Megoldásához pedig minimális témaismeret szükséges. Vége a következő tanévnek, mindenki nyaralni szeretne, és hogy közelebb hozzam ezt a pillanatot, azonnal nekiállok:

Kezdjük a területtel. A feltételben említett terület az korlátozott zárva pontok halmaza a síkban. Például egy háromszög által határolt pontok halmaza, beleértve a TELJES háromszöget is (ha honnan határok Legalább egy pontot „bökjön ki”, akkor a terület többé nem lesz lezárva). A gyakorlatban vannak téglalap alakú, kerek és valamivel több területek is összetett formák. Meg kell jegyezni, hogy elméletben matematikai elemzés szigorú definíciók vannak megadva korlátok, elszigeteltség, határok stb., de szerintem intuitív szinten mindenki tisztában van ezekkel a fogalmakkal, és többre most nincs is szükség.

A sík területet szabványosan betűvel jelölik, és általában analitikusan adják meg - több egyenlettel (nem feltétlenül lineáris); ritkábban egyenlőtlenségek. Tipikus verbális forgalom: "sorokkal határolt zárt terület".

A vizsgált feladat szerves részét képezi a terület rajzon történő felépítése. Hogyan kell csinálni? Az összes felsorolt ​​vonalat meg kell húzni (ebben az esetben a 3 egyenes), és elemezze a történteket. A kívánt területet általában enyhén sraffozzuk, és a szegélyét vastag vonallal kiemeljük:


Ugyanaz a terület állítható be lineáris egyenlőtlenségek: , amelyeket valamiért gyakrabban írnak felsorolási listaként, és nem rendszer.
Mivel a határ a régióhoz tartozik, akkor természetesen minden egyenlőtlenség, nem szigorú.

És most a dolog lényege. Képzeld el, hogy a tengely a koordináták origójától egyenesen hozzád tart. Vegyünk egy olyan funkciót, amely folyamatos az összesben területi pont. Ennek a függvénynek a grafikonja az felület, és az a kis boldogság, hogy a mai probléma megoldásához egyáltalán nem kell tudnunk, hogy néz ki ez a felület. Elhelyezhető fent, lent, keresztezheti a síkot - mindez nem fontos. És a következő fontos: szerint Weierstrass-tételek, folyamatos ban ben korlátozottan zárva területen a funkció eléri a maximumát (a "legmagasabb" közül)és a legkevésbé (a "legalacsonyabb" közül) fellelhető értékek. Ezeket az értékeket elérték vagy ban ben álló pontok, régióhoz tartozóD , vagy pontokon, amelyek e régió határán fekszenek. Ebből egy egyszerű és átlátható megoldási algoritmus következik:

1. példa

Korlátozottan zárt területen

Megoldás: Először is ábrázolnia kell a területet a rajzon. Sajnos technikailag nehéz interaktív modellt készíteni a problémáról, ezért azonnal adom a végső illusztrációt, amely bemutatja a vizsgálat során talált összes "gyanús" pontot. Általában egymás után teszik le őket, ahogy megtalálják:

A preambulum alapján a döntés kényelmesen két pontra osztható:

I) Keressünk stacionárius pontokat. Ez egy szokásos művelet, amelyet többször is végrehajtottunk a leckében. több változó szélsőségeiről:

Álló pont található tartozik területek: (jelölje meg a rajzon), ami azt jelenti, hogy ki kell számítanunk a függvény értékét egy adott pontban:

- mint a cikkben Egy függvény legnagyobb és legkisebb értéke egy szegmensen, a fontos eredményeket félkövérrel emelem ki. A jegyzetfüzetben kényelmesen körkézheti őket ceruzával.

Figyeljünk a második boldogságunkra – nincs értelme ellenőrizni elégséges feltétel az extrémumhoz. Miért? Még akkor is, ha azon a ponton, ahol a függvény eléri pl. helyi minimum , akkor ez NEM JELENTI, hogy a kapott érték lesz minimális az egész régióban (lásd az óra elejét a feltétlen szélsőségekről) .

Mi van akkor, ha az állópont NEM tartozik a területhez? Majdnem semmi! Ezt meg kell jegyezni, és ugorjon a következő bekezdésre.

II) Megvizsgáljuk a régió határát.

Mivel a szegély egy háromszög oldalaiból áll, célszerű a tanulmányt 3 albekezdésre osztani. De jobb, ha nem akárhogyan csinálod. Az én szempontomból előnyösebb, ha először párhuzamos szegmenseket veszünk figyelembe koordináta tengelyek, és mindenekelőtt maguk a fejszéken fekvők. A műveletek teljes sorrendjének és logikájának megértéséhez próbálja meg tanulmányozni a befejezést "egy lélegzettel":

1) Foglalkozzunk a háromszög alsó oldalával. Ehhez közvetlenül behelyettesítjük a függvénybe:

Alternatív megoldásként megteheti a következőképpen:

Geometriailag ez azt jelenti Koordináta sík (amit az egyenlet is megad)"kivágni" -ból felületek"térbeli" parabola, amelynek teteje azonnal gyanúba kerül. Találjuk ki hol van ő:

- a kapott érték "talált" a területen, és könnyen lehet, hogy pont az (jel a rajzon) a függvény eléri a legnagyobb vagy legkisebb értéket a teljes területen. Mindegy, végezzük el a számításokat:

A többi „jelölt” természetesen a szegmens végei. Számítsa ki a függvény értékeit a pontokban! (jel a rajzon):

Itt egyébként szóbeli mini-ellenőrzést végezhet a "lecsupaszított" verziónál:

2) A háromszög jobb oldalának tanulmányozásához behelyettesítjük a függvénybe, és „rendet rakunk ott”:

Itt azonnal végrehajtunk egy durva ellenőrzést, „becsengetve” a szegmens már feldolgozott végét:
, tökéletes.

A geometriai helyzet az előző ponthoz kapcsolódik:

- az így kapott érték is „bekerült az érdeklődési körünkbe”, ami azt jelenti, hogy ki kell számítanunk, hogy a megjelenő pontban mennyivel egyenlő a függvény:

Vizsgáljuk meg a szegmens második végét:

A funkció használata , nézzük meg:

3) Valószínűleg mindenki tudja, hogyan kell felfedezni a fennmaradó oldalt. Behelyettesítjük a funkcióba és egyszerűsítéseket hajtunk végre:

A sor véget ér már megvizsgálták, de a tervezeten még mindig ellenőrizzük, hogy helyesen találtuk-e a funkciót :
– egybeesett az 1. albekezdés eredményével;
– egybeesett a 2. albekezdés eredményével.

Azt kell kideríteni, hogy van-e valami érdekes a szegmensben:

- egyél! Egy egyenest behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk ennek az „érdekességnek” az ordinátáját:

Jelölünk egy pontot a rajzon, és megtaláljuk a függvény megfelelő értékét:

Vezessük a számításokat a „költségvetési” változat szerint :
, rendelés.

És az utolsó lépés: Óvatosan nézd át az összes "kövér" számot, kezdőknek is ajánlom, hogy készítsenek egyetlen listát:

amelyek közül kiválasztjuk a legnagyobb és a legkisebb értékeket. Válaszírja le a megtalálási probléma stílusában a függvény legnagyobb és legkisebb értéke az intervallumon:

Még egyszer hozzászólok minden esetre. geometriai jelentése eredmény:
– itt van a felszín legmagasabb pontja a régióban;
- itt van a felszín legalacsonyabb pontja a területen.

Az elemzett feladatban 7 „gyanús” pontot találtunk, de ezek száma feladatonként változik. Háromszög alakú régió esetén a minimális "feltárási halmaz" a következőkből áll három pont. Ez akkor fordul elő, amikor például a függvény be van állítva repülőgép– teljesen egyértelmű, hogy nincsenek stacionárius pontok, és a funkció elérheti a maximumot / a legkisebb értékeket csak a háromszög csúcsainál. De nincs ilyen példa egyszer, kétszer - általában meg kell küzdenie valamivel 2. rendű felület.

Ha egy kicsit megoldod az ilyen feladatokat, akkor a háromszögek felpörgetik a fejedet, ezért szokatlan példákkal készültem, hogy négyzet alakú legyen :))

2. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét zárt területen vonalak határolják

3. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy korlátozott zárt területen.

Különös figyelmet kell fordítani a terület határának tanulmányozásának racionális rendjére és technikájára, valamint a közbenső ellenőrzések láncolatára, amellyel szinte teljesen elkerülhetők a számítási hibák. Általánosságban elmondható, hogy tetszés szerint megoldhatja, de bizonyos problémáknál, például ugyanabban a 2. példában, minden esély megvan arra, hogy jelentősen megnehezítse az életét. Hozzávetőleges példa a feladatok befejezésére az óra végén.

A megoldási algoritmust rendszerezzük, különben az én pók szorgalmammal valahogy elveszett az 1. példa hosszú kommentszálában:

- Első lépésben egy területet építünk, célszerű árnyékolni, és vastag vonallal kiemelni a szegélyt. A megoldás során olyan pontok jelennek meg, amelyeket fel kell tenni a rajzra.

– Álló pontok keresése és a függvény értékeinek kiszámítása csak azokban, amelyek a területhez tartoznak . A kapott értékek kiemelve vannak a szövegben (például ceruzával bekarikázva). Ha az állópont NEM tartozik a területhez, akkor ezt a tényt ikonnal vagy szóban jelöljük. Ha egyáltalán nincsenek stacioner pontok, akkor írásos következtetést vonunk le, hogy hiányoznak. Mindenesetre ezt a tételt nem lehet kihagyni!

– A határvidék feltárása. Először is előnyös olyan egyenesekkel foglalkozni, amelyek párhuzamosak a koordinátatengelyekkel (ha vannak). A „gyanús” pontokon számított függvényértékek szintén kiemelve vannak. A fenti megoldási technikáról sok szó esett, és alább még más is elhangzik - olvass, olvass újra, mélyedj el!

- A kiválasztott számok közül válassza ki a legnagyobb és legkisebb értéket, és adjon választ. Néha előfordul, hogy a függvény egyszerre több ponton ér el ilyen értékeket - ebben az esetben ezeknek a pontoknak tükröződniük kell a válaszban. Legyen pl. és kiderült, hogy ez a legkisebb érték. Akkor ezt írjuk

Az utolsó példákat más hasznos ötleteknek szenteljük, amelyek hasznosak lesznek a gyakorlatban:

4. példa

Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy zárt területen .

Megtartottam a szerző megfogalmazását, amelyben a terület kettős egyenlőtlenségként van megadva. Ezt a feltételt egy ekvivalens rendszerben vagy hagyományosabb formában is felírhatjuk erre a problémára:

Emlékeztetlek arra, hogy nem lineáris oldalon egyenlőtlenségekkel találkoztunk, és ha nem érti a bejegyzés geometriai jelentését, akkor kérem, ne késlekedjen, és most azonnal tisztázza a helyzetet ;-)

Megoldás, mint mindig, a terület beépítésével kezdődik, ami egyfajta "talp":

Hmm, néha nem csak a tudomány gránitját kell rágni...

I) Álló pontok keresése:

Idióta álomrendszer :)

Az állópont a régióhoz tartozik, vagyis annak határán fekszik.

És hát ez nem semmi... szórakoztató lecke ment – ​​ezt jelenti a megfelelő teát inni =)

II) Megvizsgáljuk a régió határát. Minden további nélkül kezdjük az x tengellyel:

1) Ha , akkor

Keresse meg, hol van a parabola teteje:
- Értékeld az ilyen pillanatokat - "találj" pont a lényegre, ahonnan már minden világos. De ne felejtsd el ellenőrizni:

Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmens végén:

2) A „talp” alsó részével „egy ülésben” fogunk foglalkozni - minden komplexus nélkül behelyettesítjük a funkcióba, sőt, csak a szegmens érdekelni fog minket:

Ellenőrzés:

Most ez már némi felélénkülést hoz a recés pályán való monoton utazásba. Keressük a kritikus pontokat:

Mi döntünk másodfokú egyenlet emlékszel erre? ... De persze ne feledje, különben nem olvasná ezeket a sorokat =) Ha az előző két példában a számítások kényelmesek voltak tizedes törtek(ami egyébként ritka), akkor itt a szokásos közönséges törtekre várunk. Megkeressük az „x” gyököket, és az egyenlet segítségével meghatározzuk a „jelölt” pontok megfelelő „játék” koordinátáit:


Számítsuk ki a függvény értékeit a talált pontokban:

Ellenőrizze saját maga a funkciót.

Most alaposan tanulmányozzuk a megnyert trófeákat, és írjuk le válasz:

Itt vannak a „jelöltek”, tehát a „jelöltek”!

Mert független megoldás:

5. példa

Keresse meg a legkisebb és legnagyobb érték funkciókat zárt területen

Egy göndör zárójeles bejegyzés így hangzik: „pontok halmaza olyan, hogy”.

Néha be hasonló példák használat Lagrange-szorzó módszer, de valószinűleg nem merül fel a használatának valódi igénye. Tehát például ha egy azonos területű "de" függvényt adunk meg, akkor behelyettesítés után - nehézségek nélküli deriválttal; ráadásul minden „egy sorban” (jelekkel) van megrajzolva, anélkül, hogy a felső és alsó félkört külön kellene figyelembe venni. De persze van több is nehéz esetek, ahol a Lagrange függvény nélkül (ahol például ugyanaz a köregyenlet) nehéz boldogulni – milyen nehéz kibírni egy jó pihenés nélkül!

Minden jót, hogy sikeres legyen a foglalkozás, és hamarosan találkozunk a következő szezonban!

Megoldások és válaszok:

2. példa: Megoldás: rajzolja meg a területet a rajzon:

Definíció 1.11 Legyen két változó függvénye adott z=z(x,y), (x,y) D . Pont M 0 (x 0 ;y 0 ) - a terület belső pontja D .

Ha be D van ilyen környék UM 0 pontokat M 0 , amely minden pontra vonatkozik

majd pont M 0 helyi maximumpontnak nevezzük. De maga a jelentés z(M 0 ) - helyi maximum.

De ha minden pontra

majd pont M 0 a függvény lokális minimumpontjának nevezzük z(x,y) . De maga a jelentés z(M 0 ) - helyi minimum.

A lokális maximumot és a lokális minimumot a függvény lokális szélsőértékének nevezzük z(x,y) . ábrán Az 1.4 elmagyarázza a helyi maximum geometriai jelentését: M 0 a maximum pont, hiszen a felszínen z=z(x,y) megfelelő pontja C 0 bármely szomszédos pont felett van C (ez a maximum helye).

Vegye figyelembe, hogy a felület egészén vannak pontok (pl. BAN BEN ), amelyek fent vannak C 0 , de ezek a pontok (pl. BAN BEN ) nem „szomszédos” a ponttal C 0 .

Különösen a lényeg BAN BEN megfelel a globális maximum fogalmának:

A globális minimum definíciója hasonló:

A globális maximumok és minimumok meghatározását az 1.10. szakasz tárgyalja.

Tétel 1.3 ( a szükséges feltételeket extrémum).

Hagyja a függvényt z =z (x, y), (x, y) D . Pont M 0 (x 0 ;y 0 D - helyi extrémum pont.

Ha ezen a ponton vannak z" x És z" y , azután

A geometriai bizonyíték „nyilvánvaló”. Ha azon a ponton C 0 rá (1.4. ábra) érintősíkot rajzolni, akkor az "természetesen" vízszintesen, azaz szögben halad 0° a tengelyhez Ó és a tengelyhez OU .

Ezután a parciális deriváltak geometriai jelentésének megfelelően (1.3. ábra):

Q.E.D.

Meghatározás 1.12.

Ha azon a ponton M 0 (1.41) feltételek teljesülnek, akkor a függvény stacionárius pontjának nevezzük z (x,y) .

1.4. Tétel (elegendő feltétel egy szélsőséghez).

Hadd z =z (x, y), (x, y) D , amelynek a pont valamely szomszédságában másodrendű parciális deriváltjai vannak M 0 (x 0 ,y 0 ) D . És M 0 - állópont (azaz a szükséges feltételek (1.41) teljesülnek). Számoljunk:

A tétel bizonyítása olyan témákat használ (Taylor-képlet több változó függvényére és a másodfokú alakok elmélete), amelyekkel ez az oktatóanyag nem foglalkozik.

1.13. példa.

Fedezd fel a végletekig:

1. Állandó pontok keresése az (1.41) rendszer segítségével:

vagyis négy stacionárius pontot találunk. 2.

az 1.4 Tétel szerint egy pontban minimum. És

pontban az 1.4 Tétel szerint

Maximális. És

§10 Két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értéke egy zárt tartományban

1.5. Tétel Legyen zárt tartományban D funkció adott z=z(x,y) , amelynek elsőrendű folytonos parciális deriváltjai vannak. Határ G területeken D darabonként sima (azaz "sima tapintású" görbékből vagy egyenes vonalakból áll). Aztán a környéken D funkció z(x,y) eléri a legmagasabbat M és a legkevésbé m értékeket.

Bizonyíték nélkül.

A következő tervet javasolhatja a megtaláláshoz M És m . 1. Építünk egy rajzot, kijelöljük a területhatár összes részét D és megtalálja a határ összes "sarokpontját". 2. Keresse meg az álló pontokat belül D . 3. Keressen stacionárius pontokat az egyes határokon. 4. Minden álló- és sarokponton számolunk, majd kiválasztjuk a legnagyobbat M és a legkevésbé m értékeket.

1.14. példa Keresse meg a legnagyobbat M és a legkevésbé m függvényértékek z = 4x2-2xy+y2-8x zárt területen D , korlátozott: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Építsük meg a területet D (1.5. ábra) a síkon Ohu .

Sarokpontok: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Határ G területeken D három részből áll:

2. Keressen álló pontokat a területen belül D :

3. Álló pontok a határokon l 1 ,l 2 ,l 3 :

4. Számítson ki hat értéket:

A kapott hat érték közül kiválasztjuk a legnagyobbat és a legkisebbet.

Maximális és minimális értékek

A behatárolt zárt tartományba behatárolt függvény akár stacionárius, akár a tartomány határán fekvő pontokban éri el maximális és minimális értékét.

Egy függvény legnagyobb vagy legkisebb értékének megtalálásához a következőket kell tennie:

1. Keresse meg az adott régión belüli stacionárius pontokat, és számítsa ki bennük a függvény értékét!

2. Keresse meg a függvény legnagyobb (legkisebb) értékét a régió határán!

3. Hasonlítsa össze a függvény összes kapott értékét: a függvény legnagyobb (kisebb) és lesz a legnagyobb (legkisebb) értéke az adott területen.

2. példa. Keresse meg a függvény legnagyobb (legkisebb) értékét: körben.

Megoldás.

pont álló; .

2 .E zárt terület határa egy kör vagy , ahol .

A régió határán lévő függvény egy változó függvényévé válik: , ahol . Keressük meg ennek a függvénynek a legnagyobb és legkisebb értékét.

x=0 esetén; (0,-3) és (0,3) kritikus pontok.

Számítsa ki a függvény értékeit a szegmens végén!

3 . Az értékeket összevetve azt kapjuk

Az A és B pontokban.

A C és D pontokban.

3. példa Keresse meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét az egyenlőtlenség által megadott zárt területen:

Megoldás. A terület egy háromszög, amelyet a koordinátatengelyek és az x+y=1 egyenes határol.

1. Állandó pontok keresése a területen belül:

; ; y \u003d - 1/8; x = 1/8.

Az állópont nem tartozik a vizsgált területhez, így a benne lévő z értéke nem kerül kiszámításra.

2 .Vizsgálja meg a függvényt a határon. Mivel a határ három szakaszból áll, amelyeket három különböző egyenlet ír le, ezért minden szakaszon külön tanulmányozzuk a függvényt:

de) a 0A szakaszban: y=0 - 0A egyenlet, akkor ; az egyenletből jól látható, hogy a függvény 0A-val növekszik 0-ról 1-re.

b) a 0B szakaszban: x=0 - 0B egyenlet, akkor ; –6y+1=0; - kritikus pont.

ban ben) az x+y = 1 egyenesen: y=1-x, akkor megkapjuk a függvényt

Számítsuk ki a z függvény értékét a B(0,1) pontban.

3 .A számokat összevetve azt kapjuk

Az AB egyenesen.

A B pontban.

A tudás önkontrollának tesztjei.

egy . A függvény extrémuma az

a) elsőrendű származékai

b) egyenlete

c) az időbeosztását

d) maximuma vagy minimuma

2. Több változó függvényének extrémuma érhető el:

a) csak azokon a pontokon, amelyek a definíciós tartományán belül vannak, ahol minden elsőrendű parciális derivált nagyobb nullánál

b) csak azokban a pontokban, amelyek a definíciós tartományán belül vannak, ahol az összes elsőrendű parciális derivált kisebb, mint nulla

c) csak azokon a pontokon, amelyek a definíciós tartományán belül vannak, ahol az első rendű parciális deriváltok nem egyenlők nullával

d) csak a definíciós tartományán belüli pontokban, ahol az összes elsőrendű parciális derivált nulla

3. Egy korlátozott zárt területen folytonos függvény eléri maximális és minimális értékét:

a) álló pontokon

b) akár stacioner pontokon, akár a régió határán fekvő pontokon

c) a régió határán fekvő pontokon

d) minden ponton

4. A több változó függvényének stacionárius pontjait pontoknak nevezzük:

a) amelyben minden elsőrendű parciális derivált nem egyenlő nullával

b) amelyben minden elsőrendű parciális derivált nagyobb nullánál

c) amelyben minden elsőrendű parciális derivált nulla

d) amelyben minden elsőrendű parciális derivált kisebb, mint nulla

28. előadás Több változó függvényének feltételes szélsőértéke.

Számos változó függvényének tanulmányozása egy szélsőséghez sokkal bonyolultabb eljárás, mint egy hasonló eljárás egyetlen változó függvényeire. Ezért ezt a kérdést a két változó függvényének legegyszerűbb és legszemléletesebb példájára korlátozzuk (lásd az 1. ábrát). Itt M1(x1; y 1), M2(x2; y2), M3(x 3; y 3) ennek a függvénynek a szélső pontjai. Mégpedig a pontokat M 1És M 3 - a függvény minimumpontjai, és a pont M 2 a maximális pontja. Az 1. ábra három szélsőpontos függvényt mutat, de ezek a pontok természetesen lehetnek többé-kevésbé is.

Határozzuk meg pontosabban, hogy két változó függvényében mik a szélsőpontok.

Meghatározás. A funkciónak van maximális(minimális) egy ponton , ha valamely szomszédságban található bármely ponthoz - a pont szomszédságában , (). - a környéket olyan pontok halmazával lehet ábrázolni, amelyek koordinátái kielégítik a feltételt , ahol egy pozitív, kellően kis szám.

Egy függvény maximumát és minimumát nevezzük szélsőségek, de - szélső pont.

Legyen M0(x 0; y 0) a függvény valamely szélsőpontja (maximumpontja vagy minimumpontja). Azután

1. tétel.

Ha a szélső ponton M0(x 0; y 0) vannak részleges származékai És , akkor mindkettő egyenlő nullával:

2) Tekintsük most a függvényt . Mivel ennek a függvénynek a szélső értéke, majd ennek a függvénynek a deriváltja at y = y0, ha létezik, egyenlő nullával:

(3)

A tétel bizonyítást nyert.

Vegye figyelembe, hogy az (1) feltételek teljesülnek csak szükséges extrém körülmények a ponton M0(x 0; y 0) az ezen a ponton differenciálható függvény. Vagyis ezek a feltételek nem elegendő feltételeket mi a lényeg M0(x 0; y 0) a függvénynek szélsőértéke lesz (maximum vagy minimum). Más szóval, pont M0(x 0; y 0), amelyben mindkét (1) egyenlőség fennáll, az csak gyanús a függvény szélsőpontjához. Egy ilyen gyanús szélsőpont természetére vonatkozó végső következtetést a következő tétel segítségével lehet levonni (levezetés nélkül mutatjuk be):

2. tétel.(Elegendő feltételek egy extrémumhoz)

Legyen M0(x 0; y 0) egy ilyen pont a régióból D annak a függvénynek a meghatározása, hogy a függvény szélsőértékéhez szükséges feltételek (1) teljesülnek számára. Azaz M0(x 0; y 0) egy extrémum gyanús pont. Ezen a ponton keressünk számokat

(4)

1) Ha > 0 és > 0 (vagy С>0 nál nél A=0), azután M0(x 0; y 0) – funkció minimális pontja .

2) Ha > 0 és < 0 (vagy TÓL TŐL<0 nál nél A=0), azután M0(x 0; y 0) – funkció maximum pontja .

3) Ha < 0, majd pont M0(x 0; y 0) – nem a függvény szélső értéke .

4) Ha = 0, a kérdés nyitott marad – további kutatásra van szükség.

1. példa Legyen xÉs nál nél- két előállított áru mennyisége; p 1 = 8 dörzsölje. És p 2 = 10 dörzsölje. - az egyes áruk egységára; C= 0,01(x 2 + xy + y 2) az ezen áruk előállítási költségeinek (rubelben) függvénye. Aztán bevétel Ráru eladásából lesz R = 8x+10y(dörzsölje.), és a profit P lesz (rubelben)

P \u003d R - C \u003d 8x + 10y- 0,01(x2+xy+y2).

Keressük a köteteket xÉs nál néláruk, amelyeknél a profit P maximális lesz.

1) Először keresse meg az értékeket ( x;y), gyanús a függvény extrémumára P:

2) Most megvizsgáljuk a gyanúsnak talált extrémum függvényt P pont M 0(200; 400). Ehhez ezen a ponton megtaláljuk a (4) kifejezések által meghatározott értékeket. Mivel

és ez bármelyikre igaz X; nál nél), és így a pontnál is M 0(200; 400), akkor

Egy pont óta M 0(200; 400) – a függvény maximális pontja P. Ez a profit P az értékesítésből maximum at x = 200(Mértékegység)És y= 400(Mértékegység)és egyenlő 2800 rubel.

2. példa Keresse meg egy függvény szélső pontjait és szélsőértékeit

Megoldás. Ez a függvény két változó függvénye, amelyek bármelyikhez definiáltak xÉs nál nél, vagyis az egész síkon hogyan, és minden pontján elsőrendű részleges deriváltjai vannak:

Először keresse meg a sík pontjait hogyan, gyanús egy extrémum ehhez a függvényhez:

Ezután, miután megtaláltuk a függvény másodrendű parciális deriváltjait, felírjuk a kifejezéseket:

Ha most kiszámoljuk ezeknek a mennyiségeknek a számértékeit mind a négy szélsőértékre gyanús pontra, a következő következtetéseket vonjuk le ezekről a pontokról:

Pont min.

Pont max.

Nem extrém pont.

Nem extrém pont.

Most keressük meg a függvény két szélső (maximális) értékét, amelyek meghatározzák a függvény grafikonjának két csúcsának magasságát:

Két változó függvényének legnagyobb és legkisebb értékének meghatározása zárt területen.

Vegye figyelembe a következő problémát. Legyen két változó valamilyen folytonos függvénye egy zárt tartományban , ahol a tartomány belseje , és G- a szegélye (8.6. ábra).

Az a tény, hogy a függvény folytonos a tartományban, azt jelenti, hogy ennek a függvénynek a grafikonja (felület a térben) folytonos (szakadások nélküli) felület minden . Vagyis a két változó függvényének folytonosságának fogalma hasonló egy változó függvényének folytonosságának fogalmához. Az egy változó függvényeihez hasonlóan az elemi függvényekből képzett két változó függvényei folytonosak az argumentumaik minden értékére, amelyre definiálva vannak. Ez vonatkozik a három, négy vagy több változóból álló függvényekre is.

Térjünk vissza az ábrához. 2. Tegyük fel a következő kérdést: a tartomány mely pontjain éri el a függvény maximális és minimum értékét z legtöbbÉs z név? És mik ezek az értékek? Vegye figyelembe, hogy ez a probléma hasonló ahhoz, amelyet egy zárt intervallumon vett változó függvényében vettek figyelembe [ a; b] tengely Ó.

Nyilvánvaló, hogy a régió kívánt pontjai, amelyekben a függvény eléri a maximális és minimális értékeit, vagy ennek a függvénynek a szélső pontjai közé tartoznak, a régión belül (a régióban), vagy valahol a határon találhatók. G ez a terület. Egy zárt tartományban biztosan léteznek ilyen pontok (Weierstrass-tétel). És nyílt területen (határ nélkül G) előfordulhat, hogy ilyen pontok nem léteznek.

A fentiekből a következő következik. ezeknek a pontoknak a megtalálásának sémája, hasonló ahhoz, amelyet egy változó függvényeinél megadtak.

1. A függvény minden olyan pontját extrémum gyanúsnak találjuk, amely a területen található D. Ezek azok a pontok, ahol mindkét parciális derivált és egyenlő nullával (vagy az egyik egyenlő nullával, a másik pedig nem létezik, vagy mindkettő nem létezik).

2. Megtaláljuk a függvény minden gyanús szélsőpontját a határon G területeken. Ebben az esetben a határegyenletet használjuk G.

3. Anélkül, hogy megvizsgálnánk az 1. és 2. pontban talált gyanús pontokat (ez redundáns), minden talált gyanús pontban megtaláljuk a függvény értékeit, és kiválasztjuk azokat, ahol z lesz a legnagyobb és a legkisebb.

3. példa Megtalálni z legtöbbÉs z név függvényt zárt területen tekintjük, amely egy háromszög alakú lap csúcsokkal O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) (3. ábra).

Megoldás. Végezzük el a fenti diagramot.

1. Keresse meg a háromszög belsejét (a területen D) pontok, amelyekről azt gyanítják, hogy funkciónk szélsőségei z. Ehhez először megkeressük az elsőrendű és a parciális deriváltjait:

Ezek a származékok bármelyikre léteznek (ki lehet számítani). (x; y). Következésképpen csak azok a pontok lesznek extrémum gyanús pontok, amelyeknél mindkét parciális derivált nulla:

A lényeg nyilván a területhez tartozik D(a vizsgált háromszög). Vagyis egy adott függvény gyanús szélsőpontja z a háromszög belsejében, és ez az egyetlen.

2. Most keressük meg azokat a pontokat, amelyek a háromszög határán lévő szélsőségre gyanúsak.

a) Először megvizsgáljuk a helyszínt OA határok ( nál nél= 0; 0 £ x 1 GBP). Ezen a szakaszon egy változó függvénye található x. A származéka mindenki számára létezik xО . Ezért a függvény z lehet azon a ponton, ahol , azaz a pontban, vagy a szegmens végén OA, vagyis a pontokon RÓL RŐL(0; 0) és DE(1; 0).

b) Most fedezzük fel a helyszínt OV háromszög határok (ott x= 0; 0 £ nál nél 1 GBP). Ezen a szegmensen a függvény (0 £ nál nél£ 1) egy változó függvénye nál nél. Az (a) bekezdés indokolását megismételve arra a következtetésre jutunk, hogy a függvény szélső értékei z lehet a szegmens pontjában vagy a végén OV, vagyis a pontokon RÓL RŐL(0; 0) és B(0; 1).

c) Végül fedezze fel a helyszínt AB határok. Azóta AB(bizonyosodj meg róla) y = - x + 1 (0 £ x£ 1), akkor ott a függvény z a következő formát ölti: (0 £ x 1 GBP). Származéka tehát a szélsőérték-függvény z csak azt a pontot érheti el, ahol , azaz a pontba, vagy a szakasz végein AB, vagyis a pontokon DEÉs BAN BEN.

Tehát a függvény gyanús extrémumpontjainak teljes halmaza
háromszögben OAB ez:

; ; ; ; ; ; .

3. Most keressük meg a függvény értékeit z az összes talált gyanús pontban, és ezek közül az értékek közül válassza ki a legnagyobb értéket z legtöbbés a legkisebb érték z név:

Ily módon z max = 3 és a függvény által érhető el z háromszögben OAB egyszerre két ponton – annak csúcsaiban DEÉs BAN BEN. És a funkcióval érhető el z háromszögben OAB belső pontján.

4. példa A város költségvetésének lehetősége van legfeljebb 600 millió rubelt költeni szociális lakásokra, miközben projektjei és telkei 10 ötemeletes, egyenként 90 lakásos házhoz és 8 kilencemeletes, egyenként 120 lakásos házhoz. Egy lakás átlagos becsült költsége egy ötemeletes épületben 400 ezer rubel, egy kilencemeletes épületben pedig 500 ezer rubel. Hány ötemeletes és hány kilencemeletes épületet építsen a város, hogy a lehető legtöbb lakást megkapja?

Megoldás. Legyen x- a kívánt számú ötemeletes házak, y - kilencemeletes, és z- lakások teljes száma ezekben az épületekben:

z= 90x + 120y

Az ötemeletes épületekben található összes lakás ára 90 × 0,4 lesz x = 36x millió rubel, kilencemeletes épületekben pedig 120 × 0,5 nál nél = 60nál nél millió rubel. A probléma körülményei szerint a következőkkel rendelkezünk:

0 £ x 10 GBP; 0 £ nál nél 8 GBP; 36 x + 60nál nél 600 GBP

Ezek a korlátozó egyenlőtlenségek nyilvánvalóan teljesülnek az ötszögben (4. ábra). Ezen a zárt területen meg kell találni egy pontot M(x; y), amelyhez a függvény z= 90x + 120y a legmagasabb értéket veszi fel z legtöbb.

A fenti sémát alkalmazzuk az ilyen problémák megoldására.

1. Keresse meg az ötszögön belül azokat a pontokat, amelyekben gyanús a függvény szélsőértéke z. Mivel , és ezek a parciális deriváltak nyilvánvalóan nem egyenlők nullával, akkor az ötszögön belül nincsenek szélsőségekre gyanús pontok.

2. Keressük meg az ötszög határain lévő szélsőség gyanús pontjait. Az ötszög határát alkotó öt szakasz mindegyikén a függvény z az alak lineáris függvénye z = ax + by, és ennek következtében a szegmensek határain éri el maximális és minimális értékét. Vagyis a kívánt maximális érték z legtöbb funkció z eléri valamelyik sarokpontot (O; A; M 1; M 2; B). Az érték kiszámítása z ezeken a pontokon a következőket kapjuk:

z(RÓL RŐL) = 0; z( A) = 960; z( M1) = 1260; z( M2) = 1380; z( B) = 900.

Ily módon z naimb= 1380, és elérjük a pontban M2(10; 4). Vagyis a legtöbb lakást (1380) akkor kapják, ha 10 ötemeletes és 4 kilencemeletes ház épül.

5. példa. Bizonyítsuk be, hogy az adott 2p kerületű háromszögek közül az egyenlő oldalú háromszög területe a legnagyobb M(2p/3, 2p/3), mert a fennmaradó pontok nem elégítik ki a feladat értelmét: nem létezhet olyan háromszög, amelynek oldala egyenlő a kerület felével.

Vizsgálja meg a szélsőpontot M(2p/3, 2p/3):

∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);

D=AC-B2=;

D>0, és azóta DE<0 , akkor a függvény a vizsgált pontban eléri a maximumát. Tehát egyetlen stacionárius pontban a függvény eléri a maximumát, tehát a legnagyobb értéket; így mikor x=2p/3, y=2p/3 funkció eléri a maximális értékét. De aztán z=2p-x-y=2p/3. És azóta x=y=z, akkor a háromszög egyenlő oldalú.

Legyen az y=f(x) függvény folytonos a szakaszon. Mint ismeretes, egy ilyen függvény eléri a maximumát. és a névadás értékeket. A függvény ezeket az értékeket felveheti akár a szakasz belső pontján, akár a szakasz határán, pl. =a-val vagy =b-vel. Ha , akkor a pontot az adott függvény kritikus pontjai között kell keresni.

A következő szabályt kapjuk egy függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálásához:

1) keresse meg a függvény kritikus pontjait az (a,b) intervallumon;

2) kiszámítja a függvény értékeit a talált kritikus pontokon;

3) számítsa ki a függvény értékeit a szegmens végén, pl. az x=a és x=b pontokban;

4) a függvény összes számított értéke közül válassza ki a legnagyobbat és a legkisebbet.

Megjegyzések:

1. Ha az y=f(x) függvénynek a szakaszon csak egy kritikus pontja van, és ez a maximális (minimális) pont, akkor ezen a ponton a függvény a legnagyobb (legkisebb) értéket veszi fel.

2. Ha egy szakaszon az y=f(x) függvénynek nincsenek kritikus pontjai, akkor ez azt jelenti, hogy a függvény monoton növekszik vagy csökken rajta. Következésképpen a függvény a legnagyobb értékét (M) a szegmens egyik végén, a legkisebbet (m) a másik végén veszi fel.

60. Komplex számok. Moivre-képletek.
összetett szám név z = x + iy alakú kifejezés, ahol x és y valós számok, i pedig az ún. képzeletbeli egység, . Ha x=0, akkor a 0+iy=iy szám kerül hívásra. képzeletbeli szám; ha y=0, akkor az x+i0=x számot az x valós számmal azonosítjuk, ami azt jelenti, hogy az összes R halmaza érvényes. számok yavl. az összes komplex szám C halmazának egy részhalmaza, azaz. . Szám x név. z valós része, . Két komplex számot akkor és csak akkor nevezünk egyenlőnek (z1=z2), ha valós részeik egyenlőek és képzetes részeik egyenlőek: x1=x2, y1=y2. Konkrétan a Z=x+iy komplex szám akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha x=y=0. A „nagyobb, mint” és a „kisebb, mint” fogalmak komplex számokra nem kerültek bevezetésre. Két komplex számot, z=x+iy és , amelyek csak a képzeletbeli rész előjelében térnek el egymástól, konjugáltnak nevezzük.

Komplex számok geometriai ábrázolása.

Bármely z = x + iy komplex szám ábrázolható az Oxy sík M(x,y) pontjával úgy, hogy x=Re z, y=Im z. Ezzel szemben a koordinátasík minden M(x;y) pontja egy z = x + iy komplex szám képének tekinthető. Azt a síkot, amelyen a komplex számok vannak ábrázolva, komplex síknak nevezzük, mert z = x + 0i = x valós számok fekszenek rá. Az y tengelyt képzeletbeli tengelynek nevezzük, mivel a z = 0 + iy tisztán képzeletbeli komplex számok rajta vannak. A Z=x+iy komplex szám az r=OM=(x,y) sugárvektor segítségével adható meg. Egy z komplex számot reprezentáló r vektor hosszát e szám modulusának nevezzük, és |z| vagy r. A pozitív közötti szög A valós tengely és a komplex számot reprezentáló r vektor irányát nevezzük ennek a komplex számnak az argumentumának, amelyet Arg z vagy -vel jelölünk. A komplex szám argumentuma Z=0 nem definiált. Egy komplex szám argumentuma többértékű érték, és egészen addig a tagig van meghatározva, ahol arg z a () intervallumban lévő argumentum fő értéke, azaz. - (néha a (0; ) intervallumhoz tartozó értéket vesszük az argumentum fő értékének).

A z szám z=x+iy alakban történő felírását komplex szám algebrai alakjának nevezzük.

Műveletek komplex számokkal

Kiegészítés. Két z1=x1+iy1 és z2=x2+iy2 komplex szám összege a z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2) egyenlőséggel definiált komplex szám. A komplex számok összeadása kommutatív és asszociatív tulajdonságokkal rendelkezik: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Kivonás. A kivonást az összeadás inverzeként definiáljuk. A z1 és z2 komplex számok különbsége egy olyan z komplex szám, amelyet z2-vel összeadva a z1 számot kapjuk, azaz. z=z1-z2, ha z+z2=z1. Ha z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, akkor ebből a definícióból könnyen megkaphatjuk z-t: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Szorzás. A z1=x1+iy1 és z2=x2+iy2 komplex számok szorzata a z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2) egyenlőség által meghatározott komplex szám. Ebből különösen az következik: . Ha a számokat trigonometrikus formában adjuk meg: .

Ha komplex számokat szorozunk, akkor a moduljukat megszorozzuk, és az argumentumokat összeadjuk. De Moivre formula(ha n faktor van és mind egyforma): .