Eloszlási sűrűség tulajdonságai

Először is emlékezzünk vissza, mi az eloszlási sűrűség:

Tekintsük az eloszlási sűrűség tulajdonságait:

1. tulajdonság: A $\varphi (x)$ eloszlássűrűség függvény nem negatív:

Bizonyíték.

Tudjuk, hogy az $F(x)$ eloszlásfüggvény egy nem csökkenő függvény. A definícióból következik, hogy $\varphi \left(x\right)=F"(x)$, és egy nem csökkenő függvény deriváltja -- egy nemnegatív függvény.

Geometriailag ez a tulajdonság azt jelenti, hogy a $\varphi \left(x\right)$ eloszlássűrűségfüggvény grafikonja vagy a $Ox$ tengely felett vagy azon van (1. ábra).

1. ábra: A $\varphi (x)\ge 0$ egyenlőtlenség illusztrációja.

2. tulajdonság: Az eloszlássűrűség függvény nem megfelelő integrálja $-\infty $ és $+\infty $ között egyenlő 1-gyel:

Bizonyíték.

Emlékezzünk vissza a képletre annak a valószínűségének meghatározására, hogy véletlenszerű érték a $(\alpha ,\beta)$ intervallum csökkenni fog:

2. ábra.

Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó a $(-\infty ,+\infty $ intervallumba esik):

3. ábra

Nyilvánvaló, hogy a valószínűségi változó mindig a $(-\infty ,+\infty $ intervallumba esik), ezért az ilyen találat valószínűsége eggyel egyenlő. Kapunk:

Geometriailag a második tulajdonság azt jelenti, hogy egy görbe vonalú trapéz területe, amelyet a $\varphi (x)$ eloszlássűrűség függvény grafikonja és az abszcissza tengely határol, numerikusan eggyel egyenlő.

Az inverz tulajdonságot is megfogalmazhatja:

3. tulajdonság: Bármely nemnegatív $f(x)\ge 0$ függvény, amely kielégíti a $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right)dx)=1$ egyenlőséget eloszlási sűrűségfüggvény valamilyen folytonos valószínűségi változó.

Az eloszlássűrűség valószínűségi jelentése

Adjunk a $x$ változónak egy $\háromszög x$ növekményt.

Az eloszlássűrűség valószínűségi jelentése: Annak a valószínűsége, hogy egy $X$ folytonos valószínűségi változó értéket vesz fel a $(x,x+\háromszög x)$ intervallumból, megközelítőleg egyenlő a valószínűségi eloszlás sűrűségének szorzatával a $ pontban x$ és a $\háromszög x$ növekedése:

4. ábra Egy folytonos valószínűségi változó eloszlássűrűségének valószínűségi jelentésének geometriai ábrázolása.

Példák problémamegoldásra az eloszlássűrűség tulajdonságok felhasználásával

1. példa

A valószínűségi eloszlási sűrűségfüggvény alakja:

5. ábra

Keresse meg a $\alpha $ együtthatót.
Szerkessze meg az eloszlássűrűség grafikonját!

Tekintsük a $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)$ nem megfelelő integrált, így kapjuk:

6. ábra

A 2. tulajdonság használatával a következőket kapjuk:

\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac(1)(2).\]

Vagyis az eloszlási sűrűségfüggvény alakja:

7. ábra

Rajzoljuk le:

8. ábra

2. példa

Az eloszlássűrűség függvény alakja $\varphi \left(x\right)=\frac(\alpha )(chx)$

(Emlékezzünk vissza, hogy a $chx$ egy hiperbolikus koszinusz).

Keresse meg a $\alpha $ együttható értékét.

Megoldás. A második tulajdonságot használjuk:

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(\alpha )(chx)dx)=1,\] \[\alpha \int\limits^(+\infty )_ (-\infty )(\frac(dx)(chx))=1,\] \[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=( \mathop(lim)_(a\to -\infty ) \int\limits^0_a(\frac(dx)(chx))\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \int \limits^b_0(\frac(dx)(chx))\ )\]

Mivel $chx=\frac(e^x+e^(-x))(2)$, akkor

\[\int(\frac(dx)(chx))=2\int(\frac(dx)(e^x+e^(-x)))=2\int(\frac(de^x)( (1+e)^(2x)))=2arctge^x+C\]

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(dx)(chx))=(\mathop(lim)_(a\to -\infty ) \left(-2arctge^ a\right)\ )+(\mathop(lim)_(b\to +\infty ) \left(2arctge^b\right)\ )=\pi \]

Következésképpen:

\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac(1)(\pi )\]

Törvény valószínűségi eloszlások valószínűségi változót az integráleloszlásfüggvénnyel lehet megadni. Kumulatív eloszlásfüggvény függvénynek nevezzük F(X), minden egyes értékhez x amely meghatározza annak valószínűségét, hogy a valószínűségi változó x kisebb értéket vesz fel...

Folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlásfüggvénye

Funkció F(X) diszkrét és folytonos valószínűségi változókra is létezik. Jegyezzük meg a folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlásfüggvényének legfontosabb tulajdonságait. 1. Az eloszlásfüggvény értékeihez F(x) történik 2. F(x) nem csökkenő függvény, azaz. 3. Valószínűség...
(VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLET ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA)

Folyamatos valószínűségi változó. Eloszlási sűrűség

Meghatározás 3.6. SW % hívott folyamatos, ha van ilyen funkció p(x) hívott valószínűségi sűrűség vagy valószínűségi eloszlási sűrűség, mi az FR SV?, egyenlő az If-vel a pontban x sűrűség p(x) folytonos, tehát megkülönbözteti a bal és a jobb...

4.3. Folyamatos kétdimenziós valószínűségi változó. Az ízületi sűrűség eloszlása

Az n-dimenziós valószínűségi változó analógiájára a következő definíciót adjuk. Meghatározás 4.8. 2D véletlen vektor(?, p) hívják folyamatos, ha létezik ilyen nemnegatív függvény p(x, y), hívott közös eloszlási sűrűség Véletlen változók? és p hogy Of...
(VALÓSZÍNŰSÉGI ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA KÖZGAZDASÁGI SZEMPONTOKNAK)

Eloszlási sűrűség

Rizs. 1.9. Főbb jellemzők normális eloszlás nál nél különböző jelentések szórás: de- valószínűségi sűrűség /(/); b- a hibamentes működés valószínűsége р(/); ban ben- hibaarány X(/) Az eloszlásnak két független paramétere van: matematikai ...
(A MŰSZAKI RENDSZEREK MEGBÍZHATÓSÁGA)

Valószínűségi eloszlás törvénye diszkrét kétdimenziós valószínűségi változóra

elosztási törvény Egy diszkrét kétdimenziós valószínűségi változó a változó lehetséges értékeinek listája, pl. számpárok (x., és valószínűségük /? (x., u.)(?= 1,2....."; j= 1,2,..."?). Általában az elosztási törvényt kettős beviteli táblázat formájában adjuk meg (2. táblázat). Első sor...
(VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLET ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA)

Egy kétdimenziós valószínűségi változó összetevőinek valószínűségi sűrűségének meghatározása

Legyen ismert két valószínűségi változóból álló rendszer együttes valószínűségi eloszlásának sűrűsége. Határozzuk meg az egyes komponensek eloszlási sűrűségét. Először keressük meg a komponens eloszlási sűrűségét x. Jelölje Fx(x) komponenselosztási függvény x. Definíció szerint...
(VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLET ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA)

Bármely véletlenszerű kísérlet eredménye minőségileg és mennyiségileg is jellemezhető. Minőségi véletlenszerű kísérlet eredménye - véletlen esemény. Bármi mennyiségi jellemző, amely egy véletlenszerű kísérlet eredményeként felvehet egy bizonyos értékkészletet, - véletlenszerű érték. Véletlenszerű érték a valószínűségszámítás egyik központi fogalma.

Legyen tetszőleges valószínűségi tér. Véletlen változó egy x \u003d x (w), w W valós numerikus függvény, így bármely valós függvényre x .

Esemény általában x-ként írják< x. A következőkben a valószínűségi változókat kis görög betűkkel jelöljük x, h, z,…

A valószínűségi változó a dobott pontok száma dobókocka, vagy egy véletlenszerűen kiválasztott növekedése tanulócsoport diák. Az első esetben azzal van dolgunk diszkrét valószínűségi változó(értékeket vesz egy diszkrétből számkészlet M=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; a második esetben azzal folyamatos valószínűségi változó(értékeket vesz egy folytonos számkészletből - a számsor intervallumából én=).

Mindegyik valószínűségi változót teljesen meghatározza elosztási függvény.

Ha x egy valószínűségi változó, akkor a függvény F(x) = Fx(x) = P(x< x) nak, nek hívják elosztási függvény x valószínűségi változó. Itt P(x<x) - annak a valószínűsége, hogy az x valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel, mint x.

Fontos megérteni, hogy az eloszlásfüggvény egy valószínűségi változó "útlevele": tartalmazza a valószínűségi változóra vonatkozó összes információt, ezért egy valószínűségi változó vizsgálata annak tanulmányozásából áll elosztási funkciók, gyakran egyszerűen hivatkoznak rá terjesztés.

Bármely valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Ha x egy diszkrét valószínűségi változó, amely az értékeket veszi fel x 1 <x 2 < … <x i < … с вероятностями p 1 <p 2 < … <pi < …, то таблица вида

x 1	x 2	…	x i	…
p 1	p 2	…	pi	…

hívott diszkrét valószínűségi változó eloszlása.

Az ilyen eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének alakja van

A diszkrét valószínűségi változónak lépcsőzetes eloszlási függvénye van. Például egy kockadobás során kiesett véletlen számú pont esetén az eloszlás, az eloszlási függvény és az eloszlási függvény grafikonja így néz ki:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Ha az elosztási függvény Fx(x) folytonos, akkor az x valószínűségi változót hívjuk folytonos valószínűségi változó.

Ha egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye megkülönböztethető, akkor a valószínűségi változó vizuálisabb ábrázolása ad valószínűségi változó p x valószínűségi sűrűsége(x), ami az eloszlásfüggvénnyel kapcsolatos Fx(x) képletek

És .

Ebből különösen az következik, hogy bármely valószínűségi változó esetén .

Gyakorlati problémák megoldása során gyakran meg kell találni az értéket x, amelynél az eloszlási függvény Fx(x) az x valószínűségi változó adott értéket vesz fel p, azaz meg kell oldania az egyenletet Fx(x) = p. Egy ilyen egyenlet megoldásai (a megfelelő értékek x) a valószínűségszámításban ún kvantilisek.

Kvantilis x p ( p-kvantilis, szintkvantilis p) egy eloszlásfüggvénnyel rendelkező valószínűségi változó Fx(x), az úgynevezett megoldás xp egyenletek Fx(x) = p, p(0, 1). Néhány p az egyenlet Fx(x) = p több megoldás is lehet, egyesek esetében egyik sem. Ez azt jelenti, hogy a megfelelő valószínűségi változóhoz bizonyos kvantilisek nincsenek egyértelműen definiálva, és néhány kvantilis nem létezik.

Folytonos valószínűségi változót nem csak eloszlásfüggvény segítségével lehet megadni. Vezessük be a folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének fogalmát.

Tekintsük annak a valószínűségét, hogy egy folytonos valószínűségi változó a [ x, x + Δ x]. Egy ilyen esemény valószínűsége

P(x ≤ x ≤ x + Δ x) = F(x+ Δ x) – F(x),

azok. egyenlő az eloszlásfüggvény növekményével F(x) ebben a körzetben. Ekkor az egységnyi hosszra eső valószínűség, azaz. átlagos valószínűségi sűrűség a területen től x előtt x+ Δ x, egyenlő

Átlépés a Δ határértékre x→ 0, megkapjuk a pontban a valószínűségi sűrűséget x:

az eloszlási függvény deriváltját reprezentálja F(x). Emlékezzünk rá, hogy folytonos valószínűségi változó esetén F(x) egy differenciálható függvény.

Meghatározás. Valószínűségi sűrűség (eloszlási sűrűség ) f(x) Az X folytonos valószínűségi változó az eloszlásfüggvényének deriváltja

f(x) = F′( x).

(4.8)

Egy véletlen változóról xállítólag sűrűségű eloszlása van f(x) az x tengely egy bizonyos részén.

Valószínűségi sűrűség f(x), valamint az eloszlási függvényt F(x) az elosztási törvény egyik formája. Az eloszlásfüggvénnyel ellentétben azonban csak folytonos valószínűségi változók esetén létezik.

A valószínűségi sűrűséget néha ún differenciál funkció vagy differenciális elosztási törvény. A valószínűségi sűrűséggráf ún eloszlási görbe.

4.4. példa. A 4.3. példa adatai alapján keresse meg egy valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét x.

Megoldás. Egy valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét az eloszlásfüggvényének deriváltjaként fogjuk megtalálni f(x) = F"(x).

◄

Figyeljük meg a folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének tulajdonságait.

1. A valószínűségi sűrűség nem negatív függvény, azaz

Geometriailag annak a valószínűsége, hogy a [ α , β ,] egyenlő az ábra azon területével, amelyet felülről az eloszlási görbe határol, és a [ α , β ,] (4.4. ábra).

Rizs. 4.4 ábra. 4.5

3. Egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a valószínűségi sűrűséggel fejezhető ki a képlettel:

Geometriai tulajdonságok 1 És 4 A valószínűségi sűrűség azt jelenti, hogy a grafikonja - az eloszlási görbe - nem az abszcissza tengely alatt van, és az ábra teljes területe, amelyet az eloszlási görbe és az abszcissza tengely határol, egy.

4.5. példa. Funkció f(x) a következőképpen van megadva:

Keresse meg: a) értéket DE; b) eloszlásfüggvény kifejezés F(x); c) annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó xértéket vesz fel az intervallumon.

Megoldás. a) Annak érdekében, hogy f(x) volt valamilyen valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége x, nem negatívnak kell lennie, ezért az érték DE. Tulajdonra vonatkozik 4 találunk:

, ahol DE = .

b) Az eloszlásfüggvényt a tulajdonság segítségével találjuk meg 3 :

Ha x≤ 0, akkor f(x) = 0, és ezért F(x) = 0.

Ha 0< x≤ 2, akkor f(x) = x/2 és ezért

Ha x> 2, akkor f(x) = 0, és ezért

c) Annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó xértéket vesz fel a szegmensen, a tulajdonság használatával találjuk meg 2 .

Egy diszkrét valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége

Vegyen fel egy valószínűségi változó értékeket valószínűségekkel, . Ezután annak valószínűségi eloszlási függvénye

hol van az egységugrás függvény. Egy valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét az eloszlásfüggvényével határozhatjuk meg, figyelembe véve az egyenlőséget. Ebben az esetben azonban matematikai nehézségek merülnek fel, mivel a (34.1)-ben szereplő egységugrásfüggvénynek van egy első típusú szakadása at. Ezért a függvény deriváltja nem létezik a pontban.

Ennek a bonyolultságnak a leküzdésére egy -függvény kerül bevezetésre. Az egységugrás függvény a -függvénnyel a következő egyenlőséggel ábrázolható:

Aztán formálisan a származék

és egy diszkrét valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét a (34.1) összefüggésből a függvény deriváltjaként határozzuk meg:

A (34.4) függvény rendelkezik a valószínűségi sűrűség összes tulajdonságával. Vegyünk egy példát. Egy diszkrét valószínűségi változó vegyen fel értékeket valószínűségekkel, és legyen, . Ekkor a sűrűség általános tulajdonságai alapján kiszámítható annak valószínűsége, hogy a valószínűségi változó értéket vesz a szegmensből:

mivel a feltétel által definiált függvény szinguláris pontja az integrációs tartományon belül, a szinguláris pont pedig az integrációs tartományon kívül van. Ily módon

A (34.4) függvény a normalizálási feltételt is kielégíti:

Vegyük észre, hogy a matematikában a (34.4) alakú rekordot hibásnak (helytelennek), a (34.2) rekordot pedig helyesnek tekintjük. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a -függvény nulla argumentummal, és azt mondják, hogy nem létezik. Másrészt a (34.2)-ben a -függvény az integrál alatt van. Ebben az esetben a (34.2) jobb oldala bármely véges érték, azaz. a -függvény integrálja létezik. Ennek ellenére a fizikában, a mérnöki és a valószínűségszámítás egyéb alkalmazásaiban gyakran használják a sűrűség (34.4) formában történő ábrázolását, amely egyrészt lehetővé teszi a helyes eredmények elérését tulajdonságok - függvények alkalmazásával, másrészt nyilvánvaló fizikai értelmezése van. .

Példák sűrűségekre és valószínűségi eloszlásokra

35.1. Egy valószínűségi változót egyenletes eloszlásúnak nevezünk egy szegmensen, ha annak valószínűségi eloszlási sűrűsége van

ahol a normalizálási feltételből meghatározott szám:

A (35.2)-ben a (35.1) behelyettesítés egy egyenlőséghez vezet, amelynek megoldása viszonylagos alakja: .

Egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó valószínűségi eloszlásfüggvénye a (33.5) képlettel kereshető, amely a sűrűségen keresztül meghatározza:

ábrán A függvények 35.1 grafikonjait és egy egyenletes eloszlású valószínűségi változót mutatunk be.

Rizs. 35.1. A függvény és az eloszlássűrűség grafikonjai

egyenletes eloszlású valószínűségi változó.

35.2. Egy valószínűségi változót normálisnak (vagy Gauss-nak) nevezünk, ha valószínűségi eloszlási sűrűsége:

ahol a számokat függvényparamétereknek nevezzük. Amikor a függvény felveszi a maximális értékét: . A paraméter effektív szélességet jelent. Ezen a geometriai értelmezésen kívül a paramétereknek van valószínűségi értelmezése is, amelyről később lesz szó.

A (35.4)-ből következik a valószínűségi eloszlási függvény kifejezése

hol van a Laplace-függvény. ábrán A függvények 35.2 grafikonja és egy normál valószínűségi változó látható. Annak jelzésére, hogy egy valószínűségi változó normális eloszlású paraméterekkel, és gyakran használják jelöléssel.

Rizs. 35.2. Sűrűség diagramok és eloszlási függvények

normál valószínűségi változó.

35.3. Egy valószínűségi változónak Cauchy valószínűségi sűrűsége van, ha

Ez a sűrűség megfelel az eloszlásfüggvénynek

35.4. Egy valószínűségi változót exponenciális eloszlásúnak nevezünk, ha valószínűségi eloszlási sűrűsége a következő:

Határozzuk meg a valószínűségi eloszlás függvényét. A (35.8)-ból ugyanis az következik. Ha akkor

35.5. Egy valószínűségi változó Rayleigh valószínűségi eloszlását az alak sűrűsége határozza meg

Ez a sűrűség megfelel a valószínűségi eloszlás függvényének és egyenlő vele

35.6. Tekintsünk példákat egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvényének és sűrűségének megszerkesztésére. Legyen a valószínűségi változó a sikeresek száma független kísérletek sorozatában. Ekkor a valószínűségi változó értéket vesz fel, olyan valószínűséggel, amelyet a Bernoulli-képlet határoz meg:

ahol a siker és a kudarc valószínűsége egy kísérletben. Így egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásfüggvényének alakja van

hol van az egységugrás függvény. Ezért az eloszlási sűrűség:

hol van a delta függvény.