A másodrendű lineáris differenciálegyenlet (LDE) a következő alakú:

hol , , és - előre meghatározott funkciókat, folyamatos azon az intervallumon, amelyen a megoldást keresik. Feltételezve, hogy a 0 (x) ≠ 0, elosztjuk (2.1) értékkel, és az együtthatók új jelölése után az egyenletet a következő formában írjuk fel:

Bizonyítás nélkül tegyük fel, hogy (2.2)-nek van egy egyedi megoldása valamilyen intervallumon, amely eleget tesz bármely , kezdeti feltételnek, ha a , és függvények folytonosak a vizsgált intervallumon. Ha , akkor a (2.2) egyenletet homogénnek, egyébként a (2.2) egyenletet inhomogénnek nevezzük.

Tekintsük a 2. rendű lodu megoldásainak tulajdonságait.

Meghatározás. A függvények lineáris kombinációja egy kifejezés, ahol tetszőleges számok vannak.

Tétel. Ha és egy lodu megoldás

akkor ezek lineáris kombinációja ennek az egyenletnek is megoldása lesz.

Bizonyíték.

A kifejezést a (2.3)-ba helyezzük, és megmutatjuk, hogy az eredmény egy azonosság:

Rendezzük át a feltételeket:

Mivel a és függvényei a (2.3) egyenlet megoldásai, az utolsó egyenletben minden zárójel azonos nullával, amit be kellett bizonyítani.

Következmény 1. A bizonyított tételből az következik, hogy ha a (2.3) egyenlet megoldása, akkor ennek az egyenletnek is megoldása.

2. következmény. Feltételezve azt látjuk, hogy a lodu két megoldásának összege ennek az egyenletnek a megoldása is.

Megjegyzés. A megoldások tételben bizonyított tulajdonsága bármely sorrend esetén érvényben marad.

§3. Vronszkij meghatározója.

Meghatározás. Egy függvényrendszert lineárisan függetlennek nevezünk valamely intervallumon, ha ezen függvények egyike sem ábrázolható a többi függvény lineáris kombinációjaként.

Két függvény esetén ez azt jelenti , azaz . Az utolsó feltételt átírhatjuk az ill . Ennek a kifejezésnek a számlálójában a determináns az és függvények Wronsky-determinánsának nevezzük. Így két lineárisan független függvény Wronsky-determinánsa nem lehet azonosan egyenlő nullával.

Hadd a Wronsky-determináns lineárisan független megoldásokhoz és a (2.3) egyenlethez. Ellenőrizzük behelyettesítéssel, hogy a függvény kielégíti-e az egyenletet. (3.1)

Igazán, . Mivel a függvények és kielégítik a (2.3) egyenletet, akkor , azaz. a (3.1) egyenlet megoldása. Keressük ezt a megoldást: ; . Ahol , . , , .

A képlet jobb oldalán a plusz jelet kell venni, mivel csak ebben az esetben kapunk azonosságot. Ily módon

(3.2)

Ezt a képletet Liouville-képletnek nevezik. Fentebb bemutattuk, hogy a lineárisan független függvények Wronsky-determinánsa nem lehet azonosan nullával egyenlő. Ezért van egy pont, ahol a (2.3) egyenlet lineárisan független megoldásainak determinánsa nem nulla. Ekkor a Liouville-képletből az következik, hogy a függvény a vizsgált intervallum összes értékére nem nulla lesz, mivel a (3.2) képlet jobb oldalán lévő mindkét tényező nem nulla bármely érték esetén.

§4. A 2. rendű lod általános megoldásának szerkezete.

Tétel. Ha és a (2.3) egyenlet lineárisan független megoldásai, akkor ezek lineáris kombinációja , ahol és tetszőleges állandók, ez lesz az egyenlet általános megoldása.

Bizonyíték.

Mit a (2.3) egyenlet megoldása, a megoldások tulajdonságaira vonatkozó tételből következik egy másodrendű lodu. Csak meg kell mutatnunk a megoldást lesz Tábornok, azaz meg kell mutatni, hogy bármely kezdeti feltételhez tetszőleges állandók választhatók, és úgy, hogy ezek a feltételek teljesüljenek. Írjuk fel kezdeti feltételek mint:

A konstansok és ebből a lineáris algebrai egyenletrendszerből egyértelműen meghatározottak, mivel ennek a rendszernek a determinánsa a Wronsky-determináns értéke a lodu lineárisan független megoldásaihoz:

,

és egy ilyen determináns, amint azt az előző részben láttuk, nem nulla. A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Bizonyítsuk be, hogy a függvény , ahol és tetszőleges állandók, a lodu általános megoldása.

Megoldás.

Behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy a függvények teljesítik-e az adott egyenletet. Ezek a függvények lineárisan függetlenek, hiszen . Ezért az általános megoldás szerkezetére vonatkozó tétel szerint a 2. rendű lode ennek az egyenletnek az általános megoldása.

Oktatási intézmény "Fehérorosz Állam

Mezőgazdasági Akadémia"

Felső Matematika Tanszék

Irányelvek

a "Másodrendű lineáris differenciálegyenletek" témakör tanulmányozásáról a levelező oktatási forma (NISPO) számviteli osztályának hallgatói

Gorki, 2013

Lineáris differenciál egyenletek

másodrendű állandóvalegyütthatók

1. Lineáris homogén differenciálegyenletek

Másodrendű lineáris differenciálegyenlet állandó együtthatókkal formaegyenletnek nevezzük

azok. olyan egyenlet, amely csak első fokon tartalmazza a kívánt függvényt és származékait, és nem tartalmazza azok szorzatait. Ebben az egyenletben és
néhány szám és a függvény
adott időközönként
.

Ha egy
az intervallumon
, akkor az (1) egyenlet alakját veszi fel

, (2)

és felhívott lineárisan homogén . Ellenkező esetben az (1) egyenletet nevezzük lineárisan inhomogén .

Tekintsük az összetett függvényt

, (3)

ahol
és
valódi függvények. Ha a (3) függvény a (2) egyenlet komplex megoldása, akkor a valós része
, és a képzeletbeli rész
megoldásokat
egyenként ugyanannak a megoldásai homogén egyenlet. Így minden komplett megoldás a (2) egyenlet ennek az egyenletnek két valós megoldását generálja.

Homogén megoldások lineáris egyenlet tulajdonságai vannak:

Ha egy a (2) egyenlet megoldása, akkor a függvény
, ahol TÓL TŐL- tetszőleges állandó, a (2) egyenlet megoldása is lesz;

Ha egy és a (2) egyenlet megoldásai, akkor a függvény
a (2) egyenlet megoldása is lesz;

Ha egy és a (2) egyenlet megoldásai, majd ezek lineáris kombinációja
megoldása lesz a (2) egyenletnek is, ahol és
tetszőleges állandók.

Funkciók
és
hívott lineárisan függő az intervallumon
ha vannak ilyen számok és
, amelyek egyidejűleg nem egyenlők nullával, hogy ezen az intervallumon az egyenlőség

Ha a (4) egyenlőség csak akkor áll fenn
és
, majd a funkciókat
és
hívott lineárisan független az intervallumon
.

1. példa . Funkciók
és
lineárisan függőek, hiszen
egész számegyenes mentén. Ebben a példában
.

2. példa . Funkciók
és
lineárisan függetlenek bármely intervallumtól, mivel az egyenlőség
csak akkor lehetséges, ha és
, és
.

1. Lineáris homogén általános megoldásának megalkotása

egyenletek

Ahhoz, hogy általános megoldást találjunk a (2) egyenletre, meg kell találni két lineárisan független megoldását és . Ezen megoldások lineáris kombinációja
, ahol és
tetszőleges állandók, és egy lineáris homogén egyenlet általános megoldását adják.

A (2) egyenlet lineárisan független megoldásait a formában fogjuk keresni

, (5)

ahol - néhány szám. Akkor
,
. Helyettesítsük be ezeket a kifejezéseket a (2) egyenletbe:

Vagy
.

Mert
, akkor
. Tehát a funkció
a (2) egyenlet megoldása lesz, ha kielégíti az egyenletet

. (6)

A (6) egyenletet nevezzük karakterisztikus egyenlet a (2) egyenlethez. Ez az egyenlet egy algebrai másodfokú egyenlet.

Hadd és ennek az egyenletnek a gyökerei. Lehetnek valódiak és különbözőek, vagy összetettek, vagy valódiak és egyenlőek. Nézzük ezeket az eseteket.

Hagyja a gyökereket és karakterisztikus egyenletérvényes és más. Ekkor a (2) egyenlet megoldásai lesznek a függvények
és
. Ezek a megoldások lineárisan függetlenek, mivel az egyenlőség
csak akkor hajtható végre
, és
. Ezért a (2) egyenlet általános megoldásának alakja van

,

ahol és
tetszőleges állandók.

3. példa
.

Megoldás . Ennek a differenciálnak a jellemző egyenlete a következő lesz
. Megoldani másodfokú egyenlet, találja meg a gyökereit
és
. Funkciók
és
a differenciálegyenlet megoldásai. Ennek az egyenletnek az általános megoldása alakja
.

összetett szám a forma kifejezésének nevezzük
, ahol és - valós számok, a
képzeletbeli egységnek nevezzük. Ha egy
, majd a szám
tisztán képzeletnek nevezik. Ha
, majd a szám
valós számmal azonosítjuk .

Szám a komplex szám valós részének nevezzük, és - a képzeletbeli rész. Ha két komplex szám csak a képzeletbeli rész előjelében tér el egymástól, akkor konjugáltnak nevezzük őket:
,
.

4. példa . Másodfokú egyenlet megoldása
.

Megoldás . Egyenlet diszkrimináns
. Akkor . Hasonlóképpen,
. Így ennek a másodfokú egyenletnek konjugált komplex gyökerei vannak.

Legyenek a karakterisztikus egyenlet gyökei összetettek, azaz.
,
, ahol
. A (2) egyenlet megoldásai így írhatók fel
,
vagy
,
. Euler képletei szerint

,
.

Akkor , . Mint ismeretes, ha egy komplex függvény egy lineáris homogén egyenlet megoldása, akkor ennek az egyenletnek a megoldásai ennek a függvénynek a valós és képzetes részei is. Így a (2) egyenlet megoldásai lesznek a függvények
és
. Az egyenlőség óta

csak akkor hajtható végre
és
, akkor ezek a megoldások lineárisan függetlenek. Ezért a (2) egyenlet általános megoldásának alakja van

ahol és
tetszőleges állandók.

5. példa . Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!
.

Megoldás . Az egyenlet
az adott differenciálra jellemző. Megoldjuk és összetett gyökereket kapunk
,
. Funkciók
és
a differenciálegyenlet lineárisan független megoldásai. Ennek az egyenletnek az általános megoldása a következő alakú.

Legyen a karakterisztikus egyenlet gyöke valós és egyenlő, azaz.
. Ekkor a (2) egyenlet megoldásai a függvények
és
. Ezek a megoldások lineárisan függetlenek, mivel a kifejezés csak akkor lehet azonosan egyenlő nullával
és
. Ezért a (2) egyenlet általános megoldásának alakja van
.

6. példa . Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!
.

Megoldás . Karakterisztikus egyenlet
egyenlő gyökerei vannak
. Ebben az esetben a differenciálegyenlet lineárisan független megoldásai a függvények
és
. Az általános megoldásnak megvan a formája
.

9. § Másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek állandó együtthatókkal

Másodrendű LODE meghatározása állandó együtthatókkal

Karakterisztikus egyenlet:

1. eset. A diszkriminancia nagyobb, mint nulla

2. eset. A diszkrimináns nulla

3. eset. A diszkriminancia kisebb, mint nulla

Algoritmus egy állandó együtthatójú másodrendű LODE általános megoldásának megtalálására

10. § Lineáris inhomogén másodrendű differenciálegyenletek állandó együtthatókkal

Másodrendű LIDE meghatározása állandó együtthatókkal

Állandó variációs módszer

Módszer a LIDE megoldására speciális jobb oldallal

Tétel a LIDE általános megoldásának szerkezetéről

1. Funkció r (x) fokszámú polinom t

2. Funkció r (x) egy szám szorzata exponenciális függvény

3. Funkció r (x) - összeg trigonometrikus függvények

Algoritmus a LIDE általános megoldásának megtalálásához speciális jobb oldallal

Alkalmazás

9. §. Másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek állandó együtthatókkal

A másodrendű differenciálegyenletet ún lineáris homogén differenciálegyenlet (LODE) állandó együtthatókkal ha így néz ki:

ahol pés q

Ahhoz, hogy általános megoldást találjunk a LODE-ra, elegendő megtalálni két különböző egyedi megoldását és a . Ekkor a LODE általános megoldásának formája lesz

ahol TÓL TŐL 1 és TÓL TŐL

Leonhard Euler azt javasolta, hogy a LODE sajátos megoldásait keressük a formában

ahol k- néhány szám.

Ennek a függvénynek a megkülönböztetése kétszer és a kifejezések helyettesítése a nál nél, nál nél"és nál nél" az egyenletbe a következőket kapjuk:

A kapott egyenletet ún karakterisztikus egyenlet LODU. Összeállításához elegendő az eredeti egyenletben helyettesíteni nál nél", nál nél"és nál nél illetve be k 2 , kés 1:

A karakterisztikus egyenlet megoldása után, i.e. gyökerek megtalálása k 1 és k 2, az eredeti LODE-ra is találunk sajátos megoldásokat.

A karakterisztikus egyenlet másodfokú egyenlet, gyökerei a diszkriminánson keresztül találhatók

Ebben az esetben a következő három eset lehetséges.

1. eset. A diszkriminancia nagyobb, mint nulla , tehát a gyökerek k 1 és k 2 érvényes és eltérő:

k 1¹ k 2

ahol TÓL TŐL 1 és TÓL TŐL 2 tetszőleges független állandók.

2. eset. A diszkrimináns nulla , tehát a gyökerek k 1 és k 2 valódi és egyenlő:

k 1 = k 2 = k

Ebben az esetben a LODE általános megoldásának formája van

ahol TÓL TŐL 1 és TÓL TŐL 2 tetszőleges független állandók.

3. eset. A diszkriminancia kisebb, mint nulla . Ebben az esetben az egyenletnek nincs valódi gyökere:

Nincsenek gyökerek.

Ebben az esetben a LODE általános megoldásának formája van

ahol TÓL TŐL 1 és TÓL TŐL 2 tetszőleges független állandók,

Így az állandó együtthatókkal rendelkező másodrendű LODE általános megoldásának megtalálása a karakterisztikus egyenlet gyökeinek megtalálására és az egyenlet általános megoldására képletekre redukálódik (integrálok számítása nélkül).

Algoritmus egy állandó együtthatójú másodrendű LODE általános megoldásának megtalálására:

1. Állítsa be az egyenletet a , ahol pés q néhány valós szám.

2. Alkossunk karakterisztikus egyenletet!

3. Határozza meg a karakterisztikus egyenlet diszkriminánsát!

4. A képletekkel (lásd 1. táblázat) a diszkrimináns előjelétől függően írja le az általános megoldást!

Asztal 1

A lehetséges általános megoldások táblázata

2. rendű differenciálegyenletek

§egy. Módszerek az egyenlet sorrendjének csökkentésére.

A másodrendű differenciálegyenlet alakja:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( vagy Differenciális" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">másodrendű differenciálegyenlet). Cauchy probléma a 2. rendű differenciálegyenlethez (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

A másodrendű differenciálegyenlet így nézzen ki: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Így a másodrendű egyenlet https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Ezt megoldva megkapjuk az eredeti differenciálegyenlet általános integrálját, két tetszőleges állandótól függően: DIV_ADBLOCK219">

1. példa Oldja meg a https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif" differenciálegyenletet width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.

Ez egy elválasztható differenciálegyenlet: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, i.e..gif" width= "96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99" magasság ="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.

2..gif" width="117" height="25 src=">, azaz..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">

Megoldás.

NÁL NÉL adott egyenlet A 2. sorrend egyértelműen nem tartalmazza a kívánt függvényt https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width="33 " height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src=">, amely egy lineáris egyenlet..gif" width="109" height="36 src=">..gif " width ="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> egyes függvényekből..gif" width="25" height="25 src=">.gif" width= "127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – Az egyenlet sorrendje leminősítve.

§2. 2. rendű lineáris differenciálegyenlet.

A másodrendű lineáris differenciálegyenlet (LDE) a következő alakú:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src=">, és az együtthatók új jelölésének bevezetése után a következő formában írjuk fel az egyenletet:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> folyamatos..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – tetszőleges számok.

Tétel. Ha https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - a megoldás

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> szintén megoldás lesz erre az egyenletre.

Bizonyíték.

Tegyük a https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src="> kifejezést.

Rendezzük át a feltételeket:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> is megoldás erre az egyenletre.

2. következmény. Feltételezve, hogy a https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> szintén megoldás erre az egyenletre.

Megjegyzés. A megoldások tételben bizonyított tulajdonsága bármely sorrend esetén érvényben marad.

§3. Vronszkij meghatározója.

Meghatározás. Funkciórendszer https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> egyenletek (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">. (3.1)

Valóban, a ..gif" width="18" height="25 src="> megfelel az egyenletnek (2..gif" width="42" height="25 src="> a (3.1) egyenlet megoldása). .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> A .gif" width="51" height="25 src="> azonos. Így

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, amelyben az egyenlet lineárisan független megoldásainak determinánsa (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> A (3.2) képlet jobb oldalán található mindkét tényező nullától eltérő.

§4. A 2. rendű lod általános megoldásának szerkezete.

Tétel. Ha a https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> a (2..gif" width=") egyenlet lineárisan független megoldásai 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">a (2.3) egyenlet megoldása, ami a másodrendű lodu-megoldások tulajdonságaira vonatkozó tételből következik..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Az ebből a lineáris algebrai egyenletrendszerből származó https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> konstansok egyedileg meghatározottak, mivel a determináns ez a rendszer https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Az előző bekezdés szerint a 2. rendű lodu általános megoldása könnyen meghatározható, ha ismerjük ennek az egyenletnek két lineárisan független részmegoldását. Egy egyszerű módszer az L. Euler által javasolt állandó együtthatójú egyenlet részleges megoldására..gif" width="25" height="26 src=">, egy algebrai egyenletet kapunk, amelyet karakterisztikának nevezünk:

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> az (5.1) egyenlet megoldása csak a k értékei esetén amelyek a karakterisztikus egyenlet gyökerei (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> és az általános megoldás (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Ellenőrizze, hogy ez a függvény megfelel-e az (5.1)..gif" width="190" height="26 src="> egyenletnek. Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve az (5.1) egyenletet kapjuk

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, mert.gif" width="137" height="26 src=" >.

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> privát megoldások lineárisan függetlenek, mert.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Ennek az egyenlőségnek a bal oldalán mindkét zárójel azonosan egyenlő nullával..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> a az (5.1) egyenlet megoldása ..gif" width="129" height="25 src="> így fog kinézni:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

az általános megoldás összegeként ábrázolva: https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)

és bármely konkrét megoldás https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> a (6.1) egyenlet megoldása lesz..gif" szélesség=" 272" height="25 src="> f(x). Ez az egyenlőség egy azonosság, mert..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Ezért.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= A "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> lineárisan független megoldásai ennek az egyenletnek. Ilyen módon:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, és egy ilyen determináns, mint fentebb láttuk, különbözik a rendszer nullától..gif" width="19" height="25 src="> egyenletek közül (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src => lesz az egyenlet megoldása

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> a (6.5) egyenletbe, kapjuk

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> a (7.1) egyenletben abban az esetben, ha a jobb oldal f(x) van egy speciális Ezt a módszert a határozatlan együtthatók módszerének nevezik, és abból áll, hogy egy adott megoldást választunk ki az f(x) jobb oldalának alakjától függően. Tekintsük a következő alak jobb oldalát:

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> lehet nulla. Jelöljük meg, hogy ebben az esetben az adott megoldást milyen formában kell venni.

a) Ha a szám https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src =">.

Megoldás.

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src egyenlethez = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.

Mindkét részt lerövidítjük: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> az egyenlőség bal és jobb oldalán

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

A kapott egyenletrendszerből a következőt találjuk: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, és az általános megoldást adott egyenlet van:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Megoldás.

A megfelelő karakterisztikus egyenlet alakja:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Végül az alábbi kifejezést kapjuk az általános megoldásra:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> kiváló nulláról. Jelöljük ebben az esetben egy adott megoldás formáját.

a) Ha a szám https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

ahol a https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> az (5..gif" width) egyenlet jellemző egyenletének gyökere ="229 "height="25 src=">,

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.

Megoldás.

A karakterisztikus egyenlet gyökerei a https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" egyenlethez height="25 src=">.

A 3. példában megadott egyenlet jobb oldalának speciális alakja van: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

A https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > és behelyettesítjük az adott egyenletbe:

Hasonló kifejezések, együtthatók egyenlővé tétele a következő helyen: https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.

Az adott egyenlet végső általános megoldása: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src=">, és ezek közül az egyik polinom lehet nulla. Jelöljük meg egy adott megoldás alakját ebben az általánosban ügy.

a) Ha a szám https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)

ahol https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

b) Ha a szám https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, akkor egy adott megoldás így fog kinézni:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. A (7..gif" width="121" height= kifejezésben " 25 src=">.

4. példa Adja meg az egyenlet adott megoldásának típusát

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . A lod általános megoldása a következő formában van:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

További együtthatók https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > van egy sajátos megoldás a jobb oldali f1(x) egyenletre, és tetszőleges állandók variációi" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">változatai (Lagrange-módszer).

Egy egyenes konkrét megoldásának közvetlen megtalálása, kivéve a konstans együtthatós egyenletet, és ráadásul speciális állandó tagokat, nagy nehézségeket okoz. Ezért a lindu általános megoldásának megtalálásához általában tetszőleges állandók variálásának módszerét alkalmazzák, amely mindig lehetővé teszi a lindu általános megoldásának kvadratúrákban történő megtalálását, ha alapvető rendszer a megfelelő homogén egyenlet megoldásai. Ez a módszer a következő.

A fentiek szerint a lineáris homogén egyenlet általános megoldása:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nem állandó, hanem néhány, még ismeretlen f(x) függvény. . intervallumból kell venni. Valójában ebben az esetben a Wronsky-determináns az intervallum minden pontjában különbözik a nullától, azaz a teljes térben - összetett gyökér karakterisztikus egyenlet..gif" width="20" height="25 src="> lineárisan független részmegoldások a következő formában:

Az általános megoldási képletben ez a gyök az alak kifejezésének felel meg.

Ebben a cikkben elemezzük a másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletek megoldásának elveit állandó együtthatóval, ahol p és q tetszőleges valós számok. Először térjünk ki az elméletre, majd alkalmazzuk a kapott eredményeket példák és problémák megoldásában.

Ha ismeretlen kifejezésekkel találkozik, akkor olvassa el a differenciálegyenletek elméletének definícióit és fogalmait.

Fogalmazzunk meg egy tételt, amely jelzi, hogy milyen formában kell megtalálni a LODE általános megoldását.

Tétel.

A folytonos együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldását az X integrációs intervallumon a következőképpen adja meg: lineáris kombináció , ahol a LODE lineárisan független parciális megoldásai X -en, és tetszőleges állandók.

Így egy másodrendű, állandó együtthatós lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 tetszőleges konstans alakú. Továbbra is meg kell tanulnunk, hogyan találjunk konkrét y 1 és y 2 megoldásokat.

Euler azt javasolta, hogy az űrlapon keressenek konkrét megoldásokat.

Ha egy konstans együtthatós másodrendű LODE-t veszünk konkrét megoldásnak, akkor ezt a megoldást az egyenletbe behelyettesítve az azonosságot kell kapnunk:

Így megkaptuk az ún karakterisztikus egyenlet másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet állandó együtthatókkal. Ennek a karakterisztikus egyenletnek a k 1 és k 2 megoldása is meghatározza a másodrendű LODE-unk konstans együtthatós megoldásait.

A p és q együtthatóktól függően a karakterisztikus egyenlet gyöke lehet:

Az első esetben Az eredeti differenciálegyenlet lineárisan független részmegoldásai a és, a másodrendű LODE állandó együtthatójú általános megoldása: .

A és függvények valóban lineárisan függetlenek, mivel a Wronsky-determináns nem nulla bármely valós x esetén.

A második esetben az egyik sajátos megoldás a függvény . A második konkrét megoldásként vesszük. Mutassuk meg, mi a másodrendű LODE sajátos megoldása állandó együtthatókkal, és bizonyítsuk be lineáris függetlenség y 1 és y 2 .

Mivel k 1 \u003d k 0 és k 2 \u003d k 0 a karakterisztikus egyenlet azonos gyökei, akkor ennek az alakja van. Ezért az eredeti lineáris homogén differenciálegyenlet. Helyettesítse be, és győződjön meg arról, hogy az egyenlet azonossággá alakul:

Így ez egy sajátos megoldás az eredeti egyenletre.

Mutassuk meg az és függvények lineáris függetlenségét. Ehhez kiszámítjuk a Wronsky-determinánst, és győződjön meg arról, hogy nem nulla.

Következtetés: a másodrendű LODE konstans együtthatójú lineárisan független parciális megoldásai és, az általános megoldás pedig .

A harmadik esetben van egy pár komplex speciális megoldásunk a LODE és a . Az általános megoldást így írjuk le . Ezeket a konkrét megoldásokat két valós függvény helyettesítheti és a valós és képzeletbeli részeknek megfelelő. Ez jól látható, ha átalakítjuk az általános megoldást , képletek segítségével komplex változó függvényeinek elmélete kedves :


ahol C 3 és C 4 tetszőleges állandók.

Tehát foglaljuk össze az elméletet.

Algoritmus konstans együtthatós másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldásának megtalálására.

Vegyünk példákat minden egyes esetre.

Példa.

Keressen általános megoldást egy másodrendű lineáris homogén differenciálegyenletre állandó együtthatókkal .