Az "Archívum letöltése" gombra kattintva ingyenesen letöltheti a szükséges fájlt.
Mielőtt letöltené ezt a fájlt, emlékezzen a jó esszékre, ellenőrzésekre, szakdolgozatokra, tézisek, cikkek és egyéb dokumentumok, amelyek igény nélkül hevernek a számítógépén. Ez az Ön munkája, részt kell vennie a társadalom fejlődésében és az emberek javára. Keresse meg ezeket a műveket, és küldje el a tudásbázisba.
Mi és minden hallgató, végzős hallgató, fiatal tudós, aki a tudásbázist tanulmányai és munkája során használja, nagyon hálásak leszünk Önnek.

Egy dokumentumot tartalmazó archívum letöltéséhez írjon be egy ötjegyű számot az alábbi mezőbe, majd kattintson az "Archívum letöltése" gombra.

Hasonló dokumentumok

Lineáris rendszerek megoldása algebrai egyenletek egyszerű iterációs módszer. Függvény polinom interpolációja Newton módszerével osztott különbségekkel. Függvény négyzetgyök-közelítése. Függvények numerikus integrálása Gauss-módszerrel.

szakdolgozat, hozzáadva 2009.04.14


A numerikus módszerek olyan algoritmusok halmaza, amelyek lehetővé teszik matematikai problémák közelítő (numerikus) megoldását. A problémák megoldása során fellépő kétféle hiba. Függvény nullák keresése. félosztás módszere. akkordmódszer.

előadások tanfolyama, hozzáadva 2009.03.06


A határozott integrál fogalma, annak geometriai jelentése. Numerikus számítási módszerek határozott integrálok. Képletek téglalapokhoz és trapézokhoz. A Mathcad csomag alkalmazása integrálszámításra, a Mathcad segítségével végzett számítások eredményének ellenőrzésére.

szakdolgozat, hozzáadva 2013.11.03


Numerikus módszerek a rendszerek megoldására lineáris egyenletek: Gauss, egyszerű iteráció, Seidel. Függvények közelítésének és interpolációjának módszerei: határozatlan együtthatók, legkisebb négyzetek. Nemlineáris egyenletek megoldása és határozott integrálok számítása.

szakdolgozat, hozzáadva 2011.04.27


Az interpolációs hiba becslésének módszerei. Interpoláció algebrai polinomokkal. A legjobb középnégyzet közelítésű algebrai polinomok szerkesztése. Numerikus módszerek a Cauchy-probléma hétköznapi megoldására differenciál egyenletek.

laboratóriumi munka, hozzáadva 2010.08.14


Nemlineáris egyenletek megoldása tangens módszerrel (Newton), a folyamat jellemzői és szakaszai. Funkcióinterpolációs mechanizmus és numerikus integráció. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek közelítő megoldása Euler-módszerrel.

szakdolgozat, hozzáadva 2015.12.16


Numerikus módszerek a feltétlen szélsőség megtalálására. A feltétel nélküli minimalizálás problémái. Egy függvény minimumának kiszámítása koordináta süllyedés módszerével. Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus és szimplex módszerekkel. Munka a MathCAD programmal.

szakdolgozat, hozzáadva 2011.04.30

Függvény négyzetgyök-közelítése.

Tekintsük egy függvény polinom általi legjobb négyzetközeli közelítésének problémáját
a rendszer szerint
.

1. definíció.

Az általánosított m rendű polinom a rendszerben ( k ) egy lineáris kombináció

ahol C k tetszőleges valós együtthatók.

Egy feladat. Polinom keresése
, amely a legkevésbé tér el az L 2 metrika f függvényétől, azaz, megfelel a feltételnek:

1. tétel.

Ha a rendszer
lineárisan független, akkor erre a rendszerre vonatkozóan a legjobb négyzetközeli közelítés problémája egyértelműen megoldható.

Írjuk fel a függvény és a polinom közötti távolság négyzetét:

(1)

Nyilvánvaló, hogy az érték
a változók nem negatív határozott másodfokú függvénye
, és egy ilyen függvény eléri minimális értékét. Így létezik a négyzetgyökér közelítési probléma megoldása.

Bizonyítsuk be a megoldás egyediségét.

Felírjuk a minimumhoz szükséges feltételeket:

, i=0,…,m.

Az (1) kifejezés c i-re vonatkozó parciális deriváltjait kiszámítva egy lineáris egyenletrendszert kapunk:

(2)

A (2) rendszert hívják normál rendszer.

Kiírjuk ennek a rendszernek a meghatározóját

(3)

A (3) rendszer meghatározója az ún Gram meghatározója rendszerek
. Ismeretes, hogy ha a rendszer
lineárisan független, akkor a determináns
0 (könnyű ellentmondással igazolni). A tétel feltétele szerint
0 és a (2) rendszer egyedi megoldással rendelkezik.

1.6. Klasszikus ortogonális polinomok és alkalmazásuk függvényközelítési problémákban.

Legyen H egy Hilbert-tér belső szorzattal és ennek megfelelően a norma
. Egy ilyen tér fontos példája az ún
az f(x) függvények tere, amelyek integrálja véges:

(1)

Itt h(x) az ún súly funkció, megfelel a feltételeknek:

Ha =(0,+ ), akkor a következő feltételnek kell teljesülnie:

azok. a súlyfüggvény bármely mozzanatának léteznie kell.

1. definíció.

Mert
van meghatározva skaláris szorzat:

(2)

és ennek megfelelően a norma:

(1) feltétel szerint.

A Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz egyenlőtlenséget felhasználva megkapjuk

Ezért létezik a skalárszorzat

2. definíció.

Az f és g elemek közötti távolságot a következő egyenlőség határozza meg:

.

Felmerül a kérdés, hogyan lehet megérteni a nulla elemet. Ha a norma
, ebből következik, hogy f=g? Bemutatjuk a terminológiát: f=g szinte mindenhol, vagyis véges számú ponton eltérhetnek.

3. definíció.

f és g ortogonális h(x) súlyú szakaszon, ha =0 (röviden írva
).

Ha egy Hilbert-térben bármilyen lineárisan független rendszert veszünk
, i=0,1,2,…, akkor ortogonalizálható.

Vegyünk példának egy rendszert:
Nál nél
véges halmaz teljesítmény függvények lineárisan független, így e rendszer alapján ortogonális polinomok állíthatók elő. A következő ismétlődő ortogonalizációs eljárás ismert (Gram-Schmidt eljárás):

(3)

A b k+1,j együtthatókat az ortogonalitási feltételek alapján határozzuk meg:

Egymás után (3) szorozva
kapunk

(4)

1. példa

Legyen h(x)1, =[-1,1].

Szerkessze meg az első három ortogonális polinomot a (3) - (4) eljárás szerint.

Következő nálunk:

Következésképpen,

A [-1,1] szakaszon h(x)=1 súlyú ortogonális polinomok rendszerére a Rodrigues-képlet igaz:

(5)

Az (5) pontból egymás után megkapjuk:

Az így kapott polinomokat Legendre-polinomoknak nevezzük.

Megjegyzés.

A (3) - (4) eljárással talált ortogonális polinomok csak tényezőkben térhetnek el azoktól, amelyeket az explicit Rodrigues-formula (5) segítségével építettek fel.

E polinomok normájának négyzete:

Vagyis ezek a polinomok nincsenek normalizálva, hiszen

Minden klasszikus polinomhoz van egy ismétlődő képlet. Legendre-polinomoknál a következő alakja van:

Legyen
Tekintsük a négyzetgyök-közelítést:

ahol
- a közelítés négyzetes középhibája,

- a Fourier-sor szegmense az f(x) függvényhez az ortogonális polinomok rendszerében (P k (x)).

A Legendre-polinomok ortogonalitása miatt az 1.5 §-ból származó (2) normálegyenletrendszer átlóssá válik, és megoldása a következő kifejezésekhez vezet a c k együtthatókra:

(7)

azaz L 2-ben a norma minimuma biztosított.

Írjuk le részletesen a közelítési hibát

Másrészről

az ortogonalitás miatt.

Ha behelyettesítjük a (8)-ba, azt kapjuk

. (9)

2. példa

Legyen f(x)=|x|.

Közelítő f(x) a [-1,1]-en a másodfokú effektív polinomban. Számítsa ki a négyzetes hibagyököt!

A Legendre ortogonális rendszert használjuk:

A c k együtthatókat a (7) képlet határozza meg, figyelembe véve a Legendre-polinomok alakját:

1.7. Az ortogonális polinomok néhány általános tulajdonsága.

A P n (x) polinom ortogonális bármely m-edik M m (x) fokú algebrai polinomra m-re

M m (x) egyedileg ábrázolható Legendre-polinomok lineáris kombinációjaként:

A (10) egyenlőség azonos, ezért az a k együtthatókat egyedileg számítjuk ki a nagyobb hatványokon lévő együtthatók egyenlővé tételével. A (10) mindkét részét megszorozzuk P n (x)-el, megkapjuk

a rendszer ortogonalitása miatt

A P n (x) polinomnak pontosan n valós és különálló gyöke van a [-1,1] szakaszon.

Vegyük észre, hogy a Gauss-tétel értelmében a P n (x) polinomnak nem lehet n-nél több gyöke (általában összetett gyöke). Legyen P n (x) kevesebb, mint n egyszerű valós gyöke. Jelöljük őket
Ezekből a pontokból megszerkesztjük az alappolinomot

Tekintsünk egy polinomot:
egy (k+n) fokú polinom, amelynek nullai vannak
akár sokféleség. Tehát az új polinom
megtartja előjelét, amikor áthalad ezeken a nullákon, azaz. megőrzi a jelet [-1,1]. Ebből következik tehát

Ez azonban ellentmond az 1. tulajdonságnak, mivel P n (x) szükségszerűen merőleges kell, hogy legyen M k (x)-re.

A P n (x) polinom két szomszédos nullája között a P n-1 (x) polinom pontosan egy nullája található.

Ezt az indukció bizonyítja a (6) ismétlődő reláció segítségével.

N-páros esetén a P n (x) polinom az x páros függvénye, n-páratlan esetén P n (x) az x páratlan függvénye.

A Legendre-polinomokkal együtt a következő polinomrendszereket nevezzük klasszikus ortogonális polinomoknak (a továbbiakban (a,b) az ortogonalitási intervallum, r(x) a súlyfüggvény).

1) Jacobi polinomok {R P (l,m) ( x)) - nál nél de = -1, b= 1 r( x) = (1-x) l (1 + x) m , l> -1, m > -1. A Jacobi-polinomok speciális speciális esetei a következő l és m értékeknek felelnek meg: l= m- ultraszférikus polinomok (ezeket néha Gegenbauer-polinomoknak nevezik); l\u003d m \u003d - 1/2, azaz. -polinomok Csebisev 1. fajta T n (x); l= m = 1/2, azaz - polinomok Csebisev 2. fajta U n (x);

2) Polinomok Laguerre L n (x) - nál nél de = 0, b= + ∞ és r( x) = e -X(Csebisev-Laguerre polinomoknak is nevezik) és általánosított Laguerre polinomok - at . 3) Mlábak Remete H n (x) - nál nél de = -∞, b= + ∞ és (Csebisev-Hermite polinomoknak is nevezik).

Kisimítása érdekében diszkrét függvények Altman, és ezzel bevezette a folytonosság gondolatát az elméletbe, a négyzetgyök-integrál közelítését alkalmazták különböző fokú polinomokkal.

Ismeretes, hogy az egyenlő távolságra lévő csomópontokon lévő interpolációs polinomok sorozata nem feltétlenül konvergál egy függvényhez, még akkor sem, ha a függvény végtelenül differenciálható. A közelítő függvényhez a csomópontok megfelelő elrendezése segítségével csökkenthető a polinom mértéke. . Az Altman-függvények felépítése olyan, hogy kényelmesebb a függvény közelítését nem interpolációval használni, hanem a legjobb négyzetgyök közelítést megszerkeszteni a normalizált. lineáris tér. A legjobb közelítés megalkotásához vegye figyelembe az alapvető fogalmakat és információkat. A közelítési és optimalizálási problémákat lineáris normált terekben vetik fel.

Metrikus és lineáris normált terek

A matematika legtágabb fogalmai közé tartozik a „halmaz” és a „leképezés”. A „halmaz”, „halmaz”, „gyűjtemény”, „család”, „rendszer”, „osztály” fogalma a nem szigorú halmazelméletben szinonimáknak minősül.

Az „üzemeltető” kifejezés megegyezik a „leképezés” kifejezéssel. A "művelet", "funkció", "funkcionális", "mérés" kifejezések a "leképezés" fogalmának speciális esetei.

A "struktúra", "tér" kifejezések axiomatikus konstrukció a matematikai elméletek is alapvető fontosságra tettek szert napjainkban. A matematikai struktúrák közé tartoznak a halmazelméleti struktúrák (rendezett és részben rendezett halmazok); absztrakt algebrai struktúrák (félcsoportok, csoportok, gyűrűk, osztásgyűrűk, mezők, algebrák, rácsok); differenciálszerkezetek (külső differenciálformák, szálterek) , , , , , , .

Struktúra alatt olyan véges halmazt értünk, amely egy vivő (főhalmaz), egy numerikus mező (segédhalmaz) és egy, a mező hordozóelemein és számain meghatározott leképezésből áll. Ha a hordozót készletnek vesszük komplex számok, akkor a fő és a segédhalmaz szerepét is betölti. A „struktúra” kifejezés megegyezik a „tér” fogalmával.

Szóköz definiálásához mindenekelőtt meg kell határozni egy hordozókészletet annak elemeivel (pontjaival), amelyeket latin és görög betűkkel jelölünk.

A valós (vagy összetett) elemek halmazai hordozóként működhetnek: számok; vektorok, ; Mátrixok, ; Sorozatok, ; Funkciók

A halmazok hordozóelemként is működhetnek: valós tengely, sík, háromdimenziós (és többdimenziós) tér, permutációk, mozgások; absztrakt készletek.

Meghatározás. A metrikus tér olyan struktúra, amely hármast alkot, ahol a leképezés két argumentum nem negatív valós függvénye bármely M-ből származó x és y esetén, és három axiómát teljesít.

• 1 - nem negativitás; , nál nél.
• 2- - szimmetria;
• 3- - a reflexivitás axiómája.

hol vannak az elemek közötti távolságok.

BAN BEN metrikus tér beállítjuk a metrikát és kialakítjuk a támaszkészletből két elem közelségének fogalmát.

Meghatározás. A valódi lineáris (vektor) tér olyan szerkezet, ahol a leképezés a hozzá tartozó elemek összeadásának, a leképezés pedig egy számnak egy elemmel való szorzásának művelete.

A művelet azt jelenti, hogy bármely két elem esetében a harmadik elem egyedileg definiált, összegének nevezzük és jelöljük, és a következő axiómák érvényesek.

kommutatív tulajdonság.

Asszociatív tulajdonság.

-ben létezik speciális elem, amelyet úgy jelölünk, hogy bármelyikre érvényes.

mert bármilyen létezik, olyan.

Az elemet ellentétesnek nevezzük, és jelöljük.

A művelet azt jelenti, hogy bármely elemhez és számhoz egy elemet definiálunk, jelöljük, és az axiómák teljesülnek:

A lineáris tér elemeit (pontjait) vektornak is nevezzük. Az 1-4. axiómák egy csoportot (additívumot) határoznak meg, amelyet modulnak neveznek, és egy struktúrát képviselnek.

Ha egy szerkezetben egy művelet nem engedelmeskedik egyetlen axiómának sem, akkor az ilyen szerkezetet csoportoidnak nevezzük. Ez a szerkezet rendkívül rossz; nem tartalmaz asszociativitási axiómát, akkor a szerkezetet monoidnak (félcsoportnak) nevezzük.

A szerkezetben a leképezés és az 1-8. axiómák segítségével beállítjuk a linearitás tulajdonságát.

Tehát a lineáris tér egy csoportmodul, amelynek szerkezetében még egy műveletet adunk hozzá - a tartóelemek szorzatát egy számmal 4 axiómával. Ha egy művelet helyett egy további, 4 axiómával rendelkező elemek szorzásának csoportos művelete mellett a disztributivitás axiómáját posztuláljuk, akkor egy mezőnek nevezett struktúra keletkezik.

Meghatározás. A lineáris normált tér olyan struktúra, amelyben a leképezés a következő axiómákat kielégíti:

• 1. És akkor és csak akkor, amikor.
• 2. , .
• 3. , .

És így csak 11 axiómában.

Például ha a mezőszerkezet valós számok, ahol - valós számok, adjunk hozzá egy modult, amely mindhárom norma tulajdonsággal rendelkezik, akkor a valós számok mezője normált térré válik

A norma bevezetésének két általános módja van: vagy a homogén konvex függvény intervallumformájának explicit megadásával, vagy a skaláris szorzat megadásával, .

Legyen, akkor a függvény alakja végtelen sokféleképpen megadható az érték megváltoztatásával:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

A hozzárendelés elfogadásának második elterjedt módja az, hogy egy másik leképezést vezetnek be a tér szerkezetébe (két argumentum függvénye, amelyet általában skaláris szorzattal jelölnek és hívnak).

Meghatározás. Az euklideszi tér olyan szerkezet, amelyben a skaláris szorzat tartalmazza a normát, és kielégíti az axiómákat:

• 4. , és akkor és csak akkor

Az euklideszi térben a normát a képlet generálja

A skalárszorzat 1–4. tulajdonságaiból következik, hogy a norma minden axiómája teljesül. Ha a skaláris szorzat a formában van, akkor a normát a képlet alapján számítják ki

A térnorma nem adható meg skalárszorzattal, .

A skaláris szorzatú terekben olyan tulajdonságok jelennek meg, amelyek a lineáris normált terekben hiányoznak (elemek ortogonalitása, paralelogramma egyenlőség, Pitagorasz-tétel, Apollonius azonossága, Ptolemaiosz egyenlőtlensége. A skalárszorzat bevezetése utat ad a közelítési problémák hatékonyabb megoldására).

Meghatározás. Egy lineáris normált térben egy végtelen elemsort normakonvergensnek (egyszerűen konvergensnek vagy határértékkel rendelkezőnek) nevezünk, ha létezik olyan elem, amelyhez bármelyhez van egy szám, amely attól függ, hogy

Meghatározás. Az elemek sorozatát alapvetőnek nevezzük, ha bármelyikhez van egy szám attól függően, hogy bármelyik, és teljesülnek (Trenogin Kolmogorov, Kantorovich, 48. o.)

Meghatározás. A Banach-tér egy olyan struktúra, amelyben bármely alapvető sorozat a normához konvergál.

Meghatározás. A Hilbert-tér egy olyan struktúra, amelyben bármely alapvető sorozat a skaláris szorzat által generált normához konvergál.

Vegyünk egy félnégyzetes koordináta-rendszert. Ez egy olyan koordináta-rendszer, amelyben a skála az abszcissza mentén másodfokú, azaz az osztásértékek a kifejezés szerint vannak ábrázolva, itt m- skála valamilyen hosszegységben, például cm-ben.

Egy lineáris léptéket ábrázolunk az y tengely mentén a kifejezésnek megfelelően

Erre a koordinátarendszerre kísérleti pontokat helyeztünk el. Ha ennek a gráfnak a pontjai megközelítőleg egy egyenes vonalban helyezkednek el, akkor ez megerősíti azt a feltételezésünket, hogy a függőség y tól től x jól kifejezi a forma függvénye (4.4). Az együtthatók megtalálásához aÉs b most már alkalmazhatja a fent tárgyalt módszerek egyikét: a feszített cérna módszert, a kiválasztott pontok módszerét vagy az átlagos módszert.

Feszes menetes módszer ugyanúgy érvényes, mint a lineáris függvényre.

Kiválasztott pontmódszerígy pályázhatunk. Egy egyenes grafikonon vegyünk két pontot (egymástól távol). Jelöljük ezeknek a pontoknak a koordinátáit és ( x, y). Akkor írhatunk

A redukált két egyenletrendszerből azt találjuk aÉs bés behelyettesítjük őket a (4.4) képletbe, és megkapjuk az empirikus képlet végső alakját.

Nem lehet egyenes grafikont építeni, hanem figyelembe kell venni a számokat, ( x,y) közvetlenül a táblázatból. Az ezzel a pontválasztással kapott képlet azonban kevésbé lesz pontos.

A görbe gráf egyenessé alakításának folyamatát lapításnak nevezzük.

Közepes módszer. Ugyanúgy alkalmazzák, mint az esetében lineáris függőség. A kísérleti pontokat két csoportra osztjuk, mindegyik csoportban azonos (vagy közel azonos) pontszámmal. A (4.4) egyenlőség átírható így

Megtaláljuk az első csoport pontjainak maradékainak összegét, és egyenlők nullával. Ugyanígy járunk el a második csoport pontjainál is. Két egyenletet kapunk ismeretlenekkel aÉs b. Az egyenletrendszert megoldva azt találjuk aÉs b.

Vegye figyelembe, hogy ennek a módszernek az alkalmazásakor nem szükséges közelítő egyenest építeni. Egy félnégyzetes koordináta-rendszerben szórványdiagramra csak annak ellenőrzésére van szükség, hogy a (4.4) alakú függvény alkalmas-e egy empirikus képletre.

Példa. A hőmérsékletnek a kronométer menetére gyakorolt ​​hatásának vizsgálatakor a következő eredményeket kaptuk:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

Ebben az esetben nem maga a hőmérséklet érdekel, hanem annak eltérése a -tól. Ezért érvnek vesszük, ahol t- hőmérséklet Celsius fokban a szokásos skála szerint.

A megfelelő pontokat a derékszögű koordináta-rendszeren ábrázolva azt látjuk, hogy egy tengelyes parabola közelítő görbének tekinthető, párhuzamos tengely ordináta (4. ábra). Vegyünk egy félnégyzetes koordináta-rendszert, és ábrázoljuk rajta a kísérleti pontokat. Látjuk, hogy ezek a pontok elég jól illeszkednek egy egyenesre. Tehát az empirikus képlet

a (4.4) űrlapon lehet keresni.

Határozzuk meg az együtthatókat aÉs bátlagos módszerrel. Ehhez a kísérleti pontokat két csoportra osztjuk: az első csoportban - az első három pont, a másodikban - a maradék négy pont. A (4.5) egyenlőség segítségével minden csoporthoz megkeressük a maradékok összegét, és minden összeget nullával egyenlővé teszünk.

Gyakran az interpolált függvény értékei u u2 , ..., Az yn értékeket a kísérletből néhány hibával határozzák meg, ezért nem ésszerű a pontos közelítés alkalmazása az interpolációs csomópontoknál. Ebben az esetben természetesebb a függvényt nem pontokkal, hanem pontokkal közelíteni átlagos, azaz valamelyik L p normában.

Space 1 p - függvénykészlet d(x), szegmensen meghatározott [a,b]és modulo-val integrálható p-edik fokozat, ha a norma meghatározott

Az ilyen normákban való konvergenciát konvergenciának nevezzük átlagos. Az 1,2 teret Hilbert-térnek nevezzük, a benne lévő konvergenciát pedig az rms.

Legyen adott az Ax) függvény és a φ(x) függvényhalmaz valamilyen lineáris normatérből. Az interpoláció, a közelítés és a közelítés problémájával összefüggésben a következő két probléma fogalmazható meg.

Első feladat egy adott pontosságú közelítés, azaz adott szerint e találjunk egy φ(x)-et úgy, hogy az |[Ax) - φ(x)|| G..

Második feladat egy keresés a legjobb közelítés azaz olyan φ*(x) függvény keresése, amely kielégíti az összefüggést:

Definiáld bizonyítás nélkül elégséges állapot a legjobb közelítés megléte. Ehhez a függvények lineáris terében a kifejezéssel paraméterezett halmazt választunk

ahol a φ[(x), ..., φn(x) függvények halmazát lineárisan függetlennek tételezzük fel.

Kimutatható, hogy bármely normált térben lineáris közelítés(2.16) létezik a legjobb közelítés, bár minden lineáris térben egyedi.

Tekintsük p(x) > 0 súlyú valós négyzetbe integrálható függvények LzCp) Hilbert-terét [ , ahol a skaláris szorzat ( g,h) határozza meg

képlet:

Behelyettesítés a legjobb közelítés feltételébe lineáris kombináció(2.16), találjuk

Az együtthatók (D, k= 1, ..., П, lineáris egyenletrendszert kapunk

A (2.17) egyenletrendszer determinánsát Gram-determinánsnak nevezzük. A Gram-determináns nem nulla, mivel feltételezzük, hogy a φ[(x), ..., φn(x) függvényrendszer lineárisan független.

Így a legjobb közelítés létezik és egyedi. Megszerzéséhez meg kell oldani a (2.17) egyenletrendszert. Ha a φ1(x), ..., φn(x) függvényrendszer ortogonalizált, azaz (φ/, φ,) = sy, ahol SCH,ij = 1, ..., P, akkor az egyenletrendszer a következő formában oldható meg:

A (2.18) szerint talált együtthatók Q, ..., th p az általánosított Fourier-sor együtthatóinak nevezzük.

Ha a φ t (X), ..., φ "(x), ... függvények halmaza teljes rendszert alkot, akkor a Parseval-egyenlőség alapján Π esetén -» a hibanorma végtelenségig csökken. Ez azt jelenti, hogy a legjobb közelítés tetszőleges pontossággal konvergál az effektív érték Dx)-hez.

Megjegyezzük, hogy a legjobb közelítés együtthatóinak keresése a (2.17) egyenletrendszer megoldásával gyakorlatilag nem valósítható meg, mivel a Gram-mátrix sorrendjének növekedésével a determinánsa gyorsan nullára hajlik, és a mátrix kondicionálatlanná válik. Egy lineáris egyenletrendszer megoldása ilyen mátrixszal a pontosság jelentős csökkenéséhez vezet. Nézzük meg.

Legyen φ„ i =1, ..., П függvényrendszerként a fokokat választva, azaz φ* = X 1", 1 = 1, ..., P, akkor a szegmenst közelítő szegmensnek feltételezve megtaláljuk a Gram-mátrixot

A (2.19) forma Gram-mátrixát Hilbert-mátrixnak is nevezik. Ez az úgynevezett rosszul kondicionált mátrix klasszikus példája.

A MATLAB segítségével kiszámítjuk a Hilbert-mátrix determinánsát a (2.19) formában néhány első értékhez P. A 2.5-ös lista a megfelelő program kódját mutatja.

Lista 23

% Számítsa ki a Hilbert-mátrixok determinánsát % törölje ki a munkaterületet mindent kitöröl;

%választ maximális érték a Hilbert-mátrix rendje ptah = 6;

Építsen egy hurkot a Hilbert-mátrixok létrehozásához és a determinánsok kiszámításához

n = 1 esetén: nmax d(n)=det(hi I b(n)); vége

%megjeleníti a Hilbert-mátrixok % determinánsainak értékét

f o g ta t rövid vége

A 2.5-ös lista kódjának kidolgozása után az első hat mátrix Hilbert-mátrix meghatározó értékeinek meg kell jelenniük a MATLAB parancsablakban. Az alábbi táblázat a mátrixrendek megfelelő számértékeit (n) és azok meghatározóit (d) mutatja. A táblázat jól mutatja, hogy a Hilbert-mátrix determinánsa milyen gyorsan nullázódik a sorrend növekedésével, és az 5. és 6. sorrendtől kezdve elfogadhatatlanul kicsi lesz.

A Hilbert-mátrixok determinánsának értéktáblázata

A φ, i = 1, ..., П függvényrendszer numerikus ortogonalizálása is a pontosság észrevehető elvesztéséhez vezet, ezért, hogy figyelembe vegyük nagy szám A (2.16) kiterjesztésben az ortogonalizálást vagy analitikusan, azaz pontosan kell végrehajtani, vagy egy kész ortogonális függvényrendszert kell használni.

Ha az interpoláció során a fokokat általában bázisfüggvény-rendszerként használjuk, akkor a közelítés során átlagosan olyan polinomokat választunk, amelyek adott súllyal merőlegesek bázisfüggvénynek. Ezek közül a legelterjedtebbek a Jacobi-polinomok, amelyek speciális esete a Legendre- és Csebisev-polinom. Lagsrr és Hermite polinomokat is használnak. Ezekről a polinomokról további részletek találhatók például a függelékben Ortogonális polinomok könyveket.