Jelölve az erőnyomatékot a , és a tengelyekhez képest, felírhatjuk:

ahol , és az erők vetületi moduljai arra a tengelyre merőleges síkra, amelyhez képest a nyomatékot meghatározzák; l - vállak egyenlő hosszúságúak

merőlegesek a tengely és a sík metszéspontjától a vetületig vagy annak folytatásáig; a plusz vagy mínusz jel attól függően kerül elhelyezésre, hogy a váll melyik irányba fordul l a vetítési vektor, ha a vetítési síkot a tengely pozitív irányából nézzük; amikor a vetítési vektor hajlamos a kart az óramutató járásával ellentétes irányba forgatni, megegyezünk abban, hogy a pillanatot pozitívnak tekintjük, és fordítva.

Ennélfogva, tengely körüli erőnyomaték algebrai (skaláris) mennyiségnek nevezzük, amely megegyezik az erőnek a tengelyre merőleges síkra való vetítésének pillanatával, a tengely és a sík metszéspontjához képest.

Az előző ábra a Z tengely körüli erőnyomaték meghatározásának sorrendjét szemlélteti Ha az erő adott és a tengely ki van választva (vagy megadva), akkor: a) a tengelyre merőleges síkot választunk (az XOY síkot) ; b) erre a síkra vetítjük az F erőt, és meghatározzuk ennek a vetületnek a modulját; c) a tengely és a sík metszéspontjának 0 pontjából a vetületre merőleges OS-t leengedjük, és meghatározzuk az l = OS vállát; d) az XOU síkot a Z tengely pozitív iránya felől (vagyis jelen esetben felülről) nézve azt látjuk, hogy az OS-t a vektor az órajel ellenében forgatja, ami azt jelenti, hogy

A tengely körüli erőnyomaték nulla, ha az erő és a tengely egy síkban van: a) az erő metszi a tengelyt (ebben az esetben l = 0);

b) az erő párhuzamos a tengellyel ();

c) az erő a tengely mentén hat l=0 és ).

Önkényesen elhelyezkedő erők térrendszere.

Egyensúlyi állapot

Korábban részletesen leírták az erők egy pontra hozásának folyamatát, és bebizonyosodott, hogy bármely lapos erőrendszer erővé redukálódik - a fővektor és egy pár, amelynek pillanatát főnyomatéknak nevezik, és az erő. és ezzel az erőrendszerrel egyenértékű pár az adott rendszerrel egy síkban hat. Tehát, ha Lényege akkor vektorként ábrázoljuk fő vektorés a fő pont lapos rendszer az erők mindig merőlegesek egymásra.

Hasonlóan érvelve következetesen el lehet jutni a térrendszer erőpontjához. De most a fővektor a térbeli (nem pedig lapos) erőpoligon záróvektora; a főmomentum már nem érhető el ezen erők nyomatékainak a redukciós ponthoz viszonyított algebrai összeadásával. Egy térbeli erőrendszer egy pontjára redukálva a csatolt párok különböző síkban hatnak, nyomatékukat célszerű vektorok formájában ábrázolni és geometriailag összeadni. Ezért a térbeli erőrendszer redukciója eredményeként kapott fővektor ( geometriai összeg rendszer erői) és a főnyomaték (az erőnyomatékok geometriai összege a redukciós ponthoz képest) általában véve nem merőlegesek egymásra.

Vektor egyenlőségek és kifejezni a szükséges és elégséges állapot tetszőlegesen elhelyezkedő erők térbeli rendszerének egyensúlya.

Ha a fővektor egyenlő nullával, akkor három egymásra merőleges tengelyre vonatkozó vetületei is nullával egyenlők. Ha a főnyomaték egyenlő nullával, akkor három összetevője ugyanazon a tengelyen egyenlő nullával.

Ez azt jelenti, hogy egy tetszőleges térbeli erőrendszer statikusan csak akkor határozható meg, ha az ismeretlenek száma nem haladja meg a hatot.

A statika problémái között gyakran előfordulnak olyanok, amelyekben egymással párhuzamos térbeli erőrendszer hat a testre.

NÁL NÉL térrendszer legfeljebb három párhuzamos ismeretlen erő lehet, különben a probléma statikusan határozatlanná válik.

6. fejezet

Kinematikai alapfogalmak

A mechanikának a mozgástanulmányozással foglalkozó ága anyagi testek tömegük és a rájuk ható erők figyelembe vétele nélkül ún kinematika.

Mozgás- az egész anyagi világ fő létformája, béke és egyensúly- különleges esetek.

Minden mozgás, beleértve a mechanikus mozgást is, térben és időben történik.

Minden test anyagi pontokból áll. Ahhoz, hogy helyes képet kapjunk a testek mozgásáról, el kell kezdeni a tanulmányozást egy pont mozgásával. Egy pont mozgását a térben méterben, valamint többszörös (cm, mm) vagy többszörös (km) hosszegységben fejezik ki, az időt - másodpercben. A gyakorlatban vagy élethelyzetekben az időt gyakran percekben vagy órákban fejezik ki. Amikor egy pont egyik vagy másik mozgását figyelembe vesszük, az időt egy bizonyos, előre meghatározott kezdeti pillanattól számítjuk ( t= 0).

Egy mozgó pont pozícióinak lokuszát a vizsgált vonatkoztatási keretben nevezzük röppálya. A pálya típusa szerint egy pont mozgása fel van osztva egyenes vonalúés görbe vonalú. Egy pont pályája definiálható és előre beállítható. Például a pályák mesterséges műholdak A földi és a bolygóközi állomásokat előre kalkulálják, vagy ha buszokkal közlekedünk a városban anyagi pontok, akkor a pályáik (útvonalaik) is ismertek. Ilyen esetekben egy pont helyzetét minden időpillanatban az S távolság (ívkoordináta) határozza meg, azaz. az origónak vett pályaszakasz hossza, néhány rögzített pontjából számolva. A távolságok számlálása a pálya kezdetétől mindkét irányban elvégezhető, ezért az egyirányú számlálást feltételesen pozitívnak tekintjük, és

ellenkezőleg - negatívra , azok. az S távolság algebrai mennyiség. Lehet pozitív (S > 0) vagy negatív (S<0).

Mozgás közben egy pont egy bizonyos ideig elhalad út L , amelyet az út mentén haladási irányban mérünk.

Ha a pont nem az O origótól kezdene el mozogni, hanem egy S o kezdeti távolságból, akkor

Azt a vektormennyiséget, amely egy adott időpillanatban egy pont mozgásának irányát és sebességét jellemzi, nevezzük sebesség.

Egy pont sebessége mozgásának bármely pillanatában érintőlegesen irányul a pályára.

Megjegyzendő, hogy ez a vektoregyenlőség csak az átlagos sebesség pozícióját és modulját jellemzi az idő függvényében:

hol van az időpont által megtett út.

Az átlagsebesség modulusa egyenlő a megtett távolság osztva azzal az idővel, ameddig ezt az utat megtettük.

Az irányváltoztatás sebességét és a sebesség számértékét jellemző vektormennyiséget nevezzük gyorsulás.

Görbevonalú pálya mentén egyenletes mozgásnál a pontnak gyorsulása is van, hiszen ebben az esetben a sebesség iránya is változik.

A gyorsulás mértékegységét általában .

6.2. Egy pont mozgásának meghatározására szolgáló módszerek

Három módja van: természetes, koordináta, vektor.

Egy pont mozgásának megadásának természetes módja. Ha a pálya mellett, amelyen az O origót jelöltük, a függést

S távolság és t idő között ezt az egyenletet nevezzük egy pont adott pálya mentén történő mozgásának törvénye.

Legyen például adott valamilyen pálya, amely mentén egy pont mozgását az egyenlet határozza meg. Majd időnként pl. a pont az O origóban van; egy időpontban a pont távol van ; egy időpontban a pont távol van az O origótól.

A pontmozgás meghatározásának koordinátamódszere. Ha egy pont pályája nem ismert előre, akkor a pont helyzetét a térben három koordináta határozza meg: az X abszcissza, az Y ordináta és a Z applikáció.

Vagy az idő kizárásával.

Ezek az egyenletek kifejezik egy pont mozgásának törvénye egy téglalap alakú koordinátarendszerben (OXYZ).

Az adott esetben, ha a pont egy síkban mozog, a pontmozgás törvényét két egyenlet fejezi ki: vagy .

például. Egy pont mozgását egy síkkoordináta-rendszerben a és ( xés Y– cm, t – c). Majd időben és , azaz. a pont az origóban van; az adott időpontban a pont koordinátái , ; az adott időpontban a pont koordinátái , stb.

Egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy pont mozgástörvényének ismeretében meg lehet határozni pontpályás egyenlet.

Például a t időt a fenti és egyenletekből kivonva megkapjuk a pályaegyenletet. Mint látható, ebben az esetben a pont az origón áthaladó egyenes mentén mozog.

6.3. Egy pont sebességének meghatározása természetes úton
mozgásának feladatait

Hagyja, hogy az A pont egy adott pályán mozogjon az egyenlet szerint, meg kell határozni a pont sebességét a t időpontban.

Egy ideig a pont egy utat járt be , az ezen az úton mért átlagsebesség értékét ún tangens, vagy érintőleges gyorsulás. Tangenciális gyorsulási modulus

,

egyenlő a sebesség adott időpillanatbeli deriváltjával, vagy egyébként az időbeli távolság második deriváltjával, a sebesség értékének változási sebességét jellemzi.

Bebizonyosodott, hogy a vektor bármikor merőleges az érintőre, ezért ún normál gyorsulás.

Ez azt jelenti, hogy a normálgyorsulási modulus arányos a sebesség modulusának adott pillanatban adott második hatványával, fordítottan arányos a pálya görbületi sugarával egy adott pontban, és jellemzi a sebesség irányú változásának mértékét. .

Gyorsító modul

A tengely körüli erőnyomaték az erőnek a tengelyre merőleges síkra való vetületének a nyomatéka a tengely és a sík metszéspontjához képest

A tengely körüli nyomaték pozitív, ha az erő egy, a tengelyre merőleges síkot az óramutató járásával ellentétes irányba forgat, ha a tengely felé nézzük.

A tengely körüli erőnyomaték két esetben 0:

Ha az erő párhuzamos a tengellyel

Ha az erő keresztezi a tengelyt

Ha a hatásvonal és a tengely egy síkban van, akkor a tengely körüli erőnyomaték 0.

27. A tengely körüli erőnyomaték és a pont körüli vektoros erőnyomaték kapcsolata.

Mz(F)=Mo(F)*cosαA tengelyhez viszonyított erőnyomaték egyenlő az erőnyomaték vektorának a tengely pontjához viszonyított vetületével ezen a tengelyen.

28. A statika főtétele az erőrendszer adott középpontba hozataláról (Poinsot-tétel). Az erőrendszer fővektora és főmomentuma.

Általános esetben bármely térbeli erőrendszer helyettesíthető egy olyan ekvivalens rendszerrel, amely a test valamely pontján (redukciós középpontjában) alkalmazott erőből áll, amely egyenlő ennek az erőrendszernek a fővektorával, valamint egy erőpárból, a amelynek pillanata megegyezik az összes erő fő momentumával a kiválasztott hivatkozási központhoz képest.

Az erőrendszer fővektora vektornak nevezzük R egyenlő ezen erők vektorösszegével:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= Fén .

Lapos erőrendszer esetén a fő vektora ezen erők hatássíkjában található.

Az erőrendszer fő mozzanata az O középpontról vektornak nevezzük L O , egyenlő ezen erők O ponthoz viszonyított vektormomentumainak összegével:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( Fén).

Vektor R nem függ az O középpont és a vektor megválasztásától L O a középpont helyzetének megváltoztatásakor O általában változhat.

Poinsot-tétel: Egy tetszőleges térbeli erőrendszer helyettesíthető egy erővel az erőrendszer fővektorával és egy erőpárral a főnyomatékkal anélkül, hogy a merev test állapotát megzavarnánk. A fővektor a merev testre ható erők geometriai összege, és az erők hatássíkjában található. A fővektort a koordinátatengelyekre való vetületein keresztül tekintjük.

Ahhoz, hogy egy merev test bizonyos pontján egy adott középpontra erőket hozzunk, szükséges: 1) az erőt önmagára egy adott középponttal párhuzamosan átvinni anélkül, hogy az erőmodulus megváltozna; 2) egy adott középpontban alkalmazzunk egy olyan erőpárt, amelynek vektormomentuma megegyezik az átvitt erőnek az új középponthoz viszonyított vektormomentumával, ezt a párt csatolt párnak nevezzük.

A fő momentum függése a redukciós középpont megválasztásától. Az új redukciós középponthoz viszonyított főmomentum egyenlő a régi redukciós középponthoz viszonyított főmomentum és az új redukciós középpontot a régivel összekötő sugárvektor vektorszorzatának és a fővektornak a geometriai összegével.

29 A térbeli erőrendszer csökkentésének speciális esetei

	A fővektor és a főmomentum értékei	Szereplés eredménye
		Az erőrendszer egy olyan erőpárra redukálódik, amelynek nyomatéka megegyezik a főnyomatékkal (az erőrendszer főmomentuma nem függ az O redukciós középpont megválasztásától).
		Az erőrendszer olyan eredőre redukálódik, amely megegyezik az O középponton való áthaladással.
		Az erőrendszert a fővektorral egyenlő és vele párhuzamos eredőre redukáljuk, és távolról elválasztjuk. Az eredő hatásvonalának helyzete olyan legyen, hogy nyomatékának O redukciós középpontjához viszonyított iránya egybeessen az O középponthoz viszonyított irányával.
	, és a vektorok nem merőlegesek	Az erőrendszer dinamóvá (erőcsavar) redukálódik - egy erő és egy erőpár kombinációja, amely egy erre az erőre merőleges síkban fekszik.
		A merev testre kifejtett erőrendszer kiegyensúlyozott.

30. Dinamikus csökkentés. A mechanikában dinamónak nevezzük a merev testre ható erők és erőpár () olyan halmazát, amelyben az erő merőleges az erőpár hatássíkjára. Egy pár erő vektornyomatékát felhasználva a dinamót úgy is definiálhatjuk, mint egy olyan erő és egy pár kombinációját, amelynek ereje párhuzamos néhány erő vektornyomatékával.

Központi spirális tengely egyenlete Tegyük fel, hogy az origónak vett redukciós középpontban megkapjuk a fővektort a koordinátatengelyekre vetítésekkel és a főnyomatékot a vetületekkel Ha az erőrendszert az O 1 redukció középpontjába hozzuk (30. ábra) , dinamót kapunk a fővektorral és a főmomentum , Vektorokkal és mint linamot képezve. párhuzamosak, ezért csak k 0 skalártényezővel térhetnek el egymástól. Megvan, mivel .A és főmomentumok kielégítik az összefüggést

A statika egyik alapelemének számító erőpár tulajdonságainak vizsgálata megköveteli a ponthoz viszonyított erőnyomaték fontos fogalmának bevezetését.

Legyen erő hat a testre az A pontban (89. ábra). Kiválasztjuk az O tér tetszőleges pontját (általában a koordináták origóját választjuk erre a pontra), és ebből rajzoljuk ki az erő alkalmazási pontjához tartó sugárvektort.

Az O ponthoz viszonyított vektoros erőnyomatékot szabad vektornak nevezzük, amelyet a keresztszorzat határozza meg

Jelölve azt keresztül mi

A modulo vektor egyenlő a vektorokra épített háromszög területének kétszeresével, és a vektor merőleges a vektorok által meghatározott síkra, így ha ezt a síkot a végétől nézzük, akkor az erő hajlamos elfordulni. a test az O pont körül az óramutató járásával ellentétes irányban. Általában egy vektort egy ponthoz kapcsolódónak tekintünk. Ha az erő nem nulla, akkor a vektormomentum csak akkor nulla, ha az O pont az erő hatásvonalán fekszik. Az SI mértékegységrendszerében egy ponthoz viszonyított erőnyomaték dimenziója az

A vektormomentum definíciójából az következik, hogy nem változik, ha az erőt a hatásvonala mentén mozgatjuk. Valójában ebben az esetben a vektorok által meghatározott sík nem változtatja meg a síkját

helye a térben, és az ezekre a vektorokra épített háromszög területe nem változik (89. ábra).

Ebből a tulajdonságból következik, hogy a vektor egy ponthoz viszonyított pillanatának fogalma szorosan összefügg a csúszóvektor fogalmával.

Algebrai erőnyomaték

Ha egy síkbeli erőrendszert vagy ugyanabban a síkban elhelyezkedő erőket vesszük figyelembe, akkor célszerű bevezetni az algebrai erőnyomaték fogalmát.

A vektormomentum modulja, mint jeleztük, egyenlő a vektorokra épített háromszög területének kétszeresével. Ha a vektorok közötti szög a, akkor

De a munka

az O ponttól az erő hatásvonaláig húzódó merőleges hossza. Az értéket az O ponthoz viszonyított erő vállának nevezzük. Helyezzük a vektorok és a koordinátatengelyek által meghatározott síkra, míg a z tengely erre a síkra merőlegesen fog elhelyezkedni (90. ábra). Az algebrai erőnyomaték az erő vállának és az erőmodulusnak a szorzata

Az algebrai nyomaték előjele plusz lesz, ha a pozitív z tengely mentén elhelyezkedő megfigyelőnél az erő az O pont körül az óramutató járásával ellentétes irányban forog. Ellenkező esetben az algebrai nyomaték előjele negatív lesz.

A tengely körüli erőnyomaték

A pont körüli erőnyomaték fogalma szorosan összefügg a tengely körüli erőnyomaték fogalmával.

A tengely körüli erőnyomaték a tengely egy tetszőleges pontja körüli erőnyomaték tengelyre vetítése.

Ahhoz, hogy ez a definíció értelmet nyerjen, be kell bizonyítani, hogy a tengely két tetszőleges pontjára vonatkoztatva az erőnyomatékok tengelyére eső vetületei egyenlőek.

Ennek bizonyítására rajzoljunk a tengelyre merőleges síkot (91. ábra), és erre a síkra vetítsünk egy vektort.

Jelölje a vektor által a tengellyel bezárt szöget, majd a vektor tengelyhez viszonyított nyomatékát a képlet határozza meg:

Ezért, mivel az érték nem függ az O pont helyzetétől a tengelyen (92. ábra), akkor

Az axiális nyomatékot meghatározó képlet lehetővé teszi egy geometriai szabály felállítását annak kiszámításához. Ez a szabály a következő: rajzoljunk egy síkot a tengelyre merőlegesen, és vetítsünk rá egy vektort

Az e vetület által alkotott háromszög kettős területe és a tengely és a sík metszéspontja határozza meg a tengelyirányú nyomaték nagyságát.

A pillanat előjele akkor lesz pozitív, ha a tengely pozitív iránya mentén elhelyezkedő megfigyelő esetén a vektor vetülete a tengely és a sík metszéspontja körül az óramutató járásával ellentétes irányban forog; ha a vetület az óramutató járásával megegyező irányban forog, akkor a pillanat előjele negatív lesz.

Képletek nyomatékok meghatározására vetületeken keresztül

O pontként, amelyhez képest a csúszóvektor pillanatát számítjuk, általában a koordináták origóját választjuk. Ekkor az erőnyomatékot a koordináták origójában alkalmazzuk, és ennek a tengelyre vetületei a megfelelő tengelynyomatékok lesznek. A definícióból és az axiális nyomaték számításának geometriai szabályából az következik, hogy akkor lesz egyenlő nullával, ha a vektor párhuzamos a tengellyel, vagy a hatásvonala metszi a tengelyt. Ha az erőt a vetületei és az erő alkalmazási pontját meghatározó sugárvektor vetületei (vagy egyszerűen ennek a pontnak a koordinátái) ismerjük, akkor a vektornak az O ponthoz viszonyított nyomatéka és a nyomatékok

a koordinátatengelyekhez viszonyítva, amint az előzőből következik, a következő képlet határozza meg:

Egy erőpár pillanata

A valamely ponthoz (középponthoz) viszonyított erőnyomaték egy vektor, amely számszerűen egyenlő az erőmodulus és a kar szorzatával, azaz. a megadott pont és az erő hatásvonala közötti legrövidebb távolság, amely merőleges a kiválasztott ponton átmenő síkra és az erő hatásvonalára abban az irányban, ahonnan a körüli erő által végrehajtott "forgás" pont az óramutató járásával ellentétes irányban jelenik meg. Az erőnyomaték jellemzi a forgási hatását.

Ha egy O- az a pont, amelyhez képest az erőnyomaték található F, akkor az erőnyomatékot a szimbólum jelöli H o (F). Mutassuk meg, hogy ha az erő alkalmazási pontja F a sugárvektor határozza meg r, akkor a reláció

M o (F) = r × F. (3.6)

Ennek az aránynak megfelelően az erőnyomaték egyenlő a vektor vektorszorzatával r az F vektorhoz.

Valójában a keresztszorzat modulusa az

M o ( F)=RF bűn= Fh, (3.7)

ahol h- az erő karja. Vegye figyelembe azt is, hogy a vektor H o (F) a vektorokon átmenő síkra merőlegesen irányul rés F, abba az irányba, ahonnan a vektor legrövidebb fordulata r a vektor irányába F az óramutató járásával ellentétesnek tűnik. Így a (3.6) képlet teljesen meghatározza az erőnyomaték modulusát és irányát F.

Néha hasznos a (3.7) képletet az űrlapba írni

M o ( F)=2S, (3.8)

ahol S- egy háromszög területe OAB.

Legyen x, y, z az erőkifejtési pont koordinátái, és Fx, Fy, F z a koordinátatengelyekre vonatkozó erővetületek. Aztán ha a lényeg O az origóban található, az erőnyomatékot a következőképpen fejezzük ki:

Ebből következik, hogy az erőnyomaték vetületeit a koordináta tengelyekre a következő képletek határozzák meg:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Vezessük most be az erő síkra vetítésének fogalmát.

Adjon erőt Fés valami repülőgép. Dobjunk erre a síkra merőlegeseket az erővektor elejétől és végétől.

Az erő vetülete síkra hívott vektor , melynek eleje és vége egybeesik az erő kezdetének és végének vetületével ezen a síkon.

Ha a repülőgépet tekintjük a vizsgált síknak nehéz bárka, akkor az erő vetülete F ezen a síkon lesz egy vektor FHU.

A hatalom pillanata FHU ponthoz képest O(a tengely metszéspontjai z repülőgéppel nehéz bárka) kiszámítható a (3.9) képlettel, ha vesszük z=0, F z=0. Kap

MO(FHU)=(xF y -yF x)k.

Így a nyomaték a tengely mentén irányul z, és a tengelyre való vetülete z pontosan egybeesik az erőnyomaték ugyanazon tengelyére való vetületével F ponthoz képest O. Más szavakkal,

M Oz(F)=M Oz(FHU)= xF y -yF x. (3.11)

Nyilvánvalóan ugyanazt az eredményt kaphatjuk az erő kivetítésével F bármely más, vele párhuzamos síkra nehéz bárka. Ebben az esetben a tengely metszéspontja z a síkkal más lesz (az új metszéspontot át jelöljük O egy). Azonban a (3.11) egyenlőség jobb oldalán lévő összes mennyiség x, nál nél, F x, F változatlanok maradnak, ezért írhatunk

M Oz(F)=M O 1 z ( FHU).

Más szavakkal, az erőnyomaték vetülete az ezen a ponton átmenő tengely egy pontjára nem függ a tengely egy pontjának megválasztásától . Ezért a következőkben a szimbólum helyett M Oz(F) szimbólumot fogjuk használni Mz(F). Ezt a pillanatnyi vetületet ún tengely körüli erőnyomaték z. A tengely körüli erő nyomatékának kiszámítása gyakran kényelmesebb erővetítéssel. F tengelyre merőleges síkra, és kiszámítja a mennyiséget Mz(FHU).

A (3.7) képletnek megfelelően és a vetület előjelét figyelembe véve a következőket kapjuk:

Mz(F)=Mz(FHU)=± F xy h*. (3.12)

Itt h*- az erő karja FHU ponthoz képest O. Ha a megfigyelő a z tengely pozitív irányának oldaláról látja, hogy az erő FHU hajlamos a testet egy tengely körül forgatni z az óramutató járásával ellentétes irányban, akkor a "+" jelet veszik, és egyébként - a "-" jelet.

A (3.12) képlet lehetővé teszi a következő szabály megfogalmazását a tengely körüli erőnyomaték kiszámításához. Ehhez szüksége van:

válasszunk ki egy tetszőleges pontot a tengelyen, és készítsünk egy, a tengelyre merőleges síkot;

erőt vetítsünk erre a síkra;

Határozzuk meg a h* erő vetületi karját!

A tengely körüli erőnyomaték egyenlő a vállára ható erővetület moduljának a megfelelő előjellel vett szorzatával (lásd a fenti szabályt).

A (3.12) képletből az következik a tengely körüli erőnyomaték két esetben nulla:

· amikor az erő vetülete a tengelyre merőleges síkra nullával egyenlő, azaz. amikor az erő és a tengely párhuzamos ;

amikor vállvetület h* egyenlő nullával, azaz. amikor a hatásvonal keresztezi a tengelyt .

Mindkét eset kombinálható egybe: a tengely körüli erőnyomaték akkor és csak akkor nulla, ha az erő hatásvonala és a tengely egy síkban van .

Feladat 3.1. Számítsd ki egy ponthoz viszonyítva O a hatalom pillanata F pontra alkalmazva DEés egy oldalsó kocka átlósan irányított lapja a.

Az ilyen feladatok megoldásánál célszerű először az erőnyomatékokat kiszámítani F a koordinátatengelyekhez képest x, y, z. Pont koordinátái DE erő alkalmazása F akarat

Erőkivetítések F a koordináta tengelyeken:

Ezeket az értékeket (3.10) egyenlőségekkel helyettesítve azt találjuk

, , .

Ugyanezek a kifejezések az erő pillanataira F a koordinátatengelyekhez viszonyítva a (3.12) képlet segítségével kaphatjuk meg. Ehhez erőt tervezünk F tengelyére merőleges síkon xés nál nél. Ez nyilvánvaló . A fenti szabályt alkalmazva a várakozásoknak megfelelően ugyanazokat a kifejezéseket kapjuk:

, , .

A nyomaték modulusát az egyenlőség határozza meg

.

Most mutassuk be a pár pillanatának fogalmát. Először nézzük meg, mekkora a párat alkotó erők nyomatékainak összege egy tetszőleges ponthoz viszonyítva. Legyen O egy tetszőleges pont a térben, és Fés F"- párat alkotó erők.

Azután M o (F)= OA × F, M o (F") = OV × F",

M o (F) + M o (F ") = OA × F+ OV × F",

de azóta F= -F", azután

M o (F) + M o (F ") = OA × F- OV × F=(OA-OV)× F.

Figyelembe véve az egyenlőséget OA-OV=VA , végre megtaláljuk:

M o (F) + M o (F ") = VA × F.

Ennélfogva, a párt alkotó erők nyomatékainak összege nem függ annak a pontnak a helyzetétől, amelyhez viszonyítva a nyomatékokat felvesszük .

vektor termék VA × Fés felhívott páros pillanat . A pár pillanatát a szimbólum jelöli M(F, F"), és

M(F, F")=VA × F= AB × F",

vagy röviden,

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Figyelembe véve ennek az egyenlőségnek a jobb oldalát, azt látjuk egy pár nyomatéka a pár síkjára merőleges vektor, abszolút értékében egyenlő a pár egyik erője és a pár karjának modulusának szorzatával (azaz a pár egyenesei közötti legrövidebb távolsággal). a párt alkotó erők hatása), és abba az irányba irányul, ahonnan a pár „forgása” az óramutató járásával ellentétes irányban történik. . Ha egy h akkor a pár válla M(F, F")=h×F.

Magából a definícióból is látható, hogy egy erőpár nyomatéka szabad vektor, amelynek hatásvonala nincs definiálva (a megjegyzés további indoklása a fejezet 2. és 3. tételéből következik).

Ahhoz, hogy egy erőpár kiegyensúlyozott rendszert (nullával egyenértékű erőrendszert) alkosson, szükséges és elegendő, hogy a pár nyomatéka nullával egyenlő legyen. Valóban, ha a pár pillanata nulla, M=h×F, akkor akár F=0, azaz nincs erő, vagy egy pár válla h egyenlő nullával. De ebben az esetben a pár erői egy egyenes vonalban fognak hatni; mivel abszolút értékükben egyenlőek és ellentétes irányúak, akkor az 1. axióma alapján kiegyensúlyozott rendszert alkotnak. Megfordítva, ha két erő F1és F2, amelyek egy párt alkotnak, kiegyensúlyozottak, majd ugyanazon 1. axióma alapján egy egyenes mentén hatnak. De ebben az esetben a pár tőkeáttétele h egyenlő nullával és ezért M=h×F=0.

Pártételek

Bizonyítsunk be három olyan tételt, amelyekkel a párok ekvivalens transzformációja lehetséges. Minden tekintetben emlékezni kell arra, hogy ezek bármely szilárd testen ható párokra vonatkoznak.

1. tétel. Két azonos síkban fekvő pár helyettesíthető egy olyan párral, amely egy síkban fekszik, az adott két pár nyomatékainak összegével egyenlő nyomatékkal.

Ennek a tételnek a bizonyításához tekintsünk két párt ( F1,F" 1) és ( F2,F" 2) és átvisszük az összes erő hatópontját a hatásuk mentén a pontokra DEés NÁL NÉL illetőleg. A 3. axióma szerinti erőket összeadva azt kapjuk

R=F1+F2és R"=F" 1+F" 2,

de F1=-F" 1és F2=-F" 2.

Ennélfogva, R=-R", azaz erő Rés R" alkotnak egy párt. Keressük meg ennek a párnak a pillanatát a (3.13) képlet segítségével:

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F1+F2)=VA× F1+VA× F2. (3.14)

Ha a párat alkotó erők a hatásuk mentén kerülnek átadásra, sem a párok karja, sem forgásiránya nem változik, ezért a pár pillanata sem változik. Eszközök,

VA × F 1 \u003d M(F1,F" 1)=M 1, VA× F 2 \u003d M(F2,F" 2)=M 2

a (3.14) képlet pedig a formát veszi fel

M \u003d M 1 + M 2, (3.15)

ami a fenti tétel érvényességét bizonyítja.

Ehhez a tételhez tegyünk két megjegyzést.

1. A párokat alkotó erők hatásvonalai párhuzamosak lehetnek. A tétel ebben az esetben is érvényben marad, de ennek bizonyításához a párhuzamos erők összeadásának szabályát kell használni.

2. Hozzáadás után kiderülhet, hogy M(R, R")=0; A korábban tett megjegyzés alapján ez azt jelenti, hogy a két pár ( F1,F" 1, F2,F" 2)=0.

2. tétel. Két, geometriailag egyenlő nyomatékú pár egyenértékű.

Engedd rá a testet a síkban én Pár ( F1,F" 1) pillanattal M 1. Mutassuk meg, hogy ez a pár helyettesíthető egy másikkal a ( F2,F" 2) található a síkban II, ha csak a pillanat M 2 egyenlő M 1(a definíció szerint (lásd 1.1) ez azt jelenti, hogy a párok ( F1,F" 1) és ( F2,F" 2) egyenértékűek). Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy a repülőgépek énés II párhuzamosnak kell lenniük, különösen egybeeshetnek. Valóban, a pillanatok párhuzamosságából M 1és M 2(a mi esetünkben M 1=M 2) ebből következik, hogy a párok nyomatékokra merőleges hatássíkjai is párhuzamosak.

Mutassunk be egy új párt ( F3,F" 3) és alkalmazza a párral együtt ( F2,F" 2) a testre, mindkét párt a síkban helyezve II. Ehhez a 2. axióma szerint ki kell választanunk egy párt ( F3,F" 3) pillanattal M 3 hogy az alkalmazott erőrendszer ( F2,F" 2, F3,F" 3) kiegyensúlyozott volt. Ezt megtehetjük például a következőképpen: beállítjuk F3=-F" 1és F" 3 =-F1és kombináljuk ezen erők alkalmazási pontjait a vetületekkel DE 1 és NÁL NÉL 1 pont DEés NÁL NÉL a repülőhöz II. A konstrukciónak megfelelően a következőkkel rendelkezünk: M 3 \u003d -M 1 vagy ezt figyelembe véve M 1 = M 2,

M 2 + M 3 = 0.

Figyelembe véve az előző tétel második megjegyzését, megkapjuk ( F2,F" 2, F3,F" 3)=0. Tehát a párok ( F2,F" 2) és ( F3,F" 3) kölcsönösen kiegyensúlyozottak, és a testhez való kötődésük nem sérti annak állapotát (2. axióma), így

(F1,F" 1)= (F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3). (3.16)

Másrészt erők F1és F3, szintén F" 1és F" 3összeadható az egy irányba irányuló párhuzamos erők összeadásának szabálya szerint. Modulo, ezek az erők egyenlőek egymással, tehát eredőjük Rés R" a téglalap átlóinak metszéspontjában kell alkalmazni ABB 1 DE egy ; ráadásul abszolút értékükben egyenlők és ellentétes irányúak. Ez azt jelenti, hogy nullával egyenértékű rendszert alkotnak. Így,

(F1,F" 1, F3,F" 3)=(R, R")=0.

Most már írhatunk

(F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3)=(F3,F" 3). (3.17)

Összehasonlítva a (3.16) és (3.17) összefüggéseket, megkapjuk ( F1,F" 1)=(F2,F" 2), amit bizonyítani kellett.

Ebből a tételből következik, hogy egy erőpár a hatásának síkjában mozgatható, átvihető egy párhuzamos síkra; végül párban egyszerre változtathatja az erőket és a vállat, csak a pár forgásirányát és lendületi modulusát megtartva ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

A következőkben egy pár ilyen ekvivalens transzformációit fogjuk széles körben felhasználni.

3. tétel. Két egymást metsző síkban fekvő pár egyenértékű egy olyan párral, amelynek nyomatéka egyenlő a két adott pár nyomatékainak összegével.

Hadd párok ( F1,F" 1) és ( F2,F" 2) metsző síkban helyezkednek el énés II illetőleg. A 2. Tétel következményét felhasználva mindkét párt vállra redukáljuk AB a síkok metszésvonalán található énés II. Jelölje a transzformált párokat ( Q1,Q" 1) és ( Q2,Q" 2). Ebben az esetben az egyenlőségeket

M1=M(Q1,Q" 1)=M(F1,F" 1) és M2=M(Q2,Q" 2)=M(F2,F" 2).

Adjuk össze a 3. axióma szerint a pontokban ható erőket DEés NÁL NÉL illetőleg. Akkor kapunk R \u003d Q 1 + Q 2és R" = Q" 1 + Q" 2. Tekintettel arra Q" 1 \u003d -Q 1és Q" 2 \u003d -Q 2, kapunk R=-R". Így bebizonyítottuk, hogy a két pár rendszere ekvivalens egy párral ( R,R").

Találjunk egy pillanatot M ez a pár. A (3.13) képlet alapján megvan

M(R,R")=VA× (Q1+Q2)=VA× Q1+ VA× Q2=

=M(Q1,Q" 1)+M(Q2,Q" 2)=M(F1,F" 1)+M(F2,F" 2)

M \u003d M 1 + M 2,

azok. a tétel bebizonyosodott.

Figyeljük meg, hogy a kapott eredmény párhuzamos síkban fekvő párokra is érvényes. A 2. tétellel az ilyen párok egyetlen síkra redukálhatók, az 1. tétellel pedig egyetlen olyan párral helyettesíthetők, amelynek nyomatéka megegyezik az összetevőpárok nyomatékainak összegével.

A fent bizonyított pártételek egy fontos következtetéshez vezetnek: a pár pillanata szabad vektor, és teljesen meghatározza a pár hatását egy abszolút merev testre . Valóban, már bebizonyítottuk, hogy ha két párnak ugyanazok a nyomatékai (és ezért ugyanabban a síkban vagy párhuzamos síkban helyezkednek el), akkor ekvivalensek egymással (2. tétel). Másrészt két egymást metsző síkban fekvő pár nem lehet ekvivalens, mert ez azt jelentené, hogy az egyik és a másikkal ellentétes pár ekvivalens nullával, ami lehetetlen, mivel az ilyen párok nyomatékainak összege eltérő. nulláról.

Így a bevezetett pár pillanat fogalma rendkívül hasznos, hiszen teljes mértékben tükrözi a pár mechanikus hatását a testre. Ebben az értelemben azt mondhatjuk, hogy a pillanat kimerítően reprezentálja egy párnak a merev testre gyakorolt ​​hatását.

A deformálható testekre a fenti párok elmélete nem alkalmazható. Két ellentétes pár, amelyek például a rúd végein hatnak, egy merev test statikája szempontjából nullával egyenlő. Eközben a deformálható rúdra gyakorolt ​​hatásuk annak csavarodását okozza, és minél több, annál nagyobb a nyomatékok modulja.

Térjünk át a statika első és második feladatának megoldására, amikor is csak erőpárok hatnak a testre.