Mátrix összeadás:

Mátrix kivonás és összeadás az elemeiken végzett megfelelő műveletekre redukálódik. Mátrix összeadás művelet csak azért lépett be mátrixok azonos méretű, azaz a mátrixok, amelyeknek ugyanannyi sora és oszlopa van. mátrixok összege A-t és B-t hívják a Mátrix C, melynek elemei egyenlők a megfelelő elemek összegével. C \u003d A + B c ij \u003d a ij + b ij mátrix különbség.

Egy mátrix szorzata egy számmal:

Mátrixszorzás (osztás) művelet bármilyen mérethez tetszőleges szám az egyes elemek szorzására (osztására) redukálódik mátrixok ehhez a számhoz. Mátrix termékÉs a k számot hívják a Mátrix B, ilyen

b ij = k × a ij . B \u003d k × A b ij \u003d k × a ij. A Mátrix- A \u003d (-1) × A az ellenkezője mátrix DE.

Mátrixösszeadás és mátrixszorzás tulajdonságai:

Mátrix összeadási műveletekÉs mátrixszorzások egy számon a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A \u003d 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , ahol A, B és C mátrixok, α és β számok.

Mátrixszorzás (mátrixszorzat):

Két mátrix szorzásának művelete csak abban az esetben kerül megadásra, ha az első oszlopok száma mátrixok megegyezik a második sorainak számával mátrixok. Mátrix termékÉs m × n tovább mátrix Az n×p -ben az úgynevezett a MátrixС m×p úgy, hogy с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , azaz keresse meg az i -edik sor elemeinek szorzatainak összegét mátrixokÉs a j -edik oszlop megfelelő elemein mátrixok B. Ha mátrixok A és B azonos méretű négyzetek, akkor az AB és BA szorzat mindig létezik. Könnyen kimutatható, hogy A × E = E × A = A, ahol A négyzet a Mátrix, E - szingli a Mátrix azonos méretű.

Mátrix szorzás tulajdonságai:

Mátrixszorzás nem kommutatív, azaz. AB ≠ BA akkor is, ha mindkét termék definiálva van. Ha azonban valamelyikre mátrixok AB = BA összefüggés teljesül, akkor ilyen mátrixok permutációnak nevezzük. A legjellemzőbb példa a szingli a Mátrix, amely bármely mással megváltoztatható mátrix azonos méretű. A permutáció csak négyzet lehet mátrixok ugyanabban a sorrendben. A × E = E × A = A

Mátrixszorzás a következő tulajdonságokkal rendelkezik: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. A 2. és 3. rend meghatározói. A determinánsok tulajdonságai.

mátrix meghatározó másodrendű, ill döntő másodrendű szám, amelyet a következő képlettel számítanak ki:

mátrix meghatározó harmadrendű, ill döntő harmadik rendű szám, amelyet a következő képlettel számítanak ki:

Ez a szám hat tagból álló algebrai összeget jelent. Minden kifejezés pontosan egy elemet tartalmaz minden sorból és minden oszlopból mátrixok. Minden kifejezés három tényező szorzatából áll.

Jelek, amelyekkel a tagok mátrix meghatározó szerepelnek a képletben mátrix determináns megtalálása a harmadik sorrend a fenti séma segítségével határozható meg, amelyet háromszögszabálynak vagy Sarrus-szabálynak neveznek. Az első három tagot pluszjellel vesszük, és a bal oldali ábrából határozzuk meg, a következő három tagot mínuszjellel, és a jobb oldali ábrából határozzuk meg.

Határozza meg a keresendő kifejezések számát mátrix meghatározó, algebrai összegben kiszámolhatja a faktoriálist: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Mátrix meghatározó tulajdonságai

Mátrix meghatározó tulajdonságai:

1. tulajdonság:

Mátrix meghatározó nem fog megváltozni, ha sorait oszlopokkal, minden sorát azonos számú oszlopra cseréljük, és fordítva (transzpozíció). |A| = |A| T

Következmény:

Oszlopok és sorok mátrix meghatározó egyenlőek, ezért a sorokban rejlő tulajdonságokat az oszlopokra is végrehajtjuk.

2. tulajdonság:

2 sor vagy oszlop felcserélésekor mátrix meghatározó előjelét az ellenkezőjére változtatja, megtartva az abszolút értéket, azaz:

3. tulajdonság:

Mátrix meghatározó, amelynek két egyforma sora van, egyenlő nullával.

4. tulajdonság:

Bármely sorozat elemeinek közös tényezője mátrix meghatározó kivehető a táblából döntő.

A 3. és 4. tulajdonság következményei:

Ha egy bizonyos sorozat (sor vagy oszlop) minden eleme arányos egy párhuzamos sorozat megfelelő elemeivel, akkor ilyen mátrix meghatározó egyenlő nullával.

5. ingatlan:

mátrix meghatározó akkor egyenlők nullával mátrix meghatározó egyenlő nullával.

6. tulajdonság:

Ha bármely sor vagy oszlop összes eleme döntő 2 tag összegeként mutatjuk be, akkor döntő mátrixok 2 összegeként ábrázolható meghatározó tényezők képlet szerint:

7. tulajdonság:

Ha bármelyik sorba (vagy oszlopba) döntő Adja hozzá egy másik sor (vagy oszlop) megfelelő elemeit ugyanazzal a számmal megszorozva, majd mátrix meghatározó nem változtatja meg az értékét.

Példa a tulajdonságok számításhoz való alkalmazására mátrix meghatározó:

Ebben a cikkben megértjük, hogyan történik az összeadás művelet azonos sorrendű mátrixokon, a mátrix számmal történő szorzása, valamint a megfelelő sorrendű mátrixok szorzása, axiomatikusan beállítjuk a műveletek tulajdonságait, és a mátrixokon végzett műveletek prioritásáról is beszéljünk. Az elmélettel párhuzamosan részletes megoldásokat adunk olyan példákra, amelyekben mátrixokon végeznek műveleteket.

Azonnal megjegyezzük, hogy a következők mindegyike érvényes azokra a mátrixokra, amelyek elemei valós (vagy komplex) számok.

Oldalnavigáció.

Két mátrix összeadásának művelete.

Két mátrix összeadásának műveletének meghatározása.

Az összeadási művelet CSAK AZONOS RENDELŐ MÁTRIXOKHOZ van meghatározva. Más szóval, lehetetlen megtalálni a különböző dimenziójú mátrixok összegét, és általában nem lehet beszélni különböző dimenziójú mátrixok összeadásáról. Nem beszélhetünk sem mátrix és szám összegéről, sem mátrix és más elem összegéről.

Meghatározás.

Két mátrix összegeés olyan mátrix, amelynek elemei egyenlők az A és B mátrixok megfelelő elemeinek összegével, azaz .

Így a két mátrix összeadásának műveletének eredménye egy azonos sorrendű mátrix.

A mátrixösszeadás működésének tulajdonságai.

Melyek a mátrixösszeadási művelet tulajdonságai? Erre a kérdésre meglehetősen könnyű válaszolni, ha két adott rendű mátrix összegének meghatározásából indulunk ki, és emlékezünk a valós (vagy komplex) számok összeadási műveletének tulajdonságaira.

1. Az azonos sorrendű A, B és C mátrixok esetében az összeadás asszociativitásának tulajdonsága A + (B + C) \u003d (A + B) + C.
2. Adott rendű mátrixoknál van egy semleges elem az összeadás tekintetében, ez a nulla mátrix. Vagyis az A + O \u003d A tulajdonság igaz.
3. Egy adott sorrendű nem nulla A mátrixhoz létezik (-A) mátrix, ezek összege egy nulla mátrix: A + (-A) \u003d O.
4. Adott rendű A és B mátrixokra érvényes az A+B=B+A összeadás kommutativitásának tulajdonsága.

Következésképpen az adott rendű mátrixok halmaza egy additív Abel-csoportot generál (egy Abel-csoportot az összeadás algebrai műveletéhez képest).

Mátrixösszeadás - megoldási példák.

Nézzünk néhány példát a mátrixösszeadásra.

Példa.

Keresse meg a mátrixok összegét és .

Megoldás.

Az A és B mátrixok sorrendje megegyezik és egyenlő 4x2-vel, így elvégezhetjük a mátrixösszeadás műveletét, és ennek eredményeként egy 4-szeres mátrixot kell kapnunk. A két mátrix összeadás műveletének meghatározása szerint elemenként hajtjuk végre az összeadást:

Példa.

Keresse meg két mátrix összegét! És melynek elemei komplex számok.

Megoldás.

Mivel a mátrix sorrendje egyenlő, összeadást végezhetünk.

Példa.

Adjon hozzá három mátrixot .

Megoldás.

Először adja hozzá az A mátrixot B-vel, majd adja hozzá a C-t a kapott mátrixhoz:

Kaptunk egy nulla mátrixot.

Egy mátrix számmal való szorzásának művelete.

Egy mátrix számmal való szorzásának műveletének meghatározása.

A mátrix számmal való szorzásának művelete BÁRMELY RENDELŐ MÁTRIXOKRA van definiálva.

Meghatározás.

Egy mátrix és egy valós (vagy komplex) szám szorzata olyan mátrix, amelynek elemeit úgy kapjuk meg, hogy az eredeti mátrix megfelelő elemeit megszorozzuk egy számmal, azaz .

Így egy mátrixot egy számmal megszorozva egy azonos rendű mátrixot kapunk.

Egy mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságai.

A mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságaiból következik, hogy egy nulla mátrixot nullával megszorozva nulla mátrixot kapunk, és egy tetszőleges szám és egy nulla mátrix szorzata egy nulla mátrix.

Mátrix szorzása számmal - példák és megoldásuk.

Foglalkozzunk példákon keresztül a mátrix számmal való szorzásának műveletével.

Példa.

Keresse meg a 2-es szám és a mátrix szorzatát! .

Megoldás.

Egy mátrix számmal való szorzásához minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal:

Példa.

Végezze el a mátrixszorzást egy számmal.

Megoldás.

Az adott mátrix minden elemét megszorozzuk a megadott számmal:

Két mátrix szorzásának művelete.

Két mátrix szorzásának műveletének meghatározása.

Két A és B mátrix szorzásának művelete csak arra az esetre van definiálva, amikor AZ A MÁTRIX OSZLOPSZÁMA EGYENLŐ A B MÁTRIX SOROK SZÁMÁVAL.

Meghatározás.

Egy A sorrendű mátrix és egy B sorrendű mátrix szorzata- ez egy olyan C rendű mátrix, amelynek minden eleme egyenlő az A mátrix i-edik sorának elemeinek a B mátrix j-edik oszlopának megfelelő elemei szorzatainak összegével, azaz ,

Így egy rendelési mátrixnak egy sorrendi mátrixszal való szorzásának művelet eredménye egy rendelési mátrix.

Mátrix szorzása mátrixszal - példák megoldásai.

A mátrixszorzással példákon keresztül fogunk foglalkozni, majd áttérünk a mátrixszorzás műveletének tulajdonságainak felsorolására.

Példa.

Keresse meg a mátrixok szorzásával kapott C mátrix összes elemét! És .

Megoldás.

Az A mátrix sorrendje p=3 x n=2, a B mátrixé n=2 x=4, tehát ezen mátrixok szorzatának sorrendje p=3 x q=4. Használjuk a képletet

Sorrendben felvesszük az i értékeket 1-től 3-ig (mivel p=3 ) minden j-hez 1-től 4-ig (mivel q=4 ), esetünkben pedig n=2, akkor

Így számítjuk ki a C mátrix összes elemét, és a két adott mátrix szorzásával kapott mátrix alakja .

Példa.

Végezze el a mátrixszorzást és .

Megoldás.

Az eredeti mátrixok sorrendjei lehetővé teszik a szorzási művelet végrehajtását. Ennek eredményeként egy 2-3-as rendű mátrixot kell kapnunk.

Példa.

Adott mátrixok és . Keresse meg az A és B mátrixok, valamint a B és A mátrixok szorzatát!

Megoldás.

Mivel az A mátrix sorrendje 3x1 és B mátrix 1x3, akkor A⋅B 3x3, a B és A mátrixok szorzata pedig 1x1 sorrendű lesz.

Amint látod, . Ez a mátrixszorzási művelet egyik tulajdonsága.

A mátrixszorzás műveletének tulajdonságai.

Ha az A, B és C mátrixok megfelelő rendűek, akkor a következők igazak a mátrixszorzás műveletének tulajdonságai.

Megjegyzendő, hogy megfelelő sorrend esetén az O nulla mátrix és az A mátrix szorzata nulla mátrixot ad. Az A szorzata O-val is nulla mátrixot ad, ha a sorrendek lehetővé teszik a mátrixszorzás műveletét.

A négyzetmátrixok között vannak ún permutációs mátrixok, a szorzási művelet számukra kommutatív, azaz . A permutációs mátrixok példája az azonossági mátrix és bármely más, azonos sorrendű mátrix párja, mivel .

A mátrixokon végzett műveletek prioritása.

A mátrix számmal való szorzása és a mátrix mátrixszal való szorzása azonos prioritást élvez. Ugyanakkor ezek a műveletek magasabb prioritásúak, mint a két mátrix összeadásának művelete. Így először a mátrixot megszorozzuk a számmal, és a mátrixokat megszorozzuk, és csak ezután adjuk hozzá a mátrixokat. A mátrixokon végzett műveletek sorrendje azonban kifejezetten megadható zárójelek használatával.

Tehát a mátrixokon végzett műveletek prioritása hasonló a valós számok összeadási és szorzási műveleteihez rendelt prioritáshoz.

Példa.

Mátrix adatok . Hajtsa végre a megadott műveleteket a megadott mátrixokkal .

Megoldás.

Kezdjük azzal, hogy megszorozzuk az A mátrixot B mátrixszal:

Most megszorozzuk az E másodrendű azonosságmátrixot kettővel:

Összeadjuk a kapott két mátrixot:

Marad az eredményül kapott mátrix A mátrixszal való megszorzásának művelete:

Megjegyzendő, hogy az A és B azonos rendű mátrixok kivonásának művelete önmagában nem létezik. Két mátrix különbsége lényegében az A mátrix és a B mátrix összege előzetesen megszorozva mínusz eggyel: .

erekciós művelet négyzetmátrix ban ben természetes fokozat szintén nem független, mivel ez egy egymást követő mátrixszorzás.

Összesít.

A mátrixok halmazán három műveletet definiálunk: azonos rendű mátrixok összeadását, mátrix szorzatát számmal és megfelelő sorrendű mátrixok szorzását. Egy adott sorrendű mátrixhalmaz összeadási művelete Abel-csoportot generál.

Bevezetés

mátrixrendű axiomatikus szorzás

Műveletek mátrixokon, a műveletek tulajdonságai.

Ebben a cikkben megértjük, hogyan történik az összeadás művelet azonos sorrendű mátrixokon, a mátrix számmal történő szorzása, valamint a megfelelő sorrendű mátrixok szorzása, axiomatikusan beállítjuk a műveletek tulajdonságait, és a mátrixokon végzett műveletek prioritásáról is beszéljünk. Az elmélettel párhuzamosan részletes megoldásokat adunk olyan példákra, amelyekben mátrixokon végeznek műveleteket.

Azonnal megjegyezzük, hogy a következők mindegyike érvényes azokra a mátrixokra, amelyek elemei valós (vagy komplex) számok.

Két mátrix összeadásának művelete

Két mátrix összeadásának műveletének meghatározása.

Az összeadási művelet CSAK AZONOS RENDELŐ MÁTRIXOKHOZ van meghatározva. Más szóval, lehetetlen megtalálni a különböző dimenziójú mátrixok összegét, és általában nem lehet beszélni különböző dimenziójú mátrixok összeadásáról. Nem beszélhetünk sem mátrix és szám összegéről, sem mátrix és más elem összegéről.

Meghatározás.

Két mátrix összege és egy olyan mátrix, amelynek elemei egyenlők az A és B mátrixok megfelelő elemeinek összegével, azaz .

Így a két mátrix összeadásának műveletének eredménye egy azonos sorrendű mátrix.

A mátrixösszeadás működésének tulajdonságai.

Melyek a mátrixösszeadási művelet tulajdonságai? Erre a kérdésre meglehetősen könnyű válaszolni, ha két adott rendű mátrix összegének meghatározásából indulunk ki, és emlékezünk a valós (vagy komplex) számok összeadási műveletének tulajdonságaira.

Az azonos sorrendű A, B és C mátrixokra jellemző az A + (B + C) \u003d (A + B) + C összeadás asszociativitásának tulajdonsága.

Adott rendű mátrixoknál van egy semleges elem az összeadás tekintetében, ez a nulla mátrix. Vagyis az A + O = A tulajdonság igaz.

Egy adott sorrendű, nem nulla A mátrixhoz van egy (-A) mátrix, ezek összege egy nulla mátrix: A + (-A) \u003d O.

Az ilyen rendű A és B mátrixokra érvényes az A+B=B+A összeadás kommutativitásának tulajdonsága.

Következésképpen az adott rendű mátrixok halmaza egy additív Abel-csoportot generál (egy Abel-csoportot az összeadás algebrai műveletéhez képest).

Egy mátrix számmal való szorzásának művelete

Egy mátrix számmal való szorzásának műveletének meghatározása.

A mátrix számmal való szorzásának művelete BÁRMELY RENDELŐ MÁTRIXOKRA van definiálva.

Meghatározás.

A mátrix és egy valós (vagy komplex) szám szorzata egy olyan mátrix, amelynek elemeit úgy kapjuk meg, hogy az eredeti mátrix megfelelő elemeit megszorozzuk egy számmal, azaz .

Így egy mátrixot egy számmal megszorozva egy azonos rendű mátrixot kapunk.

Egy mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságai.

Azonos A és B mátrixokra, valamint egy tetszőleges valós (vagy komplex) számra a szorzás összeadásra vonatkozó eloszlási tulajdonsága igaz.

Egy tetszőleges A mátrixra és bármely valós (vagy komplex) számra érvényes a disztributív tulajdonság.

Egy tetszőleges A mátrixra és bármely valós (vagy komplex) számra és a szorzás asszociativitási tulajdonsága érvényes.

A semleges szám tetszőleges A mátrixszal szorozva egy, azaz .

A mátrix számmal való szorzása műveletének tulajdonságaiból következik, hogy egy nulla mátrixot nullával megszorozva nulla mátrixot kapunk, és egy tetszőleges szám és egy nulla mátrix szorzata egy nulla mátrix.

Mátrix szorzása számmal - példák és megoldásuk.

Foglalkozzunk példákon keresztül a mátrix számmal való szorzásának műveletével.

Keresse meg a 2-es szám és a mátrix szorzatát!

Egy mátrix számmal való szorzásához minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal:

Végezze el a mátrixszorzást egy számmal.

Az adott mátrix minden elemét megszorozzuk a megadott számmal:

Két mátrix szorzásának művelete

Két mátrix szorzásának műveletének meghatározása.

Két A és B mátrix szorzásának művelete csak arra az esetre van definiálva, amikor AZ A MÁTRIX OSZLOPSZÁMA EGYENLŐ A B MÁTRIX SOROK SZÁMÁVAL.

Meghatározás. Az A sorrendű mátrix és a B sorrendű mátrix szorzata egy olyan C mátrix, amelynek minden eleme egyenlő az A mátrix i-edik sorának elemeinek és az A mátrix megfelelő elemeinek szorzatának összegével. a B mátrix j-edik oszlopa, azaz

Így egy rendelési mátrixnak egy sorrendi mátrixszal való szorzásának művelet eredménye egy rendelési mátrix.

Mátrix szorzása mátrixszal - példák megoldásai.

A mátrixszorzással példákon keresztül fogunk foglalkozni, majd áttérünk a mátrixszorzás műveletének tulajdonságainak felsorolására.

Keresse meg a C mátrix összes elemét, amelyet az és a mátrixok szorzásával kapunk.

Az A mátrix sorrendje p=3 x n=2, a B mátrixé n=2 x=4, tehát ezen mátrixok szorzatának sorrendje p=3 x q=4. Használjuk a képletet

Következetesen felvesszük az i értékeket 1-től 3-ig (mivel p=3) minden j-hez 1-től 4-ig (mivel q=4), és esetünkben n=2, akkor

Tehát a C mátrix minden eleme kiszámításra kerül, és a két adott mátrix szorzásával kapott mátrix alakja a következő.

Végezze el a mátrixszorzást és.

Az eredeti mátrixok sorrendjei lehetővé teszik a szorzási művelet végrehajtását. Ennek eredményeként egy 2-3-as rendű mátrixot kell kapnunk.

Mátrixok és adottak. Határozzuk meg az A és B mátrixok, valamint a B és A mátrixok szorzatát!

Mivel az A mátrix sorrendje 3:1, és a B mátrix 1:3, akkor A? B 3:3, a B és A mátrixok szorzata pedig 1:1 sorrendű lesz.

Amint látod, . Ez a mátrixszorzási művelet egyik tulajdonsága.

A mátrixszorzás műveletének tulajdonságai.

Ha az A, B és C mátrixok megfelelő sorrendűek, akkor a mátrixszorzás műveletének alábbi tulajdonságai érvényesek.

A mátrixszorzás asszociativitási tulajdonsága.

Két eloszlási tulajdonság és.

Általában a mátrixszorzás művelete nem kommutatív.

Az n rendű E identitásmátrix szorzással semleges elem, vagyis az egyenlőség igaz egy tetszőleges p-n-rendű A mátrixra, az egyenlőség pedig egy tetszőleges, n-szeres A mátrixra.

Megjegyzendő, hogy megfelelő sorrend esetén az O nulla mátrix és az A mátrix szorzata nulla mátrixot ad. Az A szorzata O-val is nulla mátrixot ad, ha a sorrendek lehetővé teszik a mátrixszorzás műveletét.

A négyzetmátrixok között vannak úgynevezett permutációs mátrixok, ezekre a szorzási művelet kommutatív, azaz. A permutációs mátrixok példája az azonossági mátrix és bármely más, azonos sorrendű mátrix párja, ahogy ez igaz.

1. tanfolyam felsőbb matematika, tanulunk mátrixokés az alapvető műveletek rajtuk. Itt rendszerezzük a mátrixokkal végrehajtható főbb műveleteket. Hogyan kezdjünk hozzá a mátrixokhoz? Természetesen a legegyszerűbbtől - definícióktól, alapfogalmaktól és legegyszerűbb műveletektől. Biztosítjuk Önöket, hogy a mátrixokat mindenki megérti, aki legalább egy kis időt szentel rájuk!

Mátrix definíció

A Mátrix egy téglalap alakú elemtáblázat. Hát ha egyszerű nyelv- számtáblázat.

A mátrixokat általában latin nagybetűkkel jelölik. Például mátrix A , a Mátrix B stb. A mátrixok különböző méretűek lehetnek: téglalap alakúak, négyzet alakúak, vannak sormátrixok és oszlopmátrixok is, amelyeket vektoroknak nevezünk. A mátrix méretét a sorok és oszlopok száma határozza meg. Például írjunk fel egy téglalap alakú mátrixot m a n , ahol m a sorok száma, és n az oszlopok száma.

Elemek, amelyekhez i=j (a11, a22, .. ) alkotják a mátrix főátlóját, és diagonálisnak nevezzük.

Mit lehet tenni a mátrixokkal? Összeadás/Kivonás, szorozzuk meg egy számmal, szaporodnak egymás között, átültetni. Most a mátrixokkal végzett összes alapvető műveletről sorrendben.

Mátrix összeadás és kivonás műveletek

Azonnal figyelmeztetünk, hogy csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá. Az eredmény egy azonos méretű mátrix. A mátrixok összeadása (vagy kivonása) egyszerű − csak adja hozzá a megfelelő elemeket . Vegyünk egy példát. Végezzünk el két A és B mátrix összeadását, amelyek mérete kettős kettő.

A kivonás analógiával történik, csak ellenkező előjellel.

Bármely mátrix megszorozható tetszőleges számmal. Ezt csináld meg, minden elemét meg kell szorozni ezzel a számmal. Például szorozzuk meg az első példa A mátrixát 5-tel:

Mátrixszorzási művelet

Nem minden mátrix szorozható meg egymással. Például két mátrixunk van - A és B. Csak akkor szorozhatók meg egymással, ha az A mátrix oszlopainak száma megegyezik a B mátrix sorainak számával. a kapott mátrix minden eleme az i-edik sorban és a j-edik oszlopban egyenlő lesz az első tényező i-edik sorában és a második j-edik oszlopában lévő megfelelő elemek szorzatának összegével.. Az algoritmus megértéséhez írjuk fel, hogyan szorozunk két négyzetmátrixot:

És egy példa valós számokkal. Szorozzuk meg a mátrixokat:

Mátrix transzponálási művelet

A mátrixtranszpozíció olyan művelet, amelyben a megfelelő sorokat és oszlopokat felcserélik. Például transzponáljuk az A mátrixot az első példából:

Mátrix meghatározó

A determináns, ó, a determináns, a lineáris algebra egyik alapfogalma. Egyszer az emberek kitalálták lineáris egyenletek, mögöttük pedig egy meghatározót kellett kitalálni. Végül csak rajtad múlik, hogy mindezzel foglalkozz-e, szóval az utolsó lökés!

A determináns egy négyzetmátrix numerikus karakterisztikája, amely számos probléma megoldásához szükséges.
A legegyszerűbb négyzetmátrix determinánsának kiszámításához ki kell számítania a fő- és másodlagos átló elemeinek szorzatai közötti különbséget.

Egy elsőrendű, azaz egy elemből álló mátrix determinánsa egyenlő ezzel az elemmel.

Mi van, ha a mátrix háromszor három? Ez nehezebb, de megoldható.

Egy ilyen mátrixnál a determináns értéke egyenlő a főátló elemei és a főátlóval párhuzamos lapú háromszögeken fekvő elemek szorzatának összegével, amelyből az elemek szorzata a másodlagos átlóból és a másodlagos átlóval párhuzamos lapú háromszögeken fekvő elemek szorzatát kivonjuk.

Szerencsére a gyakorlatban ritkán van szükség nagy mátrixok determinánsainak kiszámítására.

Itt megvizsgáltuk a mátrixokkal kapcsolatos alapvető műveleteket. Természetesen a való életben még csak egy mátrix egyenletrendszerre sem lehet találkozni, vagy fordítva, sokkal több dologgal találkozhat. nehéz esetek amikor tényleg törni kell a fejét. Ilyen esetekre van szakképzett diákszolgálat. Kérjen segítséget, kapjon minőségi és részletes megoldást, élvezze a tanulmányi sikereket és a szabadidőt.

A mátrixokról, tulajdonságaikról és a rajtuk végzett műveletekről szóló bevezető témák áttanulmányozása után gyakorlati tapasztalatokat kell szereznünk a mátrixösszeadás és -kivonás valós példáinak megoldásával. Az elsajátított ismeretek gyakorlati megszilárdítása után lehet majd továbblépni a következő témákra.

Kezdjük el tanulni az egyszerűbb problémákat, fokozatosan térjünk át a bonyolultabbakra. Minden műveletet kommentálunk, és ha szükséges, lábjegyzeteket adunk, amelyek részletesebben ismertetik az egyes átalakításokat.

Miután meghatároztuk ennek a leckének a céljait, térjünk át a gyakorlatra.

Mátrix összeadás példákkal:

1) Adjunk hozzá két mátrixot, és írjuk le az eredményt.

Először is meg kell határozni, hogy van-e megoldás a problémára.

A két mátrix mérete megegyezik, ami azt jelenti, hogy van megoldás.

A mátrix elemeinek hozzáadásával folytatjuk a közvetlen összeadást. A végső megoldás így fog kinézni:

Amint látjuk, ez a példa egyértelműen szemlélteti 2 mátrix összeadását.
Próbáljuk meg egy kicsit bonyolultabbnak tekinteni a problémát az összeadással.

2) Adjunk hozzá 2 "A" és "B" mátrixot

A mátrixok mérete megegyezik, így folytathatja az összeadást.
A kiegészítés eredménye az alábbi képen látható lesz:

3) Adja hozzá az "A" és "B" mátrixokat

Mint korábban, először meghatározzuk a dimenziót. Az "A" és "B" mátrixok mérete megegyezik, folytathatja az összeadásukat.

A mátrix elemeit ugyanúgy adjuk hozzá, mint a fenti példákban.
A bemutatott probléma megoldása így fog kinézni:

4) Adja hozzá a mátrixokat, és írja le a választ.

Először is nézzük meg a méreteket. Látjuk, hogy az "A" mátrix mérete 3 × 2 (3 sor és 2 oszlop), a "B" mátrix mérete pedig 2 × 3, vagyis nem egyenlőek, ezért lehetetlen az "A" és "B" mátrix hozzáadásához.
Válasz: nincs megoldás.

5) Igazolja az egyenlőséget: A+B=B+A!
Azonos méretű mátrixok és így néznek ki:

Először adjuk hozzá az A + B mátrixot, majd a B + A mátrixot, ami után összehasonlítjuk az eredményt.

Amint látjuk, az összeadás eredménye pontosan ugyanaz, azaz. a kifejezések helyeinek permutációjától az összeg értéke nem változik.
Ezzel foglalkoztunk az előző témában, a Mátrix műveleti tulajdonságai részben.

Mátrix kivonás példákkal:

A mátrix kivonás nem olyan egyszerű, mint az összeadás, de nagyon kis mértékben különbözik.
Ahhoz, hogy egy másik mátrixból kivonjunk egy másikat, először is azonos méretűnek kell lenniük, másrészt a kivonást a következő képlet szerint kell végrehajtani: AB = A + (-1) B Hozzá kell adni a második mátrixot az elsőre, amelyet megszorozunk a számmal (-egy).

Nézzük meg ezt részletesebben egy példán keresztül.

6) Keresse meg a különbséget a "C" és "D" mátrixok között

A két mátrix mérete megegyezik, így elkezdheti a kivonást.
Ehhez vonjuk ki a második mátrixot az első mátrixból, amelyet megszorozunk a (-1) számmal. Amint te és én tudjuk, egy szám mátrixszal való megszorzásához minden elemét meg kell szorozni egy adott számmal. Komplett megoldásígy fog kinézni:

Amint ebből a megoldásból is kitűnik, a kivonás ugyanolyan egyszerű művelet, mint a mátrixösszeadás, és csak számtani ismereteket igényel a tanulóktól, így ezeket a feladatokat abszolút minden tanuló meg tudja oldani.

Ezzel a lecke véget is ér, és reméljük, hogy miután elolvasta ezt az anyagot és részletes megoldás bemutatott feladatokat, most könnyedén összeadhat és kivonhat mátrixokat, és ez a téma nagyon egyszerű az Ön számára.