DELTA FUNKCIÓ

Meghatározás. delta függvény

(2.1)

a általánosított függvény

1. ábra. delta függvény

Normalizációs állapot

, . (2.2)

a, ahogy az 1. ábrán látható, b

Funkcióparitás következik (2.1)

. (2.2a)

, (2.2b)

az 1. ábrán látható módon, b.

ortonormalitás. Sok funkció

DELTA FUNKCIÓ Tulajdonságok

szűrő tulajdonság

kapunk

b, találunk

,

, . (2.5)

Ortonormális alap

A (2.5)-ben beállítjuk

, ,

. (2.7)

Teljesített

,

, (2.8)

Bizonyíték

Az érvelés leegyszerűsítése

Ha a függvény gyökerei , azután

. (2.9)

Bizonyíték

.

Egy kis környéken terjeszkedünk egy Taylor sorozatban

és korlátozzuk magunkat az első két kifejezésre

Mi használjuk (2.8)

Összehasonlítjuk az integránsokat, és megkapjuk (2.9).

Konvolúció

A konvolúció definíciójából (1.22)

,

nál nél kapunk

.

Hisszük , és megtalálni

.. (2.35a)

és (2.35a) adja meg

. (2,35b)

kapunk

. (2.36a)

és (2.36a) adja meg

. (2,36b)

. (2.37a)

kapunk

. (2,37b)

fésű funkció

(2.53)

Korlátlan számú kristályrácsot, antennát és egyéb periodikus struktúrákat modellez.

A Fourier-transzformáció a fésűfüggvényt fésűfüggvénysé alakítja.

,

(2.8)

kapunk

. (2.54)

Tulajdonságok

A funkció egyenletes

,

időszakos

,

időszak . A delta függvények szűrési tulajdonsága megadja

. (2.55)

Fourier transzformáció

Periodikus függvényhez periódussal L A Fourier-képet a Fourier-együtthatókkal fejezzük ki

, (1.47)

, (1.49)

Egy ponttal rendelkező fésűs függvénynél azt kapjuk

,

ahol a delta függvény szűrési tulajdonságát veszik figyelembe. Az (1.47)-ből megtaláljuk a Fourier-transzformációt

. (2.56)

A fésűfüggvény Fourier-transzformációja a fésűfüggvény.

A (2.56)-ból az argumentum skálázására vonatkozó Fourier-tétellel azt kapjuk, hogy

. (2.59)

A fésű funkció időtartamának növelése ()csökkenti az időszakot és növeli spektrumának amplitúdóját .

Fourier sorozat

Használjuk

Mert , kapunk

DELTA FUNKCIÓ

Meghatározás. delta függvény

pontzavart modellez, és a következőképpen definiálható

(2.1)

A függvény minden pontján nulla, kivéve ahol az argumentuma nulla, és ahol a függvény végtelen, amint az az ábrán látható. egy, a. Az értékek megadása az argumentum pontjain nem egyértelmű, mivel az a végtelenbe megy, ezért a delta függvény általánosított függvény , és további definíciót igényel normalizálás formájában.

1. ábra. delta függvény

Normalizációs állapot

, . (2.2)

A függvénygrafikon alatti terület egyenlő eggyel bármely pontot tartalmazó intervallumban a, ahogy az 1. ábrán látható, b. Ezért a delta függvény egyetlen értékű pontperturbációt modellez.

Funkcióparitás következik (2.1)

. (2.2a)

Egy pont szimmetriájából azt kapjuk, hogy

, (2.2b)

az 1. ábrán látható módon, b.

ortonormalitás. Sok funkció

ortonormális végtelen dimenziós alapot képez.

A delta függvényt az optikában Kirchhoff 1882-ben, az elektromágneses elméletben Heaviside a 90-es években alkalmazta. évek XIX ban ben.

Gustav Kirchhoff (1824–1887) Oliver Heaviside (1850–1925)

Oliver Heaviside - autodidakta tudós, először használt vektorokat a fizikában, vektoranalízist fejlesztett ki, bevezette az operátor fogalmát és kifejlesztette az operatív számítást - operátori megoldási módszert differenciál egyenletek. Bevezette a később róla elnevezett inkluzív függvényt, a pontimpulzus függvényt - a delta függvényt - használta. alkalmazott komplex számok az elektromos áramkörök elméletében. Most először írta fel Maxwell egyenleteit 4 egyenlőség formájában a 20 egyenlet helyett, ahogy Maxwell tette. Bevezetett kifejezések: vezetőképesség, impedancia, induktivitás, elektret . Kidolgozta a távíró kommunikáció elméletét nagy távolságokra, megjósolta a Föld ionoszférájának - a Kennelly-Heaviside rétegnek - jelenlétét.

Az általánosított függvények matematikai elméletét Szergej Lvovics Szobolev dolgozta ki 1936-ban. A Novoszibirszki Akadémiának egyik alapítója volt. Róla nevezték el az SB RAS Matematikai Intézetét.

Szergej Lvovics Szobolev (1908-1989)

DELTA FUNKCIÓ Tulajdonságok

szűrő tulajdonság

A zökkenőmentes működés érdekében megszakítások nélkül, (2.1)

kapunk

Feltételezve, és a delta függvényt egy határérték formájában használva, az ábrán látható. egy, b, találunk

,

Az integráció a szűrő tulajdonságot integrál formában adja meg

, . (2.5)

Ortonormális alap

A (2.5)-ben beállítjuk

, ,

és megkapjuk az ortonormalitási feltételt egy folytonos spektrumú bázisra

. (2.7)

Érvek skálázása

Teljesített

,

, (2.8)

Bizonyíték

A delta függvény szorzatát egy sima függvénnyel integráljuk az intervallumon keresztül, ahol:

ahol változó helyettesítést végeznek és a szűrési tulajdonságot használják. A kezdeti és a végső kifejezések összehasonlítása (2.8).

Az érvelés leegyszerűsítése

Ha a függvény gyökerei , azután

. (2.9)

Bizonyíték

A függvény csak a pontok közelében nem nulla, ezekben a pontokban végtelen.

Ahhoz, hogy megtaláljuk a súlyt, amellyel a végtelen belép, integráljuk a szorzatot egy sima függvénnyel az intervallumon keresztül. A hozzájárulások csak a pontok szomszédságában nem nullák

. , (2.10) .. (2.35a)

Fourier argumentumeltolási tétel

és (2.35a) adja meg

. (2,35b)

From (1.1) és integrál reprezentáció (2.24)

kapunk

. (2.36a)

Fourier-tétel egy függvény fáziseltolódásáról

és (2.36a) adja meg

. (2,36b)

A (2.35a) és a Fourier-differenciációs tételből

. (2.37a)

A (2.36a)-ból és az argumentummal való szorzás Fourier-tételéből

kapunk

. (2,37b)

1. Heaviside egység zárványfüggvény, Dirac delta függvény és főbb tulajdonságaik

Heaviside identitásfüggvény

Heaviside funkció (egységlépés funkció, egységugrás funkció, mellékelt egység) egy darabonként állandó függvény, amely egyenlő nullával az argumentum negatív értékeihez és eggyel a pozitív értékekhez. Nullánál ez a függvény nincs definiálva, de általában ezen a ponton egy bizonyos számmal kibővítik, hogy a függvény tartománya a valós tengely összes pontját tartalmazza. Leggyakrabban nem számít, hogy a függvény milyen értéket vesz fel nullánál, így a Heaviside függvény különféle definíciói használhatók, amelyek egyik vagy másik okból kényelmesek, például:

Egy másik általános meghatározás:

A Heaviside-függvényt széles körben használják a vezérléselmélet és a jelfeldolgozás-elmélet matematikai berendezésében, hogy olyan jeleket ábrázoljanak, amelyek egy adott időpontban egyik állapotból a másikba kerülnek. A matematikai statisztikában ezt a függvényt használják az empirikus eloszlásfüggvény írásához.

A Heaviside függvény a Dirac delta függvény antideriváltja, H" = δ, ez így is felírható:

delta függvény

δ -funkció(vagydelta funkció,δ -Dirac funkció, Dirac delta, egységimpulzus funkció) lehetővé teszi a térbeli sűrűség felírását fizikai mennyiség(tömeg, töltés, hőforrás intenzitása, erő, stb.) koncentrálva vagy egy ponton alkalmazva.

Például egy pontban elhelyezkedő egységnyi ponttömeg sűrűsége a Az euklideszi teret a δ függvény segítségével írjuk fel δ( formában x − a). Alkalmazható a töltések, tömegek stb. eloszlásának leírására felületeken vagy vonalakon.

A δ-függvény egy általánosított függvény, ami azt jelenti, hogy formálisan folytonos lineáris függvényként van definiálva a differenciálható függvények terén.

A δ-függvény nem a klasszikus értelemben vett függvény, ennek ellenére nem nehéz megtalálni a közönséges klasszikus függvények sorozatait, amelyek gyengén konvergálnak a δ-függvényhez.

Különbséget lehet tenni egydimenziós és többdimenziós deltafüggvények között, ez utóbbi azonban ábrázolható az egydimenziós függvények szorzataként, olyan mennyiségben, amely megegyezik annak a térnek a dimenziójával, amelyen a többdimenziós függvényt határozzuk meg.

Tulajdonságok

Az egydimenziós delta függvény antideriváltja a Heaviside függvény:

A delta függvény szűrési tulajdonsága:

2. Szűrőtripla(HPF)- elektronikus vagy bármilyen más szűrő, amely átengedi a bemeneti jel magas frekvenciáit, miközben elnyomja a vágási frekvenciánál kisebb jelfrekvenciákat. Az elnyomás mértéke az adott szűrő típusától függ. Passzív szűrő – Olyan elektronikus szűrő, amely csak passzív alkatrészekből, például kondenzátorokból és ellenállásokból áll. A passzív szűrők működéséhez nincs szükség energiaforrásra. Az aktív szűrőkkel ellentétben a passzív szűrők nem erősítik fel a jelet teljesítmény szempontjából. A passzív szűrők szinte mindig lineárisak.

A legegyszerűbb elektronikus felüláteresztő szűrő egy kondenzátorból és egy sorba kapcsolt ellenállásból áll. A kondenzátor csak váltakozó áramot enged át, és a kimeneti feszültséget az ellenállásról veszik. Az ellenállás és a kapacitás szorzata (R×C) egy ilyen szűrő időállandója, amely fordítottan arányos a hertzben megadott vágási frekvenciával.

(Másik út)

LPF-válasz konvertálása HPF-válaszra változó változtatásával tehető meg: ahol n az LPF áteresztősáv vágási frekvenciája és

Az áramkörök passzívvá alakításaLC-szűrők. A (2.31) és (2.32) változók változása a négyzetes frekvenciaválasz kifejezésében |H p (j )| A 2 aluláteresztő szűrő ennek a funkciónak a megvalósítása során az aluláteresztő áramkört felüláteresztő szűrővé és PF áramkörökké alakítja. Az aluláteresztő szűrő induktív ellenállása j n.h L n.h a frekvenciák (17.31) ellenállássá alakításakor megy át: azaz a nagyfrekvenciás szűrő kapacitásába, ahol C v.ch = 1/ p 2 L n.h.

Kapacitív vezetés: az L induktivitású felüláteresztő szűrő induktív vezetésévé alakul át nagyfrekvenciás = 1/ n 2 C kisfrekvenciás.

Aktív RC szűrők átviteli funkciójának átalakítása. Az aktív RC szűrőkben az LPF prototípus átviteli függvényétől a HPF és PF átviteli függvényeihez való áttéréshez a p komplex változót kell cserélni. A (17.31)-től kapjuk a HPF-re

vagy (17.34) ahol n.h = n.h/p és v.h = v.h/p.

(Vagy ahogy a szabadon írták)

Meghatározás. delta függvény

,

pontzavart modellez, és a következőképpen definiálható

(2.1)

A függvény minden pontban egyenlő nullával, kivéve
ábrán látható módon, ahol az argumentuma nulla, és ahol a függvény végtelen. egy, a. Gyakorlat
Az argumentum pontjain lévő értékek nem egyértelműek, mivel a végtelenbe megy, ezért a delta függvény általánosított függvény , és további definíciót igényel normalizálás formájában.

1. ábra. delta függvény

Normalizációs állapot

,
. (2.2)

A függvénygrafikon alatti terület egyenlő eggyel bármely pontot tartalmazó intervallumban a, ahogy az 1. ábrán látható, b. Ezért a delta függvény egyetlen értékű pontperturbációt modellez.

Funkcióparitás következik (2.1)

,

. (2.2a)

A szimmetriától
ponthoz képest
kapunk

, (2.2b)

az 1. ábrán látható módon, b.

ortonormalitás. Sok funkció

,
,

ortonormális végtelen dimenziós alapot képez.

A delta függvényt az optikában Kirchhoff 1882-ben, az elektromágneses elméletben pedig Heaviside az 1990-es években alkalmazta.

Gustav Kirchhoff (1824–1887) Oliver Heaviside (1850–1925)

Oliver Heaviside autodidakta tudós, aki először használt vektorokat a fizikában, vektoranalízist fejlesztett ki, bevezette az operátor fogalmát, és kifejlesztette a műveleti számítást, egy operátori módszert a differenciálegyenletek megoldására. Bevezette a később róla elnevezett inkluzív függvényt, a pontimpulzus függvényt - a delta függvényt - használta. Komplex számokat alkalmazott az elektromos áramkörök elméletében. Most először írta fel Maxwell egyenleteit 4 egyenlőség formájában a 20 egyenlet helyett, ahogy Maxwell tette. Bevezetett kifejezések: vezetőképesség, impedancia, induktivitás, elektret . Kidolgozta a távíró kommunikáció elméletét nagy távolságokra, megjósolta egy ionoszféra jelenlétét a Föld közelében - Kennelly–Heaviside réteg .

Az általánosított függvények matematikai elméletét Szergej Lvovics Szobolev dolgozta ki 1936-ban. A Novoszibirszki Akademgorodok egyik alapítója volt. Róla nevezték el az SB RAS Matematikai Intézetét, amelynek 1957-től 1983-ig alapítója és igazgatója volt.

Szergej Lvovics Szobolev (1908-1989)

Delta függvény tulajdonságai Szűrőtulajdonság

A sima működés érdekében
, amelynek nincsenek megszakadásai, a (2.1)

kapunk delta függvény szűrő tulajdonsága differenciális formában egy pontot érint
:

Hisszük
, és használja a delta függvény határértékét itt
ábrán látható. egy, b. Találunk

,

. (2.4)

Integráljuk (2.3) az intervallumon keresztül
, beleértve a pontot is a, figyelembe vesszük a (2.2) normalizálást és megkapjuk a delta függvény szűrési tulajdonsága integrál formában

,
. (2.5)

Ortonormális alap

A (2.5)-ben beállítjuk

,
,

és megkapjuk az alap ortonormalitási feltételét
folyamatos értéktartománnyal

. (2.7)

Bevezetés

A tudomány fejlődése egyre inkább megkívánja annak elméleti megalapozását magas matematika”, amelynek egyik vívmánya az általánosított függvények, különösen a Dirac függvény. Jelenleg az általánosított függvények elmélete releváns a fizikában és a matematikában, mivel számos olyan figyelemre méltó tulajdonsággal rendelkezik, amelyek kiterjesztik a klasszikus lehetőségek lehetőségeit. matematikai elemzés, kibővíti a vizsgált problémák körét, sőt, jelentős egyszerűsítésekhez vezet a számításokban, automatizálva az elemi műveleteket.

Ennek a munkának a céljai:

1) tanulmányozza a Dirac-függvény fogalmát;

2) mérlegelje a meghatározás fizikai és matematikai megközelítését;

3) mutassa be a nem folytonos függvények deriváltjainak megtalálását.

A munka feladatai: a delta függvény matematikai és fizika alkalmazási lehetőségeinek bemutatása.

A mű bemutatja különböző módokon a Dirac delta függvény definíciói és bevezetése, alkalmazása a feladatok megoldásában.

A Dirac függvény definíciója

Alapfogalmak.

A matematikai elemzés különböző kérdéseiben a „függvény” kifejezést eltérő általánosságban kell érteni. Néha folytonos, de nem differenciálható függvényeket veszünk figyelembe, más kérdésekben azt kell feltételezni, hogy egyszer vagy többször differenciálható függvényekről beszélünk stb. Bizonyos esetekben azonban klasszikus koncepció függvények, akár a legtágabb értelemben értelmezve is, azaz. tetszőleges szabály, hogy a függvény tartományából minden x értékhez egy bizonyos y=f(x) számot rendelünk, ami elégtelennek bizonyul.

Itt egy fontos példa: amikor a matematikai elemzés apparátusát bizonyos problémákra alkalmazzuk, olyan helyzettel kell szembenéznünk, amikor bizonyos elemzési műveletek lehetetlennek bizonyulnak; Például egy függvény, amelynek nincs deriváltja (bizonyos pontokon vagy akár mindenhol), nem lehet megkülönböztetni, ha a derivált úgy értendő, elemi funkció. Az ilyen jellegű nehézségek elkerülhetők az analitikus függvények figyelembevételének korlátozásával. Az elfogadható funkciók állományának ilyen szűkítése azonban sok esetben nagyon nem kívánatos. Különösen élessé vált a funkció fogalmának további bővítésének igénye.

1930-ban az elméleti fizika problémáinak megoldására a legnagyobb angol elméleti fizikus, P. Dirac, a kvantummechanika egyik megalapítója nélkülözte a klasszikus matematika apparátusát, és bevezetett egy új objektumot, a „delta függvény” néven. messze túl klasszikus meghatározás funkciókat.

P. Dirac a „Principles of Quantum Mechanics” című könyvében a következőképpen definiálta a q(x) delta függvényt:

Ezenkívül a feltétel be van állítva:

Megjelenítheti a q(x) függvényhez hasonló függvény grafikonját, ahogy az 1. ábrán látható. Minél keskenyebb a sáv a bal és a jobb oldali ágak között, annál magasabbnak kell lennie ennek a sávnak ahhoz, hogy a csík területe (vagyis az integrál), hogy megőrizze az 1-gyel egyenlő értékét. A csík szűkülésével közelítjük a feltételt q(x) = 0 nál nél x? 0, a függvény megközelíti a delta függvényt.

Ez a gondolat általánosan elfogadott a fizikában.

Hangsúlyozni kell, hogy q(x) nem a szokásos értelemben vett függvény, mivel ez a definíció a függvény és az integrál klasszikus definíciója szempontjából összeférhetetlen feltételeket jelent:

nál nél és.

A klasszikus elemzésben nincs olyan függvény, amely a Dirac által előírt tulajdonságokkal rendelkezne. Csak néhány évvel később S.L. Sobolev és L. Schwartz szerint a delta-függvény megkapta matematikai tervezését, de nem közönséges, hanem általánosított függvényként.

Mielőtt rátérnénk a Dirac-függvény vizsgálatára, bemutatjuk a főbb definíciókat és tételeket, amelyekre szükségünk lesz:

Definíció 1. Az f(t) függvény képe vagy L - kép adott funkciót f(t) a p komplex változó függvénye, amelyet az egyenlőség határoz meg:

2. definíció. Funkció f(t)így definiálva:

hívott Heaviside identitásfüggvényés jelöli. Ennek a függvénynek a grafikonja a 2. ábrán látható

Találjuk ki L- a Heaviside funkció képe:

Legyen f(t) függvény t-re<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

A q(x) kép segédfüggvény segítségével történő megtalálásához vegye figyelembe a késleltetési tételt:

1. tétel. Ha F(p) az f(t) függvény képe, akkor van képe az f(t-t) függvénynek 0 ), vagyis ha L(f(t))=F(p), akkor .

Bizonyíték.

A kép meghatározása szerint megvan

Az első integrál nulla, mert f(t-t 0 )=0 nál nél t 0 . Az utolsó integrálban végrehajtjuk a változó változtatását t-t 0 =z:

És így, .

Az egység Heaviside függvény esetében azt találtuk, hogy. A bizonyított tétel alapján az következik, hogy a függvényre, L- a kép lesz, vagyis

3. definíció. Folyamatos vagy darabonkénti folyamatos funkció d(t,l)érv t, a paramétertől függően l, nak, nek hívják tű alakú, ha:

4. definíció. Numerikus függvény f, valamilyen lineáris térben meghatározott L, hívott funkcionalitás.

Határozzuk meg azoknak a függvényeknek a halmazát, amelyekre a funkcionálisok hatnak. Mint ez a készlet, vegye figyelembe a készletet K minden valós függvény c(x), amelyek mindegyike minden rendű folytonos deriválttal rendelkezik, és véges, azaz eltűnik valamilyen korlátozott területen kívül (mindegyik függvénynek sajátja c(x)). Ezek a függvények meg lesznek hívva fő-, és a teljes készletük Nak nek - fő tér.

5. definíció. Általános funkció az alaptéren meghatározott lineáris folytonos függvény Nak nek.

Fejtsük meg az általánosított függvény definícióját:

1) általánosított függvény f van funkcionalitás a fő funkciókon c, azaz mindegyik c leképez egy (komplex) számra (f, c);

2) funkcionalitás f lineáris, azaz bármilyen komplex számra l 1 és l 2 és minden alapvető funkciót c 1 és c 2 ;

3) funkcionalitás f folyamatos, vagyis ha.

6. definíció.Impulzus- az elektromos áram vagy feszültség egyszeri, rövid távú ugrása.

7. definíció.Átlagos sűrűség- testtömeg arány m a térfogatához V, azaz

2. tétel.(Általánosított átlagérték tétel).

Ha f(t) folytonos és egy integrálható függvény ezen az intervallumon, és nem változtat előjelet ezen az intervallumon, akkor hol.

3. tétel.Legyen az f(x) függvény korlátos és legfeljebb véges számú szakadási pontja legyen. Ekkor a függvény az intervallum f(x) függvényének antideriváltja, és bármely Ф(x) antideriváltra a képlet.

8. definíció. Valamely lineáris térben definiált összes folytonos lineáris függvény halmaza E, lineáris teret alkot. űrnek hívják konjugált val vel E, és jelölése E * .

9. definíció. lineáris tér E, amelyben valamilyen norma adott, az úgynevezett normált tér.

10. definíció. A sorozat az ún gyengén konvergens k, ha a reláció mindegyikre érvényes.

4. tétel.Ha (x n ) egy gyengén konvergens sorozat egy normált térben, akkor létezik olyan C állandó szám, amelyre .

Dirac delta függvény

A delta függvényt (5 függvény) P. A. M. Dirac angol fizikus vezette be "szükségből", amikor megalkotta a kvantummechanika matematikai apparátusát. A matematikusok egy ideig "nem ismerték fel", majd megalkották az általánosított függvények elméletét, melynek speciális esete a δ-függvény.

A (naiv) definíció szerint a δ-függvény egy pont kivételével mindenhol egyenlő nullával, de a függvény által lefedett terület eggyel egyenlő:

Ezek egymásnak ellentmondó

a követelményeket egy "normál" típusú függvény nem tudja teljesíteni.

Zeldovich Ya.B. Felsőfokú matematika kezdő fizikusoknak és technikusoknak. -M.: Nauka, 1982.

Sőt, mint egy differenciálmű δx nem egy szám (egyenlő nullával), és a "végtelenül kis érték" kifejezést minőségileg nehéz megérteni, helyesen megérteni δx nem számként, hanem határként (folyamatként) helyes a δ-függvényt is határként (folyamatként) értelmezni. ábrán A 3.7.1 és 3.7.2 több függvényt mutat be (paramétertől függően), amelyek határa a δ-függvény. Végtelenül sok ilyen funkció létezik – mindenki kiválaszthatja a sajátját.

A δ-függvénynek számos hasznos tulajdonsága van, különösen a Kronecker szimbólum kontinuum analógja. δkk

összehasonlít

Egy másik meglepő összefüggés jelzi, hogyan lehet megkülönböztetni az integrálással:

ahol 8 - derivált 8- funkciókat.

Rizs. 3.7.1 - Két egymást követő δ- közelítés

Dirac függvények. Ábrázolt funkció

Rizs. 3.7.2 - Két funkció, amelyek a korláton belül vannak a ->∞ adjon δ-függvényeket:

Végül vegye figyelembe, hogy a δ-függvény intervalluma:

ahol (x)- Heaviside funkció,

lépés, megszakítással a ponton x= 0 .

Fázisátmenetek

Ahhoz, hogy fázisátmenetekről beszéljünk, meg kell határozni, hogy melyek azok a fázisok. A fázisok fogalma számos jelenségben előfordul, ezért ahelyett, hogy általános definíciót adnánk (minél általánosabb, annál elvontabb és nem látható, ahogy kellene), néhány példát hozunk.

Először is egy példa a fizikájukra. Az életünkben szokásos, leggyakoribb folyadéknak - a víznek - három fázisa ismert: folyékony, szilárd (jég) és gáznemű (gőz). Mindegyiket saját paraméterértékek jellemzik. Lényeges, hogy a külső körülmények megváltozásakor az egyik fázis (jég) átmenjen a másikba (folyadék). A teoretikusok másik kedvenc tárgya a ferromágnes (vas, nikkel és sok más tiszta fém és ötvözet). Alacsony hőmérsékleten (a nikkel esetében lent T= 3600 Val vel) a nikkelminta ferromágnes, a külső mágneses mező eltávolításakor mágnesezett marad, azaz. állandó mágnesként használható. A feletti hőmérsékleten Ts ez a tulajdonság elvész, a külső mágneses tér kikapcsolásakor paramágneses állapotba kerül és nem állandó mágnes. Amikor a hőmérséklet megváltozik, átmenet - fázisátmenet - következik be egyik fázisból a másikba.

Adjunk még egy geometriai példát a perkoláció elméletéből. A kapcsolatok véletlenszerű kivágása a rácsból, a végén, amikor a fennmaradó kapcsolatok koncentrációja - R kisebb lesz valami értéknél rs, többé nem lehet majd a rácson áthaladni "egyik végétől a másikig". Így a rács a szivárgás állapotából - a "szivárgás" fázisából - a "nincs szivárgás" állapotba kerül.

Ezekből a példákból jól látható, hogy minden vizsgált rendszerhez tartozik egy úgynevezett sorrendi paraméter, amely meghatározza, hogy a rendszer melyik fázisban van. A ferromágnesességben a sorrendi paraméter a mágnesezettség nulla külső térben, a perkoláció elméletében pedig a hálózati kapcsolat, vagy például a vezetőképessége vagy egy végtelen klaszter sűrűsége.

A fázisátmenetek változatosak. Az első típusú fázisátmenetek olyan átmenetek, amikor a rendszerben egyidejűleg több fázis is létezhet. Például 0°-os hőmérsékleten C jég úszik a vízben. Ha a rendszer termodinamikai egyensúlyban van (nincs hőellátás és -elvezetés), akkor a jég nem olvad el és nem növekszik. A második típusú fázisátmeneteknél több fázis egyidejű létezése lehetetlen. Egy nikkeldarab vagy paramágneses, vagy ferromágneses állapotban van. A véletlenszerűen vágott csatlakozásokkal rendelkező háló vagy csatlakoztatva van, vagy nincs.

Döntő volt a második típusú fázisátalakulások elméletének megalkotásában, amelynek kezdetét L.D. Landau, bevezették a rendelési paramétert (jelölni fogjuk G]) mint a rendszer fázisának megkülönböztető jegye. Az egyik fázisban például paramágneses, r] = 0, a másikban pedig ferromágneses, G ^ 0. Mágneses jelenségeknél a sorrendi paraméter ] a rendszer mágnesezettsége.

A fázisátalakulások leírására bevezetjük a rendszer állapotát meghatározó paraméterek bizonyos függvényét - G(n, T,...). A fizikai rendszerekben ez a Gibbs-energia. Minden jelenségben (perkoláció, „kis világok” hálózata stb.) ez a funkció „függetlenül” kerül meghatározásra. Ennek a függvénynek a fő tulajdonsága, L.D. első feltételezése. Landau - egyensúlyi állapotban ez a függvény minimális értéket vesz fel:

A fizikai rendszerekben termodinamikai egyensúlyról, az összetett láncok elméletében pedig stabilitásról beszélhetünk. Vegye figyelembe, hogy a minimális feltételt a rendelési paraméter változtatása határozza meg.

L.D. második feltételezése. Landau - n = 0 fázistranszformációnál. E feltevés szerint a fázisátmeneti pont közelében lévő b(n, T, ...) függvény az n rendű paraméter hatványaival sorozatban bővíthető:

ahol n = 0 az egyik fázisban (paramágneses, ha mágnesességről beszélünk és inkoherens, ha rácsról beszélünk), a másikban pedig n ^ 0 (ferromágneses vagy kapcsolt).

Az állapottól

ami két megoldást ad nekünk

Mert T > Tc n = 0 megoldásnak kell lennie, és -ra T< Тс megoldás n ^ 0. Ez teljesülhet, ha arra az esetre T > Tcés n = 0 válasszon A > 0 . Ebben az esetben nincs második gyökér. És az esethez T < Ts a második megoldásnak meg kell történnie, azaz. végre kell hajtani DE< 0. Így:

A > 0 órakor T > Tc, DE< 0 órakor T< Тс ,

Landau második feltevéséhez A(Tc) = 0 szükséges. A legegyszerűbb fajta az A(T) függvény, amely megfelel ezeknek a követelményeknek

Az úgynevezett kritikus index, és a függvény C(g], T) a következő formát ölti:

ábrán A 3.8.1 a b(n, T) függést mutatja T > Tcés T< Тс .

Rizs. 3.8.1 - Paraméter Funkció Plots G(n, T) számára T > Tc és T< Тс

Poston T., Stuart I. Katasztrófaelmélet és alkalmazásai. - M.: Mir, 1980. Gilmour R. Alkalmazott katasztrófaelmélet. - M.: Mir, 1984.

A paraméterek minőségi függése G(j], T) a rendelési paraméteren ] az ábrán látható. 3.8.1 (G0 = 0). A rendelési paraméter ] hőmérsékletfüggését a ábra mutatja. 3.8.2.

Egy fejlettebb elmélet figyelembe veszi, hogy mikor T > Tc a sorrend paraméter ] , bár nagyon kicsi, nem pontosan nulla.

A rendszer átmenete az állapotból -val h = 0 órakor T > Tcállapotban van h- 0 csökkenéskor Tés az értékek elérése T £ Tc helyzet stabilitásának elvesztéseként érthető h = 0 órakor T £ Tc. Egy újabb matematikai elmélet

a "Katasztrófák elmélete" hangzatos névvel, egyetlen szemszögből leírva sok különböző jelenséget. A katasztrófaelmélet szempontjából a második fajtájú fázisátalakulás az „összeszerelési katasztrófa”.

Rizs. 3.8.2 - Rendelési paraméter-függőség n hőmérséklet: at T< Tc és közel Tc rendelési paraméter n Úgy viselkedik mint teljesítmény funkció, és mikor T > Tc n = 0