Meghatározás. Normál a valószínűségi eloszlást folytonosnak nevezzük valószínűségi változó, amelyet a valószínűségi sűrűség ír le

A normál eloszlást is nevezik Gauss törvény.

A normális eloszlás törvénye központi szerepet játszik a valószínűségelméletben. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ez a törvény minden olyan esetben megnyilvánul, amikor egy valószínűségi változó nagy szám hatásának eredménye. különféle tényezők. Az összes többi elosztási törvény megközelíti a normál törvényt.

Könnyen kimutatható, hogy a paraméterek És , amelyek az eloszlássűrűségben szerepelnek, rendre a valószínűségi változó matematikai elvárása és szórása. x.

Keressük az eloszlásfüggvényt F(x) .

A normál eloszlási sűrűség görbét ún normál görbe vagy Gauss-görbe.

Egy normál görbe a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) A függvény a teljes számtengelyen van definiálva.

2) Mindenkinek x az eloszlásfüggvény csak pozitív értékeket vesz fel.

3) Az OX tengely a valószínűségi sűrűséggráf vízszintes aszimptotája, mivel az argumentum abszolút értékének korlátlan növekedésével x, a függvény értéke nullára hajlik.

4) Határozza meg a függvény szélsőértékét!

Mivel nál nél y’ > 0 nál nél x < mÉs y’ < 0 nál nél x > m, majd a ponton x = t függvény maximuma egyenlő
.

5) A függvény szimmetrikus egy egyeneshez képest x = a, mivel különbség

(x - a) belép a négyzetes eloszlássűrűség függvénybe.

6) A gráf inflexiós pontjainak megtalálásához megtaláljuk a sűrűségfüggvény második deriváltját.

Nál nél x = m+  és x = m-  a második derivált nullával egyenlő, és ezeken a pontokon áthaladva előjelet vált, azaz. ezeken a pontokon a függvénynek van inflexiója.

Ezeken a pontokon a függvény értéke az
.

Készítsük el az eloszlássűrűség-függvény grafikonját (5. ábra).

Grafikonok készültek T=0 és a szórás három lehetséges értéke  = 1,  = 2 és  = 7. Amint látható, a szórás értékének növekedésével a grafikon laposabb lesz, a maximális érték pedig csökken.

Ha de> 0, akkor a grafikon pozitív irányba tolódik el, ha de < 0 – в отрицательном.

Nál nél de= 0 és  = 1 a görbét nevezzük normalizálva. Normalizált görbe egyenlet:

Laplace függvény

Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy egy normális törvény szerint eloszlású valószínűségi változó egy adott intervallumba esik.

Jelöli

Mivel integrál
nem elemi függvényekkel fejezzük ki, akkor a függvény

,

amelyet úgy hívnak Laplace függvény vagy valószínűségi integrál.

Ennek a függvénynek az értékei különböző értékekhez x kiszámítva és speciális táblázatokban bemutatva.

ábrán A 6. ábra a Laplace-függvény grafikonját mutatja.

A Laplace függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1) F(0) = 0;

2) F(-x) = - F(x);

3) F( ) = 1.

A Laplace-függvényt is hívják hiba funkcióés jelölje erf x.

Még mindig használatban normalizálva a Laplace-függvény, amely a Laplace-függvényhez kapcsolódik a következő relációval:

ábrán A 7. ábra a normalizált Laplace-függvény diagramját mutatja.

P három szigma szabály

A normál eloszlás figyelembe vételekor megkülönböztetünk egy fontos speciális esetet, az ún három szigma szabály.

Írjuk fel annak a valószínűségét, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó eltérése ettől matematikai elvárás kisebb, mint a beállított érték :

Ha elfogadjuk, hogy  = 3, akkor a Laplace-függvény értéktáblázatai segítségével megkapjuk:

Azok. annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó a szórás háromszorosánál nagyobb mértékben tér el a matematikai elvárásától, gyakorlatilag nulla.

Ezt a szabályt úgy hívják három szigma szabály.

A gyakorlatban úgy gondolják, hogy ha bármelyik valószínűségi változóra teljesül a három szigma szabály, akkor ennek a valószínűségi változónak normális eloszlása ​​van.

Az előadás befejezése:

Az előadáson figyelembe vettük a folytonos mennyiségek eloszlásának törvényszerűségeit A következő előadásra és gyakorlati feladatokra készülve önállóan kell kiegészítenie jegyzeteit az ajánlott irodalom elmélyült áttanulmányozásával és a javasolt feladatok megoldásával.

Helyettesítés φ(x)=π /4 ,f(x)=1/(b-a)

D[π /4]=( /720) ).

№319 Kocka él x megközelítőleg mérve a . Ha a kocka élét az (a,b) intervallumban egyenletesen eloszló X valószínűségi változónak tekintjük, határozzuk meg a kocka térfogatának matematikai elvárását és szórását!

1. Keressük meg a kör területének matematikai elvárását - egy valószínűségi változót Y=φ(K)= - képlet szerint

M[φ(X)]=

Elhelyezés φ(x)= ,f(x)=1/(b-a)és az integráció után azt kapjuk

M( )=
.

2. Határozza meg a kör területének szórását a képlet segítségével!

D[φ(X)]= - .

Helyettesítés φ(x)= ,f(x)=1/(b-a)és az integráció után azt kapjuk

D = .

№320 Az X és Y véletlenváltozók függetlenek és egyenletes eloszlásúak: X-az (a,b) intervallumban, Y-intervallumban (c,d) Határozzuk meg az XY szorzat matematikai elvárását.

A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik matematikai elvárásaik szorzatával, azaz.

M(XY)=

№321 Az X és Y véletlenváltozók függetlenek és egyenletes eloszlásúak: X - az (a,b) intervallumban, Y - a (c,d) intervallumban. Határozza meg az XY szorzat szórását!

Használjuk a képletet

D(XY)=M[

A független valószínűségi változók szorzatának matematikai elvárása megegyezik azok matematikai elvárásainak szorzatával, ezért

Keressük meg M-et a képlet alapján

M[φ(X)]=

Helyettesítés φ(x)= ,f(x)=1/(b-a)és integrálva kapjuk

M (**)

Hasonlóképpen találjuk

M (***)

Helyettesítés M(X)=(a+b)/2, M(Y)=(c+d)/2, valamint (***) és (**) a (*), végül megkapjuk

D(XY)= -[ .

№322 Egy normális eloszlású X valószínűségi változó matematikai elvárása a=3, a szórása pedig σ=2. Írja fel X valószínűségi sűrűségét!

Használjuk a képletet:

f(x)= .

Az elérhető értékeket behelyettesítve a következőket kapjuk:

f(x)= = f(x)= .

№323 Írja fel egy normális eloszlású X valószínűségi változó valószínűségi sűrűségét, tudva, hogy M(X)=3, D(X)=16.

Használjuk a képletet:

f(x)= .

A σ értékének megtalálásához azt a tulajdonságot használjuk, hogy egy valószínűségi változó szórása x egyenlő négyzetgyök szóródásától. Ezért σ=4, M(X)=a=3. Behelyettesítve a kapott képletbe

f(x)= = .

№324 Egy normális eloszlású X valószínűségi változót a sűrűség ad meg

f(x)= . Határozzuk meg X matematikai elvárását és szórását!

Használjuk a képletet

f(x)= ,

ahol a-várható érték, σ -szórás X. Ebből a képletből az következik a=M(X)=1. A variancia meghatározásához azt a tulajdonságot használjuk, hogy egy valószínűségi változó szórása x egyenlő a szórásának négyzetgyökével. Következésképpen D(X)= =

Válasz: a matematikai elvárás 1; a szórás 25.

Bondarcsuk Rodion

Adott a normalizált normáltörvény eloszlásfüggvénye . Határozzuk meg az f(x) eloszlássűrűséget!

Ennek tudatában , megtaláljuk az f(x)-et.

Válasz:

Bizonyítsuk be, hogy a Laplace-függvény . páratlan: .

Cseréljük

Végezzük a fordított helyettesítést, és kapjuk:

= =

A tudomány és a technika különböző ágaiban, valamint a metrológiai gyakorlatban a normális eloszlás törvénye (vagy egyszerűen a normál törvény) találta a legnagyobb alkalmazást. Sok folytonos véletlen változó engedelmeskedik ennek a törvénynek. A normáleloszlási törvény széles körű elterjedését a centrális határeloszlási tétel magyarázza. Ebből a tételből az következik, hogy ha a valószínűségi változó x egymástól független valószínűségi változók összege x p x 2, ..., X, amelyek mindegyikének hatása a teljes összegre jelentéktelen, akkor függetlenül attól, hogy az egyes kifejezések melyik elosztási törvényeknek engedelmeskednek x p, maga az érték x normálishoz közeli valószínűségi eloszlású lesz, és a pontosabb, mint több szám feltételeket.

Differenciál funkció egy véletlen eloszlása ​​vagy valószínűségi eloszlási sűrűsége folyamatos érték, a normál törvénynek megfelelően, a következő formában van:

ahol x egy változó valószínűségi változó (a megfigyelések eredménye); Ó, a d a hibájuk véletlenszerű összetevőjének megfigyelési eredményeinek szórása; t x- matematikai

elvárás; ban ben a természetes logaritmusok alapja, e = 2, 71828.

Emlékeztetni kell arra Ó= a d.

A normális eloszlás differenciálfüggvényét grafikusan egy harang alakú görbe (Gauss-görbe) fejezi ki, amely az 1. ábrán látható. 5.8.

A normalizált normális eloszlás (Gauss-integrál) Ф(А) függvényét táblázatos formában az A függelék mutatja be.

ábrán látható. Az 5.8. ábra szerint a mérési eredmények x valószínűségi változójának normális eloszlási görbéje szimmetrikus a matematikai elvárásra.

Ha x ugyanazon determinisztikus több megfigyelés eredménye fizikai mennyiség, akkor a fenti görbe szimmetrikus ezen megfigyelések eredményeinek matematikai elvárásaihoz képest.

Ahogy korábban említettük, ha egy a d szórású A véletlenszerű hibát veszünk valószínűségi változónak, akkor ez a görbe szimmetrikus az y tengelyre (5.9. ábra).

Görbe helyzete P x (x)=/(x) az origóhoz viszonyítva a matematikai elvárás értéke határozza meg. És általában a gyakorlatban nem a matematikai elvárást veszik figyelembe, hanem a többszörös megfigyelés eredményeinek számtani átlagát. x.

A normál eloszlási görbe alakját az a paraméter határozza meg. Amint korábban bemutattuk, minél kisebb a, annál csúcsosabbá válik a görbe, és az ágai konvergálnak (lásd 5.4. ábra).

Annak a valószínűsége, hogy a megfigyelési eredmény egy adott intervallumba esik [x p x 2], egyenlő a normál eloszlási görbe alatti területtel, amelyet a konfidenciaintervallum alsó Xj és felső x 7 határa határol (5.10. ábra).

Fogalmazzuk meg matematikailag:

A változók megváltoztatásával és helyettesítésével azt kapjuk

A valószínűségszámításban és a metrológiában az úgynevezett normalizált Laplace-függvény Ф(Z) =

= amely táblázatos. Az osztályozás feltételei

hogy a mérési eredmények számtani átlagának értéke xértéke nulla, és a szórása o = 1. Ebben az esetben a paraméter az érték

A Laplace-függvény értékeit a B. függelék tartalmazza. A Laplace-függvény segítségével a következőképpen határozható meg a megfigyelési eredmény eltalálásának valószínűsége x az (x, x 2) intervallumban:

A fenti kifejezés azt mondja, hogy annak valószínűsége, hogy a megfigyelési eredmény az adott intervallumba esik [х р x-,], egyenlő a Laplace-függvény értékei közötti különbséggel a konfidenciaintervallum felső és alsó határán. .

A képlet figyelembe vételekor ne feledje, hogy O(-Z) = -0(Z).

Az A véletlenszerű hiba eloszlásfüggvényének momentumai a normáltörvény szerint elosztva:

ábrán bemutatott normális eloszlás integrálfüggvénye. 5.11 a következőképpen fejeződik ki:

Három szigma szabály. A gyakorlatban igen gyakran meg kell becsülni, hogy egy normális eloszlású mennyiség eltérése mekkora valószínűséggel jár x abszolút értékben nem haladja meg egy bizonyos méretet, amelyet általában egyenlőnek vesznek pozitív szám 8.

Más szóval, meg kell találni annak valószínűségét, hogy az egyenlőtlenség Xa 5.

Ez az egyenlőtlenség a következővel ekvivalens: - b vagy (a-b) +5).

Azt a szabályt alkalmazva, hogy egy normális eloszlású valószínűségi változó egy adott intervallumba esésének valószínűsége egyenlő a Laplace-függvény értékeinek különbségével ezen intervallum határain, pl. P(a(3) =

= ", kapunk

Nál nél a = 0 kapunk

Ha feltételezzük, hogy 5 = For, akkor azt kapjuk

Így a valószínűségi változó valódi értékétől való eltérés valószínűsége x abszolút értékben kisebb lesz, mint a szórás háromszorosa. Ez a három szigma szabály.

A következőképpen van megfogalmazva: ha a valószínűségi változó normális eloszlású, akkor az abszolút érték maximális eltérés a mérés eredménye a matematikai elvárásból nem haladja meg a szórás háromszorosát.

Ez a szabály a következőképpen is érvényesül: ha egy valószínűségi változó eloszlása ​​ismeretlen, de a három szigma szabályban meghatározott feltétel teljesül, akkor okkal feltételezhető, hogy a vizsgált valószínűségi változó normális eloszlású, egyébként nem.

tesztkérdések

• 1. A mérési eredmények és a véletlen hiba differenciáleloszlási függvénye, a normáltörvénynek megfelelően. Analitikai függőség, grafikus nézet, kezdeti és központi momentumok.
• 2. A normáleloszlási törvénynek megfelelő integrálfüggvény.
• 3. Három szigma szabálya.

A gyakorlatban a normál eloszlás törvénye a legelterjedtebb. A fő jellemzője, ami megkülönbözteti a többi törvénytől, hogy korlátozó törvény, amelyhez más eloszlási törvények nagyon gyakran jellemző feltételek mellett közelednek (lásd 6. fejezet).

Meghatározás. Egy X folytonos valószínűségi változó rendelkeziknormál elosztási törvény (Gauss törvény)a és paraméterekkel egy 2, ha a valószínűségi sűrűsége olyan alakkal rendelkezik

A "normális" kifejezés nem teljesen sikeres. Sok jel engedelmeskedik a normál törvénynek, például az ember magassága, a lövedék hatótávolsága stb. De ha bármelyik jel engedelmeskedik egy másik, a normálistól eltérő eloszlási törvénynek, akkor ez egyáltalán nem beszél a jelhez kapcsolódó jelenség „abnormalitásáról”.

A normál eloszlási görbét ún Normál, vagy Gauss-féle, görbe.ábrán 4,6, de, 6 adott a φ, (x) normálgörbe a d00 2 paraméterekkel, azaz. I[a a 2), valamint egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényének grafikonja x, amelynek normális törvénye van. Vegye figyelembe, hogy a normál görbe szimmetrikus az egyenesre. x = a, ponton van maximuma x= de,

egyenlő , azaz

És két inflexiós pont x = a±

ordinátával

Látható, hogy a normáltörvény sűrűségének kifejezésében a paramétereket betűkkel jelöljük deés st 2 , amellyel a matematikai elvárást jelöljük M(X) és diszperzió Ó). Egy ilyen egybeesés nem véletlen. Tekintsünk egy tételt, amely megállapítja a normáltörvény paramétereinek valószínűségi jelentését.

Tétel. A normáltörvény szerinti eloszlású X valószínűségi változó matematikai elvárása egyenlő ennek a törvénynek a paraméterével, azok.

de variancia - paramétere a 2 , azaz

Egy valószínűségi változó matematikai elvárása X:

Beállítással változtatjuk a változót

Azután az integráció határai nem változnak

és innentől

(az első integrál egyenlő nullával, mint egy páratlan függvény integrálja az origóhoz képest szimmetrikus intervallumon, a második integrál az Euler-Poisson integrál).

Valószínűségi változó varianciája X:

Ugyanezt a változót változtatjuk meg x = a + o^2 t, mint az előző integrál számításánál. Azután

A részenkénti integráció módszerét alkalmazva megkapjuk

Nézze meg, hogyan változik a normál görbe a paraméterek megváltoztatásakor deés 2-vel (vagy a). Ha a = const, és a paraméter megváltozik a (a x a 3), azaz. az eloszlás szimmetriaközéppontja, akkor a normálgörbe eltolódik az x tengely mentén anélkül, hogy alakja megváltozna (4.7. ábra).

Ha a = const és az a 2 (vagy a) paraméter megváltozik, majd az ordináta megváltozik

görbe maximum Ahogy a növekszik, a maximum ordinátája

a görbe csökken, de mivel bármely eloszlási görbe alatti területnek egyenlőnek kell maradnia egységgel, a görbe laposabbá válik, és az x tengely mentén nyúlik; amikor csökken su, ellenkezőleg, a normál görbe felfelé nyúlik, egyidejűleg oldalról zsugorodik. ábrán A 4.8 normál görbéket mutat a 1 paraméterekkel (o 2 és a 3, ahol o, de(más néven matematikai elvárás) a középpont helyzetét, az a 2 paraméter (más néven diszperzió) pedig a normálgörbe alakját jellemzi.

Valószínűségi változó normális eloszlása x paraméterekkel de= 0, st 2 = 1, g.u. X ~ N( 0; 1), az úgynevezett alapértelmezett vagy normalizálvaés a megfelelő normálgörbe az alapértelmezett vagy normalizálva.

A normáltörvény szerint eloszló valószínűségi változó (3.23) képlet szerinti eloszlásfüggvényének közvetlen megtalálásának nehézsége és a (3.22) képlet szerint egy bizonyos intervallumba esésének valószínűsége összefügg azzal a ténnyel, hogy a 3.22. A (4.26) függvény "begyűjthetetlen". elemi függvények. Ezért a függvényen keresztül fejeződnek ki

- funkció (valószínűségi integrál) Laplace, amelyre a táblázatok készülnek. Emlékezzünk vissza, hogy már találkoztunk a Laplace-függvénnyel, amikor a Moivre - Laplace integráltételt vizsgáljuk (lásd a 2.3. fejezetet). Ott is figyelembe vették annak tulajdonságait. Geometriailag a Ф(.с) Laplace-függvény a szegmens szabványos normálgörbéje alatti terület [-X; x] (4.9. ábra) 1 .

Rizs. 4.10

Rizs. 4.9

Tétel. Az X valószínűségi változó normáltörvény szerinti eloszlásfüggvényét Laplace-függvényben fejezzük kiФ(х) a képlet szerint

A (3.23) képlet szerint az eloszlásfüggvény:

Változtassuk meg a változót, feltételezve x-> -oo? -" -00, szóval

1 Az Ф(х) függvényt reprezentáló (4.29) forma valószínűségi integrálja mellett kifejezéseit a szakirodalom más táblázatos függvények formájában is használja:

amelyek a standard normálgörbe területei rendre a (0; x], (-oo; x], [-x>/2; Xl/2) intervallumokon .

Első integrál

(az integrandus egyenletessége és az a tény miatt, hogy az Euler-Poisson integrál egyenlő [nak nek).

A második integrál, figyelembe véve a (4.29) formulát, az

Geometriailag az eloszlásfüggvény a normálgörbe alatti terület a (-co, x) intervallumon (4.10. ábra). Amint látja, két részből áll: az első, az intervallumon (-oo, de), egyenlő 1/2, azaz. a teljes terület fele a normálgörbe alatt, a második pedig az (i, x) intervallumon,

egyenlő

Tekintsük a normális törvény szerint eloszló valószínűségi változó tulajdonságait.

1. Egy X valószínűségi változó eltalálásának valószínűsége, normál törvény szerint eloszolva, ban ben intervallum[x 1(x 2 ], egyenlő

Figyelembe véve, hogy a (3.20) tulajdonság szerint a P(x,

ahol és Г 2 a (4.33) képlettel van meghatározva (4.11. ábra). ?

2. Annak a valószínűsége, hogy egy X valószínűségi változó normáltörvény szerinti eloszlása ​​az a matematikai elvárástól nem haladja meg a A > 0 ( abszolút értékben), egyenlő

valamint a Laplace-függvény furcsasági tulajdonságát kapjuk

ahol? \u003d D / o (4.12. ábra). ?

ábrán A 4.11 és 4.12 geometriai értelmezést ad a normáltörvény tulajdonságairól.

Megjegyzés. fejezetben figyelembe vették. A 2. ábra egy normális eloszlású valószínűségi változó tulajdonságából (4.32) következik a Moivre-Laplace (2.10) közelítő integrál képlete x (= a, x 2 = b) a = pr És Így

mint egy valószínűségi változó binomiális eloszlási törvénye x=t paraméterekkel P És R, amelyre ezt a képletet kapták, at n -> oc a normál törvényre hajlik (lásd a 6. fejezetet).

Hasonlóképpen a Moivre-Laplace-féle integrál képlet (2.13), (2.14) és (2.16) következményei a számra x=t esemény bekövetkezése ben P független tesztek és annak gyakorisága t/n a normáltörvény (4.32) és (4.34) tulajdonságaiból következik.

Számítsuk ki a (4.34) képlettel a valószínűségeket P(X-a e) D különböző értékeinél (a mellékletek II. táblázatát használjuk). Kap

Innen származik a "három szigma szabálya".

Ha egy X valószínűségi változónak normális eloszlási törvénye van a paraméterekkelés egy 2-es, azaz M(a; a 2), akkor szinte biztos, hogy értékei az intervallumban vannak(a - érte, de+ For).

A "három szigma szabályának" megsértése, i.e. normális eloszlású valószínűségi változó eltérése x 3a-nál nagyobb (de abszolút értékben), gyakorlatilag lehetetlen esemény, mivel nagyon kicsi a valószínűsége:

Figyeljük meg, hogy a D in eltérés, amelynél , nak, nek hívják

valószínű eltérés. A normál D törvényhez « 0,675a-ban, i.e. intervallumonként (de - 0,675a, de+ 0,675a) a normálgörbe alatti teljes terület felét teszi ki.

Határozzuk meg a valószínűségi változó ferdeségi együtthatóját és ferdeségi együtthatóját! x, a normál törvény szerint osztják el.

Nyilvánvalóan a normálgörbe függőleges vonalhoz viszonyított szimmetriája miatt x = a,áthalad az elosztó központon a \u003d M (X), az L normál eloszlás aszimmetria együtthatója \u003d 0.

Normális eloszlású valószínűségi változó kurtózisa x a (3.37) képlettel találjuk meg, azaz.

hol tanultad ezt központi pillanat 4. rend, amelyet a (3.30) képlet talál a (4.26) definíció figyelembevételével, i.e.

(az integrál számítását elhagyjuk).

Ily módon a normális eloszlás körtózisa nulla a többi eloszlás meredekségét pedig a normálhoz viszonyítva határozzuk meg (erről már a 3.7. pontban is utaltunk).

O 4.9. példa. Feltéve, hogy egy bizonyos korcsoportba tartozó férfiak magassága normális eloszlású valószínűségi változó x paraméterekkel de= 173 és a 2 = 36:

• 1) Keresse meg: a) egy valószínűségi változó valószínűségi sűrűségének és eloszlásfüggvényének kifejezését x; b) a 4. magasságú (176-182 cm) és 3. magasságú (170-176 cm) jelmezek arányát, amelyet a teljes gyártási volumenben erre a korosztályra vonatkozóan kell biztosítani; c) kvantilis x 07és 10% valószínűségi változó pont x.
• 2) Fogalmazzuk meg a "három szigma szabályát" egy valószínűségi változóra X. határozat. 1, a) A (4.26) és (4.30) képletekkel írunk

1, b) A 4. magasságú (176-182 cm) öltönyök részesedését a teljes termelésből a (4.32) képlet határozza meg valószínűségként

(4.14. ábra), hiszen a (4.33) képletek szerint

A 3. magasságú (170-176 cm) öltönyök aránya a (4.32) képlethez hasonlóan határozható meg, de egyszerűbb a (4.34) képlet segítségével megtenni, mivel ez az intervallum szimmetrikus a matematikai elvárásokhoz képest. de = M(X) = 173 i.e. egyenlőtlenség 170 X X -173|

(lásd 4.14. ábra;.

1, c) Kvantilis x 07(lásd a 3.7. bekezdést) valószínűségi változó x a (3.29) egyenletből a (4.30) képlet figyelembevételével megállapítjuk:

ahol

táblázat szerint 11 alkalmazást találtunk ÉN- 0,524 és

Ez azt jelenti, hogy ebben a korcsoportban a férfiak 70%-a 176 cm alatti.

• 10% pont - egokvantilis x 09 \u003d 181 cm (hasonlóan található), azaz. A férfiak 10%-a legalább 181 cm magas.
• 2) Szinte biztos, hogy az ebbe a korosztályba tartozó férfiak növekedése a határokon belül van de- Z = 173 - 3 6 = 155 to egy + Zet \u003d 173 + 3 - 6 \u003d \u003d 191 (cm), azaz 155

  A normális eloszlási törvénynek a bekezdés elején (és a 6. fejezetben) megjelölt sajátosságai miatt központi helyet foglal el a valószínűségi-statisztikai módszerek elméletében és gyakorlatában. A normáltörvény nagy elméleti jelentősége abban rejlik, hogy segítségével számos fontos eloszlást kapunk, amelyeket az alábbiakban tárgyalunk.

  • A nyilak az ábrán. A 4.11-4.13 feltételesen jelölte a normálgörbe alatti területet és d-t, valamint a megfelelő számokat.
  • Az F(x) Laplace-függvény értékeit a táblázatból határozzuk meg. II pályázatok.

Tekintsük a normál eloszlást. A funkció használataMS EXCELNORM.DIST() ábrázoljuk az eloszlásfüggvény és a valószínűségi sűrűség grafikonját. Hozzunk létre egy tömböt véletlen számok normál törvény szerint eloszlatva megbecsüljük az eloszlási paramétereket, az átlagértéket és a szórást.

Normális eloszlás(más néven Gauss-eloszlás) a legfontosabb mind az elméleti, mind a minőségellenőrzési rendszer alkalmazásaiban. az érték fontossága normális eloszlás(Angol) Normálterjesztés) a tudomány számos területén a valószínűségelméletből következik.

Meghatározás: Véletlenszerű érték x forgalmazza normális törvény ha van neki:

Normális eloszlás két paramétertől függ: μ (mu)- van , és σ ( szigma)- egy ( szórás). A μ paraméter határozza meg a középpont helyzetét valószínűségi sűrűség normális eloszlás, és σ a középpont körüli szórás (átlag).

jegyzet: A μ és σ paraméterek befolyását az eloszlás alakjára a ról szóló cikk ismerteti, ill. példafájl a munkalapon Befolyásolási beállítások segítségével megfigyelheti a görbe alakjának változását.

Normál eloszlás MS EXCEL-ben

Az MS EXCEL-ben, a 2010-es verziótól kezdődően, for normális eloszlás van egy NORM.DIST() függvény, az angol neve NORM.DIST(), amely lehetővé teszi a számítást valószínűségi sűrűség(lásd a fenti képletet) és integrál eloszlási függvény(annak valószínűsége, hogy egy X valószínűségi változó eloszlik normális törvény, kisebb vagy egyenlő értéket vesz fel, mint x). Ez utóbbi esetben a számításokat a következő képlet szerint végezzük:

A fenti eloszlás a jelöléssel rendelkezik N(μ; σ). Gyakran használják a jelölést is N(μ; σ 2).

jegyzet: Az MS EXCEL 2010 előtt az EXCEL-ben csak a NORMDIS() függvény volt, amely lehetővé teszi az eloszlásfüggvény és a valószínűségi sűrűség kiszámítását is. A NORMDIST() a kompatibilitás érdekében megmaradt az MS EXCEL 2010-ben.

szabványos normál eloszlás

szabványos normál eloszlás hívott normális eloszlás ahol μ=0 és σ=1. A fenti eloszlás a jelöléssel rendelkezik N(0;1).

jegyzet: Az irodalomban elosztott valószínűségi változóhoz alapértelmezett normál törvény, a z speciális jelölés rögzített.

Bármi normális eloszlás változó helyettesítéssel szabványossá alakítható z=(x-μ)/σ . Ezt az átalakulási folyamatot ún szabványosítás.

jegyzet: Az MS EXCEL rendelkezik egy NORMALIZE() funkcióval, amely végrehajtja a fenti transzformációt. Bár az MS EXCEL-ben ezt a transzformációt valamiért hívják normalizálás. Képletek =(x-μ)/σ és =NORMALIZÁLÁS(x;μ;σ) ugyanazt az eredményt adja vissza.

Az MS EXCEL 2010-ben for elérhető speciális funkció NORM.ST.DIST() és örökölt NORMSDIST() , amely hasonló számításokat végez.

Mutassuk meg, hogyan zajlik a szabványosítási folyamat az MS EXCEL-ben normális eloszlás N(1,5; 2).

Ehhez kiszámítjuk annak valószínűségét, hogy egy valószínűségi változó eloszlik normális törvény N(1,5; 2), kisebb vagy egyenlő, mint 2,5. A képlet így néz ki: =NORM.ELTOLÁS(2,5; 1,5; 2; IGAZ)=0,691462. Változó megváltoztatásával z=(2,5-1,5)/2=0,5 , írja le a számítás képletét Szabványos normál eloszlás:=NORM.ÁL.ELOSZTÁS(0,5, IGAZ)=0,691462.

Természetesen mindkét képlet ugyanazt az eredményt adja (lásd az ábrát). példa fájllap Példa).

vegye figyelembe, hogy szabványosítás csak arra vonatkozik (érv integrál egyenlő IGAZ), nem valószínűségi sűrűség.

jegyzet: Az irodalomban egy olyan függvényre, amely egy elosztott valószínűségi változó valószínűségeit számítja ki alapértelmezett normál törvény, a Ф(z) speciális jelölés rögzített. Az MS EXCEL programban ezt a függvényt a képlet számítja ki
=NORM.ST.ELOSZTÁS(z,IGAZ). A számításokat a képlet szerint végezzük

Mivel a függvény páros f(x) eloszlás, nevezetesen f(x)=f(-x), a függvény szabványos normál eloszlásФ(-x)=1-Ф(x) tulajdonsággal rendelkezik.

Inverz függvények

Funkció STANDARDS.DIST(x;TRUE) kiszámítja annak P valószínűségét, hogy az X valószínűségi változó x-nél kisebb vagy egyenlő értéket vesz fel. De gyakran fordított számítást kell végeznie: a P valószínűség ismeretében ki akarja számítani x értékét. Az x számított értékét nevezzük alapértelmezett normális eloszlás.

MS EXCEL-ben a számításhoz kvantilisek használja a NORM.ST.INV() és NORM.INV() függvényeket.

Függvénygrafikonok

A példafájl tartalmazza eloszlássűrűség diagramok valószínűségek és integrál eloszlási függvény.

Mint ismeretes, a lakosságból kiválasztott értékek körülbelül 68%-a normális eloszlás, 1 szórással (σ) vannak a μ-től (átlag vagy matematikai elvárás); körülbelül 95%-a 2 σ-n belül van, és az értékek már 99%-a 3 σ-n belül van. Győződjön meg erről szabványos normál eloszlás felírhatod a képletet:

=NORM.ÁL.ELOL.(1,IGAZ)-NORM.ST.ELTOLÁS(-1,IGAZ)

amely 68,2689%-os értéket ad vissza – ez azoknak az értékeknek a százalékos aránya, amelyek +/-1 szórása között vannak középső(cm. lap Grafikon példafájlban).

Mivel a függvény páros sűrűség standard normál disztribúciók: f(x)= f(-X), funkció szabványos normál eloszlás F(-x)=1-F(x) tulajdonsággal rendelkezik. Ezért a fenti képlet leegyszerűsíthető:

=2*NORM.ST.DIST(1;TRUE)-1

Önkényesnek normál eloszlási függvények N(μ; σ) hasonló számításokat kell végezni a következő képlet segítségével:

2* NORM.ELOSZ.(μ+1*σ;μ;σ;IGAZ)-1

A fenti valószínűségszámítások szükségesek ehhez.

jegyzet: Az írás megkönnyítése érdekében a példafájlban képleteket hoztak létre a következő eloszlási paraméterekhez: μ és σ.

Véletlenszám generálás

Hozzunk létre 3 100 számból álló tömböt különböző μ és σ értékekkel. Ehhez az ablakban Generáció véletlen számokállítsa be a következő értékeket minden paraméterpárhoz:

jegyzet: Ha beállítja az opciót Véletlenszerű szórás (Véletlenszerű vetőmag), akkor kiválaszthat egy bizonyos véletlenszerű generált számkészletet. Például, ha ezt az opciót 25-re állítja, ugyanazokat a véletlenszám-készleteket állíthatja elő különböző számítógépeken (ha természetesen a többi elosztási paraméter megegyezik). Az opció értéke 1 és 32 767 közötti egész számot vehet fel. Opció neve Véletlenszerű szórásösszezavarhat. Jobb lenne így fordítani Állítsa be a számot véletlenszerű számokkal.

Ennek eredményeként 3 számoszlopunk lesz, amelyek alapján meg lehet becsülni annak az eloszlásnak a paramétereit, amelyből a minta készült: μ és σ . μ-re az AVERAGE() függvénnyel, σ-re pedig az STDEV.V() függvénnyel becsülhető meg, lásd alább. példa fájllap Generáció.

jegyzet: Elosztott számok tömbjének létrehozása normális törvény, használhatja a képletet =NORM.INV(RAND();μ;σ). A RAND() függvény 0-tól 1-ig generál, ami éppen megfelel a valószínűségi változás tartományának (lásd alább). példa fájllap Generáció).

Feladatok

1. feladat. A cég 41 MPa átlagos szilárdságú, 2 MPa szórással nylon szálakat gyárt. A fogyasztó legalább 36 MPa szilárdságú meneteket szeretne vásárolni. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy a vállalat által a fogyasztó számára gyártott cérnatételek megfelelnek vagy meghaladják a követelményeket.
Megoldás 1: =1-NORM.ELTOLÁS(36;41;2;IGAZ)

2. feladat. A cég átlagosan 20,20 mm külső átmérőjű és 0,25 mm szórással rendelkező csöveket gyárt. A specifikációk szerint a csövek akkor tekinthetők megfelelőnek, ha az átmérő 20,00+/- 0,40 mm-en belül van. A legyártott csövek hány százaléka felel meg az előírásoknak?
Megoldás2: = NORM.ELOSZ.(20.00+0.40;20.20;0.25;IGAZ)- NORM.ELOSZ.(20.00-0.40;20.20;0.25)
Az alábbi ábrán az átmérőértékek tartománya van kiemelve, amely megfelel a specifikáció követelményeinek.

A megoldás megadva példa fájllap Feladatok.

3. feladat. A cég átlagosan 20,20 mm külső átmérőjű és 0,25 mm szórással rendelkező csöveket gyárt. A külső átmérő nem haladhatja meg bizonyos értéket(feltételezve, hogy az alsó határ nem fontos). Milyen felső határt kell beállítani a műszaki leírásban, hogy az összes gyártott termék 97,5%-a megfeleljen ennek?
Megoldás 3: =NORM.INV(0,975; 20,20; 0,25)=20,6899 vagy
=NORM.ST.OBR(0,975)*0,25+20,2("de-szabványosítás", lásd fent)

4. feladat. Paraméterek keresése normális eloszlás 2 (vagy ) értékével.
Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy egy valószínűségi változó normális eloszlású, de paraméterei nem ismertek, csak a 2. százalékos(például 0,5- százalékos, azaz medián és 0,95 százalékos). Mivel ismert, akkor tudjuk , azaz. μ. A megtaláláshoz használnia kell.
A megoldás megadva példa fájllap Feladatok.

jegyzet: Az MS EXCEL 2010 előtt az EXCEL rendelkezett NORMINV() és NORMINV() függvényekkel, amelyek egyenértékűek a NORM.INV() és NORM.INV() függvényekkel. A NORMINV() és NORMINV() csak a kompatibilitás miatt maradt meg az MS EXCEL 2010 és újabb verziókban.

Normál eloszlású valószínűségi változók lineáris kombinációi

Ismeretes, hogy lineáris kombináció normál eloszlású valószínűségi változók x(én) μ paraméterekkel (én) és σ (én) normál eloszlású is. Például, ha egy valószínűségi változó Y=x(1)+x(2), akkor Y eloszlása ​​μ paraméterekkel (1)+μ(2)És GYÖK(σ(1)^2+ σ(2)^2). Ezt MS EXCEL programmal ellenőrizzük.