Egy körhöz viszonyított egyenes a következő három helyzetben lehet:

1. A kör középpontja és az egyenes távolsága nagyobb, mint a sugár. Ebben az esetben az egyenes minden pontja a körön kívül esik.


2. A kör középpontja és az egyenes távolsága kisebb, mint a sugár. Ebben az esetben az egyenesnek vannak pontjai a körön belül, és mivel az egyenes mindkét irányban végtelen, 2 pontban metszi a kört.


3. A kör középpontja és az egyenes távolsága egyenlő a sugárral. Egyenes vonal - érintő.

Az olyan egyenest, amelynek csak egy pontja van a körrel, nevezzük tangens a körbe.

A közös pontot ebben az esetben ún érintési pont.

A kör bármely pontján keresztül húzott érintő létezésének lehetőségét érintési pontként a következő tétel bizonyítja.

Tétel. Ha egy egyenes a körön fekvő végén merőleges egy sugárra, akkor ez az egyenes érintő.

Legyen O (rizs) valamilyen kör középpontja, OA pedig a sugarának egy része. Rajzolja be az MN ^ OA-t az A végénél.

Bizonyítani kell, hogy az MN egyenes érintő, azaz. hogy ennek az egyenesnek csak egy A közös pontja van a körrel.

Tegyük fel az ellenkezőjét: legyen MN-nek még egy közös pontja a körrel, például B.

Ekkor az OB egyenes egy sugár lenne, és ezért egyenlő az OA-val.

De ez nem lehet, hiszen ha OA merőleges, akkor OB-nak ferdének kell lennie MN-re, és a ferde nagyobb, mint a merőleges.

Inverz tétel. Ha egy egyenes érinti a kört, akkor az érintőpontra húzott sugár merőleges rá.

Legyen MN a kör érintője, A az érintőpont és O a kör középpontja.

Bizonyítani kell, hogy OA^MN.

Tegyük fel az ellenkezőjét, pl. tegyük fel, hogy az O-ból MN-be ejtett merőleges nem OA, hanem valami más egyenes, például OB.

Vegyük BC = AB és húzzuk OC.

Ekkor az OA és az OS ferde lesz, egyenlő távolságra a merőleges OB-tól, és ennek következtében OS = OA.

Ebből következik, hogy a körnek, figyelembe véve feltételezésünket, két közös pontja lesz az MN egyenessel: A és C, azaz. Az MN nem érintő, hanem szekáns lesz, ami ellentmond a feltételnek.

Következmény. A kör bármely pontján keresztül lehet húzni egy érintőt ennek a körnek, és csak egyet, mivel ezen a ponton keresztül lehet merőlegest húzni, sőt, csak egyet a körbe húzott sugárhoz.

Tétel. A húrral párhuzamos érintő az érintkezési pontban felezi az ívet, amelyet a húr kivon.

Érintse meg az AB egyenes (ábra) a kört az M pontban, és legyen párhuzamos a CD húrral.

Be kell bizonyítanunk, hogy ÈCM = ÈMD.

Az ME átmérőt az érintkezési ponton áthúzva a következőt kapjuk: EM ^ AB, tehát EM ^ CB.

Ezért CM=MD.

Egy feladat. Rajzolj egy érintőt egy adott körhöz egy adott ponton keresztül.

Ha adott pont egy körön van, akkor egy sugarat húzunk át rajta, és egy merőleges vonalat a sugár végén. Ez a vonal lesz a kívánt érintő.

Tekintsük azt az esetet, amikor a pont a körön kívül van megadva.

Legyen szükséges (ábra), hogy egy O középpontú kör érintőjét rajzoljunk az A ponton keresztül.

Ehhez az A pontból, mint a középpontból, írunk le egy AO sugarú ívet, és az O pontból, mint középpontból ezt az ívet a B és C pontokban metszük egy kör átmérőjével megegyező iránytűvel. .

Az OB és OC húrok megrajzolása után az A pontot összekötjük a D és E pontokkal, amelyeknél ezek az akkordok metszik az adott kört.

Az AD és AE egyenesek az O kör érintői.

A szerkezetből valóban látható, hogy az AOB és AOC csövek egyenlő szárúak (AO = AB = AC), amelyek OB és OS alapjai megegyeznek az O kör átmérőjével.

Mivel OD és OE sugarak, akkor D az OB felezőpontja, E pedig az OS felezőpontja, ami azt jelenti, hogy AD és AE egyenlő szárú pályák alapjaira húzott mediánok, ezért merőlegesek ezekre az alapokra. Ha a DA és EA egyenesek merőlegesek az OD és OE sugárra, akkor ezek érintők.

Következmény. Két, ugyanabból a pontból a körbe húzott érintő egyenlő, és egyenlő szöget zár be a pontot a középponttal összekötő egyenessel.

Tehát AD=AE és ÐOAD = ÐOAE (ábra), mert az AOD és AOE téglalap alakú csövek, amelyeknek közös AO hipotenusza és egyenlő száruk OD és OE (mint sugarak), egyenlőek.

Vegyük észre, hogy itt az „érintő” szó a tényleges „érintő szakaszt” jelenti az adott ponttól az érintési pontig.

Egy feladat. Rajzoljunk egy érintőt egy adott O körhöz, amely párhuzamos egy adott AB egyenessel (ábra).

Leengedjük az OC merőlegest AB-re az O középpontból, és megrajzoljuk az EF || AB.

A kívánt érintő EF lesz.

Valóban, mivel az OS ^ AB és az EF || AB, majd EF ^ OD, és a körön fekvő végén a sugárra merőleges egyenes egy érintő.

Egy feladat. Rajzoljunk közös érintőt két O és O 1 körre (ábra).

Elemzés. Tegyük fel, hogy a probléma megoldódott.

Legyen AB a közös érintő, A és B az érintőpontok.

Nyilvánvalóan, ha megtaláljuk az egyik pontot, például az A-t, akkor könnyen megtaláljuk a másikat is.

Rajzoljuk meg az OA és O 1 B sugarakat. Ezek a sugarak merőlegesek a közös érintőre, párhuzamosak egymással.

Ezért ha O 1-ből O 1 С ||-t rajzolunk BA, akkor az OCO 1-hez vezető út téglalap alakú lesz a C csúcsban.

Ennek eredményeként, ha O-ból, mint középpontból egy OS sugarú kört írunk le, akkor a C pontban érinti az O 1 C egyenest.

Ennek a segédkörnek a sugara ismert: egyenlő OA - SA = OA - O 1 B, azaz. egyenlő az adott körök sugarainak különbségével.

Építkezés. Az O középpontból egy sugarú kört írunk le, egyenlő a különbséggel sugáradatok.

O 1-ből húzunk egy O 1 C érintőt erre a körre (az előző feladatban jelzett módon).

A C érintőponton keresztül megrajzoljuk az OS sugarat, és addig folytatjuk, amíg az A pontban nem éri el az adott kört. Végül A-ból húzzuk meg az AB-t párhuzamosan CO 1 -gyel.

Pontosan ugyanígy megszerkeszthetünk egy másik közös érintőt is A 1 B 1 (ábra). Az AB és A 1 B 1 egyeneseket hívjuk külső közös érintők.

Megtehetsz még kettőt belsőérintők a következők szerint:

Elemzés. Tegyük fel, hogy a probléma megoldódott (ábra). Legyen AB a szükséges érintő.

Rajzolja meg az OA és O 1 B sugarakat az A és B érintőpontokban. Mivel ezek a sugarak merőlegesek a közös érintőre, párhuzamosak egymással.

Ezért ha O 1-ből O 1 С ||-t rajzolunk BA és folytassa az OA-t a C pontig, ekkor az OS merőleges lesz O 1 C-re.

Ennek eredményeként az OS sugár által az O pontból, mint középpontból leírt kör a C pontban érinti az O 1 C egyenest.

Ennek a segédkörnek a sugara ismert: egyenlő OA+AC = OA+O 1 B, azaz. egyenlő az adott körök sugarainak összegével.

Építkezés. O-ból mint középpontból egy kört írunk le, amelynek sugara megegyezik ezen sugarak összegével.

O 1-ből húzunk egy O 1 C érintőt erre a körre.

A C érintőpontot összekötjük O-val.

Végül az A ponton keresztül, amelyben OC metszi az adott kört, megrajzoljuk az AB = O 1 C-t.

Hasonló módon megszerkeszthetünk egy másik A 1 B 1 belső érintőt is.

Az érintő általános meghatározása

Húzzuk az AT érintőt és néhány AM szekánst a középpontú körre (ábra) az A ponton keresztül.

Forgassuk el ezt a szekánst az A pont körül úgy, hogy a másik B metszéspont egyre közelebb kerüljön A-hoz.

Ekkor a középpontból a szekáns felé eső merőleges OD egyre jobban megközelíti az OA sugarat, és az AOD szög kisebb lehet bármely kis szögnél.

A szekáns és az érintő által alkotott MAT szög egyenlő az AOD szöggel (az oldalaik merőlegessége miatt).

Ezért, ahogy a B pont korlátlanul közeledik A-hoz, a MAT szög is tetszőlegesen kicsivé válhat.

Ez más szavakkal a következőképpen fejeződik ki:

az érintő az a határhelyzet, amelybe az érintkezési ponton keresztül húzott szekáns hajlik, amikor a második metszéspont korlátlanul megközelíti az érintkezési pontot.

Ezt a tulajdonságot tekintjük az érintő definíciójának, ha bármilyen görbéről van szó.

Tehát az AB görbe érintője (ábra) az MT határhelyzet, amelyre az MN szekáns hajlik, amikor a P metszéspont korlátlanul megközelíti az M-et.

Figyeljük meg, hogy az így definiált érintőnek több közös pontja is lehet a görbével (ahogy az az ábrán is látható).

pontokat $x\_0\backslash in\; \backslash mathbb(R)$, és abban különbözik: $f\; \backslash in\; \backslash mathcal(D)(x\_0)$. Egy függvény grafikonjának érintője $f$ azon a ponton $x\_0$ egyenlettel megadott lineáris függvény grafikonjának nevezzük $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash quad\; x\backslash in\; \backslash mathbb(R)$.

Ha a funkció $f$ pontban van $x\_0$ végtelen származéka $f"(x\_0)\; =\; \backslash pm\backslash infty,$ akkor az érintővonal ebben a pontban az egyenlet által megadott függőleges egyenes $x\; =\; x\_0.$

Megjegyzés

A definícióból egyenesen következik, hogy az érintő egyenes grafikonja átmegy a ponton $(x\_0,f(x\_0))$. Injekció $\backslash alpha$ a görbe érintője és az x tengely között kielégíti az egyenletet

$\backslash operátornév(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0)=k,$

ahol $\backslash operátornév(tg)$ az érintőt jelenti, és $\backslash operátornév\; (k)$- érintő lejtős együttható. Származék egy ponton $x\_0$ egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének meredekségével $y\; =\; f(x)$ ezen a ponton.

Tangens, mint a szekáns határhelyzete

Legyen $f\backslash kettőspont\; U(x\_0)\; \backslash to\; \backslash R$És $x\_1\backslash in\; U(x\_0).$ Ezután a pontokon áthaladó egyenes $(x\_0,f(x\_0))$És $(x\_1,f(x\_1))$ egyenlettel adott

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0)(x-x\_0).$

Ez az egyenes áthalad a ponton $(x\_0,f(x\_0))$ bárkinek $x\_1\backslash in\; U(x\_0),$és dőlésszöge $\backslash alpha(x\_1)$ kielégíti az egyenletet

$\backslash operátornév(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0).$

A függvény deriváltjának megléte miatt $f$ azon a ponton $x\_0,$ határra haladva at $x\_1\backslash –x\_0,$ rájöttünk, hogy van határ

$\backslash lim\backslash limits\_(x\_1\; \backslash to\; x\_0)\; \backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

valamint az arctangens és a határolószög folytonossága miatt

$\backslash alpha\; =\; \backslash operátornév(arctg)\backslash ,f"(x\_0).$

Egy ponton átmenő egyenes $(x\_0,f(x\_0))$és amelynek dőlésszöge határértéke kielégíti $\backslash operátornév(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0),$érintő egyenlet adja meg:

$y\; \backslash u003d\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "(x\_0)\; (x-x\_0).$

A kör érintője

A kör érintőjének nevezzük azt az egyenest, amelynek a körrel egy közös pontja van, és egy síkban van vele.

Tulajdonságok

1. A kör érintője merőleges az érintkezési pontra húzott sugárra.
2. Az egyik pontból húzott kör érintőinek szakaszai egyenlőek, és egyenlő szöget zárnak be az ezen a ponton átmenő egyenessel és a kör középpontjával.
3. Az egységsugarú körhöz húzott érintő szegmensének hossza, amelyet az érintőpont és az érintőnek a kör középpontjából húzott sugárral való metszéspontja között veszünk, a sugár közötti szög érintője. és a kör középpontjától az érintési pontig tartó irányt. "Tangens" a lat. érintők- "érintő".

Változatok és általánosítások

Egyoldali félérintők

• Ha van megfelelő származéka azután jobb oldali szemitangens a függvény grafikonjára $f$ azon a ponton $x\_0$ gerendának hívják

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_+(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash geqslant\; x\_0.$

• Ha van baloldali származéka azután bal szemitangens a függvény grafikonjára $f$ azon a ponton $x\_0$ gerendának hívják

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_-(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash leqslant\; x\_0.$

• Ha van végtelen jobboldali derivált $f"\_+(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $f$ azon a ponton $x\_0$ gerendának hívják

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash leqslant\; f(x\_0)).$

• Ha van végtelen baloldali derivált $f"\_-(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ majd a függvény grafikonjának jobb oldali féltangensét $f$ azon a ponton $x\_0$ gerendának hívják

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash geqslant\; f(x\_0)).$

Lásd még

• Normális, binormális

Írjon véleményt az "Érintési vonal" cikkről

Irodalom

• Toponogov V. A. Görbék és felületek differenciálgeometriája. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
• // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára: 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Az érintővonalat jellemző részlet

- Helyeken! - kiáltott egy fiatal tiszt a Pierre körül összegyűlt katonákra. Ez a fiatal tiszt láthatóan először vagy másodszor töltötte be tisztségét, ezért mind a katonákkal, mind a parancsnokkal különös határozottsággal és egységességgel bánt.
Az ágyúk és puskák szabálytalan lövése az egész mezőn felerősödött, különösen balra, ahol Bagration villanásai voltak, de a Pierre helyéről érkező lövések füstje miatt szinte lehetetlen volt látni semmit. Sőt, azok a megfigyelések, amelyek arról szóltak, hogy egy családi (minden többitől elkülönült) emberkör, akik a telepen voltak, elnyelték Pierre minden figyelmét. Első öntudatlanul örömteli izgalmát, amelyet a csatatér látványa és hangjai váltottak ki, most, különösen a réten fekvő magányos katona látványa után, egy másik érzés váltotta fel. Most az árok lejtőjén ülve figyelte a körülötte lévő arcokat.
Tíz órára már húsz embert vittek el az ütegtől; két fegyver eltört, egyre több lövedék találta el az akkumulátort és repült, zümmögve és fütyülve, nagy hatótávolságú golyók. De az emberek, akik az akkumulátoron voltak, ezt nem vették észre; vidám beszélgetés és viccek hallatszottak mindenfelől.
- Csinenko! - kiáltott rá a katona a közeledő, sípoló gránátra. - Nem itt! A gyalogsághoz! - tette hozzá nevetve egy másik, aki észrevette, hogy a gránát átrepült és a fedezék sorait találta el.
- Milyen barát? - nevetett egy másik katona a repülő ágyúgolyó alatt kuporgó parasztra.
Több katona gyűlt össze a sáncnál, és nézték, mi történik előttünk.
"És levették a láncot, látod, visszamentek" - mondták a tengely fölé mutatva.
– Nézze meg a dolgát – kiáltott rájuk az öreg altiszt. - Visszamentek, ami azt jelenti, hogy van munka. - És az altiszt, vállánál fogva az egyik katonát, meglökte a térdével. Nevetés hallatszott.
- Gurulj az ötödik fegyverre! – kiáltotta egyik oldalról.
„Együtt, barátságosabban, burlatskiban” – hallatszott a fegyvert cserélők vidám kiáltása.
„Igen, majdnem levertem a gazdánk kalapját” – nevetett Pierre-re a vörös arcú joker, és a fogát mutatta. – Ó, ügyetlen – tette hozzá szemrehányóan a labdához, amely egy férfi kerekébe és lábába esett.
- Hát ti rókák! egy másik kinevette a vergődő milicistákat, akik a sebesültekért léptek be.
- Al nem ízletes zabkása? Ó, varjak, megingott! - kiabálták a milíciának, akik egy levágott lábú katona előtt tétováztak.
„Valami ilyesmit, kicsim” – mímelték a parasztok. - Nem szeretik a szenvedélyt.
Pierre észrevette, hogy minden egyes eltalált lövés után, minden egyes veszteség után egyre jobban fellángolt az általános felélénkülés.
Mint egy előretörő zivatarfelhőből, egyre gyakrabban, egyre fényesebben és fényesebben villantak fel mindezen emberek arcán (mintha visszautasítanák a történteket) rejtett, fellobbanó tűz villámai.
Pierre nem nézett előre a csatatéren, és nem érdekelte, hogy mi történik ott: teljesen elmerült ezen, az egyre égetőbb tüzet szemlélésében, amely (úgy érezte) a lelkében lobbant fel.
Tíz órakor visszavonultak a gyalogos katonák, akik a bozótban és a Kamenka folyó mentén haladtak az üteg előtt. Az ütegből látszott, ahogy visszarohantak mellette, fegyverükön cipelve a sebesülteket. Néhány tábornok kíséretével belépett a halomba, és miután beszélt az ezredessel, dühösen Pierre-re nézett, ismét leszállt, és megparancsolta az üteg mögött álló gyalogsági fedezéknek, hogy feküdjön le, hogy kevésbé legyen kitéve a lövéseknek. Ezt követően a gyalogság soraiban, az ütegtől jobbra dobszó, parancskiáltások hallatszottak, és az ütegből jól látszott, hogyan haladnak előre a gyalogság sorai.
Pierre az akna fölött nézett. Egy arcra különösen figyelt. Egy tiszt volt, aki sápadt, fiatal arccal hátrafelé sétált, leeresztett karddal, és nyugtalanul nézett körül.
A gyalogos katonák sorai eltűntek a füstben, hallatszottak hosszan tartó sikolyaik, gyakori puskalövéseik. Néhány perccel később sebesültek és hordágyak tömegei haladtak el onnan. A kagylók még gyakrabban kezdtek ütközni az akkumulátorral. Többen takarítatlanul feküdtek. Az ágyúk közelében a katonák mozgalmasabban és élénkebben mozogtak. Senki sem figyelt többé Pierre-re. Egyszer-kétszer dühösen kiabálták, hogy úton van. A rangidős tiszt összeráncolt arccal, nagy, gyors léptekkel haladt egyik fegyvertől a másikig. A fiatal tiszt még jobban kipirult, még szorgalmasabban parancsolt a katonáknak. A katonák lőttek, fordultak, rakodtak, és heves lelkiismeretesen végezték munkájukat. Útközben ugráltak, mintha rugókon lennének.

Emlékezzünk az esetekre relatív pozíció egyenes vonal és kör.

Adott egy O középpontú és r sugarú kör. A P egyenes, a középpont és az egyenes távolsága, azaz a merőleges OM egyenlő d-vel.

1. eset- a kör középpontja és az egyenes távolsága kisebb, mint a kör sugara:

Bebizonyítottuk, hogy abban az esetben, ha a d távolság kisebb, mint az r kör sugara, az egyenesnek és a körnek csak két közös pontja van (1. ábra).

Rizs. 1. 1. eset illusztráció

Második eset- a kör középpontja és az egyenes távolsága megegyezik a kör sugarával:

Bebizonyítottuk, hogy ebben az esetben a közös pont egyedi (2. ábra).

Rizs. 2. 2. eset illusztráció

3. eset- a kör középpontja és az egyenes távolsága nagyobb, mint a kör sugara:

Bebizonyítottuk, hogy ebben az esetben a körnek és az egyenesnek nincs közös pontja (3. ábra).

Rizs. 3. 3. eset illusztráció

Ebben a leckében a második eset érdekel, amikor az egyenesnek és a körnek egyetlen közös pontja van.

Meghatározás:

Azt az egyenest, amelynek egyetlen közös pontja van a körrel, a kör érintőjének, a közös pontot pedig az egyenes és a kör érintkezési pontjának nevezzük.

A p egyenes egy érintő, az A pont az érintkezési pont (4. ábra).

Rizs. 4. Érintő

Tétel:

A kör érintője merőleges az érintkezési pontra húzott sugárra (5. ábra).

Rizs. 5. A tétel illusztrációja

Bizonyíték:

Ellenkezőleg, ne legyen OA merőleges a p egyenesre. Ebben az esetben az O pontból ejtsük a merőlegest a p egyenesre, ami a kör középpontja és az egyenes távolsága lesz:

Derékszögű háromszögből azt mondhatjuk, hogy az OH befogó kisebb, mint az OA láb, azaz az egyenesnek és a körnek két közös pontja van, a p egyenes egy metsző. Így kaptunk egy ellentmondást, ami azt jelenti, hogy a tétel bizonyítva van.

Rizs. 6. A tétel illusztrációja

A fordított tétel is igaz.

Tétel:

Ha egy egyenes átmegy egy körön fekvő sugár végén, és merőleges erre a sugárra, akkor az érintő.

Bizonyíték:

Mivel az egyenes merőleges a sugárra, az OA távolság az egyenes és a kör középpontja közötti távolság, és egyenlő a sugárral: . Azaz, és ebben az esetben, ahogy korábban bebizonyítottuk, az egyenesnek és a körnek van egyetlen közös pontja - ez az A pont, tehát a p egyenes definíció szerint érinti a kört (7. ábra).

Rizs. 7. A tétel illusztrációja

A direkt és inverz tételek a következőképpen kombinálhatók (8. ábra):

Adott egy O középpontú, p egyenes, OA sugarú kör

Rizs. 8. A tétel illusztrációja

Tétel:

Egy egyenes akkor és csak akkor érinti a kört, ha az érintkezési pontra húzott sugár merőleges rá.

Ez a tétel azt jelenti, hogy ha az egyenes érintő, akkor az érintkezési pontra húzott sugár merőleges rá, és fordítva, az OA és p merőlegességéből az következik, hogy p érintő, azaz az egyenes és a kör egyetlen közös pontjuk van.

Tekintsünk két, ugyanabból a pontból a körbe húzott érintőt.

Tétel:

Az egyik pontból húzott kör érintőinek szakaszai egyenlőek, és egyenlő szöget zárnak be az ezen a ponton és a kör középpontján keresztül húzott egyenessel.

Adott egy kör, O középpont, A pont a körön kívül. Az A pontból két érintőt húzunk, a B és C pont az érintőpont. Be kell bizonyítani, hogy és a 3 és 4 szögek egyenlőek.

Rizs. 9. A tétel illusztrációja

Bizonyíték:

A bizonyítás a háromszögek egyenlőségén alapul . Magyarázza meg a háromszögek egyenlőségét! Téglalap alakúak, mivel az érintkezési pontra húzott sugár merőleges az érintőre. Ezért a és a szögek derékszögűek és egyenlőek -ben. Az OB és OS lábak egyenlőek, mivel ezek a kör sugara. Hypotenuse AO - gyakori.

Így a háromszögek egyenlőek a láb és a hipotenusz egyenlősége szempontjából. Ebből nyilvánvaló, hogy az AB és AC lábak is egyenlők. Az ellentétes szögeket is egyenlő oldalak, egyenlőek, tehát a szögek és , egyenlőek.

A tétel bizonyítást nyert.

Tehát megismerkedtünk a kör érintőjének fogalmával, a következő leckében megvizsgáljuk a körív fokmérőjét.

Bibliográfia

1. Aleksandrov A.D. stb Geometria 8. évfolyam. - M.: Oktatás, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria 8. - M.: Felvilágosodás, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria 8. osztály. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

Házi feladat

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al., Geometry 7-9, no. 634-637, p. 168.

Közvetlen ( MN) amelynek csak egy közös pontja van a körrel ( A), nak, nek hívják tangens a körbe.

A közös pontot ebben az esetben ún érintési pont.

A létezés lehetősége tangens, és ráadásul bármely ponton áthúzva körökben, mint érintkezési pontot a következők igazolják tétel.

Legyen kötelező körökben központosított O tangens ponton keresztül A. Erre, pontból A, mint a központból, írja le ív sugár AO, és a lényeg O, mint középpont, ezt az ívet pontokban metszük BÉs TÓL TŐL iránytű megoldása megegyezik az adott kör átmérőjével.

A kiadások után akkor akkordok OBÉs OS, csatlakoztassa a pontot A pontokkal DÉs E ahol ezek az akkordok metszik az adott kört. Közvetlen HIRDETÉSÉs AE - a kör érintője O. Valójában a konstrukcióból kitűnik, hogy háromszögek AOBÉs AOC egyenlő szárú(AO = AB = AC) alapokkal OBÉs OS, egyenlő a kör átmérőjével O.

Mivel ODÉs OE akkor a sugarak D - középső OB, de E- középső OS, azt jelenti HIRDETÉSÉs AE - mediánok az alapokhoz húzva egyenlő szárú háromszögek, és ezért merőlegesek ezekre az alapokra. Ha közvetlen DAÉs EA a sugarakra merőlegesen ODÉs OE, akkor azok érintők.

Következmény.

Két, ugyanabból a pontból a körbe húzott érintő egyenlő, és egyenlő szöget zár be a pontot a középponttal összekötő egyenessel.

Így AD=AEés ∠ OAD = ∠OAE mivel derékszögű háromszögek AODÉs AOE amelynek közös átfogó AOés egyenlő lábak ODÉs OE(mint a sugarak) egyenlők. Vegye figyelembe, hogy itt az „érintő” szó a tényleges „ érintő szegmens” az adott ponttól az érintkezési pontig.

A cikk részletes magyarázatot ad a definíciókra, geometriai érzék származék grafikus szimbólumokkal. Az érintővonal egyenletét példákkal tekintjük át, megtaláljuk a 2. rendű görbék érintőjének egyenleteit.

1. definíció

Az y \u003d k x + b egyenes dőlésszögét α szögnek nevezzük, amelyet az x tengely pozitív irányától a pozitív irányban y \u003d k x + b egyenesig mérünk.

Az ábrán az ökör irányát zöld nyíl és zöld ív, a hajlásszöget pedig piros ív jelzi. A kék vonal egyenes vonalra utal.

2. definíció

Az y \u003d k x + b egyenes meredekségét k numerikus együtthatónak nevezzük.

A meredekség egyenlő az egyenes meredekségével, más szóval k = t g α .

• Az egyenes meredeksége csak akkor 0, ha o x párhuzamos és a meredeksége nulla, mert a nulla érintője 0. Tehát az egyenlet alakja y = b lesz.
• Ha az y = k x + b egyenes dőlésszöge éles, akkor a feltételek 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается pozitív szám, mert az érintő értéke kielégíti a t g α > 0 feltételt, és a grafikonon növekedés tapasztalható.
• Ha α \u003d π 2, akkor az egyenes helye merőleges x-re. Az egyenlőséget az x = c egyenlőség adja meg, ahol c értéke valós szám.
• Ha az y = k x + b egyenes dőlésszöge tompa, akkor ez megfelel a π 2 feltételeknek< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

3. definíció

A szekáns egy egyenes, amely az f (x) függvény 2 pontján áthalad. Más szavakkal, a szekáns egy egyenes, amely a grafikon bármely két pontján áthalad. adott funkciót.

Az ábrán látható, hogy A B egy szekáns, és f (x) egy fekete görbe, α egy piros ív, amely a metsző hajlásszögét jelzi.

Ha egy egyenes meredeksége egyenlő a dőlésszög érintőjével, akkor egyértelmű, hogy az A B C derékszögű háromszög érintője megtalálható a szomszédos szárhoz képest.

4. definíció

Megkapjuk a képletet az űrlap szekánsának megtalálásához:

k = tg α = BCAC = f (x B) - fx A x B - x A , ahol az A és B pontok abszcisszái x A , x B és f (x A) , f (x) B) ezek az értékek függvényei ezeken a pontokon.

Nyilvánvaló, hogy a szekáns meredekségét a k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A vagy k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x egyenlőséggel határozzuk meg. B, és az egyenletet y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ill.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

A szekáns vizuálisan 3 részre osztja a grafikont: az A ponttól balra, A-tól B-ig, B-től jobbra. Az alábbi ábrán látható, hogy három szekáns van, amelyeket azonosnak tekintünk, azaz állítsa be hasonló egyenlettel.

Definíció szerint egyértelmű, hogy az egyenes és a szekánsa ebben az esetben egybeesik.

Egy szekáns többször is metszi egy adott függvény grafikonját. Ha van egy y \u003d 0 alakú egyenlet a szekánsra, akkor a szinuszos metszéspontok száma végtelen.

5. definíció

Az f (x) függvény grafikonjának érintője az x 0 pontban; f (x 0) egy adott x 0 ponton átmenő egyenesnek nevezzük; f (x 0), egy olyan szegmens jelenlétével, amelynek sok x értéke közel van x 0-hoz.

1. példa

Nézzük meg közelebbről az alábbi példát. Ekkor látható, hogy az y = x + 1 függvény által adott egyenest az (1 ; 2) koordinátájú pontban y = 2 x érintőnek tekintjük. Az egyértelműség kedvéért figyelembe kell venni az (1; 2) értékhez közeli grafikonokat. Az y = 2 x függvény feketével van jelölve, a kék vonal az érintő, a piros pont a metszéspont.

Nyilvánvaló, hogy y \u003d 2 x egyesül az y \u003d x + 1 egyenessel.

Az érintő meghatározásához figyelembe kell venni az A B érintő viselkedését, amikor a B pont végtelenül megközelíti az A pontot.

A kék vonallal jelzett A B szekáns magának az érintőnek a helyzete felé hajlik, és az α metsző hajlásszöge magának az érintőnek az α x dőlésszöge felé hajlik.

6. definíció

Az y \u003d f (x) függvény grafikonjának érintője az A pontban az A B szekáns határhelyzete B pontban, amely A felé hajlik, azaz B → A.

Most rátérünk egy függvény deriváltjának geometriai jelentésére egy pontban.

Térjünk át az AB szekáns figyelembevételére az f (x) függvényre, ahol A és B x 0, f (x 0) és x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) és ∆ koordinátákkal. x az argumentum növekményeként van jelölve. Ekkor a függvény ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) alakot vesz fel. Az érthetőség kedvéért vegyünk egy képet példaként.

Vegye figyelembe az eredményt derékszögű háromszög A B C. A megoldáshoz az érintő definícióját használjuk, azaz megkapjuk a ∆ y ∆ x = t g α arányt. Az érintő definíciójából következik, hogy lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . A deriválási szabály szerint egy pontban azt kapjuk, hogy az x 0 pontban lévő f (x) deriváltot a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határának nevezzük, ahol ∆ x → 0, akkor jelölése f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Ebből következik, hogy f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, ahol k x az érintő meredeksége.

Vagyis azt kapjuk, hogy f ' (x) létezhet az x 0 pontban, és a függvény adott gráfjának érintőjéhez hasonlóan az érintkezési pontban x 0, f 0 (x 0) , ahol az érték pontban az érintő meredeksége egyenlő az x 0 pontban lévő deriválttal. Ekkor azt kapjuk, hogy k x = f "(x 0) .

Egy függvény deriváltjának egy pontban geometriai jelentése az, hogy adott a gráf érintőjének ugyanabban a pontban való létezésének fogalma.

Bármely egyenes egyenletének a síkban történő felírásához szükség van egy meredekségre azzal a ponttal, amelyen áthalad. Kijelölése x 0 a metszéspontban.

Az y \u003d f (x) függvény grafikonjának érintőjének egyenlete az x 0, f 0 (x 0) pontban y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x) 0) .

Ez azt jelenti, hogy az f "(x 0) derivált végső értéke meghatározhatja az érintő helyzetét, azaz függőlegesen lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ és lim x → x 0 feltétel mellett. - 0 f "(x ) = ∞ vagy hiányzás egyáltalán a lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) feltétel mellett.

Az érintő helye függ a meredekségének kx \u003d f "(x 0) értékétől. Ha párhuzamos az x tengellyel, akkor azt kapjuk, hogy kk \u003d 0, ha párhuzamos körülbelül y - kx \u003d ∞, és a az x \u003d x 0 érintőegyenlet alakja növekszik, ha kx > 0, és csökken, ha kx< 0 .

2. példa

Állítsa össze az y \u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 függvény grafikonjának érintőjének egyenletét egy (1; 3) koordinátájú pontban a szög definíciójával. hajlam.

Megoldás

Feltételezzük, hogy a függvény mindenre definiálva van valós számok. Azt kapjuk, hogy az (1 ; 3) feltétel által megadott koordinátájú pont az érintkezési pont, ekkor x 0 = - 1, f (x 0) = - 3 .

Meg kell találni a deriváltot a - 1 értékű pontban. Ezt értjük

y "= ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" == ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Az f ’ (x) értéke az érintkezési pontban az érintő meredeksége, amely egyenlő a meredekség érintőjével.

Ekkor k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Ebből következik, hogy α x = a r c t g 3 3 = π 6

Válasz: az érintőegyenlet alakot ölt

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Az érthetőség kedvéért adunk egy példát egy grafikus illusztrációban.

A fekete szín az eredeti függvény grafikonja, a kék szín az érintő kép, a piros pont az érintési pont. A jobb oldali ábra nagyított nézetet mutat.

3. példa

Nézze meg, hogy létezik-e érintője egy adott függvény gráfjához
y = 3 x - 1 5 + 1 az (1 ; 1) koordinátákkal rendelkező pontban. Írjon fel egyenletet, és határozza meg a dőlésszöget!

Megoldás

Feltételezzük, hogy az adott függvény tartománya az összes valós szám halmaza.

Térjünk át a származék megtalálására

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ha x 0 = 1, akkor f ' (x) nincs definiálva, de a határértékek a következőképpen vannak felírva: lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ és lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , ami függőleges érintő létezését jelenti pont (1 ; 1) .

Válasz: az egyenlet x \u003d 1 alakot vesz fel, ahol a dőlésszög egyenlő π 2-vel.

Ábrázoljuk az érthetőség kedvéért.

4. példa

Határozzuk meg az y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 függvénygráf pontjait, ahol

1. Az érintő nem létezik;
2. Az érintő párhuzamos x-szel;
3. Az érintő párhuzamos az y = 8 5 x + 4 egyenessel.

Megoldás

Figyelmet kell fordítani a meghatározás területére. Feltételezzük, hogy a függvény az összes valós szám halmazán definiálva van. Bővítse ki a modult és oldja meg a rendszert x ∈ - ∞ intervallumokkal; 2 és [-2; +∞) . Ezt értjük

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

A funkciót meg kell különböztetni. Nálunk ez van

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Ha x = - 2, akkor a derivált nem létezik, mert az egyoldali határértékek nem egyenlőek ezen a ponton:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Kiszámoljuk a függvény értékét az x \u003d - 2 pontban, ahol ezt kapjuk

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, azaz az érintő pont (- 2; - 2) nem fog létezni.
2. Az érintő párhuzamos x-szel, ha a meredekség nulla. Ekkor kx \u003d tg α x \u003d f "(x 0). Vagyis meg kell találni az ilyen x értékeit, amikor a függvény deriváltja nullára fordítja. Vagyis az értékeket f '(x) és olyan érintkezési pontok lesznek, ahol az érintő párhuzamos az x-szel.

Ha x ∈ - ∞ ; - 2 , akkor - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, és x ∈ (- 2 ; + ∞) esetén 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Kiszámoljuk a függvény megfelelő értékeit

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y ( - 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Ezért - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3-at tekintjük a függvény grafikonjának kívánt pontjainak.

Tekintsük a megoldás grafikus ábrázolását.

A fekete vonal a függvény grafikonja, a piros pontok az érintési pontok.

1. Ha a vonalak párhuzamosak, a lejtések egyenlőek. Ezután meg kell keresni a függvény grafikonjának pontjait, ahol a meredekség egyenlő lesz a 8 5 értékkel. Ehhez meg kell oldani egy y "(x) = 8 5 alakú egyenletet. Ekkor, ha x ∈ - ∞; - 2, akkor azt kapjuk, hogy - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, és ha x ∈ ( - 2 ; + ∞) , akkor 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Az első egyenletnek nincs gyöke, mert a diszkrimináns kisebb, mint nulla. Ezt írjuk le

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Egy másik egyenletnek tehát két valós gyöke van

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Térjünk át a függvény értékeinek megkeresésére. Ezt értjük

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Pontok értékkel - 1 ; 4 15 , 5 ; 8 3 azok a pontok, ahol az érintők párhuzamosak az y = 8 5 x + 4 egyenessel.

Válasz: fekete vonal - a függvény grafikonja, piros vonal - y grafikon \u003d 8 5 x + 4, kék vonal - érintők a pontokban - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Adott függvényekre végtelen számú érintő létezése lehetséges.

5. példa

Írja fel az y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 függvény összes elérhető érintőjének egyenletét, amely merőleges az y = - 2 x + 1 2 egyenesre!

Megoldás

Az érintőegyenlet összeállításához meg kell találni az érintőpont együtthatóját és koordinátáit, az egyenesek merőlegességének feltétele alapján. A definíció így hangzik: az egyenesekre merőleges lejtők szorzata egyenlő -1-gyel, azaz k x · k ⊥ = - 1-ként van felírva. Abból a feltételből kapjuk, hogy a meredekség merőleges az egyenesre és egyenlő k ⊥ = - 2, akkor k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Most meg kell találnunk az érintési pontok koordinátáit. Meg kell találni x-et, ami után az értéke egy adott függvényhez. Vegyük észre, hogy a pontbeli derivált geometriai jelentéséből
x 0 azt kapjuk, hogy k x \u003d y "(x 0) . Ebből az egyenlőségből megkapjuk az érintési pontok x értékeit.

Ezt értjük

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin - 3 π 2 4 = - 1 9

Ez trigonometrikus egyenlet az érintési pontok ordinátáinak kiszámítására szolgál.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk vagy 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk vagy 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk vagy x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z az egész számok halmaza.

X érintkezési pontot találtunk. Most meg kell keresnie az y értékeket:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 vagy y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 vagy y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 vagy y 0 = - 4 5 + 1 3

Innen azt kapjuk, hogy 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 érintési pontok.

Válasz: a szükséges egyenletek így lesznek felírva

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

A vizuális ábrázoláshoz vegye figyelembe a függvényt és a koordinátaegyenes érintőjét.

Az ábrán látható, hogy a függvény helye a [-10; 10] , ahol a fekete vonal a függvény grafikonja, a kék vonalak az adott y = - 2 x + 1 2 alakú egyenesre merőleges érintők. A piros pontok érintési pontok.

A 2. rendű görbék kanonikus egyenletei nem egyértékű függvények. A hozzájuk tartozó érintőegyenleteket jól ismert sémák szerint állítják össze.

A kör érintője

Egy x c e n t e r pontban középpontos kör beállításához; y c e n t e r és R sugár esetén az x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 képletet használjuk.

Ez az egyenlőség két függvény uniójaként írható fel:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Az első funkció felül, a második pedig alul található, ahogy az ábrán is látható.

Kör egyenletének felállítása egy x 0 pontban; y 0, amely a felső vagy az alsó félkörben található, meg kell találnia az y \u003d R 2 - x - xcenter 2 + ycenter vagy y \u003d - R 2 - x - xcenter 2 + alakú függvénygráf egyenletét. ycenter a megadott ponton.

Amikor x c e n t e r pontokban; y c e n t e r + R és x c e n t e r ; y c e n t e r - R érintők az y = y c e n t e r + R és y = y c e n t e r - R egyenletekkel adhatók meg, valamint az x c e n t e r + R pontokban; y c e n t e r és
x c e n t e r - R ; y c e n t e r párhuzamos lesz y körül, akkor x = x c e n t e r + R és x = x c e n t e r - R alakú egyenleteket kapunk.

Ellipszis érintője

Ha az ellipszis középpontja x c e n t e r ; y c e n t e r a és b féltengelyekkel, akkor az x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 egyenlet segítségével adható meg.

Egy ellipszis és egy kör jelölhető két függvény, nevezetesen a felső és az alsó félellipszis kombinálásával. Akkor azt kapjuk

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ha az érintők az ellipszis csúcsaiban helyezkednek el, akkor párhuzamosak x-szel vagy y-vel. Az érthetőség kedvéért vegye figyelembe az alábbi ábrát.

6. példa

Írja fel az x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ellipszis érintőjének egyenletét olyan pontokban, amelyek x értéke egyenlő x = 2 .

Megoldás

Meg kell találni azokat az érintési pontokat, amelyek megfelelnek az x = 2 értéknek. Behelyettesítjük az ellipszis létező egyenletét, és megkapjuk azt

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Aztán 2 ; 5 3 2 + 5 és 2 ; - 5 3 2 + 5 a felső és alsó félellipszishez tartozó érintőpontok.

Térjünk át az ellipszis egyenletének megtalálására és feloldására y-hoz képest. Ezt értjük

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 év - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Nyilvánvaló, hogy a felső félellipszist y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 formájú függvény segítségével adjuk meg, az alsót pedig y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

A szabványos algoritmust alkalmazzuk egy pontban egy függvény grafikonjának érintőjének egyenletének megfogalmazására. Azt írjuk, hogy az első érintő egyenlete a 2. pontban; 5 3 2 + 5 fog kinézni

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Azt kapjuk, hogy a második érintő egyenlete a pont értékével
2; - 5 3 2 + 5 lesz

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafikusan az érintőket a következőképpen jelöljük:

A hiperbola érintője

Amikor a hiperbolának van egy középpontja az x c e n t e r pontban; y c e n t e r és csúcsok x c e n t e r + α ; y c e n t e r és x c e n t e r - α ; y c e n t e r, az x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 egyenlőtlenség adott, ha x c e n t e r csúcsokkal; y c e n t e r + b és x c e n t e r ; y c e n t e r - b ekkor az x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 egyenlőtlenséggel adódik.

A hiperbola az űrlap két kombinált függvényeként ábrázolható

y = ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter = - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter vagy y = ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycenter = - ba (x - xcenter ) 2 + a 2 + ycenter

Az első esetben az érintők párhuzamosak y-val, a második esetben pedig párhuzamosak x-szel.

Ebből következik, hogy a hiperbola érintőjének egyenletének megtalálásához meg kell találni, hogy az érintőpont melyik függvényhez tartozik. Ennek megállapításához be kell cserélni az egyenleteket, és ellenőrizni kell az azonosságukat.

7. példa

Írja fel az x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 hiperbola érintőjének egyenletét a 7. pontban; - 3 3 - 3 .

Megoldás

A hiperbola keresési megoldásának rekordját 2 függvény segítségével kell átalakítani. Ezt értjük

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 vagy y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Meg kell határozni, hogy melyik funkcióhoz tartozik adott pont koordinátákkal 7 ; - 3 3 - 3 .

Nyilvánvalóan az első függvény ellenőrzéséhez y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 szükséges, akkor a pont nem tartozik a gráfhoz, mivel az egyenlőség nem teljesül.

A második függvénynél azt kapjuk, hogy y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , ami azt jelenti, hogy a pont az adott gráfhoz tartozik. Innen kell megtalálnia a lejtés együtthatóját.

Ezt értjük

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Válasz: az érintőegyenletet úgy ábrázolhatjuk

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Ez a következőképpen jelenik meg:

A parabola érintője

Az y \u003d ax 2 + bx + c parabola érintőjének egyenletének összeállításához az x 0, y (x 0) pontban a szabványos algoritmust kell használnia, ekkor az egyenlet a következőképpen alakul: y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Egy ilyen érintő a csúcsban párhuzamos x-szel.

Az x = a y 2 + b y + c parabolát két függvény uniójaként kell meghatározni. Ezért meg kell oldanunk az y egyenletet. Ezt értjük

x = ay 2 + + c ⇔ ay 2 + + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Ábrázoljuk a következőképpen:

Ha meg szeretné tudni, hogy egy x 0 , y (x 0) pont egy függvényhez tartozik-e, óvatosan kövesse a szabványos algoritmust. Egy ilyen érintő párhuzamos lesz y-val a parabolához képest.

8. példa

Írjuk fel az x - 2 y 2 - 5 y + 3 gráf érintőjének egyenletét, ha az érintő meredeksége 150°.

Megoldás

A megoldást úgy kezdjük, hogy a parabolát két függvényként ábrázoljuk. Ezt értjük

2 év 2 - 5 év + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 xy = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8x-4

A meredekség értéke megegyezik a függvény x 0 pontjában a derivált értékével, és megegyezik a meredekség érintőjével.

Kapunk:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Innen határozzuk meg a tapintási pontok x értékét.

Az első függvény így lesz írva

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Nyilvánvalóan nincsenek valódi gyökerek, hiszen negatív értéket kaptunk. Arra a következtetésre jutottunk, hogy egy ilyen függvényhez nincs 150°-os szögű érintő.

A második függvény így lesz írva

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Megvan, hogy az érintési pontok - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Válasz: az érintőegyenlet alakot ölt

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Ábrázoljuk a következőképpen:

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt