Elegendő jele a szélsőség létezésének. A funkció szélsőségei

A szélsőség első elégséges jele a kritikus ponton való áthaladáskor az első derivált előjelének változása alapján fogalmazódik meg. Az extrémum második jelét alább, a 6.4. pontban tárgyaljuk.

Tétel (a szélsőség első jele) : Ha egyx 0 a függvény kritikus pontjay=f(x) és a pont valamely szomszédságábanx 0 , balról jobbra haladva a derivált előjelet vált az ellenkezőjére, majdx 0 az extrémum pont. Sőt, ha a derivált előjele „+”-ról „-”-ra változik, akkorx 0 a maximális pont, ésf(x 0 ) - a függvény maximuma, és ha a derivált előjelet vált "-"-ról "+"-ra, akkorx 0 a minimum pont, ésf(x 0 ) a függvény minimuma.

A figyelembe vett szélsőség az helyi(helyi) karaktert, és érinti a kritikus pont valamely kis környékét.

Az extrém pontok és a megszakítási pontok a függvény definíciós tartományát monotonitási intervallumokra osztják.

6.3. példa. A 6.1 példában. kritikus pontokat találtunk x 1 =0 és x 2 =2.

Nézzük meg, hogy ezeken a pontokon a függvény y=2x 3 -6x 2 +1 szélsősége van. Helyettesítő a származékában
értékeket x a ponttól balra és jobbra x 1 =0 elég közeli környéken pl. x=-1és x=1. kap . Mivel a derivált előjelet „+”-ról „-”-ra változtat, akkor x 1 =0 a függvény maximumpontja és maximuma
. Most vegyünk két értéket x=1 és x=3 egy másik kritikus pont szomszédságából x 2 =2 . Ezt már bebizonyították
, a
. Mivel a derivált "-"-ről "+"-ra változtatja az előjelet, akkor x 2 =2 a minimum pont. És a függvény minimuma
.

Egy szakaszon folytonos függvény legnagyobb és legkisebb értékének megtalálása
ki kell számítani az értékét minden kritikus ponton és a szegmens végén, majd ki kell választani közülük a legnagyobbat és a legkisebbet.

6.3. A függvénygráf konvexitásának és konkávságának jelei. Inflexiós pontok

Egy differenciálható függvény gráfját únkonvexegy intervallumon, ha az adott intervallum bármely érintője alatt helyezkedik el;homorú (lefelé domború), ha az intervallum bármely érintője felett helyezkedik el.

6.3.1. A gráf konvexitásának és konkávságának szükséges és elégséges jelei

a) Szükséges jellemzők

Ha a függvény grafikonjay=f(x) konvex az intervallumon(a, b) , majd a második derivált
ezen az intervallumon; ha a menetrendhomorú a(a, b) , azután
a(a, b) .

P a függvény st grafikonja y=f(x) konvex (a, b) (6.3a ábra). Ha egy érintő egy konvex görbe mentén balról jobbra csúszik, akkor a meredeksége csökken (
), ugyanakkor az érintő meredeksége is csökken, ami azt jelenti, hogy az első derivált csökken
a (a, b) . De akkor az első deriváltnak, mint egy csökkenő függvény deriváltjának negatívnak kell lennie, azaz
a (a, b) .

Ha a függvény grafikonja homorú a (a, b) , akkor hasonlóan érvelve azt látjuk, hogy amikor az érintő a görbe mentén elcsúszik (6.3b. ábra), az érintő meredeksége megnő (
), növekszik vele a meredekség, és így a derivált is. És akkor a deriváltnak mint növekvő függvénynek pozitívnak kell lennie, azaz
a (a, b) .

b ) Elegendő funkciók

Ha a funkcióhozy=f(x) valamely intervallum minden pontján lesz
, majd a függvény grafikonjahomorú ezen az intervallumon, és ha
, azutánkonvex .

"Esőszabály" : Annak emlékezéséhez, hogy a második derivált melyik jelét kell társítani a konvexhez, és melyiket a grafikon konkáv ívéhez, javasoljuk, hogy emlékezzen: „plusz víz”. homorú lyukban, "mínusz víz" - domború lyukban (6.4. ábra).

grafikon pont folyamatos funkció, amelyben a konvexitás homorúsággá változik vagy fordítva, nevezzükinflexiós pont .

Tétel (elégséges kritérium az inflexiós pont létezéséhez).

Ha egy azon a ponton funkció
kétszer differenciálható és a második derivált ebben a pontban egyenlő nullával vagy nem létezik, és ha a ponton áthaladva második származéka
jelet vált, majd a pontot van egy inflexiós pont. Inflexiós pont koordinátái
.

Azokat a pontokat, ahol a második derivált eltűnik vagy nem létezik, a második típusú kritikus pontoknak nevezzük.

6.4. példa. Keresse meg az inflexiós pontokat, és határozza meg a görbe konvexitási és homorúsági intervallumait
(Gauss-görbe).

R megoldás. Megtaláljuk az első és a második származékot:
,. A második származék bármelyikre létezik . Egyenlítse nullával, és oldja meg a kapott egyenletet
, ahol
, azután
, ahol
,
a második típusú kritikus pontok. Ellenőrizzük a második derivált előjelváltozását a kritikus ponton való áthaladáskor
. Ha egy
, Például,
, azután
, és ha
, Például,
, azután
, vagyis a második derivált előjelet változtat. Ennélfogva,
- az inflexiós pont abszcisszája, koordinátái
. Mivel a függvény páros
, pont
, pontra szimmetrikusan
, egy inflexiós pont is lesz.

1. számú jegy

antiderivatív funkcióTételBizonyíték határozatlan integrál

Az (X 0 ;Y 0) pontot hívjuk maximális pont minimum pont függvények: az (X 0 ;Y 0) kivételével minden (x;y) pontra az (X 0 ;Y 0) pont δ-szomszédságából a következő egyenlőtlenség érvényesül: f(x;y)>f(X) 0 ;Y 0) .

Bizonyíték:

2. számú jegy

Bizonyítékgeometriai érzék

magán növekmény részleges származéka geometriai érzék

3. számú jegy

19. A z=f(x,y) függvény maximum és minimum pontjainak meghatározása. Az (X 0 ;Y 0) pontot hívjuk maximális pont z=f(x;y) függvény, ha van az (X 0 ;Y 0) pontnak olyan δ-szomszédsága, hogy az f(x;y) egyenlőtlenség minimum pont függvények: az (X 0 ;Y 0) kivételével minden (x;y) pontra az (X 0 ;Y 0) pont δ-szomszédságából a következő egyenlőtlenség érvényesül: f(x;y)>f(X) 0 ;Y 0) . Legyen az (X 0 ;Y 0) stacionárius pontban és a szomszédságában az f(x;y) függvény folytonos parciális deriváltjai a másodrendűt is beleértve. Számítsa ki az (X 0 ;Y 0) pontban az A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0 ;Y 0). Jelölje Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Ekkor: 1) ha Δ><0; минимум, если A>0; 2) ha Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

4-es számú jegy határozott integrál Tulajdonságok Bizonyíték.legnagyobb érték függvények y=f(x) az , (a.) szakaszon az (x;y;z) koordinátákkal rendelkező pontban Tegyük fel, hogy az u(x;y;z) függvény folytonos és folytonos deriváltjai vannak a D tartománybeli argumentumaihoz képest: Δu=(δu/δx)Δx+(δu /δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz, ahol E 1 , E 2 , E 3 0, mint Δl → 0. Osszuk el a teljes egyenlőséget Δl-vel. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ Δl)+E3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Az egyenlőség a következőképpen ábrázolható: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. A határértékre átlépve Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

5-ös számú jegy

1. Antiderivatív funkció. Tétel két antiderivált különbségéről (bizonyítással). Határozatlan integrál: Definíció Az F(x) függvény meghívása antiderivatív funkció f(x) az (a;b) intervallumon, ha bármely x∈(a;b) esetén teljesül az F"(x)=f(x) egyenlőség. Tétel. Ha az F(x) függvény az (a;b) f(x) függvény antideriváltja, akkor f(x) összes antideriváltjának halmazát az F(x)+C képlet adja meg, ahol С= const. Bizonyíték. Az F(x)+C függvény az f(x) antideriváltja. Valóban, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Legyen F(x) valamilyen más, az F(x)-től eltérő f(x) antiderivatív függvény, azaz. Ф"(х)=f(x). Ekkor bármely x∈(a;b) esetén van (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f( x )-f(x)=0. Ez pedig azt jelenti, hogy F(x)-F(x)=C, C=állandó. Ezért Ф(x)=F(x)+C. Az F(x)+C antiderivatív függvények halmazát f(x)-re ún. határozatlan integrál az f(x) függvényen, és ∫f(x)dx szimbólummal jelöljük.

19. A z=f(x,y) függvény maximum és minimum pontjainak meghatározása. Az (X 0 ;Y 0) pontot hívjuk maximális pont z=f(x;y) függvény, ha van az (X 0 ;Y 0) pontnak olyan δ-szomszédsága, hogy az f(x;y) egyenlőtlenség minimum pont függvények: az (X 0 ;Y 0) kivételével minden (x;y) pontra az (X 0 ;Y 0) pont δ-szomszédságából a következő egyenlőtlenség érvényesül: f(x;y)>f(X) 0 ;Y 0) . 20. Elegendő feltétel a z=f(x;y) függvény szélsőértékének meglétéhez. (megfogalmazás). Legyen az (X 0 ;Y 0) stacionárius pontban és a szomszédságában az f(x;y) függvény folytonos parciális deriváltjai a másodrendűt is beleértve. Számítsa ki az (X 0 ;Y 0) pontban az A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0 ;Y 0). Jelölje Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Ekkor: 1) ha Δ>0, akkor az (X 0 ;Y 0) pontban lévő f(x;y) függvénynek van egy szélsőértéke: maximum, ha A<0; минимум, если A>0; 2) ha Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

6-os számú jegy

3. Határozott integrál számítása szakaszon. Newton-Leibniz képlet (származtatás). Ha az y=f(x) függvény folytonos a szakaszon, és F(x) bármely antideriváltja az (F"(x)=f(x)-en), akkor az ∫(a-tól b-ig) f( x )dx=F(b)-F(a). Ez a képlet a Newton-Leibniz képlet. Tekintsük az azonosságot: F(b)-F(a)=F(x n)-F(x 0)=(F (x n) -F(x n -1))+(f(x n -1)-F(x n -2))+…(F(x 2)-F(x 1))+(F(x 1)- F(x 0)).Az egyes különbségeket zárójelben alakítjuk át a Lagrange-képlet szerint: f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a).F(b)-F(a)-t kapunk. =F'(c n)(xn-xn-1)+F'(cn-1)(xn-1-xn-2)+F'(c 2)(x 2-x 1)+F'(c 1) )(x 1 -x 0 )= ΣF'(Ci)ΔXi=Σf(Ci)ΔXi, azaz F(b)-F(a)= Σf(Ci)ΔXi, ahol Ci az (X i) intervallum valamely pontja -1 ,X i). y=f(x) függvényként folytonos -on, akkor integrálható -on. Ezért van egy határértéke az integrál összegének, amely megegyezik az f(x) -on meghatározott integráljával. a határértéket λ=maxΔXi→0-nál kapjuk, hogy F(b)-F(a)=lim Σf(Ci)ΔXi, azaz ∫(a-tól b-ig) f(x)dx=F(b)-F(a) ).

A z=f(x;y) függvényt meghívjuk megkülönböztethető

11. Differenciálható függvény tulajdonsága: kapcsolat a z=f(x;y) függvény differenciálhatósága és a z=f(x;y) függvény egy pontban való folytonossága között (állítás, bizonyítás). Ha a z=f(x;y) függvény az M(x;y) pontban differenciálható, akkor ebben a pontban folytonos, parciális deriváltjai vannak. Bizonyíték. Legyen az y=f(x) függvény az x 0 pontban differenciálható. Adjunk meg egy Δx növekményt az argumentumnak ezen a ponton. A függvény Δу növekményt kap. Keressük a limΔx→0(Δy). limΔx→0(Δy)= limΔx→0((Δy*Δx)/Δx))= limΔx→0(Δy/Δx)* limΔx→0(Δx)=f"(x0)*0=0. Ezért y =f(x) folytonos x 0 helyen.

7-es számú jegy

Az extrémum szükséges jele.

Ha egy z=z(x,y) folytonos függvénynek szélsőértéke van a P0(x0,y0) pontban, akkor ebben a pontban az összes elsőrendű parciális deriváltja vagy egyenlő nullával, vagy nem létezik

Bizonyíték: A z=f(x,y) függvény parciális deriváltja x-hez képest a P0(x0,y0) pontban az egyik φ(x)=f(x,y0) változó függvényének a deriváltja a pontban. x-x0. De ezen a ponton a φ(x) függvénynek nyilvánvalóan van szélső értéke. Ezért φ'(x0)=0. )=0 . A tétel bizonyítást nyert.

8-as számú jegy

6. Az átlagérték tétele (megfogalmazás, bizonyítás, geometriai jelentés). Ha az f(x) függvény folytonos a szakaszon, akkor létezik olyan С∈ pont, hogy ∫(a-tól b-ig) f(x)dx=f(c)*(b-a). Bizonyíték. A Newton-Leibniz képlet szerint ∫(a-tól b-ig) f(x)dx=F(x)|(a-tól b-ig)=F(b)-F(a), ahol F"(x) =f( x). Az F(b)-F(a) különbségre alkalmazva a Lagrange-tételt (tétel egy függvény véges növekményéről), azt kapjuk, hogy F(b)-F(a)=F"(c) *(b-a)=f(c) *(b-a). geometriai érzék. Az f(x)≥0 tételnek egyszerű geometriai jelentése van: a határozott integrál értéke bizonyos С∈ (a;b) esetén egy f(c) magasságú és b-a alappal rendelkező téglalap területe. Az f(c)=1/(b-a)∫(a-tól b-ig) f(x)dx számot az f(x) függvény középértékének nevezzük az intervallumon.

8. A z=f(x;y) függvény részleges növekményei. Parciális származékok: meghatározás és geometriai jelentésük. Legyen adott a z=f(x; y) függvény. Mivel x és y független változók, az egyik változhat, míg a másik állandó marad. Az x változónak ∆x növekményt adunk, az y változó értékét változatlanul hagyva. Ekkor a z függvény növekményt kap, amit meg fogunk hívni magán növekmény z x-ben és jelölje ∆ x z. Tehát ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Hasonló módon z részleges növekményét kapjuk y-hoz képest: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y) Ha van határérték lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), akkor ún. részleges származéka z \u003d f (x; y) függvények az x változó M (x; y) pontjában, és a következő szimbólumok egyikével jelöljük: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. geometriai érzék. A z=f(x;y) függvény grafikonja valamilyen felület. A z \u003d f (x 0; y 0) függvény grafikonja ennek a felületnek az y \u003d y 0 síkkal való metszésvonala. Alapján geometriai jelentése egy változó függvényének deriváltja, arra a következtetésre jutunk, hogy f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, ahol α az Ox tengely és a z görbére húzott érintő közötti szög \u003d f (x 0; y) 0) az M 0 (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0) pontban). Hasonlóképpen f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

9-es számú jegy

Bizonyíték geometriai érzék

Érintő sík Normális a felszínre

10-es számú jegy

10. Egy pontban z=f(x;y) differenciálható függvény definíciója. A dz teljes differenciál definíciója és alakja. A z=f(x;y) függvényt meghívjuk megkülönböztethető az M(x;y) pontban, ha ennek teljes növekménye ebben a pontban a következőképpen ábrázolható: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, ahol α=α( ∆ x;∆y)→0 és β=β(∆x;∆y)→0 ∆x→0 és ∆y→0 esetén. A z=f(x;y) függvény ∆x és ∆y függvényében lineáris növekményének fő részét ún. teljes differenciálmű ezt a függvényt és a dz szimbólummal jelöljük: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(δz/δx)dx+(δz/δy)dy.

11-es számú jegy

4. Meghatározás határozott integrál a szegmens mentén. Egy szegmens feletti határozott integrál alapvető tulajdonságai (az egyik bizonyításával). határozott integrál az f(x) függvényből származó szakasz mentén a Σf(c i)Δx i integrálösszeg határértékét hívjuk meg, ha ez a határérték létezik, és nem függ a szakasz részekre osztásától, sem az egyes belüli t pontok megválasztásától. a részek közül, feltéve, hogy a legnagyobb részszakasz (∆xi) hossza nullára hajlik, azaz ∫(a-tól b-ig) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i . Tulajdonságok: 1) Ha c egy állandó szám, és az f(x) függvény integrálható -ra, akkor ∫(a-tól b-ig) с*f(x)dx=с*∫(a-tól b-ig) f(x)dx .2) Ha az f 1 (x) b f 2 (x) függvények integrálhatók -ra, akkor az összegük integrálható és ∫(a-tól b-ig) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(tól a-b) f 1 (x)dx+∫(a-tól b-ig) f 2 (x)dx. 3)∫(a-tól b-ig) f(x)dx= -∫(b-től a-ig) f(x)dx. 4) Ha az f(x) függvény integrálható és a

10. Egy pontban z=f(x;y) differenciálható függvény definíciója. A z=f(x;y) függvényt meghívjuk megkülönböztethető az M(x;y) pontban, ha ennek teljes növekménye ebben a pontban a következőképpen ábrázolható: ∆z=A*∆x+B*∆y+α*∆x+β*∆y, ahol α=α( ∆ x;∆y)→0 és β=β(∆x;∆y)→0 ∆x→0 és ∆y→0 esetén.

12. Differenciálható függvény tulajdonsága: kapcsolat a z=f(x,y) függvény differenciálhatósága és a parciális deriváltak egy pontban való létezése között (állítás, bizonyítás). Tétel: Ha egy függvény egy pontban differenciálható, akkor ebben a pontban vannak véges parciális deriváltak, amelyek numerikusan megegyeznek A-val és B-vel Bizonyítás: Adjuk meg x 0 →Δx, y=y 0 =>Δ x z=(A*Δx+ 0(│x│). ρ=√(Δx2 +Δy 2)=│Δx│. Δ x z/Δx=A +0(│x│)/Δx.LimΔx→0 (Δx z/Δx)=lim= A.δz/Δx(x 0 ;y 0)=A. Hasonlóan: Y 0 → Δy, x=x 0 => Δy Z. δz/Δy(x 0 ;y 0)=B.

12-es számú jegy

Bizonyíték

8. A z=f(x;y) függvény részleges növekményei. Parciális származékok: meghatározás és geometriai jelentésük. Legyen adott a z=f(x; y) függvény. Mivel x és y független változók, az egyik változhat, míg a másik állandó marad. Az x változónak ∆x növekményt adunk, az y változó értékét változatlanul hagyva. Ekkor a z függvény növekményt kap, amit meg fogunk hívni magán növekmény z x-ben és jelölje ∆ x z. Tehát ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Hasonló módon z részleges növekményét kapjuk y-hoz képest: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y) Ha van határérték lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), akkor ún. részleges származéka z \u003d f (x; y) függvények az x változó M (x; y) pontjában, és a következő szimbólumok egyikével jelöljük: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. geometriai érzék. A z=f(x;y) függvény grafikonja valamilyen felület. A z \u003d f (x 0; y 0) függvény grafikonja ennek a felületnek az y \u003d y 0 síkkal való metszésvonala. Az egyik változó függvényének deriváltjának geometriai jelentése alapján arra a következtetésre jutunk, hogy f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, ahol α az Ox tengely és a z görbére húzott érintő közötti szög. u003d f (x 0; y 0) az M 0 pontban (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Hasonlóképpen f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

13. számú jegy

2. A görbe vonalú trapéz területének problémája, ami egy szegmens feletti határozott integrál fogalmához vezet. Határozott integrál definíciója egy szakaszon. Legyen adott az y=f(x)≥0 függvény a szakaszon. A felülről az y=f(x) függvény grafikonjával, alulról az Ox tengelyével, oldalról az x=a és x=b egyenesekkel határolt ábrát görbe vonalú trapéznek nevezzük. Keresse meg ennek a trapéznak a területét. f(c 1)Δx 1 +f(c 2)Δx 2 +..+f(c n)Δx n =Σf(c i)Δx i =Sn. A Δx i összes értékének csökkenésével a görbe vonalú trapéz lépcsőzetes ábrával való közelítésének pontossága és a kapott képlet pontossága nő. Ezért egy görbe vonalú trapéz S területének pontos értékét vesszük S határnak, amelyre a lépcsős Sn alak területe hajlik, amikor n korlátlanul növekszik, így λ=maxΔx i →0: S=lim n→ ∞ Sn=lim n→∞(λ→0 ) Σf(c i)Δx i, azaz S=∫(a-tól b-ig) f(x)dx. Tehát a határozatlan függvény határozott integrálja numerikusan egyenlő a görbe vonalú trapéz területével. Ha ebben az esetben az Sn integrálösszegnek van egy határértéke I, ami nem függ attól, hogy a szakaszt hogyan osztjuk fel numerikusra. szegmensekre, sem a bennük lévő pontok kiválasztására, akkor az I számot az y=f(x) függvény meghatározott integráljának nevezzük a szakaszon, és ∫(a-tól b-ig) f(x)dx-el jelöljük. Így ∫(a-tól b-ig) f(x)dx=lim n→∞(λ→0) Σf(c i)Δx i .

17. A felület érintősíkja és merőlegese (definíció).Érintő sík az M pontban lévő felületre, a felület ezen pontján átmenő síkot akkor nevezzük, ha e sík és az M ponton és a felület bármely másik M 1 pontján átmenő szekáns közötti szög zérusra hajlik, míg M az M-re. 1. Normális a felszínre az M pontban az érintősíkra merőlegesen átmenő egyenest nevezzük.

14-es számú jegy

5. Tétel egy meghatározott integrál szegmens feletti értékeléséről (megfogalmazás, bizonyítás, geometriai jelentés). Integrált becslés. Ha m és M az y=f(x) függvény legkisebb és legnagyobb értéke a szakaszon, (a Bizonyíték. Mivel bármely x∈ esetén m≤f(x)≤M, akkor ∫(a-tól b-ig) mdx≤ ∫(a-tól b-ig) f(x)dx≤∫(a-tól b-ig) Mdx. A következőt kapjuk: m(b-a)≤∫(a-tól b-ig) f(x)dx≤M(b-a). geometriai érzék. A görbe vonalú trapéz területe azon téglalapok területei közé tartozik, amelyek alapja , és amelyek magassága m és M.

8. A z=f(x;y) függvény részleges növekményei. Parciális származékok: meghatározás és geometriai jelentésük. Legyen adott a z=f(x; y) függvény. Mivel x és y független változók, az egyik változhat, míg a másik állandó marad. Az x változónak ∆x növekményt adunk, az y változó értékét változatlanul hagyva. Ekkor a z függvény növekményt kap, amit meg fogunk hívni magán növekmény z x-ben és jelölje ∆ x z. Tehát ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Hasonló módon z részleges növekményét kapjuk y-hoz képest: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y) Ha van határérték lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), akkor ún. részleges származéka z \u003d f (x; y) függvények az x változó M (x; y) pontjában, és a következő szimbólumok egyikével jelöljük: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. geometriai érzék. A z=f(x;y) függvény grafikonja valamilyen felület. A z \u003d f (x 0; y 0) függvény grafikonja ennek a felületnek az y \u003d y 0 síkkal való metszésvonala. Az egyik változó függvényének deriváltjának geometriai jelentése alapján arra a következtetésre jutunk, hogy f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, ahol α az Ox tengely és a z görbére húzott érintő közötti szög. u003d f (x 0; y 0) az M 0 pontban (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Hasonlóképpen f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

15-ös számú jegy

8. A z=f(x;y) függvény részleges növekményei. Parciális származékok: meghatározás és geometriai jelentésük. Legyen adott a z=f(x; y) függvény. Mivel x és y független változók, az egyik változhat, míg a másik állandó marad. Az x változónak ∆x növekményt adunk, az y változó értékét változatlanul hagyva. Ekkor a z függvény növekményt kap, amit meg fogunk hívni magán növekmény z x-ben és jelölje ∆ x z. Tehát ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Hasonló módon z részleges növekményét kapjuk y-hoz képest: ∆ y z=f(x;y+∆y)–f(x;y) Ha van határérték lim∆x→0(∆x z/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), akkor ún. részleges származéka z \u003d f (x; y) függvények az x változó M (x; y) pontjában, és a következő szimbólumok egyikével jelöljük: z "x, δz / δx; f" x, δf / δx. geometriai érzék. A z=f(x;y) függvény grafikonja valamilyen felület. A z \u003d f (x 0; y 0) függvény grafikonja ennek a felületnek az y \u003d y 0 síkkal való metszésvonala. Az egyik változó függvényének deriváltjának geometriai jelentése alapján arra a következtetésre jutunk, hogy f "x (x 0; y 0) \u003d tgα, ahol α az Ox tengely és a z görbére húzott érintő közötti szög. u003d f (x 0; y 0) az M 0 pontban (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Hasonlóképpen f" y (x 0 ;y 0)=tgβ.

16-os jegy

21. Az u=u(x;y;z) függvény származéka l irányban (definíció). A LimΔl→0(Δu/Δl) határértéket nevezzük az u(x;y;z) függvény deriváltja az l vektor irányában az (x;y;z) koordinátákkal rendelkező pontban.

22. Az u=u(x;y;z) függvény gradiense egy pontban (definíció). A koordinátákkal rendelkező vektort (δu/δx; δu/δy; δu/δz) ún.

17-es számú jegy

7. Integrál változó felső határral. Tétel egy változó felső határú integrál deriváltjáról (állítás, bizonyítás). Egy meghatározott integrál deriváltja a változó felső határához viszonyítva egyenlő azzal az integrandusszal, amelyben az integrációs változót ezzel a határértékkel helyettesítjük, azaz (∫(a-tól x-ig) f(t)dt)" x = f(x) ). Bizonyíték. A Newton-Leibniz képlet szerint: ∫(a-tól x-ig) f(t)dt=F(t)|(a-tól x-ig)=F(x)-F(a). Ezért (∫(a-tól x-ig) f(t)dt)" x =(F(x)-F(a))" x =F"(x)-0=f(x). Ez azt jelenti, hogy a a változó felső határú határozott integrál az integrandus egyik antideriváltja.

teljes növekmény folyamatos folyamatos

18-as jegy

1. Antiderivatív funkció. Tétel két antiderivált különbségéről (bizonyítással). Határozatlan integrál: definíció, a határozatlan integrál legegyszerűbb tulajdonságai (az egyik bizonyításával). Meghívjuk az F(x) függvényt antiderivatív funkció f(x) az (a;b) intervallumon, ha bármely x∈(a;b) esetén teljesül az F"(x)=f(x) egyenlőség. Tétel. Ha az F(x) függvény az (a;b) f(x) függvény antideriváltja, akkor f(x) összes antideriváltjának halmazát az F(x)+C képlet adja meg, ahol С= const. Bizonyíték. Az F(x)+C függvény az f(x) antideriváltja. Valóban, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). Legyen F(x) valamilyen más, az F(x)-től eltérő f(x) antiderivatív függvény, azaz. Ф"(х)=f(x). Ekkor bármely x∈(a;b) esetén van (Ф(х)-F(x))"=Ф"(x)-F"(x)=f( x )-f(x)=0. Ez pedig azt jelenti, hogy F(x)-F(x)=C, C=állandó. Ezért Ф(x)=F(x)+C. Az F(x)+C antiderivatív függvények halmazát f(x)-re ún. határozatlan integrál az f(x) függvényen, és ∫f(x)dx szimbólummal jelöljük. Tulajdonságok: 1) A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal, a határozatlan integrál deriváltja pedig egyenlő a d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx )"=f(x).d (∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F"(x)dx=f(x)dx. és (∫f(x)dx)"=(F(x)+C)"=F"(x)+0=f(x).2) Valamely függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő az összeggel ennek a függvénynek és egy tetszőleges állandónak: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F"(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) A konstans tényező kivehető az integrál előjelből: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) Véges számú folytonos függvény algebrai összegének határozatlan integrálja egyenlő a függvény algebrai összegével. a függvények tagjának integráljai: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f (x)dx±∫g(x)dx.5) (Az integrációs képlet invarianciája). Ha ∫f(x)dx=F(x)+C, akkor ∫f(u)du=F(u)+C, ahol u=φ(x) tetszőleges függvény folytonos deriválttal.

22. Az u=u(x;y;z) függvény gradiense egy pontban (definíció, tulajdonságok). Az irányderiválta és a függvény gradiense közötti kapcsolat (igazítás). A koordinátákkal rendelkező vektort (δu/δx; δu/δy; δu/δz) ún. függvény gradiens u=f(x;y;z)és jelölése gradU=(δu/δx; δu/δy; δu/δz). gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Tulajdonságok: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, ahol u*v az u és v vektorok skaláris szorzata. Kapcsolat. Legyen adott az u=u(x;y;z) függvény és a gradiensek mezője gradU=(δu/δx)*i+(δu/δy)*j+(δu/δz)*k. Ekkor a Δu/Δl derivált valamely l vektor irányában megegyezik a GradU vektor l vektorra való vetületével.

19-es jegy

4. Határozott integrál definíciója egy szakaszon. Egy szegmens feletti határozott integrál alapvető tulajdonságai (az egyik bizonyításával). határozott integrál az f(x) függvényből származó szakasz mentén a Σf(c i)Δx i integrálösszeg határértékét hívjuk meg, ha ez a határérték létezik, és nem függ a szakasz részekre osztásától, sem az egyes belüli t pontok megválasztásától. a részek közül, feltéve, hogy a legnagyobb részszakasz (∆xi) hossza nullára hajlik, azaz ∫(a-tól b-ig) f(x)dx=lim Δx i →0 Σf(c i)Δx i . Tulajdonságok: 1) Ha c egy állandó szám, és az f(x) függvény integrálható -ra, akkor ∫(a-tól b-ig) c*f(x)dx=c*∫(a-tól b-ig) f(x)dx . Bizonyíték. Készítsünk integrál összeget az с*f(x) függvényre. Van Σс*f(c i)Δx i =с*Σf(c i)Δx i. Ekkor lim n→∞ Σс*f(c i)Δx i =c*lim n→∞ f(c i)=с*∫(a-tól b-ig) f(x)dx. Ez azt jelenti, hogy a c*f(x) függvény integrálható, és a képlet ∫(a-tól b-ig) c*f(x)dx= c*∫(a-tól b-ig) f(x)dx.2) f 1 (x) b f 2 (x) integrálható -ra, akkor az összegük integrálható az (x)dx+∫(a-tól b-ig) f 2 (x)dx-re. 3)∫(a-tól b-ig) f(x)dx= -∫(b-től a-ig) f(x)dx. 4) Ha az f(x) függvény integrálható és a

17. A felület érintősíkja és merőlegese (definíció). Érintősík létezési tétel (állítás, bizonyítás). Érintő sík az M pontban lévő felületre, a felület ezen pontján átmenő síkot akkor nevezzük, ha e sík és az M ponton és a felület bármely másik M 1 pontján átmenő szekáns közötti szög zérusra hajlik, míg M az M-re. 1. Normális a felszínre az M pontban az érintősíkra merőlegesen átmenő egyenest nevezzük. Tétel. Ha δF/δx; δF/δy; A δF/δz a Mo pont közelében definiált, és magában az M 0 pontban folytonosak, és nem tűnnek el egyszerre, akkor a felületen lévő egyeneseket érintő összes egyenes ugyanabban a síkban van. Bizonyíték. L: rendszer(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Érintővonal (M 0 ;P) y=(x"(t 0); y"(t o); z"(t 0)). L∈Q (felület). F(x(t), y(t) , z(t))=0 a t változó komplex függvénye. Az összetett függvény differenciálhatóságának szabályát alkalmazzuk: (δF/δx)*(dx/dt)+(δF/δy)*(dy/dt) +(δF/δz)*( dz/dt)=0;(δF(M 0)/δx)*x"(t 0)+(δF(M 0)/δy)*y"(t 0)+( δF(M0)/δz)*z"(t0)=0; g=(x"(t 0),y"(t 0),z"(t 0)); jelölje n=(δF(M 0)/δx; δF(M 0)/δy; δF(M 0) /δz); n⊥g. Mivel egy adott ponton keresztül a felületen fekvő egyenesek végtelen halmaza húzható át, és végtelen sor érintővonal, ezért minden érintővonal ugyanabban a síkban van.

20-as számú jegy

9. A z=f(x;y) függvény teljes növekménye. A z=f(x;y) függvény folytonossága egy pontban (két definíció). Legyen adott a z=f(x;y) függvény. Az x független változónak ∆x, az y változónak pedig ∆y növekményt adunk. Azután teljes növekmény A függvény ∆z-ét a következő egyenlőség határozza meg: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1) A z \u003d f (x; y) függvényt meghívjuk folyamatos az M 0 (x 0; y 0)∈ D(z) pontban, ha a határértéke ebben a pontban egybeesik a függvény értékével ebben a pontban, azaz. limX → X 0 \Y → Y 0 (f(x;y))= f(x 0 ;y 0). 2) z \u003d f (x; y) függvény folyamatos halmazon, ha ennek a halmaznak minden pontjában folytonos

21-es számú jegy

21. Az u=u(x;y;z) függvény származéka l irányban (definíció, számítási képlet, számítási képlet származtatása). A LimΔl→0(Δu/Δl) határértéket nevezzük az u(x;y;z) függvény deriváltja az l vektor irányában az (x;y;z) koordinátákkal rendelkező pontban.Δu/Δl=LimΔl→0(Δl u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ Tegyük fel, hogy az u(x;y;z) függvény folytonos, és folytonos deriváltjai vannak a D tartománybeli argumentumaihoz képest: Δu=(δu/δx)Δx+(δu/δy)Δy+(δu/δz)Δz+E 1 Δx+E 2 Δy+E 3 Δz, ahol E 1 , E 2 , E 3 nullára hajlik, mint Δl→0. Osszuk el a teljes egyenlőséget Δl-vel. Δu/Δl=(δu/δx)(Δx/Δl)+(δu/δy)(Δy/Δl)+(δu/δz)(Δz/Δl)+E 1 (Δx/Δl)+E 2 (Δy/ Δl)+E3 (Δz/Δl). Δx/Δl=cosα; Δy/Δl=cosβ; Δz/Δl=cosγ. Az egyenlőség a következőképpen ábrázolható: Δu/Δl=(δu/δx)cosα+(δu/δy)cosβ+(δu/δz)cosγ+E 1 cosα+E 2 cosβ+E 3 cosγ. A határértékre átlépve Δu/Δl=LimΔl→0(Δ l u/Δl)=(δu/δx)*cosα+(δu/δy)*cosβ+(δu/δz)*cosγ.

22-es számú jegy

20. Elegendő feltétel a z=f(x;y) függvény szélsőértékének meglétéhez. (megfogalmazás). Legyen az (X 0 ;Y 0) stacionárius pontban és a szomszédságában az f(x;y) függvény folytonos parciális deriváltjai a másodrendűt is beleértve. Számítsa ki az (X 0 ;Y 0) pontban az A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy ( X 0 ;Y 0). Jelölje Δ=|AB; BC|=AC-B^2. Ekkor: 1) ha Δ>0, akkor az (X 0 ;Y 0) pontban lévő f(x;y) függvénynek van egy szélsőértéke: maximum, ha A<0; минимум, если A>0; 2) ha Δ<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

23-as jegy

17. A felület érintősíkja (definíció).Érintő sík az M pontban lévő felületre, a felület ezen pontján átmenő síkot akkor nevezzük, ha e sík és az M ponton és a felület bármely másik M 1 pontján átmenő szekáns közötti szög zérusra hajlik, míg M az M-re. 1.

18. Explicit módon adott felület érintősíkjának egyenleteiMagától értetődően. z=f(x;y) az Mo(Xo;Yo;Zo) pontban. K: (δz/δx)|M 0 (X-X 0)+(δz/δy)|M 0 (Y-Y 0)-(Z-Z 0)=0

24-es jegy

12. Differenciálható függvény tulajdonsága: kapcsolat a z=f(x,y) függvény differenciálhatósága és a parciális deriváltak egy pontban való létezése között (állítás, bizonyítás). Tétel: Ha egy függvény egy pontban differenciálható, akkor ebben a pontban vannak véges parciális deriváltak, amelyek numerikusan egyenlőek A-val és B-vel Bizonyítás: Adjuk meg x 0 →Δx, y=y 0 =>Δ x z=(A*Δx+ 0(│x│). ρ=√(Δx2 +Δy 2)=│Δx│. Δ x z/Δx=A +0(│x│)/Δx.LimΔx→0 (Δx z/Δx)=lim= A.δz/Δx(x 0 ;y 0)=A. Hasonlóan: Y 0 →Δy, x=x 0 => Δy Z. δz/Δy(x 0 ;y 0)=B

A funkció helyi növekedésének és csökkenésének jelei.

Egy függvény vizsgálatának egyik fő feladata a növekedési és csökkenési intervallumok megtalálása. Egy ilyen vizsgálat könnyen elvégezhető a származék használatával. Fogalmazzuk meg a megfelelő állításokat.

Elegendő kritérium a funkció növeléséhez. Ha f'(x) > 0 az I intervallum minden pontjában, akkor az f függvény I-vel növekszik.

Elégséges kritérium egy függvény csökkenéséhez. Ha f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Ezen jellemzők bizonyítása a Lagrange-képlet alapján történik (lásd 19. fejezet). Vegyünk bármilyen két x számot 1 és x2 az intervallumból. Legyen x 1 van egy с∈(х 1 , x 2), úgy, hogy

(1)

A c szám az I intervallumhoz tartozik, mivel az x pontok 1 és x2 Ha f"(x)>0 x∈I esetén, akkor f'(с)>0, és ezért F(x) 1 )) — ez az (1) képletből következik, mivel x 2-x1 >0. Ez bizonyítja, hogy az f függvény növekszik I-n. Ha f’ (x)<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (x 2 ) az (1) képletből következik, mivel x 2-x1 >0. Bebizonyítjuk, hogy az f függvény I-en csökken.

A jelek vizuális jelentése egyértelmű a fizikai érvelésből (a határozottság érdekében vegyük figyelembe a növekedés jelét).

Legyen az y tengely mentén t időpontban mozgó pont y = f(t) y ordinátája. Ekkor ennek a pontnak a sebessége a t időpontban egyenlő f "(t)-vel (lásd az ábrát). Azonnali sebesség ). Ha f’ (t)>0 minden időpillanatban a t intervallumból, akkor a pont az y tengely pozitív irányába mozog, azaz ha t 1 ). Ez azt jelenti, hogy az f függvény növekszik az I intervallumon.

Megjegyzés 1.

Ha az f függvény a növekedési (csökkenési) intervallum bármelyik végén folytonos, akkor ez a pont ehhez az intervallumhoz kapcsolódik.

2. megjegyzés.

Az f "(x)>0 és f" (x) egyenlőtlenségek megoldása<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Szükséges és elégséges feltételek egy függvény szélsőértékének egy pontban való létezéséhez.

Az extrémum szükséges feltétele

A g(x) függvénynek egy pontban van extrémuma (maximum vagy minimum), ha a függvény a pont kétoldali szomszédságában van definiálva, és valamely terület minden x pontjára: , illetve az egyenlőtlenség

(maximum esetén) vagy (minimum esetén).

A függvény extrémuma a feltételből kereshető: ha létezik a derivált, azaz. egyenlővé tegyük a függvény első deriváltját nullával.

Megfelelő extrém állapot

1) Első elégséges állapot:

a) f(x) folytonos függvény, és egy pont valamely szomszédságában van definiálva úgy, hogy az adott pontban az első derivált nullával egyenlő, vagy nem létezik.

b) f(x) véges deriváltja van a függvény specifikációja és folytonossága közelében

c) a derivált megtart egy bizonyos előjelet a ponttól jobbra és ugyanattól a ponttól balra, akkor a pont a következőképpen jellemezhető

Ez a feltétel nem túl kényelmes, mivel sok feltételt kell ellenőrizni és meg kell jegyezni a táblázatot, de ha nem mondanak semmit a magasabb rendű deriváltokról, akkor csak így lehet megtalálni a függvény szélsőértékét.

2) Második elégséges feltétel

Ha a g(x) függvénynek van egy második deriváltja, és egy ponton az első derivált nullával egyenlő, a második derivált pedig nem nulla. Aztán a lényeg függvény szélsőség g(x), és ha , akkor a pont a maximum; ha , akkor a pont a minimum.

A függvény maximumának és minimumának meghatározásához használhatja a szélsőség három elégséges jelének bármelyikét. Bár a leggyakoribb és legkényelmesebb közülük az első.

Az első elégséges feltétel az extrémumhoz.

Hagyja a függvényt y = f(x) differenciálható a pont szomszédságában, és magában a pontban folytonos. Azután

Más szavakkal:

Algoritmus.

A függvény hatókörének megtalálása.

A függvény deriváltját a definíciós tartományon találjuk.

Meghatározzuk a számláló nulláit, a derivált nevező nulláit, valamint a tartomány azon pontjait, ahol a derivált nem létezik (ezeket a pontokat ún. lehetséges szélsőség pontjai, ezeken a pontokon áthaladva a derivált csak előjelét változtathatja).

Ezek a pontok a függvény tartományát olyan intervallumokra osztják, amelyekben a derivált megtartja előjelét. Meghatározzuk a derivált előjeleit az egyes intervallumokon (például úgy, hogy a függvény deriváltjának értékét kiszámítjuk egyetlen intervallum bármely pontján).

Kiválasztjuk azokat a pontokat, ahol a függvény folytonos, és amelyeken áthaladva a derivált előjelet vált.

Példa. Keresse meg a függvény szélsőértékét.
Döntés.
Egy függvény tartománya a valós számok teljes halmaza, kivéve a x=2.
Megtaláljuk a származékot:

A számláló nullái a pontok x=-1és x=5, a nevező eltűnik, amikor x=2. Jelölje be ezeket a pontokat a számegyenesen

Minden intervallumon meghatározzuk a derivált előjeleit, ehhez kiszámítjuk a derivált értékét az egyes intervallumok bármelyik pontjában, például pontokban x=-2, x=0, x=3és x=6.

Ezért a derivált pozitív az intervallumon (az ábrán pluszjelet teszünk erre az intervallumra). Hasonlóképpen

Ezért a második intervallumra mínuszt, a harmadikra mínuszt, a negyedikre pedig pluszt teszünk.

Már csak ki kell választani azokat a pontokat, ahol a függvény folytonos és deriváltja előjelet változtat. Ezek a szélsőséges pontok.
Azon a ponton x=-1 a függvény folytonos és a derivált az előjelet pluszról mínuszra változtatja, ezért a szélsőség első jele szerint x=-1 a maximum pont, ez a függvény maximumának felel meg.
Azon a ponton x=5 a függvény folytonos és a derivált előjelet mínuszról pluszra változtat, ezért x=-1 a minimum pont, ez megfelel a függvény minimumának.
Grafikus illusztráció.

Válasz: .

A második elégséges kritérium a függvény szélsőértékéhez.
Legyen ,

ha , akkor - minimum pont;

ha , akkor a maximális pont.

Amint láthatja, ehhez a tulajdonsághoz szükség van egy származékra, legalább a pont másodrendjéig.
Példa. Keresse meg a függvény szélsőértékét.
Döntés.
Kezdjük a hatókörrel:

Különböztessük meg az eredeti függvényt:

A derivált akkor tűnik el, amikor x=1, vagyis egy lehetséges szélsőség pontja.
Megkeressük a függvény második deriváltját, és kiszámítjuk az értékét x=1:

Ezért a második elégséges szélső feltétel szerint x=1- maximum pont. Ekkor a függvény maximuma.
Grafikus illusztráció.

Válasz: .
A harmadik elégséges kritérium egy függvény szélsőértékéhez.
Hagyja a függvényt y = f(x) ig származékai vannak n-edik sorrend -pont szomszédságában és deriváltjai ig n+1 sorrendben magán a ponton. Hagyjuk és .
Azután,

Munka vége -

Ez a téma a következőkhöz tartozik:

Algebra és analitikus geometria. A mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal és tulajdonságaik

A mátrixok mátrixműveleteinek fogalma és tulajdonságaik .. a mátrix egy téglalap alakú táblázat, amely olyan számokból áll, amelyek nem lehetnek .. és a mátrix összeadás elemenkénti művelet.

Ha további anyagra van szüksége ebben a témában, vagy nem találta meg, amit keresett, javasoljuk, hogy használja a munkaadatbázisunkban található keresést:

Mit csinálunk a kapott anyaggal:

Ha ez az anyag hasznosnak bizonyult az Ön számára, elmentheti az oldalára a közösségi hálózatokon:

Az összes téma ebben a részben:

A differenciálhatóság definíciója
A derivált megtalálásának műveletét a függvény differenciálásának nevezzük. Egy függvényt bizonyos ponton differenciálhatónak nevezünk, ha abban a pontban véges deriváltja van, és

Differenciálási szabály
Következmény 1. A konstans tényező kivehető a derivált előjeléből:

A származék geometriai jelentése. Érintőegyenlet
Az y egyenes dőlésszöge \u003d kx + b a pozíciótól mért szög

Egy függvény deriváltjának geometriai jelentése egy pontban
Tekintsük az y = f(x) függvény grafikonjának AB szekánsát úgy, hogy az A és B pont koordinátái legyenek.

Döntés
A függvény minden valós számra definiálva van. Mivel (-1; -3) az érintkezési pont, akkor

Az extrémumhoz szükséges feltételek és a szélsőséghez elegendő feltételek
Növekvő függvény definíciója. Az y = f(x) függvény növekszik az X intervallumon, ha van ilyen

Egy függvény monotonitásának és állandóságának feltételei
Egy függvény (nem szigorú) monotonitásának feltétele egy intervallumon. Legyen a függvénynek mindegyiknél deriváltja

Az antiderivatív definíciója
Egy f(x) antiderivatív függvény az (a; b) intervallumon olyan F(x) függvény, hogy az egyenlőség

Vizsgálat
Az eredmény ellenőrzéséhez megkülönböztetjük a kapott kifejezést: Ennek eredményeként kap

Egy konstans és egy függvény szorzatának antideriváltja egyenlő egy állandó és egy függvény antideriváltjának szorzatával
Egy szegmensen adott függvény antideriváltjának meglétének elégséges feltétele az

Meghatározás
Legyen definiálva

geometriai érzék
A határozott integrál numerikusan egyenlő az ábra azon területével, amelyet az abszcissza tengely, egyenesek határolnak

A Határozott Integrál tulajdonságai
Határozott integrál alapvető tulajdonságai. Tulajdonság 1. Egy határozott integrál deriváltja a felső határhoz képest egyenlő azzal az integrandusszal, amelybe változó helyett integrálva van

Newton-Leibniz képlet (bizonyítással)
Newton-Leibniz képlet. Legyen az y = f(x) függvény folytonos egy szakaszon és F(x) a függvény egyik antideriváltja ezen a szakaszon, akkor

Tétel (az első elégséges feltétel a szélsőséghez). Legyen a függvény folytonos egy pontban, és a derivált változás előjele egy ponton való áthaladáskor. Ekkor - az extrémum pontja: a maximum, ha a jel "+"-ról "-"-ra változik, és a minimum, ha "-"-ról "+"-ra változik.

Bizonyíték. Legyen at és at .

Lagrange tétele szerint , akkor ha , akkor ; ezért , ennélfogva, , vagy . Ha akkor ; ezért , ennélfogva, vagy .

Így bebizonyosodik, hogy a közeli pontokon, pl. a függvény maximális pontja.

A minimumpontra vonatkozó tétel bizonyítása hasonló módon történik. Tétel bizonyított.

Ha a derivált nem változtat előjelet egy ponton való áthaladáskor, akkor a pontban nincs szélsőérték.

Tétel (a szélsőség második elégséges feltétele). Legyen egy pontban egy kétszer differenciálható függvény deriváltja 0 (), a második deriváltja pedig ebben a pontban legyen más, mint nulla () és legyen folytonos a pont valamely környezetében. Ekkor a szélsőpont ; at a minimum pont, és at a maximum pont.

Algoritmus egy függvény szélsőértékének megtalálására az első elégséges szélsőfeltétel használatával.

1. Keresse meg a származékot.

2. Keresse meg a függvény kritikus pontjait.

3. Vizsgálja meg az egyes kritikus pontoktól balra és jobbra eső derivált előjelét, és vonjon le következtetést a szélsőségek jelenlétére!

4. Keresse meg a függvény szélső értékeit!

Algoritmus egy függvény szélsőértékének megtalálására a második elégséges szélsőfeltétel használatával.

1. Keresse meg a származékot.

2. Keresse meg a második deriváltot.

3. Keresse meg azokat a pontokat, ahol .

4. Határozza meg az előjelet ezeken a pontokon.

5. Vond le következtetést a szélsőségek létezéséről és természetéről!

6. Keresse meg a függvény szélső értékeit!

Példa. Fontolgat . Találjuk ki . Továbbá a és a . Vizsgáljuk meg a kritikus pontokat az első elégséges szélsőfeltétel segítségével. Megvan ez érte és érte , és érte . A pontokban és a derivált megváltoztatja az előjelét: at "+"-ról "-"-ra és "-"-ről "+"-ra. Ez azt jelenti, hogy a függvénynek egy pontban van maximuma, egy pontban pedig minimuma; . Összehasonlításképpen a kritikus pontokat a második elégséges szélsőfeltétel segítségével vizsgáljuk. Keressük a második származékot. Van: , ami azt jelenti, hogy a függvénynek egy pontban van maximuma, egy pontban pedig minimuma.

Egy függvény gráfjának aszimptotájának fogalma. Vízszintes, ferde és függőleges aszimptoták. Példák.

Meghatározás. Egy függvény grafikonjának aszimptotája egy olyan egyenes, amelynek az a tulajdonsága, hogy egy pont és az egyenes közötti távolság nullára hajlik, korlátlan távolságra a gráfpont origójától.

Vannak függőleges (6.6. ábra a), vízszintes (6.6. b ábra) és ferde (6.6. c. ábra) aszimptoták.

ábrán 6.6a látható függőleges aszimptota.

A 6.6b ábrán - vízszintes aszimptota.

ábrán 6,6 V - ferde aszimptota.

1. tétel. Függőleges aszimptoták pontjain (például ) a függvény megszakad, a ponttól balra és jobbra eső határértéke egyenlő:

2. tétel. Legyen a függvény kellően nagyra definiálva, és legyenek véges határértékek

És .

Ekkor az egyenes a függvény grafikonjának ferde aszimptotája.

3. tétel. Legyen a függvény kellően nagyra definiálva, és legyen a függvény határa. Ekkor az egyenes a függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája.

A vízszintes aszimptota a ferde aszimptota speciális esete, amikor . Ezért, ha egy görbének bármely irányban van vízszintes aszimptotája, akkor ebben az irányban nincs ferde aszimptotája, és fordítva.

Példa. Keresse meg a függvény grafikonjának aszimptotáit!

Döntés. A ponton a függvény nincs definiálva, a ponttól balra és jobbra találjuk a függvény határait:

; .

Ezért ez egy függőleges aszimptota.

A függvények tanulmányozásának és grafikonjainak elkészítésének általános sémája. Példa.

A funkciókutatás általános sémája és megtervezi azt.

1. Keresse meg a definíciós tartományt.

2. Vizsgálja meg az egyenlőség - páratlanság függvényét.

3. Keresse meg a függőleges aszimptotákat és a folytonossági pontokat (ha vannak).

4. Vizsgáljuk meg a függvény viselkedését a végtelenben; keresse meg a vízszintes és a ferde aszimptotákat (ha vannak).

5. Határozza meg a függvény monotonságának szélsőértékeit és intervallumait!

6. Keresse meg a gráf és a koordinátatengelyek metszéspontjait, és ha szükséges a gráf sematikus felépítéséhez, keressen további pontokat!

7. Készítsen sematikusan egy gráfot.

Részletes funkciótanulmányi séma és az összerajzolás .

1. Domain keresése .

a. Ha y-nek van nevezője, akkor nem mehet 0-ra.

b. A páros fok gyökének gyökkifejezésének nem negatívnak kell lennie (nullánál nagyobb vagy egyenlő).

c. A szublogaritmikus kifejezésnek pozitívnak kell lennie.

2. Vizsgálja meg a páros - páratlan függvényt.

a. Ha , akkor a függvény páros.

b. Ha , akkor a függvény páratlan.

c. Ha egyik sem teljesül, sem , akkor az általános forma függvénye.

3. Keressen függőleges aszimptotákat és töréspontokat (ha vannak).

a. Függőleges aszimptota csak a függvény tartományának határán fordulhat elő.

b. Ha ( vagy ), akkor a grafikon függőleges aszimptotája.

4. Vizsgálja meg egy függvény viselkedését a végtelenben; keresse meg a vízszintes és a ferde aszimptotákat (ha vannak).

a. Ha , akkor a gráf vízszintes aszimptotája .

b. Ha , akkor az egyenes a gráf ferde aszimptotája.

c. Ha az a, b bekezdésben jelzett határértékek csak akkor léteznek, ha egyoldaliak a végtelenbe (vagy ), akkor az eredményül kapott aszimptoták egyoldalúak lesznek: balkezes mint és jobbos mint .

5. Határozzuk meg a függvény monotonságának szélsőértékeit és intervallumait.

a. Keresse meg a származékot.

b. Keresse meg a kritikus pontokat (azokat a pontokat, ahol vagy ahol nem léteznek).

c. A numerikus tengelyen jelölje be a definíciós tartományt és annak kritikus pontjait.

d. A kapott numerikus intervallumok mindegyikén határozza meg a derivált előjelét.

e. A derivált jelei alapján vonjon le következtetést az y-ban lévő szélsőségek jelenlétéről és típusáról!

f. Keressen szélsőséges értékeket.

g. A derivált jelei alapján vonjon le következtetést a növekedésről és a csökkenésről.

6. Keresse meg a gráf metszéspontjait a koordinátatengelyekkel, és ha szükséges a gráf sematikus felépítéséhez, keressen további pontokat.

a. Ahhoz, hogy megtaláljuk a grafikon és a tengely metszéspontjait, meg kell oldani az egyenletet. Azok a pontok, ahol nullák, a grafikon és a tengely metszéspontjai lesznek.

b. A grafikon és a tengely metszéspontja alakja . Csak akkor létezik, ha a pont a függvény hatókörén belül van.

8. Sematikusan készítsen grafikont.

a. Szerkesszünk koordinátarendszert és aszimptotákat!

b. Jelölje meg a szélsőséges pontokat.

c. Jelölje be a grafikon metszéspontjait a koordinátatengelyekkel.

d. Sematikusan építsen fel egy gráfot úgy, hogy az áthaladjon a megjelölt pontokon, és megközelítse az aszimptotákat.

Példa. Vizsgáljuk meg a függvényt, és ábrázoljuk sematikusan a grafikonját.

2. általános függvény.

3. Mivel és , akkor a és vonalak függőleges aszimptoták; pontok és töréspontok. , mert nem szerepel a függvénydefiníciós tartományban