hőmérsékleti mező szimmetriájára bármely átmérőhöz (d), ahol G- a hengeres fal áram sugara.

Rizs. 7.6.

A hővezetés differenciálegyenlete (7.19) a feltétel mellett dt/d m = 0 alakot ölt

Vezessünk be egy új változót

melyik a hőmérsékleti gradiens (grad?).

Változó behelyettesítése És a (7.43)-ban elválasztható változókkal rendelkező elsőrendű differenciálegyenletet kapunk

vagy

Integrációt kapunk

Hengeres fal esetén a hőmérsékleti gradiens egy olyan változó, amely a sugár csökkenésével növekszik G. Ezért a hőmérsékleti gradiens a belső felületen nagyobb, mint a külső felületen.

Helyettesítő érték És(7,44)-től (7,45)-ig, azt kapjuk És

ahol egy b- integrációs állandók.

Ezért a hőmérséklet-eloszlási görbe a falvastagságon egy logaritmikus görbe (görbe a-bábrán. 7.6).

Határozzuk meg az állandókat deÉs b, szerepel a hőmérsékleti mező egyenletében, az első típusú peremfeltételek alapján. A felület belső sugarát jelöljük r x, kültéri - g 2. Jelöljük a megfelelő átmérőket (1 lÉs (1 2 . Ekkor van egy egyenletrendszerünk

Döntés ezt a rendszert egyenleteket kapunk

A nulla hőmérsékleti egyenlet a következő alakot veszi fel A hőmérsékleti gradienst a (7.45) képlet határozza meg:

Mivel? ST1 > ? CT2 , és r, r 2 , akkor a vetítési grad? a sugárvektoron negatív értéke van.

Ez utóbbi azt mutatja, hogy ebben az esetben a hőáram a középpontból a perem felé irányul.

A hengeres felület egy hosszúságú szakaszán áthaladó hőáram meghatározása b, használja az egyenletet

A (7.46)-ból az következik, hogy a hengeres felületen áthaladó hőáram a külső és belső sugár r 2 / arányától függ g x(vagy átmérők c1 2 / (1 {), nem falvastagság.

A felületi hőáram sűrűsége hengeres felületre úgy határozható meg, hogy a Ф hőáramot a belső felület területére vonatkoztatjuk. Egy vp vagy a külső felületre És pl. A számítások során a lineáris hőáram sűrűségét néha használják:

A (7.47)-(7.49)-ből az következik

Többrétegű hengeres fal. Tekintsük a hő hővezető képességgel történő terjedését egy A hosszúságú háromrétegű hengeres falban (csőben) (7.7. ábra), amelynek belső átmérője c1 xés külső átmérője (1 l. Az egyes rétegek közbenső átmérői - c1 2és X2, X3.

Rizs. 7.7.

Ismertek a hőmérsékletek? st) belső és hőmérséklet? CT4 külső felület. Meg kell határozni a Ф hőáramot és a hőmérsékletet? ST2 És? STz a réteghatárokon. Készítsünk minden rétegre egy (7.46) alakú egyenletet:

Megoldva (7.51)-(7.53) a hőmérséklet-különbségeket, majd tagonként összeadva kapjuk

A (7.54)-ből van egy számítási kifejezésünk háromrétegű fal hőáramának meghatározására:

Általánosítsuk a (7.55) képletet az u-rétegű csőfalra:
ahol én- a réteg sorozatszáma.

A (7.51)-(7.53)-ból egy kifejezést találunk a hőmérséklet meghatározására a közbenső rétegek határain:

Hőfok? Művészet. +) a határon?-edik és (G+ 1)-edik réteg hasonló képlettel határozható meg

A szakirodalom tartalmazza az üreges golyó differenciálhőegyenletének megoldásait az első típusú peremfeltételek mellett, valamint az összes figyelembe vett testre a harmadik típusú peremfeltételek mellett. Nem foglalkozunk ezekkel a kérdésekkel. Az állandó és változó keresztmetszetű rudak (bordák) stacionárius hővezetésének kérdései, valamint a nem stacionárius hővezetés kérdései szintén kívül maradtak tantárgyunk keretein.

Bármelyik tanulmányozása fizikai folyamat az ezt a folyamatot jellemző mennyiségek közötti kapcsolat megállapításához kapcsolódik. Az összetett folyamatoknál, amelyek magukban foglalják a hővezetéssel történő hőátadást, a mennyiségek közötti kapcsolat megállapításánál célszerű a matematikai fizika módszereit alkalmazni, amely nem a teljes vizsgált térben veszi figyelembe a folyamat lefolyását, hanem elemi anyagtérfogatban végtelenül kis időintervallumban. A hőátadásban részt vevő mennyiségek közötti összefüggést ebben az esetben az ún a hővezetés differenciálegyenlete. A választott elemi térfogat és végtelenül kis időtartam keretein belül lehetővé válik, hogy figyelmen kívül hagyjuk a folyamatot jellemző egyes nagyságrendű változásokat.

A hővezetés differenciálegyenletének levezetésekor a következő feltételezéseket tesszük: fizikai mennyiségek λ, pÉs ρ állandó; nincs belső hőforrás; a test homogén és izotróp; az energiamegmaradás törvényét használjuk, amely erre az esetre a következőképpen fogalmazódik meg: az idő alatt egy elemi paralelepipedonba hővezető képesség miatt bejutott hőmennyiség különbsége. dτés a belőle felszabaduló idő alatt a vizsgált elemi térfogat belső energiájának megváltoztatására fordítják. Ennek eredményeként a következő egyenlethez jutunk:

Az értéket ún Laplace operátorés általában 2-nek rövidítik t(a jel „nabla” feliratú); érték λ /cρ hívott termikus diffúzióés a betűvel jelöljük de. A fenti jelöléssel a hővezetés differenciálegyenlete felveszi a formát

Az (1-10) egyenletet nevezzük hővezetési differenciálegyenlet, vagy a Fourier-egyenlet háromdimenziós, nem stacionárius hőmérsékleti mezőre belső hőforrások hiányában. Ez a fő egyenlet a testek felmelegedésének és hűtésének tanulmányozásában a hővezetéssel történő hőátadás folyamatában, és kapcsolatot létesít az időbeli és térbeli hőmérsékletváltozások között a mező bármely pontján.

Termikus diffúzió de= λ/cr az anyag fizikai paramétere, mértékegysége m 2 / s. A nem stacionárius termikus folyamatokban az érték de a hőmérsékletváltozás sebességét jellemzi. Ha a hővezetési együttható jellemzi a testek hővezető képességét, akkor a hődiffúzivitási együttható de a testek hőtehetetlenségi tulajdonságainak mértéke. Az (1-10) egyenletből az következik, hogy a hőmérséklet időbeli változása ∂t / ∂τ mert a test bármely pontja arányos az értékkel de Ezért azonos feltételek mellett a nagyobb hődiffúzióval rendelkező test hőmérséklete gyorsabban emelkedik. A gázoknak kicsik, a fémeknek pedig nagyok a hődiffúzivitása.

A hővezetés differenciálegyenlete a testen belüli hőforrásokkal a következő formában lesz

ahol qv- az anyag egységnyi térfogatára jutó hőmennyiség egységnyi idő alatt, tól től a test tömeghőkapacitása, ρ - testsűrűség .

A hőkülönbség egyenlet hengeres koordinátákkal egy belső hőforrással a következő formában lesz

ahol r- sugárvektor hengeres koordinátákban; φ - injekció.