Fejezetén. VÉLETLENSZERŰ ESEMÉNYEK. VALÓSZÍNŰSÉG

1.1. Szabályosság és véletlenszerűség, véletlenszerű változatosság az egzakt tudományokban, a biológiában és az orvostudományban

A valószínűségszámítás a matematikának egy olyan ága, amely véletlenszerű jelenségek mintázatait vizsgálja. A véletlenszerű jelenség olyan jelenség, amely ugyanazon élmény ismételt reprodukálásával minden alkalommal kissé eltérő módon mehet végbe.

Nyilvánvalóan nincs a természetben egyetlen olyan jelenség sem, amelyben a véletlen elemei ilyen vagy olyan mértékben ne lennének jelen, de a különböző helyzetekben eltérő módon vesszük figyelembe őket. Számos gyakorlati problémában tehát elhanyagolhatóak, és valós jelenség helyett annak leegyszerűsített sémája - a „modell” jöhet szóba, feltéve, hogy az adott kísérleti körülmények között a jelenség teljesen határozottan megy végbe. Ugyanakkor kiemelik a jelenséget jellemző legfontosabb, meghatározó tényezőket. Ezt a jelenségek tanulmányozására szolgáló sémát használják leggyakrabban a fizikában, a technológiában és a mechanikában; így tárul fel a fő minta , egy adott jelenségre jellemző, és lehetővé teszi egy kísérlet eredményének előrejelzését adott kezdeti feltételek szerint. És a véletlenszerű, másodlagos tényezők hatását a kísérlet eredményére itt a véletlenszerű mérési hibák veszik figyelembe (az alábbiakban számításuk módszerét vesszük figyelembe).

Az ún. egzakt tudományok leírt klasszikus sémája azonban kevéssé alkalmas számos olyan probléma megoldására, amelyekben számos, egymással szorosan összefonódó véletlenszerű tényező játszik észrevehető (gyakran döntő) szerepet. Itt a jelenség véletlenszerűsége kerül előtérbe, ami már nem elhanyagolható. Ezt a jelenséget pontosan a benne, mint véletlenszerű jelenségben rejlő törvényszerűségek szempontjából kell vizsgálni. A fizikában ilyen jelenségekre példa a Brown-mozgás, a radioaktív bomlás, számos kvantummechanikai folyamat stb.

A biológusok és orvosok vizsgálati tárgya egy élő szervezet, amelynek eredetét, fejlődését és létezését nagyon sok és változatos, sokszor véletlenszerű külső és belső tényező határozza meg. Éppen ezért az élővilág jelenségei, eseményei is nagyrészt véletlenszerűek.

A véletlenszerű jelenségekben rejlő bizonytalanság, komplexitás, több-okozati összefüggés elemei speciális matematikai módszerek megalkotását teszik szükségessé e jelenségek vizsgálatára. Az ilyen módszerek kidolgozása, a véletlenszerű jelenségekben rejlő specifikus minták felállítása a valószínűségelmélet fő feladata. Jellemző, hogy ezek a törvényszerűségek csak akkor teljesülnek, ha a véletlenszerű jelenségek tömegesek. Sőt, az egyes esetek egyedi sajátosságai mintegy kioltják egymást, és a véletlenszerű jelenségek tömegének átlageredménye már nem véletlen, hanem egészen természetes. . Nagyrészt ez a körülmény volt az oka a széles körű elterjedésének valószínűségi módszerek biológia és orvostudomány kutatása.

Tekintsük a valószínűségszámítás alapfogalmait.

1.2. Egy véletlen esemény valószínűsége

Minden egyes tudomány, amely egy bizonyos jelenségkörre általános elméletet dolgoz ki, számos alapfogalomra épül. Például a geometriában ezek a pont, az egyenes fogalmai; a mechanikában - az erő, a tömeg, a sebesség stb. fogalmai. A valószínűségszámításban léteznek alapfogalmak, ezek egyike véletlenszerű esemény.

Véletlenszerű esemény minden olyan jelenség (tény), amely a tapasztalat (tesztelés) eredményeként előfordulhat vagy nem.

A véletlenszerű eseményeket betűk jelölik A, B, C… stb. Íme néhány példa véletlenszerű események:

DE- sas (címer) elvesztése szabványos érme feldobásakor;

BAN BEN- egy lány születése ebben a családban;

TÓL TŐL– előre meghatározott testsúllyal rendelkező gyermek születése;

D- járványos betegség előfordulása egy adott régióban meghatározott időn belül stb.

Egy véletlen esemény fő mennyiségi jellemzője a valószínűsége. Legyen DE valami véletlenszerű esemény. Az A véletlenszerű esemény valószínűsége egy matematikai érték, amely meghatározza bekövetkezésének lehetőségét. Ki van jelölve R(DE).

Tekintsünk két fő módszert ennek az értéknek a meghatározására.

A véletlenszerű esemény valószínűségének klasszikus meghatározásaáltalában spekulatív kísérletek (tesztek) elemzésének eredményei alapján, amelyek lényegét a feladat feltétele határozza meg. Ebben az esetben egy véletlenszerű esemény valószínűsége P(A) egyenlő:

ahol m- az esemény bekövetkezte szempontjából kedvező esetek száma DE; n az egyformán valószínű esetek száma.

1. példa Egy laboratóriumi patkányt helyezünk egy labirintusba, amelyben a négy lehetséges út közül csak az egyik vezet ételjutalomhoz. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a patkány ilyen utat választ.

Megoldás: a probléma állapotának megfelelően négy egyformán lehetséges esetből ( n=4) esemény DE(patkány élelmet talál)
csak egynek kedvez, pl. m= 1 Akkor R(DE) = R(a patkány táplálékot talál) = = 0,25 = 25%.

2. példa Egy urnában 20 fekete és 80 fehér golyó van. Véletlenszerűen húznak ki belőle egy golyót. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ez a golyó fekete.

Megoldás: az urnában lévő összes golyó száma az egyformán valószínű esetek száma n, azaz n = 20 + 80 = 100, ebből az esemény DE(a fekete golyó húzása) csak 20-nál lehetséges, azaz. m= 20. Akkor R(DE) = R(H.W.) = = 0,2 = 20%.

Felsoroljuk a valószínűség tulajdonságait a klasszikus definíciójából - (1) képletből:

1. Egy véletlen esemény valószínűsége dimenzió nélküli mennyiség.

2. Egy véletlen esemény valószínűsége mindig pozitív és kisebb egynél, azaz 0< P (A) < 1.

3. Egy bizonyos esemény valószínűsége, azaz egy olyan esemény, amely biztosan bekövetkezik a tapasztalat eredményeként ( m = n) egyenlő eggyel.

4. Egy lehetetlen esemény valószínűsége ( m= 0) egyenlő nullával.

5. Egy esemény valószínűsége sem negatív, és nem haladja meg az egyet:
0 £ P (A) 1 GBP.

Véletlenszerű esemény valószínűségének statisztikai meghatározása akkor használatos, ha nem lehetséges a klasszikus definíció (1). Ez gyakran így van a biológiában és az orvostudományban. Ebben az esetben a valószínűség R(DE) ténylegesen elvégzett tesztsorozatok (kísérletek) eredményeinek összegzésével határozzuk meg.

Vezessük be egy véletlenszerű esemény relatív előfordulási gyakoriságának fogalmát. Tegyük fel, hogy egy sorozat N tapasztalatok (szám N előre kiválasztható) minket érdeklő esemény DE ben történt M tőlük ( M < N). A kísérletek számának aránya M, amelyben ez az esemény történt, az elvégzett kísérletek teljes számához N egy véletlen esemény relatív előfordulási gyakoriságának nevezzük DE ebben a kísérletsorozatban R* (DE)

R*(DE) = .

Kísérletileg megállapították, hogy ha egy sor tesztet (kísérletet) végeznek ben ugyanazok a feltételekés mindegyikben a szám N elég nagy, akkor a relatív gyakoriság a stabilitás tulajdonságát mutatja : nem sokat változik epizódról epizódra. , közeledik a kísérletek számának növekedésével egy bizonyos állandó értékhez . Ezt egy véletlen esemény statisztikai valószínűségének tekintjük DE:

R(DE)= lim , mikor N , (2)

Tehát a statisztikai valószínűség R(DE) véletlenszerű esemény DE hívja meg azt a határt, amelyre ennek az eseménynek a relatív előfordulási gyakorisága hajlik a kísérletek számának korlátlan növekedésével (pl. N → ∞).

Körülbelül egy véletlen esemény statisztikai valószínűsége egyenlő az esemény előfordulásának relatív gyakoriságával nagy számok tesztek:

R(DE)≈ R*(DE)= (nagyhoz N) (3)

Például az érme feldobásával kapcsolatos kísérletek során a címer kiesésének relatív gyakorisága 12 000 feldobásnál 0,5016, 24 000 feldobásnál pedig 0,5005 volt. Az (1) képlet szerint:

P(címer) == 0,5 = 50%

Példa . 500 fő orvosi vizsgálata során 5 főnél találtak daganatot a tüdőben (o.l.). Határozza meg ennek a betegségnek a relatív gyakoriságát és valószínűségét.

Megoldás: a probléma állapotának megfelelően M = 5, N= 500, relatív gyakoriság R*(o.l.) = M/N= 5/500 = 0,01; Amennyiben N elég nagy, jó pontossággal megállapítható, hogy a tüdőben kialakuló daganat valószínűsége megegyezik ennek az eseménynek a relatív gyakoriságával:

R(o.l.) = R* (o.l.) \u003d 0,01 \u003d 1%.

A véletlenszerű esemény valószínűségének fent felsorolt ​​tulajdonságai is megmaradnak statisztikai meghatározás adott értéket.

1.3. A véletlenszerű események típusai. Valószínűségszámítás alaptételei

Minden véletlenszerű esemény felosztható:

¾ inkompatibilis;

¾ független;

¾ függő.

Minden eseménytípusnak megvannak a maga sajátosságai és valószínűségszámítási tételei.

1.3.1. Összeférhetetlen véletlenszerű események. Összeadás tétel

Véletlenszerű események (A, B, C,D…) következetlennek nevezzük , ha ezek egyikének bekövetkezése kizárja más események bekövetkezését ugyanabban a tárgyalásban.

Példa1 . Érme feldobva. Amikor leesik, a „címer” megjelenése kizárja a „farok” megjelenését (az érme árát meghatározó felirat). A „kihullott a címer” és a „kiesett a farok” események összeegyeztethetetlenek.

2. példa . Ha egy diák egy vizsgán „2”-es, „3-as”, „4-es” vagy „5-ös” osztályzatot kap, az inkonzisztens esemény, mivel ezen osztályzatok egyike kizárja a másikat ugyanazon a vizsgán.

Összeférhetetlen véletlenszerű események esetén összeadási tétel: előfordulási valószínűség egy, de mégis melyik, több összeférhetetlen esemény közül A1, A2, A3 ... Ak egyenlő valószínűségeik összegével:

P(A1 vagy A2 ... vagy Ak) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Аk). (4)

3. példa Egy urnában 50 golyó van: 20 fehér, 20 fekete és 10 piros. Határozza meg a fehér megjelenésének valószínűségét (esemény DE) vagy piros labda (esemény BAN BEN) amikor véletlenszerűen kihúznak egy labdát az urnából.

Megoldás: P(A vagy B)= P(DE)+ P(BAN BEN);

R(DE) = 20/50 = 0,4;

R(BAN BEN) = 10/50 = 0,2;

R(DE vagy BAN BEN)= P(b. sh. vagy k. sh.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

4. példa . 40 gyerek van az osztályban. Ebből 7-7,5 év közötti 8 fiú ( DE) és 10 lány ( BAN BEN). Határozza meg annak valószínűségét, hogy ilyen korú gyerekek vannak az osztályban!

Megoldás: P(DE)= 8/40 = 0,2; R(BAN BEN) = 10/40 = 0,25.

P(A vagy B) = 0,2 + 0,25 = 0,45 = 45%

A következő fontos fogalom az események teljes csoportja: több összeférhetetlen esemény egy teljes eseménycsoportot alkot, ha minden próba csak egy eseményt eredményezhet ebben a csoportban, és nem.

5. példa . A lövő a célba lőtt. A következő események egyike minden bizonnyal megtörténik: a "tíz", "kilenc", "nyolc", ..., "egy" eltalálása vagy egy kihagyás. Ez a 11 diszjunkt esemény egy teljes csoportot alkot.

6. példa . Az egyetemi vizsgán a hallgató a következő négy osztályzat valamelyikét kaphatja: 2, 3, 4 vagy 5. Ez a négy nem közös rendezvény is egy teljes csoportot alkot.

Ha összeférhetetlen események A1, A2 ... Ak egy teljes csoportot alkotnak, akkor ezen események valószínűségeinek összege mindig egyenlő eggyel:

R(A1)+ P(A2)+ … P(DEk) = 1, (5)

Ezt az állítást gyakran használják számos alkalmazott probléma megoldására.

Ha két esemény egyedi és összeegyeztethetetlen, akkor ellentétesnek nevezzük és jelöljük DEÉs . Az ilyen események egy teljes csoportot alkotnak, így valószínűségeik összege mindig eggyel egyenlő:

R(DE)+ P() = 1. (6)

7. példa Legyen R(DE) egy bizonyos betegség halálos kimenetelének valószínűsége; ismert és egyenlő 2%-kal. Ebben az esetben a betegség sikeres kimenetelének valószínűsége 98% ( R() = 1 – R(DE) = 0,98), mivel R(DE) + R() = 1.

1.3.2. független véletlenszerű események. Valószínűségszorzó tétel

A véletlenszerű eseményeket függetlennek nevezzük, ha az egyik előfordulása nem befolyásolja más események bekövetkezésének valószínűségét.

1. példa . Ha két vagy több színes golyóval ellátott urna van, akkor az egyik urnából bármelyik golyó húzása nem befolyásolja annak valószínűségét, hogy a többi urnából más golyókat húznak.

Független rendezvényekre, valószínűségi szorzási tétel: valószínűségi kötés(egyidejű)több független véletlen esemény bekövetkezése egyenlő valószínűségeik szorzatával:

P(A1 és A2 és A3 ... és Ak) = P(A1) ∙P(A2) ∙…∙P(Ak). (7)

Az események együttes (egyidejű) előfordulása azt jelenti, hogy események történnek és A1,És A2,És A3… És DEk .

2. példa . Két urna van. Az egyikben 2 fekete és 8 fehér, a másikban 6 fekete és 4 fehér golyó található. Legyen az esemény DE- véletlenszerű fehér golyó kiválasztása az első urnából, BAN BEN- a másodiktól. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ezekből az urnákból véletlenszerűen választunk egy fehér golyót, azaz mi az R (DEÉs BAN BEN)?

Megoldás: annak valószínűsége, hogy fehér golyót húzzunk az első urnából
R(DE) = = 0,8 a másodiktól – R(BAN BEN) = = 0,4. Annak a valószínűsége, hogy mindkét urnából egyszerre kapunk fehér golyót
R(DEÉs BAN BEN) = R(DE)· R(BAN BEN) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

3. példa A csökkentett jódtartalmú étrend a nagy populációban élő állatok 60%-ánál pajzsmirigy-megnagyobbodást okoz. A kísérlethez 4 megnagyobbított mirigyre van szükség. Határozza meg annak valószínűségét, hogy 4 véletlenszerűen kiválasztott állatnak megnagyobbodott a pajzsmirigye.

Megoldás: Véletlenszerű esemény DE- megnagyobbodott pajzsmirigyű állat véletlenszerű kiválasztása. A probléma feltétele szerint ennek az eseménynek a valószínűsége R(DE) = 0,6 = 60%. Ekkor négy független esemény együttes előfordulásának valószínűsége - 4 megnagyobbodott pajzsmirigyes állat véletlenszerű kiválasztása - egyenlő lesz:

R(DE 1 és DE 2 és DE 3 és DE 4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. függő események. Valószínűségszorzó tétel függő eseményekre

Az A és B véletlenszerű eseményeket függőnek nevezzük, ha az egyik előfordulása, például A megváltoztatja a másik esemény - B - bekövetkezésének valószínűségét. Ezért két valószínűségi értéket használnak a függő eseményekhez: feltétlen és feltételes valószínűségek .

Ha DEÉs BAN BEN függő események, akkor az esemény bekövetkezésének valószínűsége BAN BEN először (azaz az esemény előtt DE) nak, nek hívják feltétlen valószínűség az eseményről, és ki van jelölve R(BAN BEN). Egy esemény valószínűsége BAN BEN feltéve, hogy az esemény DE már megtörtént, hívják feltételes valószínűség fejlesztéseket BAN BENés jelöltük R(BAN BEN/DE) vagy RA(BAN BEN).

A feltétel nélküli - R(DE) és feltételes - R(A/B) az esemény valószínűségét DE.

A valószínűségi szorzás tétele két függő eseményre: két függő esemény A és B egyidejű bekövetkezésének valószínűsége egyenlő az első esemény feltétlen valószínűségének a második feltételes valószínűségével:

R(A és B)= P(DE)∙P(B/A) , (8)

DE, vagy

R(A és B)= P(BAN BEN)∙P(A/B), (9)

ha az esemény előbb következik be BAN BEN.

1. példa Egy urnában 3 fekete és 7 fehér golyó van. Határozza meg annak valószínűségét, hogy ebből az urnából egyenként 2 fehér golyót vesznek ki (és az első golyó nem kerül vissza az urnába).

Megoldás: az első fehér golyó behúzásának valószínűsége (esemény DE) egyenlő 7/10. Kivétel után 9 golyó marad az urnában, ebből 6 fehér. Ezután a második fehér golyó megjelenésének valószínűsége (az esemény BAN BEN) egyenlő R(BAN BEN/DE) = 6/9, és annak a valószínűsége, hogy egymás után két fehér golyót kapunk

R(DEÉs BAN BEN) = R(DE)∙R(BAN BEN/DE) = = 0,47 = 47%.

A függő eseményekre adott valószínűségi szorzási tétel tetszőleges számú eseményre általánosítható. Különösen három egymáshoz kapcsolódó esemény esetében:

R(DEÉs BAN BENÉs TÓL TŐL)= P(DE)∙ P(B/A)∙ P(TAXI). (10)

2. példa Két óvodában, amelyek mindegyikébe 100 gyermek járt, fertőző betegség járvány tört ki. Az esetek aránya 1/5, illetve 1/4, az első intézményben 70%, a másodikban pedig 60%-a 3 év alatti gyermek. Egy gyermek véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Határozza meg annak valószínűségét, hogy:

1) a kiválasztott gyermek az első óvodába tartozik (esemény DE) és beteg (esemény BAN BEN).

2) a másodikból egy gyermeket választanak ki óvoda(esemény TÓL TŐL), beteg (esemény D) és 3 évnél idősebb (esemény E).

Megoldás. 1) a kívánt valószínűség -

R(DEÉs BAN BEN) = R(DE) ∙ R(BAN BEN/DE) = = 0,1 = 10%.

2) a kívánt valószínűség:

R(TÓL TŐLÉs DÉs E) = R(TÓL TŐL) ∙ R(D/C) ∙ R(E/CD) = = 5%.

1.4. Bayes képlet

Ha a függő események együttes előfordulásának valószínűsége DEÉs BAN BEN akkor nem attól függ, hogy milyen sorrendben fordulnak elő R(DEÉs BAN BEN)= P(DE)∙P(B/A)= P(BAN BEN) × R(A/B). Ebben az esetben az egyik esemény feltételes valószínűségét úgy találhatjuk meg, hogy ismerjük mindkét esemény valószínűségét és a második feltételes valószínűségét:

R(B/A) = (11)

Ennek a képletnek az általánosítása sok esemény esetére a Bayes-formula.

Legyen " n» inkompatibilis véletlenszerű események H1, H2, …, Hn, egy teljes eseménycsoportot alkotnak. Ezeknek az eseményeknek a valószínűsége R(H1), R(H2), …, R(Hn) ismertek, és mivel teljes csoportot alkotnak, akkor = 1.

valami véletlenszerű esemény DE eseményekhez kapcsolódnak H1, H2, …, Hn, és ismertek az esemény bekövetkezésének feltételes valószínűségei DE minden eseménnyel Hén, azaz ismert R(A/H1), R(A/H2), …, R(A/Nn). Ebben az esetben a feltételes valószínűségek összege R(A/Nén) nem lehet egyenlő eggyel, azaz. ≠ 1.

Ezután az esemény bekövetkezésének feltételes valószínűsége Hén amikor az esemény megvalósul DE(azaz feltéve, hogy az esemény DE történt) a Bayes-formula határozza meg :

És ezekre a feltételes valószínűségekre .

Bayes képletét nemcsak a matematikában, hanem az orvostudományban is széles körben alkalmazzák. Például bizonyos betegségek valószínűségének kiszámítására szolgál. Tehát, ha H 1,…, Hn- a beteg becsült diagnózisa, DE- valamilyen velük kapcsolatos jel (tünet, vérvizsgálat bizonyos mutatója, vizelet, röntgenfelvétel részlete stb.), valamint a feltételes valószínűségek R(A/Nén) ennek a tünetnek a megnyilvánulásai az egyes diagnózisokban Hén (én = 1,2,3,…n) előre ismertek, akkor a Bayes-képlet (12) lehetővé teszi a betegségek (diagnózisok) feltételes valószínűségének kiszámítását. R(Hén/DE) miután megállapították, hogy a jellemző tulajdonság DE jelen van a betegben.

Példa1. A páciens kezdeti vizsgálata során 3 diagnózist feltételeznek H 1, H 2, H 3. Valószínűségeik az orvos szerint a következőképpen oszlanak meg: R(H 1) = 0,5; R(H 2) = 0,17; R(H 3) = 0,33. Ezért az első diagnózis tűnik a legvalószínűbbnek. Ennek tisztázása érdekében például vérvizsgálatot írnak elő, amelyben az ESR növekedése várható (esemény DE). Előre ismert (a kutatási eredmények alapján), hogy az ESR növekedésének valószínűsége feltételezett betegségek esetén egyenlő:

R(DE/H 1) = 0,1; R(DE/H 2) = 0,2; R(DE/H 3) = 0,9.

A kapott elemzésben az ESR növekedését rögzítették (esemény DE történt). Ezután a Bayes-képlet (12) szerinti számítás megadja a megnövekedett ESR-értékkel járó állítólagos betegségek valószínűségét: R(H 1/DE) = 0,13; R(H 2/DE) = 0,09;
R(H 3/DE) = 0,78. Ezek a számok azt mutatják, hogy a laboratóriumi adatokat figyelembe véve nem az első, hanem a harmadik diagnózis a legreálisabb, amelynek valószínűsége mostanra meglehetősen magasnak bizonyult.

A fenti példa a legegyszerűbb szemléltetése annak, hogy a Bayes-képlet segítségével hogyan lehet formalizálni az orvos logikáját a diagnózis felállításakor, és ennek köszönhetően számítógépes diagnosztikai módszereket készíteni.

2. példa Határozza meg annak valószínűségét, amely felméri egy gyermek perinatális* halálának kockázatát anatómiailag szűk medencével rendelkező nőknél.

Megoldás: legyen esemény H 1 - biztonságos szállítás. A klinikai jelentések szerint R(H 1) = 0,975 = 97,5%, akkor ha H2- a perinatális mortalitás ténye tehát R(H 2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

Jelöli DE- szűk medence jelenlétének ténye egy vajúdó nőben. Az elvégzett vizsgálatokból ismert: a) R(DE/H 1) - a keskeny medence valószínűsége kedvező szüléssel, R(DE/H 1) = 0,029, b) R(DE/H 2) - a szűk medence valószínűsége a perinatális mortalitásban,
R(DE/H 2) = 0,051. Ezután a vajúdó nő keskeny medencéjében bekövetkező perinatális mortalitás kívánt valószínűségét a Bays-képlettel (12) számítjuk ki, és egyenlő:

Így az anatómiailag szűk medencében a perinatális mortalitás kockázata szignifikánsan magasabb (majdnem kétszerese), mint az átlagos kockázat (4,4% vs. 2,5%).

Az ilyen számítások, amelyeket általában számítógéppel végeznek, alapját képezik azoknak a betegeknek a csoportjainak kialakításának, amelyek fokozott kockázatnak vannak kitéve egy vagy másik súlyosbító tényező jelenlétével.

A Bayes-képlet nagyon hasznos számos egyéb orvosbiológiai helyzet értékeléséhez, amelyek a kézikönyvben megadott feladatok megoldása során derülnek ki.

1.5. Véletlenszerű eseményekről, amelyek valószínűsége közel 0 vagy 1

Sok gyakorlati probléma megoldása során olyan eseményekkel kell számolni, amelyek valószínűsége nagyon kicsi, azaz közel nulla. Az ilyen eseményekkel kapcsolatos tapasztalatok alapján a következő elvet fogadtuk el. Ha egy véletlen eseménynek nagyon kicsi a valószínűsége, akkor a gyakorlatban azt feltételezhetjük, hogy egyetlen kísérletben sem fog bekövetkezni, vagyis a bekövetkezésének lehetősége elhanyagolható. Arra a kérdésre, hogy milyen kicsinek kell lennie ennek a valószínűségnek, a választ a megoldandó problémák lényege, az határozza meg, hogy mennyire fontos számunkra az előrejelzés eredménye. Például, ha annak a valószínűsége, hogy egy ejtőernyő nem nyílik ki ugrás közben, 0,01, akkor az ilyen ejtőernyők használata elfogadhatatlan. Ugyanaz a 0,01-es valószínűség azonban, hogy egy távolsági vonat későn érkezik, szinte biztossá tesz bennünket abban, hogy időben érkezik.

Azt a kellően kis valószínűséget nevezzük, amelynél (egy adott feladatban) egy esemény gyakorlatilag lehetetlennek tekinthető szignifikancia szintje. A gyakorlatban a szignifikanciaszintet általában 0,01-nek (egy százalékos szignifikanciaszint) vagy 0,05-nek (öt százalékos szignifikanciaszintnek) veszik, sokkal ritkábban 0,001-nek.

A szignifikanciaszint bevezetése lehetővé teszi, hogy azt állítsuk, hogy ha valamilyen esemény DE gyakorlatilag lehetetlen, akkor az ellenkező esemény - gyakorlatilag megbízható, mármint neki R() » 1.

FejezetII. VÉLETLENSZERŰ ÉRTÉKEK

2.1. Véletlen változók, típusaik

A matematikában a mennyiség a különféle általános neve mennyiségi jellemzők tárgyak és jelenségek. A hossz, a terület, a hőmérséklet, a nyomás stb. különböző mennyiségek példái.

Egy érték, amely sokféle A véletlenszerű körülmények hatására számszerű értékeket valószínűségi változónak nevezzük. Példák a véletlen változókra: az orvosi rendelőben lévő betegek száma; az emberek belső szerveinek pontos méretei stb.

Különbséget tegyen diszkrét és folytonos valószínűségi változók között .

Egy valószínűségi változót diszkrétnek nevezünk, ha csak bizonyos, egymástól elválasztott értékeket vesz fel, amelyek beállíthatók és felsorolhatók.

Példák diszkrét valószínűségi változókra:

- a hallgatóság létszáma - csak egész szám lehet pozitív szám: 0,1,2,3,4….. 20…..;

- az a szám, amely dobáskor a felső oldalon jelenik meg dobókocka– csak 1 és 6 közötti egész értékeket vehet fel;

- a cél 10 lövéssel történő eltalálásának relatív gyakorisága - értékei: 0; 0,1; 0,2; 0,3 …1

- az azonos időintervallumokban előforduló események száma: pulzusszám, óránkénti mentőhívások száma, halálos kimenetelű műtétek száma havonta stb.

Egy valószínűségi változót folytonosnak nevezünk, ha egy bizonyos intervallumon belül bármilyen értéket felvehet, amelynek néha élesen meghatározott határai vannak, néha pedig nem.*. A folytonos valószínűségi változók közé tartozik például a felnőttek testtömege és magassága, testtömeg és agytérfogat, egészséges emberek enzimtartalma, vérsejtek mérete, R H vér stb.

koncepció valószínűségi változó meghatározó szerepet játszik abban modern elmélet valószínűségek, amelyek speciális technikákat dolgoztak ki a véletlenszerű eseményekről a valószínűségi változókra való átmenetre.

Ha egy valószínűségi változó időtől függ, akkor véletlenszerű folyamatról beszélhetünk.

2.2. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye

Egy diszkrét valószínűségi változó teljes leírásához meg kell adni az összes lehetséges értéket és azok valószínűségét.

Egy diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei és azok valószínűségei közötti megfelelést e változó eloszlási törvényének nevezzük.

Jelölje a valószínűségi változó lehetséges értékeit xát xén, és a megfelelő valószínűségek révén Rén *. Ekkor egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye háromféleképpen adható meg: táblázat, grafikon vagy képlet formájában.

nevű táblázatban elosztás közelében, fel van sorolva egy diszkrét valószínűségi változó összes lehetséges értéke xés az ezeknek az értékeknek megfelelő valószínűségeket R(x):

x

…..

…..

P(x)

…..

…..

Ebben az esetben az összes valószínűség összege Rén egyenlőnek kell lennie eggyel (normalizálási feltétel):

Rén = p1 + p2 + ... + pn = 1. (13)

Grafikusan a törvényt szaggatott vonal ábrázolja, amelyet általában eloszlási sokszögnek neveznek (1. ábra). Itt a vízszintes tengely mentén a valószínűségi változó összes lehetséges értéke ábrázolva van xén, , a függőleges tengelyen pedig a megfelelő valószínűségek Rén

Analitikusan a törvényt egy képlet fejezi ki. Például, ha annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltaláljuk a célt R, akkor annak a valószínűsége, hogy 1 alkalommal eltalálja a célt n lövéseket a képlet adja meg R(n) = n qn-1 × p, ahol q= 1 - p- az egy lövéssel történő kihagyás valószínűsége.

2.3. A folytonos valószínűségi változó eloszlásának törvénye. Valószínűségi sűrűség

Folyamatos valószínűségi változók esetében lehetetlen az eloszlási törvényt a fent megadott formákban alkalmazni, mivel egy ilyen változónak van egy megszámlálhatatlan („megszámlálhatatlan”) lehetséges értékkészlete, amely teljesen kitölt egy bizonyos intervallumot. Ezért lehetetlen olyan táblázatot készíteni, amelyben minden lehetséges értéke fel van sorolva, vagy eloszlási sokszöget építeni. Ezenkívül bármely adott érték valószínűsége nagyon kicsi (közel 0)*. Ugyanakkor egy folytonos valószínűségi változó lehetséges értékeinek különböző területei (intervallumai) nem egyformán valószínűek. Így ebben az esetben is működik egy bizonyos eloszlási törvény, bár nem az előbbi értelemben.

Tekintsünk egy folytonos valószínűségi változót x, amelynek lehetséges értékei teljesen kitöltenek egy bizonyos intervallumot (de, b)**. Egy ilyen érték valószínűségi eloszlási törvényének lehetővé kell tennie annak a valószínűségét, hogy az értéke egy adott intervallumba esik ( x1, x2) bent fekve ( de,b), 2. ábra.

Ez a valószínűség az R(x1< Х < х2 ), vagy
R(x1£ x£ x2).

Először vegyünk egy nagyon kis értéktartományt x- tól től x előtt ( x +Dx); lásd a 2. ábrát. kicsi a valószínűsége dR hogy a valószínűségi változó x bizonyos értéket vesz fel a ( x, x +Dx), arányos lesz ennek az intervallumnak az értékével DX:dR~ Dx, vagy az arányossági tényező bevezetésével f, amitől maga is függhet x, kapunk:

dP =f(x) × D x =f(x) × dx (14)

Az itt bemutatott funkció f(x) nak, nek hívják valószínűségi sűrűség valószínűségi változó X, vagy röviden, valószínűségi sűrűség, eloszlási sűrűség. A (13) egyenlet egy differenciálegyenlet, amelynek megoldása megadja az érték eltalálásának valószínűségét x az intervallumba ( x1,x2):

R(x1<x<x2) = f(x) dX. (15)

Grafikus valószínűség R(x1<x<x2) egyenlő a görbe vonalú trapéz területével, amelyet az abszcissza tengely határol, a görbe f(x) és közvetlen X = x1 és X = x2(3. ábra). Ez a határozott integrál (15) görbe geometriai jelentéséből következik f(x) eloszlási görbének nevezzük.

A (15)-ből az következik, hogy ha a függvény f(x), akkor az integráció határainak megváltoztatásával megkereshetjük bármely számunkra érdekes intervallum valószínűségét. Ezért a függvény feladata f(x) teljes mértékben meghatározza a folytonos valószínűségi változók eloszlási törvényét.

A valószínűségi sűrűséghez f(x) a normalizálási feltételt a következő formában kell teljesíteni:

f(x) dx = 1, (16)

ha ismert, hogy minden érték x feküdj az intervallumban ( de,b), vagy a következő formában:

f(x) dx = 1, (17)

ha az értékek intervallumhatárai x pontosan meghatározatlan. A valószínűségi sűrűség (16) vagy (17) normalizálásának feltételei annak a következményei, hogy a valószínűségi változó értékei x feküdj belül megbízhatóan ( de,b) vagy (-¥, +¥). A (16) és (17)-ből az következik, hogy az ábra eloszlási görbe és az x tengely által határolt területe mindig 1 .

2.4. A valószínűségi változók alapvető numerikus jellemzői

A 2.2. és 2.3. fejezetben bemutatott eredmények azt mutatják, hogy a diszkrét és folytonos valószínűségi változók teljes jellemzése érhető el eloszlásuk törvényszerűségeinek ismeretében. Sok gyakorlati szempontból jelentős helyzetben azonban a valószínűségi változók úgynevezett numerikus jellemzőit alkalmazzák, amelyek fő célja, hogy tömör formában kifejezzék a valószínűségi változók eloszlásának legjelentősebb jellemzőit. Fontos, hogy ezek a paraméterek specifikus (állandó) értékek legyenek, amelyeket a kísérletekben kapott adatok alapján meg lehet becsülni. Ezeket a becsléseket a Leíró statisztika kezeli.

A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában meglehetősen sok különböző jellemzőt használnak, de csak a leggyakrabban használtakat vesszük figyelembe. És csak néhányuk esetében adjuk meg azokat a képleteket, amelyekkel értéküket kiszámítják, más esetekben a számításokat a számítógépre hagyjuk.

Fontolgat pozíció jellemzői - matematikai elvárás, módus, medián.

Egy valószínűségi változó helyzetét jellemzik a számtengelyen , azaz valamilyen közelítő értéket jeleznek, amely köré a valószínűségi változó összes lehetséges értéke csoportosul. Közülük a matematikai elvárás játssza a legfontosabb szerepet. M(x).

Mi a valószínűség?

Amikor először találkoztam ezzel a kifejezéssel, nem érteném, mi az. Szóval megpróbálom érthetően elmagyarázni.

A valószínűség annak az esélye, hogy a kívánt esemény bekövetkezik.

Például úgy döntött, hogy meglátogatja egy barátját, emlékezzen a bejáratra, sőt a padlóra is, amelyen él. De elfelejtettem a lakás számát és helyét. És most a lépcsőházban állsz, és előtted vannak az ajtók, amelyek közül választhatsz.

Mekkora az esélye (valószínűsége), hogy ha megnyomja az első ajtócsengőt, a barátja kinyitja neked? Egész lakás, és csak az egyik mögött lakik egy barát. Egyenlő eséllyel bármelyik ajtót választhatjuk.

De mi ez az esély?

Ajtók, a jobb oldali ajtó. Az első ajtó becsöngetésével való találgatás valószínűsége: . Vagyis háromból egyszer biztosan kitalálod.

Szeretnénk tudni, ha egyszer telefonálunk, milyen gyakran találjuk ki az ajtót? Nézzük meg az összes lehetőséget:

1. hívtad 1 egy ajtó
2. hívtad 2 egy ajtó
3. hívtad 3 egy ajtó

És most fontolja meg az összes lehetőséget, ahol egy barát lehet:

de. Mögött 1 ajtó
b. Mögött 2 ajtó
ban ben. Mögött 3 ajtó

Hasonlítsuk össze az összes lehetőséget táblázat formájában. A pipa jelzi azokat a lehetőségeket, amikor az Ön választása megegyezik egy barát helyével, kereszt - ha nem egyezik.

Hogyan lát mindent talán opciók barátja tartózkodási helye és az Ön választása, hogy melyik ajtót csengessen.

DE mindennek kedvező kimenetele . Vagyis az időket abból fogod kitalálni, ha egyszer becsöngeted az ajtót, pl. .

Ez a valószínűség - a kedvező kimenetel aránya (amikor a választása egybeesett egy barát helyével) a lehetséges események számához.

A definíció a képlet. A valószínűséget általában p-vel jelölik, tehát:

Nem túl kényelmes ilyen képletet írni, ezért vegyük - a kedvező kimenetelek számát, és - az összes kimenetel számát.

A valószínűség százalékban is felírható, ehhez meg kell szorozni a kapott eredményt a következővel:

Valószínűleg az „eredmények” szó ragadta meg a figyelmét. Mivel a matematikusok különféle cselekvéseket (nálunk az ilyen csengőt) neveznek kísérleteknek, az ilyen kísérletek eredményét szokás eredménynek nevezni.

Nos, az eredmények kedvezőek és kedvezőtlenek.

Térjünk vissza példánkhoz. Tegyük fel, hogy becsöngettünk az egyik ajtón, de egy idegen kinyitotta nekünk. Nem sejtettük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy ha a megmaradt ajtók egyikét becsöngetjük, a barátunk kinyitja nekünk?

Ha így gondoltad, akkor ez tévedés. Találjuk ki.

Két ajtónk maradt. Tehát vannak lehetséges lépéseink:

1) Hívja fel 1 egy ajtó
2) Hívjon 2 egy ajtó

Egyikük mögött biztosan egy barát áll (elvégre nem az, akit hívtunk):

a) egy barát 1 ajtó
b) egy barát számára 2 ajtó

Rajzoljuk meg újra a táblázatot:

Mint látható, minden lehetőség van, amelyek közül - kedvező. Vagyis a valószínűség egyenlő.

Miért ne?

Az általunk vizsgált helyzet a következő példa a függő eseményekre. Az első esemény az első csengő, a második esemény a második csengő.

És függőnek nevezik őket, mert hatással vannak a következő cselekvésekre. Végül is, ha egy barát az első csengetés után kinyitja az ajtót, mennyi a valószínűsége, hogy a másik kettő egyike mögött van? Jobb, .

De ha vannak függő események, akkor lennie kell független? Igaz, vannak.

Tankönyvi példa az érme feldobása.

1. Feldobunk egy érmét. Mekkora a valószínűsége annak, hogy feljönnek például a fejek? Így van – mert a lehetőségek mindenre (akár fejre, akár farokra, elhanyagoljuk az érme szélére kerülésének valószínűségét), de csak nekünk megfelelnek.
2. De a farok kiesett. Oké, csináljuk újra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy most feljönnek a fejek? Semmi sem változott, minden a régi. Hány lehetőség? Két. Mennyivel vagyunk elégedettek? Egy.

És hagyja, hogy a farok legalább ezerszer egymás után hulljon ki. A fejek azonnali leesésének valószínűsége azonos lesz. Mindig vannak lehetőségek, de előnyösek.

A függő események megkülönböztetése a független eseményektől egyszerű:

1. Ha a kísérletet egyszer hajtják végre (egyszer egy érme feldobása, egy csengő stb.), akkor az események mindig függetlenek.
2. Ha a kísérletet többször is végrehajtják (egyszer dobnak fel egy érmét, többször megnyomják a csengőt), akkor az első esemény mindig független. És akkor, ha a kedvezőek száma vagy az összes kimenet száma változik, akkor az események függőek, ha nem, akkor függetlenek.

Gyakoroljunk egy kicsit a valószínűség meghatározásához.

1. példa

Az érmét kétszer dobják fel. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egymás után kétszer kapunk fejjel?

Megoldás:

Fontolja meg az összes lehetséges lehetőséget:

1. sas sas
2. farkú sas
3. farkú-sas
4. Farok-farok

Amint látja, minden lehetőség. Ezek közül csak mi elégedettek vagyunk. Ez a valószínűség:

Ha a feltétel egyszerűen a valószínűség meghatározását kéri, akkor a választ tizedes törtként kell megadni. Ha azt jeleznénk, hogy százalékban kell megadni a választ, akkor szoroznánk.

Válasz:

2. példa

Egy doboz csokoládéban minden cukorka ugyanabba a csomagolásba van csomagolva. Édességből azonban - dióval, konyakkal, cseresznyével, karamellel és nugáttal.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy veszünk egy cukorkát, és kapunk egy cukorkát dióval? Válaszát százalékban adja meg!

Megoldás:

Hány lehetséges kimenetel van? .

Vagyis ha vesz egy cukorkát, az egyike lesz a dobozban lévőknek.

És hány kedvező eredmény?

Mert a doboz csak diós csokit tartalmaz.

Válasz:

3. példa

Golyós dobozban. amelyek közül fehér és fekete.

1. Mennyi a valószínűsége annak, hogy fehér golyót húzunk?
2. További fekete golyókat adtunk a dobozhoz. Mennyi a valószínűsége annak, hogy most fehér golyót húzunk?

Megoldás:

a) Csak golyók vannak a dobozban. amelyek közül fehérek.

Ennek a valószínűsége:

b) Most golyók vannak a dobozban. És ugyanannyi fehér maradt.

Válasz:

Teljes valószínűség

Az összes lehetséges esemény valószínűsége ().

Például egy piros és zöld golyókat tartalmazó dobozban. Mennyi a valószínűsége annak, hogy piros golyót húzunk? Zöld labda? Piros vagy zöld labda?

Piros golyó rajzolásának valószínűsége

Zöld golyó:

Piros vagy zöld golyó:

Mint látható, az összes lehetséges esemény összege egyenlő (). Ennek a pontnak a megértése sok probléma megoldásában segít.

4. példa

A dobozban filctoll található: zöld, piros, kék, sárga, fekete.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy NEM piros jelölőt rajzol?

Megoldás:

Számoljuk meg a számot kedvező eredményeket.

NEM piros marker, ez zöldet, kéket, sárgát vagy feketét jelent.

Valamennyi esemény valószínűsége. Az általunk kedvezőtlennek ítélt események valószínűsége pedig (amikor előveszünk egy piros filctollat) .

Így annak a valószínűsége, hogy NEM piros filctollat ​​rajzolunk, -.

Válasz:

Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, mínusz annak a valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik.

Független események valószínűségének szorzásának szabálya

Ön már tudja, mik a független események.

És ha meg kell találnia annak valószínűségét, hogy két (vagy több) független esemény következik be egymás után?

Tegyük fel, hogy tudni akarjuk, mekkora a valószínűsége annak, hogy ha egyszer feldobunk egy érmét, kétszer meglátunk egy sast?

Már mérlegeltük - .

Mi van, ha feldobunk egy érmét? Mennyi annak a valószínűsége, hogy kétszer egymás után látunk egy sast?

Összes lehetséges opció:

1. Sas-sas-sas
2. Sasfej-farkú
3. Fej-farkú-sas
4. Fej-farok-farok
5. farok-sas-sas
6. Farok-fej-farok
7. Farok-farok-fej
8. Farok-farok-farok

Nem tudom, ti hogy vagytok vele, de egyszer rosszul készítettem ezt a listát. Azta! És az egyetlen lehetőség (az első) megfelel nekünk.

5 tekercs esetén saját maga is elkészítheti a lehetséges kimenetelek listáját. De a matematikusok nem olyan szorgalmasak, mint te.

Ezért először észrevették, majd bebizonyították, hogy egy bizonyos független eseménysorozat valószínűsége minden alkalommal egy esemény valószínűségével csökken.

Más szavakkal,

Tekintsünk példát ugyanerre a balszerencsés érmére.

Annak a valószínűsége, hogy felbukkan egy tárgyalás? . Most egy érmét dobunk fel.

Mekkora a valószínűsége annak, hogy egymás után kapunk farkat?

Ez a szabály nem csak akkor működik, ha meg kell keresnünk annak valószínűségét, hogy ugyanaz az esemény egymás után többször megtörténik.

Ha meg akarnánk találni a TAILS-EAGLE-TAILS sorozatot egymást követő flipeknél, akkor ugyanezt tennénk.

A farok megszerzésének valószínűsége - , fej - .

A TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS sorozat megszerzésének valószínűsége:

Egy táblázat elkészítésével Ön is ellenőrizheti.

Az inkompatibilis események valószínűségének összeadásának szabálya.

Szóval állj meg! Új meghatározás.

Találjuk ki. Vegyük elhasznált érmünket, és dobjuk fel egyszer.
Lehetséges opciók:

1. Sas-sas-sas
2. Sasfej-farkú
3. Fej-farkú-sas
4. Fej-farok-farok
5. farok-sas-sas
6. Farok-fej-farok
7. Farok-farok-fej
8. Farok-farok-farok

Tehát itt összeférhetetlen események vannak, ez egy bizonyos, adott eseménysor. összeférhetetlen események.

Ha meg akarjuk határozni, hogy mekkora a valószínűsége két (vagy több) összeférhetetlen eseménynek, akkor összeadjuk ezeknek az eseményeknek a valószínűségét.

Meg kell értenie, hogy a sas vagy a farok elvesztése két független esemény.

Ha meg akarjuk határozni, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy egy sorozat kiesik (vagy bármilyen más), akkor a valószínűségek szorzásának szabályát alkalmazzuk.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy az első dobásnál fejet kapunk, a másodiknál ​​és a harmadiknál ​​pedig farkat?

De ha tudni akarjuk, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy a több szekvencia közül egyet kapunk, például amikor pontosan egyszer jön fel, pl. opciókat, majd össze kell adnunk ezeknek a sorozatoknak a valószínűségét.

A teljes opció megfelel nekünk.

Ugyanezt megkaphatjuk, ha összeadjuk az egyes sorozatok előfordulási valószínűségét:

Így valószínűségeket adunk hozzá, amikor meg akarjuk határozni néhány, összeférhetetlen eseménysorozat valószínűségét.

Van egy nagyszerű szabály, amely segít abban, hogy ne keveredjen össze, mikor kell szorozni és mikor kell összeadni:

Térjünk vissza ahhoz a példához, amikor többször feldobtunk egy érmét, és szeretnénk tudni, hogy mekkora valószínűséggel látunk fejeket egyszer.
Mi fog történni?

Le kell esni:
(heads AND tails AND tails) VAGY (farok AND heads AND tails) VAGY (farok ÉS farok ÉS fej).
És így kiderül:

Nézzünk néhány példát.

5. példa

A dobozban ceruzák vannak. piros, zöld, narancs és sárga és fekete. Mennyi a valószínűsége annak, hogy piros vagy zöld ceruzát rajzol?

Megoldás:

Mi fog történni? Ki kell húznunk (piros VAGY zöld).

Most már világos, összeadjuk ezeknek az eseményeknek a valószínűségét:

Válasz:

6. példa

Egy kockával kétszer dobnak, mekkora a valószínűsége annak, hogy összesen 8 jön ki?

Megoldás.

Hogyan szerezhetünk pontokat?

(és) vagy (és) vagy (és) vagy (és) vagy (és).

Az egyik (bármely) arcból kiesés valószínűsége .

Kiszámoljuk a valószínűséget:

Válasz:

Kiképzés.

Azt hiszem, most már világossá vált számodra, hogy mikor kell számolnod a valószínűségeket, mikor kell összeadnod és mikor szorozni. Nem? Gyakoroljunk egy kicsit.

Feladatok:

Vegyünk egy pakli kártyát, amelyben a lapok ásók, szívek, 13 ütő és 13 tambura. Minden színből ász-ig.

1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy sorra húzunk ütőket (az első kihúzott lapot visszatesszük a pakliba és megkeverjük)?
2. Mennyi a valószínűsége annak, hogy fekete kártyát (ásó vagy ütő) húznak?
3. Mennyi a valószínűsége annak, hogy rajzolunk egy képet (bukó, dáma, király vagy ász)?
4. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egymás után két képet húzunk (az első kihúzott lapot eltávolítjuk a pakliból)?
5. Mekkora a valószínűsége, hogy két kártyát véve összegyűjtünk egy kombinációt - (bubi, dáma vagy király) és ász A kártyák kihúzásának sorrendje nem számít.

Válaszok:

1. Minden egyes értékű kártyapakliban ez azt jelenti:
2. Az események függőek, hiszen az első felhúzott kártya után a pakliban lévő kártyák száma csökkent (és a „képek” száma is). Kezdetben az összes bubi, dáma, király és ász a pakliban, ami azt jelenti, hogy mekkora a valószínűsége annak, hogy az első lappal kihúzzuk a „képet”:

   Mivel az első lapot vesszük ki a pakliból, ez azt jelenti, hogy már maradt egy kártya a pakliban, amiről képek is vannak. Kép rajzolásának valószínűsége a második kártyával:

   Mivel minket az a helyzet érdekel, amikor a pakliból: „kép” ÉS „kép” kapunk, ezért meg kell szoroznunk a valószínűségeket:

   Válasz:

3. Az első kártya felhúzása után a pakliban lévő kártyák száma csökken, így két lehetőségünk van:
   1) Az első lappal ászt veszünk ki, a másodikat bubi, dáma vagy király
   2) Az első lappal kiveszünk egy bubi, dáma vagy király, a második - egy ász. (ász és (bubi vagy dáma vagy király)) vagy ((bukó vagy dáma vagy király) és ász). Ne feledkezzünk meg a kártyák számának csökkentéséről a pakliban!

Ha minden problémát meg tudtál oldani, akkor nagyszerű fickó vagy! Most a valószínűségelméletre vonatkozó feladatokat a vizsgán fogod kattintani, mint a diót!

VALÓSZÍNŰSÉGI ELMÉLET. ÁTLAGOS SZINT

Vegyünk egy példát. Tegyük fel, hogy dobunk egy kockát. Milyen csont ez, tudod? Ez egy olyan kocka neve, amelynek lapjain számok vannak. Hány arc, annyi szám: től hányig? Előtt.

Tehát dobunk egy kockával, és azt akarjuk, hogy az or-vel álljon elő. És kiesünk.

A valószínűségszámításban azt mondják, mi történt kedvező esemény(nem tévesztendő össze a jóval).

Ha kiesne, az esemény is szerencsés lenne. Összesen csak két kedvező esemény fordulhat elő.

Hány rossz? Mivel minden lehetséges esemény, akkor ezek közül a kedvezőtlen az események (ez ha kiesik vagy).

Meghatározás:

A valószínűség a kedvező események számának az összes lehetséges esemény számához viszonyított aránya.. Vagyis a valószínűség azt mutatja meg, hogy az összes lehetséges esemény hány százaléka kedvező.

A valószínűséget latin betűvel jelölik (nyilván az angol probability szóból - valószínűség).

Szokásos a valószínűséget százalékban mérni (lásd a és témaköröket). Ehhez a valószínűségi értéket meg kell szorozni. A kocka példában valószínűség.

És százalékban: .

Példák (döntsd el magad):

1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az érme feldobása a fejeken landol? És mennyi a valószínűsége a farok kialakulásának?
2. Mennyi annak a valószínűsége, hogy kockadobáskor páros szám jön ki? És mivel – furcsa?
3. Egy fiókban, sima, kék és piros ceruzával. Véletlenszerűen húzunk egy ceruzát. Mennyi a valószínűsége annak, hogy kihúzunk egy egyszerűt?

Megoldások:

1. Hány lehetőség van? Fej és farok - csak kettő. És közülük hány kedvező? Csak egy a sas. Tehát a valószínűség

   Ugyanez a farokkal: .

2. Összes opció: (hány oldala van egy kockának, annyi különböző lehetőség). Kedvezőek: (ezek mind páros számok :).
   Valószínűség. Furcsa mellett persze ugyanaz.
3. Teljes: . Kedvező: . Valószínűség: .

Teljes valószínűség

A fiókban lévő összes ceruza zöld. Mennyi a valószínűsége annak, hogy rajzolunk egy piros ceruzát? Nincs esély: valószínűség (végül is kedvező események -).

Egy ilyen eseményt lehetetlennek neveznek.

Mennyi a valószínűsége, hogy zöld ceruzát rajzolunk? Pontosan annyi kedvező esemény van, ahány teljes esemény (minden esemény kedvező). Tehát a valószínűség vagy.

Az ilyen eseményt bizonyosnak nevezzük.

Ha zöld és piros ceruza van a dobozban, mekkora a valószínűsége annak, hogy zöldet vagy pirosat rajzolunk? Már megint. Jegyezze meg a következőt: a zöld rajzolásának valószínűsége egyenlő, a piros pedig .

Összegezve, ezek a valószínűségek pontosan egyenlőek. Azaz, az összes lehetséges esemény valószínűségének összege egyenlő vagy.

Példa:

Egy doboz ceruza van köztük kék, piros, zöld, egyszerű, sárga, a többi narancssárga. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem rajzolunk zöldet?

Megoldás:

Ne feledje, hogy minden valószínűség összeadódik. És a valószínűsége, hogy zöldet rajzol, egyenlő. Ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy nem rajzolunk zöldet, egyenlő.

Emlékezz erre a trükkre: Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, mínusz annak a valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik.

Független események és a szorzási szabály

Kétszer feldobsz egy érmét, és azt akarod, hogy mindkét alkalommal felbukkanjon. Mi ennek a valószínűsége?

Nézzük meg az összes lehetséges lehetőséget, és határozzuk meg, hány van:

Eagle-Eagle, Tails-Eagle, Eagle-Tails, Tails-Tails. Mi más?

Az egész változat. Ezek közül csak egy felel meg nekünk: Eagle-Eagle. Tehát a valószínűség egyenlő.

Oké. Most dobjunk fel egy érmét. Számold meg magad. Megtörtént? (válasz).

Talán észrevetted, hogy minden következő dobás hozzáadásával a valószínűség egy faktorral csökken. Az általános szabály az ún szorzási szabály:

A független események valószínűsége változik.

Mik azok a független események? Minden logikus: ezek azok, amelyek nem függnek egymástól. Például amikor többször feldobunk egy érmét, minden alkalommal új dobás történik, aminek eredménye nem függ minden korábbi dobástól. Ugyanolyan sikerrel két különböző érmét dobhatunk egyszerre.

További példák:

1. Egy kockát kétszer dobnak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét alkalommal előjön?
2. Egy érmét többször feldobnak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy először fejet kap, majd kétszer farkat?
3. A játékos két kockával dob. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a rajtuk lévő számok összege egyenlő lesz?

Válaszok:

1. Az események függetlenek, ami azt jelenti, hogy a szorzási szabály működik: .
2. A sas valószínűsége egyenlő. A farok valószínűsége is. Megszorozzuk:
3. 12-t csak akkor kaphatunk, ha két -ki kiesik: .

Inkompatibilis események és az összeadási szabály

Az összeférhetetlen események olyan események, amelyek teljes valószínűséggel kiegészítik egymást. Ahogy a név is sugallja, ezek nem történhetnek egyszerre. Például, ha feldobunk egy érmét, akár fejek, akár farok eshetnek ki.

Példa.

Egy doboz ceruza van köztük kék, piros, zöld, egyszerű, sárga, a többi narancssárga. Mennyi a valószínűsége annak, hogy zöldet vagy pirosat rajzolunk?

Megoldás .

A zöld ceruza rajzolásának valószínűsége egyenlő. Piros -.

Kedvező események: zöld + piros. Tehát a zöld vagy piros rajzolás valószínűsége egyenlő.

Ugyanez a valószínűség a következő formában ábrázolható: .

Ez az összeadás szabálya: az összeférhetetlen események valószínűsége összeadódik.

Vegyes feladatok

Példa.

Az érmét kétszer dobják fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobások eredménye eltérő lesz?

Megoldás .

Ez azt jelenti, hogy ha a fejek jönnek fel először, a farok legyen a második, és fordítva. Kiderült, hogy itt két független eseménypár van, és ezek a párok nem kompatibilisek egymással. Hogyan ne keveredjen össze azzal kapcsolatban, hogy hol kell szorozni és hol kell hozzáadni.

Van egy egyszerű szabály az ilyen helyzetekre. Próbálja meg leírni, hogy mi történjen, összekapcsolva az eseményeket az „ÉS” vagy „VAGY” szakszervezetekkel. Például ebben az esetben:

Gördülnie kell (fejek és farok) vagy (farok és fejek).

Ahol „és” unió van, ott szorzás történik, ahol pedig „vagy” az összeadás:

Próbáld ki magad:

1. Mekkora a valószínűsége annak, hogy két érmefeldobás mindkét alkalommal ugyanazt az oldalt hozza fel?
2. Egy kockát kétszer dobnak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy az összeg pontokat csökken?

Megoldások:

1. (Felfelé és felfelé) vagy (felfelé és felfelé farokig): .
2. Mik a lehetőségek? És. Azután:
   Hengerelt (és) vagy (és) vagy (és): .

Egy másik példa:

Egyszer feldobunk egy érmét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább egyszer feljönnek a fejek?

Megoldás:

Ó, mennyire nem akarok válogatni a lehetőségek között... Fej-farok-farok, Sas-fej-farok,... De nem muszáj! Beszéljünk a teljes valószínűségről. Emlékezett? Mekkora a valószínűsége annak, hogy a sas soha nem fog leesni? Egyszerű: a farok mindig repül, ez azt jelenti.

VALÓSZÍNŰSÉGI ELMÉLET. RÖVIDEN A FŐRŐL

A valószínűség a kedvező események számának az összes lehetséges esemény számához viszonyított aránya.

Független események

Két esemény független, ha az egyik bekövetkezése nem változtatja meg a másik bekövetkezésének valószínűségét.

Teljes valószínűség

Az összes lehetséges esemény valószínűsége ().

Annak a valószínűsége, hogy egy esemény nem következik be, mínusz annak a valószínűsége, hogy az esemény bekövetkezik.

Független események valószínűségének szorzásának szabálya

A független események egy bizonyos sorozatának valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek szorzatával

Összeférhetetlen események

Inkompatibilis események azok az események, amelyek egy kísérlet eredményeként nem következhetnek be egyszerre. Számos összeférhetetlen esemény alkot egy teljes eseménycsoportot.

Az összeférhetetlen események valószínűsége összeadódik.

Miután leírtuk, hogy mi történjen, az „ÉS” vagy „VAGY” uniók használatával az „AND” helyett a szorzás jelét, az „OR” helyett pedig az összeadás jelét tesszük.

Legyél a YouClever tanulója,

Készüljön fel az OGE-re vagy a USE-ra a matematikában,

És korlátlan hozzáférést kap a YouClever oktatóanyaghoz...

Valószínűség Az esemény egy adott eseményt előnyben részesítő elemi kimenetelek számának aránya azon tapasztalatok összes, egyformán lehetséges kimenetelének számához, amelyekben ez az esemény bekövetkezhet. Az A esemény valószínűségét P(A) jelöli (itt P a francia probabilite szó első betűje - valószínűség). A meghatározás szerint
(1.2.1)
ahol az A eseményt előnyben részesítő elemi eredmények száma; - az egyformán lehetséges elemi tapasztalati kimenetek száma, amelyek egy teljes eseménycsoportot alkotnak.
Ezt a valószínűség-definíciót klasszikusnak nevezzük. A valószínűségszámítás fejlődésének kezdeti szakaszában merült fel.

Egy esemény valószínűsége a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. Egy bizonyos esemény valószínűsége eggyel egyenlő. Jelöljünk meg egy bizonyos eseményt betűvel. Egy bizonyos eseményre tehát
(1.2.2)
2. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla. A lehetetlen eseményt betűvel jelöljük. Lehetetlen eseményre tehát
(1.2.3)
3. Egy véletlen esemény valószínűségét egynél kisebb pozitív számként fejezzük ki. Mivel a , vagy egyenlőtlenségek egy véletlenszerű eseményre teljesülnek, akkor
(1.2.4)
4. Bármely esemény valószínűsége kielégíti az egyenlőtlenségeket
(1.2.5)
Ez az (1.2.2) -(1.2.4) összefüggésekből következik.

1. példa Egy urnában 10 azonos méretű és súlyú golyó található, ebből 4 piros és 6 kék. Egy golyót húznak ki az urnából. Mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyó kék?

Megoldás. A "kihúzott golyó kéknek bizonyult" eseményt A betűvel jelöljük. Ennek a tesztnek 10 egyformán lehetséges elemi végeredménye van, amelyek közül 6 az A eseménynek kedvez. Az (1.2.1) képlet szerint kapjuk

2. példa Minden természetes szám 1-től 30-ig azonos kártyákra van írva, és egy urnába helyezve. A kártyák alapos összekeverése után egy kártyát kiveszünk az urnából. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott kártyán lévő szám 5 többszöröse?

Megoldás. Jelölje A-val azt az eseményt, hogy "a kivett kártyán lévő szám 5 többszöröse". Ebben a tesztben 30 egyformán lehetséges elemi kimenetel van, amelyek közül 6 az A eseményt részesíti előnyben (5, 10, 15, 20, 25, 30). Következésképpen,

3. példa Két kockát dobunk, a felső lapokon lévő pontok összegét számítjuk ki. Határozzuk meg a B esemény valószínűségét, amely abból áll, hogy a kockák felső lapjai összesen 9 pontot kapnak.

Megoldás. Ebben a kísérletben 6 2 = 36 egyformán lehetséges elemi kimenetel van. A B eseménynek 4 végeredmény kedvez: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), tehát

4. példa. Véletlenszerűen választunk ki egy 10-nél nem nagyobb természetes számot. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám prím?

Megoldás. Jelölje C betűvel azt az eseményt, hogy "a kiválasztott szám prím". Ebben az esetben n = 10, m = 4 (2, 3, 5, 7 prímek). Ezért a kívánt valószínűség

5. példa Két szimmetrikus érmét dobnak fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét érme felső oldalán számjegyek találhatók?

Megoldás. Jelöljük D betűvel azt az eseményt, hogy "minden érme felső oldalán egy szám volt". Ebben a tesztben 4 egyformán lehetséges elemi eredmény van: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (A jelölés (G, C) azt jelenti, hogy az első érmén címer van, a másodikon egy szám). A D eseményt egy elemi eredmény (C, C) kedvez. Mivel m = 1, n = 4, akkor

6. példa Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kétjegyű szám számjegyei megegyeznek?

Megoldás. A kétjegyű számok 10 és 99 közötti számok; összesen 90 ilyen szám van, 9 szám azonos számjegyű (ezek a 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 számok). Mivel ebben az esetben m = 9, n = 90, akkor
,
ahol A az "azonos számjegyű szám" esemény.

7. példa A szó betűiből differenciális egy betűt véletlenszerűen választunk ki. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a betű: a) magánhangzó b) mássalhangzó c) betű h?

Megoldás. A szókülönbségben 12 betű van, ebből 5 magánhangzó és 7 mássalhangzó. Levelek h ez a szó nem. Jelöljük az eseményeket: A - "magánhangzó", B - "mássalhangzó", C - "betű". h". A kedvező elemi eredmények száma: - A eseményre, - B eseményre, - C eseményre. Mivel n \u003d 12, akkor
, És .

8. példa Két kockával dobunk fel, minden kocka felső lapján fel kell jegyezni a pontok számát. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy mindkét kocka ugyanannyi pontot tartalmaz.

Megoldás. Jelöljük ezt az eseményt A betűvel. Az A eseménynek 6 elemi végeredmény kedvez: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Összességében ugyanannyira lehetséges elemi kimenetel, amely egy teljes eseménycsoportot alkot, ebben az esetben n=6 2 =36. Tehát a kívánt valószínűség

9. példa A könyv 300 oldalas. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen megnyitott oldal sorszáma 5 többszöröse?

Megoldás. A feladat feltételeiből következik, hogy az események teljes csoportját alkotó, egyformán lehetséges elemi kimenetelek közül n = 300 lesz, amelyek közül m = 60 a meghatározott esemény bekövetkezésének kedvez. Valójában egy szám, amely többszöröse 5-nek, alakja 5k, ahol k természetes szám, és ahonnan . Következésképpen,
, ahol A – az "oldal" esemény sorszáma 5" többszöröse.

10. példa. Két kockát dobunk, a felső lapokon lévő pontok összegét számítjuk ki. Mi a valószínűsége annak, hogy összesen 7 vagy 8 lesz?

Megoldás. Jelöljük az eseményeket: A - "7 pont esett ki", B - "8 pont esett ki". Az A eseménynek 6 alapvető kimenetele kedvez: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), a B eseménynek pedig 5 eredmény: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Az összes egyformán lehetséges elemi eredmény közül n = 6 2 = 36 van. És .

Tehát P(A)>P(B), vagyis az összesen 7 pont megszerzése valószínűbb esemény, mint az összesen 8 pont megszerzése.

Feladatok

1. Véletlenszerűen választunk ki egy 30-nál nem nagyobb természetes számot, mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a szám többszöröse 3-nak?
2. Az urnában a piros és b azonos méretű és súlyú kék golyókat. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ebből az urnából véletlenszerűen kihúzott golyó kék színű?
3. Véletlenszerűen kiválasztunk egy számot, amely nem haladja meg a 30. Mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a szám osztója zo-nak?
4. Az urnában de kék és b azonos méretű és súlyú piros golyókat. Ebből az urnából kihúzunk egy labdát, és félretesszük. Ez a labda piros. Ezután egy másik labdát húznak az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második golyó is piros.
5. Véletlenszerűen kiválasztunk egy 50-nél nem nagyobb természetes számot, mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a szám prím?
6. Három kockát dobunk, a felső lapokon lévő pontok összegét kiszámítjuk. Mi a valószínűbb - összesen 9 vagy 10 pont megszerzése?
7. Három dobókockát dobunk, az elejtett pontok összegét kiszámítjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy összesen 11 pontot (A esemény) vagy 12 pontot (B esemény) kap?

Válaszok

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - összesen 9 pont megszerzésének valószínűsége; p 2 \u003d 27/216 - összesen 10 pont megszerzésének valószínűsége; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Kérdések

1. Mit nevezünk egy esemény valószínűségének?
2. Mennyi a valószínűsége egy bizonyos eseménynek?
3. Mennyi a valószínűsége egy lehetetlen eseménynek?
4. Melyek a véletlenszerű esemény valószínűségének határai?
5. Milyen határai vannak bármely esemény valószínűségének?
6. A valószínűség melyik definícióját nevezzük klasszikusnak?

Nem valószínű, hogy sokan gondolkodnak azon, hogy ki lehet-e számítani többé-kevésbé véletlenszerű eseményeket. Egyszerűen fogalmazva, reális-e tudni, hogy a kocka melyik oldala esik legközelebb. Ezt a kérdést tette fel két nagy tudós, akik megalapozták egy olyan tudományt, mint a valószínűségelmélet, amelyben egy esemény valószínűségét meglehetősen alaposan tanulmányozzák.

Eredet

Ha megpróbálunk egy ilyen fogalmat valószínűségszámításként definiálni, akkor a következőket kapjuk: ez a matematika azon ága, amely a véletlenszerű események állandóságát vizsgálja. Természetesen ez a koncepció nem igazán fedi fel a teljes lényeget, ezért szükséges részletesebben is megvizsgálni.

Az elmélet megalkotóival szeretném kezdeni. Mint fentebb említettük, ketten voltak, és ők voltak azok, akik az elsők között próbálták képletek és matematikai számítások segítségével kiszámítani egy esemény kimenetelét. Összességében ennek a tudománynak a kezdetei a középkorban jelentek meg. Abban az időben különböző gondolkodók és tudósok megpróbálták elemezni a szerencsejátékokat, mint például a rulett, a craps stb. Az alapot a tizenhetedik században a fent említett tudósok tették le.

Munkájukat eleinte nem lehetett az e téren elért nagyszerű eredményeknek betudni, mert minden, amit csináltak, egyszerűen empirikus tények voltak, és a kísérleteket vizuálisan, képletek használata nélkül határozták meg. Idővel kiderült, hogy nagyszerű eredményeket értek el, amelyek a kockadobás megfigyelésének eredményeként jelentek meg. Ez az eszköz segített az első érthető képletek levezetésében.

Hasonló gondolkodású emberek

Lehetetlen nem megemlíteni egy olyan személyt, mint Christian Huygens, a "valószínűségelmélet" nevű téma tanulmányozása során (az esemény valószínűségét ez a tudomány pontosan lefedi). Ez a személy nagyon érdekes. A fentebb bemutatott tudósokhoz hasonlóan ő is megpróbálta matematikai képletek formájában levezetni a véletlenszerű események szabályszerűségét. Figyelemre méltó, hogy ezt nem Pascallal és Fermat-tal közösen tette, vagyis minden műve egyáltalán nem metszett ezekkel az elmékkel. Huygens kihozta

Érdekes tény, hogy munkája jóval a felfedezők munkájának eredményei előtt, vagy inkább húsz évvel korábban jelent meg. A kijelölt fogalmak közül a leghíresebbek:

• a valószínűség fogalma, mint a véletlen nagysága;
• matematikai elvárás diszkrét esetekre;
• valószínűségek szorzási és összeadási tételei.

Azt sem lehet nem emlékezni, hogy kik is járultak hozzá jelentős mértékben a probléma tanulmányozásához. Saját tesztjeit végezve, senkitől függetlenül, sikerült bebizonyítania a nagy számok törvényét. A tizenkilencedik század elején dolgozó Poisson és Laplace tudósok pedig be tudták bizonyítani az eredeti tételeket. Ettől a pillanattól kezdve kezdték alkalmazni a valószínűségszámítást a megfigyelések során fellépő hibák elemzésére. Az orosz tudósok, vagy inkább Markov, Csebisev és Djapunov sem tudták megkerülni ezt a tudományt. A nagy zsenik munkája alapján ezt a tantárgyat a matematika egyik ágaként rögzítették. Ezek a számok már a 19. század végén működtek, és hozzájárulásuknak köszönhetően olyan jelenségek születtek, mint pl.

• nagy számok törvénye;
• Markov-láncok elmélete;
• központi határérték tétel.

Tehát a tudomány születésének történetével és az azt befolyásoló főbb emberekkel többé-kevésbé minden világos. Most itt az ideje, hogy minden tényt konkretizáljunk.

Alapfogalmak

Mielőtt a törvényekre, tételekre nyúlnánk, érdemes áttanulmányozni a valószínűségszámítás alapfogalmait. A rendezvény főszerepet kap benne. Ez a téma elég terjedelmes, de enélkül nem lehet minden mást megérteni.

Az esemény a valószínűségszámításban egy kísérlet kimenetelének bármely halmaza. Ennek a jelenségnek nem sok fogalma létezik. Tehát Lotman tudós, aki ezen a területen dolgozik, azt mondta, hogy ebben az esetben arról beszélünk, hogy mi "történt, bár lehet, hogy meg sem történt".

A véletlenszerű események (a valószínűségszámítás különös figyelmet fordít rájuk) olyan fogalom, amely abszolút minden olyan jelenséget foglal magában, amely képes előfordulni. Vagy fordítva, ez a forgatókönyv nem fordulhat elő, ha sok feltétel teljesül. Azt is érdemes tudni, hogy a véletlenszerű események rögzítik a megtörtént jelenségek teljes mennyiségét. A valószínűségszámítás azt jelzi, hogy minden feltétel folyamatosan ismétlődik. Az ő magatartásukat nevezték „kísérletnek” vagy „tesztnek”.

Egy bizonyos esemény az, amely 100%-ban bekövetkezik egy adott tesztben. Ennek megfelelően lehetetlen esemény az, ami nem fog megtörténni.

Egy cselekvéspár (feltételesen A és B eset) kombinációja egyidejűleg jelentkező jelenség. AB jelöléssel vannak ellátva.

Az A és B eseménypárok összege C, vagyis ha legalább az egyik megtörténik (A vagy B), akkor C-t kapunk. A leírt jelenség képlete a következő: C \u003d A + B.

A diszjunkt események a valószínűségszámításban azt jelentik, hogy a két eset kizárja egymást. Soha nem történhetnek meg egyszerre. Az együttes események a valószínűségszámításban az antipódjuk. Ez azt jelenti, hogy ha A megtörtént, akkor az semmilyen módon nem akadályozza meg B-t.

Az ellentétes események (a valószínűségszámítás nagyon részletesen foglalkozik velük) könnyen érthető. Ehhez képest a legjobb velük foglalkozni. Ezek szinte megegyeznek a valószínűségszámításban összeegyeztethetetlen eseményekkel. De különbségük abban rejlik, hogy a sok jelenség közül egynek mindenképpen meg kell történnie.

Ugyanolyan valószínű események azok a cselekvések, amelyek megismétlődésének lehetősége egyenlő. Hogy érthetőbb legyen, elképzelhetjük egy érme feldobását: az egyik oldal elvesztése ugyanilyen valószínűséggel esik ki a másikból.

A kedvező eseményt könnyebben beláthatjuk egy példával. Tegyük fel, hogy van B epizód és A epizód. Az első a kockadobás páratlan szám megjelenésével, a második pedig az ötös szám megjelenése a kockán. Aztán kiderül, hogy A favorizálja B-t.

A független események a valószínűségelméletben csak két vagy több esetre vetítődnek, és azt jelentik, hogy bármely cselekvés független a másiktól. Például A - leejti a farkát, amikor egy érmét dob, és B - kap egy emelőt a pakliból. Ezek független események a valószínűségszámításban. Ezen a ponton világosabbá vált.

A valószínűségszámításban a függő események is csak a halmazukra megengedettek. Ezek az egyiknek a másiktól való függőségét jelentik, vagyis a B jelenség csak akkor fordulhat elő, ha A már megtörtént, vagy éppen ellenkezőleg, nem történt meg, amikor B-nek ez a fő feltétele.

Egy komponensből álló véletlenszerű kísérlet eredménye elemi események. A valószínűségszámítás megmagyarázza, hogy ez egy olyan jelenség, amely csak egyszer fordult elő.

Alapképletek

Tehát fentebb megvizsgáltuk az „esemény”, a „valószínűség-elmélet” fogalmait, és megadtuk e tudomány főbb fogalmainak meghatározását is. Itt az ideje, hogy közvetlenül megismerkedjünk a fontos képletekkel. Ezek a kifejezések matematikailag megerősítik az összes fő fogalmat egy olyan nehéz tárgyban, mint a valószínűségszámítás. Az esemény valószínűsége itt is óriási szerepet játszik.

Jobb a főbbekkel kezdeni, és mielőtt rájuk lépnénk, érdemes átgondolni, hogy mi is az.

A kombinatorika elsősorban a matematika ága, hatalmas számú egész szám vizsgálatával, valamint maguknak a számoknak és elemeiknek különféle permutációival, különféle adatokkal stb. foglalkozik, amelyek számos kombináció megjelenéséhez vezetnek. A valószínűségszámítás mellett ez az ág a statisztika, a számítástechnika és a kriptográfia számára is fontos.

Tehát most továbbléphet maguknak a képleteknek és azok meghatározásának bemutatására.

Ezek közül az első a permutációk számának kifejezése lesz, így néz ki:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Az egyenlet csak akkor érvényes, ha az elemek csak sorrendjükben különböznek.

Most az elhelyezési képletet veszik figyelembe, így néz ki:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ez a kifejezés nemcsak az elem sorrendjére vonatkozik, hanem az összetételére is.

A kombinatorika harmadik egyenletét és egyben az utolsó egyenletet a kombinációk számának képletének nevezik:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

A kombinációt nem rendezett kijelölésnek nevezzük, és ez a szabály vonatkozik rájuk.

Könnyűnek bizonyult kitalálni a kombinatorika képleteit, most áttérhetünk a valószínűségek klasszikus definíciójára. Ez a kifejezés így néz ki:

Ebben a képletben m az A esemény számára kedvező feltételek száma, n pedig az abszolút minden egyformán lehetséges és elemi kimenetel száma.

Nagyon sok kifejezés létezik, a cikk nem terjed ki mindegyikre, de a legfontosabbakat érintjük, mint például az események összegének valószínűségét:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ez a tétel csak inkompatibilis események összeadására szolgál;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - és ez csak a kompatibilisek hozzáadására szolgál.

Az események előidézésének valószínűsége:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ez a tétel független eseményekre vonatkozik;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - és ez az eltartottakra vonatkozik.

Az eseményképlet zárja a listát. A valószínűségszámítás elmondja nekünk Bayes tételét, amely így néz ki:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Ebben a képletben H 1 , H 2 , …, H n a hipotézisek teljes csoportja.

Példák

Ha figyelmesen tanulmányozza a matematika bármely ágát, az nem teljes gyakorlatok és mintamegoldások nélkül. Ilyen a valószínűségelmélet is: az események, a példák itt szerves részét képezik, amely megerősíti a tudományos számításokat.

A permutációk számának képlete

Tegyük fel, hogy harminc kártya van egy pakliban, egy névértékűtől kezdve. Következő kérdés. Hányféleképpen lehet egymásra rakni a paklit úgy, hogy az egy és kettő névértékű kártyák ne legyenek egymás mellett?

A feladat kitűzve, most térjünk rá a megoldására. Először meg kell határoznia harminc elem permutációinak számát, ehhez vesszük a fenti képletet, kiderül, hogy P_30 = 30!.

E szabály alapján megtudjuk, hány lehetőség van a pakli különböző módon történő behajtására, de ki kell vonnunk belőlük azokat, amelyekben az első és a második kártya következik. Ehhez kezdjük azzal az opcióval, amikor az első a második felett van. Kiderült, hogy az első kártya huszonkilenc helyet foglalhat el - az elsőtől a huszonkilencedikig, a második pedig a másodiktól a harmincadikig, kiderül, hogy egy pár kártya esetében csak huszonkilenc hely. A többi viszont huszonnyolc helyet foglalhat el, és bármilyen sorrendben. Vagyis huszonnyolc kártya permutációjához huszonnyolc lehetőség van P_28 = 28!

Ennek eredményeként kiderül, hogy ha azt a megoldást vesszük figyelembe, amikor az első kártya a második felett van, akkor 29 ⋅ 28 extra lehetőség adódik! = 29!

Ugyanezzel a módszerrel ki kell számítania a redundáns opciók számát abban az esetben, ha az első kártya a második alatt van. Az is kiderül, hogy 29 ⋅ 28! = 29!

Ebből az következik, hogy 2 ⋅ 29 extra lehetőség van, míg a pakli felépítéséhez 30 szükséges módja van! - 2 ⋅ 29!. Már csak számolni kell.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Most meg kell szoroznia az összes számot egytől huszonkilencig egymás között, majd a végén mindent meg kell szorozni 28-cal. A válasz: 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Példa megoldás. Képlet az elhelyezési számhoz

Ebben a feladatban azt kell kideríteni, hogy hányféleképpen lehet tizenöt kötetet feltenni egy polcra, de azzal a feltétellel, hogy összesen harminc kötet van.

Ebben a feladatban a megoldás valamivel egyszerűbb, mint az előzőben. A már ismert képlet segítségével harminc tizenöt kötetből kell kiszámítani az elrendezések teljes számát.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 30

A válasz rendre 202 843 204 931 727 360 000 lesz.

Vegyük most egy kicsit nehezebbre a feladatot. Ki kell deríteni, hányféleképpen lehet harminc könyvet elhelyezni két könyvespolcon, feltéve, hogy csak tizenöt kötet kerülhet egy polcon.

A megoldás megkezdése előtt szeretném tisztázni, hogy bizonyos problémák többféleképpen is megoldhatók, tehát ebben kétféleképpen is lehet, de mindkettőben ugyanazt a képletet használják.

Ebben a feladatban az előzőből veheted a választ, mert ott kiszámoltuk, hogy egy polcot hányszor lehet megtölteni tizenöt könyvvel különböző módon. Kiderült, hogy A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

A második polcot a permutációs képlet alapján számoljuk ki, mert tizenöt könyv kerül bele, míg csak tizenöt marad. A P_15 = 15! képletet használjuk.

Kiderül, hogy összesen A_30^15 ⋅ P_15 út lesz, de ezen felül a harminctól tizenhatig terjedő összes szám szorzatát meg kell szorozni az egytől tizenötig terjedő számok szorzatával, ennek eredményeként a minden szám egytől harmincig szorzatát kapjuk, vagyis a válasz 30!

De ez a probléma más módon is megoldható - könnyebben. Ehhez el tudja képzelni, hogy van egy polc harminc könyv számára. Mindegyik erre a síkra van helyezve, de mivel a feltétel megköveteli, hogy két polc legyen, egy hosszút kettévágunk, kiderül, hogy egyenként kettő tizenöt. Ebből kiderül, hogy az elhelyezési lehetőségek P_30 = 30! lehetnek.

Példa megoldás. A szám kombinációjának képlete

Most megvizsgáljuk a kombinatorika harmadik feladatának egy változatát. Meg kell találnia, hogy hányféleképpen lehet elrendezni tizenöt könyvet, feltéve, hogy harminc teljesen egyforma közül kell választania.

A megoldáshoz természetesen a kombinációk számának képletét alkalmazzuk. A feltételből kiderül, hogy az egyforma tizenöt könyv sorrendje nem lényeges. Ezért először meg kell találnia a harminc, tizenöt könyv kombinációinak teljes számát.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Ez minden. Ezzel a képlettel a lehető legrövidebb időn belül meg lehetett oldani egy ilyen problémát, a válasz rendre 155 117 520.

Példa megoldás. A valószínűség klasszikus meghatározása

A fenti képlet segítségével egy egyszerű feladatban megtalálhatja a választ. De segít vizuálisan látni és nyomon követni a cselekvések menetét.

A probléma adott, hogy tíz teljesen egyforma golyó van az urnában. Ebből négy sárga és hat kék. Egy labdát vesznek az urnából. Meg kell találnia a kékedés valószínűségét.

A probléma megoldásához a kék labda megszerzését szükséges A eseményként megjelölni. Ennek a tapasztalatnak tíz kimenetele lehet, amelyek viszont elemiek és egyformán valószínűek. Ugyanakkor tízből hat az A eseménynek kedvez. A következő képlettel oldjuk meg:

P(A)=6:10=0,6

Ezt a képletet alkalmazva azt találtuk, hogy a kék golyó megszerzésének valószínűsége 0,6.

Példa megoldás. Az események összegének valószínűsége

Most egy változat kerül bemutatásra, amelyet az események összegének valószínűségi képletével oldanak meg. Tehát abban az esetben, ha két doboz van, az elsőben egy szürke és öt fehér golyó, a másodikban nyolc szürke és négy fehér golyó található. Ennek eredményeként az egyiket az első és a második dobozból vették el. Ki kell deríteni, hogy mennyi az esélye annak, hogy a kiszedett golyók szürkék és fehérek lesznek.

A probléma megoldásához eseményeket kell kijelölni.

• Tehát, A - vegyünk egy szürke golyót az első dobozból: P(A) = 1/6.
• A '- az első dobozból is vettek egy fehér labdát: P (A ") \u003d 5/6.
• B - már a második dobozból kivettek egy szürke golyót: P(B) = 2/3.
• B' - szürke labdát vettek a második dobozból: P(B") = 1/3.

A probléma feltételének megfelelően szükséges, hogy az egyik jelenség bekövetkezzen: AB 'vagy A'B. A képlet segítségével a következőt kapjuk: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Most a valószínűség szorzásának képletét használták. Ezután, hogy megtudja a választ, alkalmaznia kell az összeadásuk egyenletét:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Tehát a képlet segítségével hasonló problémákat oldhat meg.

Eredmény

A cikk a "valószínűségelmélet" témában nyújtott tájékoztatást, amelyben az esemény valószínűsége döntő szerepet játszik. Természetesen nem mindent vettek figyelembe, de a bemutatott szöveg alapján elméletileg meg lehet ismerkedni a matematikának ezzel a részével. A szóban forgó tudomány nemcsak a szakmai munkában, hanem a mindennapi életben is hasznos lehet. Segítségével bármilyen esemény lehetőségét kiszámíthatja.

A szöveg kitért a valószínűségelmélet, mint tudomány kialakulásának történetének jelentős dátumaira, illetve azon személyek nevére is, akiknek munkája ebbe belefektetett. Az emberi kíváncsiság így vezetett oda, hogy az emberek megtanulták kiszámítani a véletlenszerű eseményeket is. Valaha csak érdeklődtek iránta, de ma már mindenki tud róla. És senki sem fogja megmondani, mi vár ránk a jövőben, milyen ragyogó felfedezések születnek még a vizsgált elmélettel kapcsolatban. De egy biztos: a kutatás nem áll meg!

A gazdaságban éppúgy, mint az emberi tevékenység más területein vagy a természetben, folyamatosan olyan eseményekkel kell szembenéznünk, amelyeket nem lehet pontosan előre jelezni. Így az áruk értékesítésének volumene függ a kereslettől, amely jelentősen változhat, és számos egyéb tényezőtől, amelyeket szinte lehetetlen figyelembe venni. Ezért a termelés és az értékesítés megszervezése során vagy saját korábbi tapasztalatok, vagy mások hasonló tapasztalatai, vagy intuíciója alapján kell előre jelezni az ilyen tevékenységek kimenetelét, amely szintén nagyrészt kísérleti adatokon alapul.

A szóban forgó esemény valamilyen értékeléséhez figyelembe kell venni vagy speciálisan meg kell szervezni azokat a feltételeket, amelyek között ezt az eseményt rögzítik.

A szóban forgó esemény azonosítására szolgáló bizonyos feltételek vagy intézkedések végrehajtását nevezzük tapasztalat vagy kísérlet.

Az esemény ún véletlen ha a kísérlet eredményeként előfordulhat vagy nem.

Az esemény ún hiteles, ha ennek a tapasztalatnak a hatására feltétlenül megjelenik, és lehetetlen ha ebben az élményben nem jelenhet meg.

Például a november 30-i havazás Moszkvában véletlenszerű esemény. A napi napkelte egy bizonyos eseménynek tekinthető. Az egyenlítői hóesés lehetetlen eseménynek tekinthető.

A valószínűségszámítás egyik fő problémája egy esemény bekövetkezésének lehetőségére vonatkozó mennyiségi mérőszám meghatározása.

Események algebra

Az eseményeket összeférhetetlennek nevezzük, ha nem figyelhetők meg együtt, ugyanabban az élményben. Így két és három autó egyidejű jelenléte egy eladó üzletben két összeférhetetlen esemény.

összeg események olyan esemény, amely ezen események legalább egyikének bekövetkezéséből áll

Az események összegének példája két termék legalább egyikének jelenléte az üzletben.

munka Az eseményeket olyan eseménynek nevezzük, amely mindezen események egyidejű bekövetkezéséből áll

Az az esemény, amely két áru egyidejű megjelenéséből áll az üzletben, események terméke: - egy termék megjelenése, - egy másik termék megjelenése.

Az események akkor alkotnak teljes eseménycsoportot, ha legalább az egyik szükségszerűen előfordul az élményben.

Példa. A kikötőben két kikötőhely van a hajók számára. Három eseményt lehet figyelembe venni: - hajók hiánya a kikötőhelyeken, - egy hajó jelenléte az egyik kikötőhelyen, - két hajó jelenléte két kikötőhelyen. Ez a három esemény egy teljes eseménycsoportot alkot.

Szemben két egyedi lehetséges eseményt nevezünk, amelyek egy teljes csoportot alkotnak.

Ha az egyik ellentétes eseményt jelöli, akkor az ellenkező eseményt általában jelöli.

Egy esemény valószínűségének klasszikus és statisztikai meghatározásai

Az egyformán lehetséges vizsgálati eredményeket (kísérleteket) elemi eredménynek nevezzük. Általában betűkkel jelölik őket. Például dobnak egy kockát. Hat elemi végeredmény lehet az oldalakon lévő pontok száma szerint.

Az elemi eredményekből összetettebb eseményt is összeállíthat. Tehát a páros számú pont eseményét három eredmény határozza meg: 2, 4, 6.

A vizsgált esemény bekövetkezésének lehetőségének mennyiségi mérőszáma a valószínűség.

Az esemény valószínűségének két definícióját használják a legszélesebb körben: klasszikusÉs statisztikai.

A valószínűség klasszikus meghatározása a kedvező kimenetel fogalmához kapcsolódik.

Exodusnak hívják kedvező ezt az eseményt, ha annak bekövetkezése ennek az eseménynek a bekövetkezését vonja maga után.

Az adott példában a vizsgált esemény páros számú pont a kiesett élen, három kedvező kimenetele van. Ebben az esetben az általános
a lehetséges kimenetelek száma. Tehát itt használhatja az esemény valószínűségének klasszikus definícióját.

Klasszikus meghatározás egyenlő a kedvező kimenetelek számának a lehetséges kimenetelek számához viszonyított arányával

ahol az esemény valószínűsége , az esemény kedvező kimeneteleinek száma, a lehetséges kimenetelek száma.

A vizsgált példában

A valószínűség statisztikai definíciója a kísérletekben egy esemény relatív előfordulási gyakoriságának fogalmához kapcsolódik.

Egy esemény előfordulásának relatív gyakoriságát a képlet számítja ki

ahol egy esemény előfordulásának száma egy kísérletsorozatban (tesztben).

Statisztikai definíció. Egy esemény valószínűsége az a szám, amelyhez képest a relatív gyakoriság stabilizálódik (megállapodik) a kísérletek számának korlátlan növekedésével.

Gyakorlati feladatokban a kellően nagy számú kísérlet relatív gyakoriságát veszik egy esemény valószínűségének.

Az esemény valószínűségének ezen definícióiból látható, hogy az egyenlőtlenség mindig fennáll

Egy esemény valószínűségének az (1.1) képlet alapján történő meghatározásához gyakran kombinatorikai képleteket használnak a kedvező kimenetelek számának és a lehetséges kimenetelek számának meghatározására.