DEFINÍCIÓ 5. Legyen X metrikus tér, ММ Х, aОХ. Egy a pontot M határpontjának nevezünk, ha az M\(a) halmaznak a szomszédságában vannak pontjai. Ez utóbbi azt jelenti, hogy a bármely szomszédságában vannak az M halmaznak olyan pontjai, amelyek különböznek a-tól.

Megjegyzések. 1. A határpont tartozhat a halmazhoz, vagy nem. Például 0 és 1 a (0,2) halmaz határpontjai, de az első nem tartozik bele, a második viszont igen.

2. Az M halmaz egy pontja nem lehet a határpontja. Ebben az esetben izolált M pontnak nevezzük. Például 1 a (-1,0)È(1) halmaz izolált pontja.

3. Ha az a határpont nem tartozik az M halmazhoz, akkor ebben a metrikus térben van egy x n нM pontsorozat, amely a-hoz konvergál. Ennek bizonyításához elegendő az 1/n sugarú ponton nyitott golyókat venni, és mindegyik golyóból kiválasztani egy M-hez tartozó pontot. Ez fordítva is igaz, ha van ilyen sorozat a-ra, akkor a pont határértéket jelent. pont.

DEFINÍCIÓ 6. Egy M halmaz lezárása M uniója a határpontjainak halmazával. Megnevezés .

Ne feledje, hogy a labda zárásának nem kell egybeesnie egy ugyanolyan sugarú zárt labdával. Például egy diszkrét térben a B(a,1) golyó zárása megegyezik magával a labdával (egyetlen a pontból áll), míg a zárt labda (a,1) egybeesik a teljes térrel.

Ismertesse meg a halmazok zárásának néhány tulajdonságát.

1. ММ . Ez közvetlenül következik a lezárás definíciójából.

2. Ha M Ì N, akkor Ì . Valóban, ha egy О , a ПМ, akkor a bármely szomszédságában vannak az M halmaznak pontjai. Ezek egyben N pontjai is. . Az M-ből származó pontok esetében ez definíció szerint egyértelmű.

4. .

5. Az üres készlet zárása üres. Ez a megállapodás nem abból következik általános meghatározás de természetes.

DEFINÍCIÓ 7. Egy M Ì X halmazt zártnak nevezünk, ha = M.

Az M Ì X halmazt nyitottnak nevezzük, ha az X\M halmaz zárva van.

Az M Ì X halmazt mindenhol sűrűnek nevezzük X-ben, ha = X.

DEFINÍCIÓ 8. Egy a pontot egy M halmaz belső pontjának nevezzük, ha B(a,r)ÌM valamilyen pozitív r esetén, azaz a belső pont valamilyen szomszédsággal együtt benne van a halmazban. Az a pontot egy M halmaz külső pontjának nevezzük, ha a B(a,r)ÌX/M golyó valamilyen pozitív r esetén, azaz a belső pont nem szerepel a halmazban valamilyen szomszédsággal együtt. Azokat a pontokat, amelyek nem belső és nem külső pontjai az M halmaznak, határpontoknak nevezzük.

Így a határpontokra az a jellemző, hogy mindegyik szomszédságukban vannak M-ben szereplő és nem szereplő pontok.

4. TÁJÉKOZTATÁS. Ahhoz, hogy egy halmaz nyitott legyen, szükséges és elegendő, hogy minden pontja belső legyen.

Példák zárt készletek a vonalon vannak , )