66.1. A (65.11) reláció, amely az eredeti valószínűségi változó sűrűségén keresztül határozza meg a transzformált változó valószínűségi sűrűségét, általánosítható a transzformáció esetére Véletlen változók. Legyen a valószínűségi változók közös sűrűsége, és a függvények és változók adottak. Meg kell találni a valószínűségi változók együttes valószínűségi sűrűségét:
Ez a probléma abban különbözik a 6.4. pont általános megállapításától, hogy a kezdeti valószínűségi változók száma megegyezik a transzformált változók számával. A (66.1)-hez való inverz transzformációt a változókra vonatkozó egyenletrendszer megoldásaként találjuk meg. Mindegyik attól függ. Az ilyen függvények halmaza alkotja az inverz transzformációt. Általános esetben az inverz transzformáció nem egyértelmű. Legyen - - I ága az inverz transzformációnak, akkor igaz az összefüggés:
ahol az összeg az inverz transzformáció összes ágát átveszi,
Jacobi transzformáció valószínűségi változókból valószínűségi változókká.
Ha a valószínűségi változók mindegyik halmazából valószínűségi változókat kapunk, akkor a (66.2) képlet használható a rendszer valószínűségi változókkal való kiegészítésével, például ilyen változókkal. Ha azonban a halmazból a valószínűségi változók funkcionálisan kapcsolódnak a többi mennyiséghez, ezért - a dimenziósűrűség delta függvényeket fog tartalmazni.
A (64.4), (64.6) és (66.2) összefüggések két módszert határoznak meg az eredeti valószínűségi változók közös valószínűségi sűrűségű funkcionális transzformációjával kapott valószínűségi változók halmaza sűrűségének kiszámítására. Az első módszer alkalmazásának fő nehézsége a -dimenziós integrál kiszámítása egy komplex tartományon. A második módszernél a fő nehézség az inverz transzformáció összes ágának megtalálása.
66.2. Tekintsünk egy egyszerű példát két valószínűségi változó összegének valószínűségi sűrűségének kiszámítására és a sűrűséggel a (66.2) képlet szerint. Nyilvánvaló, hogy első átszámított értékként az összeget kell választani: , másodikként pedig (bár veheti és veheti). Így a funkcionális transzformációt -ból, -be az egyenletrendszer adja meg:
Az inverz transzformáció egy egyenletrendszer megoldása a következőkre vonatkozóan:
Az inverz transzformáció egyedi, ezért a (66.2)-ben az összeg egy tagból áll. Keresse meg az átalakulás jakobiánusát:
Most (66.2) for a következő formában van:
A függvény a valószínűségi változók együttes valószínűségi sűrűsége és. Innen a konzisztencia feltételből kapjuk meg az összeg valószínűségi sűrűségét:
Fontolja meg az első módszert ugyanazon probléma megoldására. A (64.4)-ből a következő:
A probléma az integrál transzformációjára redukálódik a feltétel által meghatározott tartományon. Ez az integrál a következőképpen ábrázolható:
Ezért a valószínűségi sűrűség:
Ezért a valószínűségi sűrűség:
ami egybeesik a (66.7) képlettel.
Chi - négyzetes valószínűségi eloszlás
67.1. Khi-négyzetes szabadságfokú eloszlásnak nevezzük egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlását, ahol független valószínűségi változók és mindegyik Gauss-féle matematikai elvárással és szórással. A (64.3) képlet szerint egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásfüggvénye egyenlő
ahol a mennyiségek együttes valószínűségi sűrűsége. Feltétel szerint függetlenek, ezért egyenlő az egydimenziós sűrűségek szorzatával:
A (67.1), (67.2)-ből az következik, hogy egy valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét a következő kifejezés határozza meg:
Ennek a kifejezésnek az elemzése láthatóan a legegyszerűbb módja a megtalálásnak, mivel itt és (67.3) a következőképpen ábrázolható:
Itt az integrál egyenlő a terület térfogatával - a két hipergömb közé zárt dimenziós térrel: - sugár és - sugár. Mivel egy sugarú hipergömb térfogata arányos, azaz. , azután
Két és sugarú hipergömb közötti térfogat, amely a (67,4) integrált egy tényezőig határozza meg. Helyettesítse (67.5)-et (67.4)-re, majd
ahol a normalizálási feltételből meghatározható állandó:
Helyettesítse (67.6)-ot (67.7)-re, majd
Legyen akkor a (67.8) integrál
ahol - gamma az argumentum függvénye. A (67.8)-ból és (67.9)-ből egy állandót határozunk meg, melynek (67.6)-ra való behelyettesítése az eredményhez vezet
67.2. Számítsuk ki a valószínűségi változó matematikai elvárását és szórását! Kezdő (67,11)
Hasonlóképpen az átlagos négyzetérték is
(67.12), (67.13)-ból a diszperzió
67.3. A matematikai statisztika problémáiban nagy jelentősége van a normális eloszláshoz kapcsolódó valószínűségi eloszlásoknak. Mindenekelőtt ezek - eloszlás (Pearson-eloszlás), - eloszlás (Student-eloszlás) és - eloszlás (Fisher-eloszlás). Az eloszlás egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlása
ahol függetlenek és minden.
A Student-féle eloszlás (vagy - eloszlás) egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlása
ahol és független valószínűségi változók, és.
A szabadságfokokkal rendelkező Fisher-eloszlás (- eloszlás) egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlása
Chi - négyzetes eloszlás és Maxwell sebességeloszlás
A gázmolekulák sebességére vonatkozó Maxwell-eloszlás a sebességi modulus valószínűségi eloszlási sűrűsége, és az összefüggés határozza meg
ahol a gázmolekulák száma, azon molekulák száma, amelyek sebességi modulusa az intervallumban van, a gázállandó, a gáz abszolút hőmérséklete. Az arány annak a valószínűsége, hogy a molekula sebességének modulusa az intervallumban van, majd a sebesség modulusának valószínűségi sűrűsége.
A (68.1) eloszlást a következő két egyszerű valószínűségi állítás alapján kaphatjuk meg, amelyek meghatározzák az ideális gázmodellt. egy). Sebességkivetítések a tengelyeken Descartes-rendszer A koordináták független valószínűségi változók. 2). Mindegyik sebességvetület egy Gauss-féle valószínűségi változó nulla átlaggal és szórással. A paraméter beállítása kísérleti adatok alapján történik.
Határozzuk meg egy valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét
Nyilvánvalóan három szabadságfokú khi-négyzet eloszlása van. Ezért valószínűségi sűrűségét a (67.11) képlet határozza meg:
Amennyiben. Tehát (68.3) a relatív sebesség négyzetének valószínűségi sűrűsége.
A következő lépésben a sebesség négyzetének eloszlásáról át kell térni a modulusának eloszlására, . A funkcionális transzformáció alakja: , és az inverz, for, . Így az inverz transzformáció egyértékű. Ezért a (65.1) szerint a modulus eloszlási sűrűség alakja
Az utolsó lépés a valószínűségi változóról egy új valószínűségi változóra való átállás
Az inverz transzformáció egyértékű, ezért egy valószínűségi változó valószínűségi sűrűsége a (65.1) szerint a következő alakot ölti
ami egybeesik a (68.1) képlettel.
A (68.5) reláció, amely az u relatív és abszolút sebességek kapcsolatát határozza meg, az ideális gázmodell harmadik pozíciójából következik, amely tisztán fizikai feltétel, ellentétben az első két valószínűségi feltétellel. A harmadik feltétel egy molekula átlagos kinetikus energiájának értékére vonatkozó állításként fogalmazható meg egyenlőség formájában.
hol van a Boltzmann-állandó, és valójában egy kísérleti tényt képvisel. Legyen, ahol egy állandó, amelyet a (68.7) feltétel határoz meg tovább. Ennek megtalálásához a (68.4)-ből meghatározzuk a relatív sebesség átlagos négyzetét:
Aztán az átlag kinetikus energia molekulák, ahol a molekula tömege, és figyelembe véve (68.7) , vagy.
A fő feladat a valószínűségi változók függvényének eloszlási törvényének felállítása az érvek adott eloszlási törvénye szerint. Az érvelés általános sémája itt a következő. Legyen az eloszlási törvény, akkor nyilván megvan, hogy hol van a félintervallum teljes inverz képe, pl. a £ vektor azon értékeinek halmaza a CG-ből, amelyre. Az utolsó valószínűség könnyen megtalálható, hiszen ismert a ξ valószínűségi változók eloszlási törvénye Hasonlóan elvileg az eloszlási ill. vektor függvény véletlenszerű érvek. Az áramkör megvalósításának bonyolultsága csak a függvény adott típusától (p) és az argumentumok eloszlásának törvényétől függ. Ez a fejezet az áramkör megvalósításának specifikus, az alkalmazások szempontjából fontos helyzetekben történő megvalósításával foglalkozik. §1. Funkciók egy változóból Legyen £ egy valószínűségi változó, melynek eloszlási törvényét az F( (x) eloszlásfüggvény adja, rj = Ha F4(y) az rj valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, akkor a fenti megfontolások adják meg a VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓK FUNKCIÓJÁT ahol y) a félegyenes teljes inverz képe (-oo, y) Az (I) reláció (*) nyilvánvaló következménye, és a vizsgált esetet az 1. ábra szemlélteti. Egy véletlen monoton transzformációja változó Legyen (p(t) folytonos monoton funkció(határozottságra - monoton nem növekvő) és r) = - Az Fn(y) eloszlásfüggvényre kapunk (itt - olyan függvényt, amelynek inverz létezését a monotonitás és a folytonosság biztosítja. Monoton nem csökkenő) hasonló számítások alapján Különösképpen , ha - lineáris, akkor a > 0 esetén (2. ábra) A lineáris transzformációk nem változtatják meg az eloszlás jellegét, csak annak paramétereit érintik. Lineáris transzformáció Valószínűségi változó egységes [a, b] Legyen Egy normál valószínűségi változó lineáris transzformációja Legyen és általában, ha Let, például 0. A (4)-ből arra a következtetésre jutunk, hogy betesszük az utolsó integrált Ez a helyettesítés egy fontos azonosságot ad, amely sok érdekes alkalmazás forrása, a (3) és a Lemma összefüggésből nyerhető. Az If egy valószínűségi változó -val folyamatos funkció F^(x) eloszlás, akkor az r) = - valószínűségi változó egyenletes -on. Van - nem monoton csökken, és o-n belül van. Ezért VÉLETLENSZERŰ VÁLTOZÓ FUNKCIÓK Az intervallumon azt kapjuk, hogy elegendő ahhoz, hogy egységes értékeket kapjunk a -n)