2. Az R halmaz sűrű: kettő között különféle számok a és b végtelen számú valós számot tartalmaz X, azaz az egyenlőtlenséget kielégítő számok a

Van egy 3. ingatlan is, de az óriási, elnézést

Limitált készletek. Felső és alsó szegély tulajdonságai.

limitált készlet- olyan halmaz, amelynek bizonyos értelemben véges a mérete.

felülről határolt, ha létezik olyan szám, amely nem haladja meg az összes elemet:

A valós számok halmazát nevezzük alulról határolt, ha van szám,

úgy, hogy minden elem legalább:

A fent és lent határolt halmazt nevezzük korlátozott.

A nem korlátos halmazt hívjuk korlátlan. A definícióból következik, hogy egy halmaz akkor és csak akkor nem korlátos felülről nincs korlátozva vagy korlátlan alulról.

Numerikus sorozat. Sorozatkorlát. Lemma két rendőrről.

Numerikus sorozat a számtér elemeinek sorozata.

Legyen vagy a valós számok halmaza, vagy a komplex számok halmaza. Ekkor a halmaz elemeinek sorozatát nevezzük numerikus sorozat.

Példa.

A függvény racionális számok végtelen sorozata. Ennek a sorozatnak az elemei az elsőtől kezdve formájúak.

Sorozatkorlát az az objektum, amelyhez a sorozat tagjai a szám növekedésével közelednek. Nevezetesen a numerikus sorozatok esetében a határ egy olyan szám, amelynek bármely szomszédságában a sorozat összes tagja van, valamelyiktől kezdve.

A két rendőr tétel...

Ha a függvény olyan, hogy a pont valamelyik szomszédságában lévő összesre, és az és függvényeknek ugyanaz a határértéke a pontban, akkor van a függvénynek egy határértéke, amely megegyezik az értékkel, azaz

A természetes számok halmazát a tárgyak számlálására használt 1, 2, 3, 4, ... számok alkotják. A természetes számok halmazát általában betűvel jelöljük N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

A természetes számok összeadásának törvényei

1. Bármilyen természetes számra aÉs b igazi egyenlőség a + b = b + a . Ezt a tulajdonságot az összeadás kommutatív (kommutatív) törvényének nevezzük.

2. Bármilyen természetes számra a, b, c igazi egyenlőség (a + b) + c = a + (b + c) . Ezt a tulajdonságot az összeadás kombinációs (asszociatív) törvényének nevezzük.

A természetes számok szorzásának törvényei

3. Bármilyen természetes számra aÉs b igazi egyenlőség ab = ba. Ezt a tulajdonságot a szorzás kommutatív (kommutatív) törvényének nevezzük.

4. Bármely természetes számra a, b, c igazi egyenlőség (ab)c = a(bc) . Ezt a tulajdonságot a szorzás kombinációs (asszociatív) törvényének nevezzük.

5. Bármilyen értékhez a, b, c igazi egyenlőség (a + b)c = ac + időszámításunk előtt . Ezt a tulajdonságot a szorzás eloszlási (eloszlási) törvényének nevezzük (az összeadás tekintetében).

6. Bármilyen értékre a igazi egyenlőség a*1 = a. Ezt a tulajdonságot az eggyel való szorzás törvényének nevezzük.

Két természetes szám összeadásának vagy szorzásának eredménye mindig természetes szám. Vagy másképpen fogalmazva, ezeket a műveleteket a természetes számok halmazában maradva is végre lehet hajtani. A kivonásról és osztásról ez nem mondható el: például a 3-as számból a természetes számok halmazában maradva lehetetlen kivonni a 7-et; A 15-ös szám nem osztható 4-gyel.

A természetes számok oszthatóságának jelei

az összeg oszthatósága. Ha minden tag osztható valamilyen számmal, akkor az összeg is osztható ezzel a számmal.

A munka oszthatósága. Ha a szorzatban legalább az egyik tényező osztható egy bizonyos számmal, akkor a szorzat is osztható ezzel a számmal.

Ezek a feltételek mind az összeg, mind a termék tekintetében elegendőek, de nem szükségesek. Például a 12*18 szorzat osztható 36-tal, bár sem 12, sem 18 nem osztható 36-tal.

2-vel oszthatóság jele. Ahhoz, hogy egy természetes szám osztható legyen 2-vel, szükséges és elegendő, hogy az utolsó számjegye páros legyen.

Az 5-tel oszthatóság jele. Ahhoz, hogy egy természetes szám osztható legyen 5-tel, szükséges és elegendő, hogy az utolsó számjegye 0 vagy 5 legyen.

A 10-zel való oszthatóság jele. Ahhoz, hogy egy természetes szám osztható legyen 10-zel, szükséges és elegendő, hogy az egységszámjegy 0 legyen.

A 4-gyel való oszthatóság jele. Ahhoz, hogy egy legalább három számjegyből álló természetes szám osztható legyen 4-gyel, szükséges és elegendő, hogy az utolsó számjegyek 00, 04, 08 legyenek, vagy ennek a számnak az utolsó két számjegyéből képzett kétjegyű szám osztható legyen 4.

A 2-vel (9-cel) való oszthatóság jele. Ahhoz, hogy egy természetes szám osztható legyen 3-mal (9-cel), szükséges és elegendő, hogy számjegyeinek összege osztható legyen 3-mal (9-cel).

Egész számok halmaza

Tekintsünk egy számegyenest az origóval a pontban O. A rajta lévő nulla szám koordinátája pont lesz O. Azokat a számokat, amelyek egy számegyenesen egy adott irányban helyezkednek el, pozitív számoknak nevezzük. Legyen adott egy pont a számegyenesen A 3. koordinátával. A 3-as pozitív számnak felel meg. Tegyük most félre a pontból mért egységszakasz háromszorosát O, az adott irányban. Akkor kapunk egy pontot A", pontra szimmetrikusan A eredetéhez képest O. pont koordinátája A" lesz egy szám - 3. Ez a 3-as számmal ellentétes szám. A számegyenesen az adott számmal ellentétes irányban elhelyezkedő számokat negatív számoknak nevezzük.

A természetes számokkal ellentétes számok számhalmazt alkotnak N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Ha összevonjuk a halmazokat N , N" és singleton készlet {0} , akkor kapunk egy készletet Z minden egész szám:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Egész számokra igaz az összes fent felsorolt ​​összeadás és szorzás törvénye, ami igaz a természetes számokra. Ezenkívül a következő kivonási törvényekkel egészül ki:

a - b = a + (- b) ;

a + (- a) = 0 .

Racionális számok halmaza

Annak érdekében, hogy az egész számok tetszőleges számmal való elosztása ne nullával egyenlő legyen, törteket vezetünk be:

Ahol aÉs b egész számok és b nem egyenlő nullával.

Ha az összes pozitív és negatív tört halmazát hozzáadjuk az egész számok halmazához, akkor megkapjuk a racionális számok halmazát K :

.

Sőt, minden egész szám egyben racionális szám is, hiszen például az 5-ös szám ábrázolható így is, ahol a számláló és a nevező egész számok. Ez fontos a racionális számokkal végzett műveleteknél, amelyek közül az egyik lehet egész szám.

A racionális számokra vonatkozó aritmetikai műveletek törvényei

A tört alaptulajdonsága. Ha egy adott tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk vagy osztjuk ugyanazzal a természetes számmal, akkor az adott törtszámot kapjuk:

Ezt a tulajdonságot a törtek csökkentésére használják.

Frakciók összeadása. A közönséges frakciók hozzáadásának meghatározása a következő:

.

Vagyis a különböző nevezőjű törtek összeadásához a törteket közös nevezőre redukáljuk. A gyakorlatban a különböző nevezőjű törtek összeadásakor (kivonásakor) a törtek a legkisebb közös nevezőre redukálódnak. Például így:

Ha ugyanazt a számlálót szeretné megadni, csak adja hozzá a számlálókat, és hagyja ugyanazt a nevezőt.

Törtek szorzása. A közönséges törtek szorzását a következőképpen határozzuk meg:

Vagyis egy tört törttel való szorzásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második tört számlálójával, és be kell írni a szorzatot az új tört számlálójába, és meg kell szorozni az első tört nevezőjét nevezője a második törtnek, és írja be a szorzatot az új tört nevezőjébe.

Törtek felosztása. A közönséges törtek felosztását a következőképpen határozzuk meg:

Vagyis egy tört törttel való osztásához meg kell szorozni az első tört számlálóját a második tört nevezőjével, és be kell írni a szorzatot az új tört számlálójába, és meg kell szorozni az első tört nevezőjét a második tört számlálóját, és írja be a szorzatot az új tört nevezőjébe.

Tört felemelése hatványra természetes kitevővel. Ennek a műveletnek a meghatározása a következő:

Ez azt jelenti, hogy egy tört hatványra emeléséhez a számlálót erre a hatványra, a nevezőt pedig erre a hatványra emeljük.

Periodikus tizedesjegyek

Tétel. Bármely racionális szám ábrázolható véges vagy végtelen periodikus törtként.

Például,

.

Egy szám tizedesjegyében a tizedespont után következetesen ismétlődő számjegycsoportot periódusnak nevezzük, és azt a véges vagy végtelen tizedes törtet, amelynek jelölésében ilyen pont szerepel, periodikusnak.

Ebben az esetben bármely véges tizedes tört végtelen periodikus törtnek számít, amelyben a periódus nulla, például:

Két racionális szám összeadásának, kivonásának, szorzásának és osztásának (a nullával való osztás kivételével) eredménye is racionális szám.

Valós számok halmaza

A számegyenesen, amelyet az egész számok halmazával kapcsolatban vettünk figyelembe, lehetnek olyan pontok, amelyeknek nincs koordinátája racionális szám formájában. Így nincs olyan racionális szám, amelynek négyzete 2. Ezért a szám nem racionális szám. Ezenkívül nincsenek racionális számok, amelyek négyzete egyenlő 5, 7, 9. Ezért a , , számok irracionálisak. A szám is irracionális.

Egyetlen irracionális szám sem ábrázolható periodikus törtként. Nem periódusos törtekként vannak ábrázolva.

A racionális és irracionális számok halmazának uniója a valós számok halmaza R .

19. meghatározás. Sok E hívott nyisd ki ha minden pontja belső, vagyis ha nem tartalmazza a határpontjait.

20. definíció. Sok E hívott zárva , ha az összes határpontját tartalmazza, azaz. (Másképp,
).

1. példa Bármi n-dimenziós integrál nyílt halmaz. Bármely szegmens zárt halmaz.

Különös figyelmet kell fordítani arra, hogy a zárt és nyitott halmazok osztályai nem fedik le az összes halmazt együtt, ráadásul ezek az osztályok metszik egymást. Vannak olyan készletek, amelyek nem zártak és nem nyitottak, valamint vannak olyan készletek, amelyek egyszerre zártak és nyitottak.

2. példa Az üres készletet zártnak kell tekinteni, bár egyben nyitva is van. Sok R A valós számok zárt és nyitottak egyidejűleg.

Sok K A racionális számok nem zárt és nem nyitottak. A lineáris félintervallum nem zárt és nem nyitott halmaz.

3. tétel. Bármilyen labda S(a, r) - nyitott készlet.

Bizonyíték:

Legyen . Vessünk
. Bizonyítsuk be, hogy a labda
(ez azt jelenti, hogy a labda bármely pontja
- belső, azaz
nyitott halmaz). Vegyük. Bizonyítsuk be
, ehhez megbecsüljük a távolságot
:

Következésképpen,
, azaz
, azaz S(a, r) - nyitott készlet.

4. tétel. Származtatott készlet
bármilyen készlet E zárva.

Bizonyíték:

Legyen
. Azután bármelyik környéken
pontokat van legalább egy pont készletek
, különböző . Mivel - a halmaz határpontja E, majd annak bármelyik szomszédságában (beleértve a benne található tetszőlegesen kicsinyet is
) van legalább egy pont készletek E, eltér a lényegtől . Így értelemszerűen a lényeg a halmaz határpontja E. Így,
, ami definíció szerint azt jelenti, hogy a halmaz E.

Megjegyzendő, hogy egy adott esetben a származtatott halmaz
üres lehet.

Nyitott és zárt halmazok tulajdonságai

5. tétel. Tetszőleges véges számú zárt halmaz uniója zárt halmaz.

Bizonyíték:

Legyen
zárt halmazok. Bizonyítsuk be
zárt készlet.

Legyen - a halmaz határpontja

. Azután - legalább az egyik halmaz határpontja
(ellentmondás bizonyítja). Mivel akkor zárt halmaz
. De aztán
. Tehát a halmaz bármely határpontja
hozzá tartozik, vagyis
zárva.

6. tétel. Tetszőleges számú zárt halmaz metszéspontja zárt halmaz.

Bizonyíték:

Legyen
- zárt készletek bármely gyűjteménye. Bizonyítsuk be
zárt készlet.

Legyen - a halmaz határpontja

. Ezután az 1. Tétel szerint bármelyik környéken

. De a készlet minden pontja
a halmazok pontjai is
. Ezért be
végtelenül sok pontot tartalmaz
. De minden készlet zárva, szóval

És
, azaz
zárva.

7. tétel. Ha a készlet F zárt, akkor a komplementere CF nyisd ki.

Bizonyíték:

Legyen . Mivel
akkor zárva nem a határpontja (
). De ez azt jelenti, hogy van egy környék
pontokat , amely nem tartalmazza a halmaz pontjait F, azaz
. Azután
és ezért - a készlet belső pontja
. Mivel - a halmaz tetszőleges pontja CF, akkor ennek a halmaznak minden pontja belső, azaz CF nyisd ki.

8. tétel. Ha a készlet G nyitott, majd annak kiegészítése CG zárva.

Bizonyíték:

Legyen együtt néhány környéken. Következésképpen, nem határpontja a halmaznak CG. Így,
számára nem korlátozó pont
, azaz
tartalmazza az összes határpontját. Definíció szerint,
zárva.

9. tétel. Tetszőleges számú nyitott halmaz uniója nyílt halmaz.

Bizonyíték:

Legyen
- nyílt halmazok tetszőleges gyűjtése És
. Bizonyítsuk be - nyitott készlet. Nekünk van:

.

A készletek óta nyisd ki
, majd a 8. tétel szerint a halmazokat
zárva
. Majd a 6. Tétel szerint metszéspontjuk

nyisd ki.

10. tétel. Tetszőleges számú nyitott halmaz metszéspontja nyitott halmaz.

Bizonyíték:

Legyen
- tetszőleges számú nyitott halmaz metszéspontja
. Bizonyítsuk be - nyitott készlet. Nekünk van:

.

A készletek óta nyisd ki
, majd a 8. tétel szerint a halmazokat
zárva
. Aztán az 5. Tétel szerint egyesülésük

zárva. A 7. tétel szerint a halmaz
nyisd ki.

Meghatározás: Sok A hívott zárva a * művelet tekintetében, ha ennek a műveletnek a halmaz bármely elemére történő alkalmazásának eredménye A szintén a készlet eleme A. (Ha van ilyen a,bÎ A, a*bÎ A, majd a készlet A a művelet alatt zárva *)

Egy halmaz műveletre vonatkozó zártságának bizonyításához vagy az összes eset közvetlen felsorolásával kell igazolni (1b. példa), vagy általános formában kell érvelni (2. példa). A bezárás megcáfolásához elegendő egy példát hozni a lezárás megsértésére (1a. példa).

1. példa.

Legyen A = {0;1}.

a) A * műveletnek az összeadás (+) aritmetikai műveletét vesszük. A készlet felfedezése A a zártságra az összeadás művelete tekintetében (+):

0 + 1 = 1 О A; 0 + 0 = 0 О A; 1 + 0 = 1О A; 1 + 1 = 2 П A.

Megvan, hogy egy esetben (1 + 1) a (+) művelet alkalmazásának eredménye a halmaz elemeire A nem tartozik a készlethez A. Ez alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a halmaz A nincs bezárva az összeadási művelet alatt.

b) Most a * műveletként a szorzás (×) műveletét vesszük.

0×1 = 0 О A; 0×0 = 0 О A; 1×0 = 0 О A; 1×1 = 1 О A.

A készlet bármely eleméhez A a szorzási művelet alkalmazásának eredménye is a halmaz eleme A. Következésképpen, A szorzás művelete alatt zárva.

2. példa.

Vizsgálja meg négy aritmetikai művelettel a 7 többszörösei egész számok halmazát a lezárásra.

Z 7 = {7n, nÎ Z ) azoknak a számoknak a halmaza, amelyek hét többszörösei.

Ez nyilvánvaló Z 7 nincs lezárva az osztási művelet tekintetében, mivel pl.

7 О Z 7 , 14 О Z 7, de 7: 14 = ½ Ï Z 7 .

Bizonyítsuk be a halmaz zártságát Z 7 az összeadási művelettel kapcsolatban. Legyen m, k tetszőleges egész számok, akkor 7 mÎ Z 7. és 7 kÎ Z 7. Tekintsük az összeget 7 m+ 7 k= 7∙(m+ k).

Nekünk van mÎ Z , kÎ Z . Z z kiegészítés alatt zárva van m+ k = l - egész szám, azaz lÎ Z Þ 7 lÎ Z 7 .

Így tetszőleges egész számokra mÉs k bebizonyította, hogy (7 m+ 7 k) Î Z 7. Ezért a készlet Z 7 bezárás alatt van. A kivonás és szorzás alatti zártság is hasonlóképpen bizonyított (csináld magad).

1.

a) páros számok halmaza (más szóval: 2-vel osztható egész számok halmaza Z 2));

b) negatív egész számok halmaza ( Z –);

ban ben) A = {0;1};

G) C= {–1;0;1}.

2. Vizsgálja meg a következő halmazokat a lezáráshoz az összeadás, kivonás, szorzás és osztás aritmetikai műveletei tekintetében:

a) páratlan számok halmaza;

b) azon természetes számok halmaza, amelyek utolsó számjegye nulla;

ban ben) B = {1};

G) D = {–1;1}.

3.

a) sok N természetes számok;

b) meg K racionális számok;

ban ben) D = {–1;1};

d) páratlan számok halmaza.

4. Vizsgálja meg a következő halmazok zártságát a hatványozás szempontjából:

a) sok Z egész számok;

b) meg R valós számok;

c) páros számok halmaza;

G) C = {–1; 0; 1}.

5. Hagyja a készletet G, amely csak racionális számokból áll, összeadás alatt zárva van.

a) Jelöljön meg tetszőleges három számot a G halmazban, ha ismert, hogy benne van a 4.

b) Bizonyítsuk be, hogy a halmaz G tartalmazza a 2-es számot, ha tartalmazza az 5-ös és a 12-es számokat.

6. Hagyja a készletet K, amely csak egész számokból áll, a kivonás alatt zárva van.

a) Jelölje meg a halmazban található bármely három számot! K, ha ismert, hogy 5-ös számot tartalmaz.

b) Bizonyítsuk be, hogy a halmaz K tartalmazza a 6-os számot, ha tartalmazza a 7-es és a 3-as számokat.

7. Mondjon példát természetes számokból álló halmazra, amely nem zárt a művelet alatt:

a) összeadás;

b) szorzás.

8. Adjon példát egy 4-es számot tartalmazó halmazra, amely a műveletek alatt van lezárva:

a) összeadás és kivonás;

Állítsa be a valódi vonal típusait

Pont helyzete az A halmazhoz képest

Egyirányú városrészek

A valódi vonal topológiája

Numerikus halmazok

Az alapvető számkészletek a szakaszÉs intervallum(a; b).

Az A számkészletet hívják felülről határolt, ha létezik olyan M szám, hogy egy £ M bármely a н A esetén. Az M szám ebben az esetben ún. felső arc vagy őrnagy készletek.

Supremum halmaz A, sup A-t nevezzük ...

... a legkisebb főbbje;

… egy M szám úgy, hogy egy £ M bármely a н A-hoz és M bármely szomszédságában az A halmaz eleme;

Hasonlóképpen a fogalmak alulról határolt», « minoráns" (alsó korlát), és " infimum» (pontos alsó határ).

A valódi sor teljessége (egyenértékű megfogalmazások)

1. Beágyazott szegmensek tulajdonsága. Legyenek adottak az É É … É É … szakaszok, amelyeknek legalább egy közös pontjuk van. Ha a szakaszok hossza tetszőlegesen kicsire választható, akkor egy ilyen pont egyedi.

Következmény: dichotómia módszer létezési tételekre. Legyen adott egy szegmens. Kettéosztjuk, és az egyik felét kiválasztjuk (úgy, hogy meglegyen a kívánt tulajdonsága). Ezt a felét jelöli. Ezt a folyamatot a végtelenségig folytatjuk. Egy olyan beágyazott szegmensrendszert kapunk, amelyek hossza megközelíti a 0-t. Így pontosan egy közös pontjuk van. Be kell bizonyítani, hogy ez lesz a szükséges.

2. Minden fent korlátolt nem üres halmazhoz létezik szuprémum.

3. Bármely két nem üres halmazra, amelyek közül az egyik a másiktól balra fekszik, létezik egy pont, amely elválasztja őket (szakaszok létezése).

Szomszédság:

U(x) = (a, b), a< x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;

U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;

U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).

Defektes környékek:

Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ (x); Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) = Ue(x) \ (x)

Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = )