A Csuvas Köztársaság Oktatási és Ifjúságpolitikai Minisztériuma

BOU DP (PK) S "Csuvas Oktatási Intézet" Csuvasia Oktatási Minisztériuma

Tanfolyami munka

választható tárgy « Egyenletek megoldásának technikái és módszerei magasabb fokozatok»

Matektanár készítette

MBOU "49. számú középiskola mélyreható

az egyes tárgyak tanulmányozása"

Cheboksary

Rumyanceva Julia Izosimovna

Cseboksári város

Az óra témája: Polinomiális gyökerek. Horner séma

Az óra célja:

tanítsa meg, hogyan kell megtalálni egy polinom értékét, annak gyökereit Bezout tételének, Horner sémájának felhasználásával;

készségek és képességek kialakítása a polinomok gyökereinek megtalálásában;

az anyag általánosítására, rendszerezésére tanítani;

fejleszteni a számítási készségeket, a koncentrációt, az önkontroll funkciókat;

önigényesre, szorgalomra nevel.

Tanterv:

ÉN. Idő szervezése

VI. Önálló munkavégzés

VIII. Házi feladat

AZ ÓRÁK ALATT

I. Szervezési mozzanat

Tájékoztassa az óra témáját, fogalmazza meg az óra céljait.

II. A tanulók tudásának aktualizálása

1. Házi feladat ellenőrzése.

a) Keresse meg a GCD-t ((x 6 - 1); (x 8 - 1)) az euklideszi algoritmus segítségével (diák főz a táblán).

Megoldás:

GCD ((x 6 - 1); (x 8 - 1)) = x 2 - 1.

Válasz: x 2 – 1 .

b) Állapítsa meg, hogy a polinom osztható-e! f(x) = x 5 - 5 x 4 + 8 x 3 - 5 x 2 + x + 2 (x - 1), (x + 1), (x - 2) (elölről ellenőrizve).

Megoldás. Bezout tétele szerint, ha f(1) = 0, akkor f(x) osztva (x - 1). Nézzük meg.

f(1) = 1 - 5 + 8 - 5 + 1 + 2 > 0, f(x) nem osztható (x - 1-gyel);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 - 80 + 64 - 20 + 4 = 0, f(x) osztható (x - 2-vel).

Válasz: osztható (x - 2-vel).

c) A P(x) polinom, ha elosztjuk (x - 1)-gyel, maradékot ad 3-nak, és ha elosztjuk (x - 2-vel) az 5. maradékot adja meg. Határozza meg a maradékot, miután a P(x) polinomot elosztja (x 2 - 3 x + 2)-vel.

(A megoldást előre kivetítjük a képernyőre vagy felírjuk a táblára).

Megoldás.

P(x) \u003d (x - 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) \u003d (x - 2) Q 2 (x) + 5 (2)
Az (1) és (2) bekezdésből az következik, hogy P(1) = 3, P(2) = 5.
Legyen P(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b vagy
P(x) = (x - 1) (x - 2) Q (x) + a x + b (3)

A (3)-ban egymás után x = 1 és x = 2 behelyettesítésével egy olyan egyenletrendszert kapunk, amelyből a = 2, b = 1.

Válasz: 2 x + 1.

d) Mire m és n polinom x 3 + m x + n bármely x maradék nélkül osztható x 2 + 3 x + 10-zel.

Megoldás. Ha „sarokkal” osztunk, x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x - 3) + ((m - 1) x + (n + 30)).

Mert az osztást maradék nélkül hajtjuk végre, ekkor (m - 1) x + (n + 30) = 0, és ez (bármely x esetén) csak akkor lehetséges, ha m = 1, n = -30.

Válasz: m = 1, n = –30.

2. Elméleti felmérés

a) Hogyan kell olvasni a tételt

b) Mondjon példát, ahol Bezout tételét használják?

c) Hogyan találjuk meg a szorzat vezető együtthatóját két polinom szorzásának szabályából?

d) Van-e a foknak nulla polinomja?

III. Felkészülés új anyagok elsajátítására

A polinomban, mint minden literális kifejezésben, változó helyett számokat helyettesíthet, és ennek eredményeként numerikus kifejezéssé, azaz végső soron számmá alakul. Tegyünk két fontos megjegyzést a problémák megoldásához:

Jelentésef(0)egyenlő a polinom szabad tagjával.

Jelentésef(1)egyenlő a polinom együtthatóinak összegével.

A polinom értékeinek megtalálása nem jelent alapvető nehézséget, azonban a számítások ebben az esetben meglehetősen nehézkesek lehetnek. A számítások leegyszerűsítése érdekében létezik egy Horner-séma nevű technika, amelyet a 16. századi angol matematikusról neveztek el. Ez a séma abból áll, hogy kitölt egy kétsoros táblázatot.

Például egy polinom értékének kiszámításához f (x) \u003d 2 x 4 - 9 x 3 - 32 x 2 - 57 x \u003d 7 esetén (vagyis, hogy megtudja, osztható-e (x - 7) -vel Bezout tétele szerint), meg kell cserélje ki a számot x-re 7 . Ha f(7) = 0, akkor f(x) maradék nélkül osztva. Ha f(7 ) nem egyenlő 0, akkor f(x) osztható (x – 7)-vel egy maradékkal. Az f(7) értékének könnyebb megtalálása érdekében Horner sémáját alkalmazzuk. Töltsük ki a kétsoros táblázatot a következő algoritmus szerint:

1. Először az együtthatók sorát írjuk fel.
2. A második sorban megduplázzuk a legmagasabb együtthatót, és elé kerül a változó értéke (esetünkben a 7-es szám), amelynél kiszámoljuk a polinom értékét.

Kiderül egy táblázat, amelynek üres celláit ki kell tölteni.

Asztal 1

3. Ez egyetlen szabály szerint történik: a jobb oldali üres cella esetén a 2-es számot megszorozzuk 7-tel, és hozzáadjuk az üres cella feletti számhoz. A választ az első üres cellába írjuk. Ez a maradék üres cellák kitöltésére szolgál. Ezért a 2 7 - 9 = 5 szám kerül az első üres cellába, az 5 7 - 32 = 3 szám a második üres cellába, a 3 7 + 0 = 21 a harmadikba, és a A 21-es szám 7 - 57 = 90 kerül az utolsóba. ez a táblázat így néz ki:

2. táblázat

A második sor utolsó száma a válasz.

Megjegyzés: a számítógépben lévő polinom értékeinek kiszámítására szolgáló programot a Horner-séma szerint állítják össze.

IV. A tanult anyag konszolidációja

Tekintsük az 1. (b) házi feladat megoldását Horner séma szerint. Tehát Horner sémájával nézzük meg, hogy az (x) = x 5 - 5 x 4 + 8 x 3 - 5 x 2 + x + 2 polinom osztható-e (x - 1), (x + 1), (x) - 2) . Ha több értéket szeretne ellenőrizni, akkor a számítások mentéséhez egy kombinált áramkört építünk.

3. táblázat

Az utolsó oszlopban a harmadik, negyedik és ötödik sorban - az osztás többi része. Ekkor f(x) maradék nélkül osztható (x – 2)-vel, mert r = 0.

V. Polinom gyökeinek megkeresése

Bezout tétele lehetővé teszi, hogy egy polinom egy gyökének megtalálása után tovább keressük egy olyan polinom gyökét, amelynek foka eggyel kisebb. Néha ezzel a trükkel – ezt úgy hívják, hogy „fokozat csökkentése” – meg lehet találni a polinom összes gyökerét.

Különösen egy gyökér kiválasztása köbös egyenlet, ezzel csökkentve a fokozatot, teljesen megoldható a kapott megoldással másodfokú egyenlet.

Az ilyen problémák megoldásánál ugyanaz a Horner-séma nagyon hasznos. Valójában azonban Horner séma sokkal többet ad: a második sorban lévő számok (az utolsót nem számítva) az (x - a) részleges elválasztás együtthatói.

3. táblázat:

1. példa Keresse meg az f (x) \u003d (x 4 - x 3 - 6 x 2 - x + 3) polinom gyökereit.

Megoldás. A szabad tag osztói: – 1, 1, – 3, 3 lehetnek a polinom gyökei. Ha x = 1, az együtthatók összege nyilvánvalóan nulla. Tehát x 1 = 1 gyök. Ellenőrizzük Horner séma szerint a gyökérszámot - 1 és a szabad tag többi osztóját.

4. táblázat

x = -1 - gyök
másodszor x = -1 - nem gyök
ellenőrizze x = 3
x = 3 a gyök.
f (x) \u003d (x + 1) (x - 3) (x 2 + x - 1), x 2 + x - 1 \u003d 0,

Megjegyzés. A polinom gyökereinek megtalálásakor nem szabad felesleges pontos számításokat végezni olyan esetekben, amikor nyilvánvaló durva becslések vezetnek a kívánt eredményhez.
Például Horner séma a 31 és -31 értékeknek az x 5 - 41 x 4 + 32 x 2 - 4 x + 31 polinom "jelölt gyökeként" tesztelésére így nézhet ki:

5. táblázat

A 31 és -31 nem gyökei az x 5 - 41 x 4 + 32 x 2 - 4 x + 31 polinomnak.

2. példa Keresse meg az f (x) \u003d x 4 + 2 x 3 - 6 x 2 - 22 x + 55 polinom gyökereit.

Megoldás. Az 55 osztói: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Vegye figyelembe, hogy – 1 és 1 nem gyökei a polinomnak. Meg kell nézni a többi elválasztót.

Megjegyzés. Nagyon fontos, hogy a diákok elsajátítsák Horner „hosszú” sémáját. Ebben a példában a „hosszú” séma egyszerűen kényelmes.

6. táblázat

x 2 + 57 x + 3 129 = 0, nincs gyök.

Válasz: nincsenek gyökerei.

VI. Önálló munkavégzés

A fórumon három ember dönt a későbbi ellenőrzésről.

Keresse meg a polinom gyökereit a Horner-séma szerint:

a) f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 - 5 x - 6;

Válasz: – 1; 2; – 3.

b) f (x) \u003d x 5 - 5 x 4 + 6 x 3 - x 2 + 5 x - 6;

Válasz: 1; 2; 3.

c) f (x) \u003d x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 - 8 x - 4.

Válasz:

(Az ellenőrzés párban történik, pontokat adunk).

VII. Kutatómunka hallgatók

– Srácok, nem vettétek észre, milyen polinomokat elemeztünk leginkább az órákon?

(A tanuló válaszol).

– Igen, ezek egész együtthatós polinomok, amelyeknek a kezdőtagja k = 1.

– Mik voltak a válaszok?

(A tanuló válaszol).

– Így van, egy egész együtthatós és a legmagasabb k = 1 tagú polinom gyökei vagy egészek, vagy irracionálisak, vagy egészek és irracionálisak, vagy nincs gyökük. Jegyezd fel a következtetést a füzetedbe.

VIII. Házi feladat

1. 129. szám (1, 3, 5, 6) - N. Ya. Vilenkin - 10, 78. o.
2. Tanuld meg ennek a leckének az elméletét.

IX. A lecke összegzése és jelölés

Irodalom

M.L. Galitsky. Az algebra és a számítások mélyreható tanulmányozása. // Felvilágosodás, 1997

G.V. Dorofejev. Egyváltozós polinomok. // Szentpétervár. Különleges irodalom, 1997

N.Ya. Vilenkin. Algebra és matematikai elemzés. 10. évfolyam // Felvilágosodáse

Magyarázó jegyzet.

A kurzus fizikai és matematikai profilú 10. évfolyamos tanulók számára készült, akik rendelkeznek jó szinten matematikai képzést, és célja, hogy segítse a felkészülést a különböző matematikai versenyekre, olimpiákra, hozzájáruljon egy komoly matematikai oktatás folytatásához. Bővíti a matematika alapszakot, tantárgyorientált, és lehetőséget ad a hallgatóknak megismerkedni a matematika érdekes, nem szabványos kérdéseivel, magasabb fokú egyenletek megoldási módszereivel. A tanfolyam magában foglalja a differenciált tanulás lehetőségét.

Az iskolásokat a magasabb fokú egyenletek megoldásának szép, elegáns megoldásainak keresése felé orientálva a tanár ezzel hozzájárul a tanulók esztétikai neveléséhez, matematikai kultúrájának fejlesztéséhez. A kurzus a tankönyv folytatása, amely lehetővé teszi a hallgatók megtanítását önálló munkavégzés, technikák magasabb fokú egyenletek megoldására. Megvalósításával célzott tanulás A magasabb fokú egyenleteket megoldó iskolásokat meg kell tanítani megfigyelésre, analógiára, indukcióra, összehasonlításra és megfelelő következtetések levonására. A magasabb fokú egyenletek segítségével nemcsak a logikus érvelés készségeit kell a tanulókban elsajátítani, hanem a heurisztikus gondolkodás erős készségeit is.

A tanfolyam céljai és célkitűzései.

A matematika iránti érdeklődés fejlesztése, a heurisztikus gondolkodás.

Hozzájárulni a komoly matematikai oktatás folytatásához.

Megtanítani, hogyan kell racionális módszert választani a problémamegoldáshoz, és igazolni a meghozott választást.

Hozzájárulni a tudományos gondolkodásmód kialakításához.

Készülj fel a vizsgára.

Ez a választható kurzus 34 tematikus leckéből áll.

A tanulók tájékoztatást kapnak a célról és a célról választható tárgy. Az órák elméleti és gyakorlati részből állnak - előadások, konzultációk, workshopok, önálló és kutatómunka.

A polinomelmélet főbb rendelkezéseinek tanulmányozása lehetővé teszi, hogy tetszőleges fokozatú egyenletekre általánosítsuk Vieta kifejezését. A polinomosztó műveletek végrehajtásának képessége megkönnyíti a jövőben a matematikai elemzésből származó problémák megoldását.

A Horner-séma és a polinom racionális gyökére vonatkozó tétel vizsgálata megadja általános módszer bármely algebrai kifejezés faktorizálása. A magasabb fokú egyenletek megoldásának képessége viszont jelentősen kibővíti az exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus és irracionális egyenletek és egyenlőtlenségek körét.

Irodalom

1. Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Algebrai feladatgyűjtemény 8-9.

2 Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Feladatok a matematikából. Algebra.

3 Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Nem szabványos módszerek egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására.

4 ..Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Egyenletek és egyenlőtlenségek.

5. Sharygin I.F. Választható matematika tantárgy.

A tanfolyam céljai és célkitűzései 1

Irodalom 4

6. függelék

Az óra céljai:

• tanítsa meg a diákokat magasabb fokú egyenletek megoldására Horner-séma segítségével;
• fejleszteni a páros munkavégzés képességét;
• a tantárgy fő részeivel együtt alapot teremteni a hallgatók képességeinek fejlesztéséhez;
• segítse a tanulót abban, hogy felmérje lehetőségeit, fejleszthesse a matematika iránti érdeklődést, gondolkodási, beszédkészségét a témában.

Felszerelés: kártyák csoportos munkához, poszter Horner sémájával.

Oktatási módszer: előadás, mese, magyarázat, gyakorló gyakorlatok előadása.

Az ellenőrzés formája: feladat ellenőrzése független megoldás, önálló munkavégzés.

Az órák alatt

1. Szervezési mozzanat

2. A tanulók tudásának aktualizálása

Melyik tétel teszi lehetővé annak meghatározását, hogy egy szám gyök-e adott egyenlet(tételt megfogalmazni)?

Bezout tétele. A P(x) polinom binomimmal való osztásának maradéka x-c egyenlő P(c), a c számot a P(x) polinom gyökének nevezzük, ha P(c)=0. A tétel lehetővé teszi az osztási művelet végrehajtása nélkül annak meghatározását, hogy vajon adott szám egy polinom gyöke.

Mely állítások teszik könnyebbé a gyökerek megtalálását?

a) Ha a polinom vezető együtthatója eggyel egyenlő, akkor a polinom gyökét a szabad tag osztói között kell keresni.

b) Ha egy polinom együtthatóinak összege 0, akkor az egyik gyöke 1.

c) Ha a páros helyeken lévő együtthatók összege egyenlő a páratlan helyeken lévő együtthatók összegével, akkor az egyik gyök egyenlő -1-gyel.

d) Ha minden együttható pozitív, akkor a polinom gyökei negatív számok.

e) A páratlan fokú polinomnak legalább egy valós gyöke van.

3. Új anyag elsajátítása

Az egész megoldása során algebrai egyenletek meg kell találni a polinomok gyökeinek értékét. Ez a művelet nagymértékben leegyszerűsíthető, ha a számításokat egy speciális, Horner-séma nevű algoritmus szerint végezzük. Ez a rendszer William George Horner angol tudósról kapta a nevét. A Horner-séma egy P(x) polinom x-c-vel való osztásának hányadosának és maradékának kiszámítására szolgáló algoritmus. Röviden, hogyan működik.

Legyen adott egy tetszőleges P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n polinom. Ennek a polinomnak az x-c-vel való osztása a P(x)=(x-c)g(x) + r(x) alakban. Privát g (x) \u003d 0 x n-1 + helyen n x n-2 + ... + n-2 helyen x + n-1, ahol 0 \u003d a 0, n \u003d sv n- 1 + a n, n=1,2,3,…n-1. Maradék r (x) \u003d St n-1 + a n. Ezt a számítási módszert Horner-sémának nevezik. A "séma" szó az algoritmus nevében annak köszönhető, hogy általában a végrehajtása a következőképpen formalizálódik. Első sorsolási táblázat 2(n+2). A bal alsó cellába a c számot, a felső sorba pedig a P (x) polinom együtthatóit írjuk. Ebben az esetben a bal felső cella üresen marad.

	0-nál = a 0	1-ben \u003d sv 1 + a 1	2 \u003d sv 1 + a 2		n-1-ben \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Az a szám, amelyről az algoritmus végrehajtása után kiderül, hogy a jobb alsó cellába van írva, a P(x) polinom x-c-vel való osztásának maradéka. Az alsó sor többi 0 , 1 , 2 ,… számjegye a hányados együtthatója.

Például: Ossza el a P (x) \u003d x 3 -2x + 3 polinomot x-2-vel.

Azt kapjuk, hogy x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. A tanult anyag konszolidálása

1. példa: Tényezőzzük a P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 polinomot egész együtthatókkal.

Egész gyököket keresünk a szabad tag -1: 1 osztói között; -egy. Készítsünk egy táblázatot:

X \u003d -1 - gyökér

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Ellenőrizzük 1/2.

					X=1/2 - gyökér

Ezért a P(x) polinom így ábrázolható

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

2. példa: Oldja meg a 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0 egyenletet

Mivel az egyenlet bal oldalára írt polinom együtthatóinak összege nulla, ezért az egyik gyök 1. Használjuk a Horner-sémát:

						X=1 - gyökér

Azt kapjuk, hogy P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). A 2 szabad tag osztói között keresünk gyökereket.

Megtudtuk, hogy nincsenek többé egész gyökerek. Ellenőrizzük 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - gyökér

Válasz: 1; -1/2.

3. példa: Oldja meg az 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0 egyenletet.

Ennek az egyenletnek a gyökereit keressük az 5: 1; -1; 5; -5 szabad tag osztói között. x=1 az egyenlet gyöke, mivel az együtthatók összege nulla. Használjuk Horner sémáját:

az egyenletet három tényező szorzataként ábrázoljuk: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Az 5x 2 -7x+5=0 másodfokú egyenletet megoldva D=49-100=-51-et kaptunk, nincs gyök.

1. kártya

1. A polinom tényezője: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Oldja meg az egyenletet: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

2. kártya

1. A polinom tényezője: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Oldja meg az egyenletet: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

3. kártya

1. Tényező: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Oldja meg az egyenletet: x 3 -2x 2 +4x-8=0

4. kártya

1. Tényező: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Oldja meg az egyenletet: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Összegzés

A páros megoldásnál az ismeretek tesztelése a leckében a cselekvési mód és a válasz nevének felismerésével történik.

Házi feladat:

Oldja meg az egyenleteket:

a) x 4 -3x3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x4 -36x3 +62x2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Irodalom

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra and the Beginnings of Analysis 10. évfolyam (matematika alapos tanulmányozása): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Szaharcsuk, L.S. Sagatelova, Magasabb fokú egyenletek megoldása: Volgograd, 2007.
3. S.B. GashkovSzámrendszerek és alkalmazásuk.

1. Osztani 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 a x − 1 Horner sémájával.

Megoldás:

Készítsünk egy kétsoros táblázatot: az első sorba írjuk az 5-ös polinom együtthatóit x 4 +5x 3 +x 2 −11, a változó hatványainak csökkenő sorrendjében x. Vegye figyelembe, hogy ez a polinom nem tartalmaz x első fokon, azaz. együttható előtt x az első hatványhoz 0. Mivel osztunk vele x−1, akkor a második sorba írjuk az egységet:

Kezdjük el kitölteni a második sor üres celláit. A második sor második cellájába írja be a számot 5 , egyszerűen áthelyezi az első sor megfelelő cellájából:

Töltse ki a következő cellát a következőképpen: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

Hasonlóképpen töltse ki a második sor negyedik celláját: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Az ötödik cellához a következőket kapjuk: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

És végül, az utolsó, hatodik cella számára: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

A probléma megoldódott, csak le kell írni a választ:

Amint látja, a második sorban található számok (egy és nulla között) az 5-tel való osztás után kapott polinom együtthatói. x 4 +5x 3 +x 2–11 x-1. Természetesen, mivel az eredeti polinom fokszáma 5 x 4 +5x 3 +x 2 −11 egyenlő volt néggyel, majd a kapott polinom 5 foka x 3 +10x 2 +11x+11 eggyel kevesebb, i.e. egyenlő hárommal. A második sor utolsó szám (nulla) az 5 polinom osztásának maradékát jelenti x 4 +5x 3 +x 2–11 x−1.
Esetünkben a maradék nulla, azaz. a polinomok oszthatók. Ez az eredmény a következőképpen is jellemezhető: az 5-ös polinom értéke x 4 +5x 3 +x 2-11 órakor x=1 nulla.
A következtetés a következő formában is megfogalmazható: mivel a polinom értéke 5 x 4 +5x 3 +x 2-11 órakor x=1 egyenlő nullával, akkor az egység az 5 polinom gyöke x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. Határozzuk meg a nem teljes hányadost, a polinom osztásának maradékát

DE(x) = x 3 – 2x 2 + 2x– 1 binomiálisonként x – 1.

Megoldás:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

Válasz: K(x) = x 2 – x + 1 , R(x) = 0.

3. Számítsa ki a polinomértéket DE(x) nál nél x = – 1 ha DE(x) = x 3 – 2 x – 1.

Megoldás:

			– 2	– 1
α = – 1		– 1	– 1

Válasz: DE(– 1) = 0.

4. Számítsa ki a polinomértéketDE(x) nál nél x= 3, hiányos hányados és a többi, hol

DE(x)= 4 x 5 – 7x 4 + 5x 3 – 2 x + 1.

Megoldás:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

Válasz: R(x) = A(3) = 535, K(x) = 4 x 4 + 5x 3 + 20x 2 + 60x +178.

5. Keresse meg az egyenlet gyökereit!x 3 + 4 x 2 + x – 6 = 0.

Megoldás:

Megtaláljuk a szabad tag osztóit ±1; ±2; ± 3; ±6

Itt a \u003d 1 (x - 1 \u003d x - a), és az osztható polinom együtthatói egyenlőek, ill.
1, 4, 1, - 6. A Horner-séma alkalmazásához táblázatot készítünk:

Legyen egy ax + b = 0 alakú egyszerű binomiális. Nem nehéz megoldani. Csak az ismeretlent kell áthelyezni az egyik oldalra, és az együtthatókat a másik oldalra. Ennek eredményeként x = - b/a. A vizsgált egyenlet bonyolultabbá tehető az ax2 + bx + c = 0 négyzet összeadásával. A diszkrimináns megtalálásával megoldható. Ha nagyobb nullánál, akkor két megoldás lesz, ha egyenlő nullával, akkor csak egy gyök van, ha pedig kisebb, akkor nincs megoldás.

A következő egyenlettípus tartalmazza a harmadik hatványt ax3 + bx2 + c + d = 0. Ez az egyenlőség sokak számára nehézséget okoz. Bár vannak különböző módokon, amelyek lehetővé teszik egy ilyen egyenlet megoldását, például a Kordan-képletet, de ezek már nem használhatók ötödik és magasabb rendű fokokra. Ezért a matematikusok egy univerzális módszerre gondoltak, amellyel bármilyen bonyolultságú egyenletet ki lehet számítani.

Az iskola általában a csoportosítási és elemzési módszer alkalmazását javasolja, amelyben a polinom legalább két faktorra bontható. Egy köbös egyenlethez a következőt írhatjuk: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Ekkor azt a tényt használják, hogy a szorzat csak akkor lesz egyenlő nullával, ha a lineáris binomiális vagy másodfokú egyenlet egyenlő vele. Ezután végezze el a standard oldatot. Az ilyen típusú redukált egyenlőségek kiszámításának problémája x0 keresése során merül fel. Ebben segít Horner terve.

A Horner által javasolt algoritmust valójában korábban Paolo Ruffini olasz matematikus fedezte fel. Ő volt az első, aki bebizonyította, hogy az ötödik fokú kifejezésekben lehetetlen radikálist találni. De munkája sok ellentmondást tartalmazott, amelyek nem tették lehetővé, hogy elfogadják. matematikai világ tudósok. Munkájára alapozva 1819-ben a brit William George Horner kiadott egy módszert a polinom közelítő gyökereinek megtalálására. Ezt a munkát a Royal Society adta ki, és Ruffini-Horner módszernek nevezték el.

Miután a skót Augustus de Morgan kibővítette a módszer alkalmazási lehetőségeit. A módszer alkalmazást talált a halmazelméleti összefüggésekben és a valószínűségszámításban. Valójában a séma egy algoritmus a P (x) x-c-re írt reláció hányadosának és maradékának kiszámítására.

A módszer elve

A diákok először a felsőbb évfolyamokon ismerkednek meg a gyökerek megtalálásának módszerével a Horner-séma segítségével. Gimnázium algebra osztályban. Ennek magyarázata egy harmadik fokú egyenlet megoldásának példája: x3 + 6x - x - 30 = 0. Ráadásul a feladat feltételében adott, hogy ennek az egyenletnek a gyöke a kettes szám. A kihívás más gyökerek azonosítása.

Ez általában a következő módon történik. Ha a p (x) polinomnak van x0 gyöke, akkor p (x) ábrázolható az x mínusz x nulla különbség és néhány másik q (x) polinom szorzataként, amelynek foka eggyel kisebb lesz. A kívánt polinomot általában az osztás módszerével különböztetjük meg. Ebben a példában az egyenlet így fog kinézni: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). Az osztást legjobban "sarokkal" lehet elvégezni. Az eredmény a következő kifejezés: x 2 + 8x + 15.

Így a kívánt kifejezés átírható a következőre: (x - 2) * (x 2 + 8x + 15) = 0. Ezután a megoldás megtalálásához a következőket kell tennie:

• Keresse meg az egyenlőség első tagjában a gyököket, egyenlővé téve azt nullával: x - 2 = 0. Ebből következik, hogy x = 2, ami a feltételből is következik.
• Oldja meg a másodfokú egyenletet úgy, hogy a polinom második tagját nullával egyenlővé teszi: x 2 + 8x + 15 = 0. A gyököket a diszkrimináns segítségével vagy a Vieta-képletekkel találhatja meg. Tehát felírhatja, hogy (x + 3) * (x + 5) \u003d 0, azaz x egy egyenlő hárommal, és x kettő - mínusz öt.

Mindhárom gyökér megtalálható. De itt felmerül egy ésszerű kérdés, hogy hol van a példában használt Horner-séma? Tehát mindezt a nehézkes számításokat egy nagysebességű megoldási algoritmus helyettesítheti. Egyszerű lépésekből áll. Először rajzolnia kell egy több oszlopot és sort tartalmazó táblázatot. A kezdeti sor második oszlopából kiindulva írja be az együtthatókat az eredeti polinom egyenletébe. Az első oszlopba írja be azt a számot, amellyel az osztás megtörténik, vagyis a megoldás lehetséges tagjait (x0).

Miután a kiválasztott x0 beírásra került a táblázatba, a kitöltés a következő elv szerint történik:

• az első oszlopban egyszerűen lebontják azt, ami a második oszlop felső elemében van;
• a következő szám megtalálásához meg kell szorozni a hordozott számot a kiválasztott x0-val, és össze kell adni érdemes szám felül a kitöltött oszlopban;
• hasonló műveleteket hajtanak végre az összes cella végső kitöltéséig;
• az utolsó oszlop sorai nullával egyenlőek, és ez lesz a kívánt megoldás.

A vizsgált példában, ha kettőt helyettesítünk, a sor egy sorozatból áll: 2, 1, 8, 15, 0. Így minden tag megtalálható. Ebben az esetben a séma a hatványegyenlet bármely sorrendjére működik.

Használati példa

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan kell használni Horner sémáját, részletesen meg kell vizsgálnunk egy tipikus példát. Meg kell határozni a p (x) polinom x0 gyökének többszörösét \u003d x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8. Problémákban gyakran szükséges a gyökeket felsorolással kiválasztani, de az időmegtakarítás érdekében feltételezzük, hogy ezek már ismertek, és csak ellenőrizni kell őket. Itt meg kell érteni, hogy a séma használatával a számítás még mindig gyorsabb lesz, mint más tételek vagy a redukciós módszer használatával.

A megoldási algoritmus szerint mindenekelőtt egy táblázatot kell rajzolnia. Az első sor a fő együtthatókat jelöli. Az egyenlethez nyolc oszlopot kell rajzolni. Ezután derítsük ki, hogy a vizsgált polinomba hányszor fog beleférni x0 = 2. A második oszlop második sorában az együtthatót egyszerűen lebontjuk. A vizsgált esetben ez egyenlő lesz eggyel. A szomszédos cellában az érték a következőképpen kerül kiszámításra: 2 *1 -5 = -3. A következőben: 2 *(-3) + 7 = 1. Ugyanígy töltse ki a többi cellát.

Amint látja, legalább egyszer kettőt elhelyezünk egy polinomban. Most ellenőriznünk kell, hogy a kettő a kapott legalacsonyabb kifejezés gyökere-e. A táblázatban szereplő hasonló műveletek végrehajtása után a következő sort kell kapnia: 1, -1, -1. -2, 0. Valójában ez egy másodfokú egyenlet, amit szintén ellenőrizni kell. Ennek eredményeként a számított sorozat 1, 1, 1, 0-ból fog állni.

Az utolsó kifejezésben a kettő nem lehet racionális megoldás. Vagyis az eredeti polinomban a kettes szám háromszor szerepel, ami azt jelenti, hogy a következőt írhatjuk: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). Ez a kettő nem gyökér négyzet alakú kifejezés a következő tényekből lehet megérteni:

• a szabad együttható nem osztható kettővel;
• mindhárom együttható pozitív, ami azt jelenti, hogy az egyenlőtlenségi grafikon kettőtől kezdve nő.

Így a rendszer használata lehetővé teszi, hogy megszabaduljon az összetett számlálók és osztók használatától. Minden művelet egész számok egyszerű szorzására és nullák kiválasztására redukálódik.

A módszer magyarázata

A Horner-féle séma létezésének igazolását számos tényező magyarázza. Képzeljük el, hogy van egy harmadfokú polinom: x3 + 5x - 3x + 8. Ebből a kifejezésből az x kivehető a zárójelből: x * (x2 + 5x - 3) + 8. A kapott képletből ismét kiveheti x: x * (x * (x + 5) - 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) - 3) + 8.

Valójában az eredményül kapott kifejezés kiszámításához behelyettesítheti x várható értékét az első belső zárójelbe, és az elsőbbség szerint algebrai műveleteket hajthat végre. Valójában ezek mind a Horner-módszerrel végrehajtott műveletek. Ebben az esetben a 8, -3, 5, 1 számok az eredeti polinom együtthatói.

Legyen egy P (x) = an * x n + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0 polinom. Ha ennek a kifejezésnek van egy bizonyos gyöke x = x0, akkor ez azt jelenti, hogy a szóban forgó kifejezés lehet átírva: P (x) = (x-x0) * Q(x). Ez Bezout tételének a következménye. Itt az a fontos, hogy a Q(x) polinom fokszáma eggyel kisebb legyen, mint P(x). Ezért felírható kisebb formában is: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. A két konstrukció azonosan egyenlők egymással.

Ez pedig azt jelenti, hogy a vizsgált polinomok összes együtthatója egyenlő, különösen (x0)b) = a0. Ezt felhasználva vitatható, hogy bármilyenek legyenek is az a0 és b0 számok, x mindig osztó, azaz a0 mindig osztható a polinom gyökeivel. Más szóval, keress racionális megoldásokat.

A módszert magyarázó általános eset a következő lenne: an * x n + an-1 * x n-1 + ... + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + . .. + a1) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m) + a0). Vagyis a séma a polinom mértékétől függetlenül működik. Ő univerzális. Ugyanakkor alkalmas hiányos és teljes egyenletekre is. Ez egy olyan eszköz, amely lehetővé teszi az x0 gyökér ellenőrzését. Ha ez nem megoldás, akkor a végén maradó szám lesz a vizsgált polinom osztásának maradéka.

A matematikában a módszer helyes jelölése: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn ​​· 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. Ebben az i értéke nulláról en-re változik, magát a polinomot pedig elosztjuk az x - a binomimmal. A művelet végrehajtása után egy kifejezést kapunk, amelynek mértéke eggyel kisebb, mint az eredeti. Más szavakkal, n - 1-ként van meghatározva.

Számítás az online számológépen

A magasabb fokú polinomok gyökereinek kiszámításához hozzáférést biztosító erőforrások használata meglehetősen kényelmes. Az ilyen oldalak használatához nem szükséges speciális matematikai vagy programozási tudás. A felhasználónak csak internet-hozzáférésre és egy Java szkripteket támogató böngészőre van szüksége.

Több tucat ilyen oldal van. Egyesek ugyanakkor pénzjutalomban is részesülhetnek a megoldásért. Bár a legtöbb forrás ingyenes, és nem csak a gyökereket számítja ki hatványegyenletek, hanem biztosítják részletes megoldás megjegyzésekkel. Emellett a számológépek oldalain bárki megismerkedhet egy rövid elméleti anyagés fontolja meg a különböző bonyolultságú példák megoldását. Tehát olyan kérdések, amelyekben a válasz honnan jött, nem merülhetnek fel.

A Horner-séma szerinti számláló online számológépek teljes készletéből a következő három különböztethető meg:

• Ellenőrző munka. A szolgáltatás középiskolásoknak szól, de képességeit tekintve elég működőképes. Ezzel nagyon gyorsan ellenőrizheti a gyökerek megfelelőségét.
• Tudomány. Az alkalmazás lehetővé teszi a gyökerek meghatározását a Horner módszerrel mindössze két-három másodperc alatt. Az oldalon minden szükséges elmélet megtalálható. A számítás elvégzéséhez meg kell ismerkednie a matematikai képlet megadásának szabályaival, amelyek ott vannak feltüntetve a webhelyen.
• Calc. Ezen az oldalon a felhasználó részletes leírást kaphat a megoldásról táblázatos képpel. Ehhez írja be az egyenletet egy speciális formában, és kattintson a "megoldás" gombra.

A számításokhoz használt programok intuitív felülettel rendelkeznek, és nem tartalmaznak reklámprogramokat vagy rosszindulatú kódokat. Miután számos számítást elvégzett ezeken az erőforrásokon, a felhasználó önállóan megtanulhatja, hogyan határozhatja meg a gyökereket a Horner-módszerrel.

Ugyanakkor az online számológépek nemcsak a hallgatók, hanem a vezető mérnökök számára is hasznosak összetett számítások. Végül is a független számítás figyelmet és koncentrációt igényel. Minden kisebb hiba végül helytelen válaszhoz vezet. Ugyanakkor az online számológépekkel végzett számítások során hiba előfordulása lehetetlen.

4x3 - 19x2 + 19x + 6 = 0

Először a kiválasztási módszert kell használnia egy gyökér megtalálásához. Általában a szabad tag osztója. Ebben az esetben a szám osztói 6 vannak ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ szám 1

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ szám -1 nem egy polinom gyöke

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ szám 2 a polinom gyöke

Megtaláltuk a polinom 1 gyökét. A polinom gyöke az 2, ami azt jelenti, hogy az eredeti polinomnak oszthatónak kell lennie x - 2. A polinomok felosztásához Horner sémáját használjuk:

	4	-19	19	6
2

A felső sor az eredeti polinom együtthatóit tartalmazza. A második sor első cellájába helyezzük a talált gyökeret 2. A második sor a polinom együtthatóit tartalmazza, amelyeket az osztás eredményeként kapunk meg. Így számolnak:

4 -19 19 6 2 4	A második sor második cellájába írja be a számot 1, egyszerűen az első sor megfelelő cellájából való áthelyezéssel.
4 -19 19 6 2 4 -11	2 ∙ 4 - 19 = -11
4 -19 19 6 2 4 -11 -3	2 ∙ (-11) + 19 = -3
4 -19 19 6 2 4 -11 -3 0	2 ∙ (-3) + 6 = 0

Az utolsó szám az osztás maradéka. Ha egyenlő 0-val, akkor mindent helyesen számoltunk.

Így az eredeti polinomot figyelembe vettük:

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2) (4x 2 - 11x - 3)

És most már csak meg kell találni a másodfokú egyenlet gyökereit

4x2 - 11x - 3 = 0
D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) \u003d 169
D > 0 ⇒ az egyenletnek 2 gyöke van

Megtaláltuk az egyenlet összes gyökerét.