Komplex számok a számunkra ismerős halmaz minimális kiterjesztése valós számok. Alapvető különbségük az, hogy megjelenik egy olyan elem, amely négyzetbe vonva -1-et ad, azaz. én vagy .
Bármely komplex szám két részből áll: valós és képzeletbeli:
Így egyértelmű, hogy a valós számok halmaza egybeesik a nulla képzeletbeli részű komplex számok halmazával.
A komplex számok halmazának legnépszerűbb modellje a közönséges sík. Minden pont első koordinátája a valós része, a második pedig képzeletbeli. Ekkor maguknak a komplex számoknak a szerepe a (0,0) pontban kezdődő vektorok lesz.
Műveletek komplex számokkal.
Valójában, ha figyelembe vesszük a komplex számok halmazának modelljét, akkor intuitív módon egyértelmű, hogy két komplex szám összeadása (kivonása) és szorzása ugyanúgy történik, mint a vektorokon végzett megfelelő műveletek. És azt jelenti vektor termék vektorok, mert ennek a műveletnek az eredménye ismét egy vektor.
1.1 Kiegészítés.
(Amint látja, ez a művelet pontosan megfelel a )
1.2 Kivonás, hasonlóan, a következő szabály szerint hajtják végre:
2. Szorzás.
3. Osztály.
Egyszerűen úgy definiálható fordított működés a szorzáshoz.
Egy z komplex szám modulusa a következő mennyiség:
,
nyilvánvaló, hogy ez megint csak egyszerűen az (a,b) vektor modulusa (hossza).
Leggyakrabban egy komplex szám modulusát úgy jelöljük ρ.
Kiderült, hogy
z = ρ(cosφ+isinφ).
A következő közvetlenül következik a komplex szám írásának trigonometrikus formájából. képletek :
Az utolsó képlet az ún De Moivre formula. A képlet közvetlenül abból származik. komplex szám n-edik gyöke:
így a z komplex számnak n n-edik gyöke van.
A komplex szám egy formájú szám, ahol és valós számok, az ún képzeletbeli egység. A számot hívják valódi rész () komplex szám, a számot hívják képzeletbeli rész () összetett szám.
Komplex számok jelennek meg összetett sík:
Mint fentebb említettük, a valós számok halmazát szokás betűvel jelölni. Sok azonos komplex számok"félkövér" vagy vastagított betűként szokás jelölni. Ezért a betűt fel kell tenni a rajzra, jelezve, hogy összetett síkunk van.
Komplex szám algebrai alakja. Komplex számok összeadása, kivonása, szorzása és osztása
Komplex számok összeadása
Két komplex szám összeadásához adja hozzá valós és imaginárius részeit:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i* (b 1 + b 2).
Komplex számokra az első osztály szabálya érvényes: z 1 + z 2 \u003d z 2 + z 1 - az összeg nem változik a kifejezések átrendezésétől.
Komplex számok kivonása
A művelet hasonló az összeadáshoz, az egyetlen jellemzője, hogy a részfejet zárójelbe kell venni, majd ezeket a zárójeleket szabványos módon előjelváltással kell megnyitni:
z 1 + z 2 \u003d (a 1 - a 2) + i * (b 1 - b 2)
Komplex számok szorzása
A komplex számok alapvető egyenlősége:
Komplex számok szorzata:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Az összeghez hasonlóan a komplex számok szorzata is permutálható, azaz igaz az egyenlőség: .
Komplex számok osztása
A számok felosztása megtörténik úgy, hogy a nevezőt és a számlálót megszorozzuk a nevező konjugált kifejezésével.
2 Kérdés. összetett sík. Komplex számok modulja és argumentumai
Minden z = a + i*b komplex szám társítható egy (a;b) koordinátájú ponthoz, és fordítva, minden (c;d) koordinátájú pont társítható egy w = c + i* komplex számmal. d . Így a sík pontjai és a komplex számok halmaza között egy-egy megfeleltetés jön létre. Ezért a komplex számok egy sík pontjaként ábrázolhatók. Azt a síkot, amelyre a komplex számokat rajzolják, általában hívják összetett sík.
A komplex számokat azonban gyakrabban ábrázolják vektorként, amelynek origója az O pontban van, nevezetesen a z \u003d a + i * b komplex számot a pont sugárvektora (a; b) koordinátákkal ábrázolja. Ebben az esetben a komplex számok képe az előző példából a következő lesz: 
Két komplex szám összegének képe egy vektor, amely egyenlő a és számokat reprezentáló vektorok összegével. Más szóval, komplex számok összeadásakor az azokat reprezentáló vektorok is összeadódnak.
Legyen a z = a + i*b komplex szám egy sugárvektorral ábrázolva. Ekkor ennek a vektornak a hosszát nevezzük modult z szám, és |z|-vel jelöljük .
|
|
A szám sugárvektora által a tengellyel bezárt szöget nevezzük érv számok és arg z jelöli. A szám argumentum nem egyedi, hanem legfeljebb többszöröse lehet. Általában azonban az argumentumot a 0 vagy a -to tartományban adják meg. Ezenkívül a szám argumentum nincs megadva.
Ezzel a relációval megtalálhatja egy komplex szám argumentumát:
sőt, az első képlet akkor érvényes, ha a szám képe az első vagy negyedik negyedben van, a második pedig, ha a második vagy harmadik negyedben van. Ha , akkor a komplex számot egy vektor ábrázolja az Oy tengelyen és argumentuma /2 vagy 3*/2.
Kapunk még egy hasznos formulát. Legyen z = a + i*b . Azután ,
Két komplex szám szorzatát ugyanúgy definiáljuk, mint a valós számok szorzatát, nevezetesen: a szorzatot egy szorzóból álló számnak tekintjük, mint egy tényezőt egységből.
A modulussal és argumentummal rendelkező komplex számnak megfelelő vektort megkaphatjuk egységvektor, melynek hossza eggyel egyenlő és iránya egybeesik az OX tengely pozitív irányával, egy tényezővel meghosszabbítva és szöggel pozitív irányba elforgatva
Valamelyik vektor szorzata egy vektorral az a vektor, amelyet akkor kapunk, ha a fenti kiterjesztést és elforgatást alkalmazzuk a vektorra, amelynek segítségével a vektort egységvektorból kapjuk, és ez utóbbi nyilvánvalóan egy valós egységnek felel meg. .
Ha a lényeg a vektoroknak megfelelő komplex számok moduljai és argumentumai, akkor ezeknek a vektoroknak a szorzata nyilvánvalóan egy modullal és argumentummal rendelkező komplex számnak felel meg. Így a komplex számok szorzatának következő definíciójához jutunk:
Két komplex szám szorzata egy olyan komplex szám, amelynek modulusa egyenlő a faktorok moduljainak szorzatával, az argumentum pedig a faktorok argumentumainak összege.
Így abban az esetben, ha a komplex számokat trigonometrikus formában írjuk fel, akkor lesz
Most levezetjük a szorzat összeállításának szabályát arra az esetre, ha a komplex számok nem trigonometrikus formában vannak megadva:
A fenti jelölést használva a faktorok moduljaira és argumentumaira írhatunk
a szorzás definíciója szerint (6):
és végül megkapjuk
Abban az esetben, ha a tényezők valós számokés a szorzat ezeknek a számoknak a szorzatára redukálódik. Ebben az esetben a (7) egyenlőség megadja
azaz a képzeletbeli egység négyzete az
A pozitív egész hatványok egymást követő kiszámításával kapjuk
és általában minden pozitív egész számra
A (7) egyenlőséggel kifejezett szorzási szabály a következőképpen fogalmazható meg: a komplex számokat literális polinomként kell szorozni, figyelembe véve
Ha a komplex szám, akkor a komplex számot a konjugátumának nevezzük, és a-val jelöljük. A (3) képletek szerint a (7) egyenlőségből az következik
és ennek következtében,
azaz a konjugált komplex számok szorzata mindegyikük modulusának négyzetével egyenlő.
Jegyezzük meg a nyilvánvaló képleteket is
A (4) és (7) képletből egyenesen következik, hogy a komplex számok összeadása és szorzása betartja a kommutatív törvényt, azaz az összeg nem függ a tagok sorrendjétől, és a szorzat sem a tényezők sorrendjétől. . Nem nehéz ellenőrizni a következő azonosságok által kifejezett asszociatív és disztributív törvények érvényességét:
Ezt az olvasóra bízzuk.
Végül vegye figyelembe, hogy több tényező szorzatának modulusa egyenlő lesz a faktorok modulusainak szorzatával, és argumentuma megegyezik a tényezők argumentumainak összegével. Így a komplex számok szorzata akkor és csak akkor lesz egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla.
Míg a komplex számok összeadása és kivonása kényelmesebb algebrai forma, szorzás és osztás könnyebben végrehajtható a komplex számok trigonometrikus alakjával.
Vegyünk két tetszőleges komplex számot trigonometrikus formában:
Ezeket a számokat megszorozva kapjuk:
De a trigonometria képletei szerint
Így, ha komplex számokat szorozunk, akkor a modulusaikat és az argumentumokat megszorozzuk
összeadni. Mivel ebben az esetben a modulokat külön-külön, az argumentumokat pedig külön konvertálják, a trigonometrikus formában történő szorzás könnyebb, mint az algebrai.
Az (1) egyenlet a következő összefüggéseket tartalmazza:
Mivel az osztás a szorzás inverze, ezt kapjuk
Vagyis a hányados modulja egyenlő az osztó és az osztó moduljainak arányával, a hányados argumentuma pedig az osztó és az osztó argumentuma közötti különbség.
Most álljunk meg a geometriai érzék komplex számok szorzása. Az (1) - (3) képletek azt mutatják, hogy a szorzat megtalálásához először meg kell növelni a modul számát anélkül, hogy megváltoztatná az argumentumát, majd növelni kell a kapott szám argumentumát anélkül, hogy megváltoztatná a modulját. Ezen műveletek közül az első geometriailag homotéziát jelent az O ponthoz képest együtthatóval, a második pedig az O ponthoz viszonyított elforgatást egy szöggel egyenlő szöggel. Ha figyelembe vesszük itt az egyik tényező állandó, a másik változó, akkor megfogalmazhatjuk. az eredmény a következő: képlet
Két komplex szám szorzata hasonló két valós szám szorzatához, nevezetesen: a szorzatot egy szorzóból álló számnak tekintjük, mint ahogy egy tényezőt is egyből. Az r modulusú és j argumentummal rendelkező komplex számnak megfelelő vektort egy olyan egységvektorból kaphatjuk meg, amelynek hossza eggyel egyenlő és iránya egybeesik az OX tengely pozitív irányával, r-szeres meghosszabbítással és pozitív irányba forgatással. j szöggel. Valamelyik a 1 vektor és a 2 vektor szorzata az a vektor, amelyet akkor kapunk, ha az a 1 vektorra hosszabbítást és elforgatást alkalmazunk, aminek segítségével egységvektorból az a 2 vektort kapjuk, az utóbbi pedig nyilvánvalóan valós egységnek felel meg. Ha (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) az a 1 és a 2 vektoroknak megfelelő komplex számok moduljai és argumentumai, akkor ezeknek a vektoroknak a szorzata nyilvánvalóan egy r 1 r modullal rendelkező komplex számnak felel meg. 2 és argumentum (j1 + j2). Így két komplex szám szorzata egy olyan komplex szám, amelynek modulusa egyenlő a faktorok moduljainak szorzatával, az argumentum pedig a faktorok argumentumainak összege.
Abban az esetben, ha a komplex számokat trigonometrikus formában írjuk fel, akkor lesz
r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.
Az (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = x + yi esetben a faktorok moduljainak és argumentumainak jelölésével a következőt írhatjuk:
a 1 = r 1 cos? egy ; b 1 \u003d r 1 bűn? egy ; a 2 = r 2 cos? 2; b 2 \u003d r 2 bűn? 2;
a szorzás definíciója szerint:
x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 sin(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - sin? 1 sin? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 bűn? 1 r 2 bűn? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (sin? 1 cos? 2 + cos? 1 sin? 2) = = r 1 sin? 1 r 2 cos? 2 + r1 cos? 1 r 2 bűn? 2 \u003d b 1 a 2 + a 1 b 2,
és végül megkapjuk:
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) i.
Abban az esetben, ha b 1 = b 2 = 0, a tényezők a 1 és a 2 valós számok, és a szorzat ezeknek a számoknak a 1 a 2 szorzatára redukálódik. Amikor
a 1 = a 2 = 0 és b 1 = b 2 = 1,
az (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I egyenlőség: i???i = i 2 = -1, azaz. a képzeletbeli egység négyzete -1. Az i szekvenciálisan pozitív egész hatványait kiszámítva a következőket kapjuk:
i 2 \u003d -1; i 3 \u003d -i; i4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...
és általában minden pozitív k esetén:
i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; i 4k+3 = -i
Az (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) \u003d (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2) egyenlőséggel kifejezett szorzási szabály a következőképpen fogalmazzuk meg: a komplex számokat úgy kell szorozni, mint a literális polinomokat, i 2 = -1 számolással.
A fenti képletekből egyenesen következik, hogy a komplex számok összeadása és szorzása megfelel a kommutatív törvénynek, azaz. az összeg nem függ a feltételek sorrendjétől, és a szorzat sem a tényezők sorrendjétől. Nem nehéz ellenőrizni a következő azonosságok által kifejezett asszociációs és disztributív törvények érvényességét:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Több tényező szorzatának modulusa lesz egyenlő a faktorok moduljainak szorzatával, és argumentuma a faktorok argumentumainak összegével. Így a komplex számok szorzata akkor és csak akkor lesz egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla.
Példa: adott komplex számok z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Megtalálni:
a) z 1 + z 2; b) z1-z2; c) z 1 z 2 .
a) z 1 + z 2 \u003d (2 + 3i) + (5 - 7i) \u003d 2 + 3i + 5 - 7i \u003d (2 + 5) + (3i - 7i) \u003d 7 - 4i; b) z 1 - z 2 \u003d (2 + 3i) - (5 - 7i) \u003d 2 + 3i - 5 + 7i \u003d (2 - 5) + (3i + 7i) \u003d - 3 + 10i; c) z 1 z 2 \u003d (2 + 3i) (5 - 7i) \u003d 10 - 17i + 15i - 21i 2 \u003d 10 - 14i + 15i + 21 \u003d (10 + 1 i) 4 + 1 i ) \u003d 31 + i (itt azt veszik figyelembe, hogy i 2 = - 1).
Példa: tegye a következőket:
a) (2 + 3i) 2; b) (3-5i) 2; c) (5 + 3i) 3.
a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2 × 2 × 3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 = 9 - 2H3H5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 \u003d - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 3 × 25 × 3i + 3 × 5 × 9i 2 + 27i 3; mivel i 2 \u003d - 1 és i 3 \u003d - i, akkor azt kapjuk, hogy (5 + 3i) 3 \u003d 125 + 225i - 135 - - 27i \u003d - 10 + 198i.
Példa: műveletek végrehajtása
a) (5 + 3i) (5-3i); b) (2 + 5i) (2-5i); c) (1 + i) (1 - i).
a) (5 + 3i) (5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i) (2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i) (1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.