Nem szinguláris mátrix egy n-edrendű négyzetmátrix, melynek determinánsa különbözik nullától. Ellenkező esetben a mátrixot hívják elfajzott.

tétel ( inverz mátrix létezésének egyedisége): Ha egy mátrixnak van inverz mátrixa , akkor az egyedi.

Bizonyíték.

Legyen egy mátrix, amelyre és egy mátrix, amelyre .

Akkor , vagyis . Az egyenlőség mindkét oldalát megszorozva a mátrixszal kapjuk, ahol és .

Ezért, amit be kellett bizonyítani.

12. Mátrixegyenletek, megoldásuk inverz mátrix segítségével.

A mátrixegyenletek így nézhetnek ki:

AX = B, XA = B, AXB = C,

ahol A, B, C mátrixok, X a kívánt mátrix.

A mátrixegyenleteket úgy oldjuk meg, hogy az egyenletet inverz mátrixokkal megszorozzuk.

Például egy egyenletből a mátrix megtalálásához meg kell szoroznia ezt az egyenletet a bal oldalon lévővel.

Ezért az egyenlet megoldásához meg kell találnia az inverz mátrixot, és meg kell szoroznia az egyenlet jobb oldalán található mátrixszal.

13. Négyzetes rendszerek lineáris egyenletek. Cramer szabálya.

Egy m lineáris egyenletrendszer n ismeretlenben (vagy egy lineáris rendszer) a lineáris algebrában olyan egyenletrendszer, amelynek alakja

Cramer-módszer (Cramer-szabály) – megoldási mód négyzetes rendszerek lineáris algebrai egyenletek a főmátrix nullától eltérő determinánsával (sőt, az ilyen egyenleteknél a megoldás létezik és egyedi). Nevét Gabriel Cramerről (1704–1752) kapta, aki a módszert feltalálta.

Egy n lineáris egyenletrendszerhez n ismeretlennel (tetszőleges mező felett)

nullától eltérő Δ rendszermátrix-determináns esetén a megoldást a következőképpen írjuk fel

(a rendszermátrix i-edik oszlopát a szabad kifejezések oszlopa váltja fel).

Egy másik formában a Cramer-szabály a következőképpen fogalmazódik meg: bármely c 1 , c 2 , ..., c n együtthatóra igaz az egyenlőség:

Lineáris egyenletrendszer:

Az egyes számok a¹0 van egy inverze a -1 olyan, hogy a munka a × a -1 \u003d 1. Mert négyzetes mátrixok hasonló koncepciót vezet be.

Meghatározás. Ha vannak azonos sorrendű X és A négyzetmátrixok, amelyek kielégítik a feltételt:

ahol E az A mátrixéval azonos rendű azonosságmátrix, akkor az X mátrixot hívjuk fordított az A mátrixhoz, és A -1-gyel jelöljük.

A definícióból következik, hogy csak egy négyzetmátrixnak van inverze; ebben az esetben az inverz mátrix is ​​azonos sorrendű négyzet.

Azonban nem minden négyzetmátrixnak van inverze. Ha feltétel a¹0 szükséges és elégséges egy szám létezéséhez a -1, akkor az A -1 mátrix létezésére ilyen feltétel a DA követelmény ¹0.

Meghatározás. négyzetmátrix n a rendet hívják nem degenerált (nem egyes szám), ha a determinánsa DA ¹0.

Ha DA= 0 , akkor az A mátrixot nevezzük degenerált (különleges).

Tétel(kötelező és elégséges állapot inverz mátrix létezése). Ha négyzetmátrix nem különleges(vagyis a determinánsa nem egyenlő nullával), akkor számára létezik az egyetlen inverz mátrix.

Bizonyíték.

ÉN. Szükség. Legyen az A mátrix inverze A -1, azaz. AA -1 \u003d A -1 A \u003d E. Által tulajdonság 3 meghatározó tényezők ( § 11) van D(AA -1)= D(A -1) D(A)= D(E)=1, azaz. DA ¹0 és DA-1 ¹0.

én I. Megfelelőség. Legyen az A négyzetmátrix nem szinguláris, azaz. DA ¹0 . Írjuk fel az A T transzponált mátrixot:

Ebben a mátrixban minden elemet lecserélünk az algebrai komplementerére, így megkapjuk a mátrixot:

Az A* mátrixot ún csatolt mátrixból A mátrixba.

Keresse meg az AA * (és az A * A) szorzatát:

Ahol átlós elemek = DA,

DA.(képlet 11.1 §tizenegy)

És az összes többi átlóstól eltérő az AA * mátrix elemei nullával egyenlőek ingatlan 10. §11, például:

stb. Következésképpen,

AA * = vagy AA * = DA = DA × E.

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy A * A = DA×E.

Mindkét kapott egyenlőséget elosztva DA-val, a következőt kapjuk: . Ebből az következik, hogy az inverz mátrix definíciójából az következik, hogy létezik inverz mátrix

Mivel AA -1 \u003d A -1 A \u003d E.

Az inverz mátrix létezése bizonyított. Bizonyítsuk be az egyediséget. Tegyük fel, hogy van egy másik inverz F mátrix az A mátrixhoz, majd AF \u003d E és FA \u003d E. Ha az első egyenlőség mindkét részét megszorozzuk A -1-gyel a bal oldalon, a másodikat pedig A -1-gyel a jobb oldalon, akkor kap: A -1 AF \u003d A - 1 E és FA A -1 = E A -1 , ahonnan EF = A -1 E és FE = E A -1 . Ezért F \u003d A -1. Az egyediség bebizonyosodott.

Példa. Adott egy A = mátrix, keressük meg A -1 mátrixot.

Az inverz mátrix kiszámításának algoritmusa:

Az inverz mátrixok tulajdonságai.

1) (A-1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

⇐ Előző78910111213141516Következő ⇒

⇐ Előző Oldal 3 / 4Következő ⇒

Tekintsük a mátrixokat

Ráadásul az A és B mátrix elemei adottak, X 1, X 2, X 3 pedig ismeretlen.

Ekkor az A × X = B egyenletet nevezzük a legegyszerűbb mátrixegyenlet.

Megoldására, i.e. keresse meg az X ismeretlenek mátrixának elemeit, és járjon el a következőképpen:

1. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát az A -1 mátrixszal, az A mátrix esetében inverz , bal:

A -1 (A × X) \u003d A -1 × B

2. A mátrixszorzás tulajdonságát felhasználva írunk

(A -1 × A) X = A -1 × B

3. Az inverz mátrix definíciójából

(A -1 × A = E) van E × X = A -1 × B.

4. Az identitásmátrix tulajdonságát felhasználva (E × X = X) végül azt kapjuk, hogy X = A -1 × B

Megjegyzés. Ha a mátrixegyenlet alakja X × C \u003d D, akkor az ismeretlen X mátrix megtalálásához az egyenletet meg kell szorozni C -1-gyel jobb oldalon.

Példa. Oldja meg a mátrix egyenletet

Megoldás. Bemutatjuk a jelölést

A mátrixszorzás definíciói, figyelembe véve A és B dimenzióit, az ismeretlenek X mátrixának alakja lesz

Figyelembe véve a bevezetett jelölést, megvan

A × X = B, ahol X = A -1 × B

Keressük meg az A -1-et az inverz mátrix felépítésének algoritmusával

Számítsa ki a terméket

Akkor X-re megkapjuk

X \u003d ahonnan x 1 \u003d 3, x 2 = 2

Mátrix rang

Tekintsünk egy A mátrixot, amelynek mérete (m x n)

Az A mátrix k-edik rendű mollja a k sorrend determinánsa, melynek elemei az A mátrix azon elemei, amelyek bármely K sor és bármely K oszlop metszéspontjában vannak. Nyilvánvalóan k £ min (m, n).

Meghatározás. Az A mátrix r(A) rangja az legnagyobb rend ennek a mátrixnak egy nullától eltérő mollja.

Meghatározás. A mátrix bármely nullától eltérő mollját, amelynek sorrendje megegyezik a rangjával, hívjuk alap moll.

Határozza meg e) Azonos rangú mátrixokat nevezzük egyenértékű.

Mátrix rangjának kiszámítása

Meghatározás. A mátrix az ún lépett, ha minden sorának első nem null eleme alatt az alatta lévő sorokban nullák vannak.

Tétel. Egy lépésmátrix rangja megegyezik a nem nulla sorok számával.

Így a mátrixot lépcsőzetes formává alakítva könnyen meghatározható a rangja. Ezt a műveletet a segítségével hajtják végre elemi mátrix transzformációk, amelyek nem változtatnak a rangján:

— a mátrixsor összes elemének szorzása l ¹ 0 számmal;

- sorok cseréje oszlopokkal és fordítva;

- párhuzamos sorok permutációja;

- a nulla sor törlése;

- a párhuzamos sorozat megfelelő elemeinek összeadása egy bizonyos sorozat elemeihez, tetszőleges valós számmal szorozva.

Példa.

Tétel (szükséges és elégséges feltétele az inverz mátrix létezésének).

Számítsa ki a mátrix rangját!

A =

Megoldás. Alakítsuk át a mátrixot lépcsőzetes formává. Ehhez adja hozzá a második sort (-3) szorozva a harmadik sorhoz.

Ah~

Adjuk hozzá a harmadik sort a negyedikhez.

A kapott ekvivalens mátrixban a nullától eltérő sorok száma három, tehát r(A) = 3.

N lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel.

Megoldásukra szolgáló módszerek

Tekintsünk egy n lineáris egyenletrendszert n ismeretlennel.

A 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 n x n \u003d b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n \u003d b 2 (1)

……………………………….

a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = b n

Meghatározás: Az (1) rendszer megoldása egy olyan számhalmaz (x 1, x 2, ..., x n), amely a rendszer minden egyenletét valódi egyenlőséggé alakítja.

Az ismeretlenek együtthatóiból álló A mátrixot nevezzük a rendszer fő mátrixa (1).

A=

Az A mátrix elemeiből és az (1) rendszer szabad tagjainak oszlopából álló B mátrix ún. kiterjesztett mátrix.

B =

Mátrix módszer

Tekintsük a mátrixokat

X = - ismeretlenek mátrixa;

C = az (1) rendszer szabad tagjainak mátrixa.

Ekkor a mátrixszorzás szabálya szerint az (1) rendszer mátrixegyenletként ábrázolható

A × X = C (2)

A (2) egyenlet megoldását fentebb leírtuk, azaz X = A -1 × C, ahol A -1 az (1) rendszer főmátrixának inverz mátrixa.

Cramer módszer

Egy n darab, n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszernek, amelynek fődeterminánsa különbözik a nullától, mindig van megoldása, sőt, az egyetlen, amelyet a képletekkel találhatunk meg:

ahol D = det A az (1) rendszer A főmátrixának determinánsa, amit főnek nevezünk, Dх i-t a D determinánsból kapjuk úgy, hogy az i-edik oszlopot egy szabad tagokból álló oszlopra cseréljük, azaz.

Dх 1 = ;

Dх 2 = ; … ;

Példa.

Oldja meg az egyenletrendszert Cramer módszerével!

2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 15

x 1 + x 2 + 5x 3 = 16

3x 1 - 2x 2 + x 3 = 1

Megoldás.

Számítsuk ki a rendszer főmátrixának determinánsát!

D = det A = = 44 ¹ 0

Számítsa ki a segéddeterminánsokat!

Dх 3 = = 132.

Cramer képletei segítségével megtaláljuk az ismeretleneket

; ; .

Így x 1 \u003d 0; x 2 = 1; x 3 = 3.

Gauss módszer

A Gauss-módszer lényege az ismeretlenek egymás utáni kiiktatása a rendszer egyenleteiből, azaz. a rendszer főmátrixának háromszög alakúvá tételében, amikor a főátlója alatt nullák vannak. Ez a mátrix sorok közötti elemi transzformációival érhető el. Az ilyen átalakítások eredményeként a rendszer ekvivalenciája nem sérül, és egyben háromszög alakot is nyer, pl. az utolsó egyenlet egy ismeretlent, az utolsó előtti kettőt és így tovább. Az utolsó egyenletből az n-edik ismeretlent kifejezve és fordított lépéssel, egymást követő helyettesítések sorozatával megkapjuk az összes ismeretlen értékét.

Példa. Egyenletrendszer megoldása Gauss módszerrel!

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 17

2x 1 - x 2 + 2x 3 = 8

x 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

Megoldás. Írjuk ki a rendszer kiterjesztett mátrixát és redukáljuk le a benne található A mátrixot háromszög alakra.

Cseréljük fel a mátrix első és harmadik sorát, ami egyenértékű a rendszer első és harmadik egyenletének permutációjával. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy elkerüljük a megjelenést törtkifejezések a későbbi számításoknál

~ban

A kapott mátrix első sorát sorban megszorozzuk (-2) és (-3)-mal, majd hozzáadjuk a második és harmadik sorhoz, míg B így fog kinézni:

Miután megszoroztuk a második sort és hozzáadtuk a harmadik sorhoz, az A mátrix háromszög alakú lesz. A számítások egyszerűsítése érdekében azonban a következőket teheti: szorozza meg a harmadik sort (-1)-gyel, és adja hozzá a másodikhoz. Akkor kapjuk:

~ban

~ban

Állíts vissza a kapott B mátrixból a megadottal egyenértékű egyenletrendszert

X 1 + 4x 2 - 3x 3 = 9

x 2 - 2x 3 = 0

- 10x3 = -10

Az utolsó egyenletből azt találjuk A talált értéket x 3 \u003d 1 behelyettesítjük a rendszer második egyenletébe, amelyből x 2 \u003d 2x 3 \u003d 2 × 1 \u003d 2.

Miután az első egyenletben x 3 \u003d 1 és x 2 \u003d 2 helyett x 1, x 1 \u003d 9 - 4x 2 + 3x 3 \u003d 9 - 4 × 2 + 3 × 1 \u003d 4.

Tehát x 1 = 4, x 2 = 2, x 3 = 1.

Megjegyzés. Egy egyenletrendszer megoldásának helyességének ellenőrzéséhez be kell cserélni az ismeretlenek talált értékeit a rendszer minden egyenletébe. Sőt, ha minden egyenlet azonossággá alakul, akkor a rendszer helyesen van megoldva.

Vizsgálat:

3 x 4 + 2 x 2 + 1 = 17 a helyes

2 × 4 - 2 + 2 × 1 = 8 igaz

4 + 4 × 2 - 3 × 1 = 9 igaz

Tehát a rendszer helyes.

⇐ Előző1234Következő ⇒

Olvassa el még:

A legegyszerűbb mátrixegyenletek

ahol olyan méretű mátrixok vannak, hogy az összes használt művelet lehetséges, és ezeknek a mátrixegyenleteknek a bal és jobb része azonos méretű mátrixok.

Az (1)-(3) egyenletek megoldása inverz mátrixok segítségével lehetséges, ha a mátrixok nem degenerálódtak X-ben. Általános esetben az X mátrixot elemenként írjuk fel, és az abban jelzett műveleteket. az egyenletet a mátrixokon hajtjuk végre. Az eredmény egy lineáris egyenletrendszer. A rendszer megoldása után keresse meg az X mátrix elemeit.

Inverz mátrix módszer

Ez egy lineáris egyenletrendszer megoldása az A rendszer négyzetes nem szinguláris mátrixa esetén. Az AX=B mátrixegyenletből adódik.

A -1 (AX) \u003d A -1 B, (A -1 A) X = A -1 B, EX = A -1 B, X = A -1 B.

Cramer-képletek

Tétel.Legyen Δ — az A rendszer mátrixának determinánsa, Δ j pedig az A mátrixból a j-edik szabad tagok oszlopának helyettesítésével kapott mátrix determinánsa. Majd ha ∆≠ 0, akkor a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet a képletek határoznak meg:

a Cramer-képletek.

DZ 1. 2,23, 2,27, 2,51, 2,55, 2,62; DZ 2.2.19, 2.26, 2.40, 2.65

4. témakör: Komplex számok és polinomok

Komplex számok és műveletek rajtuk

Definíciók.

1. Az a + bi alakú szimbólum, ahol a és b tetszőleges valós számok, megállapodunk abban, hogy komplex számot hívunk.

2. Megállapodunk abban, hogy az a + bi és a 1 + b 1 i komplex számokat egyenlőnek tekintjük, ha a = a 1 és

b = b 1 .

3. Egyetértünk abban, hogy egy a + 0i formájú komplex számot egyenlőnek tekintsünk egy a valós számmal.

4. Két a + bi és a 1 + b 1 i komplex szám összege az (a + a 1) + (b + b 1)i komplex szám.

Inverz mátrix. Mátrix rang.

Két komplex szám szorzata az aa 1 - bb 1 + (a b 1 + a 1 b)i komplex szám.

0 + alakú komplex szám kettős tisztán hívják képzeletbeli számés általában így írják: kettős; szám 0 +1 i = i hívott képzeletbeli egység.

A 3. definíció szerint minden valós szám de"egyenlő" komplex számnak felel meg a + 0iés fordítva bármilyen komplex számra a + 0i"egyenlő" valós számnak felel meg de, vagyis ezek között a számok között van egy-egy megfelelés. Figyelembe véve a komplex számok összegét és szorzatát egy 1 + 0i és egy 2 + 0i a 4. és 5. szabály szerint a következőket kapjuk:

(a 1 + 0i) + (a 2 + 0i) = (a 1 + a 2) + 0i,

(a 1 + 0i) (a 2 + 0i) = (a 1 a 2 - 0) + (a 1 0+a 2 0) i = a 1 a 2 + 0i.

Látjuk, hogy ezeknek a komplex számoknak az összege (vagy szorzata) a megfelelő valós számok összegével (vagy szorzatával) "egyenlő" valós számnak felel meg. Tehát a levelezés között komplex számok kedves a + 0iés valós szám de olyan, hogy ennek következtében aritmetikai műveletek a megfelelő komponenseken a megfelelő eredményeket kapjuk. A műveletek végrehajtása során megőrződött egy-egy levelezés meghívásra kerül izomorfizmus. Ez lehetővé teszi a szám azonosítását a + 0i valós számmal deés tekintsünk bármely valós számot egy komplex speciális esetének.

Következmény. Szám négyzet én egyenlő - 1.

i 2 = i i = (0 +1i)(0 +1i) = (0 – 1) + (0 1 + 1 0)i =— 1.

Tétel.A komplex számok összeadásánál és szorzásánál a műveleti alaptörvények érvényben maradnak.

Definíciók:

1. Valós számés úgy hívják valódi része komplex szám z = a + bi. Rez=a

2. A b számot a z komplex szám képzeletbeli részének, a b számot z képzetes részének együtthatójának nevezzük. Imz=b.

3. Az a + bi és a - bi számokat konjugáltnak nevezzük.

A konjugált szám z = a + bi szimbólummal jelöljük

= a - bi.

Példa. z=3 + i ,= 3 - i.

Tétel.Két konjugált komplex szám összege és szorzata valós.

Bizonyíték. Nekünk van

A komplex számok halmazában az összeadás és szorzás fordított műveletei megvalósíthatók.

Kivonás. Legyen z 1 = a 1 + b 1 iÉs z 2 = a 2 + b 2 i komplex számok. különbség z1 – z2 van egy szám z = x + y i, megfelel a feltételnek z1 = z 2 + z vagy

és 1 + b 1 i = (a 2 + x) + (b 2 + y)i.

Meghatározására xÉs y megkapjuk az egyenletrendszert a 2 + x = a 1És b2 + y = b1, amelynek egyedi megoldása van:

x \u003d a 1 - a 2, y \u003d b 1 - b 2,

z \u003d (a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) \u003d a 1 - a 2 + (b 1 - b 2) i.

A kivonás helyettesíthető összeadással a kivonandó ellentétes számmal:

z \u003d (a 1 + b 1 i) - (a 2 + b 2 i) \u003d (a 1 + b 1 i) + (- a 2 - b 2 i).

Osztály.

számok hányadosa z1És z2≠ 0 egy szám z = x + y i, megfelel a feltételnek z 1 = z 2 z vagy

a 1 + b 1 i = (a 2 + b 2 i) (x + yi),

Következésképpen,

a 1 + b 1 i = a 2 x - b 2 y+ (b 2 x + a 2 y)i,

honnan kapjuk az egyenletrendszert:

a 2 x - b 2 y \u003d a 1,

b 2 x + a 2 y = b 1 .

Amelynek a döntése lesz

Következésképpen,

A gyakorlatban a hányados megtalálásához szorozzuk meg az osztót és az osztót az osztó konjugátumával:

Például,

Különösen egy adott szám reciproka z, mint

Jegyzet. A komplex számok halmazában érvényben marad tétel: ha a szorzat egyenlő nullával, akkor legalább az egyik tényező nulla.

Valóban, ha z 1 z 2 =0és ha z 1 ≠ 0, majd megszorozva -vel, azt kapjuk

Q.E.D.

A komplex számokkal végzett aritmetikai műveletek során a következő általános szabályt kell követni: a műveletek végrehajtása az algebrai kifejezésekre vonatkozó szokásos szabályok szerint történik, majd az i 2-t lecseréljük-1.

Tétel.Ha az egyes komponenseket a konjugált számra cseréljük, a művelet eredményét is a konjugált szám helyettesíti.

A bizonyítás közvetlen ellenőrzésből áll. Tehát például, ha az egyes kifejezések z 1 = a 1 + b 1 iÉs z 2 = a 2 + b 2 i konjugált számra cseréljük, akkor az összeghez konjugált számot kapunk z 1 + z 2 .

ezért,

Hasonlóképpen a termékünkhöz:

Előző567891011121314151617181920Következő

MUTASS TÖBBET:

Mátrix egyenletek

Dávid Katalin

AX = B, ahol az A mátrix invertálható

Mivel a mátrixszorzás nem mindig kommutatív, a bal oldali egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk $A^(-1)$-val.

$A^(-1)\cdot|A\cdot X = B$

$A^(-1)\cdot A\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$I_(n)\cdot X = A^(-1)\cdot B$

$\szín(piros)(X =A^(-1)\cdot B)$

50. példa
oldja meg az egyenletet
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

2. Tétel. Inverz mátrix létezésének kritériuma.

Szorozzuk meg a bal oldalon annak inverz mátrixával.
$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot X= \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$I_(2)\cdot X = \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end( pmátrix)$

$X=\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\jobbra mutató X= \ begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -9 & -22 \\ 4 és 9 \end(pmatrix)$

XA = B, ahol az A mátrix invertálható

Mivel a mátrixszorzás nem mindig kommutatív, a jobb oldali egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk $A^(-1)$-val.

$X\cdot A = B |\cdot A^(-1)$

$X\cdot A\cdot A^(-1) = B\cdot A^(-1)$

$X \cdot I_(n) =B\cdot A^(-1)$

Az egyenlet megoldásának általános formája van
$\szín(piros)(X =B\cdot A^(-1))$

51. példa
oldja meg az egyenletet
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5\\ \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1\\ \end(pmatrix)$

Győződjön meg arról, hogy az első mátrix megfordítható.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, ezért a mátrix megfordítható.

Szorozza meg a jobb oldalon annak inverz mátrixával.
$X \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) ) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$X\cdot I_(2)= \begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(- 1) $

$X=\begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix)\cdot \begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)$

$\begin(pmatrix) 1 & 3\\ 2 & 5 \end(pmatrix)^(-1)= \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)\jobbra mutató X= \ begin(pmatrix) 3 & 5\\ 2 & 1 \end(pmatrix) \cdot \begin(pmatrix) -5 & 3\\ 2 & -1 \end(pmatrix)= \begin(pmatrix) -5 & 4\ \ -8 és 5 \end(pmatrix)$

MátrixokMátrixszorzásDeterminánsokMátrix rangInverz mátrixokEgyenletrendszerekMátrix számológépek

int. ámulat, meglepetés; öröm, remény; hirtelenség, ijedtség; bánat, kétségbeesés. Ah, milyen jó! Ó, legyen úgy! Ó, mennyire megijesztettél! Ó igen, integet a kezével. Ah, ah, de nincs mit segíteni. Ó, bíró, bíró: négy emelet, nyolc zseb.

| Néha az ah főnévvé alakul. , férj. Ó, igen, ó, igen, női sóhajok. Mi volt itt ahov, meglepetés, öröm. Ahti, ahti me, a bánat, a szomorúság felkiáltása; Jaj; Ahti én, az összes elvtárs a börtönben – történik velem valami? Ohti-axmul valahogy férjhez menni? Ne légy olyan forró nekem, nem meglepő, nem fájdalmasan jó. Az akhanki számomra, az ahakhanki, mintegy együttérzést fejez ki önmagunk vagy mások iránt. Akhanki, mint a kisgyerekek, ez egyfajta üdvözlet. zihál, zihál, zihál, csodálkozik; örülj valaminek, szomorkodj, nyögj ki, ah! Ó, igen, otthon, egyedül. Akhal bácsi, nézz magadra, vigyázz mindenkire magadról, a dolgodról. Lihegtem, megijedtem, csodálkoztam. Mi is lihegtünk, láttunk bánatot. Egy egyedülálló férfi néha felnyög, a házas pedig nyög.

inverz mátrix

Felérni mire. Lihegtünk, amikor hallottunk róla. Naahali, és menjünk. Csodálkoztam ezektől a csodáktól. Elegük van, igaz? Sóhajts még egyet. Az egyik zihál, a másik zihál. Miért hintázott? Vonakodva izgulsz. Nem olyan zihálás, megint zihálás, a haszontalan hívások gúnyja. Elpazarolt egész nap. Egy nő zihálni jött, de zihálnia kellett; Azért jöttem, hogy megnézzem valaki más örömét vagy bánatát, de megtörtént a saját szerencsétlenségem. Akhanye vö. az öröm, a csodálkozás, a bánat, a kétségbeesés mértéktelen kifejezése: az ahal férfi férj. női csaló ahala köt. aki mindenen csodálkozik, túlzottan dicséri a másikat, irigykedik. Minden harmonikásnak hét harmonikás jut. Minden baharért hét akhal. Ahovaya alacsonyabb. lélegzetelállító penz. elragadó, hihetetlenül szép, gyönyörű, csodálkozás és helyeslés felkiáltását okozva. Ahh sál. Ahva? női , arch.-he. lyuk, lyuk; lyuk, vágás a bőrön, amely megsérti azt egy óvatlan lövés, szúrás vagy ütés valamivel. Ahovnya? női ahvoi, akhovaya vagy ahvodnaya bőrrel elrontott bőr. Ahvit, ahvod ?, rontsd el a bőrt egy lövéssel, szúrással, vágással. Szörnyű szombat, fizetésekkel, amikor a hibásak kapkodnak a pénzért.

Lemma: Bármilyen mátrixhoz DE ennek a megfelelő méretű identitásmátrix szorzata egyenlő a mátrixszal DE: AE=EA=A.

A Mátrix BAN BEN hívott fordított a mátrixhoz DE, ha AB=BA=E. inverz mátrix a mátrixhoz DE jelöljük A -1 .

Az inverz mátrix csak négyzetmátrix esetén létezik.

Tétel: négyzetmátrix DE akkor és csak akkor van inverze, ha ennek a mátrixnak a determinánsa nem nulla (|A|≠0).

Algoritmus az A -1 inverz mátrix megtalálásához:

(másod- és harmadrendű mátrixokhoz)

"Ha meg akarsz tanulni úszni, akkor bátran szállj a vízbe, és ha meg akarsz tanulni problémák megoldására, azután oldja meg őket.»
D. Poya (1887-1985)

(Matematikus. Nagy mértékben hozzájárult a matematika népszerűsítéséhez. Több könyvet írt a problémamegoldásról és a problémamegoldás tanításáról.)

Inverz mátrix · A B mátrixot inverznek nevezzük a mátrixhoz képest, ha az egyenlőség igaz: . Kijelölés: − Csak négyzet mátrixnak lehet inverz mátrixa. − Nem minden téren mátrixnak van egy inverz mátrixa. Tulajdonságok: 1. ; 2. ; 3. , ahol a mátrixok négyzet alakúak, azonos méretűek. Általánosságban elmondható, hogy ha nem négyzetes mátrixok esetén lehetséges olyan szorzat, amely négyzetes mátrix lesz, akkor lehetséges az inverz mátrix létezése is , bár a 3-as tulajdont ez esetben megsértik. Az inverz mátrix megtalálásához használhatja az elemi sortranszformációk módszerét: 1. Hozzon létre egy kiterjesztett mátrixot úgy, hogy az eredeti mátrixtól jobbra hozzárendel egy megfelelő dimenziójú identitásmátrixot: . 2. A mátrix elemi sortranszformációi G a következő űrlaphoz vezet: . − szükséges Mátrix rang · A mátrix k-edrendű mollja egy olyan determináns, amely az eredeti mátrix elemeiből áll, amelyek tetszőleges k sor és k oszlop metszéspontjában vannak. ( ). Megjegyzés. A mátrix minden eleme elsőrendű minor. Tétel. Ha a mátrixban minden k-rendű moll egyenlő nullával, akkor minden magasabb rendű moll egyenlő nullával. Kibővítjük a moll (determináns) ( k+1)-edik sorrend az 1. sor elemein keresztül: . Az algebrai összeadások lényegében kisebbek k- rendűek, amelyek a tétel feltételezése szerint egyenlők nullával. Következésképpen, . · A sorrendi mátrixban egy rendű mollról azt mondjuk, hogy alap, ha nem egyenlő nullával, és minden rendű és feletti moll egyenlő nullával, vagy egyáltalán nem létezik, azaz. illik a kisebbik számok vagy . A mátrix alap-mollt alkotó oszlopait és sorait alap-nak nevezzük. Egy mátrixban több különböző alap minor lehet, amelyeknek azonos a sorrendje. · A mátrix alapmoll sorrendjét a mátrix rangjának nevezzükÉs jelölve: , . Nyilvánvaló, hogy. Például. 1. , . 2. . A Mátrix BAN BEN tartalmazza az egyetlen nem nulla elemet, amely elsőrendű minor. Minden magasabb rendű determináns tartalmazza a 0. sort, ezért egyenlő 0-val. Ezért . inverz mátrix 4. Lineáris egyenletrendszerek. Alapfogalmak. A lineáris algebrai egyenletrendszer ( lineáris rendszer, rövidítések is használatosak SLAU, SLN) egy egyenletrendszer, amelyben minden egyenlet egy elsőfokú lineáris - algebrai egyenlet. Általános forma Lineáris algebrai egyenletrendszerek: Itt van az egyenletek száma és a változók száma, a meghatározandó ismeretlenek, az együtthatók és a szabad tagok ismertnek feltételezik. A rendszer ún homogén, ha minden szabad tagja nulla (), ellenkező esetben - heterogén. A lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása olyan számhalmaz, amely a megfelelő behelyettesítésből a rendszer helyett az összes egyenletét azonossággá alakítja. Egy rendszert konzisztensnek nevezünk, ha legalább egy megoldása van, és inkonzisztensnek, ha nincs megoldása. A megoldásokat akkor tekintjük eltérőnek, ha a változók legalább egyik értéke nem egyezik. Az egyetlen megoldású közös rendszert határozottnak nevezzük, ha egynél több megoldás létezik - alulhatározott. Mátrixforma Egy lineáris algebrai egyenletrendszert mátrix formában a következőképpen ábrázolhatunk: vagy: . Itt van a rendszer mátrixa, az ismeretlenek oszlopa és a szabad kifejezések oszlopa. Ha a jobb oldali mátrixhoz szabad kifejezések oszlopa van hozzárendelve, akkor a kapott mátrixot kiterjesztettnek nevezzük. Kronecker - Capelli tétel Kronecker - Capelli tétel egy lineáris algebrai egyenletrendszer kompatibilitásának szükséges és elégséges feltételét állítja fel a mátrixreprezentációk tulajdonságain keresztül: a rendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha mátrixának rangja egybeesik a kiterjesztett mátrix rangjával. Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei. Mátrix módszer Adjunk meg egy ismeretleneket tartalmazó lineáris egyenletrendszert (tetszőleges mezőn): Írjuk át mátrix formában: A rendszer megoldását a következő képlettel találjuk meg. Az inverz mátrixot a következő képlettel találjuk meg: , ahol a mátrix megfelelő elemeinek algebrai komplementereinek transzponált mátrixa. Ha, akkor az inverz mátrix nem létezik, és a rendszer mátrix módszerrel megoldhatatlan. Ebben az esetben a rendszert Gauss módszerrel oldjuk meg. Cramer-módszer Cramer-módszer (Cramer-szabály) – az SLAE megoldásának módja számos egyenlettel egyenlő a számmal ismeretlenek nullától eltérő főmátrix-determinánssal. Ismeretlenekkel rendelkező lineáris egyenletrendszerhez Cserélje ki a mátrix i-edik oszlopát egy szabad tagok oszlopára b Példa: Valós együtthatós lineáris egyenletrendszer: Selejtezők: A determinánsokban a megfelelő ismeretlenhez tartozó együtthatók oszlopát a rendszer szabad tagok oszlopa helyettesíti. Megoldás: 5. Gauss-módszer Megoldási algoritmus: 1. Írjuk fel a kibővített mátrixot 2. Hozzuk lépcsőzetes formába elemi transzformációkkal 3. Fordított mozgás, melynek során az alapfogalmakat szabad kifejezésekkel fejezzük ki. Kibővített mátrixot kapunk, ha a mátrixhoz adunk egy oszlopnyi szabad kifejezést. A következő elemi transzformációk léteznek: 1. A mátrix sorai átrendezhetők. 2. Ha a mátrixban vannak (vagy megjelentek) arányos (speciális esetben - azonos) sorok, akkor ezeket a sorokat egy kivételével törölni kell a mátrixból. 3. Ha az átalakítások során egy nulla sor jelent meg a mátrixban, akkor azt is törölni kell. 4. A mátrix sora tetszőleges számmal szorozható (osztható), nem nulla. 5. A mátrix sorához hozzáadhat egy másik sort, megszorozva nullától eltérő számmal. Elemi átalakulások ne változtassuk az egyenletrendszer megoldását Fordított mozgás: Általában alapváltozóknak azokat a változókat veszik, amelyek a rendszer transzformált mátrixának nullától eltérő soraiban az első helyeken helyezkednek el, pl. a lépcsőn. Továbbá az alapfeltételek a szabad kifejezésekkel vannak kifejezve. Az út során „alulról felfelé” haladunk, kifejezzük az alapfeltételeket, és behelyettesítjük az eredményeket a magasabb egyenletbe. Példa: Az alapváltozók mindig szigorúan a mátrix lépésein „ülnek”. Ebben a példában az alapváltozók a következők, a szabad változók pedig az összes többi változó, amelyek nem kaptak lépést. A mi esetünkben ezek közül kettő van: - szabad változók. Most mindenre szükség van bázisváltozók kifejezni csak keresztül szabad változók. A Gauss-algoritmus fordított mozgása hagyományosan a század végétől működik

Legyen egy n-edrendű négyzetmátrix

Az A -1 mátrixot hívjuk inverz mátrix az A mátrixhoz képest, ha A * A -1 = E, ahol E az n-edrendű azonosságmátrix.

Identitásmátrix- egy ilyen négyzetmátrix, amelyben a főátló mentén a bal felső sarokból a jobb alsó sarokba átmenő összes elem egy, a többi pedig nulla, például:

inverz mátrix létezhet csak négyzetmátrixokhoz azok. azokhoz a mátrixokhoz, amelyekben ugyanannyi sor és oszlop van.

Inverz mátrix létezési feltétel Tétel

Ahhoz, hogy egy mátrixnak legyen inverz mátrixa, szükséges és elegendő, ha nem degenerált.

Az A = (A1, A2,...A n) mátrixot hívjuk nem degenerált ha az oszlopvektorok lineárisan függetlenek. A mátrix lineárisan független oszlopvektorainak számát a mátrix rangjának nevezzük. Ezért azt mondhatjuk, hogy egy inverz mátrix létezéséhez szükséges és elegendő, hogy a mátrix rangja egyenlő legyen a dimenziójával, azaz. r = n.

Algoritmus az inverz mátrix megtalálására

1. Írja be a táblázatba az A mátrixot egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldásához, és a jobb oldalon (az egyenlet jobb oldali részei helyett) rendelje hozzá az E mátrixot!
2. Jordan-transzformációk segítségével hozza létre az A mátrixot egyetlen oszlopból álló mátrixba; ebben az esetben az E mátrixot egyidejűleg kell átalakítani.
3. Ha szükséges, rendezzük át az utolsó táblázat sorait (egyenleteit), hogy az E azonosságmátrixot az eredeti tábla A mátrixa alá kapjuk.
4. Írja fel az A -1 inverz mátrixot, amely az utolsó táblázatban található az eredeti tábla E mátrixa alá!

1. példa

Az A mátrixhoz keresse meg az A -1 inverz mátrixot

Megoldás: Írjuk fel az A mátrixot, és a jobb oldalon hozzárendeljük az E identitásmátrixot. Jordan-transzformációk segítségével az A mátrixot redukáljuk E identitásmátrixra. A számításokat a 31.1. táblázat mutatja.

Ellenőrizzük a számítások helyességét az eredeti A mátrix és az A inverz mátrix -1 szorzásával.

A mátrixszorzás eredményeként megkapjuk az identitásmátrixot. Ezért a számítások helyesek.

Válasz:

Mátrixegyenletek megoldása

A mátrixegyenletek így nézhetnek ki:

AX = B, XA = B, AXB = C,

ahol A, B, C mátrixok, X a kívánt mátrix.

A mátrixegyenleteket úgy oldjuk meg, hogy az egyenletet inverz mátrixokkal megszorozzuk.

Például egy egyenletből a mátrix megtalálásához meg kell szoroznia ezt az egyenletet a bal oldalon lévővel.

Ezért az egyenlet megoldásához meg kell találnia az inverz mátrixot, és meg kell szoroznia az egyenlet jobb oldalán található mátrixszal.

A többi egyenletet is hasonlóan oldják meg.

2. példa

Oldja meg az AX = B egyenletet, ha

Megoldás: Mivel a mátrix inverze egyenlő (lásd az 1. példát)

Mátrix módszer a közgazdasági elemzésben

Másokkal együtt ők is találnak alkalmazást mátrix módszerek. Ezek a módszerek lineáris és vektor-mátrix algebrán alapulnak. Az ilyen módszereket komplex és többdimenziós gazdasági jelenségek elemzésére használják. Ezeket a módszereket leggyakrabban akkor alkalmazzák, ha össze kell hasonlítani a szervezetek működését és szerkezeti felosztásait.

A mátrix elemzési módszerek alkalmazásának folyamatában több szakasz különíthető el.

Az első szakaszban megtörténik a gazdasági mutatórendszer kialakítása, és ennek alapján összeállítják a kiindulási adatok mátrixát, amely egy táblázat, amelyben a rendszerszámok az egyes sorokban jelennek meg. (i = 1,2,....,n), a függőleges grafikonok mentén pedig a mutatók számai (j = 1,2,....,m).

A második szakaszban minden függőleges oszlop esetében a mutatók elérhető értékei közül a legnagyobb jelenik meg, amelyet egységnek veszünk.

Ezt követően az ebben az oszlopban szereplő összes összeget el kell osztani legmagasabb értékés standardizált együtthatók mátrixa jön létre.

A harmadik szakaszban a mátrix összes komponense négyzetes. Ha eltérő jelentőséggel bírnak, akkor a mátrix minden mutatójához egy bizonyos súlyozási együttható tartozik k. Ez utóbbi értékét szakértő határozza meg.

Az utolsón negyedik szakaszértékelések talált értékeit Rj növekvő vagy csökkenés sorrendjében csoportosítva.

A fenti mátrixmódszereket például akkor kell alkalmazni, amikor összehasonlító elemzés különböző beruházási projektek, valamint a szervezetek egyéb gazdasági teljesítménymutatóinak értékelése során.