A 8. fejezetben olyan típusú nem numerikus objektumokat vettünk figyelembe, mint a fuzzy és a véletlen halmazok. Ennek a függeléknek az a célja, hogy mélyebben tanulmányozza a fuzzy halmazok tulajdonságait, és megmutassa, hogy a fuzzy halmazok elmélete bizonyos értelemben a véletlen halmazok elméletére redukálódik. E cél elérése érdekében tételek láncolatát fogalmazzák meg és igazolják.

A következőkben feltételezzük, hogy az összes figyelembe vett fuzzy halmaz ugyanannak a halmaznak a részhalmaza Y.

P2-1. De Morgan törvényei fuzzy halmazokra

Mint ismeretes, a halmazok algebrájának következő azonosságait Morgan-törvényeknek nevezzük

1. tétel.A fuzzy halmazoknál az identitások

(3)

Az 1. Tétel bizonyítása a (2) és (3) relációk érvényességének közvetlen ellenőrzéséből áll, az ezekben az összefüggésekben részt vevő fuzzy halmazok tagsági függvényeinek értékeinek kiszámításával a 8. fejezetben megadott definíciók alapján.

A (2) és (3) identitás meg lesz hívva de Morgan törvényei fuzzy halmazokra. Az (1) relációk klasszikus esetével ellentétben négy azonosságból állnak, amelyek közül az egyik pár az egyesülés és a metszés, a második pár pedig a szorzat és az összeg műveleteire vonatkozik. A halmazok algebrájának (1) relációjához hasonlóan a fuzzy halmazok algebrájában a de Morgan-törvények lehetővé teszik a kifejezések és formulák transzformálását, amelyek tagadási műveleteket tartalmaznak.

P2-2. Eloszlási törvény fuzzy halmazokra

A halmazműveletek egyes tulajdonságai nem érvényesek fuzzy halmazokra. Igen, kivéve amikor DE- "clear" set (azaz a tagsági függvény csak a 0 és 1 értékeket veszi fel).

Igaz-e az eloszlási törvény a fuzzy halmazokra? A szakirodalom néha homályosan állítja, hogy "nem mindig". Tegyük teljesen világossá.

2. tétel.Bármilyen fuzzy A, B és C halmazhoz

Ugyanakkor az egyenlőség

akkor és csak akkor igaz mindenkire

Bizonyíték. Egy tetszőleges elemet rögzítünk. A jelölés lerövidítéséhez jelöljük Az azonosság bizonyításához (4), ezt szükséges megmutatni

Vegye figyelembe a három szám különböző sorrendjét a, b, c. Legyen először Akkor a (6) összefüggés bal oldala és a jobb oldala i.e. egyenlőség (6) érvényes.

Legyen Akkor a (6) relációban a bal és a jobb oldalon áll, azaz. a (6) reláció ismét egyenlőség.

Ha ekkor a (6) relációban a bal és a jobb oldalon áll, azaz. mindkét rész ismét megegyezik.

Három másik számsorrend a, b, c nem kell szétszedni, hiszen a (6) relációban a számok bÉs c szimmetrikusan lépjen be. Az azonosság (4) bizonyítva.

A 2. Tétel második állítása abból a tényből következik, hogy a fuzzy halmazokra vonatkozó műveletek definíciói szerint (lásd a 8. fejezetet)

Ez a két kifejezés akkor és csak akkor és mikor esik egybe, amit igazolni kellett.

1. definíció.Az A fuzzy halmaz hordozója az összes pont gyűjteménye , amelyekre

A 2. tétel következménye.Ha a B és C fuzzy halmazok támaszai egybeesnek Y-val, akkor az (5) egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha A "tiszta" (vagyis közönséges, klasszikus, nem fuzzy) halmaz.

Bizonyíték. Feltétel szerint az összes . Ekkor a 2. tételből az következik, hogy azok. vagy , ami azt jelenti DE- átlátszó készlet.

P2-3. Fuzzy halmazok véletlen halmazok vetületeiként

A megjelenés kezdetétől fogva modern elmélet Az 1960-as években az elmosódottság elkezdte tárgyalni a valószínűségszámítással való kapcsolatát. A tény az, hogy egy fuzzy halmaz tagsági függvénye egy valószínűségi eloszláshoz hasonlít. Az egyetlen különbség az, hogy a valószínűségek összege a valószínűségi változó (vagy az integrál, ha a lehetséges értékek halmaza megszámlálhatatlan) összes lehetséges értéke mindig egyenlő 1-gyel, és az összeg S a tagsági függvény értéke (folytonos esetben a tagsági függvény integrálja) tetszőleges lehet nem negatív szám. Fennáll a kísértés a tagsági funkció normalizálására, i.e. osztja el az összes értékét S(nál nél S 0) valószínűségi eloszlásra (vagy valószínűségi sűrűségre) redukálni. A fuzzy-val foglalkozó szakemberek azonban joggal kifogásolják az ilyen „primitív” redukciót, mivel azt minden egyes fuzzy-halmazra külön-külön hajtják végre, és a fuzzy halmazokra vonatkozó közönséges műveletek definíciói nem érthetők vele. Az utolsó állítás a következőket jelenti. Legyen a fuzzy halmazok tagsági függvényei DEÉs BAN BEN. Hogyan alakulnak át ebben az esetben a tagsági funkciók? Telepítse elvileg lehetetlen. Az utolsó állítás egészen világossá válik, ha több példát is megvizsgálunk fuzzy halmazok párjaira, amelyek tagsági függvényei azonos értékösszegekkel rendelkeznek, de a halmazelméleti műveletek eltérő eredményei vannak rajtuk, és a megfelelő tagsági függvények értékeinek összegeit. a halmazelméleti műveletek ezen eredményeire például a halmazok metszéspontjai is eltérőek.

A fuzzy halmazokkal foglalkozó művekben meglehetősen gyakran hangzik el, hogy a fuzzyság elmélete az alkalmazott matematika önálló ága, és semmi köze a valószínűségszámításhoz (lásd például a monográfiák irodalmi áttekintését). A fuzzy elméletet és a valószínűségszámítást összehasonlító szerzők általában hangsúlyozták az elméleti és az alkalmazott kutatás ezen területei közötti különbséget. Általában az axiomatikát és az alkalmazási területeket hasonlítják össze. Rögtön meg kell jegyezni, hogy a második típusú összehasonlításban szereplő érvek nem bírnak bizonyító erővel, hiszen még egy olyan nagy múltú tudományterület, mint a valószínűségi-statisztikai módszerek alkalmazhatóságának határairól is megoszlanak a vélemények. Emlékezzünk vissza, hogy az egyik leghíresebb francia matematikus, Henri Lebesgue okfejtésének eredménye az aritmetika alkalmazhatóságának határairól a következő: „Az aritmetika akkor alkalmazható, amikor alkalmazható” (lásd monográfiáját).

A fuzzy elmélet és a valószínűségszámítás különböző axiómáinak összehasonlításakor könnyen belátható, hogy az axiómák listája különbözik. Ebből azonban korántsem következik, hogy ezen elméletek között lehetetlen kapcsolatot teremteni, mint például az euklideszi geometria síkon jól ismert redukciója aritmetikára (pontosabban számrendszer elméletére - ld. például a monográfia). Emlékezzünk vissza, hogy ez a két axiomatika – az euklideszi geometria és az aritmetika – első pillantásra nagyon különbözik.

Megérthető az új irányzat rajongóinak vágya, hogy hangsúlyozzák tudományos apparátusuk alapvető újszerűségét. Ugyanilyen fontos azonban az új megközelítés és a korábban ismert megközelítések közötti kapcsolatok kialakítása.

Mint kiderült, a fuzzy halmazok elmélete szorosan összefügg a véletlenhalmazok elméletével. Még 1974-ben kimutatták a munkában, hogy természetes, hogy a fuzzy halmazokat véletlen halmazok "vetületeinek" tekintjük. Tekintsük ezt a módszert a fuzzy halmazok elméletének a véletlen halmazok elméletére való redukálására.

2. definíció.Legyen - egy véges Y halmaz véletlenszerű részhalmaza. Az Y-on definiált fuzzy B halmazt A vetületnek nevezzük, és Proj A-val jelöljük, ha

(7)

mindenkinek

Nyilvánvalóan minden véletlenszerű halmaz DE a (7) képlet fuzzy halmaza segítségével megfeleltethető B = A projekt. Kiderül, hogy ennek az ellenkezője is igaz.

3. tétel. Egy véges Y halmaz bármely fuzzy B részhalmazához létezik az Y halmaz A véletlenszerű részhalmaza, amelyre B = Proj A.

Bizonyíték. Elegendő a véletlenhalmaz eloszlását megadni DE. Legyen 1- hordozó BAN BEN(lásd fent az 1. meghatározást). Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük néhánynál més elemek 1úgy számozva, hogy

Bemutatjuk a készleteket

Az összes többi részhalmazhoz x készletek Nál nél tegyük P(A=X)=0. Mivel az elem y t tartalmazza a készlet I(1), I(2),…, I(t)és nincs benne készletek Y(t+1),…, Y(m), azután a fenti képletekből az következik Ha akkor nyilvánvalóan bebizonyosodik a 3. Tétel.

Egy független elemekkel rendelkező véletlenhalmaz eloszlását a 8. fejezet megfontolásaiból következően annak vetülete teljes mértékben meghatározza. Egy véges véletlenszerű halmazhoz Általános nézet ez nem igaz. Az elmondottak tisztázásához a következő tételre van szükségünk.

4. tétel. Egy végesből származó Y halmaz A véletlenszerű részhalmazára elemek száma számkészletek És egymáson keresztül fejeződnek ki.

Bizonyíték. A második halmazt a következőképpen fejezzük ki az elsővel:

Az első halmaz elemei a másodikban kifejezhetők a formális logikából való bezárások és kizárások képletével, amely szerint

Ebben a képletben az első összegben nál nél végigfut a halmaz összes elemén Y\X, a második összegben az összegző változók 1És 2-kor nem esnek egybe, és át is futják ezt a halmazt, és így tovább. A befoglalási és kizárási képletre való hivatkozás teszi teljessé a 4. tétel bizonyítását.

A 4. Tétel szerint egy A véletlenhalmaz nemcsak eloszlással, hanem számkészlettel is jellemezhető. Ebben a halmazban nincs más egyenlőség típusú reláció. Ez a halmaz számokat tartalmaz, ezért egy véletlen halmaz vetületének rögzítése egyenértékű a rögzítéssel k = Kártya(Y) paraméterek innen (2k-1) véletlenhalmaz eloszlását meghatározó paraméterek DEáltalában.

A következő tétel hasznos lesz.

5. tétel. Ha Proj A = B, azután

Ennek bizonyításához elegendő a véletlenhalmazok elméletéből származó azonosságot, a 8. fejezetből a lefedés valószínűségének képletét, a fuzzy halmaz tagadásának definícióját, valamint azt a tényt használni, hogy az összes P(A= X) egyenlő 1-gyel.

P2-4. Fuzzy és véletlen halmazok metszéspontjai és szorzatai

Nézzük meg, hogyan kapcsolódnak a véletlenhalmazokon végzett műveletek a vetületeiken végzett műveletekhez. A de Morgan-törvények (1. tétel) és az 5. tétel értelmében elegendő a véletlen halmazok metszéspontjának műveletét figyelembe venni.

6. tétel. Ha egy véges halmaz A 1 és A 2 véletlenszerű részhalmazai függetlenek, akkor a fuzzy halmaz egy termék fuzzy halmazok Proj A 1 és Proj A 2 .

Bizonyíték. Ezt minden esetben meg kell mutatnunk

Egy pont véletlenhalmaz általi lefedésének valószínűségének képlete szerint (8. fejezet)

Mint ismeretes, a véletlen halmazok metszésponti eloszlása közös eloszlásukkal a következőképpen fejezhető ki:

A (9) és (10) összefüggésekből következik, hogy a véletlenhalmazok metszéspontjának lefedésének valószínűsége dupla összegként ábrázolható.

Jegyezze meg most, hogy a (11) képlet jobb oldala a következőképpen írható át:

(12)

Valójában a (11) képlet csak abban különbözik a (12) képlettől, hogy olyan kifejezéseket tartalmaz, amelyekben az összegző változók metszéspontja állandó értéket vesz fel. A véletlenhalmazok függetlenségének definícióját és az összegek szorzásának szabályát felhasználva azt kapjuk, hogy (11) és (12)-ből az egyenlőség következik

A 6. Tétel bizonyításának teljessé tételéhez elegendő még egyszer utalni egy pont véletlenhalmaz általi lefedésének valószínűségére vonatkozó képletre (8. fejezet).

3. definíció. Egy C véletlenhalmaz hordozója az összes elem gyűjteménye amelyekre

7. tétel.Egyenlőség

akkor és csak akkor igaz, ha véletlen halmazok támaszainak metszéspontja És üres.

Bizonyíték. Ki kell deríteni, milyen feltételek mellett

Ekkor a (13) egyenlőség a feltételre redukálódik

Nyilvánvaló, hogy a (14) reláció akkor és csak akkor teljesül R 2 R 3=0 minden i.e. nincs olyan elem, hogy ugyanakkor És , és ez ekvivalens a véletlenhalmazok támaszai metszéspontjának ürességével és . A 7. tétel bizonyítást nyer.

P2-5. Műveletek sorozatának csökkentése fuzzy halmazokon

véletlen halmazokon végzett műveletsorozathoz

A fentiekben néhány összefüggést kapunk a fuzzy és a véletlen halmazok között. Érdemes megjegyezni, hogy ezeknek a kapcsolatoknak a tanulmányozása a munkában (ezt a munkát 1974-ben végezték, és a "Multidimenziós" szemináriumon számoltak be. Statisztikai analízisés a valós folyamatok valószínűségi modellezése "1974. december 18. - lásd) a véletlen halmazok bevezetésével kezdődött a fuzzy halmazok apparátusának fejlesztése és általánosítása érdekében L. Zadeh. A tény az, hogy a fuzzy halmazok matematikai apparátusa nem teszi lehetővé a figyelembe kell venni különféle lehetőségek a segítségével modellezett fogalmak (objektumok) közötti függőségek nem elég rugalmasak. Tehát két fuzzy halmaz "közös részének" leírásához csak két művelet van - a szorzat és a metszés. Ha ezek közül az elsőt használjuk, akkor a halmazok valójában független véletlenhalmazok vetületeiként viselkednek (lásd fent a 6. tételt). A metszés művelete a halmazok közötti függőség típusát illetően is jól definiált megszorításokat ír elő (lásd fentebb a 7. tételt), és ebben az esetben még szükséges és elégséges feltételek is megtalálhatók. Kívánatos, hogy több lehetőség nyíljon a halmazok (fogalmak, objektumok) közötti függőség modellezésére. Használat matematikai berendezés véletlen halmazok biztosítanak ilyen lehetőségeket.

A fuzzy halmazok véletlenszerűvé redukálásának az a célja, hogy minden fuzzy halmazból származó konstrukció mögé lássunk egy véletlen halmazból származó konstrukciót, amely meghatározza az első tulajdonságait, ahogyan a valószínűségi eloszlás sűrűségénél látunk egy valószínűségi változót. Ebben az alfejezetben a fuzzy halmazok algebrájának véletlenhalmazok algebrájává való redukciójáról mutatunk be eredményeket.

4. definíció.Valószínűségi tér { W, G, P)oszthatónak nevezzük, ha bármely mérhető X G halmazra és bármely pozitív szám , kisebb, mint P(X), megadhatunk egy mérhető halmazt úgy, hogy

Példa. Legyen egy véges dimenziós egységkockája lineáris tér, G a Borel halmazok szigma-algebrája, és P a Lebesgue-mérték. Azután { W, G, P)- osztható valószínűségi tér.

Így egy osztható valószínűségi tér nem egzotikus. A szabályos kocka egy példa egy ilyen térre.

A példában megfogalmazott állítás bizonyítása standard matematikai módszerekkel történik azon a tényen alapulva, hogy egy mérhető halmaz tetszőlegesen pontosan közelíthető nyitott készletek, ez utóbbiakat legfeljebb megszámlálható számú nyitott golyó összegeként ábrázoljuk, és a golyók esetében az oszthatóságot közvetlenül ellenőrizzük (a térfogattestet az X golyótól egy megfelelő sík választja el).

8. tétel.Legyen adott egy A véletlenhalmaz egy osztható valószínűségi téren (W, G, P) véges számú elemből álló Y halmaz összes részhalmazának értékeivel, Y-n pedig D fuzzy halmaz. Ekkor vannak véletlenszerű halmazok ~ 1, 2-től, 3-tól, C 4 ugyanazon a valószínűségi téren úgy, hogy

ahol B = ProjA.

Bizonyíték. A fuzzy-ra (lásd fentebb 1. tétel) és a véletlen halmazokra vonatkozó de Morgan-törvények, valamint a fenti 5. tétel (a tagadásokról) érvényessége miatt elegendő a véletlenhalmazok létezésének bizonyítása. 1-tőlÉs 2-től .

Tekintsük a valószínűségi eloszlást a halmaz összes részhalmazának halmazában Nál nél, amely egy véletlenszerű halmaznak felel meg TÓL TŐL oly módon, hogy Proj C = D(a 3. tétel alapján létezik). Építsünk egy véletlenszerű halmazt C 2 Csak az elemet zárja ki ugyanabból az Y halmazból úgy, hogy

és emellett a halmazelméleti műveletek eredményeit hasonló összefüggések kapcsolják össze

ahol a jel azt jelenti, hogy a szóban forgó hely a véletlenhalmazok metszéspontjának szimbóluma, ha B m definíciója tartalmazza a metszés szimbólumát vagy a fuzzy halmazok szorzatának szimbólumát, és ennek megfelelően az egyesülés szimbólumát véletlen halmazok, ha B m tartalmazza az unió szimbólumát vagy a fuzzy halmazok összegének szimbólumát.

De Morgan törvényei az logikai szabályokat, amelyet Augustus de Morgan skót matematikus hozott létre, és logikai negáció segítségével kapcsolja össze a logikai műveletpárokat.

Augustus de Morgan észrevette, hogy a következő összefüggések igazak a klasszikus logikában:

nem (A és B) = (nem A) vagy (nem B)

nem (A vagy B) = (nem A) és (nem B)

Számunkra ismertebb formában ezek az arányok a következő formában írhatók fel:

De Morgan törvényei a következőképpen fogalmazhatók meg:

I de Morgan törvénye: Két egyszerű állítás diszjunkciójának tagadása ekvivalens ezen állítások tagadásának konjunkciójával.

II de Morgan törvénye: Két egyszerű állítás konjunkciójának tagadása egyenértékű ezen állítások tagadásának disjunkciójával.

Tekintsük de Morgan törvényeinek alkalmazását konkrét példákon.

1. példa Alakítsa át a képletet úgy, hogy ne legyenek tagadásai az összetett állításoknak.

Használjuk az első de Morgan törvényt, így kapjuk:

alkalmazzuk a második de Morgan törvényt a B és C egyszerű állítások konjunkciójának tagadására, így kapjuk:

így:

Ennek eredményeként egy ekvivalens állítást kaptunk, amelyben nincsenek tagadásai az összetett állításoknak, és minden tagadás csak egyszerű állításokra vonatkozik.

A megoldás érvényességét igazságtáblázatok segítségével ellenőrizheti. Ehhez igazságtáblázatokat állítunk össze az eredeti állításhoz:

valamint a de Morgan-törvények felhasználásával végrehajtott átalakítások eredményeként kapott állításra:

Asztal 1.

			IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT	ABC

Amint a táblázatokból látjuk, az eredeti logikai állítás és a de Morgan-törvények segítségével kapott logikai állítás egyenértékűek. Ezt bizonyítja, hogy az igazságtáblázatokban ugyanazokat az értékkészleteket kaptuk.

A logika képletei és törvényei

A bevezető óra elkötelezett a matematikai logika alapjai, megismerkedtünk ennek a matematikai résznek az alapfogalmaival, és most a téma természetes folytatást kap. Az új elméleti, vagy inkább nem is elméleti - hanem általános oktatóanyag mellett gyakorlati feladatok is várnak ránk, ezért ha keresőből érkezett erre az oldalra és/vagy rosszul tájékozódik az anyagban, kérjük kövesse a linket fent, és induljon az előző cikkből. Ezenkívül a gyakorláshoz 5-re van szükségünk igazságtáblázatok logikai műveletek amit én erősen ajánlott kézzel átírni.

NE emlékezzen, NE nyomtasson, nevezetesen még egyszer értse meg és írja át papírra a saját kezével - hogy a szeme előtt legyenek:

– asztal NEM;
- I. táblázat;
– VAGY táblázat;
– implikációs táblázat;
- Egyenértékűségi táblázat.

Ez nagyon fontos. Elvileg kényelmes lenne számozni őket "1. táblázat", "2. táblázat" stb., de többször is hangsúlyoztam ennek a megközelítésnek a hibáját - ahogy mondani szokás, az egyik forrásban a táblázat lesz az első, a másikban pedig a százelső. Ezért "természetes" neveket fogunk használni. Folytatjuk:

Valójában már ismeri a logikai képlet fogalmát. Adok egy színvonalat, de inkább szellemes meghatározás: képletek A propozíciós algebrákat:

1) bármely elemi (egyszerű) állítás;

2) ha és képletek, akkor a képletek is az alak kifejezései
.

Nincsenek más képletek.

Konkrétan egy képlet bármely logikai művelet, például logikai szorzás. Ügyeljen a második pontra - ez lehetővé teszi rekurzív módja egy tetszőlegesen hosszú képlet "létrehozásának". Amennyiben képletek, akkor egyben képlet is; mivel és képletek, akkor - képlet is stb. Bármilyen elemi állítás (megint definíció szerint) többször is megadhatja a képletet.

Képlet nem például egy rekord - és itt van egy nyilvánvaló analógia az "algebrai szeméttel", amelyből nem világos, hogy a számokat össze kell-e adni vagy szorozni.

A logikai képlet úgy képzelhető el logikai függvény. Írjuk le ugyanazt a kötőszót funkcionális formában:

Az elemi állítások ebben az esetben argumentumok (független változók) szerepét is betöltik, amelyek a klasszikus logikában 2 értéket vehetnek fel: igaz vagy Hamis. A következőkben a kényelem kedvéért néha egyszerű kijelentéseknek fogok nevezni változók.

A logikai képletet (függvényt) leíró táblázatot, mint már említettük, ún. igazságtáblázat. Kérem - egy ismerős kép:

Az igazságtábla kialakításának elve a következő: "a bemeneten" listázni kell minden lehetséges kombináció igazságok és hazugságok, amelyeket az elemi állítások (érvek) elfogadhatnak. Ebben az esetben a képlet két állítást tartalmaz, és könnyen kideríthető, hogy négy ilyen kombináció létezik. „A kimeneten” megkapjuk a teljes képlet (függvény) megfelelő logikai értékeit.

Azt kell mondanom, hogy a „kilépés” itt „egy lépésben” történt, de általában a logikai képlet bonyolultabb. És ilyen "nehéz esetekben" meg kell figyelni a logikai műveletek végrehajtási sorrendje:

- először a tagadást hajtják végre;
- másodszor - kötőszó;
- majd - diszjunkció;
- akkor az implikáció ;
- és végül a legalacsonyabb prioritásnak van megfelelője.

Tehát például a bejegyzés azt jelenti, hogy először logikai szorzást kell végrehajtania, majd - logikai összeadást:. Csakúgy, mint a "közönséges" algebrában - "először szorozunk, majd összeadunk."

A műveletek sorrendje a szokásos módon módosítható - zárójelben:
- itt mindenekelőtt diszjunkciót hajtanak végre, és csak utána egy „erősebb” műveletet.

Valószínűleg mindenki megérti, de hátha egy tűzoltó: és ez két különböző képletek! (formálisan és tartalmilag is)

Készítsünk igazságtáblázatot a képlethez. Ez a képlet két elemi utasítást tartalmaz, és a „bemenetnél” fel kell sorolnunk az egyesek és nullák összes lehetséges kombinációját. A félreértések és következetlenségek elkerülése érdekében egyetértünk a kombinációk felsorolásával szigorúan abban a sorrendben (amit tulajdonképpen a kezdetektől fogva de facto használok):

A képlet két logikai műveletet tartalmaz, és ezek prioritása szerint először is végre kell hajtani tagadás nyilatkozatok. Nos, tagadjuk a „pe” oszlopot - az egységeket nullákká, a nullákat pedig mértékegységekké alakítjuk:

A második lépésben megnézzük az oszlopokat és alkalmazzuk őket VAGY művelet. Kicsit előre tekintve azt mondom, hogy a diszjunkció megváltoztatható (és ugyanaz), és ezért az oszlopok a szokásos sorrendben - balról jobbra - elemezhetők. Logikai összeadás végrehajtásakor célszerű a következő alkalmazott érvelést használni: "Ha két nulla van, akkor nullát, ha legalább egy mértékegységet, akkor egyet":

Az igazságtáblázat megépült. És most emlékezzünk a régi jó következtetésre:

… figyelmesen-figyelmesen… nézd meg az utolsó oszlopokat…. A propozíciós algebrában az ilyen képleteket ún egyenértékű vagy azonos:

(három vízszintes vonal az azonosság ikonja)

A lecke 1. részében megígértem, hogy alapvető logikai műveletekkel fejezem ki az implikációt, és az ígéret beteljesülése nem váratott sokáig! Azok, akik szeretnének, értelmes jelentést tulajdoníthatnak az implikációnak (pl. "Ha esik, nyirkos kint")és önállóan elemezze az ekvivalens állítást.

Fogalmazzuk meg általános meghatározás : a két képlet ún egyenértékű (azonos), ha ugyanazokat az értékeket veszik az ezekben a változóképletekben szereplő bármely értékkészlethez (elemi állítások). Azt is mondják "a képletek egyenértékűek, ha az igazságtáblázatuk azonos", de nem igazán szeretem ezt a kifejezést.

1. Feladat

Készítsen igazságtáblázatot a képlethez, és győződjön meg arról, hogy az Ön által ismert azonosság igaz.

Ismételjük meg az eljárást a probléma megoldásához:

1) Mivel a képlet két változót tartalmaz, összesen 4 lehetséges nulla és egyes halmaza lesz. Ezeket a fent megadott sorrendben írjuk le.

2) Az implikációk „gyengébbek”, mint a kötőszavak, de zárójelben vannak. Az oszlopot kitöltjük, miközben kényelmesen használható a következő alkalmazott érvelés: „Ha az egyből nulla következik, akkor nullát teszünk, minden más esetben egyet”. Ezután töltse ki az implikáció oszlopát, és ezzel egyidejűleg Figyelem!– oszlopok, és „jobbról balra” kell elemezni!

3) És az utolsó szakaszban töltse ki az utolsó oszlopot. És itt kényelmes így vitatkozni: „ha két egyes van az oszlopokban, akkor egyet teszünk, minden más esetben nullát”.

És végül ellenőrizzük az igazságtáblázatot egyenértékűségek .

Propozíciós algebra alapegyenértékei

Közülük most találkoztunk kettővel, de a dolog természetesen nem korlátozódik rájuk. Elég sok identitás létezik, és felsorolom közülük a legfontosabbakat és a leghíresebbeket:

A konjunkció kommutativitása és a diszjunkció kommutativitása

kommutativitás egy permutáció:

Ismerős az 1. osztályos szabályok: „A tényezők (kifejezések) átrendeződésétől a szorzat (összeg) nem változik”. De ennek a tulajdonságnak minden látszólagos elemisége ellenére messze nem mindig igaz, különösen nem kommutatív. mátrixszorzás (általában nem rendezhetők át), de vektorok keresztszorzata– antikommutatívan (a vektorok permutációja előjelváltással jár).

És emellett itt is szeretném hangsúlyozni a matematikai logika formalizmusát. Tehát például kifejezések "A diák sikeresen vizsgázott és ivott"És "A diák ivott és sikeres vizsgát tett" tartalmi szempontból eltérő, de a formai igazság szempontjából megkülönböztethetetlen. ... Mindannyian ismerünk ilyen tanulókat, etikai okokból konkrét neveket nem mondunk =)

A logikai szorzás és összeadás asszociativitása

Vagy ha az „iskolai stílus” asszociatív tulajdonság:

Elosztási tulajdonságok

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a 2. esetben helytelen lesz "a zárójelek kinyitásáról" beszélni, bizonyos értelemben itt egy "kitaláció" - elvégre teljesen eltávolíthatók: a szorzás erősebb művelet.

És még egyszer - ezek a látszólag „banális” tulajdonságok messze nem teljesülnek mindenben algebrai rendszerek, és ráadásul bizonyítást igényel (amiről hamarosan beszélünk). A második eloszlási törvény egyébként még a mi „hétköznapi” algebránkban sem érvényes. És valóban:

Idempotencia törvénye

Mit tegyek, latin....

Csak az egészséges psziché néhány alapelve: „Én és én vagyok én”, „Én vagy én is én vagyok” =)

És itt van néhány hasonló identitás:

... nos, valamit le is tettem... szóval holnap Ph.D.-vel ébredhetsz =)

A kettős tagadás törvénye

Nos, itt az orosz nyelvű példa már önmagát sugallja - mindenki nagyon jól tudja, hogy két „nem” részecske „igen”-t jelent. És a tagadás érzelmi színezetének fokozása érdekében gyakran három „nem”-et használnak:
- még egy apró bizonyítással is működött!

Abszorpciós törvények

- Fiú volt? =)

A megfelelő azonosságban a zárójelek elhagyhatók.

De Morgan törvényei

Tegyük fel, hogy egy szigorú tanár (akinek a nevét is tudod :)) vizsgát tesz, ha - A tanuló az 1. kérdésre válaszolt És – A tanuló a 2. kérdésre válaszolt. Aztán a nyilatkozat, amely szerint Diák nemátment a vizsgán, egyenértékű lesz a következő kijelentéssel - Diák nem válaszolt az 1. kérdésre vagy a 2. kérdésre.

Ahogy fentebb megjegyeztük, az ekvivalenciákat bizonyítani kell, amit általában igazságtáblázatok segítségével hajtanak végre. Valójában már bebizonyítottuk az implikációt és az ekvivalenciát kifejező egyenértékűségeket, és most itt az ideje, hogy rögzítsük a probléma megoldásának technikáját.

Bizonyítsuk be az azonosságot. Mivel egyetlen utasítást tartalmaz, így csak két lehetőség lehetséges a bemeneten: egy vagy nulla. Ezután egyetlen oszlopot rendelünk hozzá, és alkalmazzuk őket szabály ÉS:

Ennek eredményeként a "kimeneten" egy képletet kapunk, amelynek igazsága egybeesik az állítás igazságával. Az egyenértékűség bebizonyosodott.

Igen, ez a bizonyíték primitív (és valaki azt fogja mondani, hogy ez "hülyeség"), de egy tipikus matek logika tanár kirázza érte a lelkét. Ezért még az ilyen egyszerű dolgokat sem szabad megvetéssel kezelni.

Most győződjünk meg például de Morgan törvényének érvényességéről.

Először is hozzunk létre egy igazságtáblázatot a bal oldalra. Mivel a diszjunkció zárójelben van, mindenekelőtt ezt hajtjuk végre, majd tagadjuk az oszlopot:

Ezután összeállítunk egy igazságtáblázatot a jobb oldalra. Itt is minden átlátható - először több „erős” negatívumot hajtunk végre, majd alkalmazzuk az oszlopokra szabály ÉS:

Az eredmények megegyeztek, így az azonosság igazolt.

Bármilyen ekvivalencia ábrázolható ugyanúgy igaz képlet. Ez azt jelenti BÁRMILYEN nullák és egyesek kezdeti halmazához"kimenetnél" szigorúan egységet kapunk. Ennek pedig nagyon egyszerű magyarázata van: mivel az igazságtáblázatok és egybeesnek, akkor természetesen ekvivalensek, vegyük össze például az imént bizonyított de Morgan azonosság bal és jobb oldalát ekvivalenciával:

Vagy tömörebben:

2. feladat

Igazolja a következő egyenértékűségeket:

Rövid megoldás a lecke végén. Ne legyünk lusták! Próbálj meg ne csak igazságtáblázatokat készíteni, hanem azt is tisztán következtetéseket megfogalmazni. Ahogy nemrég megjegyeztem, az egyszerű dolgok figyelmen kívül hagyása nagyon-nagyon drága lehet!

Továbbra is ismerkedünk a logika törvényeivel!

Igen, teljesen igaz – már most is nagy erőkkel dolgozunk velük:

Igaz nál nél , nak, nek hívják ugyanúgy igaz képlet vagy a logika törvénye.

Az ekvivalenciáról az azonosan igaz képletre korábban indokolt átmenetnek köszönhetően az összes fent felsorolt azonosság a logika törvénye.

Képlet, amely értéket vesz fel Hazugság nál nél a benne szereplő változók bármely értékkészlete, nak, nek hívják azonosan hamis képlet vagy ellentmondás.

Az ellentmondás jellegzetes példája az ókori görögöktől:
Egyetlen állítás sem lehet egyszerre igaz és hamis.

A bizonyíték triviális:

Az „Output” kizárólag nullákat kapott, ezért a képlet valóban azonos hamis.

Azonban minden ellentmondás a logika törvénye is, különösen:

Lehetetlen egy ilyen hatalmas témát egyetlen cikkben lefedni, ezért csak néhány további törvényre szorítkozom:

A kizárt közép törvénye

- a klasszikus logikában minden állítás igaz vagy hamis, és nincs harmadik út. „Lenni vagy nem lenni” – ez a kérdés.

Készítse el saját igazságtáblázatát, és győződjön meg róla, hogy az ugyanúgy igaz képlet.

Ellenállás törvénye

Ezt a törvényt aktívan eltúlozták, amikor a lényegről beszéltünk szükséges feltétel, emlékezik: "Ha eső alatt nyirkos van kint, abból az következik, hogy ha kint száraz, akkor biztosan nem esett".

Ebből a törvényből az is következik, hogy ha igazságos egyenes tétel, majd az állítás, amelyet néha ún szemben tétel.

Ha igaz fordított tétel, akkor az ellentmondás törvénye értelmében a tétel is érvényes, ellenkező fordítottja:

És térjünk vissza értelmes példáinkhoz: az állításokhoz - egy szám osztható 4-gyel, - egy szám osztható 2-vel becsületes egyenesÉs szemben tételek, de hamisak fordítottÉs ellenkező fordítottja tételek. A Pitagorasz-tétel „felnőtt” megfogalmazására mind a 4 „irány” igaz.

A szillogizmus törvénye

Szintén a műfaj klasszikusa: "Minden tölgy fa, minden fa növény, tehát minden tölgy növény".

Nos, itt ismét megjegyezném a matematikai logika formalizmusát: ha szigorú Tanárunk azt hiszi, hogy egy bizonyos Diák egy tölgy, akkor formális szempontból ez a Diák minden bizonnyal növény =) ... bár, ha ha belegondolsz, lehet informálisból is =)

Készítsünk igazságtáblázatot a képlethez. A logikai műveletek prioritásának megfelelően a következő algoritmust alkalmazzuk:

1) hajtsa végre az implikációkat és . Általánosságban elmondható, hogy azonnal végrehajthatja a 3. implikációt, de kényelmesebb vele (és megengedett!) kicsit később találd ki

2) alkalmazza az oszlopokra szabály ÉS;

3) most végrehajtjuk;

4) és az utolsó lépésben alkalmazza az implikációt az oszlopokra És .

Nyugodtan irányíthatod a folyamatot a mutató és a középső ujjaddal :))

Az utolsó rovatból azt hiszem, minden egyértelmű kommentár nélkül:
, amit bizonyítani kellett.

3. feladat

Nézze meg, hogy ez a logika törvénye-e következő képletet:

Rövid megoldás a lecke végén. Igen, és majdnem elfelejtettem – egyezzünk meg abban, hogy a nullák és egyesek kezdőhalmazait pontosan ugyanabban a sorrendben soroljuk fel, mint a szillogizmustörvény bizonyításakor. Természetesen a sorok átrendezhetők, de ez nagyon megnehezíti az összhangot az én megoldásommal.

Boole-képletek konvertálása

Az ekvivalenciákat „logikai” céljukon túlmenően széles körben használják képletek átalakítására és egyszerűsítésére. Nagyjából az identitás egyik része felcserélhető egy másikra. Tehát például, ha egy logikai képletben találkozik egy töredékkel, akkor az idempotencia törvénye szerint egyszerűen írhat (és kell) helyette. Ha látja, akkor az abszorpció törvénye szerint egyszerűsítse a jelölést -ra. Stb.

Ezen kívül van még egy fontos dolog: az azonosságok nemcsak elemi állításokra érvényesek, hanem tetszőleges formulákra is. Például:

, hol vannak (olyan összetett, amennyit csak akar) képletek.

Alakítsuk át például a komplex implikációt (1. személyazonosság):

Továbbá a „komplex” de Morgan törvényt alkalmazzuk a zárójelre, míg a műveletek prioritása miatt ez a törvény, ahol :

A zárójelek eltávolíthatók, mert belül van egy „erősebb” kötőszó:

Nos, a kommutativitással általában minden egyszerű - nem is kell semmit kijelölni ... valami a lelkembe süllyesztette a szillogizmus törvényét :))

Így a törvény bonyolultabb formában is átírható:

Mondd ki hangosan a „tölgygel, fával, növénnyel” logikai láncot, és meg fogod érteni, hogy a törvény tartalmi értelme mit sem változott a következmények átrendeződésétől. Ez a megfogalmazás eredetibb lett.

Edzésként leegyszerűsítjük a képletet.

Hol kezdjem? Mindenekelőtt a cselekvések sorrendjének megértéséhez: itt a tagadás egy egész zárójelre vonatkozik, amelyet egy „kicsit gyengébb” kötőszó „rögzít” az állításhoz. Lényegében két tényező logikai szorzata áll előttünk: . A két fennmaradó művelet közül az implikáció a legalacsonyabb prioritású, ezért a teljes képlet a következő szerkezettel rendelkezik: .

Általános szabály, hogy az első lépésben (lépésekben) megszabaduljunk az egyenértékűségtől és az implikációtól (ha ők)és redukáljuk le a képletet három alapvető logikai műveletre. Mit mondhatnék…. Logikusan.

(1) Az identitást használjuk . És a mi esetünkben.

Ezt általában a konzolokkal történő "szétszerelés" követi. Először a teljes megoldás, aztán a megjegyzések. Hogy ne kapjak "vajolajat", a "szokásos" egyenlőség ikonokat fogom használni:

(2) A de Morgan törvényét alkalmazzuk a külső zárójelekre, ahol .

Abszorpciós tétel két formában írva - diszjunktív és

kötőszó, illetve:

A + AB \u003d A (16)

A(A + B)=A (17)

Bizonyítsuk be az első tételt. Vegyük ki az A betűt a zárójelből:

DE + AB \u003d A (1 + B)

A (3) tétel szerint 1 + B = 1, tehát

A(1 + B) = A 1 = A

A második tétel bizonyítására kibővítjük a zárójeleket:

A(A + B) = A A + AB = A + AB

Az eredmény egy olyan kifejezés, amelyet most bebizonyítottak.

Nézzünk néhány példát az abszorpciós tétel alkalmazására

Boole-képletek egyszerűsítése.

Ragasztási tétel két formája is van - diszjunktív és

kötőhártya:

Bizonyítsuk be az első tételt:

mivel az (5) és (4) tétel szerint

A második tétel bizonyításához nyissuk meg a zárójeleket:

A (6) tétel szerint tehát:

Az abszorpciós tétel szerint (16) A + AB \u003d A

Az abszorpciós tételt a ragasztási tételhez hasonlóan egyszerűsítéskor alkalmazzuk

logikai képletek, például:

De Morgan tételeösszekapcsolja a logikai algebra mindhárom alapműveletét

Diszjunkció, konjunkció és inverzió:

Az első tétel így hangzik: a kötőszó megfordítása diszjunkció

inverziók. Másodszor, a diszjunkció inverziója az inverziók konjunkciója. Morgan tételeit a bal és jobb oldali igazságtáblázatok segítségével bizonyíthatja.

De Morgan tétele is érvényes több változók:

5. előadás

Invert összetett kifejezések

De Morgan tétele nem csak egyes kötőszókra vonatkozik

vagy diszjunkciókra, hanem összetettebb kifejezésekre is.

Keressük meg a kifejezés fordítottját AB + CD , kötőszavak diszjunkciójaként ábrázolva. Az inverzió akkor tekinthető befejezettnek, ha a negatív előjelek csak a változók felett vannak. Bemutatjuk a jelölést: AB = X;

CD=Y azután

Keresse meg és helyettesítse be a (22) kifejezést:

Ilyen módon:

Tekintsünk egy konjunktív formában megjelenő kifejezést:

(A + B) (C + D)

Keressük az inverzióját az alakban

Bemutatjuk a jelölést: A + B = X; C + D \u003d Y, azután

Keresse meg és helyettesítse be őket a kifejezésbe

Ilyen módon:

Összetett kifejezések invertálásakor a következő szabályt használhatja. Az inverzió megtalálásához ki kell cserélni a kötőjeleket diszjunkciós jelekre, a diszjunkciós jeleket pedig kötőjelekre, és inverziókat kell tenni minden változó fölé:

A logikai függvény fogalma

BAN BENáltalános esetben egy függvény (lat. functio - teljesítmény, megfelelés,

leképezés) egy bizonyos szabály (törvény), amely szerint a halmaz minden eleme x, amely a független változó tartománya X, a halmaz egy bizonyos eleme hozzá van rendelve F,

amely a függő változó értéktartományaként értendő f . Logikai függvények esetén X=F = (0,1). A függvény megadásának szabálya bármilyen logikai képlet lehet, például:

Szimbólum f itt van egy függvény, amely, mint az A argumentumai, IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT, bináris változó.

Az argumentumok független változók, bármilyen értéket felvehetnek - akár 0-t, akár 1-et. A függvény f - függő változó. Jelentését teljes mértékben a változók értékei és a köztük lévő logikai kapcsolatok határozzák meg.

A függvény fő jellemzője, hogy értékének meghatározásához általános esetben ismerni kell az összes olyan argumentum értékét, amelytől függ. Például a fenti függvény három A argumentumtól függ, V, S. Ha felvesszük A = 1-et, akkor azt kapjuk

azaz egy új kifejezést kapunk, amely nem egyenlő sem nullával, sem

Mértékegység. Most engedd BAN BEN= 1. Akkor

azaz ebben az esetben nem tudni, hogy a függvény nullával vagy eggyel egyenlő-e.

Végül vegyük TÓL TŐL= 0. Ekkor kapjuk: f = 0. Így, ha az eredeti kifejezésben A = 1-et veszünk fel, BAN BEN= 1, TÓL TŐL = 0, akkor a függvény nulla értéket vesz fel: f= 0.

Fontolgat változó értékek halmazának fogalma .

Ha az összes argumentumhoz, amelytől a függvény függ, bizonyos értékeket rendelünk, akkor argumentumértékek halmazáról beszélünk, amelyek

hívd csak készletnek. Az argumentumértékek halmaza nullák és egyesek sorozata, például 110, ahol az első számjegy az első argumentumnak, a második a másodiknak, a harmadik pedig a harmadiknak felel meg. Nyilván előre meg kell állapodni, hogy mi az első, második vagy mondjuk ötödik érv. Ehhez kényelmes a betűk ábécé szerinti elrendezése.

Például ha

akkor a latin ábécé szerint az első érv az R, második -

K, harmadik - x, negyedik - U. Ezután az érvek értékkészletével ez könnyű

keresse meg a függvény értékét. Legyen például adott az 1001. Az övé szerint

bejegyzések, azaz az 1001-es sorozaton adott funkciót egyenlő eggyel.

Jegyezze meg ismét, hogy az argumentumértékek halmaza a halmaz

nullák és egyesek. A bináris számok is nullák és egyesek halmazai.

Ez felveti a kérdést – tekinthetők-e a halmazok binárisnak?

számok? Lehetséges, és sok esetben nagyon kényelmes, különösen, ha a bináris

konvertálja a számot decimálissá. Például ha

A = 0, B = 1, C = 1, D = 0,

0 * 2 3 +1 * 2 2 +1 * 2 1 +0 * 2 0 = 4+2 = 6

azaz az adott halmaz 6-os számot tartalmaz tizedesjegyben.

Ha decimális számmal szeretné megtalálni az argumentumok értékét, akkor

belépünk fordított sorrendben: először a decimális számot konvertáljuk binárissá, majd adjunk hozzá annyi nullát a bal oldalon, hogy a számjegyek teljes száma megegyezzen az argumentumok számával, majd megkeressük az argumentumok értékét.

Például meg kell találni az A argumentumok értékét, B, C, D, E, F A 23-as számot a metódus segítségével bináris rendszerré alakítjuk

kettővel osztva:

Ennek eredményeként 23 10 = 10111 2 kapjuk. Ez egy ötjegyű szám, és összesen

hat argumentum van, ezért a bal oldalra egy nullát kell írni:

23 10 = 010111 2 . Innen találjuk:

A = 0, B = 1, C = 0, D = 1, E = 1, F = 1.

Hány halmaz van, ha a szám ismert P érvek? Nyilvánvalóan ahány n bites bináris szám van, azaz 2 n

6. előadás

Logikai függvény beállítása

Egy utat már ismerünk. Analitikus, azaz bináris változókat és logikai műveleteket használó matematikai kifejezés formájában. Ezen kívül vannak más módok is, amelyek közül a legfontosabb a táblázatos. A táblázat mindent felsorol lehetséges készletek az argumentumok értékei, és minden halmaznál megjelenik a függvény értéke. Az ilyen táblázatot megfelelési (igazság) táblázatnak nevezzük.

A függvény példáján

Találjuk ki, hogyan készítsünk hozzá keresőtáblát.

A függvény három argumentumtól függ A, B, C. Ezért a táblázatban

adjon meg három oszlopot érvek A,B,Cés egy oszlop az f függvény értékeihez. Az A oszloptól balra célszerű egy másik oszlopot elhelyezni. Ebben fogunk írni decimális számok, amelyek háromjegyű bináris számként tekintve halmazoknak felelnek meg. Ez a decimális

az oszlop a táblázattal való munka kényelmét szolgálja, ezért elvileg

elhanyagolható.

Kitöltjük a táblázatot. Az LLC számot tartalmazó sor a következő:

A = B = C = 0.

Határozzuk meg a függvény értékét ezen a halmazon:

Az f oszlopba nullát írunk a 000 halmazú sorba.

Következő készlet: 001, azaz e) A = B = 0, C = 1. Határozza meg a függvény értékét!

ezen a készleten:

A 001-es halmaznál a függvény egyenlő 1-gyel, ezért az f oszlopban a -val

001 számmal felírjuk az egységet.

Hasonlóképpen kiszámítjuk a függvények értékeit az összes többi halmazon és

töltse ki a teljes táblázatot.