Webinárium erről hogyan lehet megérteni a valószínűségszámítást és hogyan kezdjük el használni a statisztikákat az üzleti életben. Tudva, hogyan kell dolgozni az ilyen információkkal, létrehozhatja saját vállalkozását.
Íme egy példa egy olyan problémára, amelyet gondolkodás nélkül fog megoldani. 2015 májusában Oroszország elindította a Progressz űrszondát, és elvesztette felette az irányítást. Ennek a fémkupacnak a Föld gravitációja hatására bolygónkra kellett volna csapódnia.
Figyelem, a kérdés az: mennyi a valószínűsége annak, hogy a Progress a szárazföldre, és nem az óceánba esett volna, és hogy kellett volna-e aggódnunk.
A válasz nagyon egyszerű: a földre esés esélye 3:7 volt.
A nevem Alekszandr Szkakunov, nem vagyok tudós vagy professzor. Csak azon tűnődtem, hogy miért van szükségünk a valószínűségelméletre és a statisztikákra, miért vettük ezeket az egyetemre? Ezért egy év alatt több mint húsz könyvet olvastam el ebben a témában - a Fekete hattyútól az X öröméig. Még 2 oktatót is felvettem magamnak.
Ebben a webináriumban megosztom veletek az eredményeimet. Megtudhatja például, hogy a statisztikák hogyan segítettek létrehozni egy gazdasági csodát Japánban, és hogyan tükröződik ez a Vissza a jövőbe című film forgatókönyvében.
Most egy utcai varázslatot fogok mutatni. Nem tudom, hányan jelentkeznek majd erre a webináriumra, de csak 45%-uk fog megjelenni.
Érdekes lesz. Regisztrálj!
A valószínűségelmélet megértésének 3 szakasza
3 szakaszon megy keresztül, aki megismerkedik a valószínűségelmélettel.
1. szakasz. „Én nyerek a kaszinóban!”. Az ember azt hiszi, hogy meg tudja jósolni a véletlenszerű események kimenetelét.
2. szakasz. „Soha nem fogok nyerni a kaszinóban!...” A személy csalódott, és azt hiszi, hogy semmit nem lehet megjósolni.
És a 3. szakasz. „Próbáljuk meg a kaszinón kívül!”. Az ember megérti, hogy a véletlenek világának látszólagos káoszában olyan mintákat találhatunk, amelyek lehetővé teszik, hogy jól eligazodjon a körülötte lévő világban.
A mi feladatunk csupán az, hogy elérjük a 3. szakaszt, hogy megtanuljuk, hogyan alkalmazzuk a valószínűségelmélet és a statisztika alapvető rendelkezéseit önmaga és vállalkozása javára.
Tehát ezen a webináriumon megtudhatja a választ a „miért van szükség a valószínűségelméletre” kérdésre.
A matematika minden tudomány királynője, gyakran állítják próbára a fiatalok. Felterjesztettük „A matematika haszontalan” tézist. És az egyik legérdekesebb titokzatos és érdekes elmélet példáján cáfoljuk. hogyan a valószínűségszámítás segít az életben, megmenti a világot, milyen technológiák és vívmányok alapulnak ezeken a megfoghatatlannak tűnő és élettől távol álló képleteken és bonyolult számításokon.
A valószínűségszámítás története
Valószínűségi elmélet- a matematika olyan ága, amely véletlenszerű eseményeket, és természetesen azok valószínűségét vizsgálja. Ez a fajta matematika egyáltalán nem unalmas szürke irodákban született, hanem ... játéktermekben. Az események valószínűségének felmérésére szolgáló első megközelítések már a középkorban népszerűek voltak az akkori „hamlerek” körében. Ekkor azonban csak empirikus vizsgálatuk volt (vagyis gyakorlati értékelésük kísérleti módszerrel). Lehetetlen egy bizonyos személynek tulajdonítani a valószínűségelmélet szerzőségét, mivel sok híres ember dolgozott rajta, akik mindegyike befektette a részét.
Az elsők közül Pascal és Fermat voltak. Valószínűségelméletet tanultak a kockastatisztikán. Felfedezte az első törvényszerűségeket. H. Huygens 20 évvel korábban is végzett hasonló munkát, de a tételeket nem fogalmazták meg pontosan. A valószínűségelmélethez Jacob Bernoulli, Laplace, Poisson és sokan mások is hozzájárultak.
Pierre Fermat
Valószínűségelmélet az életben
Meglepem Önt: valamilyen szinten mindannyian a valószínűségelméletet használjuk, amely az életünkben megtörtént események elemzésén alapul. Tudjuk, hogy az autóbalesetben való halálozás nagyobb valószínűséggel, mint a villámcsapás következtében, mert az előbbi sajnos nagyon gyakran előfordul. Így vagy úgy, odafigyelünk a dolgok valószínűségére, hogy előre jelezzük viselkedésünket. De itt van egy sértés, sajnos, egy személy nem mindig tudja pontosan meghatározni bizonyos események valószínűségét.
Például a statisztikák ismerete nélkül a legtöbb ember hajlamos azt gondolni, hogy nagyobb az esélye annak, hogy meghalnak egy repülőgép-balesetben, mint egy autóbalesetben. Most már tudjuk, a tények tanulmányozása után (amiről azt hiszem, sokan hallottak), hogy ez egyáltalán nem így van. Az a helyzet, hogy életfontosságú "szemünk" néha meghibásodik, mert a légi közlekedés sokkal szörnyűbbnek tűnik azoknak az embereknek, akik hozzászoktak ahhoz, hogy határozottan a földön járjanak. És a legtöbb ember nem gyakran használja ezt a közlekedési módot. Még ha helyesen is meg tudjuk becsülni egy esemény valószínűségét, az nagy valószínűséggel rendkívül pontatlan, aminek mondjuk az űrmérnökségben, ahol a milliomodok sokat döntenek, semmi értelme. És ha pontosságra van szükségünk, kihez forduljunk? Természetesen a matematikához.
Számos példa van a valószínűségszámítás valós használatára az életben. Szinte az egész modern gazdaság erre épül. Amikor egy adott terméket piacra dob, egy hozzáértő vállalkozó minden bizonnyal figyelembe veszi a kockázatokat, valamint annak valószínűségét, hogy egy adott piacon, országban stb. Gyakorlatilag el sem kell képzelni az életüket a világpiaci valószínűségi brókerek elmélete nélkül. A pénzárfolyam előrejelzése (amelyben biztosan nem nélkülözheti a valószínűségszámítást) a pénzopciókon vagy a híres Forex piacon lehetővé teszi, hogy ezzel az elmélettel komoly pénzt keressenek.
A valószínűségelmélet szinte minden tevékenység kezdetén fontos, valamint annak szabályozása. Egy adott meghibásodás esélyének felmérésének köszönhetően (például egy űrhajó) tudjuk, hogy milyen erőfeszítéseket kell tennünk, mit kell pontosan ellenőriznünk, mire számíthatunk általában több ezer kilométerre a Földtől. Terrortámadás lehetősége a metróban, gazdasági válság vagy atomháború – mindez százalékban is kifejezhető. És ami a legfontosabb, tegye meg a megfelelő ellenlépéseket a kapott adatok alapján.
Volt szerencsém eljutni városom matematikai tudományos konferenciájára, ahol az egyik nyertes dolgozat a gyakorlati jelentőségről beszélt. valószínűségelmélet az életben. Valószínűleg, mint minden ember, te sem szeretsz sokáig sorban állni. Ez a munka bebizonyította, hogy a vásárlási folyamat miként gyorsítható fel, ha a sorban állók megszámlálásának valószínűségének elméletét és a tevékenységek szabályozását (pénztárnyitó, eladók számának növelése stb.) alkalmazzuk. Sajnos ma már a legtöbb nagy hálózat is figyelmen kívül hagyja ezt a tényt, és csak a saját vizuális számításaikra hagyatkozik.
Bármely területen végzett tevékenység statisztikai adatokkal elemezhető, valószínűségszámítással kiszámítható és jelentősen javítható.
"A véletlenszerűség nem véletlen"... Úgy hangzik, ahogy egy filozófus mondta, de valójában a balesetek tanulmányozása a nagy matematika tudomány sorsa. A matematikában a véletlen a valószínűség elmélete. A cikkben bemutatásra kerülnek a feladatok képletei és példái, valamint e tudomány főbb definíciói.
Mi az a valószínűségszámítás?
A valószínűségszámítás a véletlenszerű eseményeket tanulmányozó matematikai tudományok egyike.
Hogy egy kicsit érthetőbb legyen, mondjunk egy kis példát: ha feldob egy érmét, fejét vagy farkát ejtheti. Amíg az érme a levegőben van, mindkét lehetőség lehetséges. Vagyis a lehetséges következmények valószínűsége 1:1 arányban korrelál. Ha egy 36 kártyát tartalmazó pakliból húznak egyet, akkor a valószínűség 1:36 lesz. Úgy tűnik, nincs mit felfedezni és megjósolni, különösen matematikai képletek segítségével. Ennek ellenére, ha egy bizonyos műveletet többször megismétel, akkor azonosíthat egy bizonyos mintát, és ennek alapján megjósolhatja az események kimenetelét más körülmények között.
Összegezve a fentieket, a klasszikus értelemben vett valószínűségelmélet az egyik lehetséges esemény bekövetkezésének lehetőségét vizsgálja számszerű értelemben.
A történelem lapjairól
A valószínűségelmélet, a képletek és az első feladatok példái a távoli középkorban jelentek meg, amikor először merültek fel kísérletek a kártyajátékok kimenetelének előrejelzésére.
Kezdetben a valószínűségelméletnek semmi köze nem volt a matematikához. Ezt empirikus tények vagy egy esemény gyakorlatban reprodukálható tulajdonságai indokolták. Az első munkák ezen a területen, mint matematikai tudományágon a 17. században jelentek meg. Az alapítók Blaise Pascal és Pierre Fermat voltak. Hosszú ideig tanulták a szerencsejátékot, és láttak bizonyos mintákat, amelyeket úgy döntöttek, hogy elmondják a nyilvánosságnak.
Ugyanezt a technikát Christian Huygens találta ki, bár nem ismerte Pascal és Fermat kutatásának eredményeit. A tudományág történetében elsőnek számító "valószínűségelmélet" fogalmát, képleteket és példákat ő vezette be.
Nem kis jelentőségűek Jacob Bernoulli munkái, Laplace és Poisson tételei. Inkább matematikai diszciplínává tették a valószínűségszámítást. A valószínűségszámítás, a képletek és az alapvető feladatok példái Kolmogorov axiómáinak köszönhetően kapták mai formáját. Minden változás eredményeként a valószínűségelmélet a matematikai ágak közé került.
A valószínűségszámítás alapfogalmai. Események
Ennek a tudományágnak a fő fogalma az „esemény”. Az eseményeknek három típusa van:
- Megbízható. Akik úgyis megtörténnek (leesik az érme).
- Lehetetlen. Események, amelyek egyetlen forgatókönyvben sem történnek meg (az érme a levegőben lóg).
- Véletlen. Azok, amelyek megtörténnek vagy nem. Különféle, nagyon nehezen megjósolható tényezők befolyásolhatják őket. Ha érméről beszélünk, akkor véletlenszerű tényezők, amelyek befolyásolhatják az eredményt: az érme fizikai jellemzői, alakja, kezdeti helyzete, a dobás erőssége stb.
A példákban minden eseményt nagy latin betűkkel jelölünk, kivéve az R-t, amelynek más szerepe van. Például:
- A = "diákok jöttek az előadásra."
- Ā = "a hallgatók nem jöttek el az előadásra".
A gyakorlati feladatokban az eseményeket általában szavakkal rögzítjük.
Az események egyik legfontosabb jellemzője az egyenlő lehetőség. Vagyis ha feldob egy érmét, a kezdeti esés minden változata lehetséges, amíg le nem esik. De az események sem egyformán valószínűek. Ez akkor fordul elő, ha valaki szándékosan befolyásolja az eredményt. Például "megjelölt" játékkártyák vagy kockák, amelyekben a súlypont eltolódik.
Az események is kompatibilisek és inkompatibilisek. A kompatibilis események nem zárják ki egymás előfordulását. Például:
- A = "a hallgató eljött az előadásra."
- B = "a hallgató eljött az előadásra."
Ezek az események függetlenek egymástól, és az egyik megjelenése nem befolyásolja a másik megjelenését. Az összeférhetetlen eseményeket az határozza meg, hogy az egyik előfordulása kizárja a másik bekövetkezését. Ha ugyanarról az érméről beszélünk, akkor a "farok" elvesztése lehetetlenné teszi a "fejek" megjelenését ugyanabban a kísérletben.
Az eseményekkel kapcsolatos műveletek
Az események szorozhatók és összeadhatók, a tudományágban bevezetik az „ÉS” és „VAGY” logikai összeköttetéseket.
Az összeget az határozza meg, hogy akár A, akár B esemény, vagy mindkettő előfordulhat egyidejűleg. Abban az esetben, ha nem kompatibilisek, az utolsó lehetőség nem lehetséges, vagy A vagy B kiesik.
Az események sokszorozása abból áll, hogy A és B egyszerre jelenik meg.
Most adhat néhány példát, hogy jobban emlékezzen az alapokra, a valószínűségszámításra és a képletekre. Példák a probléma megoldására alább.
1. Feladat: A cég háromféle munkára pályázik szerződésekre. Lehetséges események, amelyek előfordulhatnak:
- A = "a cég megkapja az első szerződést."
- A 1 = "a cég nem kapja meg az első szerződést."
- B = "a cég kap egy második szerződést."
- B 1 = "a cég nem kap második szerződést"
- C = "a cég kap egy harmadik szerződést."
- C 1 = "a cég nem kap harmadik szerződést."
Próbáljuk meg kifejezni a következő helyzeteket eseményekkel kapcsolatos műveletekkel:
- K = "a cég megkapja az összes szerződést."
Matematikai formában az egyenlet így fog kinézni: K = ABC.
- M = "a cég egyetlen szerződést sem kap."
M \u003d A 1 B 1 C 1.
Bonyolítjuk a feladatot: H = "a cég egy szerződést kap." Mivel nem ismert, hogy a cég melyik szerződést kapja (az elsőt, a másodikat vagy a harmadikat), a lehetséges események teljes körét rögzíteni kell:
H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
Az 1 BC 1 pedig egy olyan eseménysorozat, ahol a cég nem az első és a harmadik szerződést, hanem a másodikat kapja meg. Az egyéb lehetséges eseményeket is a megfelelő módszerrel rögzítjük. A υ szimbólum a tudományágban egy csomó "VAGY"-ot jelöl. Ha a fenti példát lefordítjuk emberi nyelvre, akkor vagy a harmadik szerződést, vagy a másodikat, vagy az elsőt kapja meg a cég. Hasonlóképpen más feltételeket is írhat a „Valószínűségelmélet” tudományágban. A fent bemutatott képletek és példák a problémák megoldására segítenek Önnek, hogy ezt saját maga is meg tudja oldani.
Valójában a valószínűség
Talán ebben a matematikai tudományágban az esemény valószínűsége központi fogalom. A valószínűségnek három definíciója van:
- klasszikus;
- statisztikai;
- geometriai.
Mindegyiknek megvan a maga helye a valószínűségek vizsgálatában. A valószínűségszámítás, a képletek és a példák (9. osztály) többnyire a klasszikus definíciót használják, ami így hangzik:
- Az A helyzet valószínűsége megegyezik az előfordulását kedvező kimenetelek számának az összes lehetséges kimenetelhez viszonyított arányával.
A képlet így néz ki: P (A) \u003d m / n.
És tulajdonképpen egy esemény. Ha az A ellentéte fordul elő, akkor Ā vagy A 1 alakban írható fel.
m a lehetséges kedvező esetek száma.
n - minden esemény, ami megtörténhet.
Például A \u003d "húzzon ki egy szív öltöny kártyát". Egy szabványos pakliban 36 kártya van, ebből 9 szív. Ennek megfelelően a probléma megoldásának képlete a következőképpen néz ki:
P(A)=9/36=0,25.
Ennek eredményeként 0,25 lesz annak a valószínűsége, hogy a pakliból szívnek megfelelő lapot húznak.
a felsőbb matematikához
Ma már kicsit ismertté vált, hogy mi a valószínűségszámítás, az iskolai tananyagban előforduló képletek és feladatok megoldási példái. A valószínűségelmélet azonban megtalálható a felsőbb matematikában is, amelyet az egyetemeken tanítanak. Leggyakrabban az elmélet geometriai és statisztikai definícióival és összetett képletekkel operálnak.
A valószínűségelmélet nagyon érdekes. A képleteket és példákat (magasabb matematika) jobb, ha egy kicsiből kezdi a tanulást - a valószínűség statisztikai (vagy gyakorisági) definíciójából.
A statisztikai megközelítés nem mond ellent a klasszikus megközelítésnek, csak kissé kibővíti azt. Ha az első esetben meg kellett határozni, hogy egy esemény milyen valószínűséggel fog bekövetkezni, akkor ennél a módszernél meg kell jelölni, hogy milyen gyakran fordul elő. Itt bevezetik a „relatív frekvencia” új fogalmát, amelyet W n (A)-val jelölhetünk. A képlet nem különbözik a klasszikustól:
Ha az előrejelzéshez a klasszikus képletet számoljuk, akkor a statisztikai képletet a kísérlet eredményei alapján számítjuk ki. Vegyünk például egy kis feladatot.
A technológiai ellenőrzés osztálya ellenőrzi a termékek minőségét. 100 termék közül 3-at találtak rossz minőségűnek. Hogyan találjuk meg a minőségi termék gyakorisági valószínűségét?
A = "minőségi termék megjelenése".
Wn(A)=97/100=0,97
Így a minőségi termék gyakorisága 0,97. Honnan vetted a 97-et? A 100 ellenőrzött termékből 3 bizonyult rossz minőségűnek. 100-ból kivonunk 3-at, 97-et kapunk, ez a minőségi termék mennyisége.
Egy kicsit a kombinatorikáról
A valószínűségszámítás másik módszere a kombinatorika. Alapelve, hogy ha egy bizonyos A választást m féleképpen, egy B választást n féleképpen lehet megtenni, akkor A és B választása szorzással történhet.
Például 5 út van A városból B városba. 4 útvonal van B városból C városba. Hányféleképpen lehet eljutni A városból C városba?
Egyszerű: 5x4 = 20, vagyis húsz különböző módon lehet eljutni A pontból C pontba.
Nehezítsük meg a feladatot. Hányféleképpen lehet kártyázni pasziánszban? A 36 lapból álló pakliban ez a kiindulópont. A módok számának megtudásához ki kell "vonnia" egy kártyát a kiindulási pontból, és meg kell szoroznia.
Vagyis 36x35x34x33x32…x2x1= az eredmény nem fér ki a számológép képernyőjére, így egyszerűen 36-nak jelölhető!. Jelölje meg a "!" a szám mellett azt jelzi, hogy a számok teljes sorozata meg van szorozva egymás között.
A kombinatorikában vannak olyan fogalmak, mint a permutáció, az elhelyezés és a kombináció. Mindegyiknek megvan a maga képlete.
A halmazelemek rendezett halmazát elrendezésnek nevezzük. Az elhelyezések ismétlődőek lehetnek, ami azt jelenti, hogy egy elem többször is használható. És ismétlés nélkül, amikor az elemek nem ismétlődnek. n az összes elem, m az elhelyezésben részt vevő elemek. Az ismétlés nélküli elhelyezés képlete a következőképpen néz ki:
A n m =n!/(n-m)!
n elem kapcsolatát, amelyek csak az elhelyezési sorrendben különböznek egymástól, permutációnak nevezzük. A matematikában ez így néz ki: P n = n!
Az n elem m-es kombinációi olyan vegyületek, amelyekben fontos, hogy mely elemek voltak, és mennyi az összszámuk. A képlet így fog kinézni:
A n m =n!/m!(n-m)!
Bernoulli képlet
A valószínűségszámításban és minden tudományágban is vannak olyan kiemelkedő kutatók munkái, akik szakterületükön új szintre léptek. Az egyik ilyen munka a Bernoulli-képlet, amely lehetővé teszi egy adott esemény független feltételek melletti bekövetkezésének valószínűségének meghatározását. Ez azt sugallja, hogy az A megjelenése egy kísérletben nem függ attól, hogy az előző vagy a későbbi tesztekben ugyanaz az esemény megjelenik-e vagy nem következik be.
Bernoulli egyenlet:
P n (m) = C n m × p m × q n-m .
Az (A) esemény bekövetkezésének valószínűsége (p) minden próba esetében változatlan. Annak valószínűségét, hogy a helyzet pontosan m-szer fog megtörténni n számú kísérletben, a fent bemutatott képlettel számítjuk ki. Ennek megfelelően felmerül a kérdés, hogyan lehet kideríteni a q számot.
Ha az A esemény p számú alkalommal következik be, ennek megfelelően előfordulhat, hogy nem következik be. Az egység egy szám, amelyet egy tudományágban egy helyzet összes kimenetelének megjelölésére használnak. Ezért q olyan szám, amely azt jelzi, hogy az esemény nem következik be.
Most már ismeri a Bernoulli-képletet (valószínűségelmélet). Az alábbiakban a problémamegoldás (első szint) példáit tekintjük át.
2. feladat: Az üzlet látogatója 0,2-es valószínűséggel vásárol. 6 látogató önállóan lépett be az üzletbe. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy látogató vásárol?
Megoldás: Mivel nem ismert, hogy hány látogatónak kell vásárolnia, egyet vagy mind a hatot, minden lehetséges valószínűséget ki kell számítani a Bernoulli képlet segítségével.
A = "a látogató vásárolni fog."
Ebben az esetben: p = 0,2 (a feladatban jelezve). Ennek megfelelően q=1-0,2=0,8.
n = 6 (mert 6 vásárló van az üzletben). Az m szám 0-ról (egy vásárló sem vásárol) 6-ra változik (minden boltlátogató vásárol valamit). Ennek eredményeként a következő megoldást kapjuk:
P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 = 0,2621.
Egyik vásárló sem fog 0,2621-es valószínűséggel vásárolni.
Hogyan másként használják a Bernoulli-képletet (valószínűségelmélet)? Példák problémamegoldásra (második szint) alább.
A fenti példa után kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy hova tűnt C és p. A p vonatkozásában a 0 hatványának megfelelő szám egyenlő eggyel. Ami a C-t illeti, ez a következő képlettel kereshető:
C n m = n! /m!(n-m)!
Mivel az első példában m = 0, illetve C=1, ami elvileg nem befolyásolja az eredményt. Az új képlet segítségével próbáljuk meg kideríteni, mekkora a valószínűsége annak, hogy két látogató vásárol árut.
P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ( 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1 ) × ( 0,2 ) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
A valószínűségelmélet nem olyan bonyolult. Ennek közvetlen bizonyítéka a Bernoulli-képlet, amelynek példáit fentebb mutatjuk be.
Poisson képlet
A Poisson-egyenlet a valószínűtlen véletlenszerű helyzetek kiszámítására szolgál.
Alapképlet:
P n (m)=λ m/m! × e (-λ) .
Ebben az esetben λ = n x p. Itt van egy ilyen egyszerű Poisson-képlet (valószínűségelmélet). Az alábbiakban a problémamegoldás példáit tekintjük át.
3. feladat V: A gyár 100 000 alkatrészt gyártott. A hibás alkatrész megjelenése = 0,0001. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy kötegben 5 hibás alkatrész lesz?
Amint látja, a házasság egy valószínűtlen esemény, ezért a Poisson-képletet (valószínűségelmélet) használják a számításokhoz. Az ilyen jellegű problémák megoldási példái nem különböznek a tudományág egyéb feladataitól, a szükséges adatokat behelyettesítjük a fenti képletbe:
A = "egy véletlenszerűen kiválasztott alkatrész hibás lesz."
p = 0,0001 (a hozzárendelési feltétel szerint).
n = 100000 (alkatrészek száma).
m = 5 (hibás alkatrészek). Behelyettesítjük az adatokat a képletben, és a következőt kapjuk:
100 000 R (5) = 10 5/5! Xe-10 = 0,0375.
Csakúgy, mint a Bernoulli-képlet (valószínűségelmélet), amelyre a megoldások példáit fentebb leírtuk, a Poisson-egyenletnek is van egy ismeretlen e-je. Lényegében a következő képlettel kereshető:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Vannak azonban speciális táblázatok, amelyek szinte az összes e.
De Moivre-Laplace tétel
Ha a Bernoulli-sémában a kísérletek száma elég nagy, és az A esemény bekövetkezésének valószínűsége minden sémában azonos, akkor az A esemény bizonyos számú előfordulásának valószínűsége egy kísérletsorozatban meghatározható a Laplace-képlet:
Рn (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
Xm = m-np/√npq.
Hogy jobban emlékezzünk a Laplace-képletre (valószínűségelmélet), az alábbiakban példák a feladatokra.
Először megkeressük X m -t, behelyettesítjük az adatokat (mind fent van feltüntetve) a képletbe, és 0,025-öt kapunk. Táblázatok segítségével megtaláljuk a ϕ (0,025) számot, melynek értéke 0,3988. Most behelyettesítheti a képlet összes adatát:
P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.
Tehát annak a valószínűsége, hogy a szórólap pontosan 267-szer fog eltalálni, 0,03.
Bayes képlet
A Bayes-képlet (valószínűség-elmélet), amelynek felhasználásával az alábbiakban példákat adunk a feladatok megoldására, egy egyenlet, amely leírja egy esemény valószínűségét a vele összefüggésbe hozható körülmények alapján. A fő képlet a következő:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A és B határozott események.
P(A|B) - feltételes valószínűség, azaz A esemény bekövetkezhet, feltéve, hogy B esemény igaz.
Р (В|А) - В esemény feltételes valószínűsége.
Tehát a "Valószínűségelmélet" rövid kurzus utolsó része a Bayes-képlet, amelynek megoldására az alábbiakban talál példákat.
5. feladat: Három cég telefonja került a raktárba. Ugyanakkor az első üzemben gyártott telefonok egy része 25%, a másodikban - 60%, a harmadikban - 15%. Az is ismert, hogy az első gyárban a hibás termékek átlagos százaléka 2%, a másodikban 4%, a harmadikban pedig 1%. Meg kell találni annak valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott telefon hibás lesz.
A = "véletlenszerűen vett telefon".
B 1 - az első gyár által gyártott telefon. Ennek megfelelően megjelenik a bevezető B 2 és B 3 (a második és harmadik gyárhoz).
Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
P (B 1) \u003d 25% / 100% = 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - így megtaláltuk az egyes opciók valószínűségét.
Most meg kell találnia a kívánt esemény feltételes valószínűségét, vagyis a hibás termékek valószínűségét a cégeknél:
P (A / B 1) \u003d 2% / 100% = 0,02;
P (A/B 2) = 0,04;
P (A/B 3) \u003d 0,01.
Most behelyettesítjük az adatokat a Bayes-képletbe, és megkapjuk:
P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.
A cikk bemutatja a valószínűségelméletet, képleteket és példákat a problémamegoldásra, de ez csak a jéghegy csúcsa egy hatalmas tudományágban. És mindazok után, amiket leírtak, logikus lesz feltenni a kérdést, hogy szükség van-e a valószínűségelméletre az életben. Egy egyszerű embernek nehéz válaszolni, jobb, ha megkérdezi azt, aki többször is elérte a főnyereményt a segítségével.
1.2. A valószínűségszámítás alkalmazásai
A valószínűségszámítási módszereket széles körben használják a természettudomány és a technológia különböző ágaiban:
a megbízhatóság elméletében,
sorbanállás elmélet,
elméleti fizika,
geodézia,
csillagászat,
lövéselmélet,
a megfigyelési hibák elmélete,
Az automatikus vezérlés elméletei,
általános kommunikációelmélet és sok más elméleti és alkalmazott tudomány.
A valószínűségelmélet a matematikai és alkalmazott statisztika alátámasztására is szolgál, amelyet viszont a termelés tervezésében és megszervezésében, a technológiai folyamatok elemzésében, a termékminőség megelőző és átvételi ellenőrzésében és sok más célra használnak fel.
Az utóbbi években a valószínűségszámítás módszerei egyre szélesebb körben behatoltak a tudomány és a technológia különböző területeire, hozzájárulva azok fejlődéséhez.
1.3. Rövid történelmi háttér
Az első művek, amelyekben megszülettek a valószínűségszámítás alapfogalmai, a szerencsejáték-elmélet megalkotására tett kísérletek voltak (Cardano, Huygens, Pascal, Fermat és mások a 16-17. században).
A valószínűségelmélet fejlődésének következő szakasza Jacob Bernoulli (1654-1705) nevéhez fűződik. Az általa bizonyított tétel, amelyet később "nagy számok törvényének" neveztek, a korábban felhalmozott tények első elméleti alátámasztása volt.
A valószínűségszámítás további sikereit Moivre-nak, Laplace-nek, Gaussnak, Poissonnak és másoknak köszönheti. Ljapunov (1857-1918). Ebben az időszakban a valószínűségelmélet koherens matematikai tudománnyá válik. Későbbi fejlődése elsősorban az orosz és szovjet matematikusoknak köszönhető (S. N. Bernstein, V. I. Romanovsky, A. N. Kolmogorov, A. Ya. Chinchin, B. V. Gnedenko, N. V. Szmirnov stb.).
1.4. Tesztek és események. Eseménytípusok
A valószínűségszámítás alapfogalmai az elemi esemény fogalma és az elemi események terének fogalma. A fentiekben egy eseményt véletlennek nevezünk, ha bizonyos feltételrendszer megvalósítása mellett S megtörténhet vagy nem. A jövőben ahelyett, hogy azt mondanám, hogy „feltételek összessége S végrehajtva”, röviden mondjuk: „tesztelt”. Így az eseményt a teszt eredményének tekintjük.
Meghatározás. véletlenszerű esemény minden olyan tényt, amely a tapasztalat eredményeként előfordulhat vagy nem, ún.
Ebben az esetben a kísérlet egyik vagy másik eredménye különböző lehetőségekkel érhető el. Vagyis bizonyos esetekben elmondható, hogy az egyik esemény szinte biztosan megtörténik, a másik szinte soha.
Meghatározás. Az elemi eredmények tereΩ egy halmaz, amely egy adott véletlenszerű kísérlet összes lehetséges kimenetelét tartalmazza, amelyek közül pontosan egy fordul elő a kísérletben. Ennek a halmaznak az elemeit ún elemi eredményekés ω ("omega") betűvel jelöljük.
Ekkor az Ω halmaz részhalmazait eseményeknek nevezzük. Azt mondják, hogy a kísérlet eredményeként az A Ω esemény akkor következett be, ha az A halmazban szereplő elemi eredmények valamelyike bekövetkezett a kísérletben.
Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy az elemi események száma véges. Az elemi események terének egy részhalmazát véletlenszerű eseménynek nevezzük. Ez az esemény előfordulhat, de előfordulhat, hogy nem a teszt eredményeként (három pont egy kockadobáson, telefonhívás pillanatnyilag stb.).
1. példa A lövő négy területre osztott célpontra lő. Egy lövés egy próba. A cél egy bizonyos területének eltalálása esemény.
2. példa Az urnában színes golyók vannak. Az urnából véletlenszerűen kihúznak egy golyót. A labda eltávolítása az urnából egy próba. Egy bizonyos színű labda megjelenése esemény.
Egy matematikai modellben egy esemény fogalmát fogadhatjuk el kiindulónak, amely nincs definiálva, és amelyet csak a saját tulajdonságai jellemeznek. Az esemény fogalmának valódi jelentése alapján különböző típusú események definiálhatók.
Meghatározás. Egy véletlenszerű eseményt hívunk megbízható, ha ismert, hogy előfordul (egy-hat pont dobása a kockadobáson), és lehetetlen, ha a tapasztalat eredményeként biztosan nem fordulhat elő (hét pont dobás kockadobáskor). Ebben az esetben egy bizonyos esemény az elemi események terének minden pontját tartalmazza, egy lehetetlen esemény pedig ennek a térnek egyetlen pontját sem.
Meghatározás. Két véletlenszerű eseményt hívunk meg összeegyeztethetetlen ha nem fordulhatnak elő egy időben ugyanazon vizsgálati eredmény mellett. És általában tetszőleges számú eseményt hívnak összeegyeztethetetlen ha az egyik előfordulása kizárja a többi előfordulását.
A diszjunkt események klasszikus példája az érmefeldobás eredménye – az érme elülső oldalának esése kizárja a hátoldal leesését (ugyanabban a kísérletben).
Egy másik példa egy alkatrész dobozából véletlenszerűen kivett alkatrész. A szabványos alkatrész megjelenése kizárja a nem szabványos alkatrész megjelenését. A „szabvány alkatrész megjelent” és „nem szabványos alkatrész jelent meg” események nem kompatibilisek.
Meghatározás. Számos esemény alakul ki teljes csoport, ha ezek közül legalább az egyik megjelenik a teszt eredményeként.
Más szóval, a teljes csoport eseményei közül legalább egy bekövetkezése egy bizonyos esemény. Különösen, ha a teljes csoportot alkotó események páronként inkompatibilisek, akkor ezek közül az események közül csak egy jelenik meg a teszt eredményeként. Ez a konkrét eset a legérdekesebb, mivel az alábbiakban ezt használjuk.
Példa. Vásárolt két jegyet a pénz- és ruhalottón. A következő események közül csak egy fog bekövetkezni: „a nyeremény az első szelvényre esett, és nem esett a másodikra”, „a nyeremény nem az első szelvényre esett, hanem a másodikra”, „a nyeremény esett mindkét szelvényen”, „a nyeremény nem nyert mindkét jegyen”. kiesett." Ezek az események páronként összeférhetetlen események teljes csoportját alkotják.
Példa. A lövő a célba lőtt. A következő két esemény egyike biztosan bekövetkezik: ütés, kihagyás. Ez a két diszjunkt esemény egy teljes csoportot alkot.
Példa. Ha a csak piros és zöld golyókat tartalmazó dobozból véletlenszerűen egy golyót húznak ki, akkor egy fehér golyó megjelenése a kihúzott golyók között lehetetlen esemény. A piros és a zöld golyók megjelenése egy teljes eseménycsoportot alkot.
Meghatározás. Az eseményeket egyformán valószínűnek mondják, ha okkal feltételezhető, hogy egyik sem lehetségesebb, mint a másik.
Példa. A „címer” megjelenése és a felirat megjelenése érme feldobásakor egyformán valószínű esemény. Valójában azt feltételezzük, hogy az érme homogén anyagból készült, szabályos henger alakú, és az érme jelenléte nem befolyásolja az érme egyik vagy másik oldalának elvesztését.
Példa. Ugyanolyan valószínű esemény, hogy egy dobott kockán egy vagy több pont megjelenik. Valójában azt feltételezzük, hogy a matrica homogén anyagból készül, szabályos poliéder alakú, és a pontok jelenléte nem befolyásolja az arc elvesztését.
A fenti labdás példában a piros és zöld golyók megjelenése egyformán valószínű esemény, ha a dobozban ugyanannyi piros és zöld golyó van. Ha több piros golyó van a dobozban, mint zöld, akkor a zöld golyó megjelenése kevésbé valószínű, mint a piros golyó megjelenése.
Tartalom
Bevezetés 3
1. Előfordulás története 4
2. A valószínűség klasszikus definíciójának megjelenése 9
3. A valószínűségelmélet tárgya 11
4. Valószínűségszámítás alapfogalmai 13
5. A valószínűségszámítás alkalmazása a modern világban 15
6. Valószínűségszámítás és légi szállítás 19 20. következtetés
Hivatkozások 21
Bevezetés
Véletlen, véletlen – mindennap találkozunk velük: véletlen találkozás, véletlen összeomlás, véletlen lelet, véletlen tévedés. Ez a sorozat a végtelenségig folytatható. Úgy tűnik, nincs helye a matematikának, de itt a tudomány érdekes mintákat fedezett fel - ezek lehetővé teszik az ember számára, hogy magabiztosan érezze magát, amikor véletlenszerű eseményekkel találkozik.
A valószínűségszámítás a matematikának egy olyan ágaként határozható meg, amely a véletlenszerű eseményekben rejlő mintázatokat vizsgálja. A valószínűségszámítási módszereket széles körben alkalmazzák a mérési eredmények matematikai feldolgozásában, valamint számos közgazdasági, statisztikai, biztosítási és tömegszolgáltatási problémában. Ezért nem nehéz kitalálni, hogy a repülésben a valószínűségelmélet igen széles körben alkalmazható.
A jövőbeni szakdolgozatom a műholdas navigációhoz fog kapcsolódni. Nemcsak a műholdas navigációban, hanem a hagyományos navigációs eszközökben is igen széles körben alkalmazzák a valószínűségelméletet, mert a rádióberendezések működési és műszaki jellemzőinek többsége a valószínűségszámításon keresztül történik.
1. Előfordulás története
Már most nehéz megállapítani, hogy ki vetette fel először – bár tökéletlen formában – a kérdést egy véletlenszerű esemény lehetőségének kvantitatív mérésének lehetőségéről. Egy dolog világos, hogy a kérdés többé-kevésbé kielégítő megválaszolásához hosszú időre és több nemzedéknyi kiváló kutató munkára volt szükség. A kutatók hosszú ideje a különféle játékok, különösen a kockajátékok figyelembevételére korlátozódnak, mivel tanulmányaik lehetővé teszik az egyszerű és átlátható matematikai modellekre való szorítkozást. Meg kell azonban jegyezni, hogy sokan tökéletesen megértették, amit később Christian Huygens megfogalmazott: „... Úgy gondolom, hogy a téma alapos tanulmányozása után az olvasó észreveszi, hogy nemcsak játékkal van dolgában, hanem itt egy nagyon érdekes és mély elmélet alapjait rakják le."
Látni fogjuk, hogy a valószínűségelmélet további fejlődésével a mélyreható, természettudományos és általános filozófiai megfontolások fontos szerepet játszottak. Ez a tendencia a mai napig tart: folyamatosan megfigyeljük, hogy a gyakorlati kérdések - tudományos, ipari, védelmi - hogyan vetnek fel új problémákat a valószínűségelmélet számára, és vezetnek az ötletek, koncepciók és kutatási módszerek arzenáljának bővítésének szükségességéhez.
A valószínűségelmélet, és ezzel együtt a valószínűség fogalmának fejlődése a következő szakaszokra bontható.
1. A valószínűségelmélet őstörténete. Ebben a korszakban, melynek kezdete évszázadok óta elveszett, olyan elemi problémákat vetettek fel és oldottak meg, amelyeket később a valószínűségelméletnek tulajdonítanak. Ebben az időszakban nincsenek speciális módszerek. Ez az időszak Cardano, Pacioli, Tartaglia és mások műveivel zárul.
Valószínűségi ábrázolással az ókorban találkozunk. Demokritosz, Lucretius Cara és más ókori tudósok és gondolkodók mély előrejelzésekkel rendelkeznek az anyag szerkezetéről a kis részecskék (molekulák) véletlenszerű mozgásával kapcsolatban, érvelnek az ugyanilyen lehetséges kimenetelekről stb. Már az ókorban is kísérletek történtek egyes statisztikai anyagok összegyűjtésére és elemzésére - mindez (valamint a véletlenszerű jelenségekre való figyelem egyéb megnyilvánulásai) megteremtette az alapot új tudományos fogalmak, köztük a valószínűség fogalmának kidolgozásához. De az ókori tudomány nem jutott el odáig, hogy elszigetelje ezt a fogalmat.
A filozófiában mindig is a véletlen, a szükséges és a lehetséges kérdése volt az egyik fő kérdés. E problémák filozófiai fejlődése is befolyásolta a valószínűség fogalmának kialakulását. Általánosságban elmondható, hogy a középkorban csak elszórtan próbálnak reflektálni a valószínűségi okoskodásra.
Pacioli, Tartaglia és Cardano munkáiban már kísérletet tesznek arra, hogy egy új koncepciót - az esélyhányadost - kiemeljenek számos konkrét, elsősorban kombinatorikus probléma megoldásában.
2. A valószínűségelmélet tudományként való megjelenése. A XVII. század közepére. A statisztikai gyakorlatban, a biztosítók gyakorlatában, a megfigyelési eredmények feldolgozásában és más területeken felmerülő valószínűségi kérdések és problémák felkeltették a tudósok figyelmét, mivel aktuális témákká váltak. Először is, ez az időszak Pascal, Fermat és Huygens nevéhez fűződik. Ebben az időszakban speciális fogalmakat dolgoznak ki, mint a matematikai elvárás és a valószínűség (mint az esélyek aránya), megállapítják és használják a valószínűség első tulajdonságait: a valószínűségek összeadási és szorzási tételeit. A valószínűségi tétel jelenleg a biztosítási üzletágban, a demográfiában, a megfigyelési hibák értékelésében talál alkalmazást, miközben széles körben alkalmazza a valószínűség fogalmát.
3. A következő időszak Bernoulli "A sejtések művészete" (1713) című művének megjelenésével kezdődik, amelyben először igazolták az első határtételt - a nagy számok törvényének legegyszerűbb esetét. Ez a 19. század közepéig tartó időszak magában foglalja De Moivre, Laplace, Gauss és mások munkáit, a határtételek ekkoriban a figyelem középpontjában álltak. A valószínűségelméletet kezdik széles körben alkalmazni a természettudomány különböző területein. És bár ebben az időszakban a valószínűség különféle fogalmait (geometriai valószínűség, statisztikai valószínűség) kezdik használni, a valószínűség klasszikus definíciója domináns helyet foglal el.
4. A valószínűségszámítás fejlődésének következő időszaka elsősorban a Szentpétervári Matematikai Iskolához kötődik. A valószínűségelmélet fejlődésének két évszázada során fő vívmányai a határtételek voltak, de alkalmazásuk határai és további általánosítások lehetősége nem tisztázottak. A sikerek mellett jelentős hiányosságokat is azonosítottak az indokolásban, ez a valószínűség nem kellően világos elképzelésében fejeződik ki. A valószínűségelméletben olyan helyzet állt elő, hogy annak továbbfejlesztése a főbb rendelkezések tisztázását, maguknak a kutatási módszereknek a megerősítését tette szükségessé.
Ezt a Csebisev által vezetett orosz matematikai iskola végezte. Legnagyobb képviselői közé tartozik Markov és Ljapunov.
Ebben az időszakban a valószínűségszámítás magában foglalja a határérték-tételek közelítéseinek becsléseit, valamint a határtételeknek engedelmeskedő valószínűségi változók osztályának bővítését. Ebben az időben néhány függő valószínűségi változót (Markov-láncot) kezdtek figyelembe venni a valószínűségszámításban. A valószínűségelméletben olyan új fogalmak merülnek fel, mint a "jellemző függvények elmélete", "a pillanatok elmélete" stb. És ebből a szempontból a természettudományokban, elsősorban a fizikában terjedt el. Ebben az időszakban jön létre a statisztikai fizika. A valószínűségi módszerek és fogalmak fizikába történő bevezetése azonban meglehetősen távol állt a valószínűségszámítás vívmányaitól. A fizikában használt valószínűségek nem voltak pontosan ugyanazok, mint a matematikában. A létező valószínűség-fogalmak nem elégítették ki a természettudományok igényeit, és ennek következtében kezdtek megjelenni a valószínűségszámítás különféle értelmezései, amelyeket nehéz volt egyetlen definícióra redukálni.
A valószínűségszámítás kialakulása a 19. század elején. Ez vezetett a logikai alapok, elsősorban a valószínűség fogalmának felülvizsgálatához és tisztázásához. Ehhez szükség volt a fizika fejlesztésére és a valószínűségi fogalmak benne való alkalmazására, valamint a valószínűségszámítás apparátusára; az ember elégedetlenséget érzett a laplaci típus klasszikus igazolásával.
5. A valószínűségelmélet modern fejlődési periódusa az axiomatika (axiomatika - bármely tudomány axiómarendszere) létrehozásával kezdődött. Ezt elsősorban a gyakorlat követelte meg, hiszen a valószínűségszámítás fizikában, biológiában és más tudományterületeken, valamint a műszaki és hadügyben történő sikeres alkalmazásához alapvető fogalmainak tisztázása és koherens rendszerbe foglalása volt szükséges. . Az axiomatikának köszönhetően a valószínűségszámítás absztrakt-deduktív matematikai tudományággá vált, amely szorosan kapcsolódik a halmazelmélethez. Ez a valószínűségszámítási kutatások széles skálájához vezetett.
Ennek az időszaknak az első művei Bernstein, Mises, Borel nevéhez fűződnek. Az axiomatika végleges kialakítása a XX. század 30-as éveiben következett be. A valószínűségszámítás fejlődési irányzatainak elemzése lehetővé tette Kolmogorov számára, hogy általánosan elfogadott axiomatikát alkosson. A valószínűségi vizsgálatokban a halmazelmélettel való analógiák alapvető szerepet kezdtek játszani. A függvények metrikus elméletének gondolatai egyre mélyebbre kezdtek behatolni a valószínűségelméletbe. Szükség volt a valószínűségszámítás halmazelméleti fogalmakon alapuló axiomatizálására. Az ilyen axiomatikát Kolmogorov alkotta meg, és hozzájárult ahhoz, hogy a valószínűségelmélet végül teljes értékű matematikai tudományként megerősödött.
Ebben az időszakban a valószínűség fogalma szinte mindent áthat az emberi tevékenység minden területén. A valószínűségnek többféle meghatározása létezik. Az alapfogalmak definícióinak sokfélesége a modern tudomány lényeges jellemzője. A modern definíciók a tudományban olyan fogalmak, nézőpontok bemutatását jelentik, amelyek bármely alapfogalomhoz sokfélék lehetnek, és mindegyik a definiálandó fogalom valamely lényeges oldalát tükrözi. Ez vonatkozik a valószínűség fogalmára is.
2. A valószínűség klasszikus definíciójának megjelenése
A valószínűség fogalma óriási szerepet játszik a modern tudományban, így lényeges eleme a modern világnézet egészének, a modern filozófiának. Mindez figyelmet és érdeklődést vált ki a valószínűség fogalmának kialakítása iránt, amely szorosan összefügg a tudomány általános mozgásával. A valószínűség fogalmát számos tudomány vívmánya jelentősen befolyásolta, de ez a fogalom viszont arra kényszerítette őket, hogy finomítsák a világ tanulmányozásával kapcsolatos megközelítésüket.
A matematikai alapfogalmak kialakulása a matematikai fejlődés folyamatának fontos állomásait jelenti. A 17. század végéig a tudomány nem közelítette meg a valószínűség klasszikus definíciójának bevezetését, hanem továbbra is csak a kutatók érdeklődésére számot tartó események egyik-másik eseményének kedvezõ esélyeivel mûködött. A Cardano és a későbbi kutatók által feljegyzett külön próbálkozások nem vezettek ennek az újításnak a jelentőségének egyértelmű megértéséhez, és az elkészült munkákban idegen test maradt. A 18. század harmincas éveiben azonban általánosan elterjedt a valószínűség klasszikus fogalma, és az akkori évek tudósai közül senki sem korlátozódhatott volna egy eseményre kedvező esélyek számbavételére. A valószínűség klasszikus definíciójának bevezetése nem egyetlen cselekvés eredményeként következett be, hanem hosszú ideig tartott, amely során a megfogalmazás folyamatos fejlesztése, a konkrét problémákról az általános esetre való átállás történt.
Egy alapos tanulmányozás azt mutatja, hogy még X. Huygens „On Calculations in Gambling” (1657) című könyvében sem szerepel a valószínűség fogalma 0 és 1 közötti számként, amely egyenlő az eseményre kedvező esélyek számának arányával. az összes lehetséges száma. J. Bernoulli „A feltételezések művészete” című értekezésében (1713) pedig ezt a fogalmat vezették be, bár messze tökéletlen formában, de ami különösen fontos, széles körben használják.
A. De Moivre átvette a valószínűség klasszikus Bernoulli által adott definícióját, és majdnem pontosan úgy határozta meg egy esemény valószínűségét, mint mi most. Ezt írta: „Következésképpen egy törtet építünk, amelynek a számlálója az lesz, hogy hányszor fordul elő az esemény, a nevező pedig az összes olyan eset száma, amikor előfordulhat, vagy nem, ez a tört kifejezi a bekövetkezésének valós valószínűsége."
3. A valószínűségszámítás tárgya
Az általunk megfigyelt események (jelenségek) a következő három típusra oszthatók: megbízható, lehetetlen és véletlenszerű.
Egy bizonyos eseményt bizonyos eseménynek nevezünk, amely bizonyos S feltételek teljesülése esetén feltétlenül bekövetkezik. Például, ha egy edény normál légköri nyomású és 20 °-os hőmérsékletű vizet tartalmaz, akkor az esemény „a víz az edényben folyékony állapotban van” bizonyos. Ebben a példában a megadott légköri nyomás és vízhőmérséklet alkotja az S feltételek halmazát.
Egy eseményt lehetetlennek nevezünk, ha az S feltételrendszer teljesül.
A véletlenszerű esemény olyan esemény, amely egy S feltételrendszer megvalósítása esetén vagy bekövetkezhet, vagy nem következik be. Például, ha egy érmét dobnak, akkor az leeshet úgy, hogy címer vagy felirat kerül a tetejére. Ezért véletlenszerű az az esemény, hogy „érmefeldobáskor egy „címer” esett ki. Minden véletlenszerű esemény, különösen a "címer leesése" nagyon sok véletlenszerű ok hatásának eredménye (példánkban: az érme dobásának erő, az érme alakja és sok más ). Lehetetlen figyelembe venni mindezen okok hatását az eredményre, mivel számuk nagyon nagy, és hatásuk törvényei ismeretlenek. Ezért a valószínűségelmélet nem azt a feladatot tűzi ki maga elé, hogy megjósolja, hogy egyetlen esemény bekövetkezik-e vagy sem – egyszerűen nem tudja megtenni.
Más a helyzet, ha olyan véletlenszerű eseményeket vesszük figyelembe, amelyek ugyanazon feltételek mellett S ismételten megfigyelhetők, vagyis ha masszív homogén véletlenszerű eseményekről beszélünk. Kiderül, hogy kellően nagy számú homogén véletlenszerű esemény, függetlenül azok sajátos természetétől, engedelmeskedik bizonyos törvényeknek, nevezetesen a valószínűségi törvényeknek. E törvényszerűségek megállapításával a valószínűségelmélet foglalkozik.
Tehát a valószínűségszámítás tárgya tömeges homogén véletlenszerű események valószínűségi szabályszerűségeinek vizsgálata.
4. Valószínűségszámítás alapfogalmai
Minden egyes tudomány, amely egy bizonyos jelenségkörre általános elméletet dolgoz ki, számos alapfogalmat tartalmaz, amelyeken alapul. Ilyen alapfogalmak a valószínűségszámításban is léteznek. Ezek a következők: egy esemény, egy esemény valószínűsége, egy esemény gyakorisága vagy statisztikai valószínűség, valamint egy valószínűségi változó.
A véletlenszerű események azok az események, amelyek előfordulhatnak, de előfordulhatnak, ha ezeknek az eseményeknek a bekövetkezésének lehetőségéhez kapcsolódó feltételek halmaza megvalósul.
A véletlenszerű eseményeket A, B, C, ... betűkkel jelöljük. A vizsgált halmaz minden egyes megvalósítását tesztnek nevezzük. A próbák száma korlátlanul növekedhet. Egy adott tesztsorozatban egy adott véletlenszerű A esemény m előfordulási számának arányát a sorozat összes n számú kísérletéhez viszonyítva az A esemény előfordulási gyakoriságának nevezzük egy adott tesztsorozatban (vagy egyszerűen a gyakoriságnak). esemény A) és P * (A) jelölése. így P*(A)=m/n.
Egy véletlen esemény gyakorisága mindig nulla és egy között van: 0 ? P*(A) ? egy.
A tömeges véletlen eseményeknek megvan a frekvenciastabilitás tulajdonsága: a homogén tesztek különböző sorozataiban megfigyelve (minden sorozatban kellően nagy számú teszttel) egy adott véletlenszerű esemény gyakorisági értékei sorozatról sorozatra ingadoznak meglehetősen szűk határok között.
Ez a körülmény teszi lehetővé matematikai módszerek alkalmazását a véletlenszerű események vizsgálatában, minden tömeges véletlenszerű eseményhez annak valószínűségét hozzárendelve, amely az a (általában előre nem ismert) szám, amely körül az esemény megfigyelt gyakorisága ingadozik. .
Az A véletlenszerű esemény valószínűségét P(A) jelöljük. Egy véletlen esemény valószínűsége, akárcsak gyakorisága, nulla és egy között van: 0 ? P(A) ? egy .
A valószínűségi változó egy olyan változó, amely egy elvégzett művelet eredményét jellemzi, és amely különböző műveletekhez különböző értékeket vehet fel, függetlenül attól, hogy a végrehajtás feltételei mennyire homogének.
5. A valószínűségszámítás alkalmazása a modern világban
Jogosan a statisztikai fizikával kellene kezdenünk. A modern természettudomány abból az elgondolásból indul ki, hogy minden természeti jelenség statisztikai jellegű, és a törvényeket pontosan csak a valószínűségszámítás alapján lehet megfogalmazni. A statisztikai fizika az egész modern fizika alapja, a valószínűségszámítás pedig a matematikai apparátusa. A statisztikai fizikában olyan problémákat tekintenek, amelyek olyan jelenségeket írnak le, amelyeket nagyszámú részecske viselkedése határoz meg. A statisztikai fizikát nagyon sikeresen alkalmazzák a fizika különböző ágaiban. A molekuláris fizikában a segítségével magyarázzák a hőjelenségeket, az elektromágnesességben a testek dielektromos, vezető- és mágneses tulajdonságait, az optikában lehetővé tette a hősugárzás, a fény molekuláris szórásának elméletét. Az elmúlt években a statisztikai fizika alkalmazási köre tovább bővült.
A statisztikai ábrázolások lehetővé tették a magfizika jelenségeinek matematikai vizsgálatának gyors formalizálását. A radiofizika megjelenése és a rádiójelek továbbításának tanulmányozása nemcsak a statisztikai fogalmak jelentőségét növelte, hanem magának a matematikai tudománynak a fejlődéséhez is - az információelmélet megjelenéséhez - vezetett.
A kémiai reakciók természetének megértése, a dinamikus egyensúly szintén lehetetlen statisztikai fogalmak nélkül. Minden fizikai kémia, annak matematikai berendezése és az általa javasolt modellek statisztikai jellegűek.
A megfigyelési eredmények feldolgozása, amelyek mindig véletlenszerű megfigyelési hibákkal és a megfigyelő számára a kísérlet körülményeinek véletlenszerű változásaival is együtt járnak, már a 19. században rávezette a kutatókat a megfigyelési hibák elméletének megalkotására, és ez az elmélet teljes mértékben a statisztikai fogalmak.
A csillagászat számos területén a statisztikai apparátust használja. A csillagcsillagászat, az anyag térbeli eloszlásának vizsgálata, a kozmikus részecskeáramlások, a napfoltok (naptevékenység központjai) eloszlása a Nap felszínén és még sok minden más megkívánja a statisztikai ábrázolások alkalmazását.
A biológusok észrevették, hogy az azonos fajhoz tartozó élőlények szerveinek méretének terjedése tökéletesen illeszkedik az általános elméleti és valószínűségi törvényekbe. Mendel híres törvényei, amelyek a modern genetika alapjait fektették le, valószínűségi-statisztikai érvelést igényelnek. A biológia olyan jelentős problémáinak tanulmányozása, mint a gerjesztés átadása, a memória szerkezete, az örökletes tulajdonságok átadása, az állatok területen való eloszlásának kérdései, a ragadozó és a zsákmány kapcsolata, a valószínűségszámítás és a matematikai ismeretek alapos ismerete szükséges. statisztika.
A bölcsészettudományok nagyon sokféle tudományágat egyesítenek, a nyelvészettől és az irodalomtól a pszichológiáig és a közgazdaságtanig. A statisztikai módszereket egyre inkább alkalmazzák a történeti kutatásokban, különösen a régészetben. A statisztikai megközelítést az ókori népek nyelvén található feliratok megfejtésére használják. Ötletek, amelyek vezérelték J. Champolliont a megfejtésbenősi hieroglif írás, alapvetően statisztikai jellegűek. A titkosítás és visszafejtés művészete a nyelv statisztikai mintáinak használatán alapul. További területek a szavak és a betűk gyakoriságának vizsgálatához, a hangsúlyok szóbeli megoszlásához, az egyes írók, költők nyelvezetének informatívságának számításához kapcsolódnak. Statisztikai módszereket alkalmaznak a szerzőség megállapítására és az irodalmi hamisítások leleplezésére. Például,szerzőség M.A. Sholokhov a Quiet Flows the Don című regény alapjánvalószínűségi-statisztikai módszerekkel állapították meg. Egy nyelv hangjainak szóbeli és írott beszédben való megjelenési gyakoriságának feltárása lehetővé teszi számunkra, hogy felvehessük az adott nyelv betűinek optimális kódolását az információtovábbításhoz. A betűhasználat gyakorisága határozza meg a szedőpénztár karakterszámának arányát. A betűk elrendezését az írógép kocsiján és a számítógép billentyűzetén az adott nyelv betűkombinációk gyakoriságának statisztikai vizsgálata határozza meg.
A pedagógia és a pszichológia számos problémája megköveteli a valószínűségi-statisztikai apparátus bevonását is. A gazdasági kérdések nem érdeklik a társadalmat, hiszen fejlődésének minden aspektusa összefügg vele. Statisztikai elemzés nélkül nem lehet előre látni a népesség számának, szükségleteinek, a foglalkoztatás jellegének, a tömegkereslet változásának változását, e nélkül pedig nem tervezhető a gazdasági tevékenység.
A valószínűségi-statisztikai módszerekhez közvetlenül kapcsolódik a termékek minőségi ellenőrzésének kérdése. Egy termék gyártása gyakran összehasonlíthatatlanul kevesebb időt vesz igénybe, mint a minőség ellenőrzése. Emiatt nem lehet minden egyes termék minőségét ellenőrizni. Ezért egy tétel minőségét a minta viszonylag kis része alapján kell megítélni. Statisztikai módszereket alkalmaznak akkor is, amikor a termékek minőségének vizsgálata azok károsodásához vagy halálához vezet.
A mezőgazdasággal kapcsolatos kérdéseket a statisztikai módszerek széleskörű alkalmazása régóta megoldja. Új állatfajták tenyésztése, új növényfajták, hozamok összehasonlítása - ez nem a statisztikai módszerekkel megoldott feladatok teljes listája.
Túlzás nélkül elmondható, hogy egész életünket ma áthatják a statisztikai módszerek. Lucretius Cara materialista költő „A dolgok természetéről” című jól ismert művében élénk és költői leírás található a porrészecskék Brown-féle mozgásának jelenségéről:
„Nézz ide: valahányszor behatol a napfény
Lakhelyünkön átvág a sötétség sugaraival,
Látni fogod, sok kis test az ürességben villog,
Össze-vissza rohanás a fény sugárzó izzásában;
Mintha örök küzdelmet vívnának, csatákban és csatákban vívnak.
Hirtelen a békét nem ismerve, csoportosan rohannak csatába.
Vagy összefolyva, vagy külön, folyamatosan újra szétszóródva.
Megértheti ebből, milyen fáradhatatlanul
A dolgok kezdete a hatalmas ürességben nyugtalan.
A nagy dolgokról tehát segítenek megérteni
Apró dolgok, amelyek felvázolják a sikerhez vezető utat,
Ráadásul, mert oda kell figyelni
A napfényben pislákoló testek zűrzavarára
Amiből tudod, az a mozgalom is
Az első lehetőség az egyes részecskék véletlenszerű mozgása és nagy aggregátumaik szabályos mozgása közötti kapcsolat kísérleti vizsgálatára, amikor 1827-ben R. Brown botanikus felfedezett egy jelenséget, amelyet róla neveztek el "Browni-mozgásnak". Brown mikroszkóp alatt vízben szuszpendált virágport figyelt meg. Meglepetésére tapasztalta, hogy a vízben szuszpendált részecskék folyamatos véletlenszerű mozgásban vannak, amit a külső hatások kiküszöbölésére a leggondosabb erőfeszítéssel sem lehetett megállítani. Hamar kiderült, hogy ez a folyadékban szuszpendált kellően kicsi részecskék általános tulajdonsága. A Brown-mozgás a véletlenszerű folyamat klasszikus példája.
6. Valószínűségszámítás és légi szállítás
Az előző fejezetben a valószínűségszámítás és a statisztika alkalmazását vizsgáltuk a tudomány különböző területein. Ebben a fejezetben a valószínűségszámítás légi közlekedésben való alkalmazására szeretnék példákat hozni.
A légi közlekedés olyan fogalom, amely magában foglalja magát a repülőgépet és a működésükhöz szükséges infrastruktúrát: repülőtereket, diszpécser- és műszaki szolgáltatásokat. Tudniillik a repülés számos olyan repülőtéri szolgálat közös munkájának eredménye, amelyek tevékenységük során különféle tudományterületeket alkalmaznak, és szinte mindegyik területen létezik a valószínűségelmélet. Példát szeretnék hozni a navigáció területéről, ahol a valószínűségelmélet is széles körben használatos.
A műholdas navigációs, leszállási és kommunikációs rendszerek fejlesztése kapcsán új megbízhatósági mutatók kerültek bevezetésre, mint például a rendszer integritása, folytonossága és rendelkezésre állása. Mindezek a megbízhatósági mutatók a valószínűség alapján vannak számszerűsítve.
Az integritás a rádiórendszertől kapott és a légi jármű által később alkalmazott információkba vetett bizalom mértéke. Az integritás valószínűsége egyenlő a meghibásodás valószínűségének és a hiba észlelésének elmaradásának valószínűségének szorzatával, és repülési óránként 10-7 vagy annál kisebb lehet.
A szolgáltatás folytonossága egy komplett rendszer azon képessége, hogy funkcióját anélkül tudja ellátni, hogy a tervezett művelet végrehajtása során megszakítaná az üzemmódot. Ennek legalább 10-4-nek kell lennie.
A rendelkezésre állás a rendszer azon képessége, hogy a működés megkezdésekor ellátja funkcióit. Az Onam értékének legalább 0,99-nek kell lennie.
Következtetés
A valószínűségi eszmék manapság a tudás egész komplexumának fejlődését ösztönzik, az élettelen természet tudományaitól a társadalomtudományokig. A modern természettudomány fejlődése elválaszthatatlan a valószínűségi eszmék és módszerek használatától és fejlesztésétől. Korunkban nehéz olyan kutatási területet megnevezni, ahol nem alkalmaznak valószínűségi módszereket.
Bibliográfia
1. Wentzel E.S. Valószínűségelmélet: Tankönyv középiskolák számára. Moszkva: Felsőiskola, 2006;
2. Gmurman V.E. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika. Proc. juttatás az egyetemek számára. M: Felsőiskola, 1998;
3. Gnedenko B.V. Esszé a valószínűségelméletről. M.: Szerkesztői URSS, 2009;
4. Maistrov L.E. A valószínűségelmélet fejlesztése. M.: Nauka, 1980;
5. Maistrov L.E. Valószínűségi elmélet. Történelmi esszé. Moszkva: Nauka, 1967
6. Sobolev E.V. Repülések rádiótechnikai támogatásának megszervezése (1. rész). Szentpétervár, 2008;
7.
http://verojatnost. pavlovkashkola.edusite.ru/p8aa1.html
8. http://shpora.net/index.cgi? act=view&id=4966