Az ellipszis kanonikus egyenlete alakja

ahol a a fél-nagy tengely; b - kisebb féltengely. Az F1(c,0) és F2(-c,0) − c pontokat hívjuk

a, b - az ellipszis féltengelyei.

Egy ellipszis gócainak, excentricitásának, irányvonalának megtalálása, ha ismert a kanonikus egyenlete.

A hiperbola definíciója. Hiperbola gócok.

Meghatározás. A hiperbola egy síkban lévő pontok halmaza, amelyeknél a két adott ponttól való távolságkülönbség modulusa, úgynevezett gócok, állandó érték, kisebb, mint a fókuszpontok távolsága.

Definíció szerint |r1 – r2|= 2a. F1, F2 a hiperbola fókuszpontjai. F1F2 = 2c.

A hiperbola kanonikus egyenlete. A hiperbola féltengelyei. Hiperbola felépítése, ha ismert a kanonikus egyenlete.

Kanonikus egyenlet:

A hiperbola fél-nagytengelye a hiperbola két ága közötti minimális távolság fele, a tengely pozitív és negatív oldalán (az origóhoz képest balra és jobbra). A pozitív oldalon található ágnál a féltengely egyenlő lesz:

Ha a kúpmetszetben és az excentricitásban fejezzük ki, akkor a kifejezés a következő alakot ölti:

Hiperbola gócainak, excentricitásának, irányítópontjának megtalálása, ha ismert a kanonikus egyenlete.

A hiperbola excentricitása

Meghatározás. Az arányt a hiperbola excentricitásának nevezzük, ahol c -

a gócok közötti távolság fele, és ez a valódi féltengely.

Figyelembe véve azt a tényt, hogy c2 - a2 = b2:

Ha a \u003d b, e \u003d, akkor a hiperbolát egyenlő oldalúnak (egyenoldalúnak) nevezzük.

A hiperbola irányai

Meghatározás. A hiperbola valós tengelyére merőleges és a középpontra szimmetrikusan a / e távolságra elhelyezkedő egyenest a hiperbola irányítóinak nevezzük. Egyenleteik a következők:

Tétel. Ha r a távolság a hiperbola tetszőleges M pontjától valamilyen fókuszig, d pedig a távolság ugyanattól a ponttól az ennek a fókusznak megfelelő direktrixig, akkor az r/d arány az excentricitással egyenlő állandó érték.

A parabola definíciója. A parabola fókusza és irányvonala.

Parabola. A parabola azoknak a pontoknak a helye, amelyek mindegyike egyenlő távolságra van egy adott fix ponttól és egy adott rögzített egyenestől. A definícióban hivatkozott pontot a parabola fókuszának, az egyenest pedig irányítójának nevezzük.

A parabola kanonikus egyenlete. parabola paraméter. Parabola építése.

A parabola kanonikus egyenlete téglalap alakú koordinátarendszerben: (vagy ha a tengelyek megfordulnak).

A parabola felépítése a p paraméter adott értékéhez a következő sorrendben történik:

Rajzoljuk meg a parabola szimmetriatengelyét és fektessük rá a KF=p szakaszt;

A DD1 irányvonalat a szimmetriatengelyre merőleges K ponton keresztül húzzuk;

A KF szakaszt felére osztva megkapjuk a parabola 0 csúcsát;

Tetszőleges számú 1, 2, 3, 5, 6 pontot felülről mérünk, a köztük lévő távolság fokozatosan növekszik;

Ezeken a pontokon keresztül a parabola tengelyére merőleges segédvonalak húzódnak;

A segédegyeneseken a serifeket olyan sugárral készítik, amely megegyezik az egyenes és a direktrix távolságával;

A kapott pontokat sima görbe köti össze.

pontokat F 1 (–c, 0) és F 2 (c, 0), ahol hívják ellipszis trükkök , míg az érték 2 c meghatározza interfokális távolság .

pontokat DE 1 (–de, 0), DE 2 (de, 0), BAN BEN 1 (0, –b), B 2 (0, b) hívják az ellipszis csúcsai (9.2. ábra), míg DE 1 DE 2 = 2de az ellipszis főtengelyét alkotja, és BAN BEN 1 BAN BEN 2 - kicsi, - az ellipszis közepe.

Az ellipszis fő paraméterei, amelyek alakját jellemzik:

ε = tól től/a – ellipszis excentricitás ;

– az ellipszis fókuszsugarai (pont M az ellipszishez tartozik), és r 1 = a + εx, r 2 = a – εx;

– ellipszis direktrix .

Ellipszisre igaz: az irányítók nem lépik át az ellipszis határát és belsejét, és rendelkeznek a tulajdonsággal

Az ellipszis excentricitása kifejezi a "kompresszió" mértékét.

Ha b > a> 0, akkor az ellipszist a (9.7) egyenlet adja, amelyre a (9.8) feltétel helyett a feltétel

Aztán 2 de- kistengely, 2 b- nagytengely, - trükkök (9.3. ábra). Ahol r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, az irányítókat a következő egyenletek határozzák meg:

Abban a feltételben, hogy van (egy ellipszis speciális esete formájában) egy sugarú kör R = a. Ahol tól től= 0, ami azt jelenti ε = 0.

Az ellipszis pontjai rendelkeznek jellemző tulajdonság : a távolságok összege mindegyiktől a fókuszig 2-vel egyenlő állandó érték de(9.2. ábra).

Mert ellipszis parametrikus meghatározása (9.7 képlet) paraméterként, ha a (9.8) és (9.9) feltételek teljesülnek t felvehető az ellipszisen fekvő pont sugárvektora és a tengely pozitív iránya közötti szög értéke Ökör:

Ha a féltengelyes ellipszis középpontja egy pontban van, akkor az egyenlete:

1. példa Adja meg az ellipszis egyenletét! x 2 + 4y 2 = 16 a kanonikus formára, és határozza meg a paramétereit. Rajzolj ellipszist.

Megoldás. Osszuk el az egyenletet x 2 + 4y 2 \u003d 16 x 16, ami után a következőt kapjuk:

A kapott egyenlet alakjából arra a következtetésre jutunk, hogy ez egy ellipszis kanonikus egyenlete ((9.7) képlet), ahol de= 4 - nagytengely, b= 2 – fél-minor tengely. Tehát az ellipszis csúcsai a pontok A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2(0, 2). Mivel az interfokális távolság fele, a pontok az ellipszis fókuszai. Számítsuk ki az excentricitást:

Igazgatónők D 1 , D 2 egyenletek írják le:

Ellipszist ábrázolunk (9.4. ábra).

2. példa Határozza meg az ellipszis paramétereit

Megoldás. Hasonlítsuk össze adott egyenlet eltolt középpontú ellipszis kanonikus egyenletével. Az ellipszis középpontjának megtalálása TÓL TŐL: Fél-főtengely, fél-melléktengely, egyenes - főtengelyek. Az interfokális távolság fele, ami azt jelenti, hogy a fókuszok a Directrix excentricitása D 1 és D 2. ábra egyenletekkel írható le: (9.5. ábra).

3. példa Határozza meg, melyik görbét adja meg az egyenlet, rajzolja meg:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Megoldás. 1) A binomiális teljes négyzetének kiválasztásával az egyenletet a kanonikus alakba visszük:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Így az egyenlet a formára redukálható

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Ez egy olyan kör egyenlete, amelynek középpontja (–2, 1) és sugara R= 1 (9.6. ábra).

2) Az egyenlet bal oldalán kiválasztjuk a binomiálisok teljes négyzeteit, és megkapjuk:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Ennek az egyenletnek nincs értelme a készleten valós számok, mivel a bal oldal nem negatív a változók bármely valós értékére xÉs y, míg a jobb oldali negatív. Ezért azt mondják, hogy ez az egyenlet egy "képzetes kör", vagy egy üres ponthalmazt határoz meg a síkban.

3) Válassza ki a teljes négyzeteket:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Tehát az egyenlet így néz ki:

A kapott egyenlet, tehát az eredeti egyenlet, egy ellipszist határoz meg. Az ellipszis közepe a ponton van RÓL RŐL 1 (1, –2), a fő tengelyeket az egyenletek adják meg y = –2, x= 1, és a fő féltengely de= 4, fél-minor tengely b= 2 (9.7. ábra).

4) A teljes négyzetek kiválasztása után a következőket kapjuk:

(x – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 vagy ( x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Az eredményül kapott egyenlet a sík egyetlen pontját határozza meg (1, -2) koordinátákkal.

5) Az egyenletet kanonikus formába hozzuk:

Nyilvánvalóan egy ellipszist határoz meg, amelynek középpontja abban a pontban van, ahol a fő tengelyeket az egyenletek adják meg, ahol a fő féltengely a kis féltengely (9.8. ábra).

4. példaÍrja fel az ellipszis jobb fókuszában lévő 2 sugarú kör érintőjének egyenletét x 2 + 4y 2 = 4 az y tengellyel való metszéspontban.

Megoldás. Az ellipszis egyenletet a kanonikus alakra redukáljuk (9.7):

Ezért a megfelelő fókusz - Ezért a 2 sugarú kör kívánt egyenlete a következőképpen alakul (9.9. ábra):

A kör az y tengelyt olyan pontokban metszi, amelyek koordinátáit az egyenletrendszer határozza meg:

Kapunk:

Legyenek pontok N(0; -1) és M(0; 1). Így lehetséges két érintő összeállítása, jelölése T 1 és T 2. Egy jól ismert tulajdonság szerint az érintő merőleges az érintkezési pontra húzott sugárra.

Legyen Akkor az érintő egyenlet T 1 a következő formában lesz:

Tehát akár T 1: Egyenértékű az egyenlettel

Meghatározás 7.1. A sík azon pontjainak halmazát, amelyekre két fix pont F 1 és F 2 távolságának összege adott állandó, ún. ellipszis.

Az ellipszis definíciója ennek a következő módját adja geometriai konstrukció. Rögzítünk két F 1 és F 2 pontot a síkon, és egy nem negatív állandó értéket jelölünk 2a-val. Legyen az F 1 és F 2 pontok távolsága 2c. Képzeljük el, hogy például két tű segítségével egy 2a hosszúságú nyújthatatlan szálat rögzítünk az F 1 és F 2 pontokhoz. Nyilvánvaló, hogy ez csak ≥ c esetén lehetséges. A szálat ceruzával húzva húzzon egy vonalat, amely ellipszis lesz (7.1. ábra).

Tehát a leírt halmaz nem üres, ha a ≥ c. Ha a = c, akkor az ellipszis F 1 és F 2 végű szakasz, ha pedig c = 0, azaz. ha az ellipszis definíciójában megadott fix pontok egybeesnek, akkor a sugarú körről van szó. Ha elvetjük ezeket a degenerált eseteket, akkor általában azt feltételezzük, hogy a > c > 0.

Az ellipszis 7.1 definíciójában szereplő F 1 és F 2 rögzített pontokat (lásd 7.1. ábra) ún. ellipszis trükkök, a köztük lévő távolságot 2c jelöli, - gyújtótávolság, valamint az F 1 M és F 2 M szakaszok, amelyek az ellipszis egy tetszőleges M pontját kapcsolják össze annak fókuszával, - fókuszsugarak.

Az ellipszis formáját teljesen meghatározza a fókusztávolság |F 1 F 2 | = 2с és az a paraméter, valamint annak helyzete a síkon - F 1 és F 2 pontpárral.

Az ellipszis definíciójából következik, hogy szimmetrikus az F 1 és F 2 gócokon átmenő egyenesre, valamint az F 1 F 2 szakaszt kettéosztó, rá merőleges egyenesre (ábra 7.2, a). Ezeket a vonalakat hívják ellipszis tengelyek. Metszéspontjuk O pontja az ellipszis szimmetriaközéppontja, és ezt ún az ellipszis középpontja, valamint az ellipszis és a szimmetriatengelyek metszéspontjai (7.2. ábra A, B, C és D pontjai, a) - az ellipszis csúcsai.

Az a számot hívják egy ellipszis fél-főtengelye, és b = √ (a 2 - c 2) - annak fél-minor tengely. Könnyen belátható, hogy c > 0 esetén az a fő féltengely egyenlő az ellipszis középpontja és azon csúcsai közötti távolsággal, amelyek ugyanazon a tengelyen vannak, mint az ellipszis fókuszai (az A és B csúcsok az 1. ábrán). 7.2, a), és a b kis féltengely egyenlő a középső ellipszis és a másik két csúcs (a 7.2. ábrán a C és D csúcsok a) távolságával.

Ellipszis egyenlet. Tekintsünk néhány ellipszist a síkon, amelynek fókuszai az F 1 és F 2 pontokban, a 2a főtengelyen vannak. Legyen 2c a gyújtótávolság, 2c = |F 1 F 2 |

A síkon egy téglalap alakú Oxy koordinátarendszert választunk úgy, hogy az origója egybeessen az ellipszis középpontjával, és a fókuszok abszcissza(7.2. ábra, b). Ezt a koordinátarendszert ún kánoni a vizsgált ellipszisre, és a megfelelő változók kánoni.

A kiválasztott koordinátarendszerben a fókuszok F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinátákkal rendelkeznek. A pontok közötti távolság képletével felírjuk az |F 1 M| feltételt + |F 2 M| = 2a koordinátákban:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ez az egyenlet kényelmetlen, mert két négyzetgyököt tartalmaz. Tehát alakítsuk át. A (7.2) egyenletben szereplő második gyököt átvisszük a jobb oldalra, és négyzetbe helyezzük:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

A zárójelek kinyitása és a hasonló kifejezések redukálása után azt kapjuk

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

ahol ε = c/a. A második gyök eltávolításához megismételjük a négyzetre emelési műveletet: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, vagy a megadott ε paraméter értékével (a 2 - c 2) x 2/a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Mivel a 2 - c 2 = b 2 > 0, akkor

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

A (7.4) egyenletet az ellipszisen fekvő összes pont koordinátái teljesítik. Ennek az egyenletnek a származtatása során azonban az eredeti (7.2) egyenlet nem egyenértékű transzformációit használták – két négyzetre emelést, amelyek eltávolítják a négyzetgyököket. Egy egyenlet négyzetre emelése ekvivalens transzformáció, ha mindkét oldalon azonos előjelű mennyiségek vannak, de ezt a transzformációinknál nem ellenőriztük.

Nem biztos, hogy ellenőrizzük a transzformációk egyenértékűségét, ha figyelembe vesszük a következőket. F 1 és F 2 pontpár, |F 1 F 2 | = 2c, a síkon egy ellipsziscsaládot határoz meg ezeken a pontokon fókuszokkal. A sík minden pontja, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait, a megadott család valamelyik ellipsziséhez tartozik. Ebben az esetben nincs két ellipszis metszéspontja, mivel a fókuszsugarak összege egyértelműen meghatároz egy adott ellipszist. Tehát a metszéspontok nélküli ellipszisek leírt családja a teljes síkot lefedi, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait. Tekintsünk egy olyan ponthalmazt, amelyek koordinátái kielégítik a (7.4) egyenletet az a paraméter adott értékével. Elosztható ez a halmaz több ellipszis között? A halmaz egyes pontjai egy fél-nagy tengelyű ellipszishez tartoznak a. Legyen ebben a halmazban egy pont, amely egy a fél-nagy tengelyű ellipszisen fekszik. Ekkor ennek a pontnak a koordinátái engedelmeskednek az egyenletnek

azok. a (7.4) és (7.5) egyenletnek közös megoldása van. Könnyű azonban ellenőrizni, hogy a rendszer

ã ≠ a-nak nincs megoldása. Ehhez elegendő például az x-et kizárni az első egyenletből:

amely transzformációk után az egyenlethez vezet

nincs megoldása ã ≠ a-ra, mert . Tehát a (7.4) egyenlet annak az ellipszisnek az egyenlete, amelynek fél-nagy tengelye a > 0 és mellék-féltengelye b = √ (a 2 - c 2) > 0. az ellipszis kanonikus egyenlete.

Ellipszis nézet. Az ellipszis felépítésének fentebb bemutatott geometriai módszere kellő képet ad arról kinézet ellipszis. De az ellipszis alakja a (7.4) kanonikus egyenlet segítségével is vizsgálható. Például, ha y ≥ 0, akkor y-t kifejezhetjük x-szel: y = b√(1 - x 2 /a 2), és miután megvizsgáltuk ezt a függvényt, elkészíthetjük a gráfját. Van egy másik módja az ellipszis felépítésének. Az ellipszis (7.4) kanonikus koordinátarendszerének origója középpontjában álló a sugarú kört az x 2 + y 2 = a 2 egyenlet írja le. Ha az a/b > 1 együtthatóval tömörítjük végig y tengely, akkor egy görbét kapunk, amelyet az x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2 egyenlet ír le, azaz egy ellipszis.

Megjegyzés 7.1. Ha ugyanazt a kört összenyomjuk az a/b együtthatóval

Ellipszis excentricitás. Az ellipszis fókusztávolságának és főtengelyének arányát nevezzük ellipszis excentricitásés ε-vel jelöljük. Adott ellipszisre

kanonikus egyenlet (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Ha a (7.4)-ben az a és b paramétereket az a egyenlőtlenség kapcsolja össze

Ha c = 0, amikor az ellipszis körré változik, és ε = 0. Más esetekben 0

A (7.3) egyenlet ekvivalens a (7.4) egyenlettel, mert a (7.4) és (7.2) egyenletek egyenértékűek. Ezért (7.3) is ellipszis egyenlet. Ráadásul a (7.3) összefüggés érdekessége, hogy egyszerű gyökmentes képletet ad az |F 2 M| hosszra. az ellipszis M(x; y) pontjának egyik fókuszsugara: |F 2 M| = a + εx.

Hasonló képletet kaphatunk a második fókuszsugárra szimmetria-megfontolások alapján vagy olyan számítások megismétlésével, amelyekben a (7.2) egyenlet négyzetesítése előtt az első gyök kerül át a jobb oldalra, és nem a második. Tehát az ellipszis bármely M(x; y) pontjára (lásd a 7.2. ábrát)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

és ezen egyenletek mindegyike ellipszis-egyenlet.

7.1. példa. Keressük meg egy 5-ös félnagytengelyű és 0,8 excentricitású ellipszis kanonikus egyenletét, és állítsuk össze.

Ismerve az ellipszis fő féltengelyét a = 5 és az excentricitást ε = 0,8, megtaláljuk a b kis féltengelyét. Mivel b \u003d √ (a 2 - c 2), és c \u003d εa \u003d 4, akkor b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Tehát a kanonikus egyenlet alakja x 2 / 5 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Ellipszis készítéséhez célszerű a kanonikus koordináta-rendszer origójának középpontjában álló téglalapot rajzolni, amelynek oldalai párhuzamosak az ellipszis szimmetriatengelyével és egyenlőek az ellipszis szimmetriatengelyével megfelelő tengelyek (7.4. ábra). Ez a téglalap metszi a

az ellipszis tengelyei A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) csúcsaiban, és maga az ellipszis is bele van írva. ábrán A 7.4 az ellipszis F 1,2 (±4; 0) fókuszát is mutatja.

Az ellipszis geometriai tulajdonságai.Írjuk át a (7.6) első egyenletét |F 1 M|-re = (а/ε - x)ε. Figyeljük meg, hogy a / ε - x értéke a > c esetén pozitív, mivel az F 1 fókusz nem tartozik az ellipszishez. Ez az érték a d függőleges egyenes távolsága: x = a/ε az ettől az egyenestől balra lévő M(x; y) ponttól. Az ellipszis egyenlet így írható fel

|F 1 M|/(а/ε - x) = ε

Ez azt jelenti, hogy ez az ellipszis a sík azon M (x; y) pontjaiból áll, amelyeknél az F 1 M fókuszsugár hosszának és a d egyenes távolságának aránya ε-val egyenlő állandó érték. 7.5).

A d egyenesnek van egy "dupla" - egy függőleges d vonala, amely szimmetrikus d-re az ellipszis középpontjához képest, amelyet az x \u003d -a / ε egyenlet ad meg. A d-re vonatkozóan az ellipszis ugyanúgy leírva, mint d. Mind a d, mind a d" sort hívják ellipszis direktixek. Az ellipszis irányvonalai merőlegesek az ellipszis szimmetriatengelyére, amelyen a fókuszok találhatók, és az ellipszis középpontjától a / ε \u003d a 2 / c távolsággal választják el őket (lásd a 7.5. ábrát). .

A direktixtől a legközelebbi fókusztól mért p távolságot nevezzük az ellipszis fókuszparamétere. Ez a paraméter egyenlő

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Az ellipszisnek van egy másik fontossága is geometriai tulajdonság: F 1 M és F 2 M fókuszsugarak egyenlő szöget zárnak be az M pontban lévő ellipszis érintőjével (7.6. ábra).

Ez az ingatlan világos fizikai jelentése. Ha egy fényforrást helyezünk az F 1 fókuszba, akkor az ebből a fókuszból kilépő sugár az ellipszisről való visszaverődés után a második fókuszsugár mentén megy, mivel visszaverődés után ugyanolyan szöget zár be a görbével, mint a visszaverődés előtt. . Így az F 1 fókuszt elhagyó összes sugár a második F 2 fókuszban koncentrálódik és fordítva. Ezen értelmezés alapján ezt a tulajdonságot ún egy ellipszis optikai tulajdonsága.

Ellipszis

Ellipszis. Fókuszál. Ellipszis egyenlet. Gyújtótávolság.

Az ellipszis nagy- és kistengelyei. Különcség. Az egyenlet

az ellipszis érintője. Az egyenes és az ellipszis közötti érintés feltétele.

Ellipszis (1. ábra ) a pontok helye, azon távolságok összege, amelyektől két adott pontig F 1 és F 2 hívott trükkök Az ellipszis állandó érték.

Ellipszis egyenlet (1. ábra) :

Itt eredetaz ellipszis szimmetriaközéppontja, de a koordinátatengelyek a szimmetriatengelyei. Nál néla > baz ellipszis gócai a tengelyen helyezkednek el Ó (1. ábra) , at a< b az ellipszis gócai a tengelyen helyezkednek el RÓL RŐL Y, és mikor a= bellipszis körré válik(az ellipszis fókuszai ebben az esetben egybeesnek a kör középpontjával). Ily módon a kör az ellipszis speciális esete .

Szakasz F 1 F 2 = 2 tól től, ahol , nak, nek hívják gyújtótávolság . SzakaszAB = 2 ahívott az ellipszis főtengelye , és a szegmens CD = 2 b – melléktengely ellipszis . Száme = c / a , e < 1 называется különcség ellipszis .

Legyen R(x 1 , nál nél 1 ) tehát az ellipszis pontjaaz ellipszis egyenlet érintője ban ben