Eloszlási sűrűség valószínűségek x hívja meg a függvényt f(x) az eloszlásfüggvény első deriváltja F(x):

A valószínűségi sűrűség eloszlás fogalma valószínűségi változó x számára diszkrét mennyiség nem alkalmazható.

Valószínűségi sűrűség f(x)- hívott differenciál funkció disztribúciók:

1. tulajdonság. Az eloszlási sűrűség nem negatív érték:

2. tulajdonság. Az eloszlássűrűség nem megfelelő integrálja a -tól ig egyenlő eggyel:

1.25. példa. Adott egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye X:

f(x).

Megoldás: Az eloszlássűrűség egyenlő az eloszlásfüggvény első deriváltjával:

1. Adott egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye X:

Keresse meg az eloszlási sűrűséget.

2. Adott egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye X:

Keresse meg az eloszlási sűrűséget f(x).

1.3. A folytonos véletlen numerikus jellemzői

mennyiségeket

Várható érték folytonos valószínűségi változó x, melynek lehetséges értékei a teljes tengelyhez tartoznak Ó, az egyenlőség határozza meg:

Feltételezzük, hogy az integrál abszolút konvergál.

a,b), azután:

f(x) a valószínűségi változó eloszlási sűrűsége.

Diszperzió folytonos valószínűségi változó x, melynek lehetséges értékei a teljes tengelyhez tartoznak, az egyenlőség határozza meg:

Különleges eset. Ha a valószínűségi változó értékei a ( a,b), azután:

Annak a valószínűsége x intervallumhoz tartozó értékeket vesz fel ( a,b), az egyenlőség határozza meg:

.

1.26. példa. Folyamatos valószínűségi változó x

Megtalálni várható érték, szórása és valószínűsége, hogy eltalál egy valószínűségi változót x intervallumban (0; 0,7).

Megoldás: A valószínűségi változó eloszlik a (0,1) intervallumon. Határozzuk meg egy folytonos valószínűségi változó eloszlási sűrűségét x:

a) Matematikai elvárás :

b) Diszperzió

ban ben)

Feladatok a önálló munkavégzés:

1. Véletlen változó x az eloszlási függvény adja meg:

M(x);

b) diszperzió D(x);

x a (2,3) intervallumba.

2. Véletlenszerű érték x

Keresse meg: a) matematikai elvárást M(x);

b) diszperzió D(x);

c) határozza meg egy valószínűségi változó eltalálásának valószínűségét x intervallumban (1; 1,5).

3. Véletlenszerű érték x az integrál eloszlásfüggvény adja meg:

Keresse meg: a) matematikai elvárást M(x);

b) diszperzió D(x);

c) határozza meg egy valószínűségi változó eltalálásának valószínűségét x az intervallumban.

1.4. Folytonos valószínűségi változó eloszlásának törvényei

1.4.1. Egyenletes eloszlás

Folyamatos valószínűségi változó x egyenletes eloszlású a [ a,b], ha ezen a szegmensen egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának sűrűsége állandó, kívül pedig egyenlő nullával, azaz:

Rizs. 4.

; ; .

1.27. példa. Valamelyik útvonalon közlekedő busz egyenletesen, 5 perces időközönként közlekedik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó x– a busz várakozási ideje kevesebb lesz, mint 3 perc.

Megoldás: Véletlenszerű érték x- egyenletesen elosztva az intervallumon belül.

Valószínűségi sűrűség: .

Annak érdekében, hogy a várakozási idő ne haladja meg a 3 percet, az utasnak az előző busz indulását követő 2-5 percen belül meg kell érkeznie a megállóhelyre, azaz. véletlenszerű érték x a (2;5) intervallumon belül kell lennie. Hogy. kívánt valószínűség:

Önálló munkavégzés feladatai:

1. a) határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását! x egyenletesen elosztva az intervallumban (2; 8);

b) keresse meg egy valószínűségi változó varianciáját és szórását X, egyenletesen elosztva a (2;8) intervallumban.

2. A villanyóra percmutatója minden perc végén ugrik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy adott pillanatban az óra azt az időt mutatja, amely legfeljebb 20 másodperccel tér el a valós időtől.

1.4.2. Az exponenciális (exponenciális) eloszlás

Folyamatos valószínűségi változó x exponenciális eloszlású, ha valószínűségi sűrűsége a következő:

ahol az exponenciális eloszlás paramétere.

Ily módon

Rizs. öt.

Numerikus jellemzők:

1.28. példa. Véletlenszerű érték x- az izzó működési ideje - exponenciális eloszlású. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a lámpa élettartama legalább 600 óra, ha a lámpa átlagos élettartama 400 óra.

Megoldás: A feladat feltételének megfelelően egy valószínűségi változó matematikai elvárása x 400 óra, tehát:

;

A kívánt valószínűség , hol

Végül:

Önálló munkavégzés feladatai:

1. Írja fel az exponenciális törvény sűrűség- és eloszlásfüggvényét, ha a paraméter .

2. Véletlenszerű érték x

Keresse meg egy mennyiség matematikai elvárását és szórását! x.

3. Véletlenszerű érték x a valószínűségi eloszlás függvénye adja meg:

Határozza meg egy valószínűségi változó matematikai elvárását és szórását!

1.4.3. Normális eloszlás

Normál folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának nevezzük x, amelynek sűrűsége a következő:

ahol de– matematikai elvárás, – szórás x.

Annak a valószínűsége x intervallumhoz tartozó értéket vesz fel:

, ahol

a Laplace függvény.

Egy disztribúció, amely rendelkezik ; , azaz valószínűségi sűrűséggel szabványnak nevezik.

Rizs. 6.

Annak a valószínűsége, hogy az abszolút érték eltérése kisebb, mint pozitív szám :

.

Főleg, hogy mikor a= 0 egyenlőség igaz:

Példa 1.29. Véletlenszerű érték x normálisan elosztva. Szórás . Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó abszolút értékben való eltérése a matematikai elvárásától kisebb lesz 0,3-nál.

Megoldás: .

Önálló munkavégzés feladatai:

1. Írja fel egy valószínűségi változó normális eloszlásának valószínűségi sűrűségét! x, ennek tudatában M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Normális eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása x 20, illetve 5. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként x a (15;20) intervallumban lévő értéket veszi fel.

3. A véletlenszerű mérési hibákra a normál törvény vonatkozik, mm szórással és matematikai elvárással a= 0. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 3 független mérés közül legalább az egyik hibája abszolút értékben nem haladja meg a 4 mm-t!

4. Egyes anyagokat szisztematikus hibák nélkül lemérnek. A véletlenszerű mérési hibákra r szórással a normál törvény vonatkozik. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a mérést abszolút értékben legfeljebb 10 g hibával hajtják végre.

A diszkrét valószínűségi változókkal ellentétben a folytonos valószínűségi változók nem adhatók meg eloszlási törvényének táblázata formájában, mivel lehetetlen felsorolni és kiírni az összes értékét egy bizonyos sorrendben. A folytonos valószínűségi változó meghatározásának egyik lehetséges módja egy eloszlásfüggvény használata.

MEGHATÁROZÁS. Az eloszlásfüggvény egy olyan függvény, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó olyan értéket vesz fel, amelyet a valós tengelyen az x ponttól balra lévő pont ábrázol, azaz.

Néha az "eloszlási függvény" kifejezés helyett az "integrális függvény" kifejezést használják.

Az elosztási függvény tulajdonságai:

1. Az eloszlásfüggvény értéke a 0F(x)1 szegmenshez tartozik
2. F(x) nem csökkenő függvény, azaz. F(x 2)F(x 1), ha x 2 >x 1

Következmény 1. Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó felvesz egy értéket az (a,b) intervallumban, egyenlő az eloszlásfüggvény növekményével ezen az intervallumon:

P(aX

9. példa Egy X valószínűségi változót egy eloszlásfüggvény ad meg:

Határozza meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként X a (0; 2) intervallumhoz tartozó értéket vesz fel: P(0)

Megoldás: Mivel a (0;2) intervallumon feltétel szerint F(x)=x/4+1/4, akkor F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Tehát P(0

Következmény 2. Annak a valószínűsége, hogy egy X folytonos valószínűségi változó egy meghatározott értéket vesz fel, nullával egyenlő.

Következmény 3. Ha egy valószínűségi változó lehetséges értékei az (a;b) intervallumhoz tartoznak, akkor: 1) F(x)=0 xa esetén; 2) F(x)=1 xb esetén.
A következő határviszonyok érvényesek:

Az eloszlásfüggvény grafikonja az y=0, y=1 egyenesek által határolt sávban található (az első tulajdonság). Amint x növekszik az (a;b) intervallumban, amely a valószínűségi változó összes lehetséges értékét tartalmazza, a grafikon "felfelé emelkedik". xa esetén a gráf ordinátái egyenlők nullával; xb-nél a gráf ordinátái egyenlőek eggyel:

1. kép

10. példa Egy X diszkrét valószínűségi változót egy eloszlási táblázat ad meg:

x	1	4	8
P	0.3	0.1	0.6

Keresse meg az eloszlásfüggvényt, és készítse el a grafikonját.
Megoldás: Az eloszlásfüggvény a következőképpen írható fel analitikusan:

2. ábra

DEFINÍCIÓ: Az X folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége az f (x) függvény - az F (x) eloszlásfüggvény első deriváltja: f (x) \u003d F "(x)

Ebből a definícióból következik, hogy az eloszlásfüggvény az eloszlássűrűség antideriváltja.

Tétel. Annak a valószínűsége, hogy egy X folytonos valószínűségi változó az (a; b) intervallumhoz tartozó értéket vesz fel, egyenlő az eloszlássűrűség egy bizonyos integráljával, a-tól b-ig terjedő tartományban:

(8)

A valószínűségi sűrűség tulajdonságai:

1. A valószínűségi sűrűség egy nem negatív függvény: f(x)0.
2. Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűségének -∞ és +∞ közötti határozott integrálja egyenlő 1-gyel: f(x)dx=1.
3. Egy folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűségének -∞-től x-ig terjedő határozott integrálja egyenlő ennek a változónak az eloszlásfüggvényével: f(x)dx=F(x)

11. példa Adott egy X valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként X a (0,5; 1) intervallumhoz tartozó értéket vesz fel!

Megoldás: Kívánt valószínűség:

Terjesszük ki a diszkrét mennyiségek numerikus jellemzőinek meghatározását folytonos mennyiségekre. Adjon meg egy X folytonos valószínűségi változót az f(x) eloszlássűrűség.

MEGHATÁROZÁS. Egy folytonos X valószínűségi változó matematikai elvárását, amelynek lehetséges értékei a szegmenshez tartoznak, határozott integrálnak nevezzük:

M(x)=xf(x)dx (9)

Ha a lehetséges értékek a teljes x-tengelyhez tartoznak, akkor:

M(x)=xf(x)dx (10)

Egy X folytonos valószínűségi változó M 0 (X) módusa a lehetséges értéke, amely megfelel az eloszlássűrűség lokális maximumának.

Egy X folytonos valószínűségi változó mediánja M e (X) a lehetséges értéke, amelyet a következő egyenlőség határoz meg:

P(Xe(X))=P(X>M e(X))

MEGHATÁROZÁS. Egy folytonos valószínűségi változó szórása az eltérés négyzetének matematikai elvárása. Ha az X lehetséges értékei a szegmenshez tartoznak, akkor:

D(x)=2 f(x)dx (11)
vagy
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)

Ha a lehetséges értékek a teljes x-tengelyhez tartoznak, akkor.

Valószínűségelméletben olyan valószínűségi változókkal kell számolni, amelyeknek mindegyik értéke nem válogatható ki. Például lehetetlen átvenni és "válogatni" az $X$ valószínűségi változó összes értékét - az óra üzemidejét, mivel az idő mérhető órákban, percekben, másodpercekben, ezredmásodpercekben stb. Csak egy bizonyos intervallumot adhat meg, amelyen belül a valószínűségi változó értékei találhatók.

Folyamatos valószínűségi változó egy valószínűségi változó, amelynek értékei teljesen kitöltenek egy bizonyos intervallumot.

Folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

Mivel egy folytonos valószínűségi változó összes értékét nem lehet rendezni, az eloszlásfüggvénnyel megadható.

elosztási függvény A $X$ valószínűségi változó a $F\left(x\right)$ függvény, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy a $X$ valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel, mint valamilyen $x$ rögzített érték, azaz $F\left(x\ jobb)$ )=P\left(X< x\right)$.

Az elosztási függvény tulajdonságai:

1 . $0\le F\left(x\right)\le 1$.

2 . Annak a valószínűsége, hogy a $X$ valószínűségi változó értéket vesz fel a $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ intervallumból, egyenlő az eloszlásfüggvény értékei közötti különbséggel ezen intervallum végén : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - nem csökkenő.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

1. példa
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(mátrix)\jobbra.$. Annak a valószínűsége, hogy egy $X$ valószínűségi változó a $\left(0.3;0.7\right)$ intervallumba esik, a $F\left(x\right)$ eloszlásfüggvény értékei közötti különbségként kereshető ennek az intervallumnak a vége, azaz:

$$P\left(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Valószínűségi sűrűség

A $f\left(x\right)=(F)"(x)$ függvényt valószínűségi eloszlássűrűségnek nevezzük, vagyis ez a $F\left(x\right) eloszlásfüggvény elsőrendű deriváltja. $ magát.

A $f\left(x\right)$ függvény tulajdonságai.

1 . $f\left(x\right)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . Annak a valószínűsége, hogy egy $X$ valószínűségi változó értéket vesz fel a $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ intervallumból, $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

2. példa . Egy $X$ folytonos valószínűségi változót a következő eloszlásfüggvény ad meg: $F(x)=\left\(\begin(mátrix)
0,\ x\le 0\\
x,\0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(mátrix)\jobbra.$. Ezután a sűrűségfüggvény $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(mátrix)
0,\ x\le 0 \\
1,\ 0 < x\le 1\\
0,\x>1
\end(mátrix)\jobbra.$

Folyamatos valószínűségi változó matematikai elvárása

A folytonos $X$ valószínűségi változó matematikai elvárását a képlet számítja ki

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$

3. példa . Keresse meg a $M\left(X\right)$ $X$ valószínűségi változót a $2$ példából.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\over (2))\bigg|_0^1=((1)\over (2)).$$

Folyamatos valószínűségi változó diszperziója

A folytonos $X$ valószínűségi változó varianciáját a képlet számítja ki

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$

4. példa . Keressük meg a $D\left(X\right)$ értéket a $X$ valószínűségi változóhoz a $2$ példából.

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\over (2))\right))^2=((x^3)\over (3))\bigg|_0^1-( (1)\over(4))=((1)\over(3))-((1)\over(4))=((1)\over(12)).$$

Mint ismeretes, valószínűségi változó változónak nevezzük, amely az esettől függően bizonyos értékeket vehet fel. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűi (X, Y, Z), értékeiket pedig a megfelelő kisbetűkkel (x, y, z) jelölik. megkülönböztetni a folyamatos és diszkrét valószínűségi változók .

Folyamatos valószínűségi változó egy X valószínűségi változót akkor hívunk meg, ha eloszlásfüggvénye (az integrál eloszlásfüggvény) a következőképpen ábrázolható:

Funkció f(x) nak, nek hívják egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlási sűrűsége X (differenciáleloszlási függvény).

Valószínűség azt a tényt, hogy egy X folytonos valószínűségi változó értéket vesz fel egy adott intervallumban, a következőképpen számítjuk ki:

Példák egy X folytonos valószínűségi változó valószínűségi eloszlására:

• egyenletes eloszlás
• exponenciális eloszlás folytonos valószínűségi változó valószínűségei;
• normális eloszlás folytonos valószínűségi változó valószínűségei.

A feladatok megoldása során széles körben alkalmazzák a folytonos valószínűségi változók numerikus jellemzőit (1. táblázat).

Asztal 1 - Folytonos valószínűségi változók numerikus jellemzői

Numerikus jellemző	Megnevezés és képlet
Várható érték
Ha X minden lehetséges értéke az (a, b) intervallumhoz tartozik, akkor kiszámítjuk a matematikai elvárást
Diszperzió folytonos valószínűségi változó X
másképp
Ha X minden lehetséges értéke az (a, b) intervallumhoz tartozik, akkor a variancia kiszámításra kerül
másképp
Szórás folytonos valószínűségi változó X

Példa egy probléma megoldására a "Folyamatos valószínűségi változók" témában

Egy feladat. Egy valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége ismert:

Keresse meg: a) a paramétert; b) F(x) eloszlásfüggvény; c) annak valószínűsége, hogy X a (-π/4; π/4) intervallumba esik.
F(x), F(x) grafikonok felépítése.

Megoldás. 1. Az f(x) valószínűségi sűrűségfüggvény tulajdonságainak ismeretében megtaláljuk az ismeretlen a paramétert. Az f(x)≥0 egyenlőtlenségből azt a következtetést vonjuk le, hogy a≥0. További:

Számítsuk ki ezt az integrált. Tudva, hogy értékének eggyel egyenlőnek kell lennie, kifejezzük a.

A-(-a) \u003d 2a. Ennek tudatában

2a=1-et kapunk, tehát a=1/2.

ha x ≤ 0

Ha 0< х ≤ π, то

= ½ (-cosx + cos0) = ½ (1-cosx)

Ha x > π, akkor

A kívánt integrálfüggvény a végső formát ölti:

Az F(x) függvény grafikonja a 2. ábrán látható.

3. A (-π / 4; π / 4) intervallumban egy X valószínűségi változó eltalálásának valószínűségét a következő képlet határozza meg: P(a .
P(-π/4< x < π/4) = F(π/4) - F(-π/4) = ½ (1-cos π/4) – 0 = ½ (1-½√2).

A folytonos valószínűségi változóknak végtelen számú lehetséges értéke van. Ezért lehetetlen terjesztési sorozatot bevezetni számukra.

Annak a valószínűsége helyett, hogy az X valószínűségi változó x-szel egyenlő értéket vesz fel, azaz. p(X = x), vegyük figyelembe annak valószínűségét, hogy X kisebb értéket vesz fel, mint x, azaz. P(X< х).

Bemutatjuk a valószínűségi változók új jellemzőjét - az eloszlásfüggvényt, és figyelembe vesszük annak tulajdonságait.

Az eloszlásfüggvény a valószínűségi változó leguniverzálisabb jellemzője. Meghatározható diszkrét és folytonos valószínűségi változókra is:

F(x) = p(X< x).

Az eloszlási függvény tulajdonságai.

Az eloszlásfüggvény az argumentumának nem csökkenő függvénye, azaz. ha:

Mínusz végtelennél az eloszlásfüggvény nulla:

Plusz végtelennél az eloszlásfüggvény egyenlő eggyel:

Egy valószínűségi változó adott intervallumba esésének valószínűségét a következő képlet határozza meg:

Az f(x) függvényt, amely egyenlő az eloszlásfüggvény deriváltjával, egy X valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének vagy eloszlássűrűségének nevezzük:

Fejezzük ki a b-c szakasz eltalálásának valószínűségét f(x) függvényében. Ez egyenlő az ebben a szakaszban szereplő valószínűségi elemek összegével, azaz. integrál:

Innentől az eloszlásfüggvényt a valószínűségi sűrűséggel fejezhetjük ki:

Valószínűségi sűrűség tulajdonságai.

A valószínűségi sűrűség nem negatív függvény (mivel az eloszlásfüggvény nem csökkenő függvény):

Sűrűség valószínűleg

sti folytonos függvény.

A valószínűségi sűrűség végtelen határában lévő integrál egyenlő 1-gyel:

A valószínűségi sűrűségnek egy valószínűségi változó dimenziója van.

Folytonos valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása

A matematikai elvárás és variancia jelentése ugyanaz, mint a diszkrét valószínűségi változók esetében. A megtalálásukra szolgáló képletek formája a következőkkel változik:

Ezután képleteket kapunk egy folytonos valószínűségi változó matematikai elvárásának és szórásának kiszámításához:

Példa. Egy folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvényét a következő képlet adja meg:

Határozza meg a értékét, a valószínűségi sűrűséget, a helyszín eltalálásának valószínűségét (0,25-0,5), a matematikai elvárást és a szórást.

Mivel az F(x) eloszlásfüggvény folytonos, ezért x = 1 esetén ax2 = 1, ezért a = 1.

A valószínűségi sűrűséget az eloszlási függvény deriváltjaként találjuk:

Egy adott terület eltalálásának valószínűségét kétféleképpen lehet kiszámítani: az eloszlásfüggvény és a valószínűségi sűrűség segítségével.

• 1. mód. A valószínűség meghatározásához az eloszlásfüggvényen keresztül a következő képletet használjuk:
• 2. út. A valószínűség meghatározásához a valószínűségi sűrűségen keresztül a következő képletet használjuk:

A matematikai elvárás megkeresése:

A szórás megtalálása:

Egyenletes eloszlás

Tekintsünk egy X folytonos valószínűségi változót, amelynek lehetséges értékei egy bizonyos intervallumban vannak, és egyformán valószínűek.

Egy ilyen valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége a következő lesz:

ahol c valamilyen állandó.

A valószínűségi sűrűség grafikonja a következőképpen jelenik meg:

A c paramétert b-vel és c-vel fejezzük ki. Ehhez azt a tényt használjuk, hogy a valószínűségi sűrűség integráljának a teljes régióban egyenlőnek kell lennie 1-gyel:

Egyenletes eloszlású valószínűségi változó eloszlási sűrűsége

Keresse meg az elosztási függvényt:

Egyenletes eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

Ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt:

Számítsuk ki egy egyenletes eloszlású valószínűségi változó matematikai elvárását és szórását.

Ekkor a szórás így fog kinézni:

Normál (Gauss) eloszlás

Egy X folytonos valószínűségi változót normális eloszlásúnak nevezünk a, y > 0 paraméterekkel, ha van valószínűségi sűrűsége:

Egy valószínűségi változó eloszlási görbéjének alakja a következő:

2. teszt

1. feladat. Állítsa össze egy X diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényét, számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

1.opció

A QCD ellenőrzi a termékek szabványosítását. Annak a valószínűsége, hogy az elem szabványos, 0,7. 20 elem tesztelve. Keresse meg az X valószínűségi változó eloszlási törvényét - a standard termékek számát a teszteltek között. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

2. lehetőség

Az urnában 4 golyó van, amelyeken a 2. pont látható; 4; öt; 5. Véletlenszerűen húznak egy labdát. Keresse meg egy X valószínűségi változó eloszlásának törvényét - a rajta lévő pontok számát. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

3. lehetőség

A vadász addig lövi a vadat, amíg el nem találja, de legfeljebb három lövést adhat le. Az egyes lövések eltalálásának valószínűsége 0,6. Állítsa össze az X valószínűségi változó eloszlási törvényét - a lövöldözős lövések számát. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

4. lehetőség

A mérésnél a megadott pontosság túllépésének valószínűsége 0,4. Állítsa össze egy X valószínűségi változó eloszlási törvényét - a hibák számát 10 mérés során. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

5. lehetőség

Annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltaláljuk a célt, 0,45. 20 lövést adtak le. Állítsa össze az X valószínűségi változó eloszlásának törvényét - a találatok számát. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

6. lehetőség

Egy bizonyos gyár termékei a házasság 5%-át tartalmazzák. Készítsen eloszlási törvényt egy X valószínűségi változóra - a hibás termékek száma öt között, amelyet jó szerencsére vettek. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

7. lehetőség

Az összeszerelőnek szükséges alkatrészek az öt dobozból háromban vannak. Az összeszerelő addig nyitja a dobozokat, amíg meg nem találja a megfelelő alkatrészeket. Állítsa össze az X valószínűségi változó eloszlásának törvényét - a nyitott dobozok számát. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

8. lehetőség

Egy urnában 3 fekete és 2 fehér golyó található. A golyók szekvenciális eltávolítását visszaküldés nélkül végezzük, amíg a fekete meg nem jelenik. Állítsa össze egy X valószínűségi változó eloszlási törvényét - a kivont golyók számát. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

9. lehetőség

A tanuló 15 kérdést tud a 20-ból. 3 kérdés van a jegyben. Állítsd össze egy X valószínűségi változó eloszlási törvényét - a jegyben a hallgató által ismert kérdések számát. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

10. lehetőség

3 izzó van, mindegyik 0,4-es valószínűséggel hibás. Bekapcsoláskor a hibás izzó kiég, és egy másikra cserélik. Készítsen eloszlási törvényt egy X valószínűségi változóra - a vizsgált lámpák számára. Számítsa ki egy valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását!

2. feladat. Az X valószínűségi változót az F(X) eloszlásfüggvény adja. Határozzuk meg az eloszlássűrűséget, a matematikai elvárásokat, a varianciát, valamint annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó a (b, c) intervallumba esik! Szerkessze meg az F(X) és f(X) függvények gráfjait!

1.opció

2. lehetőség

3. lehetőség

4. lehetőség

5. lehetőség

6. lehetőség

7. lehetőség

8. lehetőség

9. lehetőség

10. lehetőség

Kérdések a vizsgához

A valószínűség klasszikus meghatározása.

A kombinatorika elemei. Szállás. Példák.

A kombinatorika elemei. Permutáció. Példák.

A kombinatorika elemei. Kombinációk. Példák.

Tétel a valószínűségek összegéről.

Valószínűségszorzó tétel.

Műveletek eseményeken.

Teljes valószínűségi képlet.

Bayes képlet.

A tesztek megismétlése. Bernoulli képlet.

Diszkrét valószínűségi változók. Elosztási tartomány. Példa.

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása.

Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója.

Valószínűségi változó binomiális eloszlása.

Poisson-eloszlás.

Eloszlás a geometriai progresszió törvénye szerint.

Folyamatos valószínűségi változók. Eloszlási függvény és tulajdonságai.

A valószínűségi sűrűség és tulajdonságai.

Folyamatos valószínűségi változó matematikai elvárása.

Folyamatos valószínűségi változó diszperziója.

Folytonos valószínűségi változó egyenletes eloszlása.

Normál elosztási törvény.