Téglalap koordináták kettős integrál transzformációja, nak nek poláris koordináták
, téglalap koordinátákhoz kapcsolódnak a kapcsolatok
,
, a képlet szerint hajtjuk végre

Ha az integráció területe
két sugárra korlátozódik
,
(
) a pólusból kilépő, és két görbe
és
, akkor kettős integrál képlet alapján számítjuk ki

.

1.3. példa. Számítsa ki az alábbi vonalak által határolt ábra területét:
,
,
,
.

Megoldás. Egy terület területének kiszámításához
használjuk a képletet:
.

Rajzolj egy területet (1.5. ábra). Ehhez átalakítjuk a görbéket: , , , . Térjünk át a poláris koordinátákra: , . . A poláris koordináta-rendszerben a terület egyenletek írják le:

.

1.2. Hármas integrálok

A hármas integrálok fő tulajdonságai hasonlóak a kettős integrálokéhoz.

A derékszögű koordinátákban a hármas integrált általában így írják:

.

Ha egy
, majd a hármas integrált a terület felett számszerűen megegyezik a test térfogatával :

.

A hármas integrál kiszámítása

Legyen az integráció területe felülről, illetve alulról egyértékű folytonos felületekkel határolják
,
és a terület vetülete a koordinátasíkra
sík terület van
(1.6. ábra).

Aztán fix értékekre megfelelő alkalmazások területi pontok belül változni. Akkor kapjuk: . Ha emellett a vetítés egyenlőtlenségek határozzák meg , , ahol - egyértelmű folyamatos funkciók a , akkor

.

Példa 1.4. Kiszámítja
, ahol - síkokkal határolt test:

	, , , ( , , ). Megoldás. Az integráció területe a piramis (1.7. ábra). Területi vetítés van egy háromszög , amelyet egyenes vonalak határolnak , , (1.8. ábra). Nál nél pont applikációk kielégíti az egyenlőtlenséget , ezért .
	Háromszög integrálási határainak beállítása , kapunk

Hármas integrál hengeres koordinátákban

Descartes-koordinátákból való mozgáskor
hengeres koordinátákra
(1.9. ábra) kapcsolódó
arányok
,
,
, és

	, ,, a hármas integrál transzformációk: 1.5. példa. Számítsa ki a felületekkel határolt test térfogatát: , , . Megoldás. A kívánt testtérfogat egyenlő .
	Az integrációs tartomány a henger azon része, amelyet alulról a sík határol , és a sík felett (1.10. ábra). Területi vetítés van egy kör az origó középpontjában és egységsugárral. Térjünk át a hengeres koordinátákra. , , . Nál nél pont applikációk , kielégíti az egyenlőtlenséget vagy hengeres koordinátákkal:

Vidék
, amelyet egy görbe határol
, formáját ölti, ill
, míg a polárszög
. Ennek eredményeként megvan

.

2. A térelmélet elemei

Először idézzük fel a görbe és felületi integrálok számítási módszereit.

A görbén definiált függvények koordinátái feletti görbe vonalú integrál számítása , az alak határozott integráljának kiszámítására redukálódik

ha a görbe parametrikus
megfelel kiindulópont görbe , a
- a végpontja.

Függvény felületi integráljának kiszámítása
kétoldali felületen határozzuk meg , redukálódik egy kettős integrál kiszámítására, például a forma

,

ha a felület , az egyenlet adja meg
, egyedileg vetül a síkra
a régióba
. Itt - az egységnyi normálvektor közötti szög a felszínre és tengely
:

.

A felületnek a probléma körülményei által megkívánt oldala a (2.3) képletben a megfelelő előjel kiválasztásával határozzuk meg.

Meghatározás 2.1. Vektor mező
pont vektorfüggvényének nevezzük
terjedelmével együtt:

vektor mező
skaláris értékkel jellemezve - eltérés:

Meghatározás 2.2. folyam vektor mező
a felületen keresztül felületi integrálnak nevezzük:

,

ahol - egységvektor normálok a felület kiválasztott oldalára , a
- skaláris szorzat vektorok és .

Meghatározás 2.3. keringés vektor mező

tovább zárt görbe görbe vonalú integrálnak nevezzük

,

ahol
.

Ostrogradsky-Gauss képlet kapcsolatot létesít egy szál között vektor mező zárt felületen keresztül és meződivergencia:

ahol - zárt körvonallal határolt felület , a ennek a felületnek az egységnyi normálvektora. A normál irányának meg kell egyeznie a kontúr irányával .

Példa 2.1. Számítsa ki a felületi integrált

,

ahol - a kúp külső része
(
) elvágta a repülő
(2.1. ábra).

Megoldás. Felület egyedülállóan a területre vetítve
repülőgép
, és az integrált a (2.2) képlettel számítjuk ki.

Mértékegység felületi normálvektor a (2.3) képlettel megtaláljuk: . Itt a normál kifejezésben a pluszjelet választjuk, mivel a szög tengely között és normális buta és ezért negatívnak kell lennie. Tekintettel arra , felületen kapunk

Vidék
van egy kör
. Ezért az utolsó integrálban átlépünk poláris koordinátákra, míg
,
:

Példa 2.2. Keresse meg egy vektormező divergenciáját és görbületét
.

Megoldás. A (2.4) képlettel megkapjuk

Ennek a vektormezőnek a rotorját a (2.5) képlet határozza meg.

2.3. példa. Keresse meg egy vektormező áramlását
a repülőgép egy részén :
az első oktánsban található (a normál hegyesszöget zár be a tengellyel
).

	Megoldás. A (2.6) képlet szerint . Rajzold meg a sík egy részét : első oktánsában található. Ennek a síknak a szegmensekben az egyenlete alakja (2.3. ábra). A sík normálvektorának koordinátái vannak: , egységnyi normálvektor
	. . , , ahol , Következésképpen

ahol
- síkivetítés a
(2.4. ábra).

Példa 2.4. Számítsa ki a vektormező áramlását egy zárt felületen keresztül! a sík alkotja
és a kúp egy része
(
) (2.2. ábra).

Megoldás. Az Ostrogradsky-Gauss képletet (2.8) használjuk.

.

Határozzuk meg a vektormező divergenciáját! a (2.4) képlet szerint:

ahol
annak a kúpnak a térfogata, amelyen az integrációt végrehajtják. A kúp térfogatának kiszámításához a jól ismert képletet használjuk
(a kúp alapjának sugara, - magas). A mi esetünkben megkapjuk
. Végre megkapjuk

.

Példa 2.5. Számítsa ki a vektormező cirkulációját
a kontúr mentén felületek metszéspontjából alakul ki
és
(
). Ellenőrizze az eredményt a Stokes-képlet segítségével.

Megoldás. Ezeknek a felületeknek a metszéspontja egy kör
,
(2.1. ábra). Az elkerülő út irányát általában úgy választják meg, hogy az általa határolt terület balra maradjon. Felírjuk a kontúr paraméteres egyenleteit :

ahol

ahol a paraméter től változik előtt
. A (2.7) képlet alapján (2.1) és (2.10) figyelembe vételével megkapjuk

.

Most alkalmazzuk a Stokes-képletet (2.9). Felületként , átívelve a kontúron , részt vehetsz a repülőn
. Normál irány
ehhez a felülethez összhangban van a kontúr bejárási irányával . Ennek a vektormezőnek a görbületét a 2.2. példában számítjuk ki:
. Ezért a kívánt keringés

ahol
- a régió területe
.
- sugarú kör
, ahol

1. A hengeres koordináták a poláris koordináták xy síkban való kapcsolatát jelentik a szokásos derékszögű z alkalmazással (3. ábra).

Legyen M(x, y, z) egy tetszőleges pont az xyz térben, P az M pont xy síkra való vetülete. Az M pontot egyértelműen egy számhármas határozza meg - a P pont polárkoordinátái, z - az M pont alkalmazása.

Display Jacobian (8)

2. példa.

Integrál kiszámítása

ahol T a felületek által határolt terület

Megoldás. Adjuk át az integrált gömbkoordinátákra a (9) képlet alapján. Ekkor az integráció tartománya az egyenlőtlenségekkel adható meg

És az azt jelenti

3. példa Határozza meg a test térfogatát, amelyet a következő határol:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Van: x 2 +y 2 +z 2 =8 - R= v8 sugarú gömb O(000) középpontjában,

A kúp felső része z 2 \u003d x 2 + y 2 Oz szimmetriatengellyel és egy csúcstal az O pontban (2.20. ábra).

Keressük meg a gömb és a kúp metszésvonalát:

És mivel a z feltétel szerint? 0, akkor

A z=2 síkban fekvő R=2 kör.

Ezért a (2.28) szerint

ahol az U tartomány felülről határolt

(a gömb része),

(kúp része);

Az U régiót az Oxy síkon a D tartományba vetítjük – egy 2 sugarú körbe.

Ezért célszerű a hármas integrált hengeres koordinátákba a (2.36) képletekkel átadni:

A q, r változásának határai a D v teljes kör R=2 területen találhatók, amelynek középpontja az O pontban van, így: 0?c?2p, 0?r?2. Így az U tartományt hengeres koordinátákban a következő egyenlőtlenségek adják meg:

vegye észre, az

Töltse le a Depositfiles oldalról

Tripla integrál.

Tesztkérdések.

Tripla integrál, tulajdonságai.

Változók változása a hármas integrálban. számítás hármas integrál hengeres koordinátákban.

A hármas integrál számítása gömbkoordinátákban.

Hagyja a függvényt u= f(x,y,z) egy korlátozott zárt tartományban van definiálva V tér R 3. Osszuk fel a területet V véletlenszerűen bekapcsolva n alapvető zárt területek V 1 , … ,V n amelynek kötetei  V 1 , …,  V n illetőleg. Jelöli d a régió átmérői közül a legnagyobb V 1 , … ,V n. Minden területen V k válasszon egy tetszőleges pontot P k (x k ,y k ,z k) és komponálni integrál összeg funkciókat f(x, y,z)

S =

Meghatározás.hármas integrál funkcióból f(x, y,z) terület szerint V integrálösszeg határának nevezzük
ha létezik.

Ily módon

(1)

Megjegyzés. Integrált összeg S attól függ, hogy a régió hogyan van felosztva V és pontválasztás P k (k=1, …, n). Ha azonban van korlát, akkor az nem attól függ, hogy a régió hogyan van felosztva Vés pontválasztás P k. Ha összehasonlítjuk a kettős és a hármas integrálok definícióit, akkor könnyű teljes analógiát látni bennük.

Elégséges feltétele a hármas integrál létezésének. A (13) hármas integrál létezik, ha a függvény f(x, y,z) korlátozott Vés folyamatos be V, kivéve a véges számú darabonként sima felületet, amelyek ben helyezkednek el V.

A hármas integrál néhány tulajdonsága.

1) Ha TÓL TŐL akkor egy numerikus állandó

3) Additivitás a területen. Ha a terület V területekre osztva V 1 és V 2, akkor

4) Testtérfogat V egyenlő

(2 )

A hármas integrál számítása derékszögű koordinátákkal.

Hadd D testvetítés V a repülőhöz xOy, felületek z=φ 1 (x,y),z=φ 2 (x, y) korlátozza a testet V alatt, illetve felül. Ez azt jelenti

V = {(x, y, z): (x, y)D , φ 1 (x,y)≤ z ≤ φ 2 (x,y)}.

Egy ilyen testet fogunk nevezni z- hengeres. Hármas integrál (1) vége z- hengeres test V-re megy ki ismételt integrál, amely kettős és határozott integrálokból áll:

(3 )

Ebben az iterált integrálban a belső határozott integrál változó szerint z, ahol x, yállandónak minősülnek. Ezután kiszámítjuk az eredményül kapott függvény dupla integrálját a területen D.

Ha egy V x- hengeres ill y- hengeres test, akkor a képletek helyesek, ill

Az első képletben D  testvetítés V a koordinátasíkra yOz, a másodikban pedig - a gépen xOz

Példák. 1) Számítsa ki a test térfogatát V felületek határolják z = 0, x 2 + y 2 = 4, z = x 2 + y 2 .

Megoldás. Számítsa ki a térfogatot a hármas integrál segítségével a (2) képlet szerint!

Menjünk át az iterált integrálra a (3) képlettel.

Hadd D kör x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , y ) = 0, φ 2 (x , y )= x 2 +y 2. Ekkor a (3) képlet alapján megkapjuk

Ennek az integrálnak a kiszámításához áttérünk a poláris koordinátákra. Ugyanakkor a kör D halmazzá alakítva

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Test V felületekre korlátozódik z=y , z= -y , x= 0 , x= 2, y= 1. Számítsa ki

repülőgépek z=y , z = -y korlátozza a testet, alulról és felülről, síkok x= 0 , x= 2 korlátozza a testet, hátul és elöl, valamint a síkot y= 1 határ a jobb oldalon. V-z- hengeres test, vetülete D a repülőhöz nehéz bárka egy téglalap OABC. Tegyük fel φ 1 (x , y ) = -y

Példák tetszőleges hármas integrálok megoldására.
A hármas integrál fizikai alkalmazásai

A lecke 2. részében kidolgozzuk a tetszőleges hármas integrálok megoldásának technikáját , amelynek integrandja három változó függvénye általános esetben eltér egy állandótól és folytonos a régióban; és megismerkedjen a hármas integrál fizikai alkalmazásaival is

Az újonnan érkezett látogatóknak ajánlom kezdésként az 1. résszel, ahol áttekintettük az alapfogalmakat ill a test térfogatának megtalálásának problémája hármas integrál segítségével . A többihez azt javaslom, ismételje meg kicsit három változó derivált függvényei , mivel a cikk példáiban azt fogjuk használni fordított működés – részleges integráció funkciókat.

Ezen kívül van még egy fontos szempont: ha nem érzed jól magad, akkor jobb, ha lehetőség szerint elhalasztod ennek az oldalnak az elolvasását. És a lényeg nem csak az, hogy a számítások bonyolultsága most nőni fog - a legtöbb hármas integrálnak nincs megbízható módszere a kézi ellenőrzésre, ezért nagyon nem kívánatos, hogy fáradt állapotban kezdje el megoldani őket. Alkalmas alacsony tónusokhoz hamarabb megold valamit vagy csak egy kis szünetet (türelmes vagyok, várok =)), hogy máskor friss fejjel folytassuk a hármas integrálok mészárlását:

13. példa

Számítsa ki a hármas integrált

A gyakorlatban a törzset is betűvel jelölik, de ez nem túl jó lehetőség, mivel a "ve" a térfogat megjelölésére van fenntartva.

Hadd mondjam el, mit NE tegyél. Nem kell használni linearitási tulajdonságok és az integrált mint . Bár ha nagyon akarod, megteheted. A végén van egy kis plusz - a felvétel hosszú lesz, de kevésbé zsúfolt. De ez a megközelítés még mindig nem szabványos.

Az algoritmusban megoldásokat kevés lesz az újdonság. Először is foglalkoznia kell az integráció területével. A test síkra vetítése fájdalmasan ismerős háromszög:

A test felülről korlátozott repülőgép , amely áthalad az origón. Előzetesen egyébként kell feltétlenül ellenőrizze(mentálisan vagy tervezet szerint) hogy ez a sík "levágja-e" a háromszög egy részét. Ehhez megkeressük a koordinátasíkkal való metszésvonalát, azaz. oldja meg a legegyszerűbb rendszert: - nem, adott egyenes (nem a rajzon)"elhalad", és a test síkra vetítése valóban háromszög.

A térbeli rajz itt sem bonyolult:

Valójában csak rájuk korlátozódhat az ember, mivel a vetítés nagyon egyszerű. …Nos, vagy csak vetítést rajzolni, hiszen a test is egyszerű =) De nem rajzolni semmit, emlékeztetem, rossz választás.

És természetesen nem tehetek mást, mint a tetszését az utolsó feladattal:

19. példa

Keresse meg a felületekkel határolt homogén test súlypontját, . Tervrajzok végrehajtása adott testés síkra vetítése.

Megoldás: a kívánt test korlátozott koordinátasíkokés sík , amely a későbbi építés céljából kényelmes szegmensekben van jelen : . Válasszuk az "a"-t mértékegységnek, és készítsünk háromdimenziós rajzot:

A rajz már beállította a súlypont kész pontját, azonban ezt egyelőre nem ismerjük.

A test síkra vetítése nyilvánvaló, de ennek ellenére hadd emlékeztessem önöket arra, hogyan találja meg analitikusan - elvégre ilyen egyszerű esetek nem mindig találhatók meg. Annak a vonalnak a megtalálásához, amely mentén a síkok metszik egymást, meg kell oldania a rendszert:

Az 1. egyenletben szereplő értéket behelyettesítjük: és megkapjuk az egyenletet "lapos" egyenes :

Számítsa ki a test súlypontjának koordinátáit a képletekkel!
, hol a test térfogata.