Ha követjük a definíciót, akkor egy függvény deriváltja egy pontban a Δ függvény növekményarányának határa. y a Δ argumentum növekményére x:

Úgy tűnik, minden világos. De próbáld meg ezzel a képlettel kiszámítani, mondjuk a függvény deriváltját f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x bűn x. Ha mindent definíció szerint csinálsz, akkor néhány oldalas számítás után egyszerűen elalszol. Ezért vannak egyszerűbb és hatékonyabb módszerek.

Először is megjegyezzük, hogy az úgynevezett elemi függvények megkülönböztethetők a függvények sokféleségétől. Viszonylag egyszerű kifejezésekről van szó, amelyek származékait már régóta kiszámítják és beírják a táblázatba. Az ilyen függvényeket a származékaikkal együtt elég könnyű megjegyezni.

Elemi függvények származékai

Az elemi funkciók az alábbiakban felsoroltak. Ezeknek a függvényeknek a származékait fejből kell tudni. Sőt, nem nehéz megjegyezni őket – ezért elemiek.

Tehát az elemi függvények származékai:

Név	Funkció	Derivált
Állandó	f(x) = C, C ∈ R	0 (igen, igen, nulla!)
Fokozat racionális kitevővel	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = bűn x	kötözősaláta x
Koszinusz	f(x) = cos x	− bűn x(mínusz szinusz)
Tangens	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/sin2 x
természetes logaritmus	f(x) = napló x	1/x
Önkényes logaritmus	f(x) = napló a x	1/(x ln a)
Exponenciális függvény	f(x) = e x	e x(nem változott semmi)

Ha egy elemi függvényt megszorozunk egy tetszőleges állandóval, akkor az új függvény deriváltja is könnyen kiszámítható:

(C · f)’ = C · f ’.

Általában a konstansok kivehetők a derivált előjeléből. Például:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Nyilvánvalóan az elemi függvények összeadhatók, szorozhatók, oszthatók és még sok más. Így jelennek meg új, már nem túl elemi, de bizonyos szabályok szerint differenciálható függvények. Ezeket a szabályokat az alábbiakban tárgyaljuk.

Az összeg és a különbözet ​​származéka

Hagyjuk a függvényeket f(x) És g(x), amelynek származékait ismerjük. Vegyük például a fentebb tárgyalt elemi függvényeket. Ezután megtalálhatja ezen függvények összegének és különbségének deriváltját:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Tehát két függvény összegének (különbségének) deriváltja egyenlő a deriváltak összegével (különbségével). Több kifejezés is lehet. Például, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Szigorúan véve az algebrában nincs a "kivonás" fogalma. Létezik a „negatív elem” fogalma. Ezért a különbség f − gösszegként átírható f+ (-1) g, és akkor már csak egy képlet marad - az összeg deriváltja.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkció f(x) két elemi függvény összege, tehát:

f ’(x) = (x 2+ bűn x)’ = (x 2)' + (bűn x)’ = 2x+ cosx;

Hasonlóan érvelünk a függvény mellett g(x). Csak már három tag van (az algebra szempontjából):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Válasz:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Egy termék származéka

A matematika logikai tudomány, ezért sokan azt hiszik, hogy ha az összeg deriváltja egyenlő a deriváltok összegével, akkor a szorzat deriváltja sztrájk"\u003e egyenlő a származékok szorzatával. De füge neked! A szorzat származékát egy teljesen más képlet segítségével számítják ki. Nevezetesen:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

A képlet egyszerű, de gyakran elfelejtik. És nem csak iskolások, hanem diákok is. Az eredmény helytelenül megoldott problémák.

Egy feladat. Keresse meg a függvények származékait: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkció f(x) két elemi függvény szorzata, tehát minden egyszerű:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-sin x) = x 2 (3 cos x − x bűn x)

Funkció g(x) az első szorzó egy kicsit bonyolultabb, de általános séma ez nem változik. Nyilvánvalóan a függvény első szorzója g(x) egy polinom, deriváltja pedig az összeg deriváltja. Nekünk van:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)" · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Válasz:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x bűn x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Vegye figyelembe, hogy az utolsó lépésben a származékot faktorizálják. Formálisan ez nem szükséges, de a legtöbb származékot nem önmagában számítják ki, hanem a függvény feltárására. Ez azt jelenti, hogy a továbbiakban a derivált nullával egyenlő lesz, előjeleit kiderítjük stb. Ilyen esetben jobb, ha egy kifejezést faktorokra bontunk.

Ha két funkció van f(x) És g(x), és g(x) ≠ 0 a számunkra érdekes halmazon, új függvényt definiálhatunk h(x) = f(x)/g(x). Egy ilyen függvényhez a derivált is megtalálható:

Nem gyenge, igaz? Honnan jött a mínusz? Miért g 2? így van! Ez az egyik legbonyolultabb képlet – palack nélkül nem tudod kitalálni. Ezért jobb, ha konkrét példákkal tanulmányozzuk.

Egy feladat. Keresse meg a függvények származékait:

Minden tört számlálójában és nevezőjében vannak elemi függvények, így csak a hányados származékának képletére van szükségünk:

A hagyomány szerint a számlálót tényezőkbe vesszük – ez nagyban leegyszerűsíti a választ:

Egy összetett függvény nem feltétlenül fél kilométer hosszú képlet. Például elegendő a függvényt venni f(x) = bűn xés cserélje ki a változót x, mondjuk, be x 2+ln x. Kiderül f(x) = bűn ( x 2+ln x) - Az az ami összetett funkció. Neki is van származéka, de a fent tárgyalt szabályok szerint nem sikerül megtalálni.

Hogyan legyen? Ilyen esetekben egy változó helyettesítése és egy komplex függvény deriváltjának képlete segít:

f ’(x) = f ’(t) · t', ha x helyettesíti t(x).

Ennek a képletnek a megértésével általában még szomorúbb a helyzet, mint a hányados származékával. Ezért érdemes konkrét példákkal is kifejteni, az egyes lépések részletes leírásával.

Egy feladat. Keresse meg a függvények származékait: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = bűn ( x 2+ln x)

Vegye figyelembe, hogy ha a függvényben f(x) a 2. kifejezés helyett x+3 könnyű lesz x, akkor menni fog elemi funkció f(x) = e x. Ezért behelyettesítést végzünk: legyen 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Egy komplex függvény deriváltját keressük a következő képlettel:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

És most - figyelem! Fordított helyettesítés végrehajtása: t = 2x+ 3. Kapjuk:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Most nézzük a függvényt g(x). Nyilván cserélni kell. x 2+ln x = t. Nekünk van:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (bűn t)’ · t' = cos t · t ’

Fordított csere: t = x 2+ln x. Azután:

g ’(x) = cos ( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Ez minden! Amint az utolsó kifejezésből látható, az egész probléma az összeg deriváltjának kiszámítására redukálódott.

Válasz:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ln x).

Az órákon nagyon gyakran a „származék” kifejezés helyett a „stroke” szót használom. Például az összeg vonása egyenlő a vonások összegével. Így világosabb? Hát az jó.

Így a derivált kiszámítása éppen ezektől az ütésektől való megszabaduláshoz vezet a fent tárgyalt szabályok szerint. Mint utolsó példa Térjünk vissza a derivált hatványhoz racionális kitevővel:

(x n)’ = n · x n − 1

Ezt kevesen tudják a szerepben n jól cselekedhet törtszám. Például a gyökér az x 0,5 . De mi van akkor, ha valami trükkös a gyökér alatt? Ismét egy összetett funkció fog kiderülni - szeretnek ilyen konstrukciókat adni ellenőrzési munkaés vizsgák.

Egy feladat. Keresse meg egy függvény deriváltját:

Először is írjuk át a gyököt hatványként racionális kitevővel:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Most egy helyettesítést végzünk: hagyjuk x 2 + 8x − 7 = t. A származékot a következő képlettel találjuk meg:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Fordított helyettesítést végzünk: t = x 2 + 8x− 7. Van:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Végül vissza a gyökerekhez:

Bizonyítás nélkül megadjuk az alapvető elemi függvények deriváltjainak képletét:

1. Teljesítményfüggvény: (x n)` =nx n -1 .

2. Egy exponenciális függvény: (a x)` = a x lna (különösen, (e x)` = e x).

3. Logaritmikus függvény: (különösen, (lnx)` = 1/x).

4. Trigonometrikus függvények:

(cosx)` = -sinx

(tgх)` = 1/cos 2 x

(ctgх)` = -1/sin 2 x

5. Inverz trigonometrikus függvények:

Bizonyítható, hogy egy hatvány exponenciális függvény differenciálásához kétszer szükséges egy komplex függvény deriváltjának képletét használni, nevezetesen komplex függvényként differenciálni. teljesítmény funkció, és komplex exponenciálisként, és add össze az eredményeket: (f(x)  (x))` =(x)*f(x)  (x)-1 *f(x)` +f(x)  ( x) *lnf(x)*(x)".

Magasabb rendek származékai

Mivel egy függvény deriváltja maga is függvény, lehet deriváltja is. A fentebb tárgyalt származék fogalma elsőrendű származékra vonatkozik.

deriváltn- a sorrend az (n-1)-edik rendű derivált származékának nevezzük. Például f``(x) = (f`(x))` - másodrendű származék (vagy másodrendű származék), f```(x) = (f``(x))` - harmadrendű származék ( vagy harmadik származék) stb. Néha zárójelben lévő római arab számokat használnak a magasabb származékok jelzésére, például f (5) (x) vagy f (V) (x) ötödrendű származékok esetén.

A magasabb rendű származékok fizikai jelentését ugyanúgy definiáljuk, mint az első deriváltnál: mindegyik az előző sorrend deriváltjának változási sebességét jelenti. Például a második derivált az első változási sebessége, azaz. sebesség sebesség. Az egyenes vonalú mozgásnál egy pont gyorsulását jelenti egy időben.

Funkció rugalmassága

Funkció rugalmassága E x (y) az y függvény relatív növekménye és az x argumentum relatív növekménye arányának határa, amely utóbbi nullára hajlik:
.

Egy függvény rugalmassága azt mutatja meg, hogy az y \u003d f (x) függvény körülbelül hány százalékkal fog megváltozni, ha az x független változó 1%-kal változik.

Közgazdasági értelemben az a különbség e mutató és a derivált között, hogy a deriváltnak vannak mértékegységei, ezért értéke attól függ, hogy a változókat milyen egységekben mérik. Például, ha a termelés mennyiségének időfüggőségét tonnában, illetve hónapban fejezzük ki, akkor a derivált a mennyiség határérték-növekedését mutatja tonnában havonta; ha azonban ezeket a mutatókat például kilogrammban és napban mérjük, akkor mind a függvény, mind a deriváltja eltérő lesz. A rugalmasság lényegében dimenzió nélküli érték (százalékban vagy törtrészben mérve), ezért nem függ a mutatók skálájától.

Differenciálható függvények alaptételei és alkalmazásaik

Fermat tétele. Ha egy intervallumon differenciálható függvény ennek az intervallumnak egy belső pontjában eléri a maximális vagy minimális értékét, akkor a függvény deriváltja ezen a ponton nulla.

Bizonyíték nélkül.

A Fermat-tétel geometriai jelentése az, hogy a résen belül elért legnagyobb vagy legkisebb érték pontjában a függvény grafikonjának érintője párhuzamos az abszcissza tengellyel (3.3. ábra).

Rolle tétele. Legyen az y \u003d f (x) függvény teljesítse a következő feltételeket:

2) az (a, b) intervallumon differenciálható;

3) egyenlő értékeket vesz fel a szegmens végén, pl. f(a)=f(b).

Ekkor a szegmensen belül van legalább egy olyan pont, ahol a függvény deriváltja egyenlő nullával.

Bizonyíték nélkül.

A Rolle-tétel geometriai jelentése az, hogy van legalább egy pont, ahol a függvény grafikonjának érintője párhuzamos lesz az abszcissza tengellyel (például a 3.4. ábrán két ilyen pont található).

Ha f(a) =f(b) = 0, akkor a Rolle-tétel másképpen is megfogalmazható: egy differenciálható függvény két egymást követő nullája között van legalább egy nulla a deriváltnak.

A Rolle-tétel a Lagrange-tétel speciális esete.

Lagrange-tétel. Legyen az y \u003d f (x) függvény teljesítse a következő feltételeket:

1) folytonos az [a, b] szakaszon;

2) az (a, b) intervallumon differenciálható.

Ekkor a szegmensen belül van legalább egy olyan c pont, ahol a derivált egyenlő a függvények növekményének hányadosával, osztva a szegmens argumentumának növekedésével:
.

Bizonyíték nélkül.

A Lagrange-tétel fizikai jelentésének megértéséhez megjegyezzük, hogy
nem más, mint a függvény átlagos változási sebessége a teljes [a,b] intervallumon. Így a tétel kimondja, hogy a szegmensen belül van legalább egy olyan pont, ahol a függvény "pillanatnyi" változási sebessége megegyezik a változás átlagos sebességével a teljes szakaszon.

A Lagrange-tétel geometriai jelentését a 3.5. ábra szemlélteti. Vegye figyelembe, hogy a kifejezés
annak az egyenesnek a meredeksége, amelyen az AB húr fekszik. A tétel kimondja, hogy egy függvény grafikonján van legalább egy olyan pont, ahol a hozzá tartozó érintő párhuzamos lesz ezzel a húrral (azaz az érintő meredeksége - a derivált - azonos lesz).

Következmény: ha egy függvény deriváltja egy intervallumon egyenlő nullával, akkor a függvény ezen az intervallumon azonosan állandó.

Valójában vegyünk egy intervallumot ezen az intervallumon. Lagrange tétele szerint ebben az intervallumban van egy c pont, amelyre
. Ezért f(a) - f(x) = f`(с)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = állandó.

L'Hopital szabálya. Két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy függvény arányának határa megegyezik származékaik (véges vagy végtelen) arányának határával, ha ez utóbbi a jelzett értelemben létezik.

Más szóval, ha bizonytalan a forma
, azután
.

Bizonyíték nélkül.

A L'Hopital szabályának alkalmazását a határok megállapítására a gyakorlati gyakorlatok tárgyalják.

Egy függvény növelésének (csökkentésének) elégséges feltétele. Ha egy differenciálható függvény deriváltja pozitív (negatív) valamely intervallumon belül, akkor a függvény ezen az intervallumon növekszik (csökken).

Bizonyíték. Vegyünk két x 1 és x 2 értéket az adott intervallumból (legyen x 2 > x 1). Lagrand tétele szerint [x 1 , x 2 ]-en van egy c pont, ahol
. Ezért f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Ekkor f`(c) > 0 esetén az egyenlőtlenség bal oldala pozitív, azaz f(x 2) > f(x 1), és a függvény növekszik. at f`(s)< 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е.f(х 2)

A tétel bizonyítást nyert.

A függvény monotonitási feltételének geometriai értelmezése: ha a görbe érintőit egy adott intervallumban hegyesszögben irányítjuk az abszcissza tengelyre, akkor a függvény növekszik, ha pedig tompaszögek alatt, akkor csökken (lásd 3.6. ábra). .

Megjegyzés: a monotonitás szükséges feltétele gyengébb. Ha a függvény egy bizonyos intervallumon növekszik (csökken), akkor a derivált ezen az intervallumon nem negatív (nem pozitív) (azaz bizonyos pontokon a monoton függvény deriváltja nullával is egyenlő lehet).

A Forma-3 és az 5 bizonyítja önmagunkat.

A DIFFERENCIÁLÁS ALAPVETŐ SZABÁLYAI

A határérték segítségével a derivált megtalálásának általános módszerével megkaphatja a legegyszerűbb differenciálási képleteket. Legyen u=u(x),v=v(x) egy változó két differenciálható függvénye x.

A Forma-1 és a 2 bizonyítja magát.

A Forma-3 bizonyítéka.

Legyen y = u(x) + v(x). Az argumentum értékéhez x+Δ x nekünk van y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).

Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

Következésképpen,

A Forma-4 bizonyítéka.

Legyen y=u(x) v(x). Azután y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), ezért

Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).

Vegye figyelembe, hogy mivel az egyes funkciók uÉs v egy ponton differenciálható x, akkor ezen a ponton folyamatosak, és innen u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), Δ x→0.

Ezért tudunk írni

Ezen tulajdonság alapján tetszőleges számú függvény szorzatának megkülönböztetésére szolgáló szabályt kaphatunk.

Legyen pl. y=u v w. Azután,

y " = u "·( v w) + u·( v w) "= u "· v w+ u·( v"w + v w ") = u "· v w+ u· v"w + u v w ".

A Forma-5 bizonyítéka.

Legyen . Azután

A bizonyításnál azt a tényt használtuk fel v(x+Δ x)→v(x)Δ-nél x→0.

Példák.

TÉTEL EGY KOMPLEX FUNKCIÓ DERIVATÍVÁJÁRÓL

Legyen y = f(u), de u= u(x). Kapunk egy függvényt y, az érvtől függően x: y = f(u(x)). Az utolsó függvényt egy függvény függvényének nevezzük, vagy összetett funkció.

Funkció hatóköre y = f(u(x)) vagy a funkció teljes hatóköre u=u(x) vagy annak azon része, amelyben az értékeket meghatározzák u, nem esik ki a funkció hatóköréből y= f(u).

A "függvényből funkció" művelet nem egyszer, hanem akárhányszor végrehajtható.

Állítsunk fel egy szabályt egy összetett függvény megkülönböztetésére.

Tétel. Ha a funkció u= u(x) valamikor megvan x0 derivált, és ezen a ponton veszi fel az értéket u 0 = u(x0), és a függvény y=f(u) pontban van u 0 derivált y"u= f "(u 0), majd a komplex függvény y = f(u(x)) a megadott ponton x0 származéka is van, ami egyenlő y"x= f "(u 0)· u "(x0), ahol ahelyett u kifejezést be kell cserélni u= u(x).

Így egy komplex függvény deriváltja egyenlő ennek a függvénynek a deriváltjának a szorzatával a köztes argumentumhoz képest u tekintetében a köztes argumentum deriváltjához x.

Bizonyíték. Fix értékért x 0 lesz u 0 =u(x 0), nál nél 0 =f(u 0 ). Új argumentumértékhez x0+Δ x:

Δ u= u(x0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).

Mivel u– egy ponton differenciálható x0, azután u ezen a ponton folyamatos. Ezért a Δ x→0 Δ u→0. Hasonlóképpen Δ esetén u→0 Δ y→0.

Feltétel szerint . Ebből az összefüggésből a határérték definícióját felhasználva azt kapjuk, hogy (Δ u→0)

ahol α→0 Δ-nél u→0, és ennek következtében Δ esetén x→0.

Írjuk át ezt az egyenletet a következőképpen:

Δ y=y"u ∆ u+α·Δ u.

A kapott egyenlőség Δ-re is érvényes u=0 tetszőleges α esetén, mivel 0=0 azonossággá alakul. A Δ u=0 feltesszük, hogy α=0. A kapott egyenlőség minden tagját ossza el Δ-vel x

.

Feltétel szerint . Ezért a Δ-nél lévő határértékre való átlépés x→0, kapjuk y"x= y" u u " x . A tétel bizonyítást nyert.

Tehát egy összetett függvény megkülönböztetésére y = f(u(x)), ki kell venni a "külső" függvény deriváltját f, argumentumát egyszerűen változóként kezeli, és megszorozza a "belső" függvény deriváltjával a független változóhoz képest.

Ha a funkció y=f(x) ként ábrázolható y=f(u), u=u(v), v=v(x), akkor az y "x" derivált megtalálása az előző tétel egymás utáni alkalmazásával történik.

A bevált szabály szerint megvan y"x= y"u · u" x . Ugyanezt a tételt alkalmazva u" x -et kapunk , azaz

y"x= y" x u"v · v"x= f"u( u)· u"v( v)· v"x( x).

Példák.

AZ INVERZ FUNKCIÓ FOGALMA

Kezdjük egy példával. Vegye figyelembe a funkciót y=x3. Figyelembe vesszük az egyenlőséget y= x 3 egyenletként x. Ez az egyenlet minden egyes értékhez nál nél egyetlen értéket határoz meg x: . Geometriailag ez azt jelenti, hogy bármely, a tengellyel párhuzamos egyenes Ökör metszi a függvény grafikonját y=x3 csak egy ponton. Ezért mérlegelhetjük x függvényében y. A függvényt a függvény inverzének nevezzük y=x3.

Mielőtt áttérnénk az általános esetre, bemutatjuk a definíciókat.

Funkció y = f(x) hívott növekvő egy bizonyos intervallumon, ha az argumentum nagyobb értéke x ebből a szegmensből a függvény nagyobb értékének felel meg, pl. ha x 2 >x 1, akkor f(x 2 ) > f(x 1 ).

Hasonlóképpen hívják a függvényt fogyó, ha az argumentum kisebb értéke a függvény nagyobb értékének felel meg, azaz. ha x 2 < x 1, akkor f(x 2 ) > f(х 1 ).

Tehát, adott egy növekvő vagy csökkenő függvény y=f(x), meghatározott intervallumban [ a; b]. A határozottság kedvéért egy növekvő függvényt veszünk figyelembe (csökkenő függvénynél minden hasonló).

Vegyünk két különböző értéket x 1 és x 2. Legyen y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). A növekvő függvény definíciójából következik, hogy ha x 1 <x 2, akkor nál nél 1 <nál nél 2. Ezért két különböző érték x 1 és x 2 két különböző függvényértéknek felel meg nál nél 1 és nál nél 2. Ennek az ellenkezője is igaz, pl. ha nál nél 1 <nál nél 2 , akkor a növekvő függvény definíciójából az következik, hogy x 1 <x 2. Azok. ismét két különböző értékre nál nél 1 és nál nél A 2 két különböző értéknek felel meg x 1 és x 2. Így az értékek között xés a hozzájuk tartozó értékeket y egy-egy levelezés jön létre, azaz. az egyenlet y=f(x) az egyes y(a függvény tartományából átvéve y=f(x)) egyetlen értéket határoz meg x, és ezt mondhatjuk x van valamilyen argumentumfüggvénye y: x= g(y).

Ezt a függvényt hívják fordított funkcióhoz y=f(x). Nyilvánvalóan a funkció y=f(x) a függvény inverze x=g(y).

Vegye figyelembe, hogy az inverz függvény x=g(y) egyenlet megoldásával találjuk meg y=f(x) viszonylag x.

Példa. Hagyja a függvényt y= e x . Ez a függvény –∞-nél növekszik< x <+∞. Она имеет обратную функцию x=ln y. Az inverz függvény tartománya 0< y < + ∞.

Tegyünk néhány megjegyzést.

Megjegyzés 1. Ha egy növekvő (vagy csökkenő) függvény y=f(x) folyamatos az intervallumon [ a; b], és f(a)=c, f(b)=d, akkor az inverz függvény definiált és folyamatos a [ szegmensen c; d].

2. megjegyzés. Ha a funkció y=f(x) sem nem növekszik, sem nem csökken valamely intervallumon, akkor több inverz függvénye is lehet.

Példa. Funkció y=x2–∞-nél határozzuk meg<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0, a függvény csökken, és annak inverze.

3. megjegyzés. Ha funkciókat y=f(x)És x=g(y) kölcsönösen inverzek, akkor ugyanazt a kapcsolatot fejezik ki a változók között xÉs y. Ezért a grafikon ugyanaz a görbe. De ha az inverz függvény argumentumát ismét azzal jelöljük x, és a funkción keresztül yés ugyanabban a koordinátarendszerben építjük fel őket, két különböző grafikont kapunk. Könnyen belátható, hogy a grafikonok szimmetrikusak lesznek az 1. koordinátaszög felezőpontjához képest.

TÉTEL AZ INVERZ FÜGGVÉNY DERIVATÍVÁJÁRÓL

Bizonyítsunk be egy tételt, amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a függvény deriváltját y=f(x) az inverz függvény deriváltjának ismeretében.

Tétel. Ha a funkcióhoz y=f(x) van egy inverz függvény x=g(y), amely valamikor nál nél 0-nak van deriváltja g "(v0) nullától eltérő, akkor a megfelelő pontban x0=g(x0) funkciót y=f(x) származéka van f "(x0) egyenlő , azaz. helyes képlet.

Bizonyíték. Mivel x=g(y) egy ponton differenciálható y 0, azután x=g(y) folytonos ezen a ponton, tehát a függvény y=f(x) pontban folyamatos x0=g(y 0). Ezért a Δ x→0 Δ y→0.

Mutassuk meg .

Legyen . Aztán a limit tulajdonsággal . Adjuk át ezt az egyenlőséget a Δ-nél lévő határértékre y→0. Akkor Δ x→0 és α(Δx)→0, azaz. .

Következésképpen,

,

Q.E.D.

Ez a képlet így írható fel.

Tekintsük példákkal ennek a tételnek az alkalmazását.

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, nem megyünk messzire, azonnal figyelembe vesszük az inverz függvényt. Mi az exponenciális függvény inverze? Logaritmus:

Esetünkben az alap egy szám:

Egy ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal rendelkező logaritmust) „természetesnek” nevezünk, és erre egy speciális jelölést használunk: írunk helyette.

Mi egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus deriváltja is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: A kitevő és a természetes logaritmus olyan függvények, amelyek deriváltja egyedülállóan egyszerű. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriválttal fognak rendelkezni, amelyet később, a differenciálás szabályainak áttekintése után elemezünk.

Differenciálási szabályok

Milyen szabályokat? Megint egy új kifejezés?!...

Különbségtétel a származék megtalálásának folyamata.

Csak és minden. Mi más szó erre a folyamatra? Nem proizvodnovanie... A matematika differenciálját az at függvény nagyon növekményének nevezik. Ez a kifejezés a latin differentia - differencia szóból származik. Itt.

Mindezen szabályok származtatása során két függvényt fogunk használni, például, és. Szükségünk lesz képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandót kivesszük a derivált előjeléből.

Ha - valamilyen állandó szám (konstans), akkor.

Nyilvánvalóan a különbségre is érvényes ez a szabály: .

Bizonyítsuk be. Hagyjuk, vagy könnyebben.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. azon a ponton;
2. azon a ponton;
3. azon a ponton;
4. azon a ponton.

Megoldások:

1. (a derivált minden pontban ugyanaz, mivel ez egy lineáris függvény, emlékszel?);

Egy termék származéka

Itt minden hasonló: bevezetünk egy új függvényt, és megtaláljuk a növekedését:

Derivált:

Példák:

1. Keresse meg a függvények származékait és;
2. Keresse meg egy függvény deriváltját egy pontban.

Megoldások:

Az exponenciális függvény deriváltja

Most már elegendő tudása ahhoz, hogy megtanulja, hogyan találja meg bármely exponenciális függvény deriváltját, és ne csak a kitevőt (elfelejtette már, hogy mi az?).

Szóval hol van egy szám.

A függvény deriváltját már ismerjük, ezért próbáljuk meg új alapra hozni a függvényünket:

Ehhez egy egyszerű szabályt alkalmazunk: . Azután:

Nos, sikerült. Most próbálja meg megtalálni a származékot, és ne felejtse el, hogy ez a függvény összetett.

Megtörtént?

Itt ellenőrizd magad:

A képlet nagyon hasonlított a kitevő deriváltjához: ahogy volt, úgy marad, csak egy tényező jelent meg, ami csak egy szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amit számológép nélkül nem lehet kiszámolni, vagyis nem írható le egyszerűbb formában. Ezért a válaszban ebben a formában marad.

Vegye figyelembe, hogy itt két függvény hányadosa van, ezért alkalmazzuk a megfelelő differenciálási szabályt:

Ebben a példában két függvény szorzata:

Logaritmikus függvény deriváltja

Itt is hasonló: már ismeri a természetes logaritmus deriváltját:

Ezért, ha a logaritmusból egy tetszőlegest szeretne keresni más alappal, például:

Ezt a logaritmust az alaphoz kell hoznunk. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írjuk helyette:

A nevezőről kiderült, hogy csak egy konstans (konstans szám, változó nélkül). A származék nagyon egyszerű:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg a vizsgán, de ezek ismerete nem lesz felesleges.

Komplex függvény származéka.

Mi az a "komplex függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem ívtangens. Ezeket a függvényeket nehéz lehet megérteni (bár ha a logaritmus nehéznek tűnik, olvassa el a "Logaritmusok" témakört, és minden sikerülni fog), de a matematika szempontjából a "komplex" szó nem azt jelenti, hogy "nehéz".

Képzeljen el egy kis szállítószalagot: két ember ül, és valamilyen tárggyal valamilyen műveletet végez. Például az első egy csokoládét csomagol egy csomagolóanyagba, a második pedig egy szalaggal köti össze. Kiderült, hogy egy ilyen összetett tárgy: egy csokoládé szalaggal becsomagolva és átkötve. Egy csokoládé szelet elfogyasztásához fordított sorrendben kell végrehajtania az ellenkező lépéseket.

Készítsünk egy hasonló matematikai csővezetéket: először megkeressük egy szám koszinuszát, majd a kapott számot négyzetre emeljük. Szóval adnak egy számot (csokoládé), megkeresem a koszinuszát (csomagolóanyag), majd te négyzetesíted, amit kaptam (szalaggal kötöd). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor annak értékének megtalálása érdekében az első műveletet közvetlenül a változóval végezzük, majd egy másik második műveletet azzal, ami az első eredményeként történt.

Más szavakkal, Az összetett függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Példánkra .

Ugyanezeket a lépéseket megtehetjük fordított sorrendben is: először négyzetre teszünk, majd megkeresem a kapott szám koszinuszát:. Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. A komplex függvények fontos jellemzője: ha megváltozik a műveletek sorrendje, megváltozik a funkció.

Második példa: (ugyanaz). .

Az utolsó művelet, amit végzünk, a neve lesz "külső" funkció, és az elsőként végrehajtott művelet - ill "belső" funkció(ezek informális elnevezések, csak az anyag egyszerű nyelvezetű magyarázatára használom).

Próbáld meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és külső függvények szétválasztása nagyon hasonlít a változóhelyettesítéshez: például a függvényben

1. Milyen lépéseket tegyünk először? Először kiszámoljuk a szinust, és csak ezután emeljük kockává. Tehát ez egy belső funkció, nem egy külső.
   Az eredeti funkció pedig az összetételük: .
2. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
3. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
4. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .
5. Belső: ; külső: .
   Vizsga: .

változókat változtatunk és függvényt kapunk.

Nos, most kivonjuk a csokoládét – keresse meg a származékát. Az eljárás mindig fordított: először megkeressük a külső függvény deriváltját, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példa esetében ez így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzuk meg a hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

Egyszerűnek tűnik, igaz?

Nézzük példákkal:

Megoldások:

1) Belső: ;

Külső: ;

2) Belső: ;

(Csak most ne próbáld csökkenteni! A koszinusz alól nem vesznek ki semmit, emlékszel?)

3) Belső: ;

Külső: ;

Azonnal világos, hogy itt egy háromszintű komplex funkcióról van szó: elvégre ez már önmagában is egy komplex függvény, és mégis kivonjuk belőle a gyökeret, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (csomagolóba csokoládét teszünk). és szalaggal egy aktatáskában). De nincs okunk félni: mindenesetre a megszokott sorrendben „pakoljuk ki” ezt a funkciót: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyökér, majd a koszinusz, és csak azután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor az egészet megszorozzuk.

Ilyen esetekben célszerű a műveleteket számozni. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtjuk végre a műveleteket a kifejezés értékének kiszámításához? Nézzünk egy példát:

Minél később hajtják végre a műveletet, annál "külsőbb" lesz a megfelelő funkció. A műveletek sorrendje - mint korábban:

Itt a fészekrakás általában 4 szintű. Határozzuk meg a cselekvés menetét.

1. Radikális kifejezés. .

2. Gyökér. .

3. Sinus. .

4. Négyzet. .

5. Az egészet összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐRŐL

Függvény derivált- a függvény növekményének aránya az argumentum növekményéhez képest, az argumentum végtelenül kicsi növekményével:

Alapvető származékok:

A megkülönböztetés szabályai:

Az állandót kivesszük a derivált előjeléből:

Az összeg származéka:

Származékos termék:

A hányados származéka:

Egy összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megtalálására:

1. Meghatározzuk a "belső" függvényt, megkeressük a származékát.
2. Meghatározzuk a "külső" függvényt, megkeressük a származékát.
3. Az első és a második pont eredményét megszorozzuk.