Elég gyakran tudatában matematikai elemzés a következő megfogalmazással találhat feladatot: "Fedezze fel a funkciót és ábrázolja". Ez a megfogalmazás önmagáért beszél, és a feladatot két szakaszra bontja:
- 1. szakasz: funkciókutatás;
- 2. szakasz: a vizsgált függvény ábrázolása.
Az első szakasz a legterjedelmesebb, és magában foglalja a definíció- és értéktartományok, a függvény szélsőértékeinek, a gráf inflexiós pontjainak stb.
Az ábrázolás célját megelőző $y=f(x)$ függvény kutatásának teljes terve a következő pontokat tartalmazza:
- A $D_(y)$ függvény hatókörének és a függvény $E_(y)$ érvényes értékeinek tartományának megkeresése.
- A függvény típusának meghatározása: páros, páratlan, Általános nézet.
- A függvény grafikonjának a koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak meghatározása.
- A függvénygráf aszimptotáinak megkeresése (függőleges, ferde, vízszintes).
- Függvény monotonitási intervallumainak és szélsőpontjainak keresése.
- Konvexitási intervallumok, a gráf konkávitása és az inflexiós pontok keresése.
A $D_(y) $ függvény tartományának keresése azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az intervallumokat, amelyeken adott funkciót létezik (meghatározott). Ez a feladat általában az ODZ (elfogadható értékek tartománya) megtalálására redukálódik, amely alapján $D_(y) $ keletkezik.
1. példa
Keresse meg a $y=\frac(x)(x-1) $ függvény tartományát.
Keressük meg a vizsgált függvény ODZ-jét, azaz! azon változó értékei, amelyeknél a nevező nem megy nullára.
ODZ: $x-1\ne 0\Jobbra x\ne 1$
Írjuk fel a definíciós tartományt: $D_(y) =\( x\in R|x\ne 1\) $.
1. definíció
A $y=f(x)$ függvény akkor is érvényes, ha a következő $f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_(y) $ egyenlőség teljesül.
2. definíció
A $y=f(x)$ függvény páratlan, ha a következő $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_(y) $ egyenlőség teljesül.
3. definíció
Azt a függvényt, amely se nem páros, se nem páratlan, általános függvénynek nevezzük.
2. példa
Határozza meg a függvények típusát: 1) $y=\frac(x)(x-1) $, 2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $; 3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.
1) $y=\frac(x)(x-1)$
$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, ezért van egy általános függvényünk.
2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $
$f(-x)=f(x)$, ezért van páros függvényünk.
3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.
$f(-x)\ne -f(x)$, ezért van egy páratlan függvényünk.
A függvénygráf koordinátatengelyekkel való metszéspontjainak meghatározása magában foglalja a metszéspontok megtalálását: OX tengellyel ($y=0$), OY tengellyel ($x=0$).
3. példa
Keresse meg a $y=\frac(x+2)(x-1) $ függvény koordinátatengelyeivel való metszéspontokat.
- az OX tengellyel ($y=0$)
$\frac(x+2)(x-1) =0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$; pontot szerez (-2;0)
- OY tengellyel ($x=0$)
$y(0)=\frac(0+2)(0-1) =-2$, megkapjuk a pontot (0;-2)
A függvény vizsgálatának szakaszában kapott eredmények alapján grafikont építünk. Néha az első szakaszban kapott pontok nem elegendőek a függvény ábrázolásához, akkor további pontokat kell találni.
4. példa
Fedezze fel a függvényt, és készítse el a grafikonját: $y=x^(3) -6x^(2) +2x+1$.
- Definíciós tartomány: $D_(y) =\( x|x\in R\) $.
- Tartomány: $E_(y) =\( y|y\in R\) $.
- Páros, páratlan függvények :\ \
Általános funkció, pl. se nem páros, se nem páratlan.
4) Metszéspont koordinátatengelyekkel:
az OY tengellyel: $y(0)=0^(3) -6\cdot 0^(2) +2\cdot 0+1=1$, ezért a gráf a (0;1) ponton halad át.
az OX tengellyel: $x^(3) -6x^(2) +2x+1=0$ ( racionális gyökerei Nem)
5) Grafikon aszimptoták:
Nincsenek függőleges aszimptoták, mivel $D_(y) =\( x|x\in R\) $
A ferde aszimptotákat $y=kx+b$ formában kell keresni.
$k=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(y(x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^ (3) -6x^(2) +2x+1) (x) =\infty $. Ezért nincsenek ferde aszimptoták.
6) Növekvő, csökkenő funkció; szélsőségek:
\ \[\begin(tömb)(l) (y"=0\jobbra 3x^(2) -12x+2=0) \\ (D=144-24=120) \\ (x_(1,2) =\frac(12\pm \sqrt(120) )(6) ) \end(array)\]
Jelöljük a pontokat a számtengelyen, helyezzük el az első derivált előjeleit, és megjegyezzük a függvény viselkedését:
1. kép
A függvény a következővel nő: $\left(-\infty ;\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right]$ és $\left[\frac(12+\sqrt(120) )(6) ; \ infty \right)$, csökken $\left[\frac(12-\sqrt(120) )(6) ;\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right]$.
$x=\frac(12-\sqrt(120) )(6) $ - maximális pont; $y\left(\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right)=1172$
$x=\frac(12+\sqrt(120) )(6) $ - minimum pont; $y\left(\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right)=-23 172 $
7) A grafikon konvexitása, konkávsága:
\ \[\begin(array)(l) (y""=(3x^(2) -12x+2)"=6x-12) \\ (y""=0\Jobbra 6x-12=0\Jobbra x=2) \end(tömb)\]
Jelöljük a pontokat a számtengelyen, helyezzük el a második derivált előjeleit, és megjegyezzük a függvény grafikonjának viselkedését:
2. ábra.
A grafikon konvex felfelé $(-\infty ;2]$, lefelé $
8) Függvénygrafikon:
3. ábra
Egy függvény grafikonjának szinguláris pontokból történő felépítése magában foglalja magának a függvénynek a tanulmányozását: meghatározzuk az argumentum megengedett értékeinek területét, meghatározzuk a függvény változási területét, meghatározzuk, hogy függvény páros vagy páratlan, a függvény töréspontjainak meghatározása, a függvény konstans előjel intervallumainak megtalálása, a függvény grafikonjának aszimptotáinak megtalálása. Az első derivált segítségével meg lehet határozni a függvény növekedési (csökkenési) intervallumait, szélsőpontok jelenlétét. A második derivált segítségével meghatározhatjuk a függvény grafikonjának konvexitási (konkávitási) intervallumait, valamint az inflexiós pontokat. Azt is feltételezzük, hogy ha valamikor xo a függvény grafikonjának érintője a görbe felett van, akkor a függvény grafikonja ezen a ponton konvexitású; ha az érintő a görbe alatt van, akkor a függvény grafikonja ezen a ponton homorú.
y(x) = x³/(x²+3)
1. Funkciókutatás.
a) Az argumentum megengedett értékeinek tartománya: (-∞,+∞).
b) Funkciótartomány: (-∞, +∞).
c) A függvény páratlan, mert y(-x) = -y(x), azok. a függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz képest.
d) A függvény folytonos, nincsenek megszakítási pontok, ezért nincsenek függőleges aszimptoták.
e) A ferde aszimptota egyenlet megtalálása y(x) = k∙x + b, ahol
k = /xÉs b= 
Ebben a példában az aszimptota paraméterek rendre egyenlőek:
k = , mert a számláló és a nevező legmagasabb foka azonos, egyenlő hárommal, és az együtthatók aránya ezeken a legnagyobb hatványokon eggyel egyenlő. x-hez→ + ∞, a határérték kiszámításához a harmadik figyelemre méltó határértéket használtuk.
b = = = 0, az x→-nél lévő határérték kiszámításakor + ∞ használták a harmadik figyelemre méltó határt. Tehát ennek a függvénynek a grafikonja ferde aszimptotával rendelkezik y=x.
2.
y´= /(x²+3)² - a derivált kiszámítása a hányados-differenciálási képlet segítségével történik.
a) Meghatározzuk a derivált nulláit és a szakadási pontokat, a derivált számlálóját és nevezőjét nullával egyenlővé téve: y´=0, ha x=0. Az 1. deriváltnak nincs töréspontja.
b) Határozza meg a derivált állandósági intervallumait, azaz! a függvény monotonitási intervallumai: at -∞
3. Függvény vizsgálata a 2. derivált segítségével.
A hányados differenciálására és az algebrai transzformációk végrehajtására szolgáló képlet segítségével a következőt kapjuk: y´´ = /(x²+3)³
a) Határozzuk meg a 2. derivált nulláit és az állandóság intervallumait: y´´ = 0, ha x=0És x= + 3 . A 2. deriváltnál nincs töréspont.
b) Határozzuk meg a 2. derivált állandósági intervallumait, azaz! a függvénygráf konvexitási vagy konkávsági intervallumai. -∞-nél
Példa: vizsgáljon meg egy függvényt és ábrázolja y(x)=((x-1)²∙(x+1))/x
1.Funkciókutatás.
a) Elfogadható értékek tartománya: (-∞,0)U(0,+∞).
b) Funkciótartomány: (-∞,+∞).
d) Ennek a függvénynek van egy 2. típusú szakadási pontja at x=0.
e) Aszimptoták keresése. Mivel a függvénynek van egy 2. típusú szakadási pontja at x=0, akkor a függvénynek van egy függőleges aszimptotája x=0. Ennek a függvénynek nincsenek ferde vagy vízszintes aszimptotái.
2.Függvény vizsgálata az 1. derivált segítségével.
A függvényt az összes algebrai művelet végrehajtásával transzformáljuk. Ennek eredményeként a függvény formája jelentősen leegyszerűsödik: y(x)=x²-x-1+(1/x). A kifejezések összegéből nagyon egyszerű a deriváltot kivenni, és a következőt kapjuk: y´ = 2x – 1 – (1/x²).
a) Határozza meg az 1. derivált nullapontjait és szakadási pontjait! Közös nevezőre hozzuk az 1. derivált kifejezéseit, és a számlálót, majd a nevezőt nullával egyenlővé téve a következőt kapjuk: y´=0 nál nél x=1, y' - amikor nem létezik x=0.
b) Határozzuk meg a függvény monotonitási intervallumait, azaz! a derivált előjelállandóságának intervallumai. -∞-nél<x<0
És 0
3.
y´´= 2 + 2/x³. A 2. deriválttal meghatározzuk a függvény grafikonjának konvexitási vagy konkávsági intervallumait, és ha vannak, az inflexiós pontokat is. A második derivált kifejezését közös nevezőre hozzuk, majd a számlálót és a nevezőt nullával egyenlővé téve a következőt kapjuk: y´´=0 nál nél x=-1, y''- amikor nem létezik x=0.
-∞-nél
rizs. 4. ábra. öt
Példa: vizsgáljon meg egy függvényt és ábrázolja y(x) = log(x²+4x+5)
1.Funkciókutatás.
a) Az argumentum érvényes értékeinek tartománya: a logaritmikus függvény csak a nullánál szigorúan nagyobb argumentumoknál létezik, ezért x²+4x+5>0 – ez a feltétel az argumentum összes értékére teljesül, pl. O.D.Z. – (-∞, +∞).
b) A függvényváltás tartománya: (0, +∞). A kifejezést a logaritmus előjele alatt alakítjuk át, és a függvényt nullával egyenlővé tesszük: ln((x+2)²+1) =0. Azok. a funkció eltűnik, amikor x=-2. A függvény grafikonja szimmetrikus lesz egy egyenesre x=-2.
c) A függvény folytonos, nincs folytonossági pontja.
d) A függvény grafikonjának nincsenek aszimptotái.
2.Függvény vizsgálata az 1. derivált segítségével.
Egy összetett függvény differenciálási szabályát használva a következőket kapjuk: y´= (2x+4)/(x²+4x+5)
a) Határozza meg a derivált nullapontjait és szakadási pontjait: y´=0, nál nél x=-2. Az első deriváltnak nincsenek töréspontjai.
b) Meghatározzuk a függvény monotonitási intervallumait, azaz. az első derivált állandósági intervallumai: -∞<x<-2
derivált y'<0,
ezért a funkció csökken; -2
3.Függvény vizsgálata a 2. derivált vonatkozásában.
Az első származékot a következő formában ábrázoljuk: y´=2∙(x+2)/(1+(x+2)²). y´´=2∙(1-(x+2)²/(1+(x+2)²)².
a) Határozzuk meg a második derivált állandósági intervallumait! Mivel a 2. derivált nevezője mindig nem negatív, a második derivált előjelét csak a számláló határozza meg. y´´=0 nál nél x=-3És x=-1.
Nál nél -∞
Példa: Fedezzen fel egy függvényt és ábrázolást y(x) = x²/(x+2)²
1.Funkciókutatás.
a) Az argumentum megengedett értékeinek tartománya (-∞, -2)U(-2, +∞).
b) A függvény változási területe ².
a) Határozzuk meg a második derivált nulláit és állandósági intervallumait. Mivel a tört nevezője mindig pozitív, ekkor a második derivált előjelét teljesen a számláló határozza meg. -∞-nél
A függvény teljes tanulmányozásához és grafikonjának ábrázolásához ajánlott a következő sémát használni:
1) keresse meg a funkció hatókörét;
2) keresse meg a függvény és a függőleges aszimptoták megszakadási pontjait (ha vannak);
3) vizsgálja meg a függvény viselkedését a végtelenben, keresse meg a vízszintes és ferde aszimptotákat;
4) vizsgálja meg az egyenletességi (furcsaság) és a periodicitás függvényét (trigonometrikus függvények esetén);
5) találja meg a függvény monotonitásának szélsőségeit és intervallumait;
6) határozza meg a konvexitási és inflexiós pontok intervallumait;
7) találjon metszéspontokat a koordinátatengelyekkel, ha lehetséges, és néhány további pontot, amelyek finomítják a grafikont.
A függvény vizsgálata a grafikonjának felépítésével egyidejűleg történik.
9. példa Fedezze fel a függvényt, és készítsen grafikont.
1. Definíció tartománya: ;
2. A függvény pontokban megszakad 
,
;
Megvizsgáljuk a függőleges aszimptoták jelenlétének függvényét.
;
,
─ függőleges aszimptota.
;
,
─ függőleges aszimptota.
3. Megvizsgáljuk a ferde és vízszintes aszimptoták jelenlétének függvényét.
Egyenes 
─ ferde aszimptota, ha 
,
.
,
.
Egyenes 
─ vízszintes aszimptota.
4. A függvény páros, mert 
. A függvény paritása jelzi a gráf szimmetriáját az y tengelyhez képest.
5. Határozza meg a függvény monotonitásának és szélsőértékének intervallumait!
Keressük meg a kritikus pontokat, pl. pontok, ahol a derivált 0 vagy nem létezik: 
;
. Három pontunk van 
;
. Ezek a pontok a teljes valós tengelyt négy intervallumra osztják. Határozzuk meg a jeleket 
mindegyiken.
A (-∞; -1) és (-1; 0) intervallumokon a függvény növekszik, a (0; 1) és (1; +∞) intervallumokon csökken. Amikor áthalad egy ponton 
a derivált pluszból mínuszra változtatja az előjelet, ezért ezen a ponton a függvénynek maximuma van 
.
6. Keressünk konvexitási intervallumokat, inflexiós pontokat!
Keressük azokat a pontokat, ahol 
0, vagy nem létezik.
nincsenek igazi gyökerei. 
,
,
pontokat 
És 
osztjuk a valós tengelyt három intervallumra. Határozzuk meg a jelet 
minden intervallumban.
Így a görbe az intervallumokon 
És 
lefelé konvex, a (-1;1) intervallumon felfelé konvex; nincsenek inflexiós pontok, mivel a függvény a pontokban 
És 
nem meghatározott.
7. Keresse meg a tengelyekkel való metszéspontokat!
tengellyel 
a függvény grafikonja a (0; -1) pontban és a tengellyel metszi egymást 
a gráf nem metszi egymást, mert ennek a függvénynek a számlálójának nincs valódi gyöke.
Az adott függvény grafikonja az 1. ábrán látható.
1. ábra ─ A függvény grafikonja 
A derivatíva fogalmának alkalmazása a közgazdaságtanban. Funkció rugalmassága
A gazdasági folyamatok tanulmányozására és más alkalmazott problémák megoldására gyakran használják a függvényrugalmasság fogalmát.
Meghatározás. Funkció rugalmassága 
a függvény relatív növekménye arányának határának nevezzük 
a változó relatív növekményéhez 
nál nél 
, . (VII)
Egy függvény rugalmassága azt mutatja meg, hogy hozzávetőlegesen hány százalékkal fog változni a függvény 
a független változó megváltoztatásakor 
1%-kal.
Egy függvény rugalmasságát a kereslet és a fogyasztás elemzésénél használjuk. Ha a kereslet rugalmassága (abszolút értékben) 
, akkor a kereslet rugalmasnak tekinthető, ha 
─ semleges, ha 
─ rugalmatlan az ár (vagy jövedelem) tekintetében.
10. példa Számítsa ki egy függvény rugalmasságát! 
és keresse meg a rugalmassági index értékét 
= 3.
Megoldás: a (VII) képlet szerint a függvény rugalmassága:
Legyen akkor x=3 
Ez azt jelenti, hogy ha a független változó 1%-kal nő, akkor a függő változó értéke 1,42%-kal nő.
11. példa Hagyja, hogy a kereslet működjön 
az árral kapcsolatban 
van formája 
, ahol 
─ állandó együttható. Határozza meg a keresleti függvény rugalmassági indexének értékét x = 3 den áron! egységek
Megoldás: számítsuk ki a keresleti függvény rugalmasságát a (VII) képlet segítségével!
Feltételezve 
pénzegységeket kapunk 
. Ez azt jelenti, hogy az áron 
pénzegység 1%-os áremelés 6%-os keresletcsökkenést okoz, azaz. a kereslet rugalmas.
Resebnik Kuznyecov.
III Grafikonok
7. feladat Végezze el a függvény teljes tanulmányozását, és készítse el a grafikonját!
Mielőtt elkezdené az opciók letöltését, próbálja meg megoldani a problémát a 3. lehetőséghez tartozó alábbi példa szerint. Egyes opciók .rar formátumban vannak archiválva
7.3 Végezze el a függvény teljes tanulmányozását és ábrázolja azt
Megoldás.
1) Hatály: vagy azaz 
.
.
Így: .
2) Nincsenek metszéspontok az Ox tengellyel. Valójában az egyenletnek nincs megoldása.
Nincsenek metszéspontok az Oy tengellyel, mert .
3) A függvény nem páros és nem páratlan. Nincs szimmetria az y tengely körül. Az eredet tekintetében sincs szimmetria. Mivel 
.
Azt látjuk, hogy és .
4) A függvény folyamatos a tartományban
.
; 
. 
; 
.
Ezért az pont a második típusú szakadási pont (végtelen folytonossági hiány).
5) Függőleges aszimptoták:
Keresse meg a ferde aszimptotát . Itt
;
.
Ezért van egy vízszintes aszimptotánk: y=0. Nincsenek ferde aszimptoták.
6) Keresse meg az első származékot. Első származék: 
.
És ezért 
.
Keressünk olyan stacionárius pontokat, ahol a derivált nullával egyenlő, azaz
.
7) Keresse meg a második származékot. Második származék: 
.
És ezt könnyű ellenőrizni, hiszen
Ma arra hívjuk Önt, hogy fedezze fel és rajzoljon meg velünk egy függvénygrafikont. A cikk alapos tanulmányozása után nem kell sokáig izzadnia egy ilyen feladat elvégzéséhez. Egy függvény feltárása, grafikonjának felépítése nem egyszerű, a munka terjedelmes, maximális odafigyelést és számítási pontosságot igényel. Az anyag észlelésének megkönnyítése érdekében fokozatosan tanulmányozzuk ugyanazt a funkciót, elmagyarázzuk minden tevékenységünket és számításunkat. Üdvözöljük a matematika csodálatos és lenyűgöző világában! Megy!
Tartomány
Egy függvény feltérképezéséhez és grafikonjának ábrázolásához ismernie kell néhány definíciót. A függvény a matematika egyik alap (alap)fogalma. Több változó (kettő, három vagy több) közötti függést tükrözi változásokkal. A függvény a halmazok függését is mutatja.
Képzeljük el, hogy két olyan változónk van, amelyeknek bizonyos változási tartománya van. Tehát y x függvénye, feltéve, hogy a második változó minden értéke a második egy értékének felel meg. Ebben az esetben az y változó függő, és függvénynek nevezzük. Szokásos azt mondani, hogy az x és y változók ben vannak. Ennek a függőségnek a jobb érthetősége érdekében elkészítjük a függvény grafikonját. Mi az a függvénygráf? Ez a koordinátasíkon lévő pontok halmaza, ahol minden x értéke y egy értékének felel meg. A grafikonok különbözőek lehetnek - egyenes vonal, hiperbola, parabola, szinuszos és így tovább.
Egy függvénygráfot nem lehet feltárás nélkül ábrázolni. Ma megtanuljuk, hogyan végezzünk kutatást és rajzoljunk függvénygrafikont. Nagyon fontos a jegyzetelés a tanulmányozás során. Így sokkal könnyebb lesz megbirkózni a feladattal. A legkényelmesebb tanulmányi terv:
- Tartomány.
- Folytonosság.
- Páros vagy páratlan.
- Periodikaság.
- Aszimptoták.
- Nullák.
- Állandóság.
- Emelkedő és csökkenő.
- Extrémek.
- Konvexitás és homorúság.
Kezdjük az első ponttal. Keressük meg a definíciós tartományt, vagyis azt, hogy milyen intervallumokon létezik a függvényünk: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Esetünkben a függvény létezik x tetszőleges értékére, vagyis a definíciós tartomány R. Ezt xОR-ként írhatjuk fel.
Folytonosság
Most a folytonossági függvényt vizsgáljuk meg. A matematikában a „folytonosság” kifejezés a mozgástörvények tanulmányozása eredményeként jelent meg. Mi a végtelen? Tér, idő, néhány függőség (például az S és t változók függése mozgási problémákban), a felmelegített tárgy hőmérséklete (víz, serpenyő, hőmérő stb.), egy folytonos vonal (azaz egy amely anélkül rajzolható meg, hogy levenné a ceruzáról).
Egy gráfot akkor tekintünk folytonosnak, ha egy ponton nem szakad meg. Az ilyen gráfok egyik legszembetűnőbb példája a szinuszhullám, amelyet az ebben a részben lévő képen láthat. A függvény egy x0 ponton folytonos, ha több feltétel teljesül:
- egy függvény egy adott pontban van definiálva;
- a jobb és a bal határ egy pontban egyenlő;
- a határérték egyenlő a függvény értékével az x0 pontban.
Ha legalább egy feltétel nem teljesül, a függvény megszakad. És azokat a pontokat, ahol a függvény megszakad, töréspontoknak nevezzük. Példa egy függvényre, amely grafikus megjelenítéskor „megszakad”: y=(x+4)/(x-3). Ráadásul y nem létezik az x = 3 pontban (mivel lehetetlen nullával osztani).
Az általunk vizsgált függvényben (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) minden egyszerűnek bizonyult, mivel a grafikon folyamatos lesz.
Páros Páratlan
Most vizsgáljuk meg a paritás függvényét. Kezdjük egy kis elmélettel. A páros függvény olyan függvény, amely az x változó bármely értékére (az értéktartományból) teljesíti az f (-x) = f (x) feltételt. Példák:
- x modul (a gráf úgy néz ki, mint egy bukó, a gráf első és második negyedének felezője);
- x négyzet (parabola);
- koszinusz x (koszinusz hullám).
Vegye figyelembe, hogy ezek a grafikonok az y tengelyhez képest szimmetrikusak.
Mit nevezünk akkor páratlan függvénynek? Ezek azok a függvények, amelyek teljesítik a feltételt: f (-x) \u003d - f (x) az x változó bármely értékére. Példák:
- hiperbola;
- köbös parabola;
- sinusoid;
- érintő és így tovább.
Vegye figyelembe, hogy ezek a függvények szimmetrikusak a pontra (0:0), vagyis az origóra. A cikk e részében elmondottak alapján a páros és páratlan függvénynek rendelkeznie kell a következő tulajdonsággal: x a definícióhalmazhoz tartozik és -x is.
Vizsgáljuk meg a paritás függvényét. Láthatjuk, hogy egyik leírásnak sem felel meg. Ezért a függvényünk se nem páros, se nem páratlan.
Aszimptoták
Kezdjük egy meghatározással. Az aszimptota olyan görbe, amely a lehető legközelebb van a grafikonhoz, vagyis a távolság egy ponttól nullára hajlik. Háromféle aszimptota létezik:
- függőleges, azaz párhuzamos az y tengellyel;
- vízszintes, azaz párhuzamos az x tengellyel;
- ferde.
Ami az első típust illeti, ezeket a sorokat néhány ponton meg kell keresni:
- rés;
- a tartomány végeit.
Esetünkben a függvény folytonos, a definíciós tartomány pedig R. Ezért nincsenek függőleges aszimptoták.
Egy függvény grafikonjának vízszintes aszimptotája van, amely megfelel a következő követelménynek: ha x a végtelenbe vagy mínusz végtelenbe hajlik, és a határérték egy bizonyos számmal (például a) egyenlő. Ebben az esetben y=a a vízszintes aszimptota. Az általunk vizsgált függvényben nincsenek horizontális aszimptoták.
Ferde aszimptota csak akkor létezik, ha két feltétel teljesül:
- lim(f(x))/x=k;
- lim f(x)-kx=b.
Ekkor a következő képlettel lehet megtalálni: y=kx+b. Ismétlem, esetünkben nincsenek ferde aszimptoták.
Funkció nullák
A következő lépés a függvény grafikonjának vizsgálata nullákra. Nagyon fontos megjegyezni azt is, hogy a függvény nulláinak megtalálásával járó feladat nemcsak a függvénygráf tanulmányozása és ábrázolása során, hanem önálló feladatként, illetve az egyenlőtlenségek megoldásának módjaként is előfordul. Előfordulhat, hogy meg kell találnia egy függvény nulláját egy grafikonon, vagy matematikai jelölést kell használnia.
Ezen értékek megtalálása segít a függvény pontosabb ábrázolásában. Egyszerűen fogalmazva, a függvény nullája az x változó értéke, amelynél y \u003d 0. Ha egy függvény nulláit keresi egy grafikonon, akkor ügyeljen azokra a pontokra, ahol a gráf metszi az x tengellyel.
A függvény nulláinak megtalálásához a következő egyenletet kell megoldani: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. A szükséges számítások elvégzése után a következő választ kapjuk:
jel állandóság
A függvény (grafika) tanulmányozásának és felépítésének következő lépése az előjelállandóság intervallumainak megtalálása. Ez azt jelenti, hogy meg kell határoznunk, hogy a függvény mely intervallumokon vesz fel pozitív, és melyik intervallumokon negatív értéket. Az előző részben található függvények nullái segítenek ebben. Tehát fel kell építenünk egy egyenest (a grafikontól külön), és el kell osztanunk rajta a függvény nulláit a megfelelő sorrendben a legkisebbtől a legnagyobbig. Most meg kell határoznia, hogy a kapott intervallumok közül melyiknek van „+” jele, és melyiknek „-”.
Esetünkben a függvény pozitív értéket vesz fel az intervallumokon:
- 1-től 4-ig;
- 9-től a végtelenig.
Negatív jelentése:
- mínusz végtelentől 1-ig;
- 4-től 9-ig.
Ezt meglehetősen könnyű meghatározni. Helyettesíts be tetszőleges számot az intervallumból a függvénybe, és nézd meg, milyen előjel a válasz (mínusz vagy plusz).
Funkció Növekvő és Csökkenő
Egy függvény feltárásához és felépítéséhez meg kell találnunk, hogy a grafikon hol növekszik (az Oy-n felfelé megy), és hol esik (lefelé kúszik az y tengely mentén).
A függvény csak akkor növekszik, ha az x változó nagyobb értéke y nagyobb értékének felel meg. Vagyis x2 nagyobb, mint x1, és f(x2) nagyobb, mint f(x1). És egy teljesen ellentétes jelenséget figyelünk meg egy csökkenő függvényben (minél több x, annál kevesebb y). A növekedés és csökkenés intervallumának meghatározásához meg kell találnia a következőket:
- terjedelem (már megvan);
- származéka (esetünkben: 1/3(3x^2-28x+49);
- oldja meg az 1/3(3x^2-28x+49)=0 egyenletet.
A számítások után a következő eredményt kapjuk:
Azt kapjuk, hogy a függvény mínusz végtelenről 7/3-ra és 7-ről végtelenre növekszik, 7/3-ról 7-re csökken.
Extrémek
A vizsgált y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) függvény folytonos, és az x változó bármely értékére létezik. A szélsőpont ennek a függvénynek a maximumát és minimumát mutatja. Esetünkben ilyenek nincsenek, ami nagyban leegyszerűsíti az építési feladatot. Egyébként a derivált függvény használatával is megtalálhatók. Miután megtalálta, ne felejtse el megjelölni őket a diagramon.
Konvexitás és homorúság
Folytatjuk az y(x) függvény tanulmányozását. Most ellenőriznünk kell a konvexitást és a homorúságot. E fogalmak definíciói meglehetősen nehezen érzékelhetők, jobb mindent példákkal elemezni. A teszthez: egy függvény konvex, ha nem csökkenő függvény. Egyetértek, ez érthetetlen!
Meg kell találnunk a másodrendű függvény deriváltját. A következőt kapjuk: y=1/3(6x-28). Most egyenlővé tesszük a jobb oldalt a nullával, és megoldjuk az egyenletet. Válasz: x=14/3. Megtaláltuk az inflexiós pontot, vagyis azt a helyet, ahol a gráf konvexről konkávra változik, vagy fordítva. A mínusz végtelentől a 14/3-ig terjedő intervallumban a függvény konvex, a 14/3-tól a plusz végtelenig pedig konkáv. Nagyon fontos megjegyezni azt is, hogy a grafikonon az inflexiós pont legyen sima és lágy, ne legyenek éles sarkok.
További pontok meghatározása
Feladatunk a függvénygráf feltárása és ábrázolása. A tanulmányt befejeztük, most nem lesz nehéz a függvényt ábrázolni. A koordinátasíkon egy görbe vagy egyenes pontosabb és részletesebb reprodukálásához több segédpont is található. Elég könnyű kiszámolni őket. Például vegyük x=3-at, oldjuk meg a kapott egyenletet, és keressük meg y=4-et. Vagy x=5 és y=-5 és így tovább. Annyi további pontot vehet fel, amennyire szüksége van az építkezéshez. Ezek közül legalább 3-5 megtalálható.
Ábrázolás
Meg kellett vizsgálnunk az (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y függvényt. A számítások során minden szükséges jelölés a koordinátasíkon megtörtént. Már csak egy gráfot kell felépíteni, vagyis az összes pontot összekapcsolni egymással. A pontok összekapcsolása zökkenőmentes és pontos, ez ügyesség kérdése - egy kis gyakorlás és az időbeosztása tökéletes lesz.