A lineáris rendszert ún homogén ha minden szabad feltétele 0.

Mátrix formában a homogén rendszert írjuk:
.

A homogén rendszer (2) mindig konzisztens . Nyilvánvaló, hogy a számok halmaza
,
, …,
kielégíti a rendszer minden egyenletét. Döntés
hívott nulla vagy jelentéktelen döntés. Így egy homogén rendszernek mindig van nulla megoldása.

Milyen feltételek mellett lesznek a (2) homogén rendszernek nullától eltérő (nem triviális) megoldásai?

Tétel 1.3 Homogén rendszer (2) nullától eltérő megoldásai vannak akkor és csak akkor, ha a rang r fő mátrixa számnál kisebb ismeretlen n .

Rendszer (2) - határozatlan
.

Következmény 1. Ha az egyenletek száma m homogén rendszer kisebb, mint a változók száma
, akkor a rendszer határozatlan, és van egy sor nem nulla megoldása.

2. következmény. Négyzet alakú homogén rendszer
nullától eltérő megoldásokat tartalmaz, ha és ha ennek a rendszernek a fő mátrixa degenerált, azaz. döntő
.

Ellenkező esetben, ha a meghatározó
, a négyzetes homogén rendszer rendelkezik Az egyetlen dolog nulla megoldás
.

Legyen a rendszer rangja (2)
azaz a (2) rendszernek nemtriviális megoldásai vannak.

Legyen és - e rendszer sajátos megoldásai, pl.
és
.

Homogén rendszer megoldásainak tulajdonságai

Igazán, .

Igazán, .

Az 1) és 2) tulajdonságok kombinálásával azt mondhatjuk, hogy ha

…,
- a (2) homogén rendszer megoldásai, akkor ezek tetszőleges lineáris kombinációja a megoldása is. Itt
tetszőleges valós számok.

Található
lineárisan független partikuláris megoldások homogén rendszer (2), amely felhasználható ennek a rendszernek bármely más konkrét megoldására, pl. kapjuk meg a (2) rendszer általános megoldását.

Meghatározás 2.2 Összesített
lineárisan független partikuláris megoldások

…,
A (2) homogén rendszert úgy, hogy a (2) rendszer minden megoldása lineáris kombinációjaként ábrázolható, ún. alapvető döntési rendszer (FSR) homogén rendszer (2).

Legyen

…,
- alapvető rendszer megoldások, akkor a (2) homogén rendszer általános megoldása a következőképpen ábrázolható:

Ahol

.

Megjegyzés. Az FSR megszerzéséhez privát megoldásokat kell találnia

…,
, felváltva bármely szabad változónak az "1" értéket, az összes többi szabad változónak pedig "0" értéket ad.

Kap ,, …,- FSR.

Példa. Keresse meg a homogén egyenletrendszer általános megoldását és alapvető megoldási rendszerét:

Döntés.Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát úgy, hogy először a rendszer utolsó egyenletét tegyük az első helyre, és redukáljuk lépésenkénti alakra. Mivel az egyenletek megfelelő részei ennek eredményeként elemi átalakulások nem változtat, maradék nullák, oszlop

nem írható ki.

̴
̴
̴

Rendszer rangsor hol
- a változók száma. A rendszer bizonytalan, sok megoldást kínál.

Alap moll változókkal
nullától eltérő:
választ
mint alapvető változók, a többi
- szabad változók (vegyen bármilyen valós értéket).

A lánc utolsó mátrixa a lépcsőzetes egyenletrendszernek felel meg:

(3)

Fejezd ki az alapváltozókat!
szabad változókon keresztül
(a Gauss-módszer fordított lefolyása).

Az utolsó egyenletből fejezzük ki :
és behelyettesítjük az első egyenletbe. fogunk kapni. Kinyitjuk a zárójeleket, hasonlókat adunk és expressz :
.

Feltételezve
,
,
, ahol
, ír

a rendszer általános megoldása.

Keressünk egy alapvető megoldási rendszert

,,.

Ekkor a homogén rendszer általános megoldása így írható fel:

Megjegyzés. Az FSR más módon is megtalálható, anélkül, hogy először meg kellene találni a rendszer általános megoldását. Ehhez a kapott (3) lépésrendszert háromszor kellett megoldani, feltételezve, hogy for :
; számára :
; számára :
.

Rendszer m lineáris egyenletek c n ismeretlennek hívják lineáris homogén rendszer egyenletek, ha minden szabad tag nulla. Egy ilyen rendszer így néz ki:

ahol és ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - adott számok; x i- ismeretlen.

A lineáris homogén egyenletrendszer mindig konzisztens, hiszen r(A) = r(). Mindig legalább nulla ( jelentéktelen) megoldás (0; 0; ...; 0).

Nézzük meg, hogy a homogén rendszereknek milyen feltételek mellett vannak nullától eltérő megoldásai.

1. tétel. Egy lineáris homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nullától eltérő megoldása, ha a főmátrixának rangja r kevesebb az ismeretlen n, azaz r < n.

□ egy). Legyen a lineáris homogén egyenletrendszernek nullától eltérő megoldása. Mivel a rang nem haladhatja meg a mátrix méretét, nyilvánvaló, hogy r ≤ n. Legyen r = n. Aztán az egyik kiskorú mérete n n különbözik a nullától. Ezért a megfelelő lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van: , , . Ezért nincs más megoldás, mint a triviális. Tehát, ha van nem triviális megoldás, akkor r < n.

2). Legyen r < n. Ekkor egy homogén rendszer, mivel konzisztens, határozatlan. Ennélfogva végtelen számú megoldása van, pl. nullától eltérő megoldásai is vannak. ■

Tekintsünk egy homogén rendszert n lineáris egyenletek c n ismeretlen:

(2)

2. tétel. homogén rendszer n lineáris egyenletek c n Az ismeretleneknek (2) akkor és csak akkor vannak nem nulla megoldásai, ha a determinánsa egyenlő nullával: = 0.

□ Ha a (2) rendszernek nincs nullától eltérő megoldása, akkor = 0. Az at esetén a rendszernek csak egyedi nulla megoldása van. Ha = 0, akkor a rang r a rendszer főmátrixa kisebb, mint az ismeretlenek száma, azaz. r < n. És ezért a rendszernek végtelen számú megoldása van, pl. nullától eltérő megoldásai is vannak. ■

Jelölje az (1) rendszer megoldását! x 1 = k 1 , x 2 = k 2 , …, x n = k n mint egy húr .

A lineáris homogén egyenletrendszer megoldásai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

1. Ha a húr az (1) rendszer megoldása, akkor a karakterlánc az (1) rendszer megoldása is.

2. Ha a vonalak és az (1) rendszer megoldásai, akkor bármely értékre val vel 1 és val vel 2 lineáris kombinációjuk megoldást jelent az (1) rendszerre is.

Ezen tulajdonságok érvényességét úgy ellenőrizheti, hogy közvetlenül behelyettesíti őket a rendszer egyenleteibe.

A megfogalmazott tulajdonságokból következik, hogy a lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak bármely lineáris kombinációja ennek a rendszernek a megoldása is.

Lineárisan független megoldások rendszere e 1 , e 2 , …, e r hívott alapvető ha az (1) rendszer minden megoldása az lineáris kombináció ezeket a döntéseket e 1 , e 2 , …, e r.

3. tétel. Ha rang r együttható mátrixok számára rendszerváltozók lineáris homogén egyenletek (1) kisebb, mint a változók száma n, akkor az (1) rendszer bármely alapvető megoldási rendszere abból áll n–r megoldásokat.

Így közös döntés A lineáris homogén egyenletrendszer (1) alakja:

ahol e 1 , e 2 , …, e r a (9) rendszer bármely alapvető megoldási rendszere, val vel 1 , val vel 2 , …, p – tetszőleges számok, R = n–r.

4. tétel.Általános rendszermegoldás m lineáris egyenletek c n ismeretlenek egyenlő a megfelelő lineáris homogén egyenletrendszer (1) általános megoldásának és e rendszer tetszőleges konkrét megoldásának (1) összegével.

Példa. Oldja meg a rendszert

Döntés. Ehhez a rendszerhez m = n= 3. Meghatározó

A 2. Tétel szerint a rendszernek csak egy triviális megoldása van: x = y = z = 0.

Példa. 1) Keresse meg a rendszer általános és sajátos megoldásait

2) Találja meg a megoldások alapvető rendszerét.

Döntés. 1) Ehhez a rendszerhez m = n= 3. Meghatározó

a 2. Tétel szerint a rendszernek vannak nem nulla megoldásai.

Mivel csak egy független egyenlet van a rendszerben

x + y – 4z = 0,

akkor abból fejezzük ki x =4z- y. Ahonnan végtelen számú megoldást kapunk: (4 z- y, y, z) a rendszer általános megoldása.

Nál nél z= 1, y= -1, akkor egy konkrét megoldást kapunk: (5, -1, 1). Elhelyezés z= 3, y= 2, akkor a második konkrét megoldást kapjuk: (10, 2, 3) stb.

2) Az általános megoldásban (4 z- y, y, z) változók yés z szabadok, és a változó x- tőlük függ. A megoldások alapvető rendszerének megtalálása érdekében ingyen adunk változó értékek: először y = 1, z= 0, akkor y = 0, z= 1. Olyan partikuláris megoldásokat kapunk (-1, 1, 0), (4, 0, 1), amelyek a megoldások alapvető rendszerét alkotják.

Illusztrációk:

Rizs. 1 Lineáris egyenletrendszerek osztályozása

Rizs. 2 Lineáris egyenletrendszerek tanulmányozása

Előadások:

SLAU megoldás_ mátrix módszer

Megoldás SLAU_Cramer metódusa

Megoldás SLAE_Gauss módszer

· Csomagok matematikai feladatok megoldásához Mathematica: lineáris egyenletrendszerek analitikus és numerikus megoldásának keresése

tesztkérdések:

1. Határozzon meg egy lineáris egyenletet!

2. Milyen rendszer működik m lineáris egyenletek -val n ismeretlen?

3. Mit nevezünk lineáris egyenletrendszerek megoldásának?

4. Milyen rendszereket nevezünk egyenértékűnek?

5. Melyik rendszert nevezzük inkompatibilisnek?

6. Milyen rendszert nevezünk ízületnek?

7. Milyen rendszert nevezünk definiáltnak?

8. Milyen rendszert nevezünk határozatlannak

9. Sorolja fel a lineáris egyenletrendszerek elemi transzformációit!

10. Sorolja fel a mátrixok elemi transzformációit!

11. Fogalmazzon meg tételt elemi transzformációk lineáris egyenletrendszerre való alkalmazásáról

12. Milyen rendszerek oldhatók meg mátrix módszerrel?

13. Milyen rendszereket lehet megoldani Cramer módszerével?

14. Milyen rendszereket lehet Gauss-módszerrel megoldani?

15. Soroljon fel 3 lehetséges esetet, amely lineáris egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása során merül fel

16. Ismertesse a mátrix módszert lineáris egyenletrendszerek megoldására!

17. Ismertesse Cramer módszerét lineáris egyenletrendszerek megoldására!

18. Ismertesse a Gauss-módszert lineáris egyenletrendszerek megoldására!

19. Milyen rendszerek segítségével lehet megoldani inverz mátrix?

20. Soroljon fel 3 lehetséges esetet, amely lineáris egyenletrendszerek Cramer módszerrel történő megoldása során merül fel

Irodalom:

1. felsőbb matematika közgazdászoknak: Tankönyv egyetemeknek / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M. N. Fridman. Szerk. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 p.

2. Felsőfokú matematika általános tantárgy közgazdászoknak: Tankönyv. / Szerk. AZ ÉS. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 p.

3. Feladatgyűjtemény a felsőbb matematikában közgazdászok számára: Oktatóanyag/ V.I. szerkesztésében. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 p.

4. V. E. Gmurman, Útmutató a problémamegoldáshoz a valószínűségszámításban és a magmatikus statisztikában. -M.: elvégezni az iskolát, 2005. - 400 p.

5. Gmurman. VE Valószínűségelmélet és matematikai statisztika. - M.: Felsőiskola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Felsőfokú matematika gyakorlatokban és feladatokban. 1. rész, 2. - M .: Ónix 21. század: Világ és oktatás, 2005. - 304 p. 1. rész; – 416 p. 2. rész

7. Matematika a közgazdaságtanban: Tankönyv: 2 óra alatt / A.S. Solodovnikov, V.A. Babatsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Pénzügy és statisztika, 2006.

8. Shipachev V.S. Felsőfokú matematika: Tankönyv diákoknak. egyetemek - M .: Felsőiskola, 2007. - 479 p.

Hasonló információk.

Fontolgat homogén rendszer m lineáris egyenlet n változóval:

(15)

A homogén lineáris egyenletrendszer mindig kompatibilis, mert mindig van egy nulla (triviális) megoldása (0,0,…,0).

Ha a (15) rendszerben m=n és , akkor a rendszernek csak nulla megoldása van, ami a tételből és a Cramer-képletekből következik.

1. tétel. A (15) homogén rendszernek akkor és csak akkor van nemtriviális megoldása, ha mátrixának rangja kisebb, mint a változók száma, azaz. . r(A)< n.

Bizonyíték. A (15) rendszer nem triviális megoldásának létezése ekvivalens a rendszer mátrixának oszlopainak lineáris függésével (vagyis vannak x 1 , x 2 ,…, x n számok, amelyek nem egyenlők nullával , hogy a (15) egyenlőségek érvényesek).

Az alapmoll tétel szerint egy mátrix oszlopai lineárisan függőek , amikor ennek a mátrixnak nem minden oszlopa alap, azaz.  amikor a mátrix bázismolljának r rendje kisebb, mint oszlopainak n száma. Ch.t.d.

Következmény. Egy négyzetes homogén rendszernek vannak nem triviális megoldásai , ha |A|=0.

2. tétel. Ha az AX=0 homogén rendszer megoldásának x (1), x (2), ..., x (s) oszlopai, akkor ezek tetszőleges lineáris kombinációja is megoldás erre a rendszerre.

Bizonyíték. Fontolja meg a megoldások bármilyen kombinációját:

Ekkor AX=A()===0. h.t.d.

Következmény 1. Ha egy homogén rendszernek van nem triviális megoldása, akkor végtelen sok megoldása van.

Hogy. meg kell találni az Ax = 0 rendszernek olyan x (1), x (2), ..., x (s) megoldásait, hogy ennek a rendszernek bármely más megoldása ezek lineáris kombinációjaként ábrázolható legyen, ill. , ráadásul egyedi módon.

Meghatározás. Az Ax=0 rendszer lineárisan független x (1) ,x (2) ,…,x (k) megoldásainak k=n-r (n az ismeretlenek száma a rendszerben, r=rg A) rendszerét ún. alapvető döntési rendszer ezt a rendszert.

3. tétel. Legyen adott egy Ax=0 homogén rendszer n ismeretlennel és r=rg A. Ekkor van ennek a rendszernek egy k=n-r x (1) ,x (2) ,…,x (k) megoldásainak halmaza, amelyek alkotják a alapvető megoldási rendszer.

Bizonyíték. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy az A mátrix bázismollja a bal felső sarokban található. Ekkor a bázis-moll tétel szerint az A mátrix fennmaradó sorai az alapsorok lineáris kombinációi. Ez azt jelenti, hogy ha az x 1 ,x 2 ,…,x n értékek kielégítik az első r egyenletet, pl. az alapmoll sorainak megfelelő egyenletek), akkor más egyenleteket is kielégítenek. Ezért a rendszer megoldáskészlete nem változik, ha az (r + 1)-ediktől kezdődő összes egyenletet elvetjük. Megkapjuk a rendszert:

Az x r +1, x r +2 ,…,x n szabad ismeretleneket tegyük jobbra, az x 1 , x 2 ,…, x r alapismereteket pedig hagyjuk a bal oldalon:

(16)

Mert ebben az esetben minden b i =0, akkor a képletek helyett

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), kapjuk:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Ha a szabad ismeretlenek х r +1 ,х r +2 ,…,x n tetszőleges értékeket adunk, akkor az alapvető ismeretlenekre vonatkozóan egy négyzetes SLAE-t kapunk nem szinguláris mátrixszal, amelynek egyedi megoldása van. Így egy homogén SLAE bármely megoldását egyértelműen a szabad ismeretlenek х r +1 ,х r +2 ,…,x n értékei határozzák meg. Tekintsük a következő k=n-r szabad ismeretlenek értéksorát:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(A sorozatszámot zárójelben lévő felső index jelzi, az értékek sorozatát pedig oszlopokba írjuk. Minden sorozatban =1, ha i=j és =0, ha ij.

A szabad ismeretlenek értékeinek i-edik sorozata egyértelműen megfelel az alapvető ismeretlenek ,,…, értékeinek. A szabad és az alapvető ismeretlenek értékei együttesen adják a megoldást a (17) rendszerre.

Mutassuk meg, hogy az e i =,i=1,2,…,k oszlopok (18)

alapvető megoldási rendszert alkotnak.

Mert ezek az oszlopok felépítésük szerint az Ax=0 homogén rendszer megoldásai és számuk k-val egyenlő, akkor marad a megoldások lineáris függetlenségének bizonyítása (16). Legyen a megoldások lineáris kombinációja e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), egyenlő a nulladik oszloppal:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+ k e k ( 1 x (1) + 2 x(2) +…+ k x(k) = 0)

Ekkor ennek az egyenlőségnek a bal oldala egy olyan oszlop, amelynek r+1,r+2,…,n komponensei egyenlők nullával. De az (r+1)-edik komponens egyenlő:  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Hasonlóképpen, az (r+2)-edik komponens egyenlő  2 ,…-val, a k-edik komponens egyenlő  k-vel. Ezért  1 =  2 = …= k =0, ami a megoldások lineáris függetlenségét jelenti e 1 , e 2 ,…, e k ( x(1), x(2),…, x(k)).

A (18) felépített alapvető megoldási rendszer ún Normál. A (13) képlet alapján a következő alakja van:

(20)

2. következmény. Legyen e 1 , e 2 ,…, e k-egy homogén rendszer normál alapvető megoldási rendszere, akkor az összes megoldás halmaza a következő képlettel írható le:

x=c 1 e 1 + 2-től e 2 +…+с k e k (21)

ahol с 1 ,с 2 ,…,с k – tetszőleges értékeket vesz fel.

Bizonyíték. A 2. tétel szerint a (19) oszlop az Ax=0 homogén rendszer megoldása. Be kell bizonyítani, hogy ennek a rendszernek bármely megoldása ábrázolható a (17) formában. Vegyünk egy oszlopot x=y r +1 e 1 +…+yn e k. Ez az oszlop az r+1,…,n számú elemek tekintetében egybeesik az y oszloppal, és a (16) megoldása. Ezért az oszlopok xés nál nél meccs, mert a (16) rendszer megoldásait egyértelműen a szabad ismeretlenek x r +1 ,…,x n értékkészlete és az oszlopok határozzák meg. nál nélés x ezek a készletek egyeznek. Ennélfogva, nál nél=x= y r +1 e 1 +…+yn e k, azaz döntés nál nél oszlopok lineáris kombinációja e 1 ,…,y n normál FSR. Ch.t.d.

A bizonyított állítás nemcsak a normál FSR-re igaz, hanem egy homogén SLAE tetszőleges FSR-ére is.

X=c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+s n - r x n - r - közös döntés lineáris homogén egyenletrendszerek

ahol Х 1 ,Х 2 ,…,Х n - r bármely alapvető megoldási rendszer,

c 1 ,c 2 ,…,с n - r tetszőleges számok.

Példa. (78. o.)

Hozzunk létre kapcsolatot az inhomogén SLAE megoldásai között (1) és a megfelelő homogén SLAE (15)

4. tétel. Egy inhomogén rendszer (1) és a megfelelő homogén rendszer (15) bármely megoldásának összege az (1) rendszer megoldása.

Bizonyíték. Ha c 1 ,…,c n az (1) rendszer megoldása, d 1 ,…,d n pedig a (15) rendszer megoldása, akkor az (1) rendszer bármely (például i-edik) egyenletébe behelyettesítve a c 1 +d 1 ,…,c n +d n ismeretlen számok helyére a következőt kapjuk:

B i +0=b i

5. tétel. Az (1) inhomogén rendszer két tetszőleges megoldásának különbsége a (15) homogén rendszer megoldása.

Bizonyíték. Ha c 1 ,…,c n és c 1 ,…,c n az (1) rendszer megoldásai, akkor az (1) rendszer bármely (például i-edik) egyenletébe behelyettesítve az ismeretlen helyett c 1 -с 1 ,…,c n -с n számokat kapjuk:

B i -b i \u003d 0 h.t.d.

A bizonyított tételekből következik, hogy egy m lineáris homogén n változós egyenletrendszer általános megoldása egyenlő a megfelelő homogén lineáris egyenletrendszer (15) általános megoldásának és ennek tetszőleges számú egyedi megoldásának összegével. rendszer (15).

x neod. =X teljes egy +X gyakori több mint egy (22)

Egy inhomogén rendszer sajátos megoldásaként természetes, hogy annak megoldását vesszük, amelyet akkor kapunk, ha a képletekben c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) minden c r +1 ,…,c n szám nullával egyenlő, azaz.

Х 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Ezt a konkrét megoldást hozzáadva az általános megoldáshoz X=c 1 x 1 + c 2 x 2 +…+s n - r x n - r megfelelő homogén rendszert kapunk:

x neod. =X 0 +C 1 x 1 +C 2 x 2 +…+С n - r x n - r (24)

Tekintsünk egy két egyenletrendszert két változóval:

amelyben legalább az egyik együttható aij 0.

A megoldáshoz kizárjuk az x 2-t úgy, hogy az első egyenletet megszorozzuk egy 22-vel, a másodikat pedig (-a 12)-vel, és összeadjuk őket: Szüntessük meg az x 1-et úgy, hogy az első egyenletet (-a 21) megszorozzuk, a másodikat pedig 11-gyel. és hozzáadjuk őket: Kifejezés zárójelben - determináns

Jelölve ,, akkor a rendszer a következő alakot ölti:, azaz ha, akkor a rendszernek egyedi megoldása van:,.

Ha Δ=0, a (vagy), akkor a rendszer inkonzisztens, mert alakra redukálódik Ha Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, akkor a rendszer bizonytalan, mert jutott eszembe

Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk, amelyben minden szabad tag egyenlő nullával homogén :

Bármely homogén rendszer mindig konzisztens, hiszen mindig is így volt nulla (jelentéktelen ) megoldást. Felmerül a kérdés, hogy milyen feltételek mellett lesz egy homogén rendszernek nem triviális megoldása.

5.2. Tétel.Egy homogén rendszernek akkor és csak akkor van nem triviális megoldása, ha a főmátrix rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma.

Következmény. Egy négyzet alakú homogén rendszernek akkor és csak akkor van nem triviális megoldása, ha a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával.

5.6. példa. Határozza meg az l paraméter azon értékeit, amelyekre a rendszernek nemtriviális megoldásai vannak, és keresse meg ezeket a megoldásokat:

Döntés. Ennek a rendszernek nem triviális megoldása lesz, ha a fő mátrix determinánsa egyenlő nullával:

Így a rendszer nem triviális, ha l=3 vagy l=2. l=3 esetén a rendszer főmátrixának rangja 1. Ekkor csak egy egyenletet hagyva, és feltételezve, hogy y=aés z=b, kapunk x=b-a, azaz

l=2 esetén a rendszer főmátrixának rangja 2. Ezután alap-mollnak választva:

egyszerűsített rendszert kapunk

Innentől azt találjuk x=z/4, y=z/2. Feltételezve z=4a, kapunk

Egy homogén rendszer összes megoldásának halmaza nagyon fontos lineáris tulajdonság : ha X oszlop 1 és X 2 - az AX = 0 homogén rendszer megoldásai, akkor ezek bármely lineáris kombinációja a x 1+b x 2 ennek a rendszernek a megoldása is lesz. Valóban, azóta FEJSZE 1 = 0 és FEJSZE 2 = 0 , azután A(a x 1+b x 2) = a FEJSZE 1+b FEJSZE 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Ebből a tulajdonságból adódóan, ha egy lineáris rendszernek egynél több megoldása van, akkor ezekből a megoldásokból végtelenül sok lesz.

Lineárisan független oszlopok E 1 , E 2 , E k, amelyek egy homogén rendszer megoldásai, az ún alapvető döntési rendszer homogén lineáris egyenletrendszer, ha ennek a rendszernek az általános megoldása felírható ezen oszlopok lineáris kombinációjaként:

Ha egy homogén rendszer rendelkezik n változók, és a rendszer főmátrixának rangja egyenlő r, azután k = n-r.

5.7. példa. Keresse meg a következő lineáris egyenletrendszer alapvető megoldási rendszerét:

Döntés. Keresse meg a rendszer fő mátrixának rangját:

Így ennek az egyenletrendszernek a megoldási halmaza a dimenzió lineáris alterét alkotja n - r= 5 - 2 = 3. Alapmollnak választjuk

Ezután csak az alapegyenleteket (a többi ezen egyenletek lineáris kombinációja lesz) és az alapváltozókat (a többit, az ún. szabad változókat jobbra visszük át) meghagyva egy egyszerűsített egyenletrendszert kapunk:

Feltételezve x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, találunk

Feltételezve a= 1, b=c= 0, megkapjuk az első alapmegoldást; feltételezve b= 1, a = c= 0, megkapjuk a második alapmegoldást; feltételezve c= 1, a = b= 0, akkor a harmadik alapmegoldást kapjuk. Ennek eredményeként a megoldások normál alapvető rendszere ölt formát

Az alaprendszer segítségével a homogén rendszer általános megoldása így írható fel

x = aE 1 + lenni 2 + cE 3. a

Vegyük észre az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak néhány tulajdonságát AX=Bés kapcsolatuk a megfelelő homogén egyenletrendszerrel AX = 0.

Inhomogén rendszer általános megoldásaegyenlő a megfelelő homogén rendszer AX = 0 általános megoldásának és az inhomogén rendszer tetszőleges egyedi megoldásának összegével. Valóban, hagyjuk Y A 0 egy inhomogén rendszer tetszőleges partikuláris megoldása, azaz. AY 0 = B, és Y egy inhomogén rendszer általános megoldása, azaz. AY=B. Ha kivonjuk az egyik egyenlőséget a másikból, azt kapjuk
A(Y-Y 0) = 0, azaz Y-Y 0 a megfelelő homogén rendszer általános megoldása FEJSZE=0. Ennélfogva, Y-Y 0 = x, vagy Y=Y 0 + x. Q.E.D.

Legyen heterogén rendszer alakja AX = B 1 + B 2 . Ekkor egy ilyen rendszer általános megoldása úgy írható fel, hogy X = X 1 + x 2 , ahol AX 1 = B 1 és AX 2 = B 2. Ez a tulajdonság bármely lineáris rendszer univerzális tulajdonságát fejezi ki általában (algebrai, differenciális, funkcionális stb.). A fizikában ezt a tulajdonságot ún szuperpozíció elve, az elektro- és rádiótechnikában - átfedés elve. Például a lineáris elektromos áramkörök elméletében az áramkör bármely áramkörben megkapható az egyes energiaforrások által külön-külön okozott áramok algebrai összegeként.

1. példa. Keressen egy általános megoldást és néhány alapvető megoldási rendszert a rendszer számára

Döntés számológéppel keresse meg. A megoldási algoritmus ugyanaz, mint a lineáris inhomogén egyenletrendszereknél.
Csak sorokkal operálva megtaláljuk a mátrix rangját, az alapmollt; függő és szabad ismeretleneket deklarálunk, és megtaláljuk az általános megoldást.

Az első és a második sor arányos, az egyik törlődik:

.
Függő változók - x 2, x 3, x 5, szabad - x 1, x 4. Az első 10x 5 = 0 egyenletből azt találjuk, hogy x 5 = 0, akkor
; .
Az általános megoldás így néz ki:

Megtaláljuk a megoldások alapvető rendszerét, amely (n-r) megoldásokból áll. Esetünkben n=5, r=3, tehát a megoldások alapvető rendszere két megoldásból áll, és ezeknek a megoldásoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük. Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függetlenek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a sorok elemeiből álló mátrix rangja egyenlő legyen a sorok számával, azaz 2-vel. Elegendő megadni a szabad ismeretleneket x 1 és x 4 értéket a nullától eltérő másodrendű determináns soraiból, és számítsa ki az x 2 , x 3 , x 5 értéket. A legegyszerűbb nem nulla determináns a.
Tehát az első megoldás: , a második - .
Ez a két döntés alkotja az alapvető döntési rendszert. Ne feledje, hogy az alaprendszer nem egyedi (a nullától eltérő determinánsokat tetszőleges számban állíthatunk össze).

2. példa. Keresse meg az általános megoldást és a rendszer alapvető megoldási rendszerét!
Döntés.



,
ebből következik, hogy a mátrix rangja 3 és egyenlő a számmal ismeretlen. Ez azt jelenti, hogy a rendszerben nincsenek szabad ismeretlenek, ezért van egy egyedi megoldása - egy triviális.

Gyakorlat . Lineáris egyenletrendszer feltárása és megoldása.
4. példa

Gyakorlat . Keressen általános és egyedi megoldásokat minden rendszerhez.
Döntés. Felírjuk a rendszer fő mátrixát:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

A mátrixot háromszög alakúra hozzuk. Csak sorokkal fogunk dolgozni, mivel ha egy mátrix egy sorát megszorozzuk egy nem nulla számmal és hozzáadjuk egy másik sorhoz a rendszer számára azt jelenti, hogy az egyenletet meg kell szorozni ugyanazzal a számmal és hozzáadni egy másik egyenlethez, ami nem változtatja meg a megoldást. a rendszerről.
Szorozzuk meg a 2. sort (-5)-tel. Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Szorozzuk meg a 2. sort (6-tal). Szorozzuk meg a 3. sort (-1)-gyel. Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz:
Keresse meg a mátrix rangját!

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

A jeles kiskorúnak van legmagasabb rendű(a lehetséges minorok közül), és különbözik nullától (egyenlő a reciprok átlón lévő elemek szorzatával), ezért rang(A) = 2.
Ez a minor alap. Ismeretlen x 1, x 2 együtthatóit tartalmaz, ami azt jelenti, hogy az ismeretlen x 1, x 2 függő (alap), az x 3, x 4, x 5 pedig szabad.
A mátrixot átalakítjuk úgy, hogy csak az alapmoll marad a bal oldalon.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

A mátrix együtthatóival rendelkező rendszer megegyezik az eredeti rendszerrel, és a következő formában van:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével azt találjuk nem triviális megoldás:
Az x 1 ,x 2 és a szabad x 3 ,x 4 ,x 5 közötti függő változókat kifejező relációkat kaptunk, azaz közös döntés:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = -0,55x4 - 1,82x3 - 0,64x5
Megtaláljuk a megoldások alapvető rendszerét, amely (n-r) megoldásokból áll.
Esetünkben n=5, r=2, ezért az alapvető megoldási rendszer 3 megoldásból áll, és ezeknek a megoldásoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük.
Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függetlenek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a sorok elemeiből összeállított mátrix rangja egyenlő legyen a sorok számával, azaz 3-mal.
Elegendő a szabad ismeretleneknek x 3 ,x 4 ,x 5 értéket megadni a 3. rendű determináns nullától eltérő soraiból, és kiszámolni x 1 ,x 2 -t.
A legegyszerűbb nem nulla determináns az azonosságmátrix.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Feladat . Találja meg a megoldások alapvető halmazát egy homogén lineáris egyenletrendszerre.