Fő integrálok, amelyeket minden tanulónak tudnia kell
A felsorolt integrálok az alapok, az alapok alapjai. Ezeket a képleteket természetesen emlékezni kell. Bonyolultabb integrálok számításakor folyamatosan használni kell őket.
Különös figyelmet kell fordítani az (5), (7), (9), (12), (13), (17) és (19) képletekre. Integráláskor ne felejtsünk el egy tetszőleges C állandót hozzáadni a válaszhoz!
Egy állandó integrálja
∫ A d x = A x + C (1)Teljesítmény funkció integráció
Valójában az (5) és (7) formulákra szorítkozhatunk, de a csoport többi integrálja olyan gyakori, hogy érdemes egy kicsit odafigyelni rájuk.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)
Az exponenciális függvény és a hiperbolikus függvény integráljai
Természetesen a (8) képlet (talán a legkényelmesebb megjegyezni) a (9) képlet speciális esetének tekinthető. A (10) és (11) képlet a hiperbolikus szinusz és a hiperbolikus koszinusz integráljaihoz könnyen levezethető a (8) képletből, de jobb, ha csak emlékezünk ezekre az összefüggésekre.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Trigonometrikus függvények alapintegráljai
Hiba, amit a tanulók gyakran elkövetnek: összekeverik a jeleket a (12) és (13) képletekben. Emlékezve arra, hogy a szinusz deriváltja egyenlő a koszinuszral, valamiért sokan azt hiszik, hogy a sinx függvény integrálja egyenlő a cosx-szel. Ez nem igaz! A szinusz integrálja "mínusz koszinusz", de a cosx integrálja "csak szinusz":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Inverz trigonometrikus függvényekre redukáló integrálok
A (16) képlet, amely az arctangenshez vezet, természetesen a (17) képlet speciális esete, ha a=1. Hasonlóképpen a (18) a (19) speciális esete.
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)
Bonyolultabb integrálok
Ezeket a képleteket is kívánatos megjegyezni. Ezeket is elég gyakran használják, és a kibocsátásuk meglehetősen unalmas.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)
Általános integrációs szabályok
1) Két függvény összegének integrálja egyenlő a megfelelő integrálok összegével: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Két függvény különbségének integrálja egyenlő a különbséggel megfelelő integrálok: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) A konstans kivehető az integrál előjelből: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Könnyen belátható, hogy a (26) tulajdonság egyszerűen a (25) és (27) tulajdonság kombinációja.
4) Integrálja összetett funkció, ha belső funkciója lineáris: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Itt F(x) az f(x) függvény antideriváltja. Vegye figyelembe, hogy ez a képlet csak akkor működik, ha a belső függvény Ax + B.
Fontos: nincs univerzális képlet két függvény szorzatának integráljára, valamint egy tört integráljára:
∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (harminc)
Ez természetesen nem jelenti azt, hogy egy töredéket vagy egy szorzatot ne lehetne integrálni. Csak arról van szó, hogy valahányszor olyan integrált látsz, mint a (30), ki kell találnod a módját, hogy "harcolj" vele. Bizonyos esetekben a részenkénti integráció segít, valahol változót kell változtatni, és néha még az algebra vagy trigonometria "iskolai" képlete is segíthet.
Egy egyszerű példa a határozatlan integrál kiszámítására
1. példa: Keresse meg az integrált: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xA (25) és (26) képleteket használjuk (a függvények összegének vagy különbségének integrálja egyenlő a megfelelő integrálok összegével vagy különbségével. A következőt kapjuk: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx − ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx
Emlékezzünk vissza, hogy a konstans kivehető az integrál előjelből ((27) képlet). A kifejezés formává alakul
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e∫ x d x + 12 ∫ 1 d x
Most csak az alapintegrálok táblázatát használjuk. Alkalmaznunk kell a (3), (12), (8) és (1) képleteket. Integráljuk a hatványfüggvényt, a szinust, a kitevőt és az 1-es állandót. Ne felejtsünk el tetszőleges C állandót hozzáadni a végére:
3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C
Az elemi átalakítások után megkapjuk a végső választ:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Tesztelje magát a differenciálással: vegye a kapott függvény deriváltját, és győződjön meg arról, hogy az egyenlő az eredeti integrandusszal.
Integrálok összefoglaló táblázata
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = log | x | + C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Töltse le az integrálok táblázatát (II. rész) erről a linkről
Ha egyetemen tanul, ha nehézségei vannak a felsőbb matematikával ( matematikai elemzés, lineáris algebra, valószínűségszámítás, statisztika), ha szakképzett tanári szolgáltatásra van szükséged, menj a felsőbb matematika oktatói oldalára. Oldjuk meg együtt problémáit!
Önt is érdekelheti
Ezen az oldalon megtalálod:
1. Valójában az antiderivatívek táblázata - letölthető PDF formátumban és kinyomtatható;
2. Videó a táblázat használatáról;
3. Egy csomó példa az antiderivátum kiszámítására különböző tankönyvekből és tesztekből.
Magában a videóban sok olyan feladatot elemezünk, ahol antiderivatív függvények kiszámítására van szükség, gyakran meglehetősen bonyolultak, de ami a legfontosabb, ezek nem hatalomtörvények. A fent javasolt táblázatban összefoglalt összes függvényt fejből kell ismerni, mint a deriváltokat. Nélkülük az integrálok további tanulmányozása és gyakorlati problémák megoldására való alkalmazása lehetetlen.
Ma továbbra is a primitívekkel foglalkozunk, és egy kicsit összetettebb témára térünk át. Ha a múltkor csak a hatványfüggvényekből és valamivel bonyolultabb struktúrákból vettük figyelembe az antideriváltságokat, ma a trigonometriát és még sok mást elemezzük.
Ahogy az előző leckében mondtam, az antiderivatíveket, a származékokkal ellentétben, soha nem oldják meg „üresen” semmilyen szabványos szabály alkalmazásával. Ráadásul a rossz hír az, hogy a származékkal ellentétben az antiderivatív egyáltalán nem jöhet számításba. Ha tökéletesen írunk véletlenszerű függvényés próbáljuk megtalálni a származékát, akkor nagyon nagy valószínűséggel sikerülni fog, de az antiderivált ebben az esetben szinte soha nem kerül kiszámításra. De van egy jó hír is: van a függvényeknek egy meglehetősen nagy osztálya, az úgynevezett elemi függvények, amelyek antideriváltjait nagyon könnyű kiszámítani. És az összes többi több összetett szerkezetek, amelyeket mindenféle ellenőrzésen adnak, független és vizsgák, sőt, ezekből tevődik össze elemi függvényekösszeadáson, kivonáson keresztül stb. egyszerű műveletek. Az ilyen függvények antideriváltjait régóta számítják és speciális táblázatokban foglalják össze. Ma ilyen függvényekkel és táblákkal fogunk dolgozni.
De kezdjük, mint mindig, egy ismétléssel: ne feledjük, mi az antiderivatív, miért van belőlük végtelen sok, és hogyan határozhatjuk meg általános formájukat. Ehhez két egyszerű feladatot választottam.
Könnyű példák megoldása
1. példa
Azonnal vegye figyelembe, hogy a $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ és a $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ azonnal utal arra, hogy a függvény szükséges antideriváltja a trigonometriához kapcsolódik. És valóban, ha megnézzük a táblázatot, azt találjuk, hogy a $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nem más, mint a $\text(arctg)x$. Tehát írjuk:
A megtaláláshoz a következőket kell beírni:
\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]
\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]
2. példa
Itt is beszélünk trigonometrikus függvények. Ha megnézzük a táblázatot, akkor valóban így fog kiderülni:
Meg kell találnunk a teljes antiderivált készlet közül azt, amelyik átmegy a megadott ponton:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]
Végül írjuk le:
Ez ennyire egyszerű. A probléma csak az, hogy az egyszerű függvények antideriváltjainak megszámlálásához meg kell tanulni az antideriválták táblázatát. Azonban miután megtanulta a származékos táblázatot, azt hiszem, ez nem lesz probléma.
Exponenciális függvényt tartalmazó feladatok megoldása
Kezdjük a következő képletek felírásával:
\[((e)^(x))\–(e)^(x))\]
\[((a)^(x))\ to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]
Lássuk, hogyan működik mindez a gyakorlatban.
1. példa
Ha megnézzük a zárójelek tartalmát, azt fogjuk észrevenni, hogy az antiderivatívek táblázatában nincs olyan kifejezés, hogy $((e)^(x))$ egy négyzetben van, ezért ezt a négyzetet kell megnyitni. Ehhez a rövidített szorzóképleteket használjuk:
Keressük meg az egyes kifejezések származékát:
\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \jobbra))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \jobbra))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))=((\bal(((e)^(-2)) \jobbra))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \jobbra))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]
És most összegyűjtjük az összes kifejezést egyetlen kifejezésben, és kapunk egy közös antideriváltat:
2. példa
Ezúttal a kitevő már nagyobb, így a rövidített szorzásképlet meglehetősen bonyolult lesz. Bővítsük ki a zárójeleket:
Most próbáljuk meg ebből a konstrukcióból kivenni a képlet antideriváltját:
Mint látható, az exponenciális függvény antideriváltjaiban semmi bonyolult és természetfeletti nincs. Mindegyik táblázatból történik, de a figyelmes hallgatók biztosan észreveszik, hogy a $((e)^(2x))$ antiderivált sokkal közelebb van a $((e)^(x))$-hoz, mint a $((a) )^(x ))$. Szóval, lehet, hogy van valami speciálisabb szabály, amely lehetővé teszi, hogy a $((e)^(x))$ antiderivatíva ismeretében megtaláljuk a $((e)^(2x))$? Igen, van ilyen szabály. Ráadásul az antiderivatívek táblázatával való munka szerves részét képezi. Most ugyanazokkal a kifejezésekkel elemezzük, amelyekkel az imént példaként dolgoztunk.
Az antiderivatívek táblázatával való munka szabályai
Írjuk át a függvényünket:
Az előző esetben a következő képletet használtuk a megoldáshoz:
\[((a)^(x))\ to \frac(((a)^(x)))(\operátornév(lna))\]
De most tegyük egy kicsit másképp: ne feledjük, milyen alapon $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Ahogy már említettük, mivel a $((e)^(x))$ deriváltja nem más, mint $((e)^(x))$, ezért az antideriváltja ugyanazzal a $((e) ^( x))$. De a probléma az, hogy van $((e)^(2x))$ és $((e)^(-2x))$. Most próbáljuk meg megtalálni a $((e)^(2x))$ származékot:
\[((\left(((e)^(2x)) \jobbra))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right)))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
Írjuk újra a felépítésünket:
\[((\left(((e)^(2x)) \jobbra))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]
\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \jobbra))^(\prime ))\]
Ez pedig azt jelenti, hogy a $((e)^(2x))$ antiderivált megtalálásakor a következőket kapjuk:
\[((e)^(2x))\ to \frac(((e)^(2x)))(2)\]
Mint látható, ugyanazt az eredményt kaptuk, mint korábban, de nem a képletet használtuk a $((a)^(x))$ keresésére. Ez most hülyeségnek tűnhet: minek bonyolítani a számításokat, ha van egy szabványos képlet? Azonban egy kicsit többen összetett kifejezések látni fogja, hogy ez a technika nagyon hatékony, i.e. származékok felhasználásával az antiderivatívák megtalálására.
Bemelegítésképpen keressük meg a $((e)^(2x))$ antideriváltját hasonló módon:
\[((\left(((e)^(-2x)) \jobbra))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]
\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \jobbra))^(\prime ))\]
Számításkor a konstrukciónkat a következőképpen írjuk:
\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]
\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]
Pontosan ugyanazt az eredményt kaptuk, de másfelé mentünk. Ez a most számunkra kicsit bonyolultabbnak tűnő módszer a jövőben hatékonyabb lesz az összetettebb antideriválták kiszámítására és a táblázatok használatára.
Jegyzet! Ez egy nagyon fontos pont: az antiderivatívek, akárcsak a származékok, egy halmaznak tekinthetők különböző módokon. Ha azonban minden számítás és számítás egyenlő, akkor a válasz ugyanaz lesz. Erről éppen a $((e)^(-2x))$ példájában győződtünk meg - egyrészt ezt az antiderivatívát „végig”, a definíciót felhasználva és transzformációk segítségével kiszámítottuk, a másrészt emlékeztünk arra, hogy a $ ((e)^(-2x))$ $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$-ként ábrázolható, majd használja az antiderivált a $( (a)^(x))$ függvényhez. Azonban minden átalakítás után az eredmény a vártnak felel meg.
És most, hogy mindezt megértettük, ideje áttérni valami lényegesebbre. Most két egyszerű konstrukciót elemezünk, azonban a megoldásukkor lefektetett technika erősebb és hasznosabb eszköz, mint egy egyszerű „futtatás” a szomszédos antideriváltok között a táblázatból.
Problémamegoldás: keresse meg egy függvény antideriváltját
1. példa
Adja meg a számlálóban szereplő mennyiséget, bontsa három külön törtre:
Ez egy meglehetősen természetes és érthető átmenet – a legtöbb diáknak nincs vele problémája. Írjuk át a kifejezésünket a következőképpen:
Most emlékezzünk erre a képletre:
Esetünkben a következőket kapjuk:
A háromemeletes törtrészek megszabadulásához a következőket javaslom:
2. példa
Az előző törttel ellentétben a nevező nem a szorzat, hanem az összeg. Ebben az esetben már nem oszthatjuk a törtünket több egyszerű tört összegével, hanem valahogyan meg kell próbálnunk gondoskodni arról, hogy a számláló megközelítőleg ugyanazt a kifejezést tartalmazza, mint a nevező. Ebben az esetben nagyon egyszerű megtenni:
Egy ilyen jelölés, amelyet a matematika nyelvén "nulla hozzáadásának" neveznek, lehetővé teszi, hogy a törtet ismét két részre ossza:
Most pedig találjuk meg, amit kerestünk:
Ennyi a számítás. Az előző feladatnál láthatóan nagyobb bonyolultság ellenére a számítások mennyisége még kisebbnek bizonyult.
A megoldás árnyalatai
És ebben rejlik a táblázatos primitívekkel való munka fő nehézsége, ez különösen a második feladatban szembetűnő. A helyzet az, hogy a táblázaton keresztül könnyen megszámolható elemek kiválasztásához tudnunk kell, hogy pontosan mit is keresünk, és ezeknek az elemeknek a kereséséből áll az antiderivatívák teljes számítása.
Vagyis nem elég csak az antiderivatívok táblázatát memorizálni – látni kell valamit, ami még nincs meg, hanem azt, hogy mire gondolt a probléma szerzője és összeállítója. Ezért sok matematikus, tanár és professzor folyamatosan vitatkozik: „Mi az antiderivatívák vagy az integráció – ez csak egy eszköz, vagy igazi művészet?” Valójában személyes véleményem szerint az integráció egyáltalán nem művészet - nincs benne semmi magasztos, csak gyakorlás és még egyszer gyakorlás. A gyakorláshoz pedig oldjunk meg három komolyabb példát.
Az integráció gyakorlása a gyakorlatban
1. feladat
Írjuk fel a következő képleteket:
\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
\[\frac(1)(x)\to \ln x\]
\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]
Írjuk a következőket:
2. feladat
Írjuk át a következőképpen:
A teljes antiderivatíva egyenlő lesz:
3. feladat
Ennek a feladatnak a bonyolultsága abban rejlik, hogy az előző függvényekkel ellentétben nincs fent $x$ változó, pl. nem világos számunkra, hogy mit adjunk hozzá, vonjunk ki, hogy legalább valami hasonlót kapjunk, mint ami lent van. Valójában azonban ez a kifejezés még az előző konstrukciók bármelyik kifejezésénél is egyszerűbbnek tekinthető, mert ezt a funkciótígy át lehet írni:
Most felteheti a kérdést: miért egyenlők ezek a függvények? Nézzük meg:
Írjuk újra:
Változtassunk egy kicsit a kifejezésmódunkon:
És amikor mindezt elmagyarázom a tanítványaimnak, szinte mindig ugyanaz a probléma merül fel: az első függvénynél többé-kevésbé minden világos, a másodiknál szerencsével vagy gyakorlással is ki lehet találni, de milyen alternatív tudat. szüksége van a harmadik példa megoldásához? Tulajdonképpen ne félj. Azt a technikát, amelyet az utolsó antiderivált számításakor használtunk, a „függvény legegyszerűbbre bontásának” nevezik, és ez egy nagyon komoly technika, és külön videóleckét szentelünk neki.
Addig is azt javaslom, hogy térjünk vissza az imént tanultakhoz, nevezetesen az exponenciális függvényekhez, és tartalmukkal bonyolítjuk némileg a feladatokat.
Bonyolultabb problémák antiderivatív exponenciális függvények megoldására
1. feladat
Vegye figyelembe a következőket:
\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]
A kifejezés antiderivátumának megtalálásához egyszerűen használja a $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ szabványos képletet.
A mi esetünkben a primitív így lesz:
Természetesen az általunk most megoldott konstrukció hátterében ez egyszerűbbnek tűnik.
2. feladat
Ismét könnyen belátható, hogy ez a függvény könnyen két külön kifejezésre osztható – két külön törtre. Írjuk át:
Továbbra is meg kell találni e kifejezések mindegyikének anti-származékát a fenti képlet szerint:
A látszólagos bonyolultság ellenére exponenciális függvények az erősakhoz képest a számítások és számítások teljes mennyisége sokkal egyszerűbbnek bizonyult.
Persze a hozzáértő hallgatók számára elemi kifejezéseknek tűnhet az, amivel most foglalkoztunk (főleg annak a hátterében, amivel korábban foglalkoztunk). Azonban, amikor ezt a két feladatot választottam a mai oktatóvideóhoz, nem azt a célt tűztem ki magam elé, hogy elmondjak egy újabb bonyolult és divatos trükköt – csak azt akartam megmutatni, hogy ne félj standard algebrai trükköktől az eredeti függvények átalakításához. .
A "titkos" technika használata
Befejezésül egy másik érdekes technikát szeretnék elemezni, amely egyrészt túlmutat azon, amit ma főleg elemeztünk, másrészt viszont egyrészt egyáltalán nem bonyolult, t. még kezdő hallgatók is elsajátíthatják, másodszor pedig elég gyakran megtalálható mindenféle vezérlésen és önálló munkavégzés, azaz ennek ismerete nagyon hasznos lesz az antiderivatívek táblázatának ismerete mellett.
1. feladat
Nyilvánvalóan van valami nagyon hasonló a hatványfüggvényhez. Hogyan kell eljárnunk ebben az esetben? Gondoljunk csak bele: az $x-5$ nem annyira különbözik a $x$-tól – csak hozzáadjuk a -5$-t. Írjuk így:
\[((x)^(4))\ to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \jobbra))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]
Próbáljuk meg megtalálni a $((\left(x-5 \right))^(5))$ deriváltját:
\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \jobbra))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]
Ez a következőket jelenti:
\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ jobb))^(\prime ))\]
A táblázatban nincs ilyen érték, ezért most mi magunk származtattuk ezt a képletet, egy hatványfüggvény standard antiderivatív képletével. Írjuk a választ így:
2. feladat
Sok diáknak, aki az első megoldást nézi, úgy tűnhet, hogy minden nagyon egyszerű: elég, ha a hatványfüggvényben $x$-t egy lineáris kifejezéssel helyettesítjük, és minden a helyére kerül. Sajnos nem minden ilyen egyszerű, és most ezt fogjuk látni.
Az első kifejezés analógiájára a következőket írjuk:
\[((x)^(9))\ to \frac(((x)^(10)))(10)\]
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \jobbra))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\bal(4-3x \jobb))^(\prime ))=\]
\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]
Visszatérve a származékunkra, ezt írhatjuk:
\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \jobbra))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]
\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \jobbra))^(\prime ))\]
Innen azonnal következik:
A megoldás árnyalatai
Figyelem: ha legutóbb semmi sem változott lényegében, akkor a második esetben a -10$ helyett -30$ jelent meg. Mi a különbség a -10 dollár és a -30 dollár között? Nyilvánvalóan -3 dolláros tényezővel. Kérdés: honnan jött? Közelről megnézve láthatja, hogy egy komplex függvény deriváltjának kiszámítása eredményeként vették fel – az alábbi antideriváltban az $x$-os együttható látható. Ez egy nagyon fontos szabály, amit kezdetben egyáltalán nem terveztem elemezni a mai videós oktatóanyagban, de enélkül a táblázatos antiderivatívek bemutatása hiányos lenne.
Tehát csináljuk újra. Legyen a fő teljesítmény funkciónk:
\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
És most $x$ helyett cseréljük be a $kx+b$ kifejezést. Akkor mi lesz? Meg kell találnunk a következőket:
\[((\left(kx+b \right))^(n))\ to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \jobbra)\cdot k)\]
Milyen alapon állítjuk ezt? Nagyon egyszerű. Keressük a fent leírt konstrukció származékát:
\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]
Ez ugyanaz a kifejezés, mint eredetileg. Így ez a képlet is helyes, és kiegészíthető vele az antiderivatívok táblázata, de jobb, ha csak a teljes táblázatra emlékezünk.
Következtetések a "titok: fogadásból:
- Valójában mindkét funkció, amit most megvizsgáltunk, a táblázatban jelzett antideriváltokra redukálható a fokozatok megnyitásával, de ha többé-kevésbé valahogy megbirkózunk a negyedik fokozattal, akkor a kilencedik fokozatot egyáltalán nem csinálnám. merészkedett felfedni.
- Ha feltárnánk a fokozatokat, akkora számítási mennyiséget kapnánk, hogy egy egyszerű feladat nem tartana kellőképpen nagyszámú idő.
- Éppen ezért az olyan feladatokat, amelyeken belül lineáris kifejezések vannak, nem kell "üresen" megoldani. Amint találkozik egy antideriváltával, amely csak a $kx+b$ kifejezés jelenlétében különbözik a táblázatban szereplőtől, azonnal emlékezzen a fent írt képletre, helyettesítse be táblázatos antideriváltjává, és minden sok minden kiderül. gyorsabban és könnyebben.
Természetesen ennek a technikának a bonyolultsága és súlyossága miatt a jövőbeni oktatóvideókban többször is visszatérünk a megfontolásra, de mára mindenem megvan. Remélem, hogy ez a lecke valóban segíteni fog azoknak a diákoknak, akik szeretnék megérteni az antiderivatívákat és az integrációt.
Sziasztok újra barátok!
Ahogy ígértem, ettől a leckétől kezdjük el az integrálok költői világának végtelen tárházát, és kezdjük el megoldani a sokféle (néha nagyon szép) példát. :)
Annak érdekében, hogy hozzáértően navigálhassunk a teljes integrált változatban, és ne tévedjünk el, mindössze négy dologra van szükségünk:
1) Integrálok táblázata. Minden részlet róla . Hogyan kell pontosan dolgozni vele - ebben.
2) A határozatlan integrál linearitási tulajdonságai (az összeg/különbség és a konstans szorzat integrálja).
3) A származékok és a differenciálási szabályok táblázata.
Igen, ne csodálkozz! A származékok megszámlálásának képessége nélkül az integrációban egyáltalán nincs mit megfogni. Egyetértek, nincs értelme például az osztást megtanulni anélkül, hogy tudnánk, hogyan kell szorozni. :) És hamarosan látni fogod, hogy tökéletes differenciálási készség nélkül nem tudsz olyan komoly integrált kiszámítani, amely túllépne az elemi táblázatosokon.
4) Az integráció módszerei.
Nagyon-nagyon sok van belőlük. Egy adott funkcióosztályhoz – saját. De gazdag sokféleségük közül három alapvető kiemelkedik:
– ,
– ,
– .
Mindegyikről - külön leckékben.
És most végre kezdjük el megoldani a régóta várt példákat. Hogy ne ugráljunk szakaszról szakaszra, még egyszer lemásolom a teljes úri készletet, ami hasznos lesz a további munkánkhoz. Minden eszköz legyen kéznél.)
Először is ezt integrálok táblázata:
Ezenkívül szükségünk van a határozatlan integrál alapvető tulajdonságaira (linearitási tulajdonságok):
Nos, a szükséges felszerelés elő van készítve. Ideje, hogy menjen! :)
Az asztal közvetlen alkalmazása
Ebben a részben a legegyszerűbb és legártalmatlanabb példákat vesszük figyelembe. Az algoritmus itt egyszerűen elborzasztó:
1) Megnézzük a táblázatot, és megkeressük a kívánt képletet (képleteket);
2) Alkalmazza a linearitás tulajdonságait (ahol szükséges);
3) A transzformációt táblázatos képletek szerint hajtjuk végre, és a végére adjunk hozzá egy konstanst TÓL TŐL (ne felejtsd el!) ;
4) Írd le a választ.
Akkor gyerünk.)
1. példa
A táblázatunkban nincs ilyen funkció. De van benne a teljesítményfüggvény integrálja Általános nézet(második csoport). A mi esetünkben n=5. Tehát n helyett ötöt helyettesítünk, és gondosan kiszámítjuk az eredményt:
Kész. :)
Természetesen ez a példa meglehetősen primitív. Pusztán ismeretségből.) De a fokok integrálásának képessége megkönnyíti az integrálok kiszámítását bármilyen polinomból és más hatványszerkezetekből.
2. példa
Az integrál összeg alatt. Hát rendben. Erre az esetre linearitási tulajdonságaink vannak. :) Az integrálunkat három különálló részre osztjuk, az integrálok előjeleiből kivesszük az összes állandót, és a táblázat szerint számoljuk meg mindegyiket (1-2. csoport):
Figyelem: állandó TÓL TŐL abban a pillanatban jelenik meg, amikor Az integrál MINDEN jele eltűnik! Persze utána folyamatosan magaddal kell cipelni. Szóval mit kéne tenni…
Természetesen általában nem kell ilyen részletesen festeni. Ez pusztán a megértést szolgálja. Hogy megértsd a lényeget.)
Például nagyon hamar, sok habozás nélkül mentálisan választ fog adni az olyan szörnyekre, mint:
A polinomok a legszabadabb függvények az integrálokban.) És a diffúrokban, a fizikában, az anyagok szilárdságában és más komoly tudományágakban a polinomokat folyamatosan integrálni kell majd. Hozzászokik.)
A következő példa egy kicsit trükkösebb lesz.
3. példa
Remélem mindenki megérti, hogy az integrandusunk így írható:
Az integrandus különálló, a szorzó pedig dx (differenciál ikon)- külön-külön.
Megjegyzés: ebben a leckében a szorzó dx az integráció folyamatában amíg semmilyen módon nem vesz részt, és egyelőre lelkileg "kalapáljuk". :) Csak együtt dolgozunk integrand. De ne feledkezzünk meg róla. Nemsokára, szó szerint a következő leckében, emlékezni fogunk rá. És teljes erővel érezni fogjuk ennek az ikonnak a fontosságát és erejét!)
Közben tekintetünk az integrand függvény felé fordul
Nem úgy néz ki, mint egy teljesítményfüggvény, de ez van. :) Ha felidézzük a gyökök és fokok iskolai tulajdonságait, akkor teljesen lehetséges a funkciónk átalakítása:
És x mínusz kétharmad erejéig már az táblázat funkció! A második csoport n=-2/3. Az állandó 1/2 pedig nem akadály számunkra. Kívülre visszük, az integráljelen túlra, és közvetlenül az általunk figyelembe vett képlet szerint:
Ebben a példában segítséget kaptunk elemi tulajdonságok fokon. És ezt a legtöbb esetben így kell tenni, amikor az integrál alatt egyes gyökök vagy törtek vannak. Ezért egy pár gyakorlati tanácsokat hatalmi struktúrák integrálásakor:
A törteket negatív kitevős hatványokkal helyettesítjük;
A gyököket törtkitevővel ellátott hatványokra cseréljük.
De a végső válaszban a fokokról a törtekre és a gyökerekre való átmenet ízlés kérdése. Én személy szerint visszafordulok – esztétikusabb, vagy ilyesmi.
És kérem, gondosan számolja meg az összes törtet! Gondosan követjük a jelzéseket, és mi hova megy - mi a számláló és mi a nevező.
Mit? Belefáradt az amúgy is unalmas teljesítményfunkciókba? Oké! Szarvánál fogjuk a bikát!
4. példa
Ha most az integrál alatti mindent közös nevezőre redukálunk, akkor ennél a példánál komolyan és hosszú időre elakadhatunk.) De az integrandust közelebbről megvizsgálva láthatjuk, hogy különbségünk két táblázatos függvényből áll. Tehát ne perverzzük el, hanem tágítsuk ki az integrálunkat két részre:
Az első integrál egy közönséges hatványfüggvény, (2. csoport, n=-1): 1/x = x -1 .
Hagyományos formulánk az antiderivatív teljesítményfüggvényhez
Nem itt működik, de nekünk n=-1 van egy méltó alternatíva - egy természetes logaritmusú képlet. Ezt:
Ezután ennek a képletnek megfelelően az első tört a következőképpen lesz integrálva:
És a második frakció asztali funkció is! Tanult? Igen! Ez hetedik képlet "magas" logaritmussal:
Az "a" konstans ebben a képletben egyenlő kettővel: a=2.
Fontos jegyzet: Kérjük, vegye figyelembe az állandótTÓL TŐL köztes integrációval I most itt nem tulajdonítok! Miért? Mert a végső válaszhoz fog eljutni az egész példa. Ez bőven elég.) Szigorúan véve a konstanst minden egyes integráció után kell írni, legyen szó köztes vagy végleges: így határozatlan integrál igényel...)
Például az első integráció után a következőket kell írnom:
A második integráció után:
De a lényeg az, hogy tetszőleges állandók összege / különbsége néhány állandó is! Esetünkben a végső válaszhoz az első integrálból kell kivonni második. Akkor sikerülni fog különbség két köztes állandó:
C1-C2
És minden jogunk megvan arra, hogy ezt az állandó különbséget pótoljuk egy állandó!És csak nevezze át a számunkra ismerős "C" betűvel. Mint ez:
C 1-C 2 \u003d C
Tehát ugyanazt az állandót tulajdonítjuk TÓL TŐL a végeredményhez, és megkapja a választ:
Igen, ezek töredékek! Az integrált többszintes logaritmus a leggyakoribb dolog. Mi is megszokjuk.)
Emlékezik:
Több tag köztes integrálásával az állandó TÓL TŐL mindegyik után nem lehet írni. Elég, ha belefoglalja a teljes példa végső válaszába. A végén.
A következő példa szintén törttel van. Bemelegítéshez.)
5. példa
A táblázatban természetesen nincs ilyen funkció. De van egy hasonló funkció:
Ez a legújabb nyolcadik képlet. Arktangenssel. :)
Ezt:
És maga Isten parancsolta nekünk, hogy ehhez a képlethez igazítsuk integrálunkat! De van egy probléma: az előző táblázatos képletben x 2 nincs együttható, de van egy kilences. Közvetlenül még nem használhatjuk a képletet. De esetünkben a probléma teljesen megoldható. Először vegyük ki ezt a kilencet a zárójelekből, majd általában a törtünk határaiból.)
Az új tört pedig a táblázatos függvény, amelyre szükségünk van a 8-as számnál! Itt a 2 \u003d 4/9. Vagy a=2/3.
Minden. Kivesszük az integráljelből az 1/9-et, és a nyolcadik képletet használjuk:
Itt a válasz. Ez a példa, egy együttható előtt x 2, én így választottam. Hogy egyértelmű legyen, mit kell tenni ilyen esetekben. :) Ha korábban x 2 nincs együttható, akkor az ilyen törtek is beépülnek az elmében.
Például:
Itt a 2 = 5, tehát maga az „a” lenne „öt gyöke”. Általában megérted.)
És most kissé módosítjuk a függvényünket: a nevezőt a gyökér alá írjuk.) Most egy ilyen integrált veszünk:
6. példa
A nevezőnek van gyöke. Természetesen a megfelelő integrációs képlet is megváltozott, igen.) Ismét bemászunk a táblázatba, és keressük a megfelelőt. Gyökereink az 5. és 6. csoport képleteiben vannak. De a hatodik csoportban csak a gyökerek alatt van különbség. És megvan az összeg. Dolgozunk tehát ötödik képlet, "hosszú" logaritmussal:
Szám DE ötünk van. Cserélje be a képletet, és kapja meg:
És minden. Ez a válasz. Igen, igen, ez ilyen egyszerű!
Ha kétségek támadnak, akkor mindig lehetséges (és szükséges) az eredményt fordított differenciálással ellenőrizni. Nézzük meg? És akkor hirtelen valami baromság?
Megkülönböztetünk (nem figyelünk a modulra, és közönséges zárójelként érzékeljük):
Minden igazságos. :)
Egyébként, ha a gyökér alatti integrandusban a jelet pluszról mínuszra változtatjuk, akkor az integráció képlete ugyanaz marad. Nem véletlen, hogy a táblázatban a gyökér alatt van plusz minusz. :)
Például:
Fontos! Mínusz esetén első a gyökér alatti helynek pontosan kell lennie x 2, és tovább második – szám. Ha a gyökér alatt minden az ellenkezője, akkor a megfelelő táblázatos képlet máris ott lesz egy másik!
7. példa
A gyökér alatt megint mínusz, de x 2öt megváltozott hellyel. Hasonlóan néz ki, de nem ugyanaz... A táblázatunkban erre az esetre is van képlet.) Hatos számú képlet, még nem dolgoztunk vele:
És most - óvatosan. Az előző példában az ötösünk számként működött A . Itt az öt számként fog működni és 2!
Ezért a képlet helyes alkalmazása érdekében ne felejtse el kivenni az öt gyökerét:
És most a példa egy lépésben megoldódott. :)
Ez az! Csak a gyökér alatti kifejezések változtak helyet, az integráció eredménye pedig jelentősen megváltozott! Logaritmus és arcszinusz... szóval kérem ne keverd össze ezt a két képletet! Bár az integránsok nagyon hasonlóak...
Bónusz:
A 7-8 táblázatos képletekben a logaritmus és az arctangens előtt vannak együtthatók 1/(2а)És 1/a illetőleg. És egy riasztó harci helyzetben, amikor ezeket a képleteket írják, még a tanulmányok által megkeményedett nebulók is gyakran összezavarodnak, hol 1/a, És hol 1/(2а). Íme egy egyszerű trükk, amit érdemes megjegyezned.
A 7-es számú képletben
Az integrandus nevezője az négyzetek különbsége x 2 - a 2. Amely az ijesztő iskolai képlet szerint úgy bomlik le (x-a) (x+a). A két szorzó. Kulcsszó - két. És ezek két integráláskor a zárójelek a logaritmushoz mennek: mínuszral felfelé, pluszjel - lefelé.) És a logaritmus előtti együttható is 1/( 2 de).
De a 8-as számú képletben
A tört nevezője az négyzetek összege. De a négyzetek összege x2 +a2 egyszerűbb tényezőkre bonthatatlan. Ezért bármit mondjunk is, az a nevezőben marad egy tényező. És az arctangens előtti együttható is 1/a lesz.
És most a változatosság kedvéért integráljunk valamit a trigonometriából.)
8. példa
A példa egyszerű. Olyan egyszerű, hogy az emberek anélkül, hogy ránéznének az asztalra, azonnal örömmel írják a választ, és ... megérkeztek. :)
Kövessük a jeleket! Ez a leggyakoribb hiba a szinuszok/koszinuszok integrálásakor. Ne keverje össze a származékokkal!
Igen, (bűn x)" = kötözősaláta xÉs (kötözősaláta x)’ = - bűn x.
De!
Mivel az emberek általában legalább a származékokra emlékeznek, hogy ne keveredjenek össze a jelekben, az integrálok emlékezésének technikája itt nagyon egyszerű:
Szinusz/koszinusz integrálja = mínusz ugyanannak a szinusznak/koszinusznak a származéka.
Például az iskolából tudjuk, hogy a szinusz deriváltja egyenlő a koszinuszral:
(bűn x)" = kötözősaláta x.
Aztán azért integrál ugyanabból a szinuszból igaz lesz:
És ennyi.) A koszinusznál ugyanaz.
Javítsuk ki a példánkat:
előzetes elemi átalakulások integrand
Eddig a pontig voltak a legegyszerűbb példák. Hogy átérezhesse a táblázat működését, és ne hibázzon a képlet kiválasztásában.)
Természetesen végrehajtottunk néhány egyszerű átalakítást – kivettük a tényezőket, tagokra bontottuk őket. De a válasz így vagy úgy még mindig a felszínen volt.) Azonban... Ha az integrálok számítása csak a táblázat közvetlen használatára korlátozódna, akkor teljes ingyenélő lenne, és az élet unalmassá válna.)
Lássunk most komolyabb példákat. Azok, ahol közvetlenül, úgy tűnik, semmi sem dől el. De érdemes szó szerint emlékezni néhány általános iskolai képletre vagy átalakításra, mivel a válaszhoz vezető út egyszerűvé és érthetővé válik. :)
Trigonometriai képletek alkalmazása
Szórakozzunk továbbra is a trigonometriával.
9. példa
A táblázatban nincs ilyen függvény. De iskolai trigonometria van ez a kevéssé ismert identitás:
Most kifejezzük belőle a szükséges érintő négyzetét, és beillesztjük az integrál alá:
Miért történik ez? És akkor, hogy egy ilyen átalakítás után az integrálunk két táblázatosra redukálódik és észben lesz!
Lát:
Most pedig elemezzük cselekedeteinket. Első pillantásra minden egyszerűnek tűnik. De gondoljunk erre. Ha lenne feladatunk megkülönböztetni ugyanaz a funkció, akkor mi tennénk pontosan pontosan tudta, mit kell tennie – jelentkezni képlet komplex függvény deriváltja:
És ez az. Egyszerű és problémamentes technológia. Mindig működik, és garantáltan sikerhez vezet.
De mi a helyzet az integrállal? És itt bele kellett ásnunk a trigonometriába, ki kell ásnunk valami homályos képletet abban a reményben, hogy az valahogy segít kijutni, és az integrált táblázatossá redukálni. És nem tény, hogy segítene nekünk, egyáltalán nem tény... Ezért az integráció kreatívabb folyamat, mint a differenciálás. Művészet, még azt is mondanám. :) És ez nem a legtöbb összetett példa. Ez még csak a kezdet!
10. példa
Mi inspirál? Az integrálok táblája még mindig tehetetlen, igen. De ha újra belenézel a kincstárunkba trigonometrikus képletek, akkor ki lehet ásni egy nagyon-nagyon hasznos kétszögű koszinusz képlet:
Tehát ezt a képletet alkalmazzuk az integrandusunkra. Az "alfa" szerepében x / 2 áll rendelkezésünkre.
Kapunk:
A hatás elképesztő, igaz?
Ez a két példa egyértelműen mutatja, hogy a függvény előzetes átalakítása integráció előtt teljesen elfogadható, és néha rendkívül megkönnyíti az életet! Az integrációban pedig ez az eljárás (az integrandus átalakítása) egy nagyságrenddel indokoltabb, mint a differenciálásban. Később meglátod.)
Nézzünk meg néhány tipikusabb átalakulást.
Rövidített szorzóképletek, zárójelek bővítése, tetszésnyilvánítások csökkentése és kifejezésosztási módszer.
Szokásos banális iskolai átalakulások. De néha csak ők spórolnak, igen.)
11. példa
Ha figyelembe vesszük a derivált, akkor nincs probléma: a szorzat deriváltjának képlete és - előre. De szabványos képlet számára integrál a műből nem létezik. És az egyetlen kiút itt az, hogy kinyitjuk az összes zárójelet, hogy az integrál alatt polinomot kapjunk. A polinomot pedig valahogy integráljuk.) De a zárójeleket is okosan nyissuk ki: a rövidített szorzás képletei erős dolog!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1) (x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
És most mérlegeljük:
És minden.)
1. példa2
Ismét a standard képlet tört integrál nem létezik. Az integrandus nevezője azonban tartalmazza magányos x. Ez radikálisan megváltoztatja a helyzetet.) Osszuk el tagonként a számlálót a nevezővel, így a rettenetes törtünket a táblázatos hatványfüggvények ártalmatlan összegére csökkentjük:
A diplomák integrálásának menetét konkrétan nem kommentálom: ezek már nem kicsik.)
Integráljuk a hatványfüggvények összegét. Tányér szerint.)
Ennyi.) Egyébként ha nem x lenne a nevező, hanem mondjuk, x+1, mint ez:
Akkor ez a tagonkénti felosztású trükk nem ment volna ilyen könnyen. Ennek oka a gyök jelenléte a számlálóban és egy a nevezőben. Meg kellene szabadulnom a gyökértől. De az ilyen integrálok sokkal bonyolultabbak. Róluk - más leckékben.
Lát! Csak egy kicsit módosítani kell a funkciót - az integráció megközelítése azonnal megváltozik. Néha drámaian!) Nincs egyértelmű szabványos séma. Minden funkciónak megvan a maga megközelítése. Néha még egyedi is.
Egyes esetekben a törtek átalakítása még bonyolultabb.
13. példa
És itt hogyan redukálható az integrál táblázatosok halmazává? Itt ügyesen kitérhet a kifejezés összeadásával és kivonásával x2 a tört számlálójában, amelyet a tagosztás követ. Nagyon ügyes fogadás integrálokban! Nézze meg a mesterkurzust! :)
És most, ha az eredeti törtet lecseréljük két tört különbségére, akkor az integrálunk két táblázatos részre bomlik fel - a már ismert hatványfüggvényre és arctangensre (8. képlet):
Nos, mit mondjak? Azta!
Ez az összeadás/kivonás számlálói trükk nagyon népszerű a racionális törtek integrálásakor. Nagyon! javaslom tudomásul venni.
14. példa
Itt is ugyanazok a technológiai szabályok. Csak egyet kell hozzáadnia/kivonnia ahhoz, hogy kiválassza a nevezőben lévő kifejezést a számlálóból:
Általánosságban elmondható, hogy a racionális törtek (polinomokkal a számlálóban és a nevezőben) egy különálló, nagyon kiterjedt témakör. A helyzet az, hogy a racionális törtek azon kevés függvényosztályok egyike, amelyek integrálásának univerzális módja. létezik. Az egyszerű törtekre bontás módszere, párosítva . De ez a módszer nagyon időigényes, és általában nehéztüzérségként használják. Egynél több leckét szentelnek neki. Addig is edzünk, és az egyszerű funkciókat is elsajátítjuk.
Foglaljuk össze a mai leckét.
Ma részletesen megvizsgáltuk a táblázat használatát, minden árnyalattal, sok (és nem a legtriviálisabb) példát elemeztünk, és megismerkedtünk az integrálok táblázatossá redukálásának legegyszerűbb módszereivel. És most is így fogunk tenni mindig. Bármilyen szörnyű funkció is legyen az integrál alatt, a legkülönfélébb transzformációk segítségével biztosítjuk, hogy előbb-utóbb az integrálunk így vagy úgy táblázatos halmazává csökkenjen.
Néhány gyakorlati tipp.
1) Ha az integrál alatt van egy tört, amelynek a számlálójában a fokok (gyökök) összege, a nevezőben pedig - magányos x, akkor a számlálónak a nevezővel való tagolását használjuk. A gyökereket hatalmakkal helyettesítjük törtmutatók és az 1-2 képletek szerinti munka.
2) A trigonometrikus konstrukciókban mindenekelőtt a trigonometria alapképleteit próbáljuk ki - kettős / hármas szög,
Nagyon szerencsés lehet. Vagy talán nem…
3) Ahol szükséges (főleg polinomokban és törtekben), használjukrövidített szorzóképletek:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
4) A törtek polinomokkal való integrálásakor a nevezőben a számlálóban lévő kifejezés(ek)et próbáljuk mesterségesen kiemelni. Nagyon gyakran leegyszerűsítik a törtet, és az integrált táblázatosak kombinációjára redukálják.
Nos, barátok? Úgy látom, kezded megkedvelni az integrálokat. :) Aztán megtöltjük a kezünket, és önállóan megoldjuk a példákat.) A mai anyag bőven elég ahhoz, hogy sikeresen foglalkozzunk velük.
Mit? Nem tudom, ? Igen! Ezen még nem mentünk keresztül.) De itt nem kell közvetlenül integrálni őket. És az iskolai tanfolyam segíthet!)
Válaszok (rendetlenségben):
Mert legjobb eredményeket Erősen javaslom a G.N. feladatgyűjtemény megvásárlását. Berman. Klassz dolog!
És csak ennyi van mára. Sok szerencsét!
Megmutattuk, hogy a sin x és cos x hatványfüggvények szorzatának integrálja redukálható a differenciális binomiális integráljára. A kitevők egész értékéhez az ilyen integrálok könnyen kiszámíthatók részenként vagy redukciós képletekkel. A redukciós képletek származtatása adott. Adunk egy példát egy ilyen integrál kiszámítására.
TartalomLásd még:
Határozatlan integrálok táblázata
Redukció a differenciális binomiális integráljára
Tekintsük az űrlap integráljait:
Az ilyen integrálokat a t = helyettesítések egyikének differenciális binomiálisának integráljára redukáljuk bűn x vagy t= cos x.
Mutassuk meg ezt helyettesítéssel
t = bűn x.
Azután
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x \u003d 1 - sin 2 x \u003d 1 - t 2;
Ha m és n racionális számok, akkor differenciális binomiális integrációs módszereket kell alkalmazni.
Integrálás m és n egész számokkal
Ezután vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor m és n egész szám (nem feltétlenül pozitív). Ebben az esetben az integrandus racionális függvénye bűn xÉs cos x. Ezért a „Trigonometrikus racionális függvények integrálása” részben bemutatott szabályok alkalmazhatók.
A sajátosságok figyelembevételével azonban könnyebben használhatók a redukciós képletek, amelyek könnyen előállíthatók alkatrészenkénti integrálással.
Öntött képletek
Redukciós képletek az integrálhoz
hasonló:
;
;
;
.
Ezeket nem kell memorizálni, mivel könnyen beszerezhetők részenkénti integrálással.
A redukciós képletek igazolása
Alkatrészenként integráljuk.
M + n-nel megszorozva megkapjuk az első képletet:
Hasonlóképpen megkapjuk a második képletet.
Alkatrészenként integráljuk.
M + n-nel megszorozva a második képletet kapjuk:
Harmadik képlet.
Alkatrészenként integráljuk.
n-vel szorozva + 1
, megkapjuk a harmadik képletet:
Hasonlóan a negyedik képlethez is.
Alkatrészenként integráljuk.
M-vel szorozva + 1
, megkapjuk a negyedik képletet:
Példa
Számítsuk ki az integrált:
Alakítsuk át:
Itt m = 10, n = -4.
A redukciós képletet alkalmazzuk:
A m = 10, n = -4:
A m = 8, n = -2:
A redukciós képletet alkalmazzuk:
A m = 6, n = - 0:
A m = 4, n = - 0:
A m = 2, n = - 0:
Kiszámoljuk a maradék integrált:
A közbenső eredményeket egy képletbe gyűjtjük.
Referenciák:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Feladatok gyűjteménye on felsőbb matematika, "Lan", 2003.