A függvény szélsőpontja a függvény tartományának az a pontja, ahol a függvény értéke felveszi a minimum ill. maximális érték. Az ezeken a pontokon lévő függvényértékeket a függvény szélsőértékeinek (minimum és maximum) nevezzük.

Meghatározás. Pont x1 funkció hatóköre f(x) nak, nek hívják a függvény maximális pontja , ha a függvény értéke ezen a ponton nagyobb, mint a függvény értékei a hozzá kellően közeli pontokban, amelyek tőle jobbra és balra helyezkednek el (azaz az egyenlőtlenség f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maximális.

Meghatározás. Pont x2 funkció hatóköre f(x) nak, nek hívják a függvény minimális pontja, ha a függvény értéke ezen a ponton kisebb, mint a függvény értékei a hozzá kellően közeli pontokban, amelyek tőle jobbra és balra helyezkednek el (azaz az egyenlőtlenség f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a függvény a pontban van x2 minimális.

Mondjuk a lényeget x1 - a függvény maximális pontja f(x) . Majd az intervallumban ig x1 funkciója növekszik, tehát a függvény deriváltja nagyobb nullánál ( f "(x) > 0 ), és az azt követő intervallumban x1 a függvény csökken, tehát függvény deriváltja nullánál kisebb ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Tegyük fel azt is, hogy a lényeg x2 - a függvény minimális pontja f(x) . Majd az intervallumban ig x2 a függvény csökken, és a függvény deriváltja kisebb, mint nulla ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 a függvény növekszik, és a függvény deriváltja nagyobb, mint nulla ( f "(x) > 0). Ebben az esetben is a ponton x2 a függvény deriváltja nulla vagy nem létezik.

Fermat tétel ( szükséges jel a függvény szélsőértékének megléte). Ha pont x0 - a függvény szélsőpontja f(x), akkor ezen a ponton a függvény deriváltja egyenlő nullával ( f "(x) = 0 ) vagy nem létezik.

Meghatározás. Meghívjuk azokat a pontokat, ahol egy függvény deriváltja egyenlő nullával, vagy nem létezik kritikus pontok .

1. példa Tekintsünk egy függvényt.

Azon a ponton x= 0 a függvény deriváltja egyenlő nullával, ezért a pont x= 0 a kritikus pont. A függvény grafikonján azonban látható, hogy a teljes definíciós tartományban növekszik, tehát a pont x A = 0 nem ennek a függvénynek a szélsőpontja.

Tehát azok a feltételek, hogy egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő nullával, vagy nem létezik, szükséges feltételek egy szélsőséghez, de nem elégségesek, hiszen más példákat is lehet adni olyan függvényekre, amelyekre ezek a feltételek teljesülnek, de a függvény nincs szélsőértéke a megfelelő pontban. Ezért elegendő jelzéssel kell rendelkeznie, amelyek lehetővé teszik annak megítélését, hogy egy adott kritikus ponton van-e szélsőség, és melyik - maximum vagy minimum.

Tétel (az első elégséges kritérium egy függvény szélsőértékének létezéséhez). Kritikus pont x0 f(x) , ha a függvény deriváltja ezen a ponton áthaladva előjelet vált, és ha az előjel "plusz"-ról "mínuszra" változik, akkor a maximum pont, ha pedig "mínusz"-ról "plusz", akkor a minimum pont .

Ha a pont közelében x0 , tőle balra és jobbra a derivált megtartja előjelét, ez azt jelenti, hogy a függvény vagy csak csökken, vagy csak a pont valamely környezetében nő. x0 . Ebben az esetben a ponton x0 nincs extrémum.

Így, a függvény szélsőpontjainak meghatározásához a következőket kell tennie :

1. Keresse meg egy függvény deriváltját.
2. Egyenlítse a derivált nullával, és határozza meg a kritikus pontokat.
3. Gondolatban vagy papíron jelölje be a kritikus pontokat a numerikus tengelyen, és határozza meg a kapott intervallumokban a függvény deriváltjának előjeleit. Ha a derivált előjele "pluszról" mínuszra változik, akkor a kritikus pont a maximumpont, ha pedig "mínuszról" "pluszra", akkor a kritikus pont a minimumpont.
4. Számítsa ki a függvény értékét a szélsőpontokban!

2. példa Keresse meg egy függvény szélsőértékét .

Megoldás. Keressük meg a függvény deriváltját:

Egyenlítse a derivált nullával, hogy megtalálja a kritikus pontokat:

.

Mivel az "x" bármely értékénél a nevező nem egyenlő nullával, a számlálót nullával egyenlővé tesszük:

Van egy kritikus pont x= 3. Meghatározzuk a derivált előjelét az e pont által határolt intervallumokban:

a mínusz végtelentől a 3-ig terjedő tartományban - mínusz jel, vagyis a függvény csökken,

a 3-tól a plusz végtelenig terjedő tartományban - pluszjel, vagyis a függvény növekszik.

Vagyis pont x= 3 a minimumpont.

Keresse meg a függvény értékét a minimum pontban:

Így a függvény szélsőpontja: (3; 0) , és ez a minimumpont.

Tétel (a függvény szélsőértékének létezésének második elégséges kritériuma). Kritikus pont x0 a függvény szélsőpontja f(x), ha a függvény második deriváltja ezen a ponton nem egyenlő nullával ( f ""(x) ≠ 0 ), sőt, ha a második derivált nagyobb, mint nulla ( f ""(x) > 0 ), akkor a maximális pont, és ha a második derivált kisebb, mint nulla ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Megjegyzés 1. Ha egy ponton x0 az első és a második származék is eltűnik, akkor ezen a ponton nem lehet a második elégséges jel alapján megítélni a szélsőség jelenlétét. Ebben az esetben az első elégséges kritériumot kell használnia a függvény szélsőértékéhez.

2. megjegyzés. A függvény szélsőértékére vonatkozó második elégséges kritérium akkor sem alkalmazható, ha az első derivált nem létezik a stacionárius pontban (akkor a második derivált sem létezik). Ebben az esetben is az első elégséges kritériumot kell használni a függvény szélsőértékéhez.

A függvény szélsőértékének lokális jellege

A fenti definíciókból következik, hogy egy függvény szélsőértéke lokális jellegű - ez a legnagyobb és legkisebb érték jellemzői a közeli értékekhez képest.

Tegyük fel, hogy a bevételeit egy éves időtartamra tekinti. Ha májusban 45 000 rubelt, áprilisban 42 000 rubelt, júniusban 39 000 rubelt keresett, akkor a májusi bevétel a maximális bevételi függvény a legközelebbi értékekhez képest. Októberben azonban 71 000 rubelt, szeptemberben 75 000 rubelt, novemberben 74 000 rubelt keresett, tehát az októberi bevétel a kereseti függvény minimuma a közeli értékekhez képest. És jól látható, hogy az április-május-június értékek között a maximum kevesebb, mint a szeptember-október-november minimum.

Általánosságban elmondható, hogy egy függvénynek több szélsőértéke lehet egy intervallumon, és kiderülhet, hogy a függvény bármely minimuma nagyobb, mint bármely maximum. Tehát a fenti ábrán látható függvényhez .

Vagyis nem szabad azt gondolni, hogy egy függvény maximuma és minimuma a maximális és minimális értéke a teljes vizsgált szegmensben. A maximum ponton a függvénynek csak azokhoz az értékekhez viszonyítva van a legnagyobb értéke, amelyek minden pontban kellően közel vannak a maximális ponthoz, a minimum ponton pedig csak azokhoz az értékekhez képest a legkisebb értéke, amelyek minden pontján kellően közel van a minimumponthoz.

Ezért finomíthatjuk a fent megadott függvény szélsőpontjainak fogalmát, és a minimumpontokat helyi minimumpontoknak, a maximumpontokat pedig pontoknak nevezhetjük. helyi maximum.

Együtt keressük a funkció szélsőségét

3. példa

Megoldás: A függvény definiált és folyamatos a teljes valós vonalon. A származéka a teljes számegyenesen is létezik. Ezért ebben az esetben csak azok, amelyeknél , azaz kritikus pontként szolgálnak. , honnan és . A kritikus pontokat és a függvény teljes tartományát három monotonitási intervallumra osztjuk: . Mindegyikben kiválasztunk egy-egy vezérlőpontot, és ezen a ponton keressük meg a derivált előjelét.

Az intervallumra vonatkoztatási pont lehet: találjuk. Ha egy pontot veszünk az intervallumban, azt kapjuk, hogy az intervallumban egy pontot veszünk, akkor . Tehát az intervallumokban és , és az intervallumban. Az első szerint elegendő jel szélsőség, a pontban nincs szélsőség (mivel a derivált az intervallumban megtartja előjelét), és a pontban a függvénynek minimuma van (mivel a derivált előjelet változtat mínuszról pluszra, amikor ezen a ponton halad át). Keresse meg a függvény megfelelő értékeit: , és . Az intervallumban a függvény csökken, mivel ebben az intervallumban , az intervallumban pedig nő, mivel ebben az intervallumban.

A gráf felépítésének tisztázására keressük meg annak metszéspontjait a koordinátatengelyekkel. Ha olyan egyenletet kapunk, amelynek gyöke és , azaz a függvény grafikonjának két pontja (0; 0) és (4; 0) található. Az összes kapott információ felhasználásával grafikont készítünk (lásd a példa elején).

A számítások során végzett önellenőrzéshez használhatja online származékos kalkulátor .

4. példa Keresse meg a függvény szélsőértékét, és készítse el a grafikonját.

A függvény tartománya a teljes számegyenes, kivéve a pontot, azaz. .

A vizsgálat lerövidítésére felhasználhatjuk azt a tényt, hogy ez a függvény páros, hiszen . Ezért a grafikonja szimmetrikus a tengelyre Oyés a vizsgálat csak az intervallumra végezhető el.

A származék megkeresése és a funkció kritikus pontjai:

1) ;

2) ,

de a függvény ezen a ponton törést szenved, így nem lehet szélsőpont.

Ily módon adott funkciót két kritikus pontja van: és . Figyelembe véve a függvény paritását, csak a pontot ellenőrizzük a szélsőérték második elégséges jelével. Ehhez megtaláljuk a második származékot és határozzuk meg a jelét a következő helyen: kapjuk. Mivel és , akkor a függvény minimumpontja, while .

Ahhoz, hogy teljesebb képet kapjunk a függvény grafikonjáról, nézzük meg annak viselkedését a definíciós tartomány határain:

(itt a szimbólum a vágyat jelzi x nullára a jobb oldalon, és x pozitív marad; hasonlóképpen törekvést jelent x nullára a bal oldalon, és x negatív marad). Így ha , akkor . Ezután megtaláljuk

,

azok. ha akkor .

A függvény grafikonjának nincs metszéspontja a tengelyekkel. A kép a példa elején található.

A számítások során végzett önellenőrzéshez használhatja online származékos kalkulátor .

Továbbra is közösen keressük a funkció szélsőségeit

8. példa Keresse meg a függvény szélsőértékét.

Megoldás. Keresse meg a függvény tartományát. Mivel az egyenlőtlenségnek fennállnia kell, ebből kapjuk.

Keressük meg a függvény első deriváltját.

A funkció helyi növekedésének és csökkenésének jelei.

Egy függvény vizsgálatának egyik fő feladata a növekedési és csökkenési intervallumok megtalálása. Egy ilyen vizsgálat könnyen elvégezhető a származék használatával. Fogalmazzuk meg a megfelelő állításokat.

Elegendő kritérium a funkció növeléséhez. Ha f'(x) > 0 az I intervallum minden pontjában, akkor az f függvény I-vel növekszik.

Elégséges kritérium egy függvény csökkenéséhez. Ha f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Ezen jellemzők bizonyítása a Lagrange-képlet alapján történik (lásd 19. fejezet). Vegyünk bármilyen két x számot 1 és x2 az intervallumból. Legyen x 1 van egy с∈(х 1 , x 2), úgy, hogy

(1)

A c szám az I intervallumhoz tartozik, mivel az x pontok 1 és x2 Ha f"(x)>0 x∈I esetén, akkor f'(с)>0, és ezért F(x) 1 )) — ez az (1) képletből következik, mivel x 2-x1 >0. Ez bizonyítja, hogy az f függvény növekszik I-n. Ha f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (x 2 ) az (1) képletből következik, mivel x 2-x1 >0. Bebizonyítjuk, hogy az f függvény I-en csökken.

A jelek vizuális jelentése egyértelmű a fizikai érvelésből (a határozottság érdekében vegyük figyelembe a növekedés jelét).

Legyen az y tengely mentén t időpontban mozgó pont y = f(t) y ordinátája. Ekkor ennek a pontnak a sebessége a t időpontban egyenlő f "(t)-vel (lásd az ábrát). Azonnali sebesség ). Ha f’ (t)>0 minden időpillanatban a t intervallumból, akkor a pont az y tengely pozitív irányába mozog, azaz ha t 1 ). Ez azt jelenti, hogy az f függvény növekszik az I intervallumon.

Megjegyzés 1.

Ha az f függvény a növekedési (csökkenési) intervallum bármelyik végén folytonos, akkor ez a pont ehhez az intervallumhoz kapcsolódik.

2. megjegyzés.

Az f "(x)>0 és f" (x) egyenlőtlenségek megoldása<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Szükséges és elégséges feltételek egy függvény szélsőértékének egy pontban való létezéséhez.

Az extrémum szükséges feltétele

A g(x) függvénynek egy pontban van extrémuma (maximum vagy minimum), ha a függvény a pont kétoldali szomszédságában van definiálva, és valamely terület minden x pontjára: , illetve az egyenlőtlenség

(maximum esetén) vagy (minimum esetén).

A függvény szélsőértéke a feltételből kereshető: ha létezik a derivált, azaz. egyenlővé tegyük a függvény első deriváltját nullával.

Megfelelő extrém állapot

1) Első elégséges állapot:

a) f(x) folytonos függvény, és egy pont valamely szomszédságában van definiálva úgy, hogy az adott pontban az első derivált nullával egyenlő, vagy nem létezik.

b) f(x) véges deriváltja van a függvény specifikációja és folytonossága közelében

c) a derivált megtart egy bizonyos előjelet a ponttól jobbra és ugyanattól a ponttól balra, akkor a pont a következőképpen jellemezhető

Ez a feltétel nem túl kényelmes, mivel sok feltételt kell ellenőrizni és meg kell jegyezni a táblázatot, de ha nem mondanak semmit a magasabb rendű deriváltokról, akkor csak így lehet megtalálni a függvény szélsőértékét.

2) Második elégséges feltétel

Ha a g(x) függvénynek van egy második deriváltja, és egy ponton az első derivált nullával egyenlő, a második derivált pedig nem nulla. Aztán a lényeg függvény szélsőség g(x), és ha , akkor a pont a maximum; ha , akkor a pont a minimum.

A szélsőség első elégséges jele a kritikus ponton való áthaladáskor az első derivált előjelének változása alapján fogalmazódik meg. Az extrémum második jelét alább, a 6.4. pontban tárgyaljuk.

Tétel (a szélsőség első jele) : Hax 0 a függvény kritikus pontjay=f(x) és a pont valamely szomszédságábanx 0 , balról jobbra haladva a derivált előjelet vált az ellenkezőjére, majdx 0 az extrémum pont. Sőt, ha a derivált előjele „+”-ról „-”-ra változik, akkorx 0 a maximális pont, ésf(x 0 ) - a függvény maximuma, és ha a derivált előjelet vált "-"-ról "+"-ra, akkorx 0 a minimum pont, ésf(x 0 ) a függvény minimuma.

A figyelembe vett szélsőség az helyi(helyi) karaktert, és érinti a kritikus pont valamely kis környékét.

Az extrém pontok és a megszakítási pontok a függvény definíciós tartományát monotonitási intervallumokra osztják.

6.3. példa. A 6.1 példában. kritikus pontokat találtunk x 1 =0 És x 2 =2.

Nézzük meg, hogy ezeken a pontokon a függvény y=2x 3 -6x 2 +1 szélsősége van. Helyettesítő a származékában
értékeket x a ponttól balra és jobbra x 1 =0 elég közeli környéken pl. x=-1És x=1. kap . Mivel a derivált előjelet „+”-ról „-”-ra változtat, akkor x 1 =0 a függvény maximumpontja és maximuma
. Most vegyünk két értéket x=1 és x=3 egy másik kritikus pont szomszédságából x 2 =2 . Ezt már bebizonyították
, de
. Mivel a derivált "-"-ről "+"-ra változtatja az előjelet, akkor x 2 =2 a minimum pont. És a függvény minimuma
.

Egy szakaszon folytonos függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálása
ki kell számítani az értékét minden kritikus ponton és a szegmens végén, majd ki kell választani közülük a legnagyobbat és a legkisebbet.

6.3. A függvénygráf konvexitásának és konkávságának jelei. Inflexiós pontok

Egy differenciálható függvény gráfját únkonvexegy intervallumon, ha az adott intervallum bármely érintője alatt helyezkedik el;homorú (lefelé domború), ha az intervallum bármely érintője felett helyezkedik el.

6.3.1. A gráf konvexitásának és konkávságának szükséges és elégséges jelei

a) Szükséges jellemzők

Ha a függvény grafikonjay=f(x) konvex az intervallumon(a, b) , majd a második derivált
ezen az intervallumon; ha a menetrendhomorú a(a, b) , azután
a(a, b) .

P a függvény st grafikonja y=f(x) konvex (a, b) (6.3a ábra). Ha egy érintő egy konvex görbe mentén balról jobbra csúszik, akkor a meredeksége csökken (
), ugyanakkor az érintő meredeksége is csökken, ami azt jelenti, hogy az első derivált csökken
a (a, b) . De akkor az első deriváltnak, mint egy csökkenő függvény deriváltjának negatívnak kell lennie, azaz
a (a, b) .

Ha a függvény grafikonja homorú a (a, b) , akkor hasonlóan érvelve azt látjuk, hogy amikor az érintő a görbe mentén elcsúszik (6.3b. ábra), az érintő meredeksége megnő (
), növekszik vele a meredekség, és így a derivált is. És akkor a deriváltnak mint növekvő függvénynek pozitívnak kell lennie, azaz
a (a, b) .

b ) Elegendő funkciók

Ha a funkcióhozy=f(x) valamely intervallum minden pontján lesz
, majd a függvény grafikonjahomorú ezen az intervallumon, és ha
, azutánkonvex .

"Esőszabály" : Annak emlékezéséhez, hogy a második derivált melyik jelét kell konvexhez, és melyiket konkáv ívhez társítani, javasoljuk, hogy emlékezzen: „plusz víz”. homorú lyukban, "mínusz víz" - domború lyukban (6.4. ábra).

A folytonos függvény grafikonjának azt a pontját, ahol a konvexitás homorúsággá változik vagy fordítva, ún.inflexiós pont .

Tétel (elégséges kritérium az inflexiós pont létezéséhez).

Ha azon a ponton funkció
kétszer differenciálható és a második derivált ebben a pontban egyenlő nullával vagy nem létezik, és ha a ponton áthaladva második származéka
jelet vált, majd a pontot van egy inflexiós pont. Inflexiós pont koordinátái
.

Azokat a pontokat, ahol a második derivált eltűnik vagy nem létezik, a második típusú kritikus pontoknak nevezzük.

6.4. példa. Keresse meg az inflexiós pontokat, és határozza meg a görbe konvexitási és homorúsági intervallumait
(Gauss-görbe).

R megoldás. Megtaláljuk az első és a második származékot:
,. A második származék bármelyikre létezik . Egyenlítse nullával, és oldja meg a kapott egyenletet
, ahol
, azután
, ahol
,
a második típusú kritikus pontok. Ellenőrizzük a második derivált előjelváltozását a kritikus ponton való áthaladáskor
. Ha
, például,
, azután
, és ha
, például,
, azután
, vagyis a második derivált előjelet változtat. Következésképpen,
- az inflexiós pont abszcisszája, koordinátái
. Mivel a függvény páros
, pont
, pontra szimmetrikusan
, egy inflexiós pont is lesz.

Az extrémum szükséges jele így is megfogalmazható: ha a pont M(x0, y 0) a differenciálható függvény lokális szélsőpontja z = f(x, y), akkor ennek a függvénynek a gradiensvektora ezen a ponton egy nulla vektor lesz, azaz. .

Azokat a pontokat, ahol két változó függvényének elsőrendű parciális deriváltjai nullával egyenlők, ún. álló pontok.

Ahhoz, hogy egy két változóból álló függvény szélsőértékére elegendő kritériumot fogalmazzunk meg, szükségünk van a függvény másodrendű differenciáljának mátrixára, amelyet másodfokú alakban írunk fel:

Valamint ennek a mátrixnak a determinánsa, amely a következő formában írható fel:

Az extrémum elégséges jele

Megjegyzés. Ha álló ponton M: Δ = AB – 2-től= 0, akkor extrémum jelenléte lehetséges, de ez további kutatást igényel.

PÉLDA: Keresse meg egy függvény szélsőértékét

Számítsuk ki ennek a függvénynek az első és másodrendű parciális deriváltjait:

Stacionárius pontok megtalálásához az elsőrendű parciális deriváltokat nullával egyenlővé tesszük, és egy egyenletrendszert kapunk:

vagy:

Ezt a rendszert megoldva két stacionárius pontot kapunk M(0, 0) és N(1, 1/2).

A szélsőségek és karaktereik jelenlétének megállapításához ezeken a pontokon minden ponton szekvenciálisan kiszámítjuk a másodrendű parciális származékok értékeit.

Álló ponthoz M(0, 0) kapjuk:

Mert: Δ = AB – 2-től = - 36 < 0, в этой стационарной точке экстре­му­ма нет.

Álló ponthoz N(1, 1/2) kapjuk:

Mivel Δ = AB – 2-től= 108 > 0 és A= 6 > 0, arra a következtetésre jutunk, hogy ebben a stacionárius pontban lesz ennek a függvénynek egy lokális minimuma. Ezenkívül a függvény értéke a minimumpontban 0 lesz.

Legkisebb négyzet alakú módszer

Gyakorlati alkalmazásokban, beleértve a gazdasági alkalmazásokat is, gyakran felmerül a probléma néhány kísérleti úton kapott függőség elsimítása. Azaz a feladat a függőség általános trendjének minél pontosabb tükrözése y tól től x, kizárva az ettől az általános tendenciától való véletlenszerű eltéréseket a kísérleti vagy statisztikai adatok elkerülhetetlen hibái miatt. Az ilyen simított függőséget általában képlet formájában keresik. Ilyenkor a kísérleti vagy kísérleti adatok függőségének analitikus ábrázolására szolgáló képleteket általában ún. empirikus.

A megfelelő empirikus képlet megtalálásának feladata általában két fő szakaszra oszlik. Az első lépés az, hogy megállapítsuk, vagy válasszunk általános forma ilyen függőség y=f(x), azaz eldönteni, hogy egy adott kapcsolat lineáris, másodfokú, exponenciális, logaritmikus stb. Ez a választás gyakran további megfontolásokat is tartalmaz, amelyek általában nem matematikai jellegűek. A második szakaszban a kiválasztott ismeretlen paraméterei empirikus függvény, csak kísérletileg nyert adatok tömbjét használva.

A leggyakoribb és elméletileg alátámasztott szerint legkisebb négyzetek mint az empirikus függvény ismeretlen paraméterei f(x) olyan értékeket válasszunk, hogy a „maradékok” δ i (a függvény „elméleti” értékeinek eltérései a kísérletileg kapott értékektől) négyzetösszege minimális legyen, azaz:

hol és vannak kísérleti adatok, és n ezeknek az adatoknak a párjainak teljes száma.

Tekintsük a legegyszerűbb ilyen jellegű problémát. Hadd lineáris függvény, azaz (22. ábra), és meg kell találni az ilyen paraméterértékeket aÉs b, amely a funkció minimumát biztosítja: .

Nyilvánvalóan a függvény két változó függvénye lesz aÉs b mindaddig, amíg meg nem találják és rögzítik a „legjobb” értékeiket, mivel minden a kísérletileg talált állandó számok. Ezért a kísérleti adatokkal legjobban összeegyeztethető egyenes paramétereinek megtalálásához elegendő az egyenletrendszert megoldani:

A deriváltak megfelelő számítása és az azonos transzformációk után ez a rendszer a következőképpen ábrázolható normál egyenletrendszerek :

Ez a rendszer lineáris egyenletek egyedi megoldása van, amelyet Cramer szabálya talál meg:

;

Így a kísérleti függés legjobb lineáris közelítése a legkisebb négyzetek módszere szerint egy egyenes lesz.

PÉLDA: A vállalkozás nyeresége közötti kapcsolat Yés a tárgyi eszközök bekerülési értéke x egyezményes mértékegységben kifejezett értéket a táblázat adja meg.

x
Y

Az empirikus relációs képlet alakjának tisztázásához ábrázoljuk a kísérleti függést (körök a 23. ábrán). A grafikonon a kísérleti pontok elhelyezkedése alapján feltételezhető, hogy a kapcsolat között xÉs Y lineáris, azaz. úgy néz ki, mint a:

A paraméterek számértékeinek meghatározásához deÉs b kiszámoljuk a normálegyenletrendszer együtthatóit, és az egyszerűség kedvéért táblázatban foglaljuk össze a számításokat.

A táblázat szerint:

A talált értékek helyettesítése (figyelembe véve azt a tényt, hogy n= 7) a paraméterek kiszámítására szolgáló képletekbe deÉs b, találunk:

Így az empirikus függőségnek a következő formája van (a 23. ábra egy folytonos vonalat mutat): y= 0,557x- 5,143.

KÉRDÉSEK a tudás önellenőrzéséhez a 6. témában:

1. Meghatározza-e az egyenlet több változó függvényét?

Az y = f(x) függvényt meghívjuk növekvő (fogyó) valamilyen intervallumban, ha x 1-re< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x2)).

Ha egy y = f(x) differenciálható függvény egy szakaszon növekszik (csökken), akkor a deriváltja ezen a szakaszon f "(x) > 0

(f "(x)< 0).

Pont x o hívott helyi maximum pont (minimális) az f(x) függvénynek, ha van a pont szomszédsága x o, minden olyan pontra igaz, amelynek f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)) egyenlőtlenség igaz.

A maximum és minimum pontokat hívjuk szélsőséges pontok, és a függvény értékei ezeken a pontokon az ő szélsőséges.

A szükséges feltételek extrémum. Ha pont x o az f (x) függvény szélsőpontja, akkor vagy f "(x o) \u003d 0, vagy f (x o) nem létezik. Az ilyen pontokat ún. kritikai, ahol maga a függvény van definiálva a kritikus pontban. Egy függvény szélsőpontját a kritikus pontjai között kell keresni.

Az első elégséges feltétel. Legyen x o- kritikus pont. Ha f "(x) ponton való áthaladáskor x o módosítja a plusz jelet mínuszra, majd a pontra x o a függvénynek van maximuma, egyébként minimuma. Ha a derivált nem változtat előjelet egy kritikus ponton való áthaladáskor, akkor a pontban x o nincs extrémum.

A második elégséges feltétel. Legyen az f(x) függvénynek deriváltja
f "(x) egy pont szomszédságában x oés a második derivált a ponton x o. Ha f "(x o) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка x o az f(x) függvény lokális minimum (maximum) pontja. Ha =0, ​​akkor vagy az első elégséges feltételt kell használni, vagy magasabb származékokat kell alkalmazni.

Egy szakaszon az y = f(x) függvény akár a kritikus pontokon, akár a szakasz végein elérheti minimális vagy maximum értékét.

Feltételek vizsgálata és ábrázolás.

Keresse meg egy függvény hatókörét

Keresse meg a grafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjait

Állandójel-intervallumok keresése

Vizsgálja meg a páros, páratlan

Keresse meg egy függvény grafikonjának aszimptotáit

Keresse meg egy függvény monotonitási intervallumát

Keresse meg egy függvény szélsőértékét

Konvex intervallumok és inflexiós pontok keresése

Függvénygráfok aszimptotái. A kutatási és ábrázolási függvények általános sémája. Példák.

függőleges

Függőleges aszimptota - az űrlap egyenes vonala, amely egy határ meglététől függ .

A függőleges aszimptota meghatározásakor általában nem egy határt, hanem két egyoldalút (bal és jobb) keresnek. Ennek célja annak meghatározása, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor különböző irányokból megközelíti a függőleges aszimptotát. Például:

Megjegyzés: ügyeljen ezekben az egyenlőségekben a végtelenség jeleire.

[szerkesztés] Vízszintes

Vízszintes aszimptota - az űrlap egyenes vonala, amely egy határ meglététől függ

.

[szerkesztés] Ferde

Ferde aszimptota - a forma egyenes vonala, amely a határok meglététől függ

Ferde aszimptota példa

1.

Megjegyzés: egy függvénynek legfeljebb két ferde (vízszintes) aszimptotája lehet!

Megjegyzés: Ha a fent említett két határérték közül legalább az egyik nem létezik (vagy egyenlő azzal), akkor a (vagy ) pontban lévő ferde aszimptóta nem létezik!

A ferde és vízszintes aszimptoták kapcsolata

Ha a határérték kiszámításakor , akkor nyilvánvaló, hogy a ferde aszimptota egybeesik a vízszintessel. Mi a kapcsolat e kétféle aszimptota között?

Ami azt illeti, hogy a vízszintes aszimptota a ferde speciális esete nál nél , és a fenti megjegyzésekből az következik, hogy

1. Egy függvénynek vagy csak egy ferde aszimptotája van, vagy egy függőleges aszimptotája, vagy egy ferde és egy függőleges, vagy két ferde, vagy két függőleges, vagy egyáltalán nincs aszimptotája.

2. Az 1.) pontban megjelölt aszimptoták megléte közvetlenül összefügg a megfelelő határértékek meglétével.

Egy függvény grafikonja két vízszintes aszimptotával

]Aszimptoták keresése

Az aszimptoták megtalálásának sorrendje

1. Függőleges aszimptoták keresése.

2. Két határ megtalálása

3. Két határ megtalálása:

ha a 2.), akkor , és a határt a horizontális aszimptota képlet keresi, .