Inverz függvény definíciója és tulajdonságai: lemma a direkt és inverz függvények kölcsönös monotonitásáról; direkt és inverz függvények gráfjainak szimmetriája; tételek az inverz függvény létezéséről és folytonosságáról egy szegmensen, intervallumon és félintervallumon szigorúan monoton függvényre. Példák inverz függvényekre. Példa a probléma megoldására. Tulajdonságok és tételek bizonyítása.

Tartalom

Lásd még: Függvény definíciója, felső és alsó korlát, monoton függvény.

Definíció és tulajdonságok

Az inverz függvény definíciója
Legyen a függvénynek egy X tartománya és egy Y értékkészlete. És legyen tulajdona:
mindenkinek .
Ekkor az Y halmaz bármely eleméhez az X halmaznak csak egy eleme társítható, amelyhez . Ez a megfeleltetés egy ún. függvényt határoz meg inverz függvény nak nek . Az inverz függvényt a következőképpen jelöljük:
.

A meghatározásból az következik
;
mindenkinek ;
mindenkinek .

Közvetlen és inverz függvények gráfjainak szimmetriájára vonatkozó tulajdonság
A direkt és inverz függvények grafikonjai szimmetrikusak az egyeneshez képest.

Tétel az inverz függvény létezéséről és folytonosságáról egy szakaszon
Legyen a függvény folyamatos és szigorúan növekvő (csökkenő) az intervallumon. Ekkor az intervallumon az inverz függvény definiált és folyamatos, ami szigorúan növekvő (csökkenő).

A funkció növeléséhez. Az ereszkedéshez - .

Tétel az inverz függvény létezéséről és folytonosságáról egy intervallumon
Legyen a függvény folyamatos és szigorúan növekvő (csökkenő) egy nyitott véges vagy végtelen intervallumon. Ekkor a szigorúan növekvő (csökkenő) intervallumon az inverz függvény definiálva és folyamatos.

A funkció növeléséhez.
Az ereszkedéshez: .

Hasonló módon fogalmazhatunk meg egy tételt egy inverz függvény létezéséről és folytonosságáról egy fél intervallumon.

Ha a függvény folyamatos és a félintervallumon szigorúan növekszik (csökken), akkor a félintervallumon vagy az inverz függvény definiálva van, amely szigorúan növekszik (csökken). Itt .

Ha szigorúan növekszik, akkor a és az intervallumok megfelelnek a és az intervallumoknak. Ha szigorúan csökken, akkor a és az intervallumok megfelelnek a és az intervallumoknak.
Ezt a tételt ugyanúgy bizonyítjuk, mint az inverz függvény intervallumon való létezésére és folytonosságára vonatkozó tételt.

Példák inverz függvényekre

Arcsine

Telkek y= bűn xés inverz függvény y = arcsin x.

Tekintsük a trigonometrikus függvényt sinus: . Meghatározott és folytonos az argumentum összes értékére, de nem monoton. Ha azonban szűkítjük a definíciós tartományt, akkor monoton szakaszok különíthetők el. Tehát a szegmensen a függvény definiált, folyamatos, szigorúan növekvő és innen vett értékeket -1 előtt +1 . Ezért van rajta egy inverz függvény, amit arcszinusznak neveznek. Az arcszinusznak van egy definíciós tartománya és egy értékkészlete.

Logaritmus

Telkek y= 2 xés inverz függvény y = napló 2 x.

Exponenciális függvény definiált, folyamatos és szigorúan növekvő az argumentum összes értékére. Értékeinek halmaza egy nyitott intervallum. Az inverz függvény a kétbázisú logaritmus. Van egy hatóköre és egy értékkészlete.

Négyzetgyök

Telkek y=x 2 és inverz függvény.

Teljesítmény funkció mindenki számára meghatározott és folyamatos. Értékeinek halmaza egy félintervallum. De ez nem monoton az érvelés minden értékénél. A félintervallumon azonban folyamatos és szigorúan monoton növekvő. Ezért, ha tartományként a halmazt vesszük, akkor van egy inverz függvény, amelyet hívunk négyzetgyök. Az inverz függvénynek van egy definíciós tartománya és egy értékkészlete.

Példa. Az n fokú gyök létezésének és egyediségének bizonyítása

Bizonyítsuk be, hogy az egyenlet, ahol n természetes, valós nem negatív szám, egyedi megoldása van a készleten valós számok, . Ezt a megoldást a n-edik gyökének nevezzük. Vagyis meg kell mutatnia, hogy minden nem negatív számnak van egyedi n fokú gyöke.

Tekintsük az x változó függvényét:
(P1) .

Bizonyítsuk be, hogy folytonos.
A folytonosság definíciójával megmutatjuk, hogy
.
Newton binomiális képletét alkalmazzuk:
(P2)
.
Alkalmazzuk a függvény határértékeinek aritmetikai tulajdonságait. Mivel , akkor csak az első tag nem nulla:
.
A folytonosság bebizonyosodott.

Bizonyítsuk be, hogy a (P1) függvény szigorúan növekszik, mint .
Vegyünk tetszőleges számokat, amelyeket egyenlőtlenségek kötnek össze:
, , .
Ezt meg kell mutatnunk. Vezessünk be változókat. Azután . Mivel az (A2)-ből látható, hogy . Vagy
.
Szigorú növekedés bizonyított.

Keresse meg a függvény értékkészletét.
Azon a ponton , .
Találjuk meg a határt.
Ehhez alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlőtlenséget. Amikor nálunk van:
.
Azóta és .
A végtelen nagy függvények egyenlőtlenségeinek tulajdonságát alkalmazva azt kapjuk, hogy .
Ily módon, , .

Az inverz függvény tétele szerint egy inverz függvény definiált és folytonos egy intervallumon. Ez azt jelenti, hogy bármelyikhez létezik egy egyedi, amely kielégíti az egyenletet. Mivel van , ez azt jelenti, hogy bármelyik esetén az egyenletnek egyedi megoldása van, amelyet az x számból származó n fok gyökének nevezünk:
.

Tulajdonságok és tételek bizonyítása

A direkt és inverz függvények kölcsönös monotonitására vonatkozó lemma bizonyítása

Legyen a függvénynek egy X tartománya és egy Y értékkészlete. Bizonyítsuk be, hogy van inverz függvénye. alapján ezt bizonyítanunk kell
mindenkinek .

Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyenek számok, szóval. Hagyjuk egyszerre. Ellenkező esetben megváltoztatjuk a jelölést úgy, hogy az . Ekkor f szigorú monotonitása miatt az egyik egyenlőtlenségnek teljesülnie kell:
ha f szigorúan növekvő;
ha f szigorúan csökkenő.
azaz Volt egy ellentmondás. Ezért van egy inverz függvénye.

Legyen a függvény szigorúan növekvő. Bizonyítsuk be, hogy az inverz függvény is szigorúan növekszik. Bemutatjuk a jelölést:
. Vagyis bizonyítanunk kell, hogy ha , akkor .

Tegyük fel az ellenkezőjét. Hadd , de .

Ha akkor . Ez az ügy lezárult.

Legyen . Ekkor a , vagy a függvény szigorú növelése miatt. Volt egy ellentmondás. Ezért csak az eset lehetséges.

A lemma szigorúan növekvő függvényre bizonyított. Ez a lemma hasonló módon igazolható szigorúan csökkenő függvényre.

Közvetlen és inverz függvények gráfjainak szimmetriájára vonatkozó tulajdonság bizonyítása

Legyen a közvetlen függvénygráf tetszőleges pontja:
(2.1) .
Mutassuk meg, hogy a pont, amely szimmetrikus az A pontra az egyenesre nézve, az inverz függvény grafikonjához tartozik:
.
Az inverz függvény definíciójából az következik, hogy
(2.2) .
Így meg kell mutatnunk (2.2).

Az y = f inverz függvény grafikonja -1(x) szimmetrikus az y = f közvetlen függvény grafikonjára (x) az y = x egyeneshez képest.

Az A és S pontokból merőlegeseket ejtünk a koordinátatengelyekre. Azután
, .

Az A ponton keresztül az egyenesre merőleges egyenest húzunk. Az egyenesek a C pontban metsszék egymást. Megszerkesztünk egy S pontot az egyenesen úgy, hogy . Ekkor az S pont szimmetrikus lesz az A pontra az egyeneshez képest.

Tekintsük háromszögek és . Két oldaluk egyenlő hosszúságú: és , és egyenlő szögek közöttük: . Ezért egybevágóak. Azután
.

Tekintsünk egy háromszöget. Mert akkor
.
Ugyanez vonatkozik a háromszögre is:
.
Azután
.

Most találjuk:
;
.

Tehát a (2.2) egyenlet:
(2.2)
teljesül, mert , és (2.1) teljesül:
(2.1) .

Mivel az A pontot önkényesen választottuk, ez a gráf minden pontjára vonatkozik:
a függvény grafikonjának az egyenesre szimmetrikusan tükröződő összes pontja az inverz függvény grafikonjához tartozik.
Aztán helyet cserélhetünk. Ennek eredményeként azt kapjuk
a függvény grafikonjának az egyenesre szimmetrikusan tükröződő összes pontja a függvény grafikonjához tartozik.
Ebből következik, hogy a és függvények grafikonjai szimmetrikusak az egyeneshez képest.

Az ingatlan bizonyított.

Az intervallumon lévő inverz függvény létezésére és folytonosságára vonatkozó tétel bizonyítása

Let jelöli a függvény definíciós tartományát - a szegmenst.

1. Mutassuk meg, hogy a függvényértékek halmaza a következő intervallum:
,
ahol .

Valójában, mivel a függvény folytonos a szakaszon, akkor a Weierstrass-tétel szerint azon éri el minimumát és maximumát. Ezután a Bolzano-Cauchy-tétel szerint a függvény az összes értéket a szegmensből veszi. Vagyis bármely létezik, amelyre . Mivel van minimum és maximum, a függvény csak a szegmensértékeket veszi át a halmazból.

2. Mivel a függvény szigorúan monoton, így a fentiek szerint van egy inverz függvény, amely szintén szigorúan monoton (növekszik, ha nő, és csökken, ha csökken). Az inverz függvény tartománya a halmaz, az értékek halmaza pedig a halmaz.

3. Most bebizonyítjuk, hogy az inverz függvény folytonos.

3.1. Legyen a szakasz tetszőleges belső pontja: . Bizonyítsuk be, hogy az inverz függvény ezen a ponton folytonos.

Hadd feleljen meg a lényegnek. Mivel az inverz függvény szigorúan monoton, vagyis a szegmens belső pontja:
.
A folytonosság definíciója szerint bizonyítanunk kell, hogy bármelyik esetén létezik olyan függvény, hogy
(3.1) mindenkinek .

Vegye figyelembe, hogy tetszőlegesen kicsit vehetünk. Valójában, ha találtunk egy olyan függvényt, amelynél a (3.1) egyenlőtlenségek teljesülnek a kellően kis értékre, akkor automatikusan teljesülnek minden nagy értékre, ha beállítjuk a -t.

Vegyük olyan kicsire, hogy a és pontok a szegmenshez tartoznak:
.
Vezessük be és rendezzük el a jelölést:



.

Átalakítjuk az első egyenlőtlenséget (3.1):
(3.1) mindenkinek .
;
;
;
(3.2) .
Mivel szigorúan monoton, ebből az következik
(3.3.1) , ha növekszik;
(3.3.2) ha csökken.
Mivel az inverz függvény is szigorúan monoton, a (3.3) egyenlőtlenségek (3.2) egyenlőtlenségeket jelentenek.

Bármely ε esetén > 0 létezik δ, tehát |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε minden |y - y 0 | < δ .

Az egyenlőtlenségek (3.3) olyan nyitott intervallumot határoznak meg, amelynek végeit a ponttól távolságok választják el. Legyen ezek közül a távolságok közül a legkisebb:
.
A , , szigorú monotonitása miatt. Ezért . Ekkor az intervallum a (3.3) egyenlőtlenségek által meghatározott intervallumban lesz. És minden hozzá tartozó értékre a (3.2) egyenlőtlenségek teljesülnek.

Tehát azt találtuk, hogy a kellően kicsi , létezik , így
nál nél .
Most változtassuk meg a jelölést.
Elég kicsi számára létezik ilyen
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy az inverz függvény a belső pontokon folytonos.

3.2. Most nézzük meg a definíciós tartomány végeit. Itt minden érv ugyanaz marad. Ezeknek a pontoknak csak az egyoldalú szomszédságait kell figyelembe venni. Pont helyett vagy lesz, pont helyett pedig - vagy .

Tehát egy növekvő függvényhez .
nál nél .
Az inverz függvény folytonos -nél, mert minden elég kicsire van , így
nál nél .

Csökkenő függvényhez .
Az inverz függvény folytonos -nél, mert minden elég kicsire van , így
nál nél .
Az inverz függvény folytonos -nél, mert minden elég kicsire van , így
nál nél .

A tétel bizonyítást nyert.

Az intervallumon lévő inverz függvény létezésére és folytonosságára vonatkozó tétel bizonyítása

Let jelöli a függvény tartományát - nyitott intervallumot. Legyen értékeinek halmaza. A fentiek szerint van egy inverz függvény, amelynek definíciós tartománya, értékkészlete van, és szigorúan monoton (növekszik, ha nő, és csökken, ha csökken). Ezt nekünk kell bizonyítanunk
1) a halmaz egy nyitott intervallum, és az
2) az inverz függvény folytonos rajta.
Itt .

1. Mutassuk meg, hogy a függvényértékek halmaza egy nyitott intervallum:
.

Mint minden nem üres halmaz, amelynek elemei összehasonlítási művelettel rendelkeznek, a függvényértékek halmazának alsó és felső határa van:
.
Itt és lehet véges számok vagy szimbólumok és .

1.1. Mutassuk meg, hogy a és pontok nem tartoznak a függvény értékkészletéhez. Vagyis az értékkészlet nem lehet szegmens.

Ha vagy van pont a végtelenben: vagy , akkor egy ilyen pont nem eleme a halmaznak. Ezért nem tartozhat egy értékrendhez.

Legyen (vagy ) véges szám. Tegyük fel az ellenkezőjét. A pont (vagy ) tartozzon a függvény értékkészletéhez. Vagyis létezik olyan, amelyre (vagy ). Vegyünk pontokat és elégítsük ki az egyenlőtlenségeket:
.
Mivel a függvény szigorúan monoton, akkor
, ha f növekszik;
ha f csökkenő.
Vagyis találtunk egy pontot, ahol a függvény értéke kisebb (nagyobb, mint ). De ez ellentmond az alsó (felső) arc meghatározásának, amely szerint
mindenkinek .
Ezért a és pontok nem tartozhatnak a függvény értékkészletéhez.

1.2. Most mutassuk meg, hogy az értékkészlet egy intervallum, és nem intervallumok és pontok uniója. Vagyis bármely ponthoz létezik , amelyre .

Az alsó és felső határ definíciói szerint a pontok tetszőleges környéke és a halmaz legalább egy elemét tartalmazza. Legyen - tetszőleges szám, intervallumhoz tartozó: . Aztán a környék számára létezik, amelyre
.
Egy környék számára létezik, amelyhez
.

Azóta és akkor . Azután
(4.1.1) ha növekszik;
(4.1.2) ha csökken.
A (4.1) egyenlőtlenségeket könnyű ellentmondással igazolni. De használhatod, ami szerint a halmazon van egy inverz függvény, ami szigorúan növekszik, ha nő, és szigorúan csökken, ha csökken. Ekkor azonnal megkapjuk a (4.1) egyenlőtlenségeket.

Tehát van egy szegmensünk, ahol az if növekszik;
ha csökken.
A szegmens végén a függvény a és az értékeket veszi fel. Mivel tehát a Bolzano-Cauchy tétel szerint létezik egy pont, amelyre .

Azóta így megmutattuk, hogy minden létezik, amelyre . Ez azt jelenti, hogy a függvény értékkészlete nyitott intervallum.

2. Most mutassuk meg, hogy az inverz függvény folytonos a : intervallum tetszőleges pontjában. Ehhez alkalmazza a szegmenst. Mivel, akkor az inverz függvény folytonos az intervallumon, beleértve a pontot is.

A tétel bizonyítást nyert.

Referenciák:
O.I. Démonok. Előadások a matematikai elemzésről. 1. rész Moszkva, 2004.
CM. Nikolszkij. Jól matematikai elemzés. 1. kötet Moszkva, 1983.

Lásd még:

Mi az inverz függvény? Hogyan találjuk meg egy adott függvény inverzét?

Meghatározás .

Legyen az y=f(x) függvény a D halmazon definiálva, az értékeinek halmaza pedig E. Inverz függvény a Az y=f(x) függvény egy x=g(y) függvény, amely az E halmazon van definiálva, és minden y∈E-hez hozzárendel egy x∈D értéket úgy, hogy f(x)=y.

Így az y=f(x) függvény tartománya az inverz függvény tartománya, az y=f(x) tartomány pedig az inverz függvény tartománya.

Az adott y=f(x) függvény inverzének megkereséséhez meg kell találni :

1) A függvényképletben y helyett x, x helyett y -t helyettesítsünk:

2) A kapott egyenlőségből fejezzük ki y-t x-szel:

Keresse meg az y=2x-6 függvény függvény inverzét.

Az y=2x-6 és y=0,5x+3 függvények kölcsönösen inverzek.

A direkt és inverz függvények grafikonjai szimmetrikusak az y=x egyeneshez képest(I. és III. koordinátanegyedek felezőszögei).

y=2x-6 és y=0,5x+3-. Egy lineáris függvény grafikonja a következő. Egy egyenes rajzolásához két pontot veszünk.

Lehetőség van y-t egyedileg kifejezni x-ben, ha az x=f(y) egyenletnek egyedi megoldása van. Ez akkor tehető meg, ha az y=f(x) függvény minden értékét a definíciós tartományának egyetlen pontjában veszi fel (egy ilyen függvényt ún. megfordítható).

Tétel (szükséges és elégséges állapot funkció visszafordíthatósága)

Ha az y=f(x) függvény numerikus intervallumon definiált és folytonos, akkor ahhoz, hogy a függvény invertálható legyen, szükséges és elegendő, hogy f(x) szigorúan monoton legyen.

Sőt, ha y=f(x) növekszik az intervallumon, akkor a vele fordított függvény is növekszik ezen az intervallumon; ha y=f(x) csökken, akkor az inverz függvény is csökken.

Ha a reverzibilitási feltétel nem teljesül a teljes definíciós tartományban, akkor ki lehet választani egy olyan intervallumot, ahol a függvény csak növekszik vagy csak csökken, és ezen az intervallumon keresni az adott függvénysel inverz függvényt.

A klasszikus példa a . $ között

Mivel ez a függvény a $X$ intervallumon csökkenő és folytonos, így a $Y=$ intervallumon, amely szintén csökkenő és folytonos ezen az intervallumon (1. tétel).

Számolja ki $x$:

\ \

Válassza ki a megfelelő $x$-t:

Válasz: inverz függvény $y=-\sqrt(x)$.

Inverz függvények megtalálásának problémái

Ebben a részben megvizsgáljuk inverz függvények néhány elemi függvények. A feladatok megoldása a fent megadott séma szerint történik.

2. példa

Keresse meg az $y=x+4$ függvény inverz függvényét

Keresse meg az $x$ értéket a $y=x+4$ egyenletből:

3. példa

Keresse meg az $y=x^3$ függvény inverz függvényét

Megoldás.

Mivel a függvény a teljes definíciós tartományon növekvő és folytonos, ezért az 1. Tétel szerint van rajta egy inverz folytonos és növekvő függvény.

Keresse meg az $x$ értéket a $y=x^3$ egyenletből:

$x$ megfelelő értékeinek megtalálása

Esetünkben az érték megfelelő (mivel a hatókör minden szám)

A változókat újradefiniálva azt kapjuk, hogy az inverz függvénynek van alakja

4. példa

Keresse meg a $y=cosx$ függvény inverz függvényét a $$ intervallumon

Megoldás.

Tekintsük a $y=cosx$ függvényt a $X=\left$ halmazon. Folyamatos és csökkenő a $X$ halmazon, és leképezi a $X=\left$ halmazt a $Y=[-1,1]$ halmazra, ezért az inverz folytonos létezéséről szóló tétel alapján monoton funkció a $y=cosx$ függvénynek a $Y$ halmazban van egy inverz függvénye, amely szintén folytonos és növekszik a $Y=[-1,1]$ halmazban, és leképezi a $[-1,1]$ halmazt a következőre: a $\left$ halmaz.

Keresse meg a $x$ értéket a $y=cosx$ egyenletből:

$x$ megfelelő értékeinek megtalálása

A változókat újradefiniálva azt kapjuk, hogy az inverz függvénynek van alakja

5. példa

Keresse meg a $y=tgx$ függvény inverz függvényét a $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ intervallumban.

Megoldás.

Tekintsük a $y=tgx$ függvényt a $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ halmazon. Folyamatos és növekvő a $X$ halmazon, és leképezi a $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ halmazt a $Y halmazra =R$, ezért az inverz folytonos monoton függvény létezésére vonatkozó tétel szerint a $y=tgx$ függvénynek a $Y$ halmazban van egy inverz függvénye, amely szintén folytonos és növekszik a $Y=R halmazban. $ és leképezi a $R$ halmazt a $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ halmazra

Keresse meg a $x$ értéket a $y=tgx$ egyenletből:

$x$ megfelelő értékeinek megtalálása

A változókat újradefiniálva azt kapjuk, hogy az inverz függvénynek van alakja

Az óra céljai:

Nevelési:

• a programanyagnak megfelelően új témában ismereteket formálni;
• egy függvény invertibilitási tulajdonságának tanulmányozása és egy adott függvény inverzének megtanítása;

Fejlesztés:

• fejleszteni az önkontroll készségeket, a tárgyi beszédet;
• sajátítsa el az inverz függvény fogalmát, és tanulja meg az inverz függvény megtalálásának módszereit;

Nevelés: kommunikációs kompetencia kialakítása.

Felszerelés: számítógép, projektor, képernyő, SMART Board interaktív tábla, tájékoztató ( önálló munkavégzés) csoportos munkához.

Az órák alatt.

1. Szervezeti mozzanat.

Cél – a tanulók felkészítése az osztálytermi munkára:

A hiányzó definíciója,

A tanulók munkához való hozzáállása, figyelemszervezése;

Üzenet az óra témájával és céljával kapcsolatban.

2. A tanulók alapismereteinek felfrissítése. első szavazás.

Cél - a tanult elméleti anyag helyességének, tudatosságának megállapítására, a lefedett anyag ismétlődésére.<Приложение 1 >

A függvény grafikonja az interaktív táblán látható a tanulók számára. A tanár megfogalmazza a feladatot - vegye figyelembe a függvény grafikonját, és sorolja fel a függvény vizsgált tulajdonságait. A hallgatók felsorolják egy függvény tulajdonságait a kutatási terv szerint. A tanár a függvény grafikonjától jobbra felírja a megnevezett tulajdonságokat egy markerrel az interaktív táblára.

Funkció tulajdonságai:

A tanulmány végén a tanár beszámol arról, hogy ma az órán megismerkednek a funkció még egy tulajdonságával - a visszafordíthatósággal. Az új anyagok értelmes tanulmányozása érdekében a tanár felkéri a gyerekeket, hogy ismerkedjenek meg azokkal a fő kérdésekkel, amelyekre a tanulóknak meg kell válaszolniuk az óra végén. A kérdéseket egy közönséges táblára írják, és minden tanulónak van egy szóróanyaga (az óra előtt szétosztva)

1. Mi az a reverzibilis függvény?
2. Minden funkció visszafordítható?
3. Mi az inverz adott függvény?
4. Hogyan függ össze egy függvény definíciós tartománya, értékkészlete és inverz függvénye?
5. Ha a függvényt analitikusan adjuk meg, hogyan definiáljuk az inverz függvényt egy képlettel?
6. Ha egy függvényt grafikusan adunk meg, hogyan ábrázoljuk az inverz függvényét?

3. Új anyag magyarázata.

Cél - a programanyagnak megfelelően új témában ismereteket formálni; egy függvény invertibilitási tulajdonságának tanulmányozása és egy adott függvény inverzének megtanítása; témát dolgozzon ki.

A tanár az anyag bemutatását a bekezdés anyagának megfelelően vezeti. Az interaktív táblán a tanár összehasonlítja két olyan függvény grafikonját, amelyek definíciós tartománya és értékkészlete megegyezik, de az egyik függvény monoton, a másik nem, így a tanulók az invertálható függvény fogalma alá kerülnek. .



A tanár ezután megfogalmazza az invertálható függvény definícióját, és az interaktív táblán lévő monoton függvénygráf segítségével bizonyítja az invertálható függvény tételét.

1. definíció: Az y=f(x), x X függvényt meghívjuk megfordítható, ha valamelyik értékét az X halmaznak csak egy pontjában veszi fel.

Tétel: Ha az y=f(x) függvény monoton az X halmazon, akkor invertálható.

Bizonyíték:

1. Hagyja a függvényt y=f(x)által növekszik x elengedni x 1 ≠ x 2- a halmaz két pontja x.
2. A határozottság kedvéért hagyjuk x 1< x 2.
   Akkor miből x 1< x 2 ezt követi f(x 1) < f(x 2).
3. Így az argumentum különböző értékei a függvény különböző értékeinek felelnek meg, pl. a funkció reverzibilis.



(A tétel bizonyítása során a tanár minden szükséges magyarázatot jelölővel készít a rajzon)

Az inverz függvény definíciójának megfogalmazása előtt a tanár megkéri a tanulókat, hogy határozzák meg, hogy a javasolt függvények közül melyik reverzibilis? Az interaktív tábla függvénygrafikonokat jelenít meg, és számos analitikusan definiált függvényt írunk:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

A tanár bemutatja az inverz függvény definícióját.

2. definíció: Legyen egy invertálható függvény y=f(x) meghatározva a készleten xÉs E(f)=Y. Párosítsuk mindegyiket y tól től Y akkor az egyetlen értelme x, ahol f(x)=y. Ekkor kapunk egy függvényt, amelyen van definiálva Y, de x a függvény tartománya

Ezt a funkciót jelöljük x=f -1 (y)és a függvény inverzének nevezzük y=f(x).

A hallgatókat arra kérik, hogy vonjanak le következtetést a definíciós tartomány és az inverz függvények értékkészlete közötti kapcsolatról.

Annak a kérdésnek a mérlegeléséhez, hogyan találhatjuk meg egy adott inverz függvényét, a tanár két diákot vont be. Előző nap a gyerekek azt a feladatot kapták a tanártól, hogy önállóan elemezzék az inverz adott függvény megtalálásának analitikai és grafikus módszereit. A tanár tanácsadóként működött közre a tanulók leckére való felkészítésében.

Üzenet az első diáktól.

Megjegyzés: egy függvény monotonitása az elegendő inverz függvény létezésének feltétele. De nem szükséges feltétel.

A hallgató példákat hozott különböző helyzetekre, amikor a funkció nem monoton, hanem reverzibilis, amikor a funkció nem monoton és nem reverzibilis, amikor monoton és reverzibilis.



Ezután a hallgató megismerteti a hallgatókkal az analitikusan megadott inverz függvény megtalálásának módszerét.

Algoritmus keresése

1. Ügyeljen arra, hogy a funkció monoton legyen.
2. Fejezd ki x-et y-val.
3. Változók átnevezése. Az x \u003d f -1 (y) helyett y \u003d f -1 (x)

Majd megold két példát, hogy megtalálja az adott inverzének függvényét.

1. példa: Mutassuk meg, hogy van inverz függvény az y=5x-3 függvényre, és keressük meg annak analitikai kifejezését.

Megoldás. Lineáris függvény Az y=5x-3 definiált R-en, növekszik R-n, és a tartománya R. Így az inverz függvény létezik R-en. Az analitikai kifejezésének megtalálásához megoldjuk az y=5x-3 egyenletet x-re; kapunk Ez a kívánt inverz függvény. R határozza meg és növeli.

2. példa: Mutassuk meg, hogy van inverz függvény az y=x 2 , x≤0 függvényre, és keressük meg annak analitikus kifejezését.



A függvény folytonos, definíciós tartományában monoton, ezért invertálható. A definíciós tartományok és a függvény értékkészletének elemzése után megfelelő következtetést vonunk le az inverz függvény analitikai kifejezéséről.

A második tanuló előadást tart kb grafikus hogyan találjuk meg az inverz függvényt. Magyarázata során a hallgató az interaktív tábla lehetőségeit használja.

Ahhoz, hogy az y=f -1 (x) függvény grafikonját az y=f(x) függvényre fordítottan megkapjuk, az y=f(x) függvény grafikonját az egyeneshez képest szimmetrikusan kell átalakítani. y=x.

Az interaktív táblán történő magyarázat során a következő feladatot hajtjuk végre:

Szerkesszük meg egy függvény gráfját és inverz függvényének grafikonját ugyanabban a koordinátarendszerben. Írjon fel egy analitikus kifejezést az inverz függvényre!

4. Az új anyag elsődleges rögzítése.

Cél - a tanult anyag megértésének helyességének, tudatosságának megállapítása, az anyag elsődleges megértésében a hiányosságok azonosítása, javítása.

A tanulókat párokra osztják. Lapokat kapnak feladatokkal, amelyekben párban dolgoznak. A munka elvégzésének ideje korlátozott (5-7 perc). Egy tanulópár dolgozik a számítógépen, a projektor ki van kapcsolva erre az időre, a többi gyerek pedig nem látja, hogyan dolgoznak a számítógépen.

Az idő végén (feltételezzük, hogy a tanulók többsége elvégezte a munkát) az interaktív tábla (a projektor újra bekapcsol) mutatja a tanulók munkáját, ahol a teszt során tisztázódik, hogy a feladatot párok. Szükség esetén a tanár javító, magyarázó munkát végez.

Önálló munka párban<2. melléklet >

5. Az óra eredménye. Az előadás előtt feltett kérdésekről. Az óra érdemjegyeinek kihirdetése.

Házi feladat 10. §. №№ 10.6(а,c) 10.8-10.9(b) 10.12(b)

Az algebra és az elemzés kezdetei. 10. évfolyam 2 részben oktatási intézmények számára (profilszint) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova és mások; szerk. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007