Legyen -ból m vektorok rendszere. Vektorrendszer alapvető elemi transzformációi vannak

1. - hozzáadva az egyik vektorhoz (vektor ) a többi lineáris kombinációját.

2. - az egyik vektor (vektor ) szorzása nullával nem egyenlő számmal.

3. két vektor () permutációja helyenként. A vektorrendszereket ekvivalensnek (jelölés ) nevezzük, ha van olyan elemi transzformációs lánc, amely az első rendszert a második rendszerré alakítja.

Megjegyezzük a vektorok ekvivalenciájának bevezetett fogalmának tulajdonságait

(reflexivitás)

Ebből következik, hogy (szimmetria)

Ha és , akkor (tranzitivitás) Tétel. Ha egy vektorrendszer lineárisan független, és ekvivalens vele, akkor a rendszer lineárisan független. Bizonyíték. Nyilvánvalóan elegendő egy elemi transzformáció segítségével igazolni a tételt a kapott rendszerre, tegyük fel, hogy a vektorrendszer lineárisan független. Aztán ebből az következik. A rendszert egy elemi transzformáció segítségével kapjuk meg. Nyilvánvaló, hogy a vektorok permutálása vagy az egyik vektor szorzása egy nem nulla számmal nem változik lineáris függetlenség vektoros rendszerek. Tegyük fel most, hogy a vektorrendszert a rendszerből úgy kapjuk meg, hogy a vektorhoz hozzáadjuk a többi, . Meg kell állapítani, hogy (1) azt jelenti, hogy Mivel , akkor az (1)-ből megkapjuk a . (2)

Mert rendszer lineárisan független, akkor a (2)-ből az következik, hogy mindenre.

Innentől kapunk. Q.E.D.

57. Mátrixok. mátrixösszeadás mátrixszorzás mátrixskalárral mint vektor tér a mérete.

Mátrix típusa: négyzet

Mátrix összeadás

Mátrix hozzáadásának tulajdonságai:

1. kommutativitás: A+B = B+A;

Mátrix szorzása számmal

Egy A mátrix ¥ számmal való szorzása (jelölése: ¥A) egy B mátrix létrehozásából áll, amelynek elemeit úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix minden elemét megszorozzuk ezzel a számmal, azaz a B mátrix minden eleme egyenlő: Bij=¥Aij

A mátrixok számmal való szorzásának tulajdonságai:

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Sorvektor és oszlopvektor

Az m x 1 és 1 x n méretű mátrixok a K^n és K^m terek elemei:

az m x1 méretű mátrixot oszlopvektornak nevezzük, és van egy speciális jelölése:

Az 1 x n mátrixot sorvektornak nevezik, és van egy speciális jelölése:

58. Mátrixok. Mátrix összeadás és szorzás. Mátrixok mint gyűrű, mátrixgyűrű tulajdonságai.

A mátrix egy téglalap alakú számtáblázat, amely m egyenlő hosszúságú sorból vagy n egyenlő hosszúságú villogóból áll.

aij - az i-edik sorban és a j-edik oszlopban található mátrixelem.

Mátrix típusa: négyzet

négyzetmátrix egy mátrix -val egyenlő számú oszlopok és sorok.

Mátrix összeadás

Az A + B mátrixok összeadása egy olyan C mátrix megtalálásának művelete, amelynek minden eleme egyenlő az A és B mátrixok összes megfelelő elemének páronkénti összegével, vagyis a mátrix minden eleme \u200b \u200bCij \u003d Aij + Bij

Mátrix hozzáadásának tulajdonságai:

1. kommutativitás: A+B = B+A;

2.asszociativitás: (A+B)+C =A+(B+C);

3. összeadás nulla mátrixszal: A + Θ = A;

4.ellentétes mátrix megléte: A + (-A) = Θ;

A lineáris műveletek minden tulajdonsága megismétli a lineáris tér axiómáit, ezért igaz a következő tétel:

Az összes azonos méretű mxn mátrix halmaza a P mező elemeivel (minden valós ill komplex számok) űrlapok lineáris tér a P mező felett (minden ilyen mátrix ennek a térnek a vektora).

Mátrixszorzás

A mátrixszorzás (jelölése: AB, ritkábban A x B szorzójellel) egy olyan C mátrix kiszámításának művelete, amelynek minden eleme egyenlő az első tényező megfelelő sorában szereplő elemek szorzatainak összegével és a második oszlopa.

Az A mátrixban lévő oszlopok számának meg kell egyeznie a B mátrixban lévő sorok számával, vagyis az A mátrixnak konzisztensnek kell lennie a B mátrixszal. Ha az A mátrix méretei m x n , B - n x k , akkor a szorzatuk AB=C dimenziója ez m x k.

Mátrix szorzás tulajdonságai:

1.asszociativitás (AB)C = A(BC);

2.nem kommutativitás (általában): AB BA;

3. A szorzat kommutatív identitásmátrixszal történő szorzás esetén: AI = IA;

4. disztributivitás: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5. asszociativitás és kommutativitás egy számmal való szorzás tekintetében: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59.*Invertálható mátrixok. Különleges és nem különleges elemi átalakulások mátrix sorok. Elemi mátrixok. Szorzás elemi mátrixokkal.

inverz mátrix egy ilyen mátrix A -1, mellyel szorozva az eredeti mátrix A megadja az identitásmátrixot E:

Elemi karakterlánc-transzformációk hívott:

A elemi oszloptranszformációk.

Elemi átalakulások megfordítható.

A jelölés azt jelzi, hogy a mátrix elemi transzformációkkal nyerhető (vagy fordítva).

Két rendszer lineáris egyenletek egy x 1 ,..., x n ismeretlenek halmazából, illetve az m és p egyenletekből

Ekvivalensnek nevezzük őket, ha megoldáshalmazaik és egybeesnek (azaz a részhalmazok és K n-ben egybeesnek, ). Ez azt jelenti, hogy vagy mindkettő üres részhalmaz (azaz az (I) és a (II) rendszer inkonzisztens), vagy egyszerre nem üresek, és (azaz az I. rendszer minden megoldása a II. rendszer és minden II. megoldási rendszer megoldása az I. rendszer megoldása).

Példa 3.2.1.

Gauss módszer

A Gauss által javasolt algoritmus nagyon egyszerű volt:

1. olyan szekvenciális transzformációkat alkalmazunk a lineáris egyenletrendszerre, amelyek nem változtatják meg a megoldások halmazát (így mentjük az eredeti rendszer megoldásainak halmazát), és menjünk egy ekvivalens rendszerre, amelynek "egyszerű formája" van (az ún. lépés forma);
2. a " egyszerű alak Egy rendszer (lépésmátrixszal) olyan megoldások halmazát írja le, amely egybeesik az eredeti rendszer megoldásainak halmazával.

Vegye figyelembe, hogy a szorosan kapcsolódó "fan-chen" módszer már ismert volt az ókori kínai matematikában.

Lineáris egyenletrendszerek elemi transzformációi (mátrixsorok)

3.4.1. definíció (elemi típusú 1. konverzió). Ha a rendszer i-edik egyenletét hozzáadjuk a k-edik egyenlethez, szorozva a számmal (jelölés: (i)"=(i)+c(k) ; azaz csak egy i-edik egyenlet (i) cserélődik új egyenlettel (i)"=(i)+c(k) ). Az új i -edik egyenletnek megvan a formája (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k vagy röviden,

Vagyis az új i-edik egyenletben a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.

3.4.2. definíció (elemi 2. típusú átalakítás). Ha az i -edik és a k -edik egyenlet felcserélődik, a többi egyenlet nem változik (jelölés: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; együtthatók esetében ez a következőket jelenti: j=1 esetén ,... ,n

Megjegyzés 3.4.3. A kényelem kedvéért konkrét számításoknál alkalmazhat egy 3. típusú elemi transzformációt: az i-edik egyenletet megszorozzuk egy nem nulla számmal. , (i)"=c(i) .

3.4.4. javaslat. Ha véges számú 1. és 2. típusú elemi transzformáció segítségével mentünk át az I. rendszerből a II. rendszerbe, akkor a II. rendszerből szintén 1. és 2. típusú elemi transzformációkkal térhetünk vissza az I. rendszerbe.

Bizonyíték.

Megjegyzés 3.4.5. Az állítás akkor is igaz, ha az elemi transzformációk számába beleszámítunk egy 3. típusú elemi transzformációt is. Ha egy és (i)"=c(i) , akkor és (i)=c-1 (i)" .

Tétel 3.4.6.Véges számú 1. vagy 2. típusú elemi transzformációnak egy lineáris egyenletrendszerre történő egymás utáni alkalmazása után egy olyan lineáris egyenletrendszert kapunk, amely ekvivalens az eredetivel.

Bizonyíték. Megjegyzendő, hogy elegendő egy elemi transzformáció segítségével megvizsgálni az I. rendszerből a II. rendszerbe való átmenet esetét, és a megoldáshalmazokra igazolni a beletartozást (mivel a bizonyított állítás értelmében a II. rendszerből vissza lehet térni az I. rendszerbe, és ezért meglesz a befogadás, azaz bebizonyosodik az egyenlőség).

Az elemi mátrix transzformációk a következők:

1. A sorok (oszlopok) sorrendjének megváltoztatása.

2. Nulla sorok (oszlopok) eldobása.

3. Bármely sor (oszlop) elemeinek szorzása egy számmal.

4. Bármely sor (oszlop) elemeihez egy másik sor (oszlop) elemeinek hozzáadása, egy számmal szorozva.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek slu (Alapfogalmak és definíciók).

1. Rendszer m lineáris egyenletek -val n ismeretlennek hívják alakú egyenletrendszer:

2.Döntés az (1) egyenletrendszert számhalmaznak nevezzük x 1 , x 2 , … , x n , a rendszer minden egyenletét azonossággá alakítva.

3. Az (1) egyenletrendszert ún közös ha van legalább egy megoldása; ha a rendszernek nincsenek megoldásai, akkor ún összeegyeztethetetlen.

4. Az (1) egyenletrendszert ún bizonyos ha csak egy megoldása van, és bizonytalan ha egynél több megoldása van.

5. Elemi transzformációk eredményeként az (1) rendszer egy vele ekvivalens (azaz azonos megoldáshalmazú) rendszerré alakul.

Az elemi átalakulásokhoz A lineáris egyenletrendszerek a következők:

1. Null karakterláncok eldobása.

2. A sorok sorrendjének megváltoztatása.

3. Egy másik sor elemeinek összeadása bármely sor elemeihez, egy számmal szorozva.

Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei.

1) Inverz mátrix módszer (mátrix módszer) n lineáris egyenletrendszer megoldására n ismeretlennel.

rendszer n lineáris egyenletek -val n ismeretlennek hívják alakú egyenletrendszer:

Írjuk fel a (2) rendszert mátrix alakban, ehhez vezetjük be a jelölést.

Együttható mátrix a változók előtt:

X = ‒ változók mátrixa.

B = a szabad tagok mátrixa.

Ekkor a (2) rendszer a következő formában jelenik meg:

A× x = B‒ mátrixegyenlet.

Az egyenletet megoldva a következőt kapjuk:

x = A -1 × B

Példa:

; ;

1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 A -1 mátrix létezik.

3)

à =

4) A -1 = × Ã = ;

X \u003d A -1 × B

Válasz:

2) Cramer-szabály n - lineáris egyenletrendszerek megoldására n - ismeretlennel.

Tekintsünk egy 2 x lineáris egyenletrendszert 2 ismeretlennel:

Oldjuk meg ezt a rendszert helyettesítési módszerrel:

Az első egyenletből a következő:

A második egyenletbe behelyettesítve a következőket kapjuk:

A képletben szereplő értéket behelyettesítjük a következőre:

Δ determináns - a rendszer mátrixának determinánsa;

Δ x 1 - változó determináns x 1 ;

Δ x 2 - változó determináns x 2 ;

Képletek:

x 1 =;x 2 =;…,x n = ;Δ  0;

hívják Cramer-képletek.

Amikor megtaláljuk az ismeretlenek meghatározóit x 1 , X 2 ,…, X n annak a változónak az együtthatóinak oszlopát, amelynek determinánsát megtaláltuk, a szabad tagok oszlopával helyettesítjük.

Példa: Oldja meg az egyenletrendszert Cramer módszerével!

Döntés:

Először is összeállítjuk és kiszámítjuk ennek a rendszernek a fő meghatározóját:

Mivel Δ ≠ 0, a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a Cramer-szabály segítségével találhatunk meg:

ahol Δ 1 , Δ 2 , Δ 3 a Δ determinánsból kapjuk úgy, hogy az 1., 2. vagy 3. oszlopot a szabad kifejezések oszlopával helyettesítjük.

És így:

Gauss-módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására.

Fontolja meg a rendszert:

Az (1) rendszer kiterjesztett mátrixa a következő alakú mátrix:

Gauss módszer egy módszer az ismeretlenek sorozatos eltávolítására a rendszer egyenleteiből, a második egyenlettől kezdve. m- ez az egyenlet.

Ebben az esetben elemi transzformációkkal a rendszer mátrixát háromszög alakúra redukáljuk (ha m = nés rendszerdetermináns ≠ 0) vagy lépésenként (ha m< n ) formában.

Ezután a szám szerinti utolsó egyenletből kiindulva minden ismeretlen megtalálható.

Gauss-módszer algoritmus:

1) Állítsa össze a rendszer kibővített mátrixát, amely tartalmazza a szabad tagok oszlopát.

2) Ha a 11  0, akkor az első sort elosztjuk a 11 és szorozzuk meg (- a 21), és adja hozzá a második sort. Hasonlóképpen elérje m- ebből a sorból:

oldalt osztom vele a 11 és szorozzuk meg (- a m 1) és add hozzá m- azt az oldalt

Ebben az esetben az egyenletekből, kezdve a másodiktól a m- vagyis a változó ki lesz zárva x 1 .

3) A 3. lépésben a második sort használjuk a karakterláncok hasonló elemi transzformációihoz 3. m- thuyu. Ez eltávolítja a változót x 2 , a 3. sortól kezdve lefelé m- tuja stb.

Ezen átalakítások eredményeként a rendszer háromszögletű vagy lépcsős formára redukálódik (háromszög alak esetén a főátló alatt nullák vannak).

A rendszer háromszög vagy lépcsős formába hozását ún közvetlen Gauss-módszer, és az eredményül kapott rendszerből ismeretlenek keresése az úgynevezett visszafelé.

Példa:

Közvetlen mozgás. Mutassuk be a rendszer kiterjesztett mátrixát

elemi átalakítások segítségével a lépcsőzetes formára. Cserélje fel a mátrix első és második sorát A b, megkapjuk a mátrixot:

Adjuk össze a kapott mátrix második sorát az első szorzatával (‒2), a harmadik sorát pedig az első sor szorzatával (‒7). Szerezd meg a mátrixot

A kapott mátrix harmadik sorához hozzáadjuk a második sort (‒3) szorozva, aminek eredményeként lépésmátrixot kapunk

Így ezt az egyenletrendszert lépcsőzetes formára redukáltuk:

,

Fordított mozgás. A kapott lépcsőzetes egyenletrendszer utolsó egyenletéből kiindulva egymás után megtaláljuk az ismeretlenek értékeit:

Az alábbiakban lineáris egyenletrendszereket vizsgálunk a EXTENDED változók területén. Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha e rendszerek bármelyikének megoldása a másik rendszer megoldása.

A következő mondatok az ekvivalencia tulajdonságait fejezik ki, amelyek az ekvivalencia definíciójából és a rendszerek egymásutániságának fentebb említett tulajdonságaiból következnek.

JAVASLAT 2.2. Két lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor ekvivalens, ha mindegyik rendszer a másik rendszer következménye.

JAVASLAT 2.3. Két lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor ekvivalens, ha az egyik rendszer összes megoldásának halmaza egybeesik a másik rendszer összes megoldásának halmazával.

JAVASLAT 2.4. Két lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor ekvivalens, ha az ezen rendszerek által meghatározott predikátumok egyenértékűek.

MEGHATÁROZÁS. A következő transzformációkat lineáris egyenletrendszer elemi transzformációinak nevezzük:

(a) a rendszer valamely egyenlete mindkét oldalának szorzása nullától eltérő skalárral;

(P) összeadás (kivonás) a rendszer bármely egyenletének mindkét részéhez a rendszer egy másik egyenletének megfelelő részeinek skalárral szorozva;

Egy nulla együtthatós és nulla szabadtagú lineáris egyenlet kizárása a rendszerből vagy a rendszerhez való hozzáadása.

TÉTEL 2.5. Ha egy lineáris egyenletrendszert egy másik lineáris egyenletrendszerből kapunk elemi transzformációk láncolatának eredményeként, akkor ez a két rendszer egyenértékű.

Bizonyíték. Hagyja a rendszert

Ha az egyik egyenletét, például az elsőt, megszorozzuk egy nem nulla skalárral X, akkor megkapjuk a rendszert

Az (1) rendszer minden megoldása egyben a (2) rendszer megoldása is.

Fordítva, ha a (2) rendszer bármely megoldása,

majd az első egyenlőséget megszorozva és a következő egyenlőségek megváltoztatása nélkül olyan egyenlőségeket kapunk, amelyek azt mutatják, hogy a vektor az (1) rendszer megoldása. Ezért a (2) rendszer egyenértékű az eredeti (1) rendszerrel. Azt is könnyű ellenőrizni, hogy az elemi transzformáció (P) vagy az (1) rendszer egyetlen alkalmazása az eredeti rendszerrel (1) egyenértékű rendszerhez vezet-e. Mivel az ekvivalenciareláció tranzitív, az elemi transzformációk ismételt alkalmazása az eredeti rendszerrel ekvivalens egyenletrendszerhez vezet (1).

KÖVETKEZTETÉS 2.6. Ha a rendszer egyéb egyenleteinek lineáris kombinációját hozzáadjuk a lineáris egyenletrendszer valamelyik egyenletéhez, akkor az eredetivel ekvivalens egyenletrendszert kapunk.

KÖVETKEZTETÉS 2.7. Ha a lineáris egyenletrendszerből kizárunk vagy hozzáadunk egy olyan egyenletet, amely a rendszer többi egyenletének lineáris kombinációja, akkor az eredeti rendszerrel ekvivalens egyenletrendszert kapunk.

Az elemi átalakítások a következők:

1) A másik egyenlet megfelelő részeinek összeadása az egyik egyenlet mindkét részéhez, szorozva ugyanazzal a számmal, amely nem egyenlő nullával.

2) Egyenletek permutációja helyenként.

3) Az egyenletrendszerből való eltávolítása, amelyek minden x azonosságai.

A KRONECKER-CAPELLI TÉTEL

(rendszerkompatibilitási feltétel)

(Leopold Kronecker (1823-1891) német matematikus)

Tétel: A rendszer akkor és csak akkor konzisztens (legalább egy megoldása van), ha a rendszermátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával.

Nyilvánvalóan az (1) rendszer így írható:

x 1 + x 2 + … + x n

Bizonyíték.

1) Ha létezik megoldás, akkor a szabad tagok oszlopa az lineáris kombináció Az A mátrix oszlopai, ami azt jelenti, hogy ezt az oszlopot hozzá kell adni a mátrixhoz, azaz. Átmenet A®A * ne változtassa meg a rangot.

2) Ha RgA = RgA * , akkor ez azt jelenti, hogy ugyanaz az alapmoll. A szabadtagok oszlopa a bázis-moll oszlopainak lineáris kombinációja, a fent megadott jelölések helyesek.

Példa. Határozza meg a lineáris egyenletrendszer kompatibilitását:

~ . Rga = 2.

A* = RgA* = 3.

A rendszer inkonzisztens.

Példa. Határozza meg a lineáris egyenletrendszer kompatibilitását!

A = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

A rendszer együttműködő. Megoldások: x 1 = 1; x 2 \u003d 1/2.

2.6 GAUSS-MÓDSZER

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) német matematikus)

nem úgy mint mátrix módszerés Cramer módszere, a Gauss-módszer alkalmazható lineáris egyenletrendszerekre tetszőleges szám egyenletek és ismeretlenek. A módszer lényege az ismeretlenek szekvenciális kiküszöbölése.

Tekintsünk egy lineáris egyenletrendszert:

Az 1. egyenlet mindkét részét osszuk el 11 ¹ 0-val, majd:

1) szorozzuk meg 21-gyel, és vonjuk ki a második egyenletből

2) szorozzuk meg 31-gyel, és vonjuk ki a harmadik egyenletből

, ahol d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Példa. Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert Gauss módszerrel!

, honnan kapjuk: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1 = 1.

Példa. Oldja meg a rendszert Gauss módszerrel!

Állítsuk össze a rendszer kiterjesztett mátrixát.

Így az eredeti rendszer a következőképpen ábrázolható:

, honnan kapjuk: z = 3; y=2; x = 1.

A kapott válasz egybeesik a rendszerre a Cramer módszerrel és a mátrix módszerrel kapott válasszal.

Önálló megoldáshoz:

Válasz: (1, 2, 3, 4).

3. TÉMAKÖR A VEKTORALGEBRA ELEMEI

ALAPVETŐ MEGHATÁROZÁSOK

Meghatározás. Vektor irányított szakasznak (rendezett pontpárnak) nevezzük. A vektorokra is vonatkozik. nulla vektor, amelynek kezdete és vége azonos.

Meghatározás. Hossz (modul) vektor a vektor eleje és vége közötti távolság.

Meghatározás. A vektorokat ún kollineáris ha azonos vagy párhuzamos vonalakon helyezkednek el. A nulla vektor kollineáris bármely vektorral.

Meghatározás. A vektorokat ún egysíkú ha létezik olyan sík, amellyel párhuzamosak.

A kollineáris vektorok mindig koplanárisak, de nem minden koplanáris vektor kollineáris.

Meghatározás. A vektorokat ún egyenlő ha kollineárisak, azonos irányúak és azonos az abszolút értékük.

Bármely vektor redukálható közös origóra, pl. az adatokkal megegyezően és közös origóval rendelkező vektorokat szerkeszteni. A vektoregyenlőség definíciójából az következik, hogy bármely vektornak végtelen sok vele egyenlő vektora van.

Meghatározás. Lineáris műveletek vektorok feletti összeadást és számmal való szorzást nevezzük.

A vektorok összege a vektor -

Munka - , miközben kollineáris.

A vektor egyirányú a vektorral ( ), ha a > 0.

A vektor ellentétes a ( ¯ ) vektorral, ha a< 0.

A VEKTOROK TULAJDONSÁGAI

1) + = + - kommutativitás.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – asszociativitás

6) (a + b) = a + b - disztributivitás

7) a( + ) = a + a

Meghatározás.

1) Alap a térben tetszőleges 3 nem egysíkú vektort nevezünk, meghatározott sorrendben.

2) Alap a síkon van bármely 2 nem kollineáris vektor meghatározott sorrendben.

3)Alap bármely nem nulla vektor meghívásra kerül a vonalon.