Funkció y=f(x) hívott elenyésző nál nél x→a vagy mikor x→∞ ha vagy , azaz. végtelenül kis funkció olyan függvény, amelynek határértéke egy adott pontban egyenlő nullával.

Példák.

1. Funkció f(x)=(x-1) 2 végtelenül kicsi x→1, mivel (lásd ábra).

2. Funkció f(x)=tg x végtelenül kicsi a x→0.

3. f(x)= log(1+ x) végtelenül kicsi at x→0.

4. f(x) = 1/x végtelenül kicsi a x→∞.

Állítsuk fel a következő fontos összefüggést:

Tétel. Ha a funkció y=f(x) képviselhető at x→aállandó szám összegeként bés végtelenül kicsi α(x): f(x)=b+ α(x) azután .

Fordítva, ha , akkor f(x)=b+α(x), ahol fejsze) végtelenül kicsi a x→a.

Bizonyíték.

1. Bizonyítsuk be az állítás első részét. Az egyenlőségtől f(x)=b+α(x) kellene |f(x) – b|=| α|. De azóta fejsze) infinitezimális, akkor tetszőleges ε esetén van δ, a pont szomszédsága a, mindenkinek x ahonnan, értékek fejsze) kielégíteni a kapcsolatot |α(x)|< ε. Azután |f(x) – b|< ε. Ez pedig azt jelenti, hogy.

2. Ha , akkor bármely ε esetén >0 mindenkinek x valamilyen δ a pont szomszédsága a akarat |f(x) – b|< ε. De ha jelöljük f(x) – b= α, azután |α(x)|< ε, ami azt jelenti a- végtelenül kicsi.

Tekintsük az infinitezimális függvények főbb tulajdonságait.

1. tétel. Kettő, három és általában tetszőleges számú végtelen szám algebrai összege egy végtelen kicsi függvény.

Bizonyíték. Bizonyítsunk két kifejezésre. Legyen f(x)=α(x)+β(x), hol és . Be kell bizonyítanunk, hogy tetszőleges tetszőlegesen kicsi ε esetén > 0 ott δ> 0, olyan, hogy a x az egyenlőtlenség kielégítése |x – a|<δ , előadták |f(x)|< ε.

Így egy tetszőleges ε számot rögzítünk > 0. Mivel a tétel hipotézise szerint α(x) egy infinitezimális függvény, akkor létezik δ 1 > 0, amely at |x – a|< δ 1 van |α(x)|< ε / 2. Ugyanígy, mióta β(x) végtelenül kicsi, akkor van ilyen δ 2 > 0, amely at |x – a|< δ 2 van | β(x)|< ε / 2.

Vessünk δ=min(δ1 , δ2 } .Akkor a pont szomszédságában a sugár δ mindegyik egyenlőtlenség teljesülni fog |α(x)|< ε / 2 és | β(x)|< ε / 2. Ezért ezen a környéken lesz

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

azok. |f(x)|< ε, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. Egy infinitezimális függvény szorzata fejsze) korlátozott funkcióhoz f(x) nál nél x→a(vagy mikor x→∞) egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Mivel a funkció f(x) korlátozott, akkor van egy szám M olyan, hogy minden értékre x a pont valamelyik környékéről a|f(x)|≤M. Ráadásul mivel fejsze) egy végtelenül kicsi függvény x→a, akkor tetszőleges ε-re > 0 van a pont szomszédsága a, amelyben az egyenlőtlenség |α(x)|< ε /M. Aztán a kisebbik környéken van | αf|< ε /M= ε. Ez pedig azt jelenti af- végtelenül kicsi. Az esethez x→∞ a bizonyítás is hasonló módon történik.

A bizonyított tételből az következik:

Következmény 1. Ha és , akkor .

2. következmény. Ha c= const, akkor .

3. tétel. Egy infinitezimális függvény aránya α(x) függvényenként f(x), amelynek határértéke nem nulla, egy infinitezimális függvény.

Bizonyíték. Legyen . Aztán 1 /f(x) korlátozott funkciója van. Ezért a tört egy infinitezimális függvény és egy korlátos függvény szorzata, azaz. függvény végtelenül kicsi.

Végtelenül kicsi funkciók

A %%f(x)%% függvény meghívásra kerül elenyésző(b.m.) %%x \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ha a függvény határértéke nulla, amikor az argumentum erre hajlik.

A b.m. fogalma. A függvény elválaszthatatlanul kapcsolódik az argumentumában bekövetkezett változás jelzéséhez. Beszélhetünk a b.m. függvények: %%a \to a + 0%% és %%a \to a - 0%%. Általában b.m. a függvényeket a görög ábécé első betűivel jelöljük %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%

Példák

1. A %%f(x) = x%% függvény a b.m. %%x \-0%%, mert a határa %%a = 0%%-nál nulla. A kétoldali határ és az egyoldali határ kapcsolatáról szóló tétel szerint ez a függvény b.m. mind a %%x \to +0%% és a %%x \to -0%% értékkel.
2. Függvény %%f(x) = 1/(x^2)%% - b.m. %%x \to \infty%% (valamint %%x \to +\infty%% és %%x \to -\infty%%).

Egy nem nulla állandó szám, bármilyen kicsi is abszolút értékben, nem b.m. funkció. Állandó számok esetén az egyetlen kivétel a nulla, mivel a %%f(x) \equiv 0%% függvénynek nulla határértéke van.

Tétel

A %%f(x)%% függvénynek van egy végkorlátja a kiterjesztett numerikus sor %%a \in \overline(\mathbb(R))%% pontjában, egyenlő a számmal%%b%%, akkor és csak akkor, ha ez a függvény egyenlő ennek a számnak a %%b%% és a b.m összegével. %%\alpha(x)%% függvények %%x \to a%%, vagy $$ \exists~\lim\limits_(x \to a)(f(x)) = b \in \mathbb(R ) \Baljobbra nyíl \bal(f(x) = b + \alpha(x)\jobbra) \land \left(\lim\limits_(x \to a)(\alpha(x) = 0)\jobbra). $$

Infinitezimális függvények tulajdonságai

A határértékre való átlépés szabályai szerint %%c_k = 1~ \forall k = \overline(1, m), m \in \mathbb(N)%% esetén a következő állítások következnek:

1. A végső szám összege b.m. függvények %%x-hez \to a%% a f.m. %%x \to a%%.
2. Tetszőleges számú b.m szorzata. függvények %%x-hez \to a%% a f.m. %%x \to a%%.

A termék a b.m. függvények %%x \to a%% pontban, és egy függvény, amely az a pont %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% pontjában van, a b.m. %%x \to a%% függvénnyel.

Nyilvánvaló, hogy egy állandó függvény és a b.m szorzata. %%x \to a%% között van b.m. függvény: %%x \to a%%.

Egyenértékű infinitezimális függvények

Végtelenül kicsi függvények %%\alpha(x), \beta(x)%% %%x \to a%% esetén egyenértékűés %%\alpha(x) \sim \beta(x)%% ha

$$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\limits_(x \to a)(\frac(\beta(x) )(\alpha(x))) = 1. $$

Tétel a b.m pótlásáról. funkciók egyenértékűek

Legyen %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% b.m. függvények: %%x \to a%%, és %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, majd $$ \lim\limits_(x \to a)(\frac(\alpha(x))(\beta(x))) = \lim\ limits_(x \to a)(\frac(\alpha_1(x))(\beta_1(x))). $$

Egyenértékű b.m. funkciókat.

Legyen %%\alpha(x)%% b.m. függvény %%x \to a%%, akkor

1. %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
2. %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac(\alpha^2(x))(2)%%
3. %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
4. %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
5. %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
6. %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
7. %%\displaystyle\sqrt[n](1 + \alpha(x)) - 1 \sim \frac(\alpha(x))(n)%%
8. %%\displaystyle a^(\alpha(x)) - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%

Példa

$$ \begin(array)(ll) \lim\limits_(x \to 0)( \frac(\ln\cos x)(\sqrt(1 + x^2) - 1)) & = \lim\limits_ (x \to 0)(\frac(\ln(1 + (\cos x - 1)))(\frac(x^2)(4))) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(\frac(4(\cos x - 1))(x^2)) = \\ & = \lim\limits_(x \to 0)(-\frac(4 x^2)(2 x^ 2)) = -2 \end(tömb) $$

Végtelenül nagy funkciók

A %%f(x)%% függvény meghívásra kerül végtelenül nagy(b.b.) %%x esetén \to a \in \overline(\mathbb(R))%%, ha a függvénynek végtelen határa van, ahogy az argumentum erre hajlamos.

Mint a b.m. funkcionál a b.b fogalma. A függvény elválaszthatatlanul kapcsolódik az argumentumában bekövetkezett változás jelzéséhez. Beszélhetünk a b.b. függvények: %%x \to a + 0%% és %%x \to a - 0%%. A „végtelenül nagy” kifejezés nem a függvény abszolút értékét, hanem a vizsgált pont környezetében bekövetkezett változásának jellegét jelenti. Egyetlen állandó szám sem végtelenül nagy, legyen bármennyire nagy is az abszolút értékben.

Példák

1. %%f(x) = 1/x%% függvény - b.b. %%x \-0%% között.
2. Függvény %%f(x) = x%% - b.b. %%x \to \infty%%.

Ha a definíciók feltételei $$ \begin(array)(l) \lim\limits_(x \to a)(f(x)) = +\infty, \\ \lim\limits_(x \to a)( f(x)) = -\infty, \end(tömb) $$

aztán arról beszélnek pozitív vagy negatív b.b. %%a%% függvénynél.

Példa

A %%1/(x^2)%% függvény pozitív b.b. %%x \-0%% között.

A kapcsolat a b.b. és b.m. funkciókat

Ha %%f(x)%% b.b. ha %%x \to a%% egy függvény, akkor a %%1/f(x)%% a b.m.

%%x \to a%%. Ha a %%\alpha(x)%% a b.m. mert %%x \to a%% egy nem nulla függvény a %%a%% pont valamely átszúrt környezetében, akkor a %%1/\alpha(x)%% a b.b. %%x \to a%%.

Végtelenül nagy függvények tulajdonságai

Mutassuk be a b.b számos tulajdonságát. funkciókat. Ezek a tulajdonságok közvetlenül a b.b definíciójából következnek. véges határértékekkel rendelkező függvények függvényei és tulajdonságai, valamint a b.b. közötti kapcsolódási tételből. és b.m. funkciókat.

1. Egy véges szám szorzata b.b. a %%x \to a%% függvényei b.b. függvény: %%x \to a%%. Valóban, ha %%f_k(x), k = \overline(1, n)%% b.b. %%x \to a%%, majd a %%a%% %%f_k(x) \ne 0%% pont valamilyen kilyukadt környezetében működik, és kapcsolódási tétel alapján b.b. és b.m. függvények %%1/f_k(x)%% - b.m. függvény: %%x \to a%%. Kiderült, hogy %%\displaystyle\prod^(n)_(k = 1) 1/f_k(x)%% egy b.m függvény a %%x \to a%% és %%\displaystyle\prod^( n )_(k = 1)f_k(x)%% — b.b. függvény: %%x \to a%%.
2. A b.b. függvények a %%x \to a%% pontban, és egy olyan függvény, amelynek abszolút értéke nagyobb, mint egy pozitív állandó a %%a%% pont valamely szúrt környezetében, egy b.b. függvény: %%x \to a%%. Különösen a b.b. függvények %%x \to a%% pontban, és egy olyan függvény, amelynek véges nem nulla határértéke van a %%a%% pontban, b.b. függvény: %%x \to a%%.

A %%a%% pont és a b.b pont valamely átszúrt környezetében határolt függvény összege. a %%x \to a%% függvények b.b. függvény: %%x \to a%%.

Például a %%x - \sin x%% és a %%x + \cos x%% függvények b.b. %%x \to \infty%%.

3. Két b.b. függvények %%x \to a%% között bizonytalanság van. A feltételek előjelétől függően egy ilyen összeg változásának jellege nagyon eltérő lehet.

   Példa

   Legyenek a %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% - b.b függvények. függvények: %%x \to \infty%%. Azután:

   • %%f(x) + g(x) = 3x%% - b.b. függvény: %%x \to \infty%%;
   • %%f(x) + h(x) = 0%% - b.m. függvény: %%x \to \infty%%;
   • %%h(x) + v(x) = \sin x%% nincs korlátja %%x \to \infty%%.

Adott a meghatározás végtelenül nagy sorozat. A végtelenül távoli pontok szomszédságainak fogalmait vizsgáljuk. Adott egy sorozat határának univerzális definíciója, amely mind a véges, mind a végtelen határokra vonatkozik. Példákat veszünk egy végtelenül nagy sorozat definíciójának alkalmazására.

Tartalom

Lásd még: Egy sorozat határának meghatározása

Meghatározás

Utóbbi (βn) végtelen sorozatnak nevezzük, ha van, önkényesen egy nagy szám M , létezik M-től függő N M természetes szám úgy, hogy minden n > N M természetes számra az egyenlőtlenség
|β n | >M.
Ebben az esetben írjon
.
Vagy at .
Azt mondják, hogy a végtelenbe hajlik, ill a végtelenbe konvergál.

Ha valamelyik N számból kiindulva 0 , azután
( plusz végtelenhez konvergál).
Ha akkor
( mínusz végtelenhez konvergál).

Ezeket a meghatározásokat a létezés és az egyetemesség logikai szimbólumaival írjuk:
(1) .
(2) .
(3) .

A (2) és (3) határértékkel rendelkező sorozatok egy végtelenül nagy sorozat (1) speciális esetei. Ezekből a definíciókból az következik, hogy ha egy sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, akkor egyenlő a végtelennel is:
.
Ennek a fordítottja természetesen nem igaz. A sorozattagok váltakozó karakterekkel rendelkezhetnek. Ebben az esetben a határ egyenlő lehet a végtelennel, de határozott előjel nélkül.

Vegye figyelembe azt is, hogy ha egy bizonyos tulajdonság teljesül egy tetszőleges sorozatra, amelynek határértéke a végtelen, akkor ugyanez a tulajdonság érvényes egy olyan sorozatra is, amelynek határértéke plusz vagy mínusz végtelen.

Sok számítási tankönyvben a végtelenül nagy sorozat definíciója azt mondja, hogy az M szám pozitív: M > 0 . Ez a követelmény azonban felesleges. Ha törlik, akkor nem merül fel ellentmondás. Csak a kis vagy negatív értékek nem érdekelnek minket. Érdekel bennünket a sorozat viselkedése tetszőlegesen nagy pozitív M érték esetén. Ezért ha szükség van rá, akkor M alulról tetszőleges a számmal korlátozható, azaz tegyük fel, hogy M > a.

Ha ε-t - a végpont szomszédságát definiáltuk, akkor az ε követelményt > 0 egy fontos. Nál nél negatív értékeket, az egyenlőtlenség egyáltalán nem állhat fenn.

Pontok szomszédsága a végtelenben

Amikor véges határokat vettünk figyelembe, bevezettük a pont szomszédságának fogalmát. Emlékezzünk vissza, hogy egy végpont környéke egy nyitott intervallum, amely ezt a pontot tartalmazza. Bevezethetjük a végtelenben lévő pontok szomszédságának fogalmát is.

Legyen M tetszőleges szám.
A "végtelen" pont szomszédsága, , halmaznak nevezzük.
A pont szomszédsága "plusz a végtelen", , halmaznak nevezzük.
A "mínusz végtelen" pont szomszédsága, , halmaznak nevezzük.

Szigorúan véve a "végtelen" pont szomszédsága a halmaz
(4) ,
ahol M 1 és M 2 tetszőleges pozitív számok. Az első definíciót fogjuk használni, mert az egyszerűbb. Bár az alábbiakban leírtak a (4) definíció használatakor is igazak.

Most már egységes definíciót adhatunk egy sorozat határértékére, amely mind a véges, mind a végtelen határokra vonatkozik.

A szekvenciakorlát egyetemes meghatározása.
Egy a pont (véges vagy végtelenben) a sorozat határa, ha ennek a pontnak bármely szomszédságára létezik olyan N természetes szám, hogy a sorozat minden eleme számokkal ebbe a szomszédságba tartozik.

Így ha a határ létezik, akkor az a pont szomszédságán kívül a sorozatnak csak véges számú tagja, vagy üres halmaza lehet. Ez a feltétel szükséges és elégséges. Ennek a tulajdonságnak a bizonyítása pontosan ugyanaz, mint a véges határok esetében.

Egy konvergens sorozat szomszédsági tulajdonsága
Ahhoz, hogy az a pont (véges vagy végtelenben) legyen a sorozat határa, szükséges és elegendő, hogy ennek a pontnak bármely szomszédságán kívül legyen véges számú tagja a sorozatnak vagy egy üres halmaz.
Bizonyíték .

Ezenkívül néha bevezetik az ε fogalmát – végtelenül távoli pontok szomszédságai.
Emlékezzünk vissza, hogy az a végpont ε-környezete a halmaz.
Vezessük be a következő jelölést. Legyen egy a pont ε szomszédságát jelöli. Aztán a végponthoz
.
A végtelenben lévő pontokhoz:
;
;
.
Az ε - szomszédságok fogalmát használva a sorozat határának még egy univerzális definíciója adható:

Egy a pont (véges vagy végtelen) a sorozat határértéke, ha van ilyen pozitív szám ε > 0 létezik egy ε-től függő N ε természetes szám úgy, hogy minden n > N ε számra az x n tagok az a pont ε környezetéhez tartoznak:
.

A létezés és az egyetemesség logikai szimbólumait felhasználva ez a meghatározás a következőképpen írható fel:
.

Példák végtelenül nagy sorozatokra

1. példa

.

.
Egy végtelenül nagy sorozat definícióját írjuk le:
(1) .
A mi esetünkben
.

Bevezetjük a számokat, és összekapcsoljuk őket az egyenlőtlenségekkel:
.
Az egyenlőtlenségek tulajdonságai szerint, ha és , akkor
.
Figyeljük meg, hogy ha ez az egyenlőtlenség bármely n-re érvényes. Tehát így választhat:
nál nél ;
nál nél .

Tehát bárki találhat olyan természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget. Akkor mindenkinek
.
Ez azt jelenti . Vagyis a sorozat végtelenül nagy.

2. példa

Egy végtelenül nagy sorozat definícióját használva mutasd meg, hogy
.

(2) .
Az adott sorozat közös tagjának alakja a következő:
.

Írja be a számokat és:
.
.

Ekkor bárki találhat egy természetes számot , amely kielégíti az egyenlőtlenséget , így mindenki számára ,
.
Ez azt jelenti .

.

3. példa

Egy végtelenül nagy sorozat definícióját használva mutasd meg, hogy
.

Írjuk fel a mínusz végtelennel egyenlő sorozat határértékét:
(3) .
Az adott sorozat közös tagjának alakja a következő:
.

Írja be a számokat és:
.
Ez azt mutatja, hogy ha és , akkor
.

Mivel bárki találhat olyan természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, akkor
.

Adott N-ként bármilyen természetes szám, amely kielégíti a következő egyenlőtlenséget:
.

4. példa

Egy végtelenül nagy sorozat definícióját használva mutasd meg, hogy
.

Írjuk ki a sorozat közös tagját:
.
Írjuk fel a plusz végtelennel egyenlő sorozat határértékét:
(2) .

Mivel n természetes szám, n = 1, 2, 3, ... , azután
;
;
.

Bevezetjük a számokat és az M -t, összefüggésbe hozva őket egyenlőtlenségekkel:
.
Ez azt mutatja, hogy ha és , akkor
.

Tehát bármely M számra találhat egy természetes számot, amely kielégíti az egyenlőtlenséget. Akkor mindenkinek
.
Ez azt jelenti .

Referenciák:
L.D. Kudrjavcev. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet Moszkva, 2003.
CM. Nikolszkij. Matematikai elemzés tanfolyam. 1. kötet Moszkva, 1983.

Lásd még:

A függvényt hívják végtelenül kicsi at
vagy mikor
, ha
vagy
.

Például: függvény
végtelenül kicsi at
; funkció
végtelenül kicsi at
.

Megjegyzés 1. Egyetlen függvény sem nevezhető infinitezimálisnak az argumentum változási irányának megadása nélkül. Igen, a funkció
nál nél
végtelenül kicsi, és
már nem végtelenül kicsi
).

2. megjegyzés. Egy függvény határértékének meghatározásából egy pontban, infinitezimális függvényeknél az egyenlőtlenség
Ezt a tényt a továbbiakban ismételten felhasználjuk.

Állíts be néhány fontosat az infinitezimális függvények tulajdonságai.

Tétel (egy függvény, határértéke és egy infinitezimális kapcsolatáról): Ha a függvény
egy állandó szám összegeként ábrázolható DEés egy végtelenül kicsi függvény
nál nél
, majd a szám

Bizonyíték:

A tétel feltételeiből következik, hogy a függvény
.

Express innen
:
. Mivel a funkció
végtelenül kicsi, kielégíti az egyenlőtlenséget
, majd a (
) is kielégíti az egyenlőtlenséget

Ez pedig azt jelenti
.

Tétel (fordítva): ha
, majd a függvény
szám összegeként ábrázolható DEés végtelenül kicsi at
funkciókat
, azaz
.

Bizonyíték:

Mint
, majd a
az egyenlőtlenséget
(*) Tekintsük a függvényt
egyetlenként, és írd át az egyenlőtlenséget (*) a formába

Az utolsó egyenlőtlenségből következik, hogy a mennyiség (
) végtelenül kicsi
. Jelöljük
.

Ahol
. A tétel bizonyítást nyert.

1. tétel . Véges számú, végtelenül kicsi függvény algebrai összege egy végtelenül kicsi függvény.

Bizonyíték:

Végezzük el a bizonyítást két tagra, hiszen tetszőleges véges számú tagra hasonló módon adjuk meg.

Legyen
és
végtelenül kicsi at
funkciók és
ezeknek a függvényeknek az összege. Bizonyítsuk be azért
, van ilyen
hogy mindenkinek x az egyenlőtlenség kielégítése
, az egyenlőtlenség
.

Mivel a funkció
végtelenül kicsi függvény,
hogy mindenkinek
az egyenlőtlenséget
.

Mivel a funkció
végtelenül kicsi függvény,
, és ezért van hogy mindenkinek
az egyenlőtlenséget
.

Vessünk egyenlő a legkisebb számmal és , majd be – a pont szomszédsága a egyenlőtlenségek teljesülni fognak
,
.

Állítson össze egy funkciómodult
és értékelje az értékét.

Azaz
, akkor a függvény infinitezimális, amit bizonyítani kellett.

2. tétel. Egy infinitezimális függvény szorzata
nál nél
korlátozott funkcióhoz
egy végtelenül kicsi függvény.

Bizonyíték:

Mivel a funkció
korlátos, akkor van egy pozitív szám
hogy mindenkinek az egyenlőtlenséget
.

Mivel a funkció
végtelenül kicsi at
, akkor létezik -a pont szomszédsága hogy mindenkinek szomszédságuk kielégíti az egyenlőtlenséget
.

Vegye figyelembe a funkciót
és értékelje a modulusát

Így
, és akkor
- végtelenül kicsi.

A tétel bizonyítást nyert.

Határtételek.

1. tétel. Véges számú függvény algebrai összegének határa megegyezik ezen függvények határainak algebrai összegével

Bizonyíték:

Ennek bizonyításához elegendő két funkciót figyelembe venni, ez nem sérti az érvelés általánosságát.

Legyen
,
.

A függvény, határértéke és egy végtelenül kicsi függvény kapcsolatáról szóló tétel szerint
és
ként ábrázolható
ahol
és
végtelenül kicsik
.

Keressük a függvények összegét
és

Érték
állandó érték
végtelenül kicsi mennyiség. Tehát a funkció
egy állandó érték és egy infinitezimális függvény összegeként ábrázolva.

Aztán a szám
a függvény határa
, azaz

A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel . Egy véges számú függvény szorzatának határértéke egyenlő ezen függvények határértékeinek szorzatával

Bizonyíték:

Az érvelés általánosságának megsértése nélkül két függvényre bizonyítunk
és
.

Akkor hagyd
,

Keressük meg a függvények szorzatát
és

Érték
egy állandó érték, egy végtelenül kicsi függvény. Ezért a szám
a függvény határa
, vagyis az egyenlőség

Következmény:
.

3. tétel. Két függvény hányadosának határa egyenlő ezen függvények határértékeinek hányadosával, ha a nevező határa nullától eltérő

.

Bizonyíték: hagyjuk
,

Azután
,
.

Keressünk egy magánszemélyt és hajtson végre rajta néhány azonos átalakítást

Érték állandó, tört
végtelenül kicsi. Ezért a függvény egy állandó szám és egy infinitezimális függvény összegeként ábrázolva.

Azután
.

Megjegyzés. Az 1–3. tételek bizonyítottak az esetre
. Azonban alkalmazhatók lehetnek
, mivel a tételek bizonyítása ebben az esetben is hasonló módon történik.

Például. Korlátok keresése:

Az első és a második csodálatos határ.

Funkció nincs meghatározva at
. Értékei azonban a nullapont közelében léteznek. Ezért tekinthetjük ennek a függvénynek a határát a
. Ezt a határt hívják első csodálatos határ .

Úgy néz ki:
.

például . Keresse meg a határokat: 1.
. kijelöl
, ha
, azután
.
; 2.
. Alakítsuk át ezt a kifejezést úgy, hogy a határérték az első figyelemre méltó határértékre csökkenjen.
; 3..

Tekintsük az alak egy változóját
, ahol a természetes számok értékeit növekvő sorrendben veszi. Adjunk különböző értékek: ha

Adni a következő értékeket a készletből
, könnyen belátható, hogy a kifejezés
nál nél
akarat
. Ráadásul az is bebizonyosodott
van határa. Ezt a határt a betű jelöli :
.

Szám irracionális:
.

Most vegyük figyelembe a függvény határát
nál nél
. Ezt a határt hívják második figyelemre méltó határ

Úgy néz ki
.

Például.

a)
. Kifejezés
cserélje ki a terméket azonos tényezők
, alkalmazza a szorzathatártételt és a második figyelemre méltó határértéket; b)
. Tegyük fel
, azután
,
.

A második figyelemre méltó határértéket használják folyamatos kamatszámítás problémája

A betétekből származó készpénzbevétel kiszámításakor gyakran használják az összetett kamat képletét, amely így néz ki:

,

ahol - kezdeti beruházás

- éves banki kamat,

- az évi kamatfizetések száma,

- idő, években.

Az elméleti tanulmányokban azonban a befektetési döntések megalapozásakor gyakrabban alkalmazzák az exponenciális (exponenciális) növekedési törvény képletét.

.

A növekedés exponenciális törvényének képletét a kamatos kamat képletének második figyelemre méltó határértékének alkalmazásával kapjuk meg.

A funkciók folytonossága.

Vegye figyelembe a funkciót
meghatározott valamikor és a pont valamely környéke . Legyen a függvény értéke a megadott pontban
.

Definíció 1. Funkció
hívott folyamatos egy ponton , ha egy pont szomszédságában van definiálva, beleértve magát a pontot és
.

A folytonosság definíciója többféleképpen is megfogalmazható.

Hagyja a függvényt
valamilyen értékre definiálva ,
. Ha az érv növekedés
, akkor a függvény növekszik

Legyen a függvény egy pontban folytonos (a függvény egy pontban való folytonosságának első definíciója szerint),

Vagyis ha a függvény egy ponton folytonos , akkor az argumentum végtelenül kicsi növekménye
ezen a ponton a függvény végtelen kicsi növekményének felel meg.

A fordított állítás is igaz: ha az argumentum egy infinitezimális növekménye felel meg a függvény végtelen kicsi növekményének, akkor a függvény folytonos.

Definíció 2. Funkció
folyamatosnak nevezzük
(ponton ) ha ezen a ponton és a szomszédságában van meghatározva, és ha
.

Figyelembe véve a függvény egy pontban való folytonosságának első és második definícióját, a következő állítást kaphatjuk:

vagy
, de
, azután
.

Ezért annak érdekében, hogy egy folytonos függvény határértékét megtaláljuk
elég a függvény analitikus kifejezésében az argumentum helyett helyettesíti az értékét .

Definíció 3. Egy tartomány minden pontjában folytonos függvényt hívunk folyamatos ebben a régióban.

Például:

1. példa Bizonyítsuk be, hogy a függvény
folytonos a definíciós tartomány minden pontján.

Használjuk a függvény egy pontban való folytonosságának második definícióját. Ehhez vegye fel az argumentum tetszőleges értékét és növelje meg
. Keressük meg a függvény megfelelő növekményét

2. példa Bizonyítsuk be, hogy a függvény
minden ponton folyamatos tól től
.

Mondjunk egy érvet növekedés
, akkor a függvény növekszik

A függvény óta találjuk
, amely korlátozott.

Hasonlóképpen igazolható, hogy minden alapvető elemi függvény definíciós tartományának minden pontján folytonos, azaz egy elemi függvény definíciós tartománya egybeesik annak folytonossági tartományával.

Definíció 4. Ha a függvény
valamely intervallum minden pontjában folytonos
, akkor a függvényt folytonosnak mondjuk ezen az intervallumon.

Infinitezimálisok és nagyok számítása

Infinitezimális számítás- infinitezimális értékekkel végzett számítások, amelyekben a származtatott eredményt végtelenül kicsinyek végtelen összegének tekintjük. Az infinitezimális számítás az általános fogalom differenciál- és integrálszámításhoz, amelyek a modern felsőbb matematika alapját képezik. Az infinitezimális mennyiség fogalma szorosan összefügg a határ fogalmával.

Elenyésző

Utóbbi a n hívott elenyésző, ha . Például egy számsorozat végtelenül kicsi.

A függvényt hívják végtelenül kicsi egy pont szomszédságában x 0 ha .

A függvényt hívják végtelenül kicsi a végtelenben, ha vagy .

Szintén végtelenül kicsi az a függvény, amely a függvény és a határértéke közötti különbség, vagyis ha , azután f(x) − a = α( x) , .

végtelenül nagy

Utóbbi a n hívott végtelenül nagy, ha .

A függvényt hívják végtelenül nagy egy pont szomszédságában x 0 ha .

A függvényt hívják végtelenül nagy a végtelenben, ha vagy .

Minden esetben feltételezzük, hogy az egyenlőség jobb oldalán lévő végtelennek van egy bizonyos előjele ("plusz" vagy "mínusz"). Ez például a függvény x bűn x nem végtelenül nagy a számára.

Infinitezimals és infinitezimals tulajdonságai

Infinitezimálisok összehasonlítása

Hogyan hasonlítsuk össze a végtelenül kicsi mennyiségeket?
Az infinitezimális mennyiségek aránya alkotja az úgynevezett bizonytalanságot.

Definíciók

Tegyük fel, hogy végtelenül kicsi ugyanazon α( x) és β( x) (vagy, ami a definíció szempontjából nem fontos, infinitezimális sorozatok).

Az ilyen határértékek kiszámításához célszerű a L'Hospital szabályát használni.

Összehasonlítási példák

Használata O-a kapott eredmények szimbólumait a következő formában írhatjuk fel x 5 = o(x 3). Ebben az esetben a bejegyzések 2x 2 + 6x = O(x) és x = O(2x 2 + 6x).

Egyenértékű mennyiségek

Meghatározás

Ha , akkor infinitezimális α és β mennyiségeket hívunk egyenértékű ().
Nyilvánvaló, hogy az ekvivalens mennyiségek az azonos nagyságrendű, végtelenül kicsi mennyiségek sajátos esetét jelentik.

-ra a következő ekvivalencia viszonyok érvényesek: , , .

Tétel

Két végtelenül kicsi mennyiség hányadosának (arányának) határa nem változik, ha az egyiket (vagy mindkettőt) egy ekvivalens értékre cseréljük.

Ennek a tételnek gyakorlati jelentősége van a határok megtalálásában (lásd a példát).

Használati példa

Csere sénn 2x egyenértékű érték 2 x, kapunk

Történelmi vázlat

A "végtelenül kicsi" fogalmát az ókorban az oszthatatlan atomok fogalmával kapcsolatban tárgyalták, de nem került be a klasszikus matematikába. Ismét újjáéledt a 16. századi „oszthatatlanok módszerének” megjelenésével – a vizsgált alak végtelen kis részekre osztásával.

Az infinitezimális számítás algebrazására a XVII. Ezeket olyan számértékekként kezdték meghatározni, amelyek kisebbek bármely véges (nem nulla) értéknél, és mégsem egyenlők nullával. Az elemzés művészete az infinitezimálisokat (differenciálokat) tartalmazó reláció felállításából, majd annak integrálásából állt.

Old school matematikusok vetették alá a koncepciót elenyésző kemény kritika. Michel Rolle azt írta, hogy az új kalkulus: ragyogó hibák halmaza»; Voltaire mérgezően rámutatott, hogy ez a számítás az olyan dolgok kiszámításának és pontos mérésének művészete, amelyek létezését nem lehet bizonyítani. Még Huygens is elismerte, hogy nem értette a magasabb rendű különbségek jelentését.

A sors iróniájának tekinthető a nem standard elemzések század közepén való megjelenése, amely bebizonyította, hogy az eredeti nézőpont - a tulajdonképpeni infinitezimálisok - is konzisztens és az elemzés alapjául vehető.

Lásd még

Wikimédia Alapítvány. 2010 .

Nézze meg, mi a "végtelenül nagy" más szótárakban:

Egy Y változó, amely egy infinitezimális X reciproka, azaz Y = 1/X... Nagy enciklopédikus szótár

Egy y változó, amely egy infinitezimális x reciproka, azaz y = 1/x. * * * VÉGTELEN NAGY VÉGTELEN NAGY, Y változó érték, egy végtelenül kicsi X érték reciproka, azaz Y = 1/X ... enciklopédikus szótár

A matematikában egy olyan változó, amely egy adott változási folyamatban abszolút értékben nagyobb lesz és marad, mint bármely előre meghatározott szám. B. tanul. mennyiségeket le lehet redukálni az infinitezimálisok tanulmányozására (Lásd ... ... Nagy szovjet enciklopédia