Hatványsorok segítségével lehetőség nyílik differenciálegyenletek integrálására.

Tekintsük a következő alakú lineáris differenciálegyenletet:

Ha ennek az egyenletnek az összes együtthatója és a jobb oldala kitágul egy adott intervallumban konvergáló hatványsorokká, akkor ennek az egyenletnek létezik olyan megoldása a nulla pont valamely kis környezetében, amely kielégíti a kezdeti feltételeket.

Ez a megoldás hatványsorként ábrázolható:

A megoldáshoz meg kell határozni az ismeretlen állandókat c én .

Ez a feladat megoldva bizonytalan együtthatók összehasonlításának módszere. A kívánt függvény írott kifejezését behelyettesítjük az eredeti differenciálegyenletbe, miközben minden szükséges műveletet végrehajtunk hatványsorokkal (differenciálás, összeadás, kivonás, szorzás stb.)

Ekkor egyenlőségjelet adunk az együtthatókkal azonos hatványokon x az egyenlet bal és jobb oldalán. Ennek eredményeként a kezdeti feltételeket figyelembe véve egy egyenletrendszert kapunk, amelyből egymás után meghatározzuk az együtthatókat c én .

Megjegyzendő, hogy ez a módszer nemlineáris differenciálegyenletekre is alkalmazható.

Példa. Keress megoldást az egyenletre
kezdeti feltételekkel y(0)=1, y’(0)=0.

Az egyenlet megoldását a formában fogjuk keresni

A kapott kifejezéseket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

Innen kapjuk:

………………

Cseréléssel kapjuk meg kezdeti feltételek kifejezésekbe a kívánt függvényre és annak első származékára:

Végül megkapjuk:

Teljes:

Van egy másik módszer is a differenciálegyenletek sorozatok segítségével történő megoldására. A nevet viseli az egymást követő differenciálás módszere.

Tekintsük ugyanezt a példát. A differenciálegyenlet megoldását a Maclaurin-sor ismeretlen függvényének kiterjesztése formájában fogjuk keresni.

Ha az adott kezdeti feltételek y(0)=1, y’(0)=0 behelyettesítjük az eredeti differenciálegyenletbe, azt kapjuk

Ezután a differenciálegyenletet a formába írjuk
és szekvenciálisan megkülönböztetjük a tekintetben x.

A kapott értékek behelyettesítése után a következőt kapjuk:

Cauchy-kritérium.

(a sorozatok konvergenciájának szükséges és elégséges feltételei)

A sorrend érdekében
konvergens volt, szükséges és elegendő, hogy bármely
volt egy számN, amely atn > Nés bármilyenp> 0, ahol p egy egész szám, a következő egyenlőtlenség érvényesül:

.

Bizonyíték. (szükség)

Legyen
, majd tetszőleges számra
van olyan N szám, hogy az egyenlőtlenség

n>N-re hajtjuk végre. n>N és bármely p>0 egész számra az egyenlőtlenség is érvényes
. Mindkét egyenlőtlenséget figyelembe véve a következőket kapjuk:

A szükségesség bebizonyosodott. Nem vesszük figyelembe az elegendőség igazolását.

Fogalmazzuk meg a sorozat Cauchy-kritériumát.

Egy szám érdekében
konvergens szükséges és elegendő volt ahhoz, hogy bármely
volt egy számNolyan, hogy atn> Nés bármilyenp>0 kielégítené az egyenlőtlenséget

.

A gyakorlatban azonban nem túl kényelmes a Cauchy-kritérium közvetlen használata. Ezért általában egyszerűbb konvergenciakritériumokat használnak:

Következmény. Ha egy f(x) és  (X) – folyamatos funkciók intervallumon (a, b] és
majd az integrálok
és
ugyanúgy viselkednek a konvergencia szempontjából.

teljesítmény sorozat.

Hatványsorok segítségével lehetőség nyílik differenciálegyenletek integrálására.

Tekintsük a következő alakú lineáris differenciálegyenletet:

Ha ennek az egyenletnek az összes együtthatója és a jobb oldala kitágul egy adott intervallumban konvergáló hatványsorokká, akkor ennek az egyenletnek van megoldása a nullapont valamely kis környezetében, amely kielégíti a kezdeti feltételeket.

Ez a megoldás hatványsorként ábrázolható:

A megoldáshoz meg kell határozni az ismeretlen állandókat c i.

Ez a feladat megoldva bizonytalan együtthatók összehasonlításának módszere. A kívánt függvény írott kifejezését behelyettesítjük az eredeti differenciálegyenletbe, miközben minden szükséges műveletet végrehajtunk hatványsorokkal (differenciálás, összeadás, kivonás, szorzás stb.)

Ekkor egyenlőségjelet adunk az együtthatókkal azonos hatványokon x az egyenlet bal és jobb oldalán. Ennek eredményeként a kezdeti feltételeket figyelembe véve egy egyenletrendszert kapunk, amelyből egymás után meghatározzuk az együtthatókat c i.

Megjegyzendő, hogy ez a módszer nemlineáris differenciálegyenletekre is alkalmazható.

Példa. Keressen megoldást az egyenletre a kezdeti feltételekkel! y(0)=1, y'(0)=0.

Az egyenlet megoldását a formában fogjuk keresni

A kapott kifejezéseket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

Innen kapjuk:

………………

Ha a kezdeti feltételeket behelyettesítjük a kívánt függvény és annak első deriváltja kifejezéseibe, azt kapjuk:

Végül megkapjuk:

Van más megoldás is differenciál egyenletek sorok segítségével. A nevet viseli az egymást követő differenciálás módszere.

Tekintsük ugyanezt a példát. A differenciálegyenlet megoldását a Maclaurin-sor ismeretlen függvényének kiterjesztése formájában fogjuk keresni.

Ha az adott kezdeti feltételek y(0)=1, y'(0)=0 behelyettesítjük az eredeti differenciálegyenletbe, azt kapjuk

A kapott értékek behelyettesítése után a következőt kapjuk:

Fourier sorozat.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) – francia matematikus)

trigonometrikus sorozat.

Meghatározás. trigonometrikus sorozat az űrlap sorozatának nevezzük:

vagy röviden,

Valós számok a i , b i trigonometrikus sorozat együtthatóinak nevezzük.

Ha egy fent bemutatott típusú sorozat konvergál, akkor összege 2p periódusú periodikus függvény, mert sin függvények nxés cos nx periodikus függvények is 2p periódussal.

A trigonometrikus sorozatok egyenletesen konvergáljanak a [-p; p], és ebből következően bármely szakaszon a periodicitás miatt, és összege egyenlő f(x).

Határozzuk meg ennek a sorozatnak az együtthatóit.

A probléma megoldásához a következő egyenlőségeket használjuk:

Ezen egyenlőségek érvényessége az integrandusra való alkalmazásból következik trigonometrikus képletek. A részletekért lásd: Trigonometrikus függvények integrálása.

Mert funkció f(x) folytonos a [-p intervallumon; p], akkor van integrál

Ezt az eredményt annak eredményeként kapjuk meg, hogy .

Innen kapjuk:

Hasonlóképpen a függvény kiterjesztésének kifejezését sorozatban megszorozzuk a bűnnel nxés integrálja -p-ről p-re.

Kapunk:

Együttható kifejezése egy 0 egy speciális eset az együtthatók kifejezésére a n.

Így ha a függvény f(x)– a 2p periódus bármely, a [-p szakaszon folytonos periodikus függvénye; p] vagy véges számú első típusú szakadási pont ezen a szakaszon, akkor az együtthatók

léteznek és hívnak Fourier-együtthatók funkcióhoz f(x).

Meghatározás. Fourier közelében funkcióhoz f(x) trigonometrikus sorozatnak nevezzük, amelynek együtthatói a Fourier-együtthatók. Ha a függvény Fourier-sora f(x) minden folytonossági pontján konvergál hozzá, akkor azt mondjuk, hogy a függvény f(x) Fourier sorozatban bővül.

Elegendő jelek bővíthetőség Fourier sorozatban.

Tétel. (Dirichlet-tétel) Ha az f(x) függvénynek 2p és az intervallumon van a periódusa

[-p;p] folytonos vagy véges számú első típusú szakadási ponttal rendelkezik, és a szakasz

A [-p;p] véges számú szegmensre osztható úgy, hogy mindegyiken belül az f(x) függvény monoton legyen, majd az f(x) függvény Fourier-sora az x összes értékére konvergál, és az f(x) függvény folytonossági pontjain összege egyenlő f(x), a szakadási pontokban pedig egyenlő, azaz. bal és jobb oldali határértékek számtani átlaga. Ebben az esetben az f(x) függvény Fourier-sora egyenletesen konvergál minden olyan szakaszra, amely az f(x) függvény folytonossági intervallumához tartozik.

Meghívjuk azt az f(x) függvényt, amelyre a Dirichlet-tétel feltételei teljesülnek darabonként monoton a [-p;p] szakaszon.

Tétel. Ha az f(x) függvény periódusa 2p, akkor f(x) és származéka, f'(x) folytonos függvények a [-p;p] szakaszon, vagy véges számú szakadási pontjuk van. első fajta ezen a szegmensen, majd sorozat Az f(x) Fourier-függvény az x minden értékére konvergál, és a folytonossági pontokban összege egyenlő f(x), a folytonossági pontokon pedig egyenlő nak nek . Ebben az esetben az f(x) függvény Fourier-sora egyenletesen konvergál minden olyan szakaszra, amely az f(x) függvény folytonossági intervallumához tartozik.

Az e tétel feltételeit kielégítő függvényt ún darabonként simára a [-p;p] szakaszon.

Nem periodikus függvény Fourier kiterjesztése.

A nem periódusos függvény Fourier-sorrá való kiterjesztésének problémája elvileg nem különbözik egy periodikus függvény Fourier-sorba való bővítésétől.

Mondjuk a függvényt f(x) egy szakaszon van megadva, és ezen a szegmensen darabonként monoton. Tekintsünk egy tetszőleges periodikust darabonként monoton funkció f 1 (x) időszakkal 2Т ³ ïb-aï, amely egybeesik a szakaszon lévő f(x) függvénnyel.

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Tehát a funkció f(x) kiegészítésre került. Most a funkció f 1 (x) Fourier sorozatban bővül. Ennek a sorozatnak az összege a szakasz minden pontjában egybeesik a függvénnyel f(x), azok. feltételezhetjük, hogy a függvény f(x) intervallumon Fourier-sorrá bővült.

Így ha az f(x) függvény egy 2p-vel egyenlő szegmensen adva van, az semmiben sem különbözik egy periodikus függvény sorozatává való bővítésétől. Ha a szegmens, amelyen a függvény adott, kisebb, mint 2p, akkor a függvény a (b, a + 2p) intervallumig terjed, így a Fourier-tágítási feltételek megmaradnak.

Általánosságban elmondható, hogy ebben az esetben az adott függvény kiterjesztése egy 2p hosszúságú szakaszra (intervallumra) végtelen sokféleképpen elvégezhető, így a kapott sorozat összegei eltérőek lesznek, de egybeesnek az adott értékkel. f(x) függvény a szakaszon.

Fourier sorozat páros és páratlan függvényekhez.

Megjegyezzük a páros és páratlan függvények következő tulajdonságait:

2) Két páros és páratlan függvény szorzata páros függvény.

3) A páros és páratlan függvények szorzata páratlan függvény.

Ezen tulajdonságok érvényessége a páros és páratlan függvények meghatározása alapján könnyen igazolható.

Ha f(x) egy 2p periódusú páros periodikus függvény, amely kielégíti a Fourier-tágulási feltételeket, akkor felírhatjuk:

Így egy páros függvényhez a Fourier-sort írjuk:

Hasonlóképpen kapunk egy kiterjesztést egy Fourier-sorban egy páratlan függvényre:

Példa. Bővítsen ki egy Fourier-sorozatban egy T = 2p periódusú periodikus függvényt a [-p;p] intervallumon.

Funkció beállítása páratlan, ezért a Fourier-együtthatókat a következő formában keressük:

Meghatározás. Fourier mellett ortogonális rendszer funkciókat j 1 (x), j 2 (x), …, jn (x) a következő alakú sorozat:

amelynek együtthatóit a következő képlet határozza meg:

ahol f(x)= - egy ortogonális függvényrendszerben egy szakaszon egyenletesen konvergáló sorozat összege. f(x) - bármely olyan függvény, amely folytonos vagy véges számú első típusú szakadási ponttal rendelkezik az intervallumon.

Ortonormális függvényrendszer esetén az együtthatók meghatározása:

A "" PC-s verzió használatakor Felsőfokú matematika tanfolyam” lehetőség van egy tetszőleges függvényt Fourier-sorrá bővítő program futtatására.

0

A Fehérorosz Köztársaság Oktatási Minisztériuma

oktatási intézmény

"Mogilevszkij Állami Egyetem A.A.-ról nevezték el. Kuleshov"

MA&VT Tanszék

Differenciálegyenletek megoldásainak felépítése sorok segítségével

Tanfolyami munka

Végezte: tanuló B csoport 3 tanfolyam

Fizikai és Matematikai Kar

Juszkjeva Alexandra Maratovna

Felügyelő:

Morozov Nyikolaj Porfirjevics

MOGILEV, 2010

Bevezetés 1. Magasabb rendű differenciálegyenletek 1.1. Az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet fogalma 2. Differenciálegyenletek integrálása sorozatok segítségével 2.1. Differenciálegyenletek integrálása hatványsorok segítségével. 2.2. Differenciálegyenletek integrálása általánosított hatványsorok segítségével. 3. Az általánosított hatványsorok alkalmazásának sajátos esetei a differenciálegyenletek integrálásakor. 3.1. Bessel-egyenlet. 3.2. Hipergeometriai egyenlet vagy Gauss-egyenlet. 4. A közönséges differenciálegyenletek sorozatok segítségével történő integrálásának módszerének alkalmazása a gyakorlatban. Következtetés Irodalom

Bevezetés

Általános esetben egy elsőrendű közönséges differenciálegyenletre integrálással nem lehet pontos megoldást találni. Ráadásul ez nem kivitelezhető egy közönséges differenciálegyenlet-rendszer esetén. Ez a körülmény nagyszámú közelítő módszer megalkotásához vezetett a közönséges differenciálegyenletek és rendszereik megoldására. A közelítő módszereknek három csoportja van: analitikus, grafikus és numerikus. Természetesen egy ilyen besorolás némileg önkényes. Például a grafikus Euler szaggatott vonal módszer a differenciálegyenlet numerikus megoldásának egyik módszere.

A közönséges differenciálegyenletek hatványsorokkal történő integrálása egy közelítő analitikai módszer, amelyet általában legalább másodrendű lineáris egyenletekre alkalmaznak.

Az analitikai módszerek a differenciálegyenletek során találhatók. Elsőrendű egyenletekhez (elválasztható változókkal, homogén, lineáris stb.), valamint bizonyos típusú magasabb rendű egyenletekhez (pl. lineáris állandó együtthatók) analitikus transzformációkkal képletek formájában is nyerhetünk megoldásokat.

A munka célja az egyik közelítő analitikai módszer elemzése, mint például a közönséges differenciálegyenletek sorozatok segítségével történő integrálása, és azok alkalmazása differenciálegyenletek megoldásában.

1. Magasabb rendű differenciálegyenletek

Egy n-edrendű közönséges differenciálegyenlet alakbeli reláció

ahol F az argumentumainak ismert függvénye, adott tartományban;

x - független változó;

y a meghatározandó x változó függvénye;

y’, y”, …, y (n) az y függvény deriváltjai.

Ez azt feltételezi, hogy y (n) valóban benne van a differenciálegyenletben. Az F függvény többi argumentuma nem feltétlenül vesz részt kifejezetten ebben a relációban.

Bármely függvényt, amely kielégít egy adott differenciálegyenletet, megoldásának vagy integrálnak nevezzük. Egy differenciálegyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldását. Ha a kívánt y függvényre olyan képletet kaphatunk, amely egy adott differenciálegyenlet összes megoldását megadja, és csak azokat, akkor azt mondjuk, hogy megtaláltuk az általános megoldást, vagy általános integrált.

Az n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása n tetszőleges c 1 , c 2 ,..., c n állandót tartalmaz, és alakja.

1.1. A lineáris differenciálegyenlet fogalman- a sorrend

Egy n-edrendű differenciálegyenletet lineárisnak nevezünk, ha az y, y ', ..., y (n) mennyiségek összességéhez képest elsőfokú. Így az n-edik rendű lineáris differenciálegyenlet alakja:

ahol ismertek x folytonos függvényei.

Ezt az egyenletet inhomogén lineáris egyenletnek vagy jobb oldali egyenletnek nevezzük. Ha az egyenlet jobb oldala megegyezik a nullával, akkor lineáris egyenlet homogén lineáris differenciálegyenletnek nevezzük, és a következő alakja van

Ha n egyenlő 2-vel, akkor egy másodrendű lineáris egyenletet kapunk, amelyet úgy írunk le, mint egy n-edrendű lineáris egyenlet, egy másodrendű egyenlet lehet homogén () és inhomogén.

1. Differenciálegyenletek integrálása sorok segítségével.

Egy közönséges differenciálegyenlet első rendű, változó együtthatós megoldásait nem mindig elemi függvényekkel fejezzük ki, és egy ilyen egyenlet integrálása ritkán redukálódik kvadratúrákra.

2.1. Differenciálegyenletek integrálása hatványsorok segítségével.

Ezen egyenletek integrálásának legáltalánosabb módja a kívánt megoldás hatványsorok formájában történő ábrázolása. Tekintsünk változó együtthatós másodrendű egyenleteket

Megjegyzés 1. A függvények meglehetősen széles osztálya ábrázolható

hol van néhány állandó. Ezt a kifejezést hatványsornak nevezzük. Ha értékei megegyeznek a függvény megfelelő értékeivel az intervallum bármely x-ére (x 0 - T; x 0 + T), akkor egy ilyen sorozatot konvergensnek nevezünk ebben az intervallumban.

Tegyük fel, hogy az a(x), b(x) függvények a (2.1) egyenlet analitikus függvényei az (x 0 - T; x 0 + T) intervallumon, T > 0, azaz. teljesítménysorozattá bővítve:

A következő tétel teljesül (a bizonyítást kihagyva csak annak állítását mutatjuk be).

Tétel_1. Ha az a(x), b(x) függvények alakja (2.2), akkor a (2.1) közönséges differenciálegyenlet bármely y(x) megoldása konvergensként ábrázolható |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Ez a tétel nemcsak azt teszi lehetővé, hogy a megoldást hatványsor formájában ábrázoljuk, hanem ami a legfontosabb, igazolja a sorozat (2.3) konvergenciáját.

Az ilyen ábrázolás algoritmusa a következő. Az egyszerűség kedvéért a (2.2) és (2.3) értékekben x 0 = 0-t állítunk be, és a (2.1) közönséges differenciálegyenletre keressük a megoldást a formában

A (2.4)-et (2.1) behelyettesítve megkapjuk az egyenlőséget

Ahhoz, hogy (2.5) teljesüljön, szükséges, hogy az együttható x minden hatványánál nullával egyenlő legyen. Ebből a feltételből egy végtelen lineáris rendszert kapunk algebrai egyenletek

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

A kapott végtelen lineáris algebrai egyenletrendszerből szekvenciálisan megállapítható, …, ha beállítjuk az értékeket, és (a (2.1) közönséges differenciálegyenlet Cauchy-feladata esetén) bevezethetjük a kezdeti feltételeket = , =).

Ha az a(x), b(x) függvények racionálisak, azaz. , b , ahol polinomok vannak, akkor olyan pontok szomszédságában, ahol vagy, a hatványsor formájú megoldás esetleg nem létezik, és ha igen, akkor mindenhol eltérhet, kivéve az x = 0 pontot. Ez a körülmény már korábban is megvolt. L. Euler ismerte, aki az elsőrendű egyenletet vette figyelembe

Ezt az egyenletet a hatványsor teljesíti

Könnyen belátható azonban, hogy ez a sorozat bármelyiknél eltér. Egy közönséges differenciálegyenlet divergens hatványsor formájában történő megoldását formálisnak nevezzük.

Az alkalmazás egyik legszembetűnőbb és legérthetőbb példája ez a módszer integráció az Airy-egyenlet ill

Ennek az egyenletnek minden megoldása x teljes függvénye. Ekkor az Airy-egyenlet megoldását egy hatványsor formájában (2.4) keressük. Ekkor a (2.5) egyenlőség formát ölt

Az együtthatót x minden hatványánál nullával egyenlővé tesszük. Nekünk van

……………………………

Az együttható x nulla fokánál egyenlő 2у 2 . Ezért y 2 = 0. Ekkor az együttható nulláig tartó egyenlőségéből = . Az at együttható egyenlő. Innen.

Ebből a képletből azt kapjuk

A és együtthatók definiálatlanok maradnak. A megoldások alapvető rendszerének megtalálásához először = 1, = 0, majd fordítva. Az első esetben mi

a másodikban pedig

A Tétel_1 alapján ezek a sorozatok a valós vonalon mindenhol konvergensek.

A és függvényeket Airy függvényeknek nevezzük. Nagy x értékei esetén ezeknek a függvényeknek aszimptotikus viselkedését a a következő képleteketés.

Ezeknek a függvényeknek a grafikonjait az ábra mutatja. 2.1. Azt kapjuk, hogy x korlátlan növelésével az Airy-egyenlet bármely megoldásának nullái korlátlanul konvergálnak, ami ezen megoldások aszimptotikus ábrázolásából is kitűnik, de az Airy-függvények alakban való ábrázolásából egyáltalán nem nyilvánvaló. konvergens hatványsorokból. Ebből az következik, hogy a közönséges differenciálegyenletre sorozat segítségével történő megoldás keresésének módszere általánosságban véve kevéssé hasznos az alkalmazott problémák megoldásában, és a megoldás sorozatként való megjelenítése is megnehezíti a minőségi elemzést. a kapott oldat tulajdonságait.

2.2. Differenciálegyenletek integrálása általánosított hatványsorok segítségével.

Tehát, ha a (2.1) egyenletben az a(x), b(x) függvények racionálisak, akkor azokat a pontokat, amelyeknél vagy nevezzük a (2.1) egyenlet szinguláris pontjainak.

A másodrendű egyenlethez

ahol a(x), b(x) analitikus függvények az |x - x 0 | intervallumban< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

Az x = x 0 szinguláris pont közelében nem létezhetnek hatványsor formájú megoldások, ilyenkor általánosított hatványsor formájában kell megoldásokat keresni:

ahol λ és …, () meghatározandó.

Tétel_2. Ahhoz, hogy a (2.6) egyenletnek legalább egy konkrét megoldása legyen általánosított hatványsor formájában (2.7) az x = x 0 szinguláris pont közelében, elegendő, ha ennek az egyenletnek az alakja

A lényeg a konvergens hatványsor, és az együtthatók nem egyenlők nullával, mert különben az x = x 0 pont nem szinguláris pont, és van két lineárisan független megoldás, amelyek holomorf az x = x 0 pontban. . Ebben az esetben, ha a (2,7') egyenlet együtthatóiba belépő sorozat (2,7") konvergál a régióban | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Tekintsük a (2.6) egyenletet x > 0 esetén. Ha az x 0 = 0 egyenletbe behelyettesítjük a (2.7) kifejezést, azt kapjuk

Az x hatványaihoz tartozó együtthatókat nullával egyenlővé téve egy ismétlődő egyenletrendszert kapunk:

……..........................……………………………………………. (2.8)

ahol jelezték

Mivel akkor λ-nak teljesítenie kell az egyenletet

amelyet definiáló egyenletnek nevezünk. Legyen ennek az egyenletnek a gyökerei. Ha a különbség nem egész, akkor ha nincs k > 0, ami azt jelenti, hogy a fenti módszerrel a (2.6) egyenlet két lineárisan független megoldása is megszerkeszthető:

Ha a különbség egész szám, akkor a fenti módszerrel egy megoldást készíthetünk általánosított sorozat formájában. Ennek a megoldásnak a ismeretében a Liouville - Ostrogradsky képlet segítségével megtalálhatja a második megoldást lineárisan független a következővel:

Ugyanebből a képletből következik, hogy a megoldást a formában lehet keresni

(az A szám egyenlő lehet nullával).

1. Az általánosított hatványsorok alkalmazásának sajátos esetei a differenciálegyenletek integrálásakor.

3.1. Bessel-egyenlet.

A Bessel-egyenlet a matematika és alkalmazásai egyik fontos differenciálegyenlete. A Bessel-egyenletet alkotó megoldások alapvető rendszer funkciók nem elemi függvények. De hatványsorokká bővülnek, amelyek együtthatóit meglehetősen egyszerűen számítják ki.

Tekintsük a Bessel-egyenletet általános formában:

A matematikai fizika számos problémája redukálódik erre az egyenletre.

Mivel az egyenlet nem változik, ha x helyett -x van, elegendő figyelembe venni x nem negatív értékeit. Az egyetlen szinguláris pont x=0. Az x=0-nak megfelelő definiáló egyenlet:. Ha 0, akkor a definiáló egyenletnek két gyöke van: és. Találjunk megoldást adott egyenletáltalánosított hatványsor formájában

akkor y, y" és y" karaktereket behelyettesítve az eredeti egyenletbe, azt kapjuk

Ennélfogva ezzel csökkentve van

Ahhoz, hogy ez az egyenlőség azonos legyen, az együtthatóknak meg kell felelniük az egyenleteknek

Keressük meg a λ = n definiáló egyenlet gyökének megfelelő megoldást. Ha λ = n-t behelyettesítjük az utolsó egyenlőségekbe, azt látjuk, hogy a nullától eltérő bármely számot fel lehet venni = 0-nak, és ha k = 2, 3, ...

Ezért minden m = 0, 1, 2, … esetén.

Így az összes együtthatót megtaláltuk, ami azt jelenti, hogy a (3.1) egyenlet megoldása a formába írható

Bemutatjuk a funkciót

Euler gamma függvénynek nevezzük. Figyelembe véve, hogy mit és mit az egész számokhoz, és válasszon egy tetszőleges állandót, mivel az a formába kerül

Az n-edik rend első fajtájának Bessel-függvényének nevezzük.

A Bessel-egyenlet második, ettől lineárisan független megoldását a következő formában keressük:

Az at meghatározására szolgáló egyenletek alakja

Feltéve, hogy találunk

Feltételezve, hogy n nem egész szám, ezért minden páros számú együttható egyedi módon van kifejezve:

És így,

Feltéve, hogy y 2 (x)-t képviselünk az alakban

az első típusú negatív indexű Bessel-függvénynek nevezzük.

Így ha n nem egész szám, akkor az eredeti Bessel-egyenlet minden megoldása az lineáris kombinációk Bessel-függvények és: .

3.2. Hipergeometriai egyenlet vagy Gauss-egyenlet.

A hipergeometriai egyenlet (vagy Gauss-egyenlet) a következő alakú egyenlet:

ahol α, β, γ valós számok.

A pontok az egyenlet szinguláris pontjai. Mindkettő reguláris, hiszen ezen pontok közelében a Gauss-egyenlet normál alakban felírt együtthatói

általánosított hatványsorként ábrázolható.

Ezt a lényeg érdekében ellenőrizni fogjuk. Sőt, ezt észrevéve

a (3.2) egyenlet így írható fel

Ez az egyenlet az egyenlet speciális esete

és itt úgy, hogy az x=0 pont a Gauss-egyenlet szabályos szinguláris pontja.

Alkossunk egy alapvető megoldási rendszert a Gauss-egyenletre az x=0 szinguláris pont környezetében.

Az x=0 pontnak megfelelő definiáló egyenlet alakja

Gyökerei és különbségük nem egész szám.

Ezért az x=0 szinguláris pont közelében egy alapvető megoldási rendszert alkothatunk általánosított hatványsorok formájában.

amelyek közül az első a definiáló egyenlet nulla gyökének felel meg és egy közönséges hatványsor, így a megoldás holomorf az x=0 szinguláris pont közelében. A második megoldás nyilvánvalóan nem holomorf x=0-nál. Először alkossunk meg egy adott megoldást, amely megfelel a definiáló egyenlet nulla gyökének.

Így a (3.2) egyenlet egy adott megoldását fogjuk keresni a formában

A (3.3)-t (3.2) behelyettesítve kapjuk

A szabad tagot nullával egyenlővé téve azt kapjuk.

Akkor vegyük fel.

Ha az együtthatót nullával egyenlővé tesszük, azt kapjuk:

Ezért a kívánt konkrét megoldás a következőképpen alakul:

A jobb oldali sorozatot hipergeometrikus sorozatnak nevezzük, mivel α=1, β=γ esetén geometriai progresszióvá alakul

A Tétel_2 szerint a (3.4) sorozat |x|-re konvergál<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

A második konkrét megoldás így néz ki:

A határozatlan együtthatók módszerével történő keresés helyett a Gauss-egyenletben a kívánt függvényt a képlet szerint helyettesítjük

Megkapjuk a Gauss-egyenletet

amelyben az α, β és γ paraméterek szerepét az és.

Ezért, miután megszerkesztettük ennek az egyenletnek a definiáló egyenlet nulla gyökének megfelelő megoldását, és behelyettesítettük a (3.6)-ba, megkapjuk ennek a Gauss-egyenletnek a második partikuláris megoldását a következő formában:

A Gauss-egyenlet (3.2) általános megoldása a következő lesz:

A Gauss-egyenlet x=0 szinguláris pont környezetében felépített alapvető megoldási rendszerét felhasználva könnyen megszerkeszthető ennek az egyenletnek az alapmegoldási rendszere az x=1 szinguláris pont környezetében, ami szintén reguláris. szinguláris pont.

Ennek érdekében a számunkra érdekes x = 1 szinguláris pontot átvisszük a t = 0 pontba, és vele együtt az x = 0 szinguláris pontot a t = 1 pontba, az x = független változó lineáris változtatásával. 1 - t.

Ezt a helyettesítést ebben a Gauss-egyenletben végrehajtva azt kapjuk, hogy

Ez a Gauss-egyenlet paraméterekkel. A szomszédságában van |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Visszatérve az x változóhoz, azaz t = 1 - x beállításával megkapjuk az eredeti Gauss-egyenlet alapvető megoldási rendszerét a pont közelében | x - 1|< 1 особой точки х = 1

A (3.2) Gauss-egyenlet általános megoldása a tartományban az

1. A közönséges differenciálegyenletek sorozatok felhasználásával történő integrálási módszerének alkalmazása a gyakorlatban.

Példa_1. (#691) Számítsa ki a sorozat első néhány együtthatóját (az együtthatóig x 4-ig) a kezdeti feltételekkel

A kezdeti feltételekből következik, hogy most megtaláljuk a fennmaradó együtthatókat:

Példa_2. (#696) Számítsa ki a sorozat első néhány együtthatóját (az együtthatóig x 4-ig) a kezdeti feltételekkel

Megoldás: Az egyenlet megoldását a formában fogjuk keresni

A kapott kifejezéseket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

Ha a jobb oldalt hatványsorként ábrázoljuk, és az egyenlet mindkét oldalán x azonos hatványai melletti együtthatókat egyenlítjük ki, a következőt kapjuk:

Mivel a feltétel szerint a sorozat együtthatóit az x 4-es együtthatóig kell kiszámítani, elegendő az együtthatók kiszámítása.

A kezdeti feltételekből következik, hogy és 2. Most megtaláljuk a fennmaradó együtthatókat:

Ezért az egyenlet megoldása a formába írható

Példa_3. (№700) Keressen lineárisan független megoldásokat egy egyenlet hatványsorai formájában. Ha lehetséges, fejezze ki az eredményül kapott sorozatok összegét elemi függvényekkel.

Döntés. Az egyenlet megoldását sorozat formájában fogjuk keresni

Ha ezt a sorozatot kétszer differenciáljuk, és behelyettesítjük ebbe az egyenletbe, megvan

A sorozat első néhány tagját kiírjuk a kapott egyenletbe:

Ha az együtthatókat nullával egyenlő x hatványai mellett nullával egyenlővé tesszük, egy egyenletrendszert kapunk, amely meghatározza:

………………………………….

Ezekből az egyenletekből azt találjuk

Tegyük fel, hogy akkor csak az együtthatók különböznek nullától. Ezt értjük

Megszerkesztjük az egyenlet egyik megoldását

A második, a találttól lineárisan független megoldást feltételezve kapjuk. Ekkor csak az együtthatók különböznek nullától:

Az x tetszőleges értékéhez tartozó és konvergált sorozatok analitikus függvények. Így az eredeti egyenlet minden megoldása analitikus függvény x minden értékére. Minden megoldást a következő képlettel fejezünk ki, ahol C 1 , C 2 tetszőleges állandók:

Mivel a kapott sorozat összege könnyen kifejezhető elemi függvényekkel, így lesz írva:

Példa_4. (711. sz.) Oldja meg a 2x 2 y "+ (3x - 2x 2) y" - (x + 1) y \u003d 0 egyenletet.

Döntés. Az x = 0 pont ennek az egyenletnek reguláris szinguláris pontja. Összeállítjuk a definiáló egyenletet: Gyökei λ 1 \u003d 1/2 és λ 2 \u003d - 1. Keressük az eredeti egyenlet megoldását, amely a λ \u003d λ 1 gyöknek felel meg a következő formában

Az eredeti egyenletbe behelyettesítve megkaptuk

Ennélfogva rel csökkentve azt kapjuk

Ha az együtthatókat x azonos hatványai mellett egyenlővé tesszük, egyenleteink vannak a meghatározására:

Ha y 0 = 1-et teszünk, azt találjuk

És így,

A λ = λ 2 gyöknek megfelelő eredeti egyenlet megoldását keressük a formában

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, és egyenlővé tesszük az együtthatókat x azonos hatványai mellett, azt kapjuk, vagy ha y 0 = 1-et teszünk, azt kapjuk

Az eredeti egyenlet általános megoldását olyan formában írjuk fel, ahol és tetszőleges állandók.

Következtetés

Ismeretlen függvényeket és deriváltjaikat tartalmazó egyenletet az elsőnél nagyobb hatványban vagy valamilyen bonyolultabb módon megoldani sokszor nagyon nehéz.

Az utóbbi években az ilyen differenciálegyenletek egyre nagyobb figyelmet kaptak. Mivel az egyenletek megoldásai gyakran nagyon bonyolultak és nehezen ábrázolhatók egyszerű képletekkel, a modern elmélet jelentős részét ezek viselkedésének kvalitatív elemzésére szánják, pl. olyan módszerek kidolgozása, amelyek lehetővé teszik, hogy az egyenletek megoldása nélkül valami jelentőset mondjunk a megoldások egészének természetéről: például, hogy mindegyik korlátozott, vagy periodikus jellegű, vagy bizonyos módon függ az együtthatók.

A tantárgyi munka során elemzés készült a differenciálegyenletek hatvány- és általánosított hatványsorokkal történő integrálásának módszeréről.

Irodalom:

1. Matveev N.V. Közönséges differenciálegyenletek integrálásának módszerei. Szerk. 4., rev. és további Minszk: „Legmagasabb. iskola”, 1974. - 768s. betegtől.
2. Agafonov S.A., német A.D., Muratova T.V. Differenciálegyenletek: Proc. egyetemeknek / Szerk. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. Zarubina, A.P. Kriscsenko. - 3. kiadás, sztereotípia. -M.: MSTU kiadó im. N.E. Bauman, 2004. - 352 p.
3. Bugrov Ya. S., Nikolsky S. M. felsőbb matematika. T.3: Differenciálegyenletek. Több integrál. Sorok. Egy komplex változó függvényei: Proc. egyetemeknek: 3 kötetben / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Szerk. V. A. Sadovnichy. - 6. kiadás, sztereotípia. — M.: Túzok, 2004. —— 512p.: ill.
4. Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Differenciálegyenletek: példák és problémák. Proc. juttatás. - 2. kiadás, átdolgozva. - M.: Feljebb. iskola, 1989. - 383 p.: ill.
5. Filippov AF Differenciálegyenletek feladatgyűjteménye. Proc. juttatás az egyetemek számára. - M.: Fizmatizd, 1961. - 100 p.: ill.

Letöltés: Nincs hozzáférése a fájlok letöltéséhez a szerverünkről.

A KAZAH KÖZTÁRSASÁG OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA

Észak-Kazahsztáni Állami Egyetem

őket. M. Kozybajeva

Informatikai Kar

"Matematika" Tanszék

A tanfolyam megvédve

értékelése "_____________"

"___"___________ 2013. év

fej osztály ____________

A. Tajigitov

TANFOLYAM dolgozat matematikából

"DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEK INTEGRÁLÁSA

A POWER SOROZAT SEGÍTSÉGÉVEL»

VEZETŐ Valeeva M.B. ___________

Petropavlovszk 2013

AҢDAPTA

Berilgen kurstyk zhұmysta katarlarmen zhane differenciálmű tendemelermen baylanysty theorylyk suraқtar karastyrylgan. Differentials endemenin integraldauynyn mysaldary zhane mangaz katarlardyn kömegimen karastyrylgan.

MEGJEGYZÉS

Ebben lejáratú papírok sorokkal és differenciálegyenletekkel kapcsolatos elméleti kérdéseket veszik figyelembe. Példákat veszünk a differenciálegyenletek hatványsorok segítségével történő integrálására.

az adott munka elméleti kérdésnek minősül, amely a sorozatokhoz és a differenciálegyenletekhez kapcsolódik. Példákat tekintünk a hatványsorokat használó integrációs parciális differenciálegyenletekre.

BEVEZETÉS

SOROZATOKKAL ÉS DIFFERENCIÁLEGYENLETEKKEL KAPCSOLATOS ALAPVETŐ FOGALMAK

1 sor. Alapfogalmak. A konvergenciához szükséges kritérium

2 teljesítmény sorozat. Teljesítménysor tulajdonságai

3 Taylor sorozat. Maclaurin sorozat

4 Differenciálegyenletek

5 Differenciálegyenletek integrálása sorozatok segítségével

PÉLDÁK A TELJESÍTMÉNY SOROK HASZNÁLATÁRA DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEK INTEGRÁLÁSÁBAN

1 Levegős egyenlet

2 Bessel-egyenlet

3 Integrációs példák

4 Integrációs példák Maple-ben

KÖVETKEZTETÉS

BEVEZETÉS

A „differenciálegyenlet” kifejezés Leibniznek (1676, 1684) köszönhető. A differenciálegyenletek kutatásának kezdete Leibniz és Newton idejére nyúlik vissza, akiknek munkáiban az ilyen egyenletekhez vezető első problémákat tanulmányozták. Leibniz, Newton és a testvérek, J. és I. Bernoulli módszereket dolgoztak ki a közönséges differenciálegyenletek integrálására. Univerzális módszerként a differenciálegyenletek integráljainak hatványsoros kiterjesztését alkalmaztuk.

A nagyteljesítményű számítástechnikai eszközök megjelenésével összefüggésben a számítási módszerek széles körben történő bevezetése a tudományban megköveteli a matematika különböző ágai, és különösen a közönséges differenciálegyenletek elméletének egyes szakaszai fontosságának újraértékelését. Jelenleg megnőtt a differenciálegyenletek megoldásainak kvalitatív tanulmányozására szolgáló módszerek, valamint a közelítő megoldások megtalálására szolgáló módszerek jelentősége.

Sok differenciálegyenlet megoldása nem elemi függvényekkel vagy kvadratúrákkal fejezhető ki. Ezekben az esetekben közelítő módszereket alkalmaznak a differenciálegyenletek integrálására. Az egyik ilyen módszer egy egyenlet megoldásának hatványsorként való ábrázolása; ebben a sorozatban véges számú tag összege megközelítőleg egyenlő lesz a kívánt megoldással. Ez határozza meg a választott kutatási téma relevanciáját.

A munka célja: bemutatni a hatványsorok módszerének alkalmazását differenciálegyenletek integrálásakor.

A kutatás tárgya a differenciálegyenletek hatványsoros módszerrel történő integrálásának folyamata.

A tanulmány tárgya a differenciálegyenletek hatványsoros integrálásának formái, módszerei és eszközei.

A célnak megfelelően megfogalmazhatjuk e munka fő feladatait:

Tekintsük a sorozatokhoz és differenciálegyenletekhez kapcsolódó alapfogalmakat.

Elemezze a differenciálegyenletek hatványsoros integrálásának módszerét!

Alkalmazza a hatványsorok módszerét különféle problémák megoldására.

A munka felépítése: címlap, munkafeladatlap, kivonat, tartalom, bevezetés, fő rész, következtetés, irodalomjegyzék.

A munka fő része két fejezetből áll. Az első fejezet feltárja a sorozatok, hatványsorok, Taylor-sorok, differenciálegyenletek fogalmait. A második fejezetben példákat tekintünk a differenciálegyenletek hatványsoronkénti integrálására.

A munka elméleti részének tanulmányozásához oktatási irodalomból és a felhasznált irodalomjegyzékben feltüntetett folyóiratokból származó anyagokat használtam.

Munka terjedelme: 26 oldal.

1. A SOROZATOKHOZ ÉS A DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEKHEZ KAPCSOLATOS ALAPVETŐ FOGALMAK

1.1 sorok. Alapfogalmak. A konvergenciához szükséges kritérium

A matematikai alkalmazásokban, valamint egyes közgazdasági, statisztikai és egyéb problémák megoldásában végtelen számú tagú összegeket vesznek figyelembe. Itt definiáljuk, mit kell érteni ilyen összegeken.

Legyen adott egy végtelen számsorozat. A numerikus sorozat vagy egyszerűen egy sorozat a forma kifejezése (összege).

,(1.1)

számokat a sorozat tagjainak nevezzük, - a sorozat közös vagy n-edik tagjának.

Az (1.1) sorozat beállításához elegendő beállítani a természetes argumentum függvényét a sorozat n-edik tagjának a számával történő kiszámításához

Példa 1.1. Legyen . Sor

(1.2)

harmonikus sorozatnak nevezik.

Az (1.1) sorozat tagjaiból részösszegek numerikus sorozatát alkotjuk ahol - a sorozat első tagjainak összege, amelyet n-edik részösszegnek nevezünk, azaz.

(1.3)

Numerikus sorozat a szám korlátlan növelésével:

) véges határértékük van;

) nem rendelkeznek véges határértékkel (a határ nem létezik, vagy egyenlő a végtelennel).

Egy sorozatot (1.1) konvergensnek nevezünk, ha részösszegei sorozatának (1.3) véges határa van, azaz.

Ebben az esetben a számot a sorozat összegének (1.1) nevezzük, és felírjuk

Egy sorozatot (1.1) divergensnek mondunk, ha részösszegei sorozatának nincs véges határa. Nincs összeg hozzárendelve az eltérő sorozatokhoz.

Így az (1.1) konvergens sorozat összegének megtalálásának problémája egyenértékű a részösszegei sorozatának határértékének kiszámításával.

A tétel bizonyítása abból következik, hogy , és ha

S az (1.1) sorozat összege, tehát

Az (1.4) feltétel szükséges, de nem elégséges feltétele a sorozat konvergálásának. Vagyis ha a sorozat közös tagja nullára hajlik a -nál, akkor ez nem jelenti azt, hogy a sorozat konvergál. Például a harmonikus sorozathoz (1.2)

azonban eltér.

Következmény (Elegendő kritérium a sorozatok divergenciájához): ha a sorozat közös tagja nem hajlik nullára, akkor ez a sorozat divergál.

Példa 1.2. Vizsgálja meg a konvergenciasorokat

Ennél a sorozatnál Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

1.1

1.2 Teljesítménysor. Teljesítménysor tulajdonságai

A teljesítménysorozatok a funkcionális sorozatok speciális esetei.

A hatványsor az űrlap funkcionális sorozata

itt - állandó valós számok, amelyeket a hatványsor együtthatóinak neveznek;

Valami állandó szám;

Olyan változó, amely a valós számok halmazából vesz értékeket.

-nél az (1.5) hatványsor alakot ölt

(1.6)

Egy hatványsort (1.5) különbségsorok hatványainak sorozatának nevezünk (1.6) - hatványsorozatnak Ha egy változónak bármilyen értéket adunk, akkor az (1.5) (vagy (1.6)) hatványsor numerikus sorozattá alakul, konvergálhat vagy divergálhat.

A hatványsorok konvergencia tartománya azoknak az értékeknek a halmaza, amelyekre a hatványsor konvergál.

1.2 tétel (Ábel-tétel): ha az (1.6) hatványsor konvergál, akkor abszolút minden olyan értékre konvergál, amely kielégíti az egyenlőtlenséget, ha az (1.6) sorozat divergál, akkor az egyenlőtlenséget kielégítő összes értékre divergál

Abel tétele világos képet ad egy hatványsor konvergenciatartományának szerkezetéről.

1.3. Tétel: Az (1.6) hatványsor konvergenciatartománya egybeesik az alábbi intervallumok egyikével:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

ahol valamilyen nem negatív valós szám vagy

A számot konvergenciasugárnak, az intervallumot a hatványsor (1.6) konvergencia intervallumának nevezzük.

Ha akkor a konvergencia intervalluma a teljes valós tengely

Ha ekkor a konvergencia intervalluma ponttá degenerálódik

Megjegyzés: ha a hatványsor (1.2) konvergencia intervalluma, akkor a hatványsor (1.5) konvergencia intervalluma.

Az 1.3. Tételből következik, hogy az (1.6) hatványsor konvergenciatartományának gyakorlati meghatározásához elegendő megtalálni a konvergencia sugarát, és tisztázni ennek a sorozatnak a konvergenciájának kérdését a konvergencia intervallum végén. azaz., és

A hatványsorok konvergencia sugara a következő képletek egyikével határozható meg:

d'Alembert képlete:

Cauchy-képlet:

1.3. példa. Határozza meg egy hatványsor konvergencia sugarát, konvergencia intervallumát és konvergencia területét

Határozzuk meg ennek a sorozatnak a konvergencia sugarát a képlettel!

A mi esetünkben

Ezért ennek a sorozatnak a konvergencia intervallumának alakja van

Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciáját a konvergencia intervallum végén.

amely harmonikus sorozatként tér el egymástól.

Amikor a hatványsor számsorrá változik

.

Ez egy váltakozó sorozat, melynek tagjai abszolút értékben csökkennek és

Ezért a Leibniz-teszt szerint ez a számsor konvergál.

Így az intervallum egy adott hatványsor konvergencia tartománya.

A hatványsor (1.6) a konvergencia intervallumában definiált függvény, azaz.

Íme a függvény néhány tulajdonsága

Tulajdonság 1. A függvény a konvergencia intervallumához tartozó bármely szakaszon folytonos

2. tulajdonság. A függvény egy intervallumon differenciálható és deriváltja az (1.6) sorozat tagonkénti differenciálásával kereshető meg, azaz.

mindenkinek

3. tulajdonság. Egy függvény határozatlan integrálja mindenre az (1.6) sorozat tagonkénti integrálásával kapható meg, azaz.

mindenkinek

Megjegyzendő, hogy ha egy hatványsort tagonként differenciálunk és integrálunk, akkor a konvergencia sugara nem változik, viszont az intervallum végén konvergenciája változhat.

A fenti tulajdonságok az (1.5) teljesítménysorokra is érvényesek.

Példa 1.4. Tekintsük a hatványsorokat

Ennek a sorozatnak a konvergencia tartománya, amint az 1.3. példában látható, az intervallum

Különbözzük meg ezt a sorozatot kifejezésenként:

(1.7)

Vizsgáljuk meg ennek a sorozatnak a viselkedését a konvergencia intervallum végén.

Ez a számsor divergál, mivel a szükséges konvergenciakritérium nem teljesül

ami nem létezik.

A -hoz az (1.7) hatványsor numerikus sorozattá alakul

ami szintén eltér, mert a szükséges konvergenciakritérium nem teljesül.

Ezért az eredeti hatványsorok tagonkénti differenciálásával kapott hatványsorok konvergenciájának tartománya megváltozott, és egybeesik a .

1.3 Taylor sorozat. Maclaurin sorozat

Legyen egy pont szomszédságában végtelenül differenciálható függvény, azaz. bármilyen rendű származékai vannak. Egy függvény Taylor-sorát egy pontban hatványsornak nevezzük

(1.8)

Az adott esetben az (1.8) sorozatot Maclaurin sorozatnak nevezzük:

Felmerül a kérdés: Milyen esetekben esik egybe a Taylor-sor egy pont szomszédságában végtelen számú függvényre differenciált függvényre?

Vannak esetek, amikor a függvény Taylor-sora konvergál, de összege nem egyenlő

Adjunk elegendő feltételt egy függvény Taylor-sorának ehhez a függvényhez való konvergenciájához.

1.4. Tétel: ha az intervallumban a függvénynek tetszőleges rendű deriváltjai vannak, és mindegyiket abszolút értékben ugyanannyira korlátozzák, azaz. akkor ennek a függvénynek a Taylor sorozata konvergál ezen intervallum bármelyikére azok. egyenlőség van

Ennek az egyenlőségnek a konvergenciaintervallum végén történő teljesülésének tisztázásához külön tanulmányok szükségesek.

Megjegyzendő, hogy ha egy függvényt hatványsorrá bővítünk, akkor ez a sorozat ennek a függvénynek a Taylor (Maclaurin) sorozata, és ez a kiterjesztés egyedülálló.

1.4 Differenciálegyenletek

Egy argumentum függvényének n-edrendű közönséges differenciálegyenlete egy alak relációja

ahol argumentumainak adott függvénye.

A matematikai egyenletek ezen osztályának nevében a „differenciál” kifejezés hangsúlyozza, hogy ezek tartalmazzák a deriváltokat (a differenciálódás eredményeként létrejött függvényeket); a "közönséges" kifejezés azt mondja, hogy a kívánt függvény csak egyetlen valódi argumentumtól függ.

Egy közönséges differenciálegyenlet nem tartalmazhatja kifejezetten a kívánt függvény argumentumát és egyik deriváltját sem, de a legmagasabb deriváltnak szerepelnie kell az n-edrendű egyenletben.

Például,

A) - elsőrendű egyenlet;

B) egy harmadrendű egyenlet.

Közönséges differenciálegyenletek írásakor gyakran használják a deriváltak differenciálokon keresztüli jelölését:

NÁL NÉL) - másodrendű egyenlet;

G) - egy elsőrendű egyenlet, amely az egyenlet beállításának ekvivalens alakjával való elosztás után:

Egy függvényt egy közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezünk, ha behelyettesítjük azonossággá.

Egy egyenletet kielégítő függvény egyik vagy másik módszerével, például szelekcióval történő megtalálása nem jelenti annak megoldását. Egy közönséges differenciálegyenlet megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni minden olyan függvényt, amely azonosságot képez, ha behelyettesítjük az egyenletbe. Az (1.10) egyenlet esetében az ilyen függvények családját tetszőleges állandók felhasználásával hozzuk létre, és egy n-edrendű közönséges differenciálegyenlet általános megoldásának nevezzük, és az állandók száma egybeesik az egyenlet sorrendjével: az (1.10) egyenlet integrálja ).

Ha beállítunk néhány megengedett értéket az összes tetszőleges állandóhoz az általános megoldásban vagy az általános integrálban, akkor egy bizonyos függvényt kapunk, amely már nem tartalmaz tetszőleges állandókat. Ezt a függvényt az (1.10) egyenlet adott megoldásának vagy egy adott integráljának nevezzük. Az (1.10) egyenlethez különféle további feltételeket használnak, hogy megtalálják a tetszőleges állandók értékét, és ezáltal az adott megoldást. Például az úgynevezett kezdeti feltételek:

A kezdeti feltételek (1.11) jobb oldalán a függvény és a deriváltak számértékei vannak megadva, és a kezdeti feltételek teljes száma megegyezik a meghatározandó tetszőleges állandók számával.

Azt a feladatot, hogy az (1.10) egyenletre a kezdeti feltételeknek megfelelően egy adott megoldást találjunk, Cauchy-feladatnak nevezzük.

1.5 Differenciálegyenletek integrálása sorozatok segítségével

Általános esetben egy elsőrendű közönséges differenciálegyenletre (ODE) nem lehet pontos megoldást találni annak integrálásával. Ráadásul az ODE rendszernél ez nem kivitelezhető. Ez a körülmény nagyszámú közelítő módszer létrehozásához vezetett az ODE-k és rendszereik megoldására. A közelítő módszereknek három csoportja van: analitikus, grafikus és numerikus. Természetesen egy ilyen besorolás némileg önkényes. Például a grafikus Euler szaggatott vonal módszer a differenciálegyenlet numerikus megoldásának egyik módszere.

Az ODE-k integrálása hatványsorokkal egy közelítő analitikai módszer, amelyet általában legalább másodrendű lineáris egyenletekre alkalmaznak. Az egyszerűség kedvéért egy lineáris homogén másodrendű ODE vizsgálatára szorítkozunk változó együtthatókkal.

(1.12)

Megjegyzés: a függvények meglehetősen széles osztálya ábrázolható

hol van néhány állandó. Ezt a kifejezést hatványsornak nevezzük.

Tegyük fel, hogy a függvények az intervallumban konvergáló sorozatokká bővíthetők:

A következő tétel teljesül (a bizonyítást kihagyva csak a megfogalmazását mutatjuk be).

1.5. Tétel: ha a függvények alakja (1.13), akkor az ODE (1.12) bármely megoldása ábrázolható hatványsorként, amely az alábbi ponton konvergál:

(1.14)

Ez a tétel nemcsak azt teszi lehetővé, hogy a megoldást hatványsor formájában ábrázoljuk, de ami a legfontosabb, igazolja az (1.14) sorozat konvergenciáját. Az egyszerűség kedvéért beírjuk (1.13) és (1.14), és az ODE (1.12)-re keresünk megoldást az űrlapon

(1.15)

Az (1.15)-et (1.12) behelyettesítve megkapjuk az egyenlőséget

Ahhoz, hogy (1.16) teljesüljön, szükséges, hogy az együttható minden teljesítménynél nulla legyen.

Ebből a feltételből egy végtelen lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk

ahonnan egymás után meg lehet találni, ha a és értékek megadva vannak (az ODE (1.12) Cauchy-probléma esetén szerepelnek a kezdeti feltételekben ).

Ha a függvények racionálisak, pl.

ahol polinomok vannak, akkor olyan pontok közelében, ahol vagy a hatványsor formájú megoldás nem létezik, és ha van, akkor mindenhol eltérhet, kivéve a pontot Ezt a körülményt még L. Euler is ismerte, aki az elsőrendű egyenletet tekintette

Ezt az egyenletet a hatványsor teljesíti

Könnyen belátható azonban, hogy ez a sorozat bármelyiknél eltér

Az ODE divergens hatványsor formájában történő megoldását formálisnak nevezzük.

2. PÉLDÁK A TELJESÍTMÉNY SOROK HASZNÁLATÁRA DIFFERENCIÁLIS EGYENLETEK INTEGRÁLÁSÁBAN

Levegős egyenlet

Az Airy-egyenlet megoldása

hatványsor formájában fogunk keresni (1.15). Ekkor az (1.16) egyenlőség formát ölt

Az együttható egyenlő Ezért az együttható egyenlőségétől nulláig, az együtthatót egyenlőnek találjuk Innen

Ebből a képletből azt kapjuk

Hasonlóképpen találjuk

A és együtthatók definiálatlanok maradnak. A megoldások alapvető rendszerének megtalálásához először beállítjuk majd fordítva. Az első esetben mi

a másodikban pedig

Az 1.5 tétel alapján ezek a sorozatok a valós egyenesen mindenhol konvergensek

A függvényeket Airy függvényeknek nevezzük. Nagy értékek esetén ezeknek a függvényeknek aszimptotikus viselkedését a képletek írják le

Ezen függvények grafikonjait az 1. ábra mutatja.

1. kép

Korlátlan növekedéssel az Airy-egyenlet bármely megoldásának nullái korlátlanul konvergálnak, ami jól látszik ezen megoldások aszimptotikus ábrázolásából, de egyáltalán nem nyilvánvaló az Airy-függvények konvergens hatványsorok formájában történő ábrázolásából. Ebből az következik, hogy az ODE-re egy sorozat segítségével történő megoldás keresésének módszere általánosságban véve kevéssé hasznos az alkalmazott problémák megoldásában, és már maga a megoldás sorozat formájában történő ábrázolása is megnehezíti a megoldás minőségi tulajdonságainak elemzését. a kapott oldatot.

2.1 Bessel-egyenlet

Változó együtthatós lineáris differenciálegyenlet, amelynek alakja

Bessel-egyenletnek nevezzük.

A (2.1) egyenlet megoldását általánosított hatványsor formájában fogjuk keresni, azaz. bizonyos fokú termékek a sztyeppe sorozatból:

(2.2)

Ha az általánosított hatványsort behelyettesítjük a (2.1) egyenletbe, és nullával egyenlővé tesszük az együtthatókat az egyenlet bal oldalán minden hatványnál, megkapjuk a rendszert

Feltéve, hogy ebből a rendszerből azt kapjuk, hogy a rendszer második egyenletéből és a 3,5,7, ... értékeket adó egyenletből azt a következtetést vonjuk le, hogy páros számú együtthatók esetén megkapjuk a kifejezéseket

A talált együtthatókat (2.2) sorozatba behelyettesítve megkapjuk a megoldást

ahol az együttható tetszőleges marad.

Minden együtthatót hasonlóan határoznak meg csak abban az esetben, ha nem egyenlő egész számmal. Ezután a megoldást úgy kaphatjuk meg, hogy az előző megoldásban szereplő értéket a következőre cseréljük:

Az így kapott hatványsorok az összes értékre konvergálnak, ami könnyen megállapítható a d'Alembert-teszt alapján. A és megoldások lineárisan függetlenek, mivel arányuk nem állandó.

Megoldás szorozva egy állandóval az első típusú Bessel-függvénynek (vagy hengeres függvénynek) nevezzük, és a szimbólummal jelöljük A megoldást jelöljük

Az általánosan elfogadott konstans választás magában foglalja a gamma-függvényt, amelyet egy nem megfelelő integrál határoz meg:

Ezért a (2.1) egyenlet általános megoldása, amikor nem egyenlő egy egész számmal, a következőképpen alakul: és tetszőleges állandók .

2.2 Integrációs példák

Azokban az esetekben, amikor az egyenlet a Cauchy-probléma megoldását igényli a kezdeti feltétel mellett, a megoldást a Taylor sorozat segítségével lehet keresni:

ahol és további származékokat találunk az eredeti egyenlet egymást követő differenciálásával és a differenciálás eredményére való behelyettesítéssel az értékek és az összes többi talált későbbi derivált helyett. Hasonlóképpen, magasabb rendű egyenletek integrálhatók a Taylor sorozat segítségével.

Példa 2.1. Integrálja az egyenletet hozzávetőlegesen a Taylor-sor segítségével, figyelembe véve a bővítés első hat nem nulla tagját.

A kezdeti feltételek egyenletéből azt találjuk Ezt az egyenletet differenciálva egymás után megkapjuk

Értékek beállítása és használata szekvenciálisan megtaláljuk A kívánt megoldásnak megvan a formája

Példa 2.2. Keresse meg a bővítés első négy (nulla kivételével) tagját. és

A talált értékeket a (2.3) sorozatba behelyettesítve megkapjuk a kívánt megoldást a megadott pontossággal:

2.3 Integrációs példák a Maple-ben

A Maple differenciálegyenletek analitikus megoldásainak megtalálásához a dsolve(eq,var,options) parancsot használjuk, ahol az eq egy differenciálegyenlet, a var ismeretlen függvények, az opciók pedig opciók. A paraméterek megadhatnak egy módszert a probléma megoldására, például alapértelmezés szerint egy analitikus megoldást keres a rendszer: type=exact. Differenciálegyenletek összeállításakor a diff parancsot használjuk a derivált jelölésére, például egy differenciálegyenletet a következőképpen írunk fel: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Ha közelítő megoldást szeretne találni egy differenciálegyenlet hatványsor formájában, a dsolve parancsban adja meg a type=series (vagy egyszerűen sorozat) paramétert a változók után. A bővítés sorrendjének megadása érdekében, pl. a dekompozíció végrehajtásának sorrendje, a dsolve parancs elé, szúrja be a sorrend definícióját az Order:=n paranccsal.

Ha egy differenciálegyenlet általános megoldását egy hatványsor kiterjesztése formájában keressük, akkor a talált kiterjesztési fokokon lévő együtthatók a nullánál lévő függvény ismeretlen értékeit és deriváltjait tartalmazzák, és így tovább. A kimeneti sorban kapott kifejezés a kívánt megoldás Maclaurin-kiterjesztéséhez hasonló alakú lesz, de különböző együtthatókkal a hatványain. Egy adott megoldás elkülönítéséhez be kell állítani a kezdeti feltételeket stb., és e kezdeti feltételek számának egybe kell esnie a megfelelő differenciálegyenlet sorrendjével.

A hatványsorok kiterjesztése sorozat típusú, ezért a sorozat továbbfejlesztéséhez a convert(%,polinom) paranccsal polinommá kell alakítani, majd a kapott kifejezés jobb oldalát kell kiválasztani a rhs(%) parancsot.

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, ( [e-mail védett]@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),series);

Megjegyzés: a sorozat formájú differenciálegyenlet megoldásának típusa sorozat, ezért az ilyen megoldás további felhasználásához (számításokhoz vagy ábrázoláshoz) a convert paranccsal polinommá kell alakítani.

differenciálegyenlet szám foka

> konvertál(%,polinom): y2:=rhs(%):

> p1:=rajz(y1, x=-3..3, vastagság=2, szín=fekete):

> p2:=rajz(y2, x=-3..3, vonalstílus=3, vastagság=2, szín=fekete):

> with(plots): display(p1,p2);

A 2. ábra azt mutatja, hogy a pontos megoldás legjobb közelítése hatványsorral megközelítőleg az intervallumon érhető el

2. ábra

KÖVETKEZTETÉS

A tanfolyami munkában kitűzött célok maradéktalanul megvalósultak, a következő feladatokat sikerült megoldani:

A sorozatokkal és differenciálegyenletekkel kapcsolatos alapfogalmak meghatározása.

Egy módszert vizsgálunk differenciálegyenletek hatványsorok segítségével történő integrálására.

Problémák megoldása ebben a témában.

Ebben a kurzusban az anyagot a differenciálegyenletek hatványsorok segítségével történő integrálásának módszerének önálló tanulmányozása során tanulmányozták és rendszerezték a hallgatók általi alkalmazásra. Figyelembe veszi a sorozatok és a differenciálegyenletek fogalmát. A hozzávetőleges számításokat sorozatok segítségével végezzük.

A mű oktatási segédanyagként használható műszaki és matematikai szakos hallgatók számára.

A munka eredményei további kutatások alapjául szolgálhatnak.

HASZNÁLT IRODALOM JEGYZÉKE

1 Tricomi F. Differenciálegyenletek. Fordítás angolból. - M.: Könyvíró, 2003. - 352 p.

Vlasova B. A., Zarubin V. C., Kuvyrkin G. N. A matematikai fizika közelítő módszerei: Tankönyv egyetemeknek. - M.: MSTU kiadó im. N. E. Bauman, 2001. - 700 p.

Budak BM Fomin SV Több integrál és sorozat. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 p.

Demidovich B.P. Problémák és gyakorlatok gyűjteménye a webhelyen matematikai elemzés. - M.: Moszkvai Könyvkiadó. CheRo Egyetem, 2000. - 624 p.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. et al. All Higher Mathematics: Textbook. T. 3. - M.: Szerkesztői URSS, 2005. - 240 p.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. és társai Felsőfokú matematika: Általános kurzus: Tankönyv. - M.: Feljebb. iskola., 2000.- 351 p.

Malakhov A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Felső matematika. - M.: EAOI, 2008. - 315 p.

Markov L. N., Razmyslovich G. P. Felső matematika. 2. rész. A matematikai elemzés alapjai és a differenciálegyenletek elemei. - M.: Amalfeya, 2003. - 352 p.

Agafonov S. A., német A. D., Muratova T. V. Differenciálegyenletek. - M.: MSTU kiadó im. N.E. Bauman, 2004. - 352 p.

Coddington E. A., Levinson N. A közönséges differenciálegyenletek elmélete. - M.: Amalfeya, 2001. - 475 p.

Fikhtengol'ts G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 p.