Mint ismeretes, valószínűségi változó változónak nevezzük, amely az esettől függően bizonyos értékeket vehet fel. A véletlenszerű változókat a latin ábécé nagybetűi (X, Y, Z), értékeiket pedig a megfelelő kisbetűkkel (x, y, z) jelölik. A véletlen változókat nem folytonosra (diszkrét) és folytonosra osztják.

Diszkrét valószínűségi változó hívott véletlenszerű érték, amely csak egy véges vagy végtelen (megszámlálható) értékhalmazt vesz fel bizonyos nem nulla valószínűséggel.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye egy olyan függvény, amely összekapcsolja egy valószínűségi változó értékeit a megfelelő valószínűségekkel. Az elosztási törvényt a következő módok egyikén lehet megadni.

1 . Az elosztási törvényt a táblázat segítségével adhatjuk meg:

ahol λ>0, k = 0, 1, 2, … .

ban ben) keresztül F(x) eloszlásfüggvény , amely minden x értékre meghatározza annak valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, azaz. F(x) = P(X< x).

Az F(x) függvény tulajdonságai

3 . Az elosztási törvény grafikusan beállítható – eloszlási sokszög (poligon) (lásd 3. feladat).

Vegye figyelembe, hogy bizonyos problémák megoldásához nem szükséges ismerni az elosztási törvényt. Bizonyos esetekben elegendő egy vagy több olyan szám ismerete, amely az elosztási törvény legfontosabb jellemzőit tükrözi. Ez lehet egy szám, amely egy valószínűségi változó "átlagértékét" jelenti, vagy olyan szám, amely egy valószínűségi változó átlagos értékétől való eltérésének átlagos nagyságát mutatja. Az ilyen számokat egy valószínűségi változó numerikus jellemzőinek nevezzük.

Egy diszkrét valószínűségi változó alapvető numerikus jellemzői :

• Matematikai elvárás diszkrét valószínűségi változó (átlagértéke). M(X)=Σ x i p i.
  Binomiális eloszlás esetén M(X)=np, Poisson eloszlásnál M(X)=λ
• Diszperzió diszkrét valószínűségi változó D(X)=M2 vagy D(X) = M(X 2) − 2. Az X–M(X) különbséget egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének nevezzük.
  Binomiális eloszlás esetén D(X)=npq, Poisson eloszlás esetén D(X)=λ
• Szórás (szórás) σ(X)=√D(X).

Példák a problémák megoldására a "Diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye" témakörben

1. feladat.

1000 sorsjegyet bocsátottak ki: ebből 5 nyer 500 rubelt, 10 - 100 rubelt, 20 - 50 rubelt, 50 - 10 rubelt. Határozza meg az X valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvényét - nyeremény egy jegyre!

Döntés. A probléma feltételétől függően az X valószínűségi változó következő értékei lehetségesek: 0, 10, 50, 100 és 500.

A nyeremény nélküli jegyek száma 1000 - (5+10+20+50) = 915, majd P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Hasonlóképpen megtaláljuk az összes többi valószínűséget is: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. A kapott törvényt táblázat formájában mutatjuk be:

Találjuk ki várható érték X értékek: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3. feladat.

A készülék három egymástól függetlenül működő elemből áll. Az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egy kísérletben 0,1. Készítsen eloszlási törvényt a sikertelen elemek számára egy kísérletben, építsen fel egy eloszlási sokszöget. Keresse meg az F(x) eloszlásfüggvényt és ábrázolja. Határozza meg egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárását, szórását és szórását.

Döntés. 1. Az X= (egy kísérlet sikertelen elemeinek száma) diszkrét valószínűségi változónak a következő lehetséges értékei vannak: x 1 =0 (az eszköz egyik eleme sem hibásodott meg), x 2 =1 (egy elem meghibásodott), x 3 =2 ( két elem nem sikerült ) és x 4 \u003d 3 (három elem nem sikerült).

Az elemek meghibásodása független egymástól, az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége egyenlő egymással, ezért alkalmazható Bernoulli képlete . Tekintettel arra, hogy feltétel szerint n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, meghatározzuk az értékek valószínűségét:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Ellenőrzés: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Így a kívánt X binomiális eloszlási törvény alakja a következő:

Az abszcissza tengelyen ábrázoljuk a lehetséges x i értékeket, az ordináta tengelyen pedig a megfelelő р i valószínűségeket. Szerkesszük meg az M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) pontokat. Ezeket a pontokat vonalszakaszokkal összekötve megkapjuk a kívánt eloszlási sokszöget.

3. Keresse meg az F(x) = P(X) eloszlásfüggvényt

Ha x ≤ 0, akkor F(x) = P(X<0) = 0;
0-ért< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ért< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ért< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 esetén F(x) = 1 lesz, mert az esemény biztos.

Az F(x) függvény grafikonja

4. Az X binomiális eloszláshoz:
- matematikai elvárás М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- diszperzió D(X)=npq=3*0,1*0,9=0,27;
- szórás σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Külön kiemelhetjük a diszkrét valószínűségi változók eloszlásának leggyakoribb törvényeit:

• Binomiális eloszlás törvénye
• Poisson-eloszlási törvény
• Geometriai eloszlási törvény
• Hipergeometriai eloszlási törvény

A diszkrét valószínűségi változók adott eloszlásainál az értékük valószínűségét, valamint a numerikus jellemzőket (matematikai elvárás, variancia stb.) bizonyos "képletek" szerint számítják ki. Ezért nagyon fontos ismerni az ilyen típusú eloszlásokat és alapvető tulajdonságaikat.

1. Binomiális eloszlás törvénye.

A $X$ diszkrét valószínűségi változóra akkor vonatkozik a binomiális valószínűségi eloszlás, ha a $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ értékeket veszi fel $P\left(X=k\right)= valószínűséggel C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Valójában a $X$ valószínűségi változó a $A$ esemény előfordulásának száma $n$ független kísérletekben. A $X$ valószínűségi változó valószínűségi eloszlási törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(tömb)$

Egy ilyen valószínűségi változónál a várható érték: $M\left(X\right)=np$, a variancia: $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Példa . Két gyerek van a családban. Feltételezve, hogy egy fiú és egy lány születési valószínűsége 0,5 $, keresse meg a $\xi $ valószínűségi változó eloszlási törvényét - a fiúk számát a családban.

Legyen a $\xi $ valószínűségi változó a fiúk száma a családban. Azok az értékek, amelyeket a $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$ felvehet. Ezen értékek valószínűségét a $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) képlettel találhatjuk meg )$, ahol $n =2$ - független kísérletek száma, $p=0.5$ - esemény bekövetkezésének valószínűsége $n$ próbasorozatban. Kapunk:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Ekkor a $\xi $ valószínűségi változó eloszlási törvénye a $0,\ 1,\ 2$ értékek és azok valószínűségei közötti megfelelés, azaz:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(tömb)$

Az eloszlási törvényben szereplő valószínűségek összegének $1$-nak kell lennie, azaz $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 = 1 dollár.

Várakozás $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variancia $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, szórás $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\kb. 0.707 $.

2. Poisson-eloszlási törvény.

Ha egy diszkrét $X$ valószínűségi változó csak nem negatív egész értékeket vehet fel $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ valószínűséggel $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Megjegyzés. Ennek az eloszlásnak az a sajátossága, hogy a kísérleti adatok alapján a $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ becsléseket találjuk, ha a kapott becslések közel vannak egymáshoz, akkor okunk van azt állítani, hogy a valószínűségi változó a Poisson-eloszlási törvény hatálya alá tartozik.

Példa . Példák a Poisson-eloszlási törvény hatálya alá tartozó valószínűségi változókra: azoknak az autóknak a száma, amelyeket holnap szervizelnek egy benzinkút; a gyártott termék hibás tételeinek száma.

Példa . Az üzem 500 dollárnyi terméket küldött a bázisra. A termék szállítás közbeni sérülésének valószínűsége 0,002 USD. Határozzuk meg a sérült termékek számával megegyező $X$ valószínűségi változó eloszlási törvényét; ami egyenlő a következővel: $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.

Legyen egy diszkrét $X$ valószínűségi változó a sérült termékek száma. Egy ilyen valószínűségi változóra a Poisson-eloszlási törvény vonatkozik a $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ paraméterrel. Az értékek valószínűsége $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

A $X$ valószínűségi változó eloszlási törvénye:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(tömb)$

Egy ilyen valószínűségi változónál a matematikai elvárás és szórás egyenlő egymással és egyenlő a $\lambda $ paraméterrel, azaz $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Az eloszlás geometriai törvénye.

Ha egy diszkrét $X$ valószínűségi változó csak természetes értékeket vehet fel $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ valószínűségekkel $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) jobbra)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, akkor azt mondjuk, hogy egy ilyen $X$ valószínűségi változóra vonatkozik a valószínűségeloszlás geometriai törvénye. Valójában úgy tűnik, hogy a geometriai eloszlás Bernoulli kísérletei az első sikerhez.

Példa . Példák a geometriai eloszlású valószínűségi változókra: a lövések száma a cél első találata előtt; az eszköz tesztjeinek száma az első meghibásodás előtt; az érmefeldobások száma az első head up előtt, és így tovább.

Egy geometriai eloszlás alá tartozó valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája: $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) /p^ 2$.

Példa . Az ívóhely felé vezető halmozgás során egy 4$-os zár található. Annak a valószínűsége, hogy egy hal áthalad az egyes zsilipeken $p=3/5$. Szerkessze meg a $X$ valószínűségi változó eloszlási sorozatát - a hal által áthaladt zsilipek számát a zsilip első megállója előtt. Keresse meg a következőt: $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Legyen a $X$ valószínűségi változó azoknak a zsilipeknek a száma, amelyeken a hal áthaladt a zsilip első megállója előtt. Egy ilyen valószínűségi változóra a valószínűség-eloszlás geometriai törvénye vonatkozik. Az értékek, amelyeket a $X valószínűségi változó felvehet: 1, 2, 3, 4. Ezeknek az értékeknek a valószínűségét a következő képlet számítja ki: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, ahol: $ p=2/5$ - annak a valószínűsége, hogy a halak átkerülnek a zsilipen, $q=1-p=3/5$ - a halak átjutásának valószínűsége a zsilipen, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4 $.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^0=((2)\ over(5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\(5) felett)\jobbra))^4=((27)\(125))=0,216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i és 1 és 2 és 3 és 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(tömb)$

Várható érték:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Diszperzió:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ bal (1-2,176\jobb))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\kb. 1,377.$

Szórás:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\körülbelül 1173.$

4. Hipergeometriai eloszlási törvény.

Ha vannak $N$ objektumok, amelyek között $m$ objektumok rendelkeznek az adott tulajdonsággal. Véletlenszerűen, csere nélkül, $n$ objektum kinyerésre kerül, melyek között van $k$ objektum, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek. A hipergeometrikus eloszlás lehetővé teszi annak a valószínűségét, hogy egy mintában pontosan $k$ objektum rendelkezik egy adott tulajdonsággal. Legyen a $X$ valószínűségi változó azon objektumok száma a mintában, amelyek adott tulajdonsággal rendelkeznek. Ezután a $X$ valószínűségi változó értékeinek valószínűsége:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Megjegyzés. Az Excel $f_x$ függvényvarázsló HYPERGEOMET statisztikai függvénye lehetővé teszi annak meghatározását, hogy bizonyos számú próba sikeres lesz-e.

$f_x\ to $ statisztikai$\to$ HIPERGEOMET$\to$ rendben. Megjelenik egy párbeszédpanel, amelyet ki kell töltenie. A grafikonon Sikerek_száma_mintában adja meg a $k$ értékét. minta nagysága egyenlő: $n$. A grafikonon Sikerek_száma a populációban adja meg a $m$ értékét. Népesség egyenlő: $N$.

A geometriai eloszlási törvény hatálya alá tartozó $X$ diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása és varianciája: $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\over(N))\jobbra)\balra(1-((n)\over(N))\jobbra))\over(N-1))$.

Példa . A bank hitelosztályán 5 fő pénzügyi felsőfokú és 3 fő jogi felsőfokú végzettségű szakember dolgozik. A bank vezetése úgy döntött, hogy 3 szakembert küld továbbképzésre, véletlenszerűen kiválasztottak.

a) Készítsen elosztási sorozatot a felsőfokú pénzügyi végzettséggel rendelkező, továbbképzésre irányítható szakemberek számáról;

b) Határozza meg ennek az eloszlásnak a numerikus jellemzőit!

Legyen a $X$ valószínűségi változó a kiválasztott három közül a felsőfokú pénzügyi végzettséggel rendelkező szakemberek száma. Azok az értékek, amelyeket $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ vehet fel. Ez az $X$ valószínűségi változó a hipergeometrikus eloszlás szerint oszlik el a következő paraméterekkel: $N=8$ - populáció mérete, $m=5$ - sikerek száma a sokaságban, $n=3$ - mintanagyság, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - a mintában szereplő sikerek száma. Ekkor a $P\left(X=k\right)$ valószínűségek kiszámíthatók a következő képlettel: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ felett. Nekünk van:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\körülbelül 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\körülbelül 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\körülbelül 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\körülbelül 0,179.$

Ekkor a $X$ valószínűségi változó eloszlási sorozata:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i és 0 és 1 és 2 és 3 \\
\hline
p_i és 0,018 és 0,268 és 0,536 és 0,179 \\
\hline
\end(tömb)$

Számítsuk ki a $X$ valószínűségi változó numerikus jellemzőit a hipergeometriai eloszlás általános képleteivel!

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\left(X\right)=((nm\bal(1-((m)\over (N))\right)\bal(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\jobbra))\over (8-1))=((225)\over (448))\körülbelül 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\körülbelül 0,7085.$

Meghatározás.Diszperzió (szórás) A diszkrét valószínűségi változót a valószínűségi változó matematikai elvárásától való négyzetes eltérésének matematikai elvárásának nevezzük:

Példa. A fenti példában azt találjuk

Egy valószínűségi változó matematikai elvárása a következő:

A négyzetes eltérés lehetséges értékei:

; ;

A diszperzió a következő:

A gyakorlatban azonban ez a varianciaszámítási módszer kényelmetlen, mert nehézkes számításokhoz vezet egy valószínűségi változó nagyszámú értékére. Ezért egy másik módszert alkalmaznak.

Variancia számítás

Tétel. A variancia egyenlő az X valószínűségi változó négyzetének matematikai elvárása és a matematikai elvárás négyzete közötti különbséggel:

Bizonyíték. Figyelembe véve azt a tényt, hogy a matematikai elvárás és a matematikai elvárás négyzete állandó érték, a következőt írhatjuk:

Alkalmazzuk ezt a képletet a fenti példára:

x
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Diszperziós tulajdonságok

1) Egy állandó érték szórása nulla:

2) Az állandó tényező a diszperziós előjelből négyzetre emelve vehető ki:

.

3) Két független valószínűségi változó összegének szórása egyenlő ezen változók szórásának összegével:

4) Két független valószínűségi változó különbségének szórása egyenlő ezen változók varianciáinak összegével:

Ennek az egyenlőségnek az érvényessége a 2. tulajdonságból következik.

Tétel. Az A esemény előfordulási számának szórása n független próbában, amelyek mindegyikében az esemény bekövetkezésének valószínűsége állandó, megegyezik a kísérletek számának a bekövetkezési valószínűséggel és az esemény valószínűségével való szorzatával. nem fordul elő minden kísérletben:

Példa. Az üzem az első osztályú termékek 96%-át, a második osztályú termékek 4%-át állítja elő. 1000 tétel véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Legyen x- az első osztályú termékek száma ebben a mintában. Keresse meg egy valószínűségi változó eloszlási törvényét, matematikai elvárását és varianciáját!

Így az eloszlási törvény binomiálisnak tekinthető.

Példa. Határozzuk meg egy diszkrét valószínűségi változó varianciáját x– az esemény előfordulásának száma DE két független próbában, ha ennek az eseménynek a valószínűsége minden kísérletben egyenlő, és ismert, hogy

Mert véletlenszerű érték x binomiális törvény szerint elosztva, akkor

Példa. A független teszteket az esemény bekövetkezésének azonos valószínűségével végezzük DE minden tesztben. Keresse meg egy esemény bekövetkezésének valószínűségét DE ha három független kísérletben az esemény előfordulási számának szórása 0,63.

A binomiális törvény diszperziós képlete szerint a következőket kapjuk:

;

Példa. Egy négy, egymástól függetlenül működő eszközből álló eszközt tesztelnek. Az egyes eszközök meghibásodásának valószínűsége egyenlő, ill ; ; . Határozza meg a meghibásodott eszközök számának matematikai elvárását és szórását!

Ha a meghibásodott eszközök számát valószínűségi változónak vesszük, azt látjuk, hogy ez a valószínűségi változó 0, 1, 2, 3 vagy 4 értéket vehet fel.

Ennek a valószínűségi változónak az eloszlási törvényének elkészítéséhez meg kell határozni a megfelelő valószínűségeket. Fogadjuk el.

1) Egyetlen eszköz sem hibásodott meg:

2) Az egyik eszköz meghibásodott.

Példák a „Véletlen változók” témával kapcsolatos problémák megoldására.

Feladat 1 . A sorsoláson 100 db jegyet bocsátanak ki. Egy 50 USD nyereményt játszottak. és tíz, egyenként 10 dolláros nyeremény. Keresse meg az X érték eloszlási törvényét - a lehetséges nyereség költségét.

Döntés. X lehetséges értékei: x 1 = 0; x 2 = 10 és x 3 = 50. Mivel 89 „üres” jegy van, akkor p 1 = 0,89, a nyerési valószínűség 10 c.u. (10 jegy) – p 2 = 0,10 és 50 c.u. – o 3 = 0,01. És így:

	0,89	0,10	0,01

Könnyen irányítható: .

Feladat 2. Annak a valószínűsége, hogy a vásárló előzetesen megismerkedett a termék hirdetésével, 0,6 (p = 0,6). A reklámok szelektív minőség-ellenőrzését úgy végzik el, hogy a vásárlókat még azelőtt megkérdezik, aki először tanulmányozta a hirdetést. Készítsen sorozatot a megkérdezett vásárlók számának megoszlásáról.

Döntés. A feladat feltétele szerint p = 0,6. Kezdő: q=1 -p = 0,4. Ezeket az értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:és készítsünk elosztási sorozatot:

pi		0,24

Feladat 3. A számítógép három egymástól függetlenül működő elemből áll: egy rendszeregységből, egy monitorból és egy billentyűzetből. A feszültség egyszeri éles növekedésével az egyes elemek meghibásodásának valószínűsége 0,1. A Bernoulli-eloszlás alapján készítse el az elosztási törvényt a hálózat túlfeszültség-emelkedése során meghibásodott elemek számára.

Döntés. Fontolgat Bernoulli eloszlás(vagy binomiális): annak a valószínűsége, hogy be n tesztek esetén az A esemény pontosan megjelenik k egyszer: , vagy:

	q n					p n

NÁL NÉL térjünk vissza a feladathoz.

X lehetséges értékei (a hibák száma):

x 0 =0 - egyik elem sem sikerült;

x 1 =1 - egy elem meghibásodása;

x 2 =2 - két elem meghibásodása;

x 3 =3 - minden elem meghibásodása.

Mivel feltétel szerint p = 0,1, akkor q = 1 – p = 0,9. A Bernoulli-képlet segítségével azt kapjuk

, ,

, .

Az irányítás: .

Ezért a kívánt elosztási törvény:

	0,729	0,243	0,027	0,001

4. feladat. 5000 darabot gyártottak. Annak a valószínűsége, hogy az egyik patron hibás . Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan 3 hibás patron lesz a teljes tételben?

Döntés. Alkalmazható Poisson-eloszlás: ez az eloszlás annak a valószínűségének meghatározására szolgál, hogy egy nagyon nagy

kísérletek száma (tömegpróbák), amelyek mindegyikében az A esemény valószínűsége nagyon kicsi, az A esemény k-szer fog bekövetkezni: , ahol .

Itt n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Megtaláljuk, majd a kívánt valószínűséget: .

5. feladat. Amikor az első találat előtt lő a p elütés valószínűségével = 0,6 egy lövés esetén, meg kell találnia annak valószínűségét, hogy a találat a harmadik lövésnél bekövetkezik.

Döntés. Alkalmazzuk a geometriai eloszlást: végezzünk független próbákat, amelyek mindegyikében az A esemény p bekövetkezési valószínűséggel (és q = 1 - p be nem következéssel) rendelkezik. A kísérletek azonnal véget érnek, amint az A esemény bekövetkezik.

Ilyen feltételek mellett annak valószínűségét, hogy az A esemény bekövetkezik a k-adik teszten, a következő képlet határozza meg: . Itt p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Ezért .

6. feladat. Legyen adott egy X valószínűségi változó eloszlásának törvénye:

Keresse meg a matematikai elvárást.

Döntés. .

Vegyük észre, hogy a matematikai elvárás valószínűségi jelentése egy valószínűségi változó átlagos értéke.

7. feladat. Keresse meg egy X valószínűségi változó varianciáját a következő eloszlási törvény szerint:

Döntés. Itt .

X négyzetének eloszlási törvénye 2 :

x 2

Kötelező szórás: .

A diszperzió egy valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérésének (szórásának) mértékét jellemzi.

8. feladat. Adjuk meg a valószínűségi változót az eloszlás:

			10 m

Keresse meg a numerikus jellemzőit!

Megoldás: m, m 2 ,

M 2 , m.

Egy X valószínűségi változóról azt is mondhatjuk, hogy matematikai elvárása 6,4 m, szórása 13,04 m 2 , vagy - matematikai elvárása 6,4 m, m eltéréssel A második megfogalmazás nyilvánvalóan világosabb.

Feladat 9. Véletlenszerű érték x az eloszlási függvény adja meg:
.

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy a teszt eredményeként az X érték az intervallumban foglalt értéket veszi fel .

Döntés. Annak a valószínűsége, hogy X értéket vesz fel egy adott intervallumból, egyenlő az integrálfüggvény növekményével ebben az intervallumban, azaz. . A mi esetünkben és ezért

.

Feladat 10. Diszkrét valószínűségi változó x az elosztási törvény szerint:

Keresse meg az elosztási függvényt F(x ), és készítse el a grafikonját.

Döntés. Mivel az elosztási függvény

számára , azután

nál nél ;

nál nél ;

nál nél ;

nál nél ;

Vonatkozó diagram:

11. feladat. Folyamatos valószínűségi változó x a differenciáleloszlási függvény adja meg: .

Keresse meg az ütés valószínűségét X az intervallumhoz

Döntés. Vegye figyelembe, hogy ez az exponenciális eloszlás törvényének egy speciális esete.

Használjuk a képletet: .

Feladat 12. Határozzuk meg egy diszkrét X valószínűségi változó numerikus jellemzőit, amelyeket az eloszlási törvény adott:

	–5
	X 2: x2 . , ahol a Laplace függvény. Ennek a függvénynek az értékeit táblázat segítségével találja meg. A mi esetünkben: . A táblázat szerint azt találjuk, hogy: tehát:

Véletlen változó Olyan mennyiséget nevezünk, amely az azonos körülmények között végzett vizsgálatok eredményeként általánosságban elmondható, hogy különböző értékeket vesz fel, véletlenszerű tényezőktől függően, amelyeket nem veszünk figyelembe. Példák valószínűségi változókra: a dobókockán elejtett pontok száma, egy tételben lévő hibás termékek száma, a lövedék becsapódási pontjának eltérése a céltól, az eszköz üzemideje stb. . Diszkrét Valószínűségi változót nevezünk, amelynek lehetséges értékei kialakulnak megszámlálható készlet, véges vagy végtelen (vagyis olyan halmaz, amelynek elemei számozhatók).

Folyamatos Valószínűségi változót nevezünk, amelynek lehetséges értékei folyamatosan kitöltik a numerikus tengely valamely véges vagy végtelen intervallumát. Egy folytonos valószínűségi változó értékeinek száma mindig végtelen.

A véletlenszerű változókat a latin ábécé végének nagybetűivel jelöljük: x, Y, . ; egy valószínűségi változó értékei - kisbetűkkel: X, y. . És így, x Egy valószínűségi változó lehetséges értékeinek teljes halmazát jelöli, és X - Valami konkrét jelentés.

elosztási törvény A diszkrét valószínűségi változó egy valószínűségi változó lehetséges értékei és azok valószínűségei között bármilyen formában megadott megfelelés.

Legyen a valószínűségi változó lehetséges értékei x Vannak . A teszt eredményeként a valószínűségi változó ezen értékek valamelyikét veszi fel, azaz. A páronként összeférhetetlen események teljes csoportjából egy esemény fog bekövetkezni.

Legyen ismert ezen események valószínűsége is:

Valószínűségi változó eloszlási törvénye xún. táblázat formájában írható fel Közel elosztás Diszkrét valószínűségi változó:

Véletlen változók. Diszkrét valószínűségi változó.
Várható érték

A második rész tovább Valószínűségi elmélet dedikált Véletlen változók , amely láthatatlanul elkísért minket a szó szoros értelmében a témával foglalkozó minden cikkben. És eljött az idő, hogy világosan megfogalmazzuk, mi is ez:

Véletlen hívott érték, amely a teszt eredményeként fog egy és egyetlen véletlenszerű tényezőktől függő, előre nem megjósolható számérték.

A véletlenszerű változók általában kijelöl keresztül * , és értékeik a megfelelő kis betűkkel, alsó indexekkel, például .

* Néha görög betűket is használnak

Találkoztunk egy példával a az első lecke a valószínűségszámításból, ahol valójában a következő valószínűségi változót vettük figyelembe:

- a kockadobás után kieső pontok száma.

Ennek a tesztnek az eredménye lesz egy és csak az a vonal, amelyik nem megjósolható (a trükköket nem veszik figyelembe); ebben az esetben a valószínűségi változó a következő értékek egyikét veheti fel:

- a fiúk száma 10 újszülött között.

Teljesen világos, hogy ez a szám nem ismert előre, és a következő tízben születhetnek gyermekek:

vagy fiúk... egy és egyetlen a felsorolt ​​lehetőségek közül.

És a formában tartás érdekében egy kis testnevelés:

- távolugrás táv (egyes egységekben).

Ezt még a sportmester sem tudja megjósolni 🙂

Azonban mik a hipotézisei?

Amint valós számok halmaza végtelen, akkor a valószínűségi változó vehet végtelenül sokértékek valamilyen intervallumból. És ez az alapvető különbsége az előző példákhoz képest.

És így, a valószínűségi változókat célszerű 2 nagy csoportra osztani:

1) Diszkrét (időszakos) valószínűségi változó - külön vett, izolált értékeket vesz fel. Ezen értékek száma biztosan vagy végtelen, de megszámlálható.

... érthetetlen kifejezéseket húztak? Sürgősen ismételje meg az algebra alapjai!

2) Folyamatos valószínűségi változó – vesz minden numerikus értékek valamilyen véges vagy végtelen tartományból.

jegyzet : a DSV és az NSV rövidítések népszerűek az oktatási irodalomban

Először elemezzünk egy diszkrét valószínűségi változót, majd - folyamatos.

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye

- Ezt megfelelőség ennek a mennyiségnek a lehetséges értékei és azok valószínűségei között. Leggyakrabban a törvényt táblázatba írják:

A kifejezés elég gyakori sor terjesztés, de bizonyos helyzetekben félreérthetően hangzik, ezért ragaszkodom a "törvényhez".

És most nagyon fontos pont: mivel a valószínűségi változó szükségszerűen elfogadja az egyik érték, akkor kialakulnak a megfelelő események teljes csoportés előfordulásuk valószínűségeinek összege eggyel egyenlő:

vagy ha hajtva van írva:

Így például a kocka pontjainak valószínűségeinek eloszlásának törvénye a következő formában van:

Lehet, hogy az a benyomása, hogy egy diszkrét valószínűségi változó csak "jó" egész értékeket vehet fel. Eloszlatjuk az illúziót – bármi lehet:

Néhány játék a következő kifizetési elosztási törvényt tartalmazza:

…valószínűleg már régóta álmodoztál ilyen feladatokról 🙂 Elárulok egy titkot - én is. Főleg a munka befejezése után mezőelmélet.

Döntés: mivel egy valószínűségi változó három érték közül csak egyet vehet fel, a megfelelő események alakulnak ki teljes csoport, ami azt jelenti, hogy valószínűségeik összege eggyel egyenlő:

Leleplezzük a "pártot":

– így a hagyományos egységek megnyerésének valószínűsége 0,4.

Irányítás: amiről meg kell győződnie.

Válasz:

Nem ritka, hogy az elosztási törvényt önállóan kell összeállítani. Erre a használatra a valószínűség klasszikus meghatározása, szorzási/összeadási tételek az eseményvalószínűségekhezés egyéb chips tervera:

50 sorsjegy van a dobozban, amelyek közül 12 nyerő, és közülük 2 nyer egyenként 1000 rubelt, a többi pedig 100 rubelt. Készítsen egy valószínűségi változó eloszlási törvényét - a nyeremény nagyságát, ha véletlenszerűen húznak ki egy jegyet a dobozból.

Döntés: amint észrevette, egy valószínűségi változó értékeit szokás elhelyezni növekvő sorrendben. Ezért a legkisebb nyereményekkel kezdjük, nevezetesen a rubelekkel.

Összesen 50 - 12 = 38 ilyen jegy van, és aszerint klasszikus meghatározás:
annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kisorsolt jegy nem nyer.

A többi eset egyszerű. A rubel megnyerésének valószínűsége:

És ehhez:

Ellenőrzés: - és ez különösen kellemes pillanata az ilyen feladatoknak!

Válasz: a szükséges kifizetési elosztási törvény:

A következő feladat önálló döntéshez:

Annak a valószínűsége, hogy a lövő eltalálja a célt, . Készítsen eloszlási törvényt egy valószínűségi változóhoz - a találatok számához 2 lövés után.

... Tudtam, hogy hiányzik 🙂 Emlékszünk szorzási és összeadási tételek. Megoldás és válasz a lecke végén.

Az eloszlási törvény teljesen leír egy valószínűségi változót, de a gyakorlatban hasznos (és néha hasznosabb), ha csak egy részét ismerjük. numerikus jellemzők .

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása

Egyszerűen fogalmazva ez átlagos várható érték ismételt teszteléssel. Vegyen fel egy valószínűségi változó értékeket valószínűségekkel, ill. Ekkor ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárása egyenlő termékek összegeösszes értéke a megfelelő valószínűségekkel:

vagy hajtogatott formában:

Számítsuk ki például egy valószínűségi változó matematikai elvárását - a dobókockán elejtett pontok számát:

Mi a kapott eredmény valószínűségi jelentése? Ha elégszer dobsz a kockával, akkor átlagos a kiesett pontok közel lesznek a 3,5-höz – és minél több tesztet végez, annál közelebb van. Valójában erről a hatásról már részletesen beszéltem a leckében statisztikai valószínűség.

Most pedig idézzük fel hipotetikus játékunkat:

Felmerül a kérdés: egyáltalán jövedelmező-e ezzel a játékkal játszani? ... kinek vannak benyomásai? Tehát nem lehet azt mondani, hogy „kifejezetten”! De ez a kérdés könnyen megválaszolható a matematikai elvárás kiszámításával, lényegében - súlyozott átlag nyerési valószínűségek:

Így ennek a játéknak a matematikai elvárása vesztes.

Ne bízz a benyomásokban - bízz a számokban!

Igen, itt zsinórban 10, sőt 20-30 alkalommal is lehet nyerni, de hosszú távon óhatatlanul tönkre megyünk. És nem tanácsolom, hogy játssz ilyen játékokat 🙂 Hát, talán csak viccből.

A fentiek mindegyikéből az következik, hogy a matematikai elvárás NEM VÉLETLENSZERŰ érték.

Alkotó feladat önálló kutatáshoz:

Mr X az európai rulettet a következő rendszer szerint játszik: folyamatosan 100 rubelt fogad a pirosra. Állítsd össze egy valószínűségi változó eloszlásának törvényét - a kifizetődőségét. Számítsa ki a nyeremény matematikai elvárását, és kerekítse kopejkára. Mennyi átlagos minden száz tétnél veszít a játékos?

Referencia : Az európai rulett 18 piros, 18 fekete és 1 zöld szektort ("nulla") tartalmaz. A „piros” kiesése esetén a játékos dupla tétet kap, ellenkező esetben a kaszinó bevételébe kerül

Sok más rulettrendszer létezik, amelyekhez saját valószínűségi táblázatokat készíthet. De ez az a helyzet, amikor nincs szükségünk elosztási törvényekre és táblázatokra, mert az biztos, hogy a játékos matematikai elvárása pontosan ugyanaz lesz. Csak rendszerről rendszerre változik diszperzió, amelyről a lecke 2. részében fogunk tudni.

De előtte hasznos lesz az ujjait a számológép billentyűin nyújtani:

A valószínűségi változót a saját valószínűség-eloszlási törvénye adja meg:

Keresse meg, ha ez ismert. Futtasson ellenőrzést.

Aztán rátérünk a dolgozószobára diszkrét valószínűségi változó diszperziójaés ha lehetséges, ÉPP MOST!!- hogy ne veszítse el a téma fonalát.

Megoldások és válaszok:

3. példa Döntés: feltétel szerint - a cél eltalálásának valószínűsége. Azután:
a kihagyás valószínűsége.

Alkossuk meg - a találatok eloszlásának törvényét két lövésnél:

- egyetlen találatot sem. Által független események valószínűségeinek szorzásának tétele:

- egy találat. Által a független események összeférhetetlenségi valószínűségeinek összeadási és szorzási tételei:

- két találat. A független események valószínűségeinek szorzásának tétele szerint:

Ellenőrzés: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Válasz :

jegyzet : lehetett elnevezéseket használni - ez nem fontos.

4. példa Döntés: a játékos 37-ből 18 esetben 100 rubelt nyer, ezért nyereményének elosztási törvénye a következő:

Számítsuk ki a matematikai elvárást:

Így minden száz megtért után a játékos átlagosan 2,7 rubelt veszít.

5. példa Döntés: a matematikai elvárás definíciója szerint:

Cseréljük az alkatrészeket, és egyszerűsítsünk:

és így:

Ellenőrizzük:

, amelyet ellenőrizni kellett.

Válasz :

(Ugrás a főoldalra)

Minőségi munka plágium nélkül - Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Diszkrét valószínűségi változók

Véletlen változó olyan változót nevezünk, amely minden teszt eredményeként véletlenszerű okoktól függően egy korábban ismeretlen értéket vesz fel. A véletlenszerű változókat nagy latin betűkkel jelöljük: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Típusuk szerint a valószínűségi változók diszkrétés folyamatos.

Diszkrét valószínűségi változó- ez egy olyan valószínűségi változó, amelynek értéke legfeljebb megszámlálható, azaz véges vagy megszámlálható. A megszámlálhatóság azt jelenti, hogy egy valószínűségi változó értékei felsorolhatók.

1. példa . Adjunk példákat diszkrét valószínűségi változókra:

a) a célponton elért találatok száma $n$ lövéssel, itt a lehetséges értékek: $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) az érme feldobásakor kihullott címerek száma, itt a lehetséges értékek: $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) a fedélzetre érkezett hajók száma (megszámlálható értékkészlet).

d) a központba érkező hívások száma (megszámlálható értékkészlet).

1. Egy diszkrét valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának törvénye.

Egy diszkrét $X$ valószínűségi változó felveheti a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékeket $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ valószínűségekkel. Ezen értékek és valószínűségeik közötti megfelelést nevezzük diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye. Ezt a megfelelést általában egy táblázat segítségével adjuk meg, amelynek első sorában a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékei vannak feltüntetve, a második sorban pedig az ezeknek az értékeknek megfelelő valószínűségek a $ p_1,\pontok ,\ p_n$.

$\begin
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$

2. példa . Legyen a $X$ valószínűségi változó a kockadobáskor dobott pontok száma. Egy ilyen $X$ valószínűségi változó a következő értékeket veheti fel: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Mindezen értékek valószínűsége 1/6 $. Ezután az $X$ valószínűségi változó valószínűségi eloszlási törvénye:

$\begin
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$

Megjegyzés. Mivel a $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ események egy teljes eseménycsoportot alkotnak a $X$ diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvényében, ezért a valószínűségek összegének egyenlőnek kell lennie eggyel, azaz $\sum

2. Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása.

Egy valószínűségi változó matematikai elvárása megadja a "központi" értékét. Egy diszkrét valószínűségi változó esetén a matematikai elvárást a $x_1,\dots ,\ x_n$ értékek és az ezeknek az értékeknek megfelelő $p_1,\pontok ,\p_n$ valószínűségek szorzataként számítjuk ki, azaz: $M\left(X\right)=\sum ^n_ $. Az angol irodalomban egy másik $E\left(X\right)$ jelölést használnak.

Elvárás tulajdonságai$M\bal(X\jobb)$:

1. $M\left(X\right)$ a $X$ valószínűségi változó legkisebb és legnagyobb értéke között van.
2. Egy konstans matematikai elvárása megegyezik magával az állandóval, azaz. $M\left(C\right)=C$.
3. A konstans tényező kivehető a várakozási előjelből: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. A valószínűségi változók összegének matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik összegével: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik a matematikai elvárásaik szorzatával: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

3. példa . Keressük meg a $2$ példából a $X$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

Észrevehetjük, hogy a $M\left(X\right)$ a $X$ valószínűségi változó legkisebb ($1$) és legnagyobb ($6$) értéke között van.

4. példa . Ismeretes, hogy az $X$ valószínűségi változó matematikai elvárása: $M\left(X\right)=2$. Határozzuk meg a $3X+5$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

A fenti tulajdonságok felhasználásával $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

5. példa . Ismeretes, hogy az $X$ valószínűségi változó matematikai elvárása: $M\left(X\right)=4$. Határozzuk meg a $2X-9$ valószínűségi változó matematikai elvárását.

A fenti tulajdonságok felhasználásával megkapjuk: $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Egy diszkrét valószínűségi változó szórása.

Az azonos matematikai elvárásokkal rendelkező valószínűségi változók lehetséges értékei eltérően szóródhatnak az átlagos értékeik körül. Például két diákcsoportban a valószínűségszámítás vizsgaátlaga 4 lett, de az egyik csoportban mindenki jó tanulónak bizonyult, a másik csoportban pedig csak a C tanuló és a kitűnő tanuló. Ezért szükség van egy valószínűségi változónak egy olyan numerikus karakterisztikára, amely megmutatja egy valószínűségi változó értékeinek terjedését a matematikai elvárása körül. Ez a jellemző a diszperzió.

Egy diszkrét valószínűségi változó diszperziója$X$ a következő:

Az angol szakirodalomban a $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ jelölést használják. Nagyon gyakran a $D\left(X\right)$ variancia kiszámítása a következő képlettel történik: $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Diszperziós tulajdonságok$D\bal(X\jobb)$:

1. A diszperzió mindig nagyobb vagy egyenlő nullával, azaz. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Az állandótól való diszperzió egyenlő nullával, azaz. $D\left(C\right)=0$.
3. A diszperziós előjelből kivehető a konstans tényező, feltéve, hogy négyzetes, pl. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. A független valószínűségi változók összegének szórása egyenlő szórásaik összegével, azaz. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. A független valószínűségi változók különbségének szórása egyenlő szórásaik összegével, azaz. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

6. példa . Számítsuk ki a $X$ valószínűségi változó szórását a $2$ példából.

7. példa . Ismeretes, hogy a $X$ valószínűségi változó varianciája egyenlő: $D\left(X\right)=2$. Határozzuk meg a $4X+1$ valószínűségi változó varianciáját.

A fenti tulajdonságokat használva a következőt kapjuk: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\bal(X\jobb)=16\cdot 2=32$.

8. példa . Ismeretes, hogy $X$ varianciája egyenlő: $D\left(X\right)=3$. Határozzuk meg a $3-2X$ valószínűségi változó varianciáját.

A fenti tulajdonságokat használva a következőt kapjuk: $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\bal (X\jobb)=4\cdot 3=12$.

4. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásfüggvénye.

A diszkrét valószínűségi változó eloszlási sorozat formájában történő ábrázolásának módja nem az egyetlen, és ami a legfontosabb, nem univerzális, mivel folytonos valószínűségi változót nem lehet eloszlássorozattal megadni. Van egy másik módja a valószínűségi változó ábrázolásának - az eloszlási függvény.

elosztási függvény Az $X$ valószínűségi változó a $F\left(x\right)$ függvény, amely meghatározza annak valószínűségét, hogy a $X$ valószínűségi változó kisebb értéket vesz fel, mint valamilyen $x$ rögzített érték, azaz $F\left(x\ jobb)$ )=P\left(X 6$, majd $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left( X=3 \jobbra)+P\bal(X=4\jobbra)+P\bal(X=5\jobbra)+P\bal (X=6\jobbra)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.

$F\left(x\right)$ eloszlási függvény grafikonja:

Az eloszlás alaptörvényei

1. Binomiális eloszlás törvénye.

A binomiális eloszlási törvény az A m-szeres esemény bekövetkezésének valószínűségét írja le n független próbában, feltéve, hogy az A esemény bekövetkezésének p valószínűsége minden próbában állandó.

Például egy vasbolt értékesítési osztálya 10 hívásból átlagosan egy televízióvásárlási rendelést kap. Írjon valószínűség-eloszlási törvényt m TV vásárlására! Szerkessze meg a valószínűségi eloszlás sokszögét.

A táblázatban m a céghez beérkezett tévékészülék vásárlási megrendelések száma. C n m m TV kombinációinak száma n-nel, p az A esemény bekövetkezésének valószínűsége, azaz. TV megrendelésekor q annak a valószínűsége, hogy az A esemény nem következik be, azaz. nem rendel TV-t, P m,n annak a valószínűsége, hogy m TV-t rendelünk n-ből. Az 1. ábra a valószínűségi eloszlás sokszögét mutatja.

2.Geometriai eloszlás.

Egy valószínűségi változó geometriai eloszlása ​​a következő formájú:

P m az A esemény bekövetkezésének valószínűsége az m számú kísérletben.
p az A esemény bekövetkezésének valószínűsége egy kísérletben.
q = 1 - p

Példa. Egy háztartási gépeket javító cég 10 darab mosógép csereegységet kapott. Vannak esetek, amikor egy köteg 1 hibás blokkot tartalmaz. Az ellenőrzést addig kell végezni, amíg meg nem találják a hibás blokkot. Az ellenőrzött blokkok számáról felosztási törvényt kell készíteni. Annak a valószínűsége, hogy egy blokk hibás lehet, 0,1. Szerkessze meg a valószínűségi eloszlás sokszögét.

A táblázatból látható, hogy az m szám növekedésével a hibás blokk észlelésének valószínűsége csökken. Az utolsó sor (m=10) két valószínűséget kombinál: 1 - hogy a tizedik blokk hibásnak bizonyult - 0,038742049, 2 -, hogy az összes ellenőrzött blokk használhatónak bizonyult - 0,34867844. Mivel egy blokk meghibásodásának valószínűsége viszonylag kicsi (p=0,1), az utolsó P m esemény (10 tesztelt blokk) valószínűsége viszonylag magas. 2. ábra.

3. Hipergeometrikus eloszlás.

Egy valószínűségi változó hipergeometrikus eloszlása ​​a következőképpen alakul:

Például a 49-ből 7 kitalált szám eloszlási törvényének felállításához. Ebben a példában az összes N=49, n=7 számot eltávolítottuk, M az összes szám, amely egy adott tulajdonsággal rendelkezik, pl. helyesen kitalált számok, m a helyesen kitalált számok száma a visszavont számok között.

A táblázat azt mutatja, hogy egy szám m=1 kitalálásának valószínűsége nagyobb, mint m=0 esetén. Ekkor azonban a valószínűség gyorsan csökkenni kezd. Így a 4 szám kitalálásának valószínűsége már kisebb, mint 0,005, az 5 pedig elhanyagolható.

4. Poisson-eloszlási törvény.

Egy X valószínűségi változó Poisson-eloszlású, ha eloszlási törvénye a következő:

Np = állandó
n a végtelenbe hajló kísérletek száma
p az esemény bekövetkezésének valószínűsége, amely nullára hajlik
m az A esemény előfordulásának száma

Például egy tévétársaság átlagosan körülbelül 100 hívást fogad naponta. Az A márka TV megrendelésének valószínűsége 0,08; B - 0,06 és C - 0,04. Készítse el az A, B és C márkájú TV-készülékek vásárlási megbízásainak elosztási törvényét. Szerkessze meg a valószínűségi eloszlás poligonját!

A kapott feltételből: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 = 4 (?10)

(a táblázat nem teljes)

Ha n elég nagy ahhoz, hogy a végtelenbe menjen, és p nullára megy, így az np szorzat egy állandó számra megy, akkor ez a törvény a binomiális eloszlás törvényének közelítése. A grafikonon látható, hogy minél nagyobb a p valószínűsége, annál közelebb van a görbe az m tengelyhez, azaz. szelídebb. (4. ábra)

Meg kell jegyezni, hogy a binomiális, geometriai, hipergeometriai és Poisson-eloszlási törvények egy diszkrét valószínűségi változó valószínűségi eloszlását fejezik ki.

5. Egységes elosztási törvény.

Ha a valószínűségi sűrűség (x) állandó érték egy bizonyos intervallumon, akkor az eloszlási törvényt egységesnek nevezzük. Az 5. ábra a valószínűségi eloszlási függvény és az egységes eloszlási törvény valószínűségi sűrűségének grafikonjait mutatja.

6. Normál eloszlási törvény (Gauss-törvény).

A folytonos valószínűségi változók eloszlásának törvényei között a leggyakoribb a normál eloszlási törvény. Egy valószínűségi változó eloszlása ​​a normális eloszlási törvény szerint, ha valószínűségi sűrűsége a következő:

ahol
a egy valószínűségi változó matematikai elvárása
? — szórás

A normális eloszlási törvényű valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének grafikonja szimmetrikus az x=a egyenesre, azaz x egyenlő a matematikai elvárással. Így ha x=a, akkor a görbe maximuma egyenlő:

Amikor a matematikai elvárás értéke megváltozik, a görbe az Ox tengelye mentén eltolódik. A grafikonon (6. ábra) látható, hogy x=3-nál a görbének van maximuma, mert a matematikai elvárás 3. Ha a matematikai elvárás más értéket vesz fel, például a=6, akkor a görbe maximuma x=6-nál lesz. Ha a szórásról beszélünk, amint az a grafikonon is látható, minél nagyobb a szórás, annál kisebb a valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének maximális értéke.

Az a függvény, amely egy valószínűségi változó eloszlását fejezi ki a (-?, x) intervallumon, és amelynek normális eloszlási törvénye van, a Laplace-függvényen keresztül fejezzük ki a következő képlet szerint:

Azok. egy X valószínűségi változó valószínűsége két részből áll: a valószínűség, ahol x értéket vesz fel mínusz végtelentől a-ig, egyenlő 0,5-tel, a második rész pedig a-tól x-ig. (7. ábra)

Együtt tanulni

Hasznos anyagok hallgatóknak, diploma és szakdolgozatok megrendelésre

Tanulság: egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye

Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye a lehetséges értékek és azok valószínűségei közötti megfelelés. Megadható táblázatosan, grafikusan és analitikusan.

Ebben a leckében arról lesz szó, hogy mi a valószínűségi változó.

A táblázatos beállításnál a táblázat első sora tartalmazza a lehetséges értékeket, a második pedig azok valószínűségét, azaz

Ezt a mennyiséget eloszlási sorozatnak nevezzük. diszkrét valószínűségi változó.

X=x1, X=x2, X=xn egy teljes csoportot alkotnak, mivel egy kísérletben a valószínűségi változó egy és csak egy lehetséges értéket vesz fel. Ezért valószínűségeik összege eggyel egyenlő, azaz p1 + p2 + pn = 1 ill.

Ha X értékkészlete végtelen, akkor 1. példa: 100 db jegyet bocsátanak ki egy készpénzes sorsoláson. Egy 1000 rubel nyereményt és 100 rubelből 10-et játszanak. Keresse meg az X valószínűségi változó eloszlási törvényét - egy lottószelvény tulajdonosának lehetséges nyereményének költségét.

A kívánt elosztási törvény alakja a következő:

Az irányítás; 0,01+0,1+0,89=1.
Az eloszlási törvény grafikus beállításával pontokat építünk a koordinátasíkra (Xi: Pi), majd egyenes szakaszokkal kötjük össze őket. Az így kapott szaggatott vonalat ún eloszlási sokszög. Például az 1. ábrán az eloszlási sokszög látható.

Az eloszlási törvény beállításának analitikus módszerében egy olyan képletet jelölnek meg, amely egy valószínűségi változó valószínűségét a lehetséges értékeivel kapcsolja össze.

Példák diszkrét eloszlásokra

Binomiális eloszlás

Legyen n próba, amelyek mindegyikében az A esemény állandó p valószínűséggel következik be, ezért nem állandó valószínűséggel q = 1- p. Tekintsünk egy valószínűségi változót X- az A esemény előfordulásának száma ebben az n próbában. X lehetséges értékei: x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Ezek valószínűsége lehetséges

A diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye a Windows XP Word 2003 Excel 2003 A diszkrét valószínűségi változók eloszlásának törvénye A diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye minden olyan összefüggés, amely kapcsolatot létesít egy valószínűségi változó lehetséges értékei között. és […]

Szervezet LLC "HOUSING AND CONSTRUCTION EXPERTIZA" Szerepelve a kis- és középvállalkozások nyilvántartásában: 2016.01.08-tól mikrovállalkozásként Jogi cím: 150047, YAROSLAVSKAYA REGION, YAROSLAVL G, BELINSICEOMKOGO 29 UL,, OKFS: 16 - OKOGU magántulajdon: 4210014 - Alapított szervezetek […]

A második csoportba tartozó fogyatékkal élők nyugdíja 2018-ban az Orosz Föderációban A rokkantság bármely formájának hozzárendelése az Orosz Föderációban csak orvosi és szociális mutatók alapján történik. A második kategória fogyatékossága olyan személyeket érint, akik fogyatékosnak minősülnek, de nem igényelnek állandó gondozást. Az ilyen állampolgárok jogosultak […]

A tulajdonságok monogén öröklődése. Autoszomális és nemhez kötött öröklődés Tekintettel arra, hogy egy szervezet kariotípusa kromoszómák diploid halmaza, a szomatikus sejtekben a legtöbb gént allélpárok képviselik. A homológ kromoszómák megfelelő régióiban található allél gének, amelyek kölcsönhatásba lépnek […]

Bizonyítás A bizonyítás típusai Vita-algoritmus az érvelés logikai elemzéséhez 1. A tézis kiemelése a szövegben 2. Az érvek kiemelése, megbízhatóságuk megállapítása 3. Az érvelés formája kiemelése, az érvek és a tézis logikai kapcsolatának szigorúságának megállapítása 4 . Adjon következtetést az érvelés természetéről, […]

Az Orosz Föderáció Közlekedési Minisztériumának N 124, az Orosz Föderáció Igazságügyi Minisztériumának N 315, az Orosz Föderáció Belügyminisztériumának N 817, az Orosz Föderáció Egészségügyi és Szociális Fejlesztési Minisztériumának N 714 sz. 2006.10.10. „A járművek független műszaki vizsgálatát végző szakértő-technikák szakmai minősítésének feltételeiről és eljárásáról, beleértve a szakértőkre vonatkozó követelményeket TECHNIKUSOK” Bejegyzett […]

Az Orosz Föderáció jogalkotási alapja Ingyenes konzultáció Szövetségi jogszabályok …]

Szervezet OJSC "NEFTEL" Cím: G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 Jogi cím: 443020, G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 OKFS: 42 - Vegyes orosz tulajdon, részesedéssel az orosz alkotó jogalanyok tulajdonában OKOGU Szövetség: 4210014 - Jogi személyek vagy állampolgárok által alapított szervezetek, vagy jogi személyek és […]