Bevezetés

A valószínűségszámítás olyan matematikai tudomány, amely véletlenszerű jelenségek mintázatait tanulmányozza. Ma ez egy teljes értékű tudomány, amelynek nagy gyakorlati érték.

A valószínűségszámítás története idáig nyúlik vissza XVII század, amikor az első kísérletek történtek a tömeges véletlenszerű jelenségekkel kapcsolatos problémák szisztematikus vizsgálatára, és a megfelelő matematikai berendezés. Azóta számos alapot fejlesztettek ki, mélyítettek el a jelenlegi fogalmakhoz, más fontos törvényszerűségeket, törvényszerűségeket fedeztek fel. Sok tudós dolgozott és dolgozik a valószínűségszámítás problémáin.

Közülük nem lehet nem figyelni Simeon Denis Poisson ((1781–1840) - francia matematikus munkáira, aki a nagy számok törvényének általánosabb formáját bizonyította, mint Jacob Bernoullié, és szintén először. a valószínűség elméletét alkalmazta a lövési problémákra. Poisson nevéhez fűződik az eloszlás egyik törvénye, amely fontos szerepet játszik a valószínűségszámításban és alkalmazásaiban.

Egy adott véletlenszerű esemény előfordulásának száma időegységben, amikor az esemény bekövetkezésének ténye egy adott kísérletben nem függ attól, hogy hányszor és milyen időpontban történt a múltban, és nincs hatással a jövő. A teszteket ben végzik álló körülmények, majd egy ilyen valószínűségi változó eloszlásának leírására általában a Poisson-törvényt használják (ezt az eloszlást először ez a tudós javasolta és publikálta 1837-ben).

Ez a törvény a binomiális eloszlás határesetének is leírható, amikor a számunkra érdekes esemény bekövetkezésének p valószínűsége egyetlen kísérletben nagyon kicsi, de az egységnyi idő alatt elvégzett m kísérletek száma elég nagy. , mégpedig úgy, hogy a folyamat során p

0 és m az mp szorzat valamilyen pozitív állandóra (azaz mp ) hajlamos.

Ezért a Poisson-törvényt gyakran a ritka események törvényének is nevezik.

Poisson-eloszlás a valószínűségszámításban

Funkció- és elosztási sorozatok

A Poisson-eloszlás a binomiális eloszlás speciális esete (val n>> 0 és at p–> 0 (ritka események)).

A matematikából ismert egy képlet, amely lehetővé teszi a binomiális eloszlás bármely tagjának durván kiszámítását:

ahol a = n · p a Poisson-paraméter (matematikai elvárás), és a variancia egyenlő a matematikai elvárással. Mutassunk be matematikai számításokat, amelyek ezt az átmenetet magyarázzák. Binomiális eloszlás törvénye

Délután = C n m · délután· (egy - p)n – m

írható, ha feltesszük p = a/n, mint

Mivel p nagyon kicsi, csak a számokat kell figyelembe venni m, kicsi ahhoz képest n. Munka

nagyon közel áll az egységhez. Ugyanez vonatkozik a méretre is

nagyon közel e –a. Innen kapjuk a képletet:

Euler-szám (2,71...). ,

A generáló funkcióhoz

nekünk van:

A kumulatív eloszlási valószínűségi függvény az

A Poisson-eloszlású valószínűségi változó klasszikus példája az, hogy egy adott időszakban hány autó halad át az út bármely szakaszán. Megjegyezhet olyan példákat is, mint a csillagok száma az égbolt egy adott méretű szakaszán, a hibák száma egy adott hosszúságú szövegben, a telefonhívások száma egy call centerben vagy a találatok száma egy webszerver egy adott időszakban.

Egy X valószínűségi változó Poisson-törvény szerinti eloszlási sorozata így néz ki:

x m	0	1	2	…	m	…
Délután	e-a			…		…

ábrán Az 1. ábra egy valószínűségi változó eloszlásának sokszögeit mutatja x a Poisson-törvény szerint, a paraméter különböző értékeinek megfelelően de.

Először is győződjünk meg arról, hogy a valószínűségek sorozata lehet eloszlási sorozat, pl. hogy az összes valószínűség összege Rm egyenlő eggyel.

A függvény kiterjesztését használjuk e x a Maclaurin sorozatban:

Ismeretes, hogy ez a sorozat bármely érték esetén konvergál x, ezért figyelembe x=a, kapunk

Következésképpen

A Poisson-eloszlásra vonatkozó rendelkezés számszerű jellemzői

Egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárása az összes lehetséges értékének és valószínűségeinek szorzatának összege.

Definíció szerint, amikor egy diszkrét valószínűségi változó veszi át megszámlálható készletértékek:

Az összeg első tagja (megfelelő m=0 ) egyenlő nullával, ezért az összegzés innen indulhat m=1 :

Így a paraméter de nem más, mint egy valószínűségi változó matematikai elvárása x.

kivéve matematikai elvárás, a valószínűségi változó helyzetét módus és medián jellemzi.

Egy valószínűségi változó módusa a legvalószínűbb értéke.

Folyamatos mennyiség esetén a módust pontnak nevezzük helyi maximum valószínűségi sűrűségfüggvények. Ha a poligonnak vagy eloszlási görbének egy maximuma van (2. a ábra), akkor az eloszlást unimodálisnak, ha több maximum van, akkor multimodálisnak (különösen a két módusú eloszlást nevezzük bimodálisnak). Az olyan eloszlást, amelynek van minimuma, antimodálisnak nevezzük (2b. ábra).

x mod x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x

A valószínűségi változó legvalószínűbb értéke az a módus, amely diszkrét valószínűségi változó esetén a globális valószínűségi maximumot, vagy folytonos valószínűségi változó esetén az eloszlássűrűséget adja.

A medián az az x l érték, amely a valószínűségi sűrűséggráf alatti területet kettéosztja, azaz. a medián az egyenlet bármely gyöke. Lehet, hogy a matematikai elvárás nem létezik, de a medián mindig létezik, és lehet, hogy nem egyértelmű.

Valószínűségi változó mediánja

az = x med értékét úgy nevezzük, hogy P (< x med) = Р ( >x med) = .

A terjedés numerikus jellemzői

Az X valószínűségi változó diszperzióját a valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérése négyzetének matematikai elvárásának nevezzük.

Sok gyakorlati feladatban olyan valószínűségi változókkal kell foglalkozni, amelyek egy sajátos törvény szerint vannak elosztva, amit Poisson-törvénynek neveznek.

Tekintsünk egy nem folytonos valószínűségi változót, amely csak egész, nem negatív értékeket vehet fel:

és ezeknek az értékeknek a sorrendje elméletileg korlátlan.

Egy valószínűségi változóról azt mondjuk, hogy a Poisson-törvény szerint eloszlik, ha annak valószínűsége van bizonyos értéket, képlettel fejezzük ki

ahol a valamilyen pozitív érték, amelyet Poisson-törvény paraméternek neveznek.

Egy valószínűségi változó Poisson-törvénye szerint eloszlási sorozata a következőképpen alakul:

Mindenekelőtt győződjünk meg arról, hogy az (5.9.1) képlettel megadott valószínűségek sorozata lehet eloszlássorozat, pl. hogy az összes valószínűség összege egyenlő eggyel. Nekünk van:

.

ábrán Az 5.9.1 a Poisson-törvény szerint elosztott valószínűségi változó eloszlási sokszögeit mutatja, amelyek megfelelnek a paraméter különböző értékeinek. A függelék 8. táblázata felsorolja a különböző értékeket.

Határozzuk meg a Poisson-törvény szerinti eloszlású valószínűségi változó főbb jellemzőit - matematikai elvárást és varianciát! A matematikai elvárás definíciója szerint

.

Az összeg első tagja (amelynek megfelelő) nulla, ezért az összegzés innen indulhat:

Jelöljük ; azután

. (5.9.2)

Így a paraméter nem más, mint egy valószínűségi változó matematikai elvárása.

A diszperzió meghatározásához először keressük meg a mennyiség második kezdeti momentumát:

A korábban bevált

Kívül,

Így a Poisson-törvény szerinti eloszlású valószínűségi változó diszperziója megegyezik a matematikai várakozásával.

A Poisson-eloszlás ezen tulajdonságát a gyakorlatban gyakran használják annak eldöntésére, hogy elfogadható-e az a hipotézis, hogy egy valószínűségi változó a Poisson-törvény szerint eloszlik. Ehhez tapasztalatból határozza meg egy valószínűségi változó statisztikai jellemzőit - matematikai elvárását és szórását. Ha értékeik közel vannak, akkor ez érvként szolgálhat a Poisson-eloszlás hipotézise mellett; e jellemzők éles különbsége éppen ellenkezőleg, a hipotézis ellen tanúskodik.

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy Poisson-törvény szerint eloszlású valószínűségi változónál egy adott értéknél nem kisebb értéket vesz fel. Jelöljük ezt a valószínűséget:

Nyilvánvaló, hogy a valószínűség összegként is kiszámítható

Azonban sokkal könnyebb meghatározni az ellenkező esemény valószínűségéből:

(5.9.4)

Különösen annak valószínűségét fejezi ki a képlet, hogy az érték pozitív értéket vesz fel

(5.9.5)

Már említettük, hogy sok gyakorlati feladat vezet Poisson-eloszláshoz. Tekintsük az egyik tipikus ilyen jellegű problémát.

Legyenek a pontok véletlenszerűen elosztva az Ox x tengelyen (5.9.2. ábra). Tegyük fel, hogy véletlenszerű eloszlás pont megfelel a következő feltételeknek:

1. Annak a valószínűsége, hogy egy szakaszon adott számú pontot találunk, csak a szakasz hosszától függ, de nem függ az x tengelyen elfoglalt helyzetétől. Más szóval, a pontok azonos átlagos sűrűséggel oszlanak el az x tengelyen. Jelöljük ezt a sűrűséget (azaz az egységnyi hosszra eső pontok számának matematikai elvárását) így.

2. A pontok egymástól függetlenül oszlanak el az x tengelyen, azaz. annak a valószínűsége, hogy egy adott szegmensre egy vagy több pont esik, nem függ attól, hogy hány pont esik valamelyik másik szegmensre, amely nem esik át vele.

3. Egy kis, két vagy több pontból álló terület eltalálásának valószínűsége elhanyagolható az egy pont eltalálásának valószínűségéhez képest (ez a feltétel két vagy több pont egybeesésének gyakorlati lehetetlenségét jelenti).

Válasszunk ki egy bizonyos hosszúságú szakaszt az abszcissza tengelyen, és vegyünk egy diszkrét valószínűségi változót - az erre a szakaszra eső pontok számát. A mennyiség lehetséges értékei a következők lesznek

Mivel a pontok egymástól függetlenül esnek a szegmensre, elméletileg elképzelhető, hogy tetszőlegesen sok lesz belőlük, pl. sorozat (5.9.6) a végtelenségig folytatódik.

Bizonyítsuk be, hogy a valószínűségi változó rendelkezik a Poisson-eloszlás törvényével. Ehhez kiszámítjuk annak valószínűségét, hogy pontosan pontok esnek a szakaszra.

Először oldjunk meg egy egyszerűbb problémát. Tekintsünk egy kis szakaszt az ökör tengelyén, és számítsuk ki annak valószínűségét, hogy legalább egy pont erre a szakaszra esik. A következőképpen fogunk vitatkozni. Az erre a szakaszra eső pontok számának matematikai elvárása nyilvánvalóan egyenlő (mert egységnyi hosszra átlagosan pont van). A 3. feltétel szerint egy kis szakasznál elhanyagolható annak lehetősége, hogy két vagy több pont ráessen. Ezért az oldalra eső pontok számának matematikai elvárása megközelítőleg egyenlő lesz egy pont ráesésének valószínűségével (vagy, ami a mi feltételeinkben ekvivalens, legalább egy).

Így akár végtelenül kicsi magasabb rendű, amikor figyelembe vesszük annak valószínűségét, hogy egy (legalább egy) pont essen egyenlőnek a helyre, és annak a valószínűsége, hogy egyik sem esik egyenlő -val.

Számítsuk ki ezzel annak valószínűségét, hogy pontosan eltaláljuk a szakaszon a pontokat. Osszuk fel a szakaszt egyenlő hosszúságú részekre. Állapodjunk meg abban, hogy egy elemi szakaszt "üresnek" nevezünk, ha egyetlen pontot sem tartalmaz, és "foglaltnak", ha legalább egy beleesett. A fentiek szerint annak a valószínűsége, hogy a szegmens „foglalt lesz”, megközelítőleg egyenlő; annak a valószínűsége, hogy "üres" lesz. Mivel a 2. feltétel szerint a nem átfedő szegmensekben a pontok találatai függetlenek, így n szegmensünk független „kísérletnek” tekinthető, amelyek mindegyikében a szegmens valószínűséggel „foglalható”. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a szegmensek között pontosan "foglalt" lesz. Az ismétlési tétel szerint ez a valószínűség egyenlő

vagy, jelölve

(5.9.7)

Megfelelően nagy érték esetén ez a valószínűség megközelítőleg megegyezik a szegmens pontjainak eltalálásának valószínűségével, mivel a szegmens két vagy több pontjának eltalálásának valószínűsége elhanyagolható. Ahhoz, hogy megtaláljuk a pontos értékét, az (5.9.7) kifejezésben a határértékre kell lépni:

(5.9.8)

Alakítsuk át a határjel alatti kifejezést:

(5.9.9)

Az (5.9.9) kifejezésben az első tört és az utolsó tört nevezője nyilvánvalóan egységbe hajlik. A kifejezés nem attól függ. Az utolsó tört számlálója a következőképpen konvertálható:

(5.9.10)

Mikor és kifejezés (5.9.10) hajlamos . Így bebizonyosodott, hogy annak valószínűségét, hogy pont egy szegmensbe esnek, a képlet fejezi ki

hol , azaz az X mennyiséget a Poisson-törvény szerint osztjuk el a paraméterrel.

Vegye figyelembe, hogy az érték jelentése a szegmensenkénti pontok átlagos száma.

Az érték (annak valószínűsége, hogy X értéke pozitív értéket vesz fel) ebben az esetben azt a valószínűséget fejezi ki, hogy legalább egy pont a szakaszra esik:

Láttuk tehát, hogy a Poisson-eloszlás akkor fordul elő, ha egyes pontok (vagy más elemek) egymástól függetlenül véletlenszerű pozíciót foglalnak el, és ezeknek a pontoknak a számát, amelyek valamelyik területre esnek, megszámoljuk. Esetünkben egy ilyen "terület" egy szakasz volt az x tengelyen. Következtetésünk azonban könnyen kiterjeszthető a pontok síkbeli (véletlen sík pontmező) és térbeli (véletlenszerű térbeli pontmezeje) eloszlásának esetére. Könnyű bizonyítani, ha a következő feltételek teljesülnek:

1) a pontok statisztikailag egyenletesen oszlanak el az átlagos sűrűségű mezőben;

2) a pontok egymástól függetlenül nem átfedő régiókba esnek;

3) a pontok egyenként jelennek meg, nem pedig párban, hármasban stb., akkor a tetszőleges területre (lapos vagy térbeli) eső pontok száma a Poisson-törvény szerint oszlik meg:

ahol a területre eső pontok átlagos száma .

A lapos tokhoz

hol van a régió területe; térbelire

hol van a régió térfogata.

Vegyük észre, hogy a szegmensbe vagy régióba eső pontok számának Poisson-eloszlásához az állandó sűrűség () feltétele nem lényeges. Ha a másik két feltétel teljesül, akkor is érvényesül a Poisson-törvény, csak a benne szereplő a paraméter kap más kifejezést: nem egyszerűen a sűrűséget a tartomány hosszával, területével vagy térfogatával megszorozva kapjuk, hanem integrálva a változó sűrűség egy szakaszon, területen vagy térfogaton. (Erről bővebben lásd: 19.4)

Egy egyenesen, síkon vagy térfogaton szétszórt véletlenszerű pontok jelenléte nem az egyetlen feltétele a Poisson-eloszlásnak. Bebizonyíthatjuk például, hogy a Poisson-törvény korlátozza a binomiális eloszlást:

, (5.9.12)

ha egyszerre irányítjuk a kísérletek számát a végtelenbe, a valószínűséget pedig nullára, és a szorzatuk állandó marad:

Valójában a binomiális eloszlás ezen korlátozó tulajdonsága így írható fel:

. (5.9.14)

De az (5.9.13) feltételből az következik

Az (5.9.15)-et (5.9.14) behelyettesítve megkapjuk az egyenlőséget

, (5.9.16)

amit most egy másik alkalommal mi is bebizonyítottunk.

A binomiális törvénynek ezt a korlátozó tulajdonságát gyakran használják a gyakorlatban. Tegyük fel, hogy gyártják nagyszámú független kísérletek, amelyek mindegyikében az eseménynek nagyon kicsi a valószínűsége. Ezután a közelítő képlet segítségével számíthatja ki annak valószínűségét, hogy egy esemény pontosan egyszer megtörténik:

, (5.9.17)

hol van annak a Poisson-törvénynek a paramétere, amely megközelítőleg helyettesíti a binomiális eloszlást.

A Poisson-törvény e tulajdonságából - hogy a binomiális eloszlást nagyszámú kísérlettel és egy esemény kis valószínűségével fejezzük ki - származik a statisztikai tankönyvekben gyakran használt neve: a ritka jelenségek törvénye.

Nézzünk meg néhány példát a Poisson-eloszlással kapcsolatban a gyakorlat különböző területeiről.

1. példa: Egy automatikus telefonközpont átlagosan óránkénti hívássűrűséggel fogad hívásokat. Feltételezve, hogy a hívások száma tetszőleges időtartamban a Poisson-törvény szerint oszlik el, határozza meg annak valószínűségét, hogy két percen belül pontosan három hívás érkezik az állomásra.

Megoldás. A két percenkénti hívások átlagos száma:

négyzetméter A cél eléréséhez legalább egy töredék elegendő. Határozza meg a cél eltalálásának valószínűségét a folytonossági pont adott pozíciójában.

Megoldás. . Az (5.9.4) képlet segítségével meghatározzuk annak valószínűségét, hogy legalább egy töredéket eltalálunk:

(Az érték kiszámításához exponenciális függvény használja a mellékletben található 2. táblázatot).

7. példa A patogén mikrobák átlagos sűrűsége egy köbméter levegő 100. 2 köbmétert veszünk mintához. dm levegő. Határozza meg annak valószínűségét, hogy legalább egy mikrobát találnak benne.

Megoldás. Elfogadva a térfogatban lévő mikrobák számának Poisson-eloszlásának hipotézisét, azt találjuk:

8. példa: 50 független lövést adnak le valamilyen célpontra. Annak a valószínűsége, hogy egy lövéssel eltaláljuk a célt, 0,04. Kihasználva korlátozó tulajdonság binomiális eloszlás ((5.9.17) képlet), határozza meg közelítőleg annak valószínűségét, hogy a célpont eltalál: nincs lövedék, egy lövedék, két lövedék.

Megoldás. Nekünk van . Az alkalmazás 8. táblázata szerint megtaláljuk a valószínűségeket.

Sok gyakorlatilag fontos alkalmazásban a Poisson-eloszlás fontos szerepet játszik. A numerikus diszkrét mennyiségek közül sok a Poisson-folyamat megvalósítása, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

• Arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy véletlenszerű kísérlet lehetséges kimeneteleinek adott tartományában hányszor fordul elő egy esemény. A lehetséges kimenetelek területe lehet egy időintervallum, egy szegmens, egy felület stb.
• Egy adott esemény valószínűsége a lehetséges kimenetelek minden területén azonos.
• A lehetséges kimenetelek egy területén előforduló események száma nem függ a más területeken előforduló események számától.
• Annak a valószínűsége, hogy egy adott esemény egynél többször fordul elő a lehetséges kimenetelek azonos tartományában, a lehetséges kimenetelek tartományának csökkenésével nullára csökken.

A Poisson-folyamat értelmének mélyebb megértéséhez tegyük fel, hogy megvizsgáljuk, hány ügyfél keres fel egy központi üzleti negyedben található bankfiókot ebéd közben, i.e. 12-13 óra között. Tegyük fel, hogy meg akarja határozni a percenként érkező ügyfelek számát. Ez a helyzet rendelkezik a fent felsorolt ​​jellemzőkkel? Először is, a minket érdeklő esemény az ügyfél érkezése, a lehetséges kimenetelek köre pedig egy perces intervallum. Hány ügyfél érkezik egy perc alatt a bankba – egy, egy, kettő vagy több? Másodszor, ésszerű feltételezni, hogy annak a valószínűsége, hogy egy ügyfél egy percen belül megérkezik, minden egyperces intervallumban azonos. Harmadszor, egy ügyfél bármely egyperces intervallum alatti megérkezése független bármely másik ügyfél bármely más egyperces intervallum alatti érkezésétől. És végül, annak a valószínűsége, hogy egynél több ügyfél érkezzen a bankhoz, nullára csökken, ha például az időintervallum nullára hajlik, 0,1 másodpercnél kisebb lesz. Tehát a Poisson-eloszlás írja le, hogy hány ügyfél érkezik ebéd közben egy percen belül a bankba.

A Poisson-eloszlásnak van egy paramétere, amelyet a λ szimbólum (görög "lambda" betű) jelöl – ez a sikeres kísérletek átlagos száma a lehetséges kimenetelek adott tartományában. A Poisson-eloszlás varianciája is λ, szórása pedig . Sikeres kísérletek száma x A Poisson valószínűségi változó 0-tól a végtelenig változik. A Poisson-eloszlást a következő képlet írja le:

ahol P(X)- valószínűség x sikeres kísérletek esetén λ a sikerek várható száma, e- a természetes logaritmus alapja 2,71828, x- a sikerek száma időegységre vetítve.

Térjünk vissza példánkhoz. Tegyük fel, hogy az ebédszünetben percenként átlagosan három ügyfél érkezik a bankba. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy adott percben két ügyfél érkezik a bankba? Mennyi annak a valószínűsége, hogy kettőnél több ügyfél érkezik a bankhoz?

Alkalmazzuk az (1) képletet λ = 3 paraméterrel. Ekkor annak a valószínűsége, hogy egy adott perc alatt két ügyfél érkezik a bankba, egyenlő

Annak a valószínűsége, hogy kettőnél több ügyfél érkezik a bankhoz, P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = ∞) . Mivel az összes valószínűség összegének 1-gyel kell egyenlőnek lennie, a képlet jobb oldalán lévő sorozat tagjai az X ≤ 2 eseményhez való összeadás valószínűségét jelentik. Más szavakkal, ennek a sorozatnak az összege 1 - P (X ≤ 2). Így P(X>2) = 1 - P(X≤2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Most az (1) képlet segítségével kapjuk:

Így annak a valószínűsége, hogy egy percen belül legfeljebb kettő ügyfél érkezik a bankhoz, 0,423 (vagyis 42,3%), annak pedig, hogy egy percen belül kettőnél több ügyfél érkezik a bankhoz, 0,577 (vagyis 57,7%).

Az ilyen számítások fárasztónak tűnhetnek, különösen, ha a λ paraméter elég nagy. Elkerülni összetett számítások, sok Poisson-valószínűség megtalálható speciális táblázatokban (1. ábra). Például annak a valószínűsége, hogy egy adott percben két ügyfél érkezik a bankba, ha percenként átlagosan három ügyfél érkezik a bankba, a vonal metszéspontjában van x= 2 és az oszlop λ = 3. Így egyenlő 0,2240 vagy 22,4%.

Rizs. 1. Poisson-valószínűség λ = 3 esetén

Nem valószínű, hogy bárki is táblákat fog használni, ha az Excel kéznél van a =POISSON.DIST() függvényével (2. ábra). Ennek a függvénynek három paramétere van: a sikeres próbálkozások száma x, a sikeres kísérletek átlagos várható száma λ, paraméter Integrál, amely két értéket vesz fel: HAMIS - ebben az esetben a sikeres kísérletek számának valószínűsége kerül kiszámításra x(csak X), IGAZ - ebben az esetben a sikeres kísérletek számának valószínűsége 0-tól X.

Rizs. 2. A Poisson-eloszlás valószínűségeinek kiszámítása λ = 3 esetén

A binomiális eloszlás közelítése Poisson-eloszlás segítségével

Ha szám n nagy, és a szám R- kicsi, a binomiális eloszlás a Poisson-eloszlás segítségével közelíthető. Hogyan több szám nÉs kevesebb szám R, annál nagyobb a közelítés pontossága. A következő Poisson-modellt használjuk a binomiális eloszlás közelítésére.

ahol P(X)- valószínűség x siker a megadott paraméterekkel nÉs R, n- minta nagysága, R- a siker valódi valószínűsége, e a természetes logaritmus alapja, x- a sikerek száma a mintában (X = 0, 1, 2, …, n).

Elméletileg egy Poisson-eloszlású valószínűségi változó 0 és ∞ közötti értékeket vesz fel. Azonban azokban a helyzetekben, amikor a Poisson-eloszlást használják a binomiális eloszlás közelítésére, a Poisson-féle valószínűségi változó a sikerek száma n megfigyelések - nem haladhatja meg a számot n. A (2) képletből az következik, hogy a szám növekedésével nés a szám csökkenése R a nagyszámú siker megtalálásának valószínűsége csökken, és nullára hajlik.

Mint fentebb említettük, a Poisson-eloszlás µ matematikai elvárása és σ 2 variancia egyenlő λ-val. Ezért a binomiális eloszlás Poisson-eloszlással történő közelítésekor a (3) képletet kell használni a matematikai elvárás közelítésére.

(3) µ = Е(Х) = λ =np

A (4) képlet a szórás közelítésére szolgál.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a (4) képlettel számított szórás hajlamos szórás a binomiális modellben, amikor a siker valószínűsége p nullára hajlik, és ennek megfelelően a meghibásodás valószínűsége 1 - p egységre törekszik.

Tételezzük fel, hogy egy adott üzemben gyártott gumiabroncsok 8%-a hibás. A Poisson-eloszlás használatának szemléltetésére a binomiális eloszlás közelítésére kiszámítjuk, hogy egy 20 gumiabroncsból álló mintában mekkora valószínűséggel találunk egy hibás gumiabroncsot. Alkalmazzuk a (2) képletet, megkapjuk

Ha a valódi binomiális eloszlást számítanánk ki, nem pedig a közelítését, akkor a következő eredményt kapnánk:

Ezek a számítások azonban meglehetősen fárasztóak. Ugyanakkor, ha az Excelt használja a valószínűségek kiszámításához, akkor a Poisson-eloszlás közelítése feleslegessé válik. ábrán A 3. ábra azt mutatja, hogy az Excelben végzett számítások összetettsége megegyezik. Ez a szakasz azonban véleményem szerint hasznos annak megértéséhez, hogy bizonyos feltételek mellett a binomiális eloszlás és a Poisson-eloszlás közeli eredményeket ad.

Rizs. 3. A számítások összetettségének összehasonlítása Excelben: (a) Poisson-eloszlás; (b) binomiális eloszlás

Tehát ebben és két korábbi jegyzetben három diszkrét numerikus eloszlást vettünk figyelembe: , és Poisson. Hogy jobban megértsük, hogyan kapcsolódnak ezek az eloszlások egymáshoz, bemutatunk egy kis kérdésfát (4. ábra).

Rizs. 4. Osztályozás diszkrét eloszlások valószínűségek

A Levin és munkatársai: Statisztikák menedzsereknek című könyvéből származó anyagokat használjuk. - M.: Williams, 2004. - p. 320–328

Tekintsük a Poisson-eloszlást, számítsuk ki annak matematikai elvárásait, varianciáját, módusát. Az MS EXCEL POISSON.DIST() függvény segítségével ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt és a valószínűségi sűrűséggráfokat. Becsüljük meg az eloszlási paramétert, annak matematikai elvárását és szórását.

Először egy száraz formális definíciót adunk az eloszlásra, majd példákat adunk olyan helyzetekre, ahol Poisson-eloszlás(Angol) Poissonterjesztés) megfelelő modell egy valószínűségi változó leírására.

Ha véletlenszerű események következnek be egy adott időtartamban (vagy egy bizonyos térfogatú anyagban) átlagos gyakorisággal λ( lambda), majd az események számát x, ebben az időszakban történt Poisson-eloszlás.

A Poisson-eloszlás alkalmazása

Példák mikor Poisson-eloszlás megfelelő modell:

• a telefonközpont által egy bizonyos ideig fogadott hívások száma;
• azon részecskék száma, amelyek egy adott időtartam alatt radioaktív bomláson estek át;
• egy meghatározott hosszúságú szövetdarab hibáinak száma.

Poisson-eloszlás megfelelő modell, ha a következő feltételek teljesülnek:

• az események egymástól függetlenül történnek, azaz. egy későbbi esemény valószínűsége nem függ az előzőtől;
• az események átlagos gyakorisága állandó. Következésképpen egy esemény valószínűsége arányos a megfigyelési intervallum hosszával;
• két esemény nem történhet meg egyszerre;
• az események számának 0-nak kell lennie; egy; 2…

jegyzet: Jó támpont arra, hogy a megfigyelt valószínűségi változó rendelkezik Poisson eloszlás, az a tény, hogy megközelítőleg egyenlő (lásd alább).

Az alábbiakban példák azokra a helyzetekre, amikor Poisson-eloszlás nem tud alkalmazni kell:

• az egyetemet egy órán belül elhagyó hallgatók száma (mivel az átlagos hallgatói áramlás nem állandó: kevés a hallgató az órákon, és az órák között meredeken növekszik a hallgatók száma);
• az évi 5 pontos amplitúdójú földrengések száma Kaliforniában (mivel egy földrengés ismétlődő, hasonló amplitúdójú sokkot okozhat - az események nem függetlenek);
• az intenzív osztályon eltöltött napok száma (mivel az intenzív osztályon eltöltött napok száma mindig nagyobb, mint 0).

jegyzet: Poisson-eloszlás a pontosabb diszkrét eloszlások közelítése: és .

jegyzet: A kapcsolatról Poisson-eloszlásÉs Binomiális eloszlás a cikkben olvasható. A kapcsolatról Poisson-eloszlásÉs Exponenciális eloszlás című cikkben található.

Poisson-eloszlás az MS EXCEL-ben

Az MS EXCEL-ben, a 2010-es verziótól kezdődően, for Elosztások Poisson van egy POISSON.DIST() függvény, angol neve POISSON.DIST(), amely lehetővé teszi, hogy ne csak annak a valószínűségét számolja ki, hogy egy adott időn belül megtörténik. x események (függvény valószínűségi sűrűség p(x), lásd a fenti képletet), hanem azt is (Annak a valószínűsége, hogy adott időn belül legalább x események).

Az MS EXCEL 2010 előtt az EXCEL-ben volt a POISSON() függvény, amely lehetővé teszi a számításokat is. elosztási függvényÉs valószínűségi sűrűség p(x). A POISSON() a kompatibilitás érdekében megmaradt az MS EXCEL 2010-ben.

A példafájl grafikonokat tartalmaz valószínűségi eloszlási sűrűségÉs integrál eloszlási függvény.

Poisson-eloszlás ferde alakú (hosszú farok a valószínűségi függvény jobb oldalán), de a λ paraméter növekedésével egyre szimmetrikusabbá válik.

jegyzet: Az átlagosÉs diszperzió(négyzet) egyenlők a paraméterrel Poisson-eloszlás– λ (lásd példa fájllap Példa).

Egy feladat

Tipikus alkalmazás Poisson-eloszlások a minőség-ellenőrzésben az eszközben vagy eszközben előforduló hibák számának modellje.

Például, ha egy λ (lambda) chipben a hibák átlagos száma 4, akkor annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott chipnek 2 vagy kevesebb hibája lesz, egyenlő: = POISSON.DIST(2;4;TRUE)=0,2381

A függvény harmadik paramétere = TRUE, tehát a függvény visszatér integrál eloszlási függvény, vagyis annak a valószínűsége, hogy a szám véletlenszerű események 0 és 4 közötti tartományba esik.

A számításokat ebben az esetben a következő képlet szerint végezzük:

Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott chip pontosan 2 hibás lesz: POISSON.DIST(2;4;HAMIS)=0,1465

A függvény harmadik paramétere = FALSE, tehát a függvény a valószínűségi sűrűséget adja vissza.

Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott chipnek több mint 2 hibája lesz, egyenlő: \u003d 1-POISSON.DIST (2, 4, IGAZ) \u003d 0,8535

jegyzet: Ha x nem egész szám, akkor a képlet kiszámításakor. Képletek =POISSON.DIST( 2 ; 4; HAMIS)És =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; HAMIS) ugyanazt az eredményt adja vissza.

Véletlenszám generálás és λ becslés

λ értékekhez >15 , Poisson-eloszlás jól közelítve normális eloszlás a következő paraméterekkel: μ =λ , σ 2 =λ .

Ezen eloszlások közötti kapcsolatról a cikkben olvashat bővebben. Közelítési példák is szerepelnek ott, és elmagyarázzák a feltételeket, mikor lehetséges és milyen pontossággal.

TANÁCS: Az MS EXCEL egyéb disztribúcióiról a cikkben olvashat.

9. Poisson és Gauss eloszlási törvény

Poisson törvénye. Egy másik elnevezése a ritka események ra-meghatározásának törvénye. A Poisson-törvényt (P.P.) olyan esetekben alkalmazzák, ahol valószínűtlen, ezért a P/C/R alkalmazása nem megfelelő.

A törvény előnyei a következők: a számítás kényelme, a valószínűség kiszámításának képessége egy adott időszakban, az idő helyettesítésének lehetősége egy másikkal folyamatos érték például lineáris méretek.

A Poisson-törvénynek a következő formája van:

és így szól: az A esemény m-szeres előfordulásának valószínűségét n független próbában egy (59) alakú képlettel fejezzük ki, ahol a = pr p(A) átlagértéke, a az egyetlen paraméter a Poisson-törvényben.

Törvény normális eloszlás(Gauss törvénye). A gyakorlat folyamatosan igazolja, hogy a hibaeloszlás törvényei kellő közelítéssel engedelmeskednek a Gauss-törvénynek, amikor sokféle paramétert mérnek: a lineáris és szögméretektől az acél fő mechanikai tulajdonságainak jellemzőiig.

A normális eloszlási törvény valószínűségi sűrűsége (a továbbiakban N. R.) alakja

ahol x 0 egy valószínűségi változó átlagos értéke;

? ugyanazon valószínűségi változó szórása;

e \u003d 2,1783 ... - a természetes logaritmus alapja;

W egy olyan paraméter, amely kielégíti a feltételt.

A normális eloszlási törvény széles körű használatának okát elméletileg Ljapunov tétele határozza meg.

Ismert X 0 és? az f(x) függvény görbéjének ordinátái a képlettel számíthatók ki

ahol t egy normalizált változó,

(t) z valószínűségi sűrűség. Ha behelyettesítjük z-t és (t)-t a képletbe, akkor a következő:

Görbe Z.N.R. gyakran Gauss-görbének nevezik, ez a törvény nagyon sok természeti jelenséget ír le.

A kreativitás mint egzakt tudomány [A feltaláló problémamegoldás elmélete] című könyvből szerző Altshuller Heinrich Saulovich

6. A szuperrendszerre való átmenet törvénye A fejlődés lehetőségeinek kimerítése után a rendszer részeként bekerül a szuperrendszerbe; ahol további fejlődés szuperrendszer szinten zajlik. Erről a törvényről már beszéltünk. Térjünk át a dinamikára. Olyan törvényeket tartalmaz, amelyek

Az Interface: New Directions in Computer System Design című könyvből szerző Ruskin Jeff

A Hangszerelés című könyvből szerző Babaev M A

4.4.1. Fitts törvénye Képzeljük el, hogy a kurzort a képernyőn látható gombra mozgatjuk. A gomb a célpontja ennek a lépésnek. A kurzor kezdőpontját és a célobjektum legközelebbi pontját összekötő egyenes hosszát a Fitts-törvény távolságként határozza meg. A

A Hőtechnika című könyvből szerző Burkhanova Natalia

4.4.2. Hick törvénye Mielőtt a kurzort egy célpontra mozgatná, vagy bármilyen más műveletet végrehajtana a lehetőségek közül, a felhasználónak ki kell választania az objektumot vagy műveletet. Hick törvénye kimondja, hogy ha n lehetőség közül választhatunk, akkor ideje választani

A Számítógépes nyelvészet mindenkinek: Mítoszok című könyvből. Algoritmusok. Nyelv szerző Anisimov Anatolij Vasziljevics

6. Eloszlási statisztikák Véletlen változók A valószínűségi változók főbb jellemzői.1. Helyzetmértékek. Ezeket nevezzük (szempontnak) pontoknak, amelyek körül a mennyiségek jellemzői ingadoznak. Egy xi valószínűségi változó tapasztalati értékeinek szorzatának összege

A Phenomenon of Science [Cybernetic Approach to Evolution] című könyvből szerző Turchin Valentin Fedorovich

10. Binomiális és polinomiális eloszlási törvények. Valószínűtlen eloszlás. Excentricitás eloszlás törvénye 1. Binomiális eloszlás törvénye. Ezt a törvényt matematikailag a (q + p)2 binomiális kiterjesztési képlete fejezi ki a következő formában, ahol n! - olvas

A Nanotechnológia [Tudomány, innováció és lehetőség] című könyvből írta: Foster Lynn

11. Egyéb forgalmazási törvények A műszaki iparban, beleértve a műszergyártást is, a fent tárgyaltakon kívül néhány más típusú forgalmazási törvény is használatos. Ebben az esetben a valószínűségi változók eloszlása ​​már a legkülönbözőbb paramétereik szerint történik.

Az elektrotechnika története című könyvből szerző Szerzők csapata

22. Boyle-Mariotte törvény Az egyik ideális gáztörvény a Boyle-Mariotte törvény, amely kimondja: a P nyomás és a V térfogat szorzata állandó gáztömeg és hőmérséklet mellett állandó. Ezt az egyenlőséget izoterma egyenletnek nevezzük. Az izoterma jelenik meg

Kiemelkedő felfedezések és találmányok története (villamosmérnöki, villamosenergia-ipar, rádióelektronika) című könyvből szerző Shneiberg Jan Abramovics

23. Gay-Lussac-törvény A Gay-Lussac-törvény azt mondja: a gáz térfogatának és hőmérsékletének állandó gáznyomáson és tömegének aránya állandó V / T = m / MO R / P = const at P = állandó, m = konst. az izobár egyenlet neve. Az izobárt a PV diagramon egyenes vonal ábrázolja,

A szerző könyvéből

24. Károly törvénye A Károly-törvény kimondja, hogy a gáz nyomásának és hőmérsékletének aránya állandó, ha a gáz térfogata és tömege változatlan: P / T = m / MО R / V =>const at V = const, m = állandó. Az izokor a PV diagramon egyenes vonalként van ábrázolva, párhuzamos tengely P, a

A szerző könyvéből

30. Az energia megmaradásának és átalakulásának törvénye A termodinamika első törvénye az energia megmaradásának és átalakulásának univerzális törvényén alapul, amely megállapítja, hogy az energia nem keletkezik és nem is tűnik el A termodinamikai folyamatban résztvevő testek kölcsönhatásba lépnek egymással.

A szerző könyvéből

A BÉKA HERCEGNŐ ÉS A STABILITÁS TÖRVÉNYE Ahogy azt már korábban hangsúlyoztuk (az absztrakció törvénye), a primitív gondolkodás képes volt konkrét jelenségek elemzésére és új absztrakt rendszerek szintetizálására. Mivel minden tudat által megkonstruált tárgyat élőnek és élőnek fogtak fel

A szerző könyvéből

1.1. Az evolúció alaptörvénye Az élet evolúciós folyamatában, amennyire tudjuk, mindig is volt és van most is az élőanyag össztömegének növekedése és szerveződésének bonyolítása. A biológiai képződmények szerveződését megnehezítve a természet a kísérletek módszere szerint jár el és

A szerző könyvéből

4.2. Moore-törvény A Moore-törvény legegyszerűbb formájában azt az állítást jelenti, hogy a tranzisztor áramköri sűrűsége 18 havonta megduplázódik. A törvény szerzőségét az ismert Intel cég egyik alapítójának, Gordon Moore-nak tulajdonítják. Szigorúan véve, be