Készletek. Műveletek a készleteken.
Állítsa be a kijelzőt. Állítsa be a teljesítményt

Üdvözöllek benneteket a magasabb algebra első leckén, amely ... az oldal ötödik évfordulójának előestéjén jelent meg, miután már több mint 150 matematikai cikket készítettem, és az anyagaim egy befejezett tanfolyamon kezdtek formát ölteni. . Azonban remélem, hogy nem késtem el - elvégre sok diák csak azért kezd belemerülni az előadásokba államvizsgák =)

A vyshmat egyetemi kurzusa hagyományosan három pilléren nyugszik:

– matematikai elemzés (határait, származékai stb.)

– és végül tanórákkal nyit a 2015/16-os tanévi szezon Algebra bábuknak, A matematikai logika elemei, amelyen elemezzük a rész alapjait, valamint megismerkedünk a matematikai alapfogalmakkal és a közös jelölésekkel. Azt kell mondanom, hogy más cikkekben nem élek vissza a "cikikkel" , ez azonban csak egy stílus, és természetesen minden állapotban fel kell ismerni őket =). Tájékoztatom az új olvasókat, hogy óráim gyakorlatorientáltak, és a következő anyagot ennek jegyében mutatom be. További teljes körű és tudományos információkért forduljon bizalommal oktatási irodalom. Megy:

Egy csomó. Mutass példákat

A halmaz nem csak a matematika, hanem az egész világ alapvető fogalma. Vegyél azonnal bármilyen tárgyat a kezedbe. Itt van egy készlet, amely egy elemből áll.

Tág értelemben, a halmaz olyan objektumok (elemek) gyűjteménye, amelyeket egészként értünk(bizonyos jelek, kritériumok vagy körülmények szerint). Ráadásul ezek nem csak anyagi tárgyak, hanem betűk, számok, tételek, gondolatok, érzelmek stb.

A halmazokat általában nagy latin betűkkel jelöljük. (opcióként, alsó indexekkel: stb.), és elemei kapcsos zárójelben vannak írva, például:

- az orosz ábécé betűkészlete;
a természetes számok halmaza;

Nos, ideje kicsit megismerni egymást:
– sok diák az 1. sorban

… Örülök, hogy látom komoly és koncentrált arcodat =)

Beállítja és van végső(véges számú elemből áll), és egy halmaz egy példa végtelen készletek. Emellett elméletben és gyakorlatban az ún üres készlet:

olyan halmaz, amely nem tartalmaz elemet.

A példa jól ismert számodra - a vizsgán a halmaz gyakran üres =)

Egy elem készletbeli tagságát a szimbólum jelzi, például:

- a "be" betű az orosz ábécé betűkészletéhez tartozik;
- a "béta" betű nem az orosz ábécé betűkészletéhez tartozik;
– az 5-ös szám a természetes számok halmazába tartozik;
- de az 5,5-ös szám már nincs meg;
- Voldemar nem ül az első sorban (és még inkább nem tartozik a halmazhoz vagy =)).

Az absztrakt és nem annyira algebrában a halmaz elemeit kis latin betűkkel jelöljük és ennek megfelelően az összetartozás ténye a következő stílusban kerül megfogalmazásra:

– az elem a halmazhoz tartozik.

A fenti halmazok írva vannak közvetlen átvitel elemeket, de nem ez az egyetlen módja. Sok halmaz kényelmesen meghatározható néhány használatával jel (s), ami velejárója minden eleméhez. Például:

a 100-nál kisebb természetes számok halmaza.

Emlékezik: egy hosszú függőleges pálca a verbális forgást fejezi ki "melyik", "ilyen". Elég gyakran kettőspontot használnak helyette: - olvassuk formálisabban a bejegyzést: "a természetes számok halmazához tartozó elemek halmaza, oly módon, hogy » . Szép munka!

Ez a halmaz felírható közvetlen felsorolással is:

További példák:
- és ha elég sok diák van az 1. sorban, akkor egy ilyen rekord sokkal kényelmesebb, mint a közvetlen listázásuk.

intervallumhoz tartozó számok halmaza. Vegye figyelembe, hogy ez a készletre vonatkozik érvényes számok (róluk később), amelyet már nem lehet vesszővel elválasztva felsorolni.

Megjegyzendő, hogy egy halmaz elemeinek nem kell "homogénnek" vagy logikailag összefüggőnek lenniük. Vegyünk egy nagy táskát, és kezdjünk bele véletlenszerűen különféle tárgyakat rakni. Ebben nincs szabályszerűség, de ennek ellenére sokféle témáról beszélünk. Képletesen szólva a készlet egy külön „csomag”, amelyben egy bizonyos tárgyhalmaz „a sors akaratából” kiderült.

Részhalmazok

Magából a névből szinte minden kiderül: a készlet az részhalmaz set, ha a halmaz minden eleme a halmazhoz tartozik. Más szavakkal, egy halmazt egy halmaz tartalmaz:

Az ikont ikonnak nevezik befogadás.

Térjünk vissza a példához, amelyben az orosz ábécé betűkészlete található. Jelölje - a magánhangzóinak halmaza. Azután:

Kiválasztható a mássalhangzó betűk egy részhalmaza is, és általában egy tetszőleges számú, véletlenszerűen (vagy nem véletlenszerűen) vett cirill betűből álló részhalmaz. Minden cirill betű a halmaz részhalmaza.

A részhalmazok közötti kapcsolatok kényelmesen ábrázolhatók egy feltételes geometriai séma segítségével Euler-körök.

Legyen hallgatók halmaza az 1. sorban, legyen csoportos hallgatók halmaza és egyetemi hallgatók halmaza. Ekkor a zárványok viszonya a következőképpen ábrázolható:

Egy másik egyetem hallgatóinak halmazát körként kell ábrázolni, amely nem metszi a külső kört; az ország diákjainak sokasága egy olyan körben, amely mindkét kört tartalmazza, és így tovább.

Figyelembe véve a zárványok tipikus példáját figyeljük meg számkészletek. Ismételjük iskolai anyag, amit fontos szem előtt tartani a felsőbb matematika tanulásakor:

Numerikus halmazok

Tudniillik történelmileg a természetes számok jelentek meg először, melyeket anyagi tárgyak (emberek, csirkék, birkák, érmék stb.) megszámlálására terveztek. Ezzel a készlettel már találkoztunk a cikkben, csak az a helyzet, hogy most kissé módosítjuk a megnevezését. A helyzet az, hogy a numerikus halmazokat általában félkövér, stilizált vagy vastagított betűk jelölik. Inkább félkövért használok:

Néha a nulla szerepel a természetes számok halmazában.

Ha ugyanazokat a számokat ellentétes előjellel és nullával adjuk a halmazhoz, akkor azt kapjuk egész számok halmaza:

A racionalizálók és a lusták ikonokkal írják le elemeit "plusz minusz":))

Teljesen világos, hogy a természetes számok halmaza az egész számok halmazának részhalmaza:
- mivel a halmaz minden eleme a halmazhoz tartozik. Így bármilyen természetes szám nyugodtan egész számnak nevezhető.

A halmaz neve is "beszélő": egész számok - ez azt jelenti, hogy nincs tört.

És amint egész számok, azonnal felidézzük a 2, 3, 4, 5 és 10-gyel való oszthatóság fontos jeleit, amelyekre szinte minden nap szükség lesz a gyakorlati számításokban:

Egy egész szám osztható 2-vel maradék nélkül ha 0, 2, 4, 6 vagy 8-ra végződik (azaz bármilyen páros számjegy). Például számok:
400, -1502, -24, 66996, 818 - 2-vel osztva maradék nélkül.

És azonnal elemezzük a "kapcsolódó" jelet: egész osztható 4-gyel ha az utolsó két számjegyéből álló szám (az ő sorrendjükben) osztható 4-gyel.

400 osztható 4-gyel (mert a 00 (nulla) osztható 4-gyel);
-1502 - nem osztható 4-gyel (mert a 02 (kettő) nem osztható 4-gyel);
-24 természetesen osztható 4-gyel;
66996 – osztható 4-gyel (mert a 96 osztható 4-gyel);
818 - nem osztható 4-gyel (mert a 18 nem osztható 4-gyel).

Adja meg saját egyszerű indoklását ennek a ténynek.

A 3-mal való oszthatóság kicsit nehezebb: egy egész szám osztható 3-mal maradék nélkül, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.

Ellenőrizzük, hogy a 27901 szám osztható-e 3-mal. Ehhez összegezzük a számait:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – nem osztható 3-mal
Következtetés: 27901 nem osztható 3-mal.

Adjuk össze a -825432 szám számjegyeit:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - osztható 3-mal
Következtetés: a -825432 szám osztható 3-mal

Az egész szám osztható 5-tel, ha öttel vagy nullával végződik:
775, -2390 - osztható 5-tel

Az egész szám osztható 10-zel ha nullára végződik:
798400 – osztható 10-zel (és nyilván 100-nál). Nos, valószínűleg mindenki emlékszik - a 10-zel való osztáshoz csak el kell távolítania egy nullát: 79840

Vannak 6-tal, 8-mal, 9-el, 11-gyel stb. oszthatóság jelei is, de ezekből gyakorlatilag nincs gyakorlati értelme =)

Meg kell jegyezni, hogy a felsorolt ​​(olyan egyszerűnek tűnő) kritériumok szigorúan bizonyítottak számelmélet. Az algebra ezen része általában elég érdekes, de a tételei...csak egy modern kínai kivitelezés =) És Voldemar is elég volt az utolsó asztalnál...de nem baj, hamarosan éltető fizikai gyakorlatokat végzünk =)

A következő számkészlet az Egy csomó racionális számok :
- azaz bármely racionális szám ábrázolható egész számmal rendelkező törtként számlálóés természetes névadó.

Nyilvánvalóan az egész számok halmaza az részhalmaz racionális számok halmazai:

És valójában - végül is bármely egész szám racionális törtként ábrázolható, például: stb. Így egy egész szám teljesen jogosan nevezhető racionális számnak.

A racionális szám jellegzetes "azonosító jele" az a tény, hogy a számlálónak a nevezővel való osztásakor vagy
egy egész szám,

vagy
– végső decimális,

vagy
- végtelen időszakos decimális (lehet, hogy az újrajátszás nem indul azonnal).

Csodálja meg a felosztást, és próbálja meg a lehető legkevesebbet végrehajtani ezt a műveletet! A szervezeti cikkben Felsőfokú matematika bábuknakés más leckéken többször is megismételtem, ismételtem és ismétlem ezt a mantrát:

NÁL NÉL felsőbb matematika arra törekszünk, hogy minden műveletet közönséges (helyes és nem megfelelő) törtben hajtsunk végre

Egyetértünk abban, hogy a törtekkel sokkal kényelmesebb foglalkozni, mint a 0,375-ös tizedes számmal (a végtelen törtekről nem is beszélve).

Menjünk tovább. A racionálisak mellett sok van irracionális számok, amelyek mindegyike végtelenként ábrázolható nem időszakos tizedes tört. Más szóval, az irracionális számok "végtelen farkában" nincs szabályszerűség:
("Leo Tolsztoj születési éve" kétszer)
stb.

Rengeteg információ van a híres "pi" és "e" állandókról, ezért nem foglalkozom velük.

A racionális és irracionális számok uniója kialakul valós (valós) számok halmaza:

- ikon egyesületek készletek.

A halmaz geometriai értelmezése ismerős számodra - ez egy számsor:


Minden valós szám megfelel a számegyenes egy bizonyos pontjának, és fordítva - a számegyenes minden pontja szükségszerűen megfelel valamilyen valós számnak. Lényegében most megfogalmaztam folytonossági tulajdonság valós számok, ami bár nyilvánvalónak tűnik, a matematikai elemzés során szigorúan bebizonyosodik.

A számegyenest végtelen intervallum is jelöli, a jelölés vagy azzal egyenértékű jelölés pedig azt a tényt szimbolizálja, hogy a valós számok halmazába tartozik (vagy egyszerűen "x" - valós szám).

A beágyazásoknál minden átlátható: a racionális számok halmaza az részhalmaz valós számok halmazai:
így minden racionális szám nyugodtan nevezhető valós számnak.

Az irracionális számok halmaza is részhalmaz valós számok:

Ugyanakkor a részhalmazok ill ne keresztezd- vagyis egyetlen irracionális szám sem ábrázolható racionális törtként.

Vannak más számrendszerek? Létezik! Ez pl. komplex számok, mellyel azt javaslom, hogy a következő napokban vagy akár órákban szó szerint olvass.

Addig is rátérünk a halmazműveletek tanulmányozására, melynek szelleme már a jelen rész végén is megnyilvánult:

Műveletek a készleteken. Venn diagramok

A Venn-diagramok (hasonlóan az Euler-körökhöz) a halmazokkal végzett műveletek sematikus ábrázolása. Ismételten figyelmeztetem, hogy nem térek ki minden műveletre:

1) útkereszteződés Ésés jelzéssel van ellátva

A halmazok metszetét halmaznak nevezzük, amelynek minden eleme hozzátartozik és készlet , és meg . Durván szólva a metszéspont a halmazok gyakori része:

Tehát például készleteknél:

Ha a halmazoknak nincsenek azonos elemei, akkor a metszéspontjuk üres. Most találkoztunk egy ilyen példával, amikor numerikus halmazokat vizsgáltunk:

A racionális és irracionális számok halmazai sematikusan ábrázolhatók két nem átfedő körrel.

A metszéspont művelet több halmazra alkalmazható, különösen a Wikipédiának van jó példa három ábécé betűkészleteinek metszéspontjára.

2) Unió halmazokat logikai kapcsolat jellemzi VAGYés jelzéssel van ellátva

A halmazok uniója egy halmaz, amelynek minden eleme a halmazhoz tartozik vagy készlet:

Írjuk fel a halmazok unióját:
- durván szólva itt fel kell sorolni a és halmazok összes elemét, és ugyanazokat az elemeket (ebben az esetben a halmazok metszéspontjában lévő egység) egyszer meg kell adni.

De a halmazok természetesen nem metszik egymást, mint a racionális és irracionális számok esetében:

Ebben az esetben két nem metsző árnyékolt kört rajzolhat.

Az egyesülési művelet több halmazra is alkalmazható, például ha , akkor:

A számoknak nem kell növekvő sorrendben lenniük. (Ezt pusztán esztétikai okokból tettem). Minden további nélkül az eredményt így írhatjuk fel:

3) különbség és nem tartozik a készletbe:

A különbség a következőképpen olvasható: „a nélkül lenni”. És pontosan ugyanúgy lehet vitatkozni: vegyük figyelembe a halmazokat. A különbség felírásához a készletben lévő összes elemet „ki kell dobni” a készletből:

Példa numerikus halmazokra:
- itt minden természetes szám ki van zárva az egész számok halmazából, maga a jelölés pedig így hangzik: "az egész számok halmaza a természetes számok halmaza nélkül."

Tükör: különbség halmazokat, és hívja meg azt a halmazt, amelynek minden eleme a halmazhoz tartozik és nem tartozik a készletbe:

Ugyanazokhoz a készletekhez
- a készletből "kidobta", ami a készletben van.

De ez a különbség üresnek bizonyul: . És valójában - ha az egész számokat kizárjuk a természetes számok halmazából, akkor valójában semmi sem marad :)

Ezenkívül néha fontolja meg szimmetrikus a különbség, amely egyesíti a két "félholdat":
- más szóval ez "minden, csak nem a halmazok metszéspontja".

4) Descartes (közvetlen) szorzat halmazok, és halmaznak nevezzük minden szabályos párok, amelyekben az elem és az elem

Írjuk fel derékszögű termék készletek:
- célszerű a párokat a következő algoritmus szerint felsorolni: „először a halmaz minden elemét egymás után csatoljuk a halmaz 1. eleméhez, majd a halmaz minden elemét a halmaz 2. eleméhez csatoljuk, majd csatolja a készlet minden elemét a készlet 3. eleméhez»:

Tükör: Descartes termék halmazok, és az összes halmazának nevezik szabályos párok, amelyekben . Példánkban:
- itt a rögzítési séma hasonló: először a készlet összes elemét egymás után csatoljuk a „mínusz egyhez”, majd a „de”-hez - ugyanazok az elemek:

De ez pusztán a kényelem kedvéért - mindkét esetben tetszőleges sorrendben fel lehet sorolni a párokat - fontos ide leírni minden lehetséges párok.

És most a program fénypontja: a karteziánus termék nem más, mint a natívunkban található pontok halmaza Derékszögű koordinátarendszer .

Gyakorlatönrögzítő anyagokhoz:

Hajtsa végre a műveleteket, ha:

Egy csomó célszerű elemeinek felsorolásával leírni.

És egy divat a valós számok intervallumával:

Emlékezzünk vissza, hogy a szögletes zárójel azt jelenti befogadás számokat az intervallumba, és kerek - azt kirekesztés, vagyis a "mínusz egy" a halmazhoz tartozik, a "három" nem a készlethez tartozik. Próbáld kitalálni, mi ezeknek a készleteknek a derékszögű szorzata. Ha nehézségeid vannak, kövesd a rajzot ;)

A feladat rövid megoldása az óra végén.

Állítsa be a kijelzőt

Kijelző set to set is szabály, amely szerint a halmaz minden eleme a halmaz egy eleméhez (vagy elemeihez) van társítva. Abban az esetben, ha megfelel az egyetlen elem, ezt a szabályt nevezzük világosan megfogalmazott funkció vagy csak funkció.

A funkciót, mint sokan tudják, leggyakrabban betűvel jelölik - társítja mindenkinek elem az egyetlen érték, amely a halmazhoz tartozik.

Nos, most ismét megzavarok sok 1. sor diákot, és 6 témát ajánlok nekik absztraktokhoz (készlet):

Telepítve (akaratlanul vagy akaratlanul =)) a szabály a halmaz minden tanulóját a halmaz absztraktjának egyetlen témájához rendeli.

…és valószínűleg nem is tudtad elképzelni, hogy egy függvényargumentum szerepét játszhatod =) =)

A halmazforma elemei tartomány függvények (jelölése ), és a halmaz elemei - hatótávolság függvények (jelölése ).

A halmazok konstruált leképezésének van egy nagyon fontos jellemzője: az 1-1 vagy bijektív(bijekció). Ebben a példában ez azt jelenti mindenkinek a tanuló igazodik egy egyedi az esszé témája, és fordítva - az egyes egy és csak egy tanulót rögzít az absztrakt témája.

Nem szabad azonban azt gondolni, hogy minden leképezés bijektív. Ha az 1. sorba (halmazba) kerül a 7. tanuló, akkor az egy-egy levelezés megszűnik - vagy valamelyik tanuló téma nélkül marad (egyáltalán nincs kijelző), vagy valamelyik téma egyszerre két diákhoz kerül. Fordított helyzet: ha egy hetedik témát adunk a készlethez, akkor az egy az egyhez leképezés is elvész - az egyik témakör kihasználatlan marad.

Kedves hallgatók, az 1. sorban ne keseredjetek el, a többi 20 fő óra után megy, hogy megtisztítsa az egyetem területét az őszi lomboktól. Az utánpótlás-menedzser húsz golikot ad, utána egy-egy levelezés jön létre a csoport fő része és a seprűk között ..., és Voldemarnak is lesz ideje elszaladni a boltba =)). egyedi"y", és fordítva - az "y" bármely értékére egyértelműen visszaállíthatjuk az "x"-et. Így ez egy bijektív függvény.

! Minden esetre kiküszöbölök egy esetleges félreértést: a terjedelmi állandó fenntartásom nem véletlen! Előfordulhat, hogy a függvény nem minden "x"-re van definiálva, sőt, ebben az esetben is egy az egyhez. Tipikus példa:

De at másodfokú függvény semmi ilyesmi nem figyelhető meg, először is:
- vagyis az "x" különböző értékei jelentek meg azonos jelentése "y"; és másodszor: ha valaki kiszámolta a függvény értékét, és azt mondta nekünk, hogy , akkor nem egyértelmű - ezt az „y”-t a -nál vagy -nél kaptuk? Mondanunk sem kell, hogy a kölcsönös egyértelműségnek itt még szaga sincs.

2. feladat: Kilátás alapvető elemi függvények grafikonjaiés írjunk ki bijektív függvényeket egy papírra. Ellenőrző lista a lecke végén.

Állítsa be a teljesítményt

Az intuíció azt sugallja, hogy a kifejezés a halmaz méretét, nevezetesen elemeinek számát jellemzi. És az intuíció nem téveszt meg minket!

Az üres halmaz számossága nulla.

A készlet kardinalitása hat.

Az orosz ábécé betűkészletének ereje harminchárom.

Általában a hatalom bármely végső halmaz egyenlő ennek a halmaznak az elemeinek számával.

... talán nem mindenki érti teljesen, hogy mi az végső halmaz - ha elkezdi számolni ennek a halmaznak az elemeit, akkor előbb-utóbb a számlálás véget ér. Amit hívnak, és a kínaiak egyszer elfogynak.

Természetesen a halmazokat számosságban össze lehet hasonlítani, és ilyen értelmű egyenlőségüket ún egyenlő hatalom. Az egyenértékűség meghatározása a következő:

Két halmaz akkor ekvivalens, ha közöttük egy az egyhez megfeleltetés állapítható meg..

A tanulók halmaza egyenértékű az absztrakt témák halmazával, az orosz ábécé betűkészlete egyenértékű bármely 33 elemből álló halmazzal stb. Vedd észre, hogy pontosan mit bárki 33 elemből álló halmaz – ebben az esetben csak a számuk számít. Az orosz ábécé betűit nemcsak sok számmal lehet összehasonlítani
1, 2, 3, ..., 32, 33, de általában is 33 tehénből álló csordával.

A dolgok sokkal érdekesebbek a végtelen halmazokkal. A végtelenség is más! ...zöld és piros A „legkisebb” végtelen halmazok számolás készletek. Ha nagyon egyszerű, akkor egy ilyen halmaz elemei számozhatók. A referenciapélda a természetes számok halmaza . Igen – végtelen, de az ALAPELV minden elemének van egy száma.

Rengeteg példa van. Különösen az összes páros természetes szám halmaza megszámlálható. Hogyan kell bizonyítani? Meg kell állapítani egy-egy megfelelését a természetes számok halmazával, vagy egyszerűen meg kell számozni az elemeket:

Egy-egy megfeleltetés jön létre, ezért a halmazok egyenértékűek és a halmaz megszámlálható. Paradox, de a hatalom szempontjából - annyi páros természetes szám van, mint természetes!

Az egész számok halmaza is megszámlálható. Ennek elemei számozhatók, például így:

Ráadásul a racionális számok halmaza is megszámlálható. . Mivel a számláló egész szám (és ahogy az imént látható, számozhatók is), és a nevező természetes szám, akkor előbb-utóbb bármelyik racionális törthez „ráérünk”, és számot rendelünk hozzá.

De a valós számok halmaza már számtalan, azaz elemei nem számozhatók. Bár ez a tény nyilvánvaló, a halmazelmélet szigorúan bizonyítja. A valós számok halmazának számosságát is nevezzük folytonosság, és a megszámlálható halmazokhoz képest ez egy "végtelenebb" halmaz.

Mivel a halmaz és a számsor között egy-egy megfelelés van (lásd fent), akkor a valós egyenes ponthalmaza is számtalan. Ráadásul egy kilométeres és egy milliméteres szakaszon ugyanannyi pont van! Klasszikus példa:


A gerendát az óramutató járásával ellentétes irányba forgatva, amíg egybe nem esik a nyalábbal, egy-egy megfeleltetést hozunk létre a kék szakaszok pontjai között. Így annyi pont van a szakaszon, mint ahány a szakaszon és !

Ez a paradoxon láthatóan a végtelenség misztériumához kapcsolódik... de most nem foglalkozunk az univerzum problémáival, mert a következő lépés

2. feladat Egy az egyhez funkciók a lecke illusztrációiban

ÉN. A halmaz néhány objektum vagy szám gyűjteménye, egyesek szerint összeállítva általános tulajdonságok vagy törvények (sok betű egy oldalon, sok megfelelő tört nevezővel 5 , sok csillag az égen stb.).

A göndör kapcsos zárójelet a készlet írásához használják: «{ »- megnyílik; "}" — készlet zárva van. És magát a készletet nagy latin betűknek hívják: A, B, C stb.

Példák.

1 . Íráskészlet DE, amely a szó összes magánhangzójából áll "matematika".

Döntés. A \u003d (a, e, u). Látod: annak ellenére, hogy a szóban "matematika" három betű van "a"- többszörös ismétlés nem megengedett a jegyzőkönyvben és a levélben "a" csak egyszer kerül rögzítésre. Egy csomó DE három elemből áll.

2. Írd fel az összes megfelelő tört halmazát nevezővel! 5 .

Döntés. Ne feledje: a szabályos törtet szabályos törtnek nevezzük, amelyben a számláló kisebb, mint a nevező. Jelölje NÁL NÉL kívánt készlet. Azután:

Egy csomó NÁL NÉL négy elemből áll.

II. A halmazok elemekből állnak, és végesek vagy végtelenek. Az elemeket nem tartalmazó halmazt üres halmaznak nevezzük és jelöljük Ø.

III. Egy csomó NÁL NÉL a halmaz részhalmazának nevezzük DE ha a halmaz összes eleme NÁL NÉL a halmaz elemei DE.

3. A megadott két halmaz közül melyik NÁL NÉLés Val vel Nak nek,

ha NÁL NÉL={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Döntés. A készlet összes eleme Val vel szintén a készlet elemei Nak nek, ezért a készlet Val vel a halmaz egy részhalmaza NAK NEK.Írd le:

IV. Állítsa be a kereszteződést DEés NÁL NÉL olyan halmaz, amelynek elemei a halmazhoz tartoznak DEés sok NÁL NÉL.

4. Két halmaz metszéspontjának megjelenítése Més F Euler-körök segítségével.

Döntés.

A sokféleségből készletek különösen érdekesek az ún számkészletek, azaz olyan halmazok, amelyek elemei számok. Nyilvánvaló, hogy a velük való kényelmes munkához le kell tudni írni őket. A numerikus halmazok írásának jelölésével és elveivel kezdjük ezt a cikket. Ezután megvizsgáljuk, hogyan ábrázolják a numerikus halmazokat a koordinátavonalon.

Oldalnavigáció.

Numerikus halmazok írása

Kezdjük az elfogadott jelöléssel. Mint ismeretes, a latin ábécé nagybetűi a halmazok jelölésére szolgálnak. A numerikus halmazokat, mint a halmazok speciális esetét is jelöljük. Például beszélhetünk A , H , W numerikus halmazokról stb. Különösen fontosak a természetes, egész, racionális, valós, komplex számok stb., elnevezésüket fogadták el rájuk:

• N az összes természetes szám halmaza;
• Z az egész számok halmaza;
• Q a racionális számok halmaza;
• J az irracionális számok halmaza;
• R a valós számok halmaza;
• C a komplex számok halmaza.

Ebből világosan látszik, hogy nem szükséges egy például két 5-ből és -7-ből álló halmazt Q-ként jelölni, ez a megjelölés félrevezető lesz, mivel a Q betű általában az összes racionális szám halmazát jelöli. A megadott számkészlet megjelöléséhez jobb, ha más „semleges” betűt használunk, például A.

Mivel jelölésről beszélünk, itt felidézzük az üres halmaz jelölését is, vagyis az elemeket nem tartalmazó halmazt. ∅ jellel jelöljük.

Emlékezzünk vissza egy halmazbeli elem tagságának és nem tagságának megjelölésére is. Ehhez használja a ∈ - tartozik és ∉ - nem tartozik jeleket. Például az 5∈N bejegyzés azt jelenti, hogy az 5 a természetes számok halmazához tartozik, és az 5,7∉Z - az 5,7 tizedes tört nem tartozik az egész számok halmazához.

Emlékezzünk vissza arra a jelölésre is, amelyet az egyik halmaznak a másikba foglalására alkalmaztunk. Jól látható, hogy az N halmaz minden eleme benne van a Z halmazban, így az N számhalmaz benne van a Z-ben, ezt N⊂Z-ként jelöljük. Használhatja a Z⊃N jelölést is, ami azt jelenti, hogy az összes Z egész szám halmaza tartalmazza az N halmazt. A nem szereplő és nem szereplő kapcsolatokat a ⊄ és a jelek jelölik. Használják a ⊆ és ⊇ alak nem szigorú befoglalásának jeleit is, amelyek jelentése rendre szerepel vagy illeszkedik, illetve tartalmazza vagy egyezik.

Beszéltünk a jelölésről, térjünk át a numerikus halmazok leírására. Ebben az esetben csak a gyakorlatban leggyakrabban használt fő eseteket érintjük.

Kezdjük a véges és kis számú elemet tartalmazó numerikus halmazokkal. A véges számú elemből álló numerikus halmazok kényelmesen leírhatók az összes elemük felsorolásával. Az összes számelemet vesszővel elválasztva írjuk, és zárjuk közé, ami összhangban van a közös értékkel állítsa be a leírási szabályokat. Például egy három számból (0 , -0,25 és 4/7) álló halmaz leírható a következővel: (0, -0,25, 4/7).

Néha, amikor egy numerikus halmaz elemeinek száma elég nagy, de az elemek engedelmeskednek valamilyen mintának, ellipszist használnak a leírásra. Például a 3-tól 99-ig terjedő páratlan számok halmaza felírható így (3, 5, 7, ..., 99).

Így simán megközelítettük a numerikus halmazok leírását, amelyek elemszáma végtelen. Néha ugyanazzal az ellipszissel írhatók le. Például írjuk le az összes természetes szám halmazát: N=(1, 2. 3, …) .

A numerikus halmazok leírását is használják elemeinek tulajdonságainak feltüntetésével. Ebben az esetben az (x| tulajdonságok) jelölést használjuk. Például az (n| 8 n+3, n∈N) bejegyzés olyan természetes számok halmazát határozza meg, amelyek 8-cal osztva 3 maradékot adnak. Ugyanez a halmaz így írható le (11,19, 27, ...) .

Speciális esetekben a végtelen számú elemű numerikus halmazok ismert halmazok N , Z , R stb. vagy számhézagok. És általában a numerikus halmazokat a következőképpen ábrázoljuk Unió egyedi numerikus intervallumaikat és véges elemszámú numerikus halmazaikat (amiről kicsit magasabbról beszéltünk).

Mutassunk egy példát. Legyen a numerikus halmaz a −10 , −9 , −8.56 , 0 számokból, a [−5, −1.3] szakasz összes számából és a nyitott számsugár (7, +∞) számaiból. A halmazok uniójának definíciója értelmében a jelzett numerikus halmaz így írható fel {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Egy ilyen jelölés valójában egy halmazt jelent, amely tartalmazza a (−10, −9, −8.56, 0) , [−5, −1.3] és (7, +∞) halmazok összes elemét.

Hasonlóképpen, különféle numerikus tartományok és egyedi számhalmazok kombinálásával bármely (valós számokból álló) számhalmaz leírható. Itt világossá válik, hogy miért kerültek bevezetésre olyan típusú numerikus intervallumok, mint az intervallum, a félintervallum, a szegmens, a nyitott numerikus sugár és a numerikus sugár: ezek mindegyike az egyedi számhalmazok jelölésével együtt lehetővé teszi hogy leírhassanak bármilyen numerikus halmazt az egyesülésükön keresztül.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy egy numerikus halmaz írásakor az alkotószámok és a numerikus intervallumok növekvő sorrendben vannak rendezve. Ez nem kötelező, de kívánatos feltétel, hiszen egy rendezett numerikus halmazt könnyebb koordinátavonalon ábrázolni és ábrázolni. Vegye figyelembe azt is, hogy az ilyen rekordok nem használnak numerikus intervallumokat közös elemek, mivel az ilyen bejegyzések helyettesíthetők a közös elemek nélküli numerikus intervallumok uniójával. Például a [−10, 0] és (−5, 3) közös elemekkel rendelkező numerikus halmazok uniója egy félintervallum [−10, 3) . Ugyanez vonatkozik az azonos határszámú numerikus intervallumok uniójára is, például a (3, 5]∪(5, 7]) unió egy halmaz (3, 7] , erre külön kitérünk, amikor megtanuljuk, hogy keresse meg a numerikus halmazok metszetét és unióját.

Számhalmazok képe a koordinátavonalon

A gyakorlatban kényelmes a numerikus halmazok geometriai képeinek használata - azok képei. Például mikor egyenlőtlenségek megoldása, amelyben figyelembe kell venni az ODZ-t, meg kell ábrázolni a numerikus halmazokat, hogy megtaláljuk metszéspontjukat és/vagy uniójukat. Tehát hasznos lesz jól megérteni a numerikus halmazok koordinátaegyenesen történő ábrázolásának minden árnyalatát.

Ismeretes, hogy a koordináta egyenes pontjai és a valós számok között egy az egyhez egyezés van, ami azt jelenti, hogy maga a koordináta egyenes geometriai modell az összes R valós szám halmaza. Így az összes valós szám halmazának ábrázolásához egy koordinátavonalat kell rajzolni sraffozással a teljes hosszában:

És gyakran nem is jelzik az eredetet és egyetlen szegmenst:

Most beszéljünk a numerikus halmazok képéről, amelyek néhány véges számú egyedi szám. Például rajzoljuk fel a számhalmazt (−2, −0.5, 1.2) . A három -2, -0,5 és 1,2 számból álló halmaz geometriai képe a koordinátavonal három pontja lesz a megfelelő koordinátákkal:

Vegye figyelembe, hogy általában a gyakorlati igényekhez nincs szükség a rajz pontos végrehajtására. Gyakran elegendő egy vázlatos rajz, ami azt jelenti, hogy nem szükséges a méretarányt fenntartani, míg csak a tartás fontos kölcsönös megegyezés pontok egymáshoz képest: minden kisebb koordinátájú pontnak balra kell lennie egy nagyobb koordinátájú ponttól. Az előző rajz sematikusan így fog kinézni:

Külön-külön az összes lehetséges numerikus halmaz közül megkülönböztetünk numerikus intervallumokat (intervallumokat, félintervallumokat, sugarakat stb.), amelyek azok geometriai képét reprezentálják, a részben részletesen megvizsgáltuk. Itt nem ismételjük magunkat.

És már csak a numerikus halmazok képén kell elidőzni, amelyek több numerikus intervallum és egyedi számokból álló halmaz egyesülése. Nincs itt semmi trükkös: az unió jelentése szerint ezekben az esetekben a koordináta egyenesen egy adott numerikus halmaz halmazának összes összetevőjét kell ábrázolni. Példaként mutassuk meg egy számkészlet képét (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

És térjünk ki az elég gyakori esetekre, amikor az ábrázolt numerikus halmaz a valós számok teljes halmaza, egy vagy több pont kivételével. Az ilyen halmazokat gyakran olyan feltételek határozzák meg, mint az x≠5 vagy x≠−1, x≠2, x≠3,7 stb. Ezekben az esetekben geometriailag a teljes koordináta egyenest reprezentálják, kivéve a megfelelő pontokat. Más szóval ezeket a pontokat „ki kell lyukasztani” a koordinátavonalból. Üres középpontú körökként vannak ábrázolva. Az érthetőség kedvéért a feltételeknek megfelelő numerikus halmazt ábrázolunk (ez a készlet lényegében a következő):

Összesít. Ideális esetben az előző bekezdések információi a numerikus halmazok rögzítésének és ábrázolásának ugyanazt a nézetét alkotják, mint az egyes numerikus intervallumok nézete: egy numerikus halmaz rögzítése azonnal adja meg a képét a koordinátavonalon, a képtől pedig tovább A koordinátaegyenes, akkor készen kell állnunk arra, hogy az egyes hézagok és az egyes számokból álló halmazok uniója révén könnyen leírjuk a megfelelő numerikus halmazt.

Bibliográfia.

• Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. évfolyam 14 órakor 1. rész Tanulói tankönyv oktatási intézmények/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. kiadás, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

1.1. Halmazelmélet alapfogalmai és definíciói

A diszkrét matematika bármely fogalma meghatározható a halmaz fogalmával, amely az egyik alapfogalom, és G. Kantor német matematikus fogalmazta meg először.

Alatt sok meghatározott és megkülönböztethető objektumok bármely halmaza, amely egyetlen egészként elképzelhető.

Beszélhetünk székkészletről egy szobában, Voronyezsben élő emberekről, csoportos tanulókról, természetes számok halmazáról, ábécé betűiről, rendszerállapotokról stb. Ugyanakkor beszélhetünk csak egy készletről. amikor a halmaz elemei megkülönböztethetők egymás között. Például nem beszélhetünk sok cseppről egy pohár vízben, mivel lehetetlen egyértelműen és egyértelműen jelezni minden egyes cseppet.

A halmazt alkotó egyedi objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. Tehát a 3-as szám a természetes számok halmazának, a b betű pedig az orosz ábécé betűkészletének eleme.

A készlet általános megnevezése egy göndör zárójelpár ( ), amelyen belül a készlet elemei vannak felsorolva. Különböző halmazokat használnak az egyes halmazok kijelölésére. nagybetűvel A, S, x...vagy nagybetűk indexekkel DE 1 , DE 2. Egy halmaz elemeinek kijelölésére Általános nézet használjon mást kisbetűs a, s, x...vagy kisbetűk indexekkel a 1 , a 2 ...

Hogy jelezze azt az elemet a S, a halmazhoz való tartozás О szimbólumát használjuk. Felvétel aÎ S azt jelenti, hogy az elem a a készlethez tartozik S, és a rekord xÏ S azt jelenti, hogy az elem x nem tartozik a készlethez S. Felvétel x 1 , x 2 ,... ...,x nÎ S rövidítésként használják x 1 О S, x 2 О S,..., x nÎ S.

Általános szabály, hogy a halmaz minden eleme különálló. Az ismétlődő elemeket tartalmazó halmazt multihalmaznak nevezzük. Multisets játék fontos szerep a kombinatorikában. A következőkben a különböző elemeket tartalmazó készleteket vesszük figyelembe.

A numerikus halmazokhoz a következő jelölést fogjuk használni:

a természetes számok halmaza, azaz.

az egész számok halmaza, azaz. = (0, ±1, ±2, …);

a racionális számok halmaza, =( / \ , н ; ¹ 0);

- Egy csomó valós számok;

a komplex számok halmaza.

A halmazok végesek vagy végtelenek. Egy halmazt akkor nevezünk végesnek, ha elemeinek száma véges, vagyis ha van természetes szám n, ami a halmaz elemeinek száma. Hívás beállítása végtelen ha végtelen sok elemet tartalmaz. Egy véges halmaz elemeinek számát nevezzük erőés = = n, ha a készlet x tartalmaz n elemeket.

A halmazelmélet egyik fontos fogalma az üres halmaz fogalma. üres készlet olyan halmaz, amely nem tartalmaz elemet. Az üres halmazt a szimbólum jelöli Például:

{xÎ R | x 2 -x+1=0}=

Az üres halmaz fogalma nagyon fontos szerepet játszik a halmazok leírással történő meghatározásában. Tehát az üres halmaz fogalma nélkül nem beszélhetnénk a csoport kiváló tanulóinak halmazáról vagy a valódi gyökerek halmazáról másodfokú egyenlet, anélkül, hogy először megbizonyosodna arról, hogy ebben a csoportban vannak-e egyáltalán kiváló tanulók, vagy van-e adott egyenlet igazi gyökerek. Az üres halmaz bevezetése lehetővé teszi, hogy a csoport kiváló tanulóival meglehetősen nyugodtan dolgozhassunk, anélkül, hogy azon kellene aggódnunk, hogy vannak-e kitűnő tanulók a vizsgált csoportban. Az üres halmazt hagyományosan véges halmazoknak nevezzük.

Az összes vizsgált elemet tartalmazó halmazt ún egyetemes vagy világegyetemés jelöltük U.

Ahhoz, hogy meghatározott készletekkel tudjon működni, be kell tudnia állítani azokat. A halmazok meghatározásának két módja van: felsorolás és leírás. Egy halmaz felsorolásos megadása megfelel a halmazt alkotó összes elem felsorolásának. Tehát a csoport kiváló tanulóinak halmaza a kiválóan tanuló diákok felsorolásával pontosítható, például (Ivanov, Petrov, Sidorov). A bejegyzés lerövidítésére x={x 1 , x 2 , ...,x n) néha indexkészletet vezet be én={1, 2,..., n) és írj x={x i}, énÎ én. Ez a módszer kényelmes, ha kevés elemet tartalmazó véges halmazokat vesz figyelembe, de néha végtelen halmazok megadására is használható, például (2, 4, 6, 8 ...). Természetesen egy ilyen jelölés akkor alkalmazható, ha teljesen világos, hogy mit értünk ellipszis alatt.

Egy halmaz megadásának leíró módja a megadás jellemző tulajdonság, amellyel a halmaz összes eleme rendelkezik. Ez a jelölést használja

x={x | x rendelkezik az ingatlannal K(x)}.

A zárójelben lévő kifejezés így szól: az összes elem halmaza x, amelyek rendelkeznek az ingatlannal K(x). Tehát, ha M a csoport tanulóinak halmaza, majd a halmaz A A csoport kiváló tanulói a formába íródnak DE={xÎ M | x- a csoport kiváló tanulója)

amely így szól: meg DE elemekből áll x készletek M, amelyek rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy x a csoport kiváló tanulója.

Olyan esetekben, amikor nem kétséges, hogy az elemek melyik halmazból származnak x, a tulajdonjog megjelölése x sok M nem tudod megtenni. Ugyanakkor sokan DEűrlapba lesz írva

A=( x | x- a csoport kiváló tanulója).

Íme néhány példa a halmazok leírási módszerrel történő meghatározására: ( x | x– páros) – páros számok halmaza;

{x | x 2 –1=0) – halmaz (+1, –1).

Legyen Z az egész számok halmaza. Azután ( xÎ Z | 0<x 7 GBP) a készlet (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

A páratlan számok halmaza a következőképpen definiálható: ( x| x=2k+1 egyeseknek kÎ Z}.

A tulajdonságokkal rendelkező halmaz definiálása bizonyos veszélyekkel jár, mivel a "helytelenül" beállított tulajdonságok következetlenségekhez vezethetnek. Itt van az egyik legtipikusabb paradoxon – Russell paradoxona. Tekintsük az összes olyan halmaz halmazát, amelyek nem saját elemei: . Most azt kérdezzük, hogy a készlet Nak nek az elemével? Ha egy Nak nekÎ Nak nek, majd a halmazt meghatározó tulajdonság Nak nek, azaz Nak nekÏ Nak nek, ami ellentmondáshoz vezet. Ha egy Nak nekÏ Nak nek, akkor, mivel a tulajdonság, amely megadja Nak nek, arra a következtetésre jutunk Nak nekÎ Nak nek, ami ellentmond a feltételezésnek. Így nem minden tulajdonság vezet egy halmaz értelmes hozzárendeléséhez.

Ezenkívül egy halmaz megadható egy karakterisztikus függvény segítségével, amelynek értékei jelzik, hogy (igen vagy nem) x set elem x :

Vegye figyelembe, hogy bármely elem esetén = 0; = 1.

Példa. Engedd az univerzumot U={a,b,c,d,e) a készlet x={a,c,d), azután

Tetszőleges halmazokhoz xés Y kétféle kapcsolat definiálható − egyenlőségi viszony és befogadási reláció.

Két halmazt egyenlőnek tekintünk, ha azonos elemekből állnak. Elfogadott megnevezés x=Y, ha xés Y egyenlőek és x Y- másképp.

Ez minden készletnél könnyen belátható x, Y, Z kapcsolatokat

A halmazok egyenlőségének definíciójából az következik, hogy a halmazban az elemek sorrendje nem jelentős. Így például a (3, 4, 5, 6) és (4, 5, 6, 3) halmazok ugyanazok.

Ha a halmaz minden eleme x a halmaz eleme Y, akkor azt mondják x tartalmazza Yés jelölje:

Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a készlet x egy részhalmaz készletek Y. Különösen xés Y egybeeshet, ezért relációnak is nevezik nem szigorú befogadás. Megjegyezzük egy részhalmaz néhány tulajdonságát, amelyek a definíciójából következnek:

Ha és, akkor ezt mondják x van Y saját részhalmazaés jelölje , a halmazok közötti relációt ebben az esetben relációnak nevezzük nem szigorú befogadás. A szigorú befogadási kapcsolat érdekében

Egy részhalmazt nem tartalmaz x a sokaságba Y X-szel jelöltük. Az ilyen halmazt ún meg család vagy logikai érték készletek xés jelöltük P(x) Mivel minden halmazban benne van, akkor .

Példa. Legyen . Azután

A halmaz a matematika alapfogalma, ezért nem határozható meg másokkal.

A halmaz általában olyan objektumok gyűjteményét jelenti, amelyeket egy közös jellemző egyesít. Tehát beszélhetünk sok diákról egy csoportban, sok orosz ábécé betűjéről stb. A mindennapi életben a „készlet” szó helyett a „készlet”, „gyűjtemény”, „csoport” stb. A halmazokat általában a latin ábécé nagybetűivel jelölik: DE, NÁL NÉL, Val vel, ..., Z.

A matematika numerikus halmazaihoz speciális jelölést fogadnak el:

N a természetes számok halmaza;

N 0 – a nem negatív egész számok halmaza;

Z az egész számok halmaza;

K a racionális számok halmaza;

R a valós számok halmaza.

A halmazt alkotó objektumokat elemeinek nevezzük. Például a szeptember egy év hónapjainak halmazának, az 5-ös szám a természetes számok halmazának eleme. A halmaz elemeit általában a latin ábécé kisbetűivel jelöljük. Egy halmaz elemei halmazok lehetnek. Szóval lehet beszélni az intézet számos csoportjáról. Ennek a halmaznak az elemei csoportok, amelyek viszont tanulók halmazai.

A halmaz és eleme közötti kapcsolatot a „tartozik” szóval fejezzük ki. Az „Elem a a készlethez tartozik DE' így van írva: a  DE, és ez a bejegyzés másként is olvasható: " a- a készlet eleme DE", "Egy csomó DE elemet tartalmaz a". Az „Elem a nem tartozik a készlethez DE' így van írva: a  DE(másképp: " a nem a készlet eleme DE", "Egy csomó DE nem tartalmaz elemet a»).

Ha a közönséges beszédben a "készlet" szót nagyszámú objektumhoz társítják, akkor a matematikában erre nincs szükség. Egy halmaz tartalmazhat egy elemet, vagy nem tartalmazhat egyetlen elemet sem.

Az elemet nem tartalmazó halmazt üresnek nevezzük, és a  szimbólummal jelöljük. Csak egy üres készlet van. Az üres halmazra példa a Napon élő emberek halmaza, az egyenlet természetes gyökereinek halmaza x+ 8 = 0.

A halmazok lehetnek végesek vagy végtelenek.

Egy halmazt végesnek nevezünk, ha van természetes szám P, így a halmaz összes eleme számozható 1-től P. egyébként a halmazt végtelennek nevezzük. Példa a véges halmazra a számjegyek halmaza, a végtelen halmazra a természetes számok halmaza.

§ 2. A halmazok megadásának módjai

Egy halmaz akkor tekinthető adottnak, ha bármely tárgyról elmondható, hogy ebbe a halmazba tartozik vagy sem.

Egy halmaz úgy határozható meg, hogy felsorolja az összes elemét. Felvétel Val vel= (a, b, c, d) azt jelenti, hogy a halmaz Val vel a, b, c, d elemeket tartalmazza.

Minden elem csak egyszer szerepel a készletben. Például a "matematika" szóban sok különböző betű így lesz írva: (m, a, t, e, i, k).

Ez a módszer olyan véges halmazokra alkalmazható, amelyek kevés elemet tartalmaznak.

Néha ezzel a módszerrel beállíthat egy végtelen halmazt. Például a természetes számok halmaza a következőképpen ábrázolható: N= (1, 2, 3, 4, ...). Ez a felvételi mód csak akkor lehetséges, ha a halmaz felvett részéből jól látszik, hogy mi van az ellipszis alatt.

A halmazok megadásának másik módja a következő: adja meg elemeinek jellemző tulajdonságát. A jellemző tulajdonság olyan tulajdonság, amellyel a halmazhoz tartozó minden elem rendelkezik, és egyetlen olyan elem sem, amely nem tartozik hozzá.

Előfordul, hogy egy és ugyanaz a halmaz megadható elemeinek különböző jellemző tulajdonságainak megadásával. Például a 11-gyel osztható kétjegyű számok halmaza és az első száz két azonos számjegyre írt természetes számhalmaza ugyanazokat az elemeket tartalmazza.

Ezzel a beállítási módszerrel a halmaz a következőképpen írható fel: először az elem megnevezését írjuk be kapcsos zárójelbe, majd egy függőleges vonalat húzunk, amely után a halmaz elemeinek tulajdonságát írjuk le. Például sok DE Az 5-nél kisebb természetes számokat a következőképpen írjuk: DE = {x xN, x < 5}.