Egy iskolai matematika tantárgyból ismert, hogy a síkon lévő vektor irányított szegmens. Kezdésének és végének két koordinátája van. A vektorkoordináták kiszámítása úgy történik, hogy a kezdőkoordinátákat kivonjuk a végkoordinátákból.

A vektor fogalma n-dimenziós térre is kiterjeszthető (két koordináta helyett n koordináta lesz).

Gradiens A z = f(х 1 , х 2 , …х n) függvény grad z a függvény parciális deriváltjainak vektora a pontban, azaz. vektor koordinátákkal.

Bizonyítható, hogy egy függvény gradiense egy ponton a függvény szintjének leggyorsabb növekedési irányát jellemzi.

Például a z \u003d 2x 1 + x 2 függvénynél (lásd az 5.8. ábrát) a gradiens bármely ponton koordinátákkal rendelkezik (2; 1). Meg lehet építeni repülőn is különböző utak, bármely pontot figyelembe véve a vektor kezdetének. Például összekapcsolhatja a (0; 0) pontot a (2; 1) ponttal, vagy az (1; 0) pontot a (3; 1) ponttal, vagy a (0; 3) pontot a (2; 4) ponttal, vagy t .P. (lásd az 5.8. ábrát). Minden így megszerkesztett vektor koordinátái (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Az 5.8 ábrán jól látható, hogy a függvény szintje a gradiens irányában növekszik, mivel a megszerkesztett szintvonalak a 4 > 3 > 2 szintértékeknek felelnek meg.

5.8. ábra – z \u003d 2x 1 + x 2 színátmenet függvény

Vegyünk egy másik példát - a z = 1/(x 1 x 2) függvényt. Ennek a függvénynek a gradiense már nem lesz mindig ugyanaz a különböző pontokban, mivel koordinátáit a (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2) képletek határozzák meg.

Az 5.9. ábra a z = 1 / (x 1 x 2) függvény szintvonalait mutatja a 2. és 10. szinthez (az 1 / (x 1 x 2) = 2 egyenest szaggatott vonal jelzi, az egyenest pedig
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - folytonos vonal).

5.9 ábra - A z \u003d 1 / (x 1 x 2) függvény gradiensei különböző pontokban

Vegyük például a pontot (0,5; 1), és számítsuk ki a gradienst ennél a pontnál: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Vegye figyelembe, hogy a pont (0,5; 1) az 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 szintvonalon fekszik, mert z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. ábrázoljuk a vektort (-4; -2) az 5.9. ábrán, a (0,5; 1) pontot összekapcsoljuk a (-3,5; -1) ponttal, mert
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Vegyünk egy másik pontot ugyanazon a szintvonalon, például (1; 0,5) pontot (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Számítsa ki a gradienst ezen a ponton
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Az 5.9. ábra ábrázolásához az (1; 0,5) pontot összekapcsoljuk a (-1; -3,5) ponttal, mert (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Vegyünk még egy pontot ugyanazon a szintvonalon, de csak most egy nem pozitív koordinátanegyedben. Például a (-0,5; -1) pont (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). A gradiens ezen a ponton lesz
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Az 5.9. ábrán ábrázoljuk úgy, hogy a (-0,5; -1) pontot összekapcsoljuk a (3,5; 1) ponttal, mert (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

GRADIENS FUNKCIÓ u = f(x, y, z) valamely régióban meghatározott. tér (X Y Z), eszik vektor szimbólumokkal jelölt vetületekkel: grad ahol i, j, k- koordináta vektorok. G. f. - van egy pontfüggvény (x, y, z), azaz vektormezőt alkot. Származékos G. f. irányába. ezen a ponton eléri a maximális értékét, és egyenlő: A gradiens iránya a függvény leggyorsabb növekedésének iránya. G. f. egy adott pontban merőleges az ezen a ponton áthaladó síkfelületre. Használat hatékonysága G. f. kőzettani vizsgálatokban kimutatták az eolikus ex. Közép-Karakum.

Földtani szótár: 2 kötetben. - M.: Nedra. Szerkesztette: K. N. Paffengolts et al.. 1978 .

Nézze meg, mi a "GRADIENS FUNKCIÓ" más szótárakban:

Ez a cikk a matematikai jellemzőről szól; a kitöltési módról lásd: Gradient (számítógépes grafika) ... Wikipédia

- (lat.). A légköri és hőmérős értékek különbsége a különböző területeken. Az orosz nyelvben szereplő idegen szavak szótára. Chudinov A.N., 1910. Gradiens különbség a barométer és a hőmérő leolvasásában ugyanabban a pillanatban ... ... Orosz nyelv idegen szavak szótára

gradiens- Valamely mennyiség egységnyi távolságra eső értékének megváltoztatása adott irányban. A topográfiai gradiens a magasság változása egy mért vízszintes távolságban. Relévédelem EN gradiens a differenciálvédelmi kioldási karakterisztika… Műszaki fordítói kézikönyv

Gradiens- egy vektor, amely a függvény leggyorsabb növekedése felé irányul, és nagysága megegyezik a deriváltjával ebben az irányban: ahol az ei szimbólumok a koordinátatengelyek (orths) egységvektorait jelölik ... Közgazdasági és matematikai szótár

A vektoranalízis és a nemlineáris leképezések elméletének egyik alapfogalma. A vektor argumentum skaláris függvényének gradiense az E n euklideszi térből. az f (t) függvény deriváltja a t vektor argumentumhoz képest, azaz egy n-dimenziós vektor ... ... Matematikai Enciklopédia

élettani gradiens- - k változását tükröző érték vagy egy függvény mutatója egy másik értéktől függően; például a parciális nyomásgradiens a parciális nyomások különbsége, amely meghatározza a gázok diffúzióját az alveolusokból (accinus) a vérbe és a vérből a ... ... Fogalomtár a haszonállatok élettanához

I Gradiens (lat. gradiens, genus gradientis walking) Valamely mennyiség leggyorsabb változásának irányát mutató vektor, amelynek értéke a tér egyik pontjáról a másikra változik (lásd: Mezőelmélet). Ha az érték ...... Nagy szovjet enciklopédia

Gradiens- (lat. gradiens walking, walking szóból) (matematikában) valamely függvény leggyorsabb növekedésének irányát mutató vektor; (a fizikában) a növekedés vagy csökkenés mértéke a térben vagy valamely síkon fizikai mennyiség egységenként ... ... A modern természettudomány kezdetei

Könyvek

• Módszerek a felsőbb matematika kiválasztott szakaszainak egyes feladatainak megoldására. Gyakorlat, Klimenko Konstantin Grigorievich, Levitskaya Galina Vasilievna, Kozlovsky Jevgenyij Alekszandrovics. Ez a műhely az általánosan elfogadott kurzus ilyen szakaszaiból tárgyalja a problémák bizonyos típusainak megoldási módszereit matematikai elemzés, mint egy függvény határértéke és szélsőértéke, gradiens és derivált…

1. definíció

Ha minden egyes $(x,y)$ értékpárhoz két független változó valamelyik tartományból, bizonyos értéket$z$, akkor a $z$ két $(x,y)$ változó függvénye. Jelölés: $z=f(x,y)$.

Tekintsük a $z=f(x,y)$ függvényt, amely az $Oxy$ tér valamely tartományában van definiálva.

Következésképpen,

3. definíció

Ha valamely tartomány három független változójának minden hármasához $(x,y,z)$ van hozzárendelve egy bizonyos $w$ érték, akkor a $w$-t három változó $(x, y,z)$ ezen a területen.

Kijelölés:$w=f(x,y,z)$.

Tekintsük a $w=f(x,y,z)$ függvényt, amely a $Oxyz$ tér valamely tartományában van definiálva.

Mert adott funkciót definiáljon egy vektort, amelyre a koordinátatengelyekre vonatkozó vetületek az adott függvény parciális deriváltjainak értékei egy bizonyos ponton $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)(\ részleges y) $.

4. definíció

Egy adott $w=f(x,y,z)$ függvény gradiense egy $\overrightarrow(gradw) $ vektor a következő formájú:

3. tétel

Legyen egy gradiens mező egy $w=f(x,y,z)$ skaláris mezőben

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

$\frac(\partial w)(\partial s) $ származéka a mögötte lévő irányban adott vektor$\overrightarrow(s)$ egyenlő a $\overrightarrow(gradw)$ gradiensvektornak az adott $\overrightarrow(s)$ vektorra vetítésével.

4. példa

Megoldás:

A gradiens kifejezését a képlet találja meg

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]

Következésképpen,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

5. példa

Határozzuk meg egy adott függvény gradiensét!

a $M(1;2;1)$ pontban. A $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $ kiszámítása.

Megoldás:

Az in gradiens kifejezése adott pont képlet alapján keresse meg

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]

A részleges származékok alakja:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =6z^(2) .\]

Származékok a $M(1;2)$ pontban:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2\cdot 1=2;\frac(\partial w)(\partial y) =4\cdot 2=8;\frac(\partial w)( \partial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

Következésképpen,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overright arrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]

Soroljunk fel néhányat gradiens tulajdonságai:

Egy adott függvény deriváltja egy adott pontban valamilyen $\overrightarrow(s)$ vektor irányában legmagasabb érték ha az adott $\overrightarrow(s)$ vektor iránya megegyezik a gradiens irányával. Ebben az esetben a deriváltnak ez a legnagyobb értéke egybeesik a gradiensvektor hosszával, azaz. $|\overrightarrow(gradw) |$.

Az adott függvény deriváltja a vektor irányához képest, amely merőleges a gradiens vektorra, azaz. $\overrightarrow(gradw) $ egyenlő 0-val. Mivel $\varphi =\frac(\pi )(2) $, akkor $\cos \varphi =0$; ezért $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

Gradiens funkciókat egy vektormennyiség, amelynek megtalálása a függvény parciális deriváltjainak meghatározásához kapcsolódik. A gradiens iránya jelzi a függvény leggyorsabb növekedési útját a skalármező egyik pontjától a másikig.

Utasítás

1. A függvény gradiensével kapcsolatos probléma megoldására módszereket használnak differenciálszámítás, nevezetesen elsőrendű parciális származékok megtalálása három változó vonatkozásában. Feltételezzük, hogy magának a függvénynek és valamennyi parciális deriváltjának van a folytonosság tulajdonsága a függvény tartományában.

2. A gradiens olyan vektor, amelynek iránya az F függvény leggyorsabb növekedésének irányát jelzi. Ehhez a grafikonon kiválasztunk két M0 és M1 pontot, amelyek a vektor végei. A gradiens értéke megegyezik a függvény növekedési sebességével az M0 pontból az M1 pontba.

3. A függvény ennek a vektornak minden pontjában differenciálható, ezért a vektor koordinátatengelyekre vonatkozó vetületei mind parciális deriváltjai. Ekkor a gradiens képlete így néz ki: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, ahol i, j, k az egységvektor koordinátái. Más szóval, egy függvény gradiense egy olyan vektor, amelynek koordinátái a grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z) parciális deriváltjai.

4. Példa 1. Legyen adott az F = sin (x z?) / y függvény. A gradienst a (?/6, 1/4, 1) pontban kell megtalálni.

5. Megoldás: Határozza meg a parciális deriváltokat bármely változóra vonatkozóan: F'_x \u003d 1 / y cos (xz?) z?; F'_y \u003d sin (xz?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Helyettesítsük be a híres pontkoordinátákat: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 = 2? /? 3.

7. Alkalmazza a függvény gradiens képletét: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. 2. példa Határozza meg az F = y arсtg (z / x) függvény gradiensének koordinátáit az (1, 2, 1) pontban!

9. Megoldás. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -yz / (x? (1 + (z/x)?)) = -1; F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4; F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

A skaláris mező gradiens egy vektormennyiség. Így ennek megtalálásához meg kell határozni a megfelelő vektor összes komponensét a skalármező felosztására vonatkozó ismeretek alapján.

Utasítás

1. Olvassa el a tankönyvben felsőbb matematika, amely a skalármező gradiense. Mint tudják, ennek a vektormennyiségnek van egy iránya, amelyet a skalárfüggvény maximális csillapítási sebessége jellemez. Egy adott vektormennyiség ilyen értelmét a komponenseit meghatározó kifejezés indokolja.

2. Ne feledje, hogy minden vektort összetevőinek értékei határoznak meg. A vektorkomponensek valójában ennek a vektornak a vetületei egy vagy másik koordinátatengelyre. Így, ha figyelembe vesszük háromdimenziós tér, akkor a vektornak három összetevőből kell állnia.

3. Írd le, hogyan határozzák meg egy olyan vektor összetevőit, amely valamely mező gradiense. Egy ilyen vektor összes koordinátája egyenlő a skaláris potenciál deriváltjával ahhoz a változóhoz képest, amelynek koordinátáját számítjuk. Vagyis ha ki kell számítani a mező gradiens vektor „X” komponensét, akkor meg kell különböztetni skaláris függvény"x" változóval. Vegye figyelembe, hogy a deriváltnak hányadosnak kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a differenciálás során az abban részt nem vevő többi változót állandónak kell tekinteni.

4. Írjon egy kifejezést a skaláris mezőre! Mint tudják, ez a kifejezés egyenként csak több változó skalárfüggvényét jelenti, amelyek egyben skaláris mennyiségek is. A skalárfüggvény változóinak számát a tér mérete korlátozza.

5. Az egyes változókra vonatkozóan külön differenciálja a skaláris függvényt. Ennek eredményeként három új funkciója lesz. Írjon be tetszőleges függvényt a skalármező gradiensvektorának kifejezésébe. A kapott függvények bármelyike ​​valóban mutatója egy adott koordináta egységvektorának. Így a végső gradiensvektornak polinomnak kell kinéznie, amelynek kitevői egy függvény deriváltjai.

A gradiens ábrázolásával kapcsolatos kérdések mérlegelésekor gyakoribb, hogy mindegyiket skaláris mezőnek tekintjük. Ezért be kell vezetnünk a megfelelő jelölést.

Szükséged lesz

• - bumm;
• - toll.

Utasítás

1. Adjuk meg a függvényt három u=f(x, y, z) argumentummal. Egy függvény parciális deriváltja, például x-hez képest, úgy van definiálva, mint ennek az argumentumnak a deriváltja, amelyet a fennmaradó argumentumok rögzítésével kapunk. A többi érv hasonló. A részleges derivált jelölést a következőképpen írjuk: df / dx \u003d u’x ...

2. A teljes differenciál egyenlő lesz: du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. A parciális deriváltok irányok deriváltjainak tekinthetők koordinátatengelyek. Következésképpen felmerül a kérdés, hogy az M(x, y, z) pontban meg kell-e találni a deriváltot egy adott s vektor irányára vonatkozóan (ne felejtsük el, hogy az s irány egy egységvektor-ort s^o-t ad meg). Ebben az esetben az argumentumok differenciálvektora: (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(béta), dscos(gamma)).

3. Figyelembe véve a kilátást teljes differenciál du, arra a következtetésre juthatunk, hogy a derivált az s irányhoz képest az M pontban: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha)+ ((df/dy) |M)cos (béta) + ((df / dz) | M) cos (gamma). Ha s = s (sx, sy, sz), akkor az irány koszinusz (cos (alfa), cos (béta), cos (gamma)) kiszámítása (lásd 1a. ábra).

4. Az irányderivált definíciója az M pontot változónak tekintve átírható alakba pont termék: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha), cos(béta), cos(gamma)))=(grad u, s^o). Ez a kifejezés objektív lesz skalármezőre. Ha egy egyszerű függvényt tekintünk, akkor a gradf egy olyan vektor, amelynek koordinátái egybeesnek az f(x, y, z) parciális deriváltokkal. gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Itt (i, j, k) a téglalap koordinátatengelyeinek egységvektorai Descartes-rendszer koordináták.

5. Ha a Hamilton Nabla differenciálvektor operátort használjuk, akkor a gradf felírható ennek az operátorvektornak az f skalárral való szorzataként (lásd 1b. ábra). A gradf irányú deriválttal való kapcsolata szempontjából a (gradf, s^o)=0 egyenlőség akkor megengedett, ha ezek a vektorok merőlegesek. Következésképpen a gradf-et gyakran úgy határozzák meg, mint a skaláris mező leggyorsabb metamorfózisának irányát. A differenciálműveletek szempontjából pedig (a gradf is ezek közé tartozik) a gradf tulajdonságai pontosan megismétlik a függvények differenciálódási tulajdonságait. Különösen, ha f=uv, akkor gradf=(vgradu+ugradv).

Kapcsolódó videók

Gradiens ez egy olyan eszköz, amely a grafikus szerkesztőkben kitölti a sziluettet az egyik szín sima átmenetével a másikba. Gradiens sziluettet adhat a hangerőnek, szimulálhatja a világítást, a fény tükröződését egy tárgy felületén, vagy a naplementét a fénykép hátterében. Ezt az eszközt széles körben használják, ezért fényképek feldolgozásához vagy illusztrációk készítéséhez nagyon fontos megtanulni a használatát.

Szükséged lesz

• Számítógép, grafikus szerkesztő Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net vagy más.

Utasítás

1. Nyissa meg a képet a programban, vagy készítsen újat. Készítsen sziluettet, vagy válassza ki a kívánt területet a képen.

2. Kapcsolja be a Gradient eszközt a grafikus szerkesztő eszköztárán. Vigye az egérmutatót a kiválasztott területen vagy sziluetten belüli pontra, ahol a színátmenet 1. színe kezdődik. Kattintson és tartsa lenyomva a bal egérgombot. Vigye a kurzort arra a pontra, ahol a színátmenetnek a végső színre kell váltania. Engedje el a bal egérgombot. A kiválasztott sziluettet színátmenet tölti ki.

3. Gradiens y lehetőség van az átlátszóság, a színek és ezek arányának beállítására egy bizonyos kitöltési ponton. Ehhez nyissa meg a Gradient Edit ablakot. A Photoshop szerkesztőablakának megnyitásához kattintson a színátmenet példájára a Beállítások panelen.

4. A megnyíló ablakban példaként megjelennek az elérhető színátmenet-kitöltési lehetőségek. Az egyik lehetőség szerkesztéséhez jelölje ki azt egy egérkattintással.

5. A színátmenetre egy példa látható az ablak alján, széles skála formájában, csúszkákkal. A csúszkák jelzik azokat a pontokat, ahol a színátmenetnek rendelkeznie kell a megadott leválogatással, és a csúszkák közötti intervallumban a szín egyenletesen vált át az első pontban megadott színről a 2. pont színére.

6. A skála tetején található csúszkák állítják be a gradiens átlátszóságát. Az átlátszóság megváltoztatásához kattintson a kívánt csúszkára. A skála alatt megjelenik egy mező, amelyben adja meg a szükséges átlátszósági fokot százalékban.

7. A skála alján található csúszkák állítják be a színátmenet színeit. Az egyikre kattintva kiválaszthatja a kívánt színt.

8. Gradiens több átmeneti szín is lehet. Másik szín beállításához kattintson egy üres helyre a skála alján. Egy másik csúszka jelenik meg rajta. Állítsa be a kívánt színt hozzá. A skála egy példát jelenít meg egy további pontú gradiensre. A csúszkákat a bal egérgomb segítségével lenyomva mozgathatja a kívánt kombináció elérése érdekében.

9. Gradiens Számos típus létezik, amely formát adhat a lapos sziluetteknek. Tegyük fel, hogy egy körnek golyó alakját adjuk, sugárirányú gradienst alkalmazunk, a kúp alakjának megadásához pedig kúpos gradienst alkalmazunk. A tükrös gradiens segítségével a felület a kidudorodás illúzióját keltheti, a gyémánt gradiens pedig kiemeléseket hozhat létre.

Kapcsolódó videók

Kapcsolódó videók

1 0 A gradiens a normál mentén a vízszintes felületre (vagy sík mező esetén a szintvonalra) irányul.

2 0 A gradiens a növekvő térfüggvény irányába irányul.

3 0 A gradiens modul egyenlő a mező adott pontjában a legnagyobb deriválttal:

Ezek a tulajdonságok a gradiens invariáns karakterisztikáját adják. Azt mondják, hogy a gradU vektor egy adott pontban a skalármező legnagyobb változásának irányát és nagyságát jelzi.

Megjegyzés 2.1. Ha az U(x,y) függvény két változó függvénye, akkor a vektor

az oxi síkban fekszik.

Legyen U=U(x,y,z) és V=V(x,y,z) függvények differenciálhatóak az М 0 (x,y,z) pontban. Ekkor a következő egyenlőségek teljesülnek:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, ahol , U=U()-nak van deriváltja -hoz képest.

2.1. példa. Az U=x 2 +y 2 +z 2 függvény adott. Határozzuk meg a függvény gradiensét az M(-2;3;4) pontban!

Megoldás. A (2.2) képlet szerint megvan

Ennek a skalármezőnek a síkfelületei az x 2 +y 2 +z 2 gömbcsalád, a gradU=(-4;6;8) vektor a síkok normálvektora.

Példa 2.2. Keresse meg az U=x-2y+3z skalármező gradiensét.

Megoldás. A (2.2) képlet szerint megvan

Egy adott skalármező vízszintes felületei a síkok

x-2y+3z=C; a gradU=(1;-2;3) vektor e család síkjainak normálvektora.

2.3. példa. Határozzuk meg az U=x y felület legmeredekebb lejtését az M(2;2;4) pontban!

Megoldás. Nekünk van:

2.4. példa. Keresse meg az U=x 2 +y 2 +z 2 skalármező síkfelületének egységnyi normálvektorát.

Megoldás. Adott skalár szintfelületei Field-sphere x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

A gradienst a normál mentén a sík felületre irányítjuk, így

Meghatározza az M(x,y,z) pontban lévő síkfelület normálvektorát. Egy egységnyi normálvektor esetén megkapjuk a kifejezést

Példa 2.5. Keresse meg az U= térgradienst, ahol és konstans vektorok, r a pont sugárvektora.

Megoldás. Legyen

Azután: . A determináns differenciálódási szabálya szerint azt kapjuk

Következésképpen,

Példa 2.6. Keresse meg a távolság gradienst, ahol P(x,y,z) a vizsgált mező pontja, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) valamilyen fix pont.

Megoldás. Van - egység irányvektorunk .

Példa 2.7. Határozzuk meg a függvények gradiensei közötti szöget az M 0 (1,1) pontban!

Megoldás. Ezeknek a függvényeknek a gradienseit az M 0 (1,1) pontban találjuk meg

; A gradU és gradV közötti szöget az M 0 pontban az egyenlőségből határozzuk meg

Ezért =0.

Példa 2.8. Keresse meg a deriváltot az irányhoz képest, a sugárvektor egyenlő

Megoldás. A függvény gradiensének megkeresése:

Ha (2.5)-et (2.4) behelyettesítünk, azt kapjuk

Példa 2.9. Határozzuk meg az M 0 (1;1;1) pontban az U=xy+yz+xz skalármező legnagyobb változásának irányát és ennek a legnagyobb változásnak a nagyságát ebben a pontban.

Megoldás. A mező legnagyobb változásának irányát a grad U(M) vektor jelzi. Megtaláljuk:

És ezért, . Ez a vektor határozza meg a mező legnagyobb növekedésének irányát az M 0 (1;1;1) pontban. A mező legnagyobb változásának értéke ezen a ponton egyenlő

Példa 3.1. Keressen vektorvonalakat vektor mező ahol egy állandó vektor.

Megoldás. Nekünk így van

Az első tört számlálóját és nevezőjét szorozzuk meg x-szel, a másodikat y-vel, a harmadikat z-vel, és adjuk hozzá tagonként. Az arány tulajdonságot felhasználva azt kapjuk

Ezért xdx+ydy+zdz=0, ami azt jelenti

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Most megszorozzuk az első tört (3.3) számlálóját és nevezőjét c 1-gyel, a másodikat c 2-vel, a harmadikat c 3-mal, és tagonként összegezve azt kapjuk, hogy

Ahonnan c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

És ezért 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 esetén. A 2-konst.

A vektoregyenletek kötelező egyenletei

Ezek az egyenletek azt mutatják, hogy a vektorvonalak az origóban közös középponttal rendelkező gömbök és a vektorra merőleges síkok metszéséből származnak. Ebből következik, hogy a vektoregyenesek olyan körök, amelyek középpontja a c vektor irányában az origón áthaladó egyenesen van. A körök síkjai merőlegesek a megadott egyenesre.

Példa 3.2. Keresse meg az (1,0,0) ponton átmenő mezővektor egyenest!

Megoldás. Differenciál egyenletek vektor vonalak

Ezért van . Az első egyenlet megoldása. Vagy ha bevezetjük a t paramétert, akkor ez lesz. Ebben az esetben az egyenlet a dz=bdt alakot veszi fel, ahonnan z=bt+c 2 .