Tehát a lineáris függőség vektorrendszerének tanulmányozásának problémája a rendszer vektoraiból álló mátrix rangjának megtalálásának problémájára redukálódik.

Megjegyzendő, hogy p>n esetén a vektorok rendszere lineárisan függ.

Megjegyzés: az A mátrix összeállításakor a rendszervektorokat nem soroknak, hanem oszlopoknak vehetjük.

Algoritmus vektorrendszer tanulmányozására lineáris függőség esetén.

Elemezzük az algoritmust példákkal.

Példák a lineáris függőség vektorrendszerének tanulmányozására.

Példa.

Adott egy vektorrendszer. Vizsgálja meg lineáris kapcsolatra.

Megoldás.

Mivel a c vektor nulla, az eredeti vektorrendszer a harmadik tulajdonság miatt lineárisan függő.

Válasz:

A vektorok rendszere lineárisan függ.

Példa.

Vizsgálja meg a vektorrendszert lineáris függőségre!

Megoldás.

Nem nehéz belátni, hogy a c vektor koordinátái megegyeznek a vektor megfelelő koordinátáival, szorozva 3-mal, azaz . Ezért az eredeti vektorrendszer lineárisan függ.

1. definíció. A vektorok lineáris kombinációja ezen vektorok és skalárok szorzatának összege
:

2. definíció. Vektoros rendszer
lineárisan függő rendszernek nevezzük, ha ezek lineáris kombinációja (2.8) eltűnik:

és a számok között
nullán kívül legalább egy van.

3. definíció. Vektorok
lineárisan függetlennek nevezzük, ha a lineáris kombinációjuk (2.8) csak akkor tűnik el, ha mindegyik szám.

Ezekből a meghatározásokból a következő következtetések vonhatók le.

Következmény 1. Egy lineárisan függő vektorrendszerben legalább egy vektor kifejezhető a többiek lineáris kombinációjaként.

Bizonyíték. Legyen (2.9) tartva, és a határozottság kedvéért legyen az együttható
. Akkor nálunk van:
. Vegyük észre, hogy fordítva is igaz.

2. következmény. Ha a vektorok rendszere
nulla vektort tartalmaz, akkor ez a rendszer (feltétlenül) lineárisan függő - a bizonyíték nyilvánvaló.

Következmény 3. Ha között n vektorok
Bármi k(
) vektorok lineárisan függőek, akkor az összes n vektorok lineárisan függőek (a bizonyítást elhagyjuk).

2 0 . Két, három és négy vektor lineáris kombinációi. Tekintsük a vektorok lineáris függésének és függetlenségének kérdéseit egyenesen, síkon és térben. Mutassuk be a megfelelő tételeket.

1. tétel. Ahhoz, hogy két vektor lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy kollineárisak legyenek.

Szükség. Hagyjuk a vektorokat És lineárisan függő. Ez azt jelenti, hogy lineáris kombinációjuk
=0 és (a határozottság kedvéért)
. Ez az egyenlőséget jelenti
, és (egy vektor számmal való szorzásának definíciója szerint) a vektorok És kollineáris.

Megfelelőség. Hagyjuk a vektorokat És kollineáris ( ║) (feltételezzük, hogy eltérnek a nulla vektortól; különben lineáris függőségük nyilvánvaló).

A (2.7) tétel alapján (lásd 2.1. §, 2 0. tétel) akkor
oly módon, hogy
, vagy
– a lineáris kombináció egyenlő nullával, az együttható pedig at egyenlő 1 – vektorokkal És lineárisan függő.

Ebből a tételből a következő következmény következik.

Következmény. Ha a vektorok És nem kollineárisak, akkor lineárisan függetlenek.

2. tétel. Ahhoz, hogy három vektor lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy egy síkban legyenek.

Szükség. Hagyjuk a vektorokat ,És lineárisan függő. Mutassuk meg, hogy egy síkban vannak.

A vektorok lineáris függésének meghatározása magában foglalja a számok létezését
És úgy, hogy a lineáris kombináció
, és ugyanakkor (a határozottság kedvéért)
. Ekkor ebből az egyenlőségből ki tudjuk fejezni a vektort :=
, vagyis a vektor egyenlő az ezen egyenlőség jobb oldalán lévő vektorokra épített paralelogramma átlójával (2.6. ábra). Ez azt jelenti, hogy a vektorok ,És ugyanabban a síkban fekszenek.

Megfelelőség. Hagyjuk a vektorokat ,És egysíkú. Mutassuk meg, hogy ezek lineárisan függenek.

Zárjuk ki bármely vektorpár kollinearitási esetét (mert akkor ez a pár lineárisan függő, és a 3. következmény alapján (lásd 1 0. tétel) mindhárom vektor lineárisan függ). Megjegyzendő, hogy egy ilyen feltevés azt is kizárja, hogy a megadott három között nulla vektor létezik.

Három koplanáris vektort viszünk át egy síkra, és egy közös origóra hozzuk őket. A vektor végén keresztül rajzoljunk a vektorokkal párhuzamos vonalakat És ; megkapjuk a vektorokat És (2.7. ábra) - létüket az biztosítja, hogy a vektorok És vektorok, amelyek feltevés szerint nem kollineárisak. Ebből következik, hogy a vektor =+. Az egyenlőség átírása a következőre: (–1) ++=0, arra a következtetésre jutunk, hogy a vektorok ,És lineárisan függő.

A bizonyított tételből két következmény következik.

Következmény 1. Legyen És nem kollineáris vektorok, vektor – tetszőleges, a vektorok által meghatározott síkban fekvő És , vektor. Aztán vannak számok És oly módon, hogy

=+. (2.10)

2. következmény. Ha a vektorok ,És nem egysíkúak, akkor lineárisan függetlenek.

3. tétel. Bármely négy vektor lineárisan függ.

Kihagyjuk a bizonyítást; néhány módosítással lemásolja a 2. tétel bizonyítását. Mutassuk be ennek a tételnek a következményét.

Következmény. Bármilyen nem egysíkú vektorhoz ,,és bármilyen vektor
És oly módon, hogy

. (2.11)

Megjegyzés. A (háromdimenziós) térben lévő vektorok esetében a lineáris függés és függetlenség fogalma, amint az a fenti 1-3. tételekből következik, egyszerű geometriai jelentéssel bír.

Legyen két lineárisan függő vektor És . Ebben az esetben az egyik a második lineáris kombinációja, vagyis egyszerűen egy számszerű tényezővel különbözik tőle (például
). Geometriailag ez azt jelenti, hogy mindkét vektor egy közös egyenesen van; irányuk lehet azonos vagy ellentétes (2.8. ábra xx).

Ha két vektor egymáshoz képest szöget zár be (2.9. ábra xx), akkor ebben az esetben az egyiket nem kaphatjuk meg úgy, hogy a másikat megszorozzuk egy számmal - az ilyen vektorok lineárisan függetlenek. Ezért két vektor lineáris függetlensége És azt jelenti, hogy ezek a vektorok nem fektethetők ugyanarra az egyenesre.

Nézzük meg három vektor lineáris függésének és függetlenségének geometriai jelentését.

Hagyjuk a vektorokat ,És lineárisan függőek, és legyen (a határozottság kedvéért) a vektor vektorok lineáris kombinációja És , azaz a vektorokat tartalmazó síkban található És . Ez azt jelenti, hogy a vektorok ,És ugyanabban a síkban fekszenek. A fordított állítás is igaz: ha a vektorok ,És ugyanabban a síkban fekszenek, akkor lineárisan függenek.

Tehát a vektorok ,És akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha nem fekszenek ugyanabban a síkban.

3 0 . Az alap fogalma. A lineáris és vektoralgebra egyik legfontosabb fogalma a bázis fogalma. Meghatározásokat vezetünk be.

1. definíció. Egy vektorpárt rendezettnek nevezünk, ha meg van adva, hogy ennek a párnak melyik vektorát tekintjük elsőnek és melyik a másodiknak.

2. definíció. Rendelt pár ,nem kollineáris vektorok bázisának nevezzük az adott vektorok által meghatározott síkon.

1. tétel. Bármilyen vektor a síkon a vektorok alaprendszerének lineáris kombinációjaként ábrázolható ,:

(2.12)

és ez az ábrázolás egyedülálló.

Bizonyíték. Hagyjuk a vektorokat És alapot képeznek. Aztán bármilyen vektor ként ábrázolható
.

Az egyediség bizonyításához tegyük fel, hogy van még egy dekompozíció
. Ekkor =0, és a különbségek legalább egyike nem nulla. Ez utóbbi azt jelenti, hogy a vektorok És lineárisan függő, azaz kollineáris; ez ellentmond annak az állításnak, hogy ezek képezik alapot.

De akkor a lebontás egyedi.

3. definíció. A vektorok hármasát rendezettnek nevezzük, ha meg van jelölve, hogy melyik vektor tekinthető elsőnek, melyik a második és melyik a harmadik.

4. definíció. A nem egysíkú vektorok rendezett hármasát térbeli bázisnak nevezzük.

A dekompozíció és az egyediség tétele itt is érvényes.

2. tétel. Bármilyen vektor az alapvektorrendszer lineáris kombinációjaként ábrázolható ,,:

(2.13)

és ez az ábrázolás egyedi (a tétel bizonyítását elhagyjuk).

A (2.12) és (2.13) bővítésekben a mennyiségek vektor koordinátáinak nevezzük adott alapon (pontosabban affin koordinátákban).

Fix alapon
És
tudsz írni
.

Például ha alapot adunk
és tekintettel arra
, akkor ez azt jelenti, hogy létezik reprezentáció (dekompozíció)
.

4 0 . Lineáris műveletek vektorokon koordináta formában. A bázis bevezetése lehetővé teszi, hogy a vektorokon végzett lineáris műveleteket lecseréljék a számokra - ezeknek a vektoroknak a koordinátáira - végzett szokásos lineáris műveletekre.

Adjunk némi alapot
. Nyilvánvaló, hogy a vektor koordinátáinak ezen az alapon történő beállítása teljesen meghatározza magát a vektort. A következő javaslatok vannak:

a) két vektor
És
akkor és csak akkor egyenlőek, ha a megfelelő koordinátáik egyenlőek:

b) vektor szorzásakor
számonként koordinátáit megszorozzuk ezzel a számmal:

; (2.15)

c) vektorok összeadásakor a megfelelő koordináták hozzáadódnak:

Ezeknek a tulajdonságoknak a bizonyítását mellőzzük; A b) tulajdonságot csak példaként bizonyítsuk. Nekünk van

==

Megjegyzés. A térben (a síkon) végtelenül sok bázis választható.

Példát adunk az egyik bázisból a másikba való átmenetre, megállapítjuk a vektor koordinátái közötti kapcsolatot a különböző bázisokban.

1. példa. Az alaprendszerben
három vektort adunk:
,
És
. alapon ,,vektor bomlása van. Keresse meg a vektor koordinátáit alapon
.

Megoldás. Bővítéseink vannak:
,
,
; Következésképpen,
=
+2
+
= =
, azaz
alapon
.

2. példa. Engedj be valami alapot
négy vektort adnak meg a koordinátái:
,
,
És
.

Nézze meg, hogy a vektorok kialakulnak-e
alapon; pozitív válasz esetén keresse meg a vektor dekompozícióját ezen az alapon.

Megoldás. 1) vektorok képeznek bázist, ha lineárisan függetlenek. Állítsa össze a vektorok lineáris kombinációját
(
), és megtudja, mire
És eltűnik:
=0. Nekünk van:

=
+
+
=

A koordináta alakú vektorok egyenlőségének meghatározásával a következő (lineáris homogén algebrai) egyenletrendszert kapjuk:
;
;
, melynek meghatározója
=1
, vagyis a rendszernek van (egyetlen) triviális megoldása
. Ez azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek
és ennélfogva alapot képeznek.

2) bontsa ki a vektort ezen az alapon. Nekünk van: =
vagy koordináta formában.

A vektorok koordinátaformájának egyenlőségére átlépve lineáris nemhomogén algebrai egyenletrendszert kapunk:
;
;
. Megoldva (például Cramer szabálya szerint) a következőket kapjuk:
,
,
és (
)
. Van egy vektordekompozíciónk alapon
:=.

5 0 . Vektor vetítése egy tengelyre. Vetítési tulajdonságok. Legyen valami tengely l, azaz egy egyenes, amelyen egy irányt választottunk, és legyen adott valamilyen vektor .Határozza meg a vektor vetületének fogalmát! tengelyenként l.

Meghatározás. Vektoros vetítés tengelyenként l e vektor modulusának és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatának nevezzük lés vektor (2.10. ábra):

. (2.17)

Ennek a definíciónak az a következménye, hogy az egyenlő vektoroknak egyenlő vetületei vannak (ugyanazon tengelyen).

Vegye figyelembe a vetületek tulajdonságait.

1) vektorok összegének vetítése valamilyen tengelyre l egyenlő az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok vetületeinek összegével:

2) egy skalár és egy vektor szorzatának vetülete egyenlő ennek a skalárnak és a vektornak ugyanarra a tengelyre való vetületének szorzatával:

=
. (2.19)

Következmény. A vektorok lineáris kombinációjának vetülete a tengelyre egyenlő a vetületeik lineáris kombinációjával:

A tulajdonságok bizonyítását elhagyjuk.

6 0 . Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben.Egy vektor felbontása tengelyek egységvektoraiban. Válasszunk három egymásra merőleges egységvektort bázisnak; speciális jelölést vezetünk be számukra
. Azáltal, hogy a pontnál kezdi őket O, közvetlenül ezek mentén (az egységvektorok szerint
) koordinátatengelyek Ökör,Oyés O z(a pozitív irányú tengelyt, a referenciapontot és a hosszegységet koordinátatengelynek nevezzük).

Meghatározás. Három, egymásra merőleges koordinátatengelyből álló rendezett rendszert, amelyeknek közös origója és közös hosszegysége van, derékszögű derékszögű koordinátarendszernek nevezzük a térben.

Tengely Ökör az úgynevezett x-tengely, Oy- az y tengely és az O z – rátét tengely.

Foglalkozzunk egy tetszőleges vektor kiterjesztésével a bázis szempontjából
. A tételből (lásd §2.2, 3 0. tétel, (2.13)) az következik, hogy
az alapban egyedileg bővíthető
(itt a koordináták kijelölése helyett
használat
):

. (2.21)

In (2.21)
a vektor (derékszögű) koordinátái . Jelentése Derékszögű koordináták felállítja a következő tételt.

Tétel. Derékszögű koordináták
vektor ennek a vektornak a vetületei a tengelyekre Ökör,Oyés O z.

Bizonyíték. Helyezzük el a vektort a koordinátarendszer origójához - egy pont O. Akkor a vége egybeesik valamivel
.

Menjünk át a lényegen
három, a koordinátasíkkal párhuzamos sík Oyz,OxzÉs Oxy(2.11. ábra xx). Akkor kapjuk:

. (2.22)

A (2.22)-ben a vektorok
És
vektor összetevőinek nevezzük
a tengelyek mentén Ökör,Oyés O z.

Engedd át
És a vektor által alkotott szögek rendre vannak feltüntetve ortákkal
. Ezután az összetevőkre a következő képleteket kapjuk:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

A (2.21), (2.22) (2.23) értékekből a következőket találjuk:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordináták
vektor ennek a vektornak vetületei vannak a koordinátatengelyekre Ökör,Oyés O z illetőleg.

Megjegyzés. Számok
a vektor irány koszinuszainak nevezzük .

Vektor modulus (téglalap alakú paralelepipedon átlója) a következő képlettel számítható ki:

. (2.24)

A (2.23) és (2.24) képletekből az következik, hogy az iránykoszinuszokat a következő képletekkel lehet kiszámítani:

=
;
=
;
=
. (2.25)

A (2.25)-ben szereplő egyenlőségek mindkét részét megemelve, és tagonként összeadva a kapott egyenlőség bal és jobb oldalát, a képlethez jutunk:

- nem bármely három szög alkot egy bizonyos irányt a térben, hanem csak azok, amelyek koszinuszai a (2.26) relációval vannak kapcsolatban.

7 0 . Sugárvektor és pontkoordináták.Vektor meghatározása a kezdete és a vége alapján. Vezessünk be egy definíciót.

Meghatározás. A sugárvektor (jelölve ) origót összekötő vektornak nevezzük O ezzel a ponttal (2.12. ábra xx):

. (2.27)

A tér bármely pontja megfelel egy bizonyos sugárvektornak (és fordítva). Így a térbeli pontokat a vektoralgebrában sugárvektoraik ábrázolják.

Nyilván a koordináták
pontokat M sugárvektorának vetületei
a koordináta tengelyeken:

(2.28’)

és így,

(2.28)

– egy pont sugárvektora olyan vektor, amelynek a koordinátatengelyekre vetületei megegyeznek a pont koordinátáival. Ebből két bejegyzés következik:
És
.

Képletek beszerzése vektorvetítések számításához
kezdetének – a pontnak – koordinátái alapján
és végpont
.

Rajzolja meg a sugárvektorokat
és vektor
(2.13. ábra). Ezt értjük

=
=(2.29)

– a vektor vetületei a koordinátavektorokra megegyeznek a vektor végének és elejének megfelelő koordinátáinak különbségével.

8 0 . Néhány probléma a derékszögű koordinátákkal.

1) vektor kollinearitási feltételek . A tételből (lásd §2.1, 2 0 tétel, (2.7) képlet) az következik, hogy a vektorok kollinaritásánál És szükséges és elégséges a következő reláció fenntartásához: =. Ebből a vektoregyenlőségből három egyenlőséget kapunk koordináta alakban:, amelyből következik a vektorok koordináta alakú kollinaritási feltétele:

(2.30)

– kollineáris vektorokhoz És szükséges és elégséges, hogy a koordinátáik arányosak legyenek.

2) pontok közötti távolság . A (2.29) ábrázolásból az következik, hogy a távolság
pontok között
És
képlet határozza meg

=
=. (2.31)

3) szegmensfelosztás ebből a szempontból . Legyenek pontok adva
És
és hozzáállás
. Meg kell találni
- pont koordináták M (2.14. ábra).

A kollineáris vektorok feltételéből a következőket kapjuk:
, ahol
És

. (2.32)

A (2.32)-ből koordináta alakban kapjuk:

A (2,32 ') képletekből képleteket kaphatunk a szakasz közepe koordinátáinak kiszámításához
, feltételezve
:

Megjegyzés. Számoljuk meg a szegmenseket
És
pozitív vagy negatív, attól függően, hogy irányuk egybeesik-e az origó irányával
végére vágva
, vagy nem egyezik. Ezután a (2.32) - (2.32") képletekkel megkeresheti a szakaszt elválasztó pont koordinátáit
kívülről, vagyis úgy, hogy az elválasztó pont M a melléken van
, nem benne. Ugyanakkor természetesen
.

4) gömbfelületi egyenlet . Állítsuk össze egy gömbfelület egyenletét - a pontok lokuszát
, egyenlő távolságra a távolságtól valamilyen rögzített középpontból – egy pontból
. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben
és figyelembe véve a (2.31) képletet

A (2.33) egyenlet a kívánt gömbfelület egyenlete.

Legyen L – lineáris tér a mező fölött R . Legyen A1, a2, ... , an (*) véges vektorrendszer innen L . Vektor BAN BEN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) hívott A vektorok lineáris kombinációja ( *), vagy mondjuk vektor BAN BEN vektorrendszeren keresztül lineárisan kifejezve (*).

14. definíció. A (*) vektorrendszert ún lineárisan függő , akkor és csak akkor, ha létezik olyan a1, a2, … együttható nullától eltérő halmaza, amelyre a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Ha a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, akkor a (*) rendszer meghívásra kerül lineárisan független.

A lineáris függés és függetlenség tulajdonságai.

10. Ha egy vektorrendszer nulla vektort tartalmaz, akkor az lineárisan függő.

Valóban, ha a (*) rendszerben a vektor A1 = 0, Aztán 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Ha egy vektorrendszer két arányos vektort tartalmaz, akkor lineárisan függő.

Legyen A1 = L×a2. Aztán 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× DE N= 0.

30. Egy véges vektorrendszer (*) n ³ 2-re akkor és csak akkor lineárisan függ, ha legalább egy vektora a rendszer többi vektorának lineáris kombinációja.

Þ Legyen (*) lineárisan függő. Ekkor van az a1, a2, … együtthatók nullától eltérő halmaza, olyan, hogy a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy a1 ¹ 0. Akkor létezik A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× DE N. Tehát a vektor A1 a fennmaradó vektorok lineáris kombinációja.

Ü Legyen az egyik vektor (*) a többi vektor lineáris kombinációja. Feltételezhetjük, hogy ez az első vektor, azaz. A1 = B2 A2+ … + milliárd DE N, tehát (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliárd DE N= 0 , azaz a (*) lineárisan függő.

Megjegyzés. Az utolsó tulajdonságot felhasználva meghatározható egy végtelen vektorrendszer lineáris függése és függetlensége.

15. definíció. Vektoros rendszer A1, a2, ... , an , … (**) nak, nek hívják lineárisan függő, Ha legalább egy vektora valamilyen véges számú másik vektor lineáris kombinációja. Ellenkező esetben a rendszer (**) meghívásra kerül lineárisan független.

40. Egy véges vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független, ha egyik vektora sem fejezhető ki lineárisan a többi vektorral.

50. Ha egy vektorrendszer lineárisan független, akkor bármelyik alrendszere is lineárisan független.

60. Ha egy adott vektorrendszer valamely részrendszere lineárisan függő, akkor az egész rendszer is lineárisan függő.

Legyen két vektorrendszer adott A1, a2, ... , an , … (16) és В1, в2, … , вs, … (17). Ha a (16) rendszer minden vektora a (17) rendszer véges számú vektorának lineáris kombinációjaként ábrázolható, akkor azt mondjuk, hogy a (17) rendszer lineárisan fejeződik ki a (16) rendszeren keresztül.

16. definíció. A két vektorrendszert ún egyenértékű , ha mindegyiket lineárisan fejezzük ki a másikkal.

9. tétel (a lineáris függés alaptétele).

Hagyjuk és - két végrendszerek vektorok L . Ha az első rendszer lineárisan független és lineárisan fejeződik ki a másodikkal, akkor N£s.

Bizonyíték. Tegyünk úgy, mintha N> S. A tétel szerint

közös. Mivel az egyenletek száma több szám ismeretlenek, akkor a rendszernek végtelen sok megoldása van. Ezért van egy nem nulla x10, x20, …, xN0. Ezekre az értékekre a (18) egyenlőség lesz igaz, ami ellentmond annak, hogy a vektorrendszer lineárisan független. Tehát a feltevésünk téves. Következésképpen, N£s.

Következmény. Ha két ekvivalens vektorrendszer véges és lineárisan független, akkor ugyanannyi vektort tartalmaznak.

17. definíció. A vektorok rendszerét ún A maximális lineárisan független vektorrendszer lineáris tér L , ha lineárisan független, de hozzáadva tetszőleges vektort L nem szerepel ebben a rendszerben, lineárisan függővé válik.

10. tétel. Bármely két véges maximális lineárisan független vektorrendszer L Ugyanannyi vektort tartalmazzon.

Bizonyíték Ebből következik, hogy bármely két maximálisan lineárisan független vektorrendszer ekvivalens .

Könnyű bizonyítani, hogy bármely lineárisan független térvektorrendszer L kiegészíthető ennek a térnek a maximális lineárisan független vektorrendszerére.

Példák:

1. Az összes kollineáris geometriai vektor halmazában bármely rendszer, amely egy nem nulla vektorból áll, maximálisan lineárisan független.

2. Az összes koplanáris geometriai vektor halmazában bármely két nem kollineáris vektor alkot egy maximális lineárisan független rendszert.

3. A háromdimenziós euklideszi tér összes lehetséges geometriai vektorának halmazában bármely három nem egysíkú vektorból álló rendszer a maximum lineárisan független.

4. Az összes polinom halmazában a fok legfeljebb N Valós (komplex) együtthatókkal, polinomrendszerrel 1, x, x2, …, xn Maximálisan lineárisan független.

5. Az összes valós (komplex) együtthatós polinom halmazában a maximális lineárisan független rendszer példái

de) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,…

6. A dimenziós mátrixok halmaza M´ N egy lineáris tér (nézd meg). Ebben a térben egy maximális lineárisan független rendszerre példa a mátrixrendszer E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Legyen adott egy vektorrendszer C1, c2, ... , vö (*). A vektorok alrendszerét (*) nevezzük Maximum lineárisan független Alrendszer Rendszerek ( *) , ha lineárisan független, de ha a rendszer bármely más vektorát hozzáadjuk hozzá, akkor lineárisan függővé válik. Ha a (*) rendszer véges, akkor bármelyik maximális lineárisan független alrendszere ugyanannyi vektort tartalmaz. (Saját igazolás.) A rendszer maximális lineárisan független alrendszerében (*) lévő vektorok számát hívjuk rang Ez a rendszer. Nyilvánvaló, hogy az ekvivalens vektorrendszerek azonos rangokkal rendelkeznek.

A vektorok lineáris függése és függetlensége

Lineárisan függő és független vektorrendszerek definíciói

22. definíció

Legyen egy n-vektoros rendszerünk és egy számhalmazunk
, azután

(11)

egy adott vektorrendszer adott együtthatókészlettel rendelkező lineáris kombinációjának nevezzük.

23. definíció

Vektoros rendszer
lineárisan függőnek nevezzük, ha van ilyen együtthatóhalmaz
, amelyek közül legalább az egyik nem egyenlő nullával, úgy, hogy az adott vektorrendszer lineáris kombinációja ezzel az együtthatókészlettel egyenlő a nulla vektorral:

Legyen
, azután

24. definíció ( a rendszer egyik vektorának a többi vektorának lineáris kombinációjaként való megjelenítésén keresztül)

Vektoros rendszer
lineárisan függőnek nevezzük, ha ennek a rendszernek legalább az egyik vektora a rendszer többi vektorának lineáris kombinációjaként ábrázolható.

3. állítás

A 23. és 24. definíció egyenértékű.

25. meghatározás(nulla vonal kombináción keresztül)

Vektoros rendszer
lineárisan függetlennek nevezzük, ha ennek a rendszernek a nulla lineáris kombinációja csak mindenki számára lehetséges
egyenlő nullával.

26. meghatározás(a rendszer egy vektorának a többi vektorának lineáris kombinációjaként való ábrázolásának lehetetlensége miatt)

Vektoros rendszer
lineárisan függetlennek nevezzük, ha ennek a rendszernek egyik vektora sem ábrázolható a rendszer többi vektorának lineáris kombinációjaként.

Lineárisan függő és független vektorrendszerek tulajdonságai

Tétel 2 (nulla vektor a vektorok rendszerében)

Ha van nulla vektor a vektorok rendszerében, akkor a rendszer lineárisan függő.

 Hagyjuk
, azután .

Kap
tehát egy lineárisan függő vektorrendszer definíciója alapján nulla lineáris kombinációban (12) a rendszer lineárisan függő. 

Tétel 3 (függő alrendszer a vektorok rendszerében)

Ha egy vektorrendszernek van egy lineárisan függő alrendszere, akkor az egész rendszer lineárisan függő.

 Hagyjuk
- lineárisan függő alrendszer
, amelyek között legalább egy nem egyenlő nullával:

Ezért a 23. definíció szerint a rendszer lineárisan függ. 

4. tétel

Egy lineárisan független rendszer bármely alrendszere lineárisan független.

 Ellenkezőleg. Legyen a rendszer lineárisan független és legyen egy lineárisan függő alrendszere. De akkor a 3. Tétel szerint az egész rendszer lineárisan függő lesz. Ellentmondás. Ezért egy lineárisan független rendszer alrendszere nem lehet lineárisan függő. 

Egy vektorrendszer lineáris függésének és függetlenségének geometriai jelentése

5. tétel

Két vektor És lineárisan függő akkor és csak akkor
.

 Szükség.

És - lineárisan függő
hogy az állapot
. Azután
, azaz
.

Megfelelőség.

Lineáris függő. 

Következmény 5.1

A nulla vektor kollineáris bármely vektorhoz

Következmény 5.2

Ahhoz, hogy két vektor lineárisan független legyen, szükséges és elegendő az nem volt kollineáris .

6. tétel

Ahhoz, hogy egy három vektorból álló rendszer lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, hogy ezek a vektorok egy síkban legyenek .

 Szükség.

- lineárisan függőek, ezért az egyik vektor a másik kettő lineáris kombinációjaként ábrázolható.

, (13)

ahol
És
. A paralelogramma szabály szerint az oldalakkal rendelkező paralelogramma átlója
, de a paralelogramma lapos ábra
egysíkú
szintén egysíkúak.

Megfelelőség.

- egysíkú. Három vektort alkalmazunk az O pontra:

C

B`

– lineárisan függő 

Következmény 6.1

A nulla vektor egy síkban van bármely vektorpárral.

Következmény 6.2

Annak érdekében, hogy a vektorok
akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha nem egysíkúak.

Következmény 6.3

Bármely síkvektor ábrázolható egyazon sík bármely két nem-kollineáris vektorának lineáris kombinációjaként.

7. tétel

A térben bármely négy vektor lineárisan függ .

Nézzünk meg 4 esetet:

Rajzoljunk egy síkot a vektorokon keresztül, majd egy síkot a vektorokon és egy síkot a vektorokon keresztül. Ezután megrajzoljuk a D ponton átmenő síkokat, párhuzamosan a vektorpárokkal; ; illetőleg. A síkok metszésvonalai mentén paralelepipedont építünk OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Fontolgat OB 1 D 1 C 1 - paralelogramma a paralelogramma szabály szerinti szerkesztéssel
.

Tekintsük az OADD 1-et – egy paralelogrammát (a paralelepipedon tulajdonságból)
, azután

EMBED Egyenlet.3 .

Az 1. tétel szerint
oly módon, hogy . Azután
, és a 24. definíció szerint a vektorrendszer lineárisan függő. 

Következmény 7.1

Három nem egysíkú vektor összege a térben egy olyan vektor, amely egybeesik az e három közös origóhoz kötött vektorra épített paralelepipedon átlójával, és az összegvektor eleje egybeesik e három vektor közös origójával.

Következmény 7.2

Ha egy térben 3 nem egysíkú vektort veszünk, akkor ennek a térnek bármelyik vektora felbontható e három vektor lineáris kombinációjára.

Legyen L- tetszőleges lineáris tér, a én Î L elemei (vektorai).

Meghatározás 3.3.1. Kifejezés , ahol , - tetszőleges valós számok, lineáris kombinációnak nevezzük vektorok a 1, a 2,…, a n.

Ha a vektor R = , akkor azt mondják R vektorokra bomlik a 1, a 2,…, a n.

Meghatározás 3.3.2. A vektorok lineáris kombinációját ún nem triviális, ha a számok között van legalább egy nullától eltérő. Ellenkező esetben a lineáris kombinációt ún jelentéktelen.

3. definíció.3.3 . Vektorok a 1 , a 2 ,…, a n lineárisan függőnek nevezzük, ha létezik ezeknek olyan nem triviális lineáris kombinációja, hogy

= 0 .

3. definíció.3.4. Vektorok a 1 ,a 2 ,…, a n lineárisan függetlennek nevezzük, ha az egyenlőség = 0 csak akkor lehetséges, ha minden szám l 1, l 2,…, l n egyidejűleg nullák.

Vegyük észre, hogy bármely a 1 nem nulla elem lineárisan független rendszernek tekinthető, mivel az egyenlőség l a 1 = 0 csak feltételekkel lehetséges l= 0.

3.3.1. tétel. Szükséges és elégséges állapot lineáris függés a 1 , a 2 ,…, a n az a lehetőség, hogy ezen elemek közül legalább egyet a többire bontsunk.

Bizonyíték. Szükség. Legyenek a 1 , a 2 ,…, a elemek n lineárisan függő. Ez azt jelenti = 0 , és legalább az egyik szám l 1, l 2,…, l n különbözik a nullától. Hagyjuk a határozottság kedvéért l 1 ¹ 0. Akkor

azaz az a 1 elemet a 2 , a 3 , …, a elemekre bontjuk n.

Megfelelőség. Bontsuk az a 1 elemet a 2 , a 3 , …, a elemekre n, azaz egy 1 = . Akkor = 0 ezért létezik a 1 , a 2 ,…, a vektorok nem triviális lineáris kombinációja n egyenlő 0 , tehát lineárisan függenek .

3.3.2. Tétel. Ha legalább az egyik elem a 1 , a 2 ,…, a n nulla, akkor ezek a vektorok lineárisan függőek.

Bizonyíték . Legyen a n= 0 , akkor = 0 , ami a jelzett elemek lineáris függését jelenti.

Tétel 3.3.3. Ha n vektorok között van p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Bizonyíték. Legyen a határozottság kedvéért az a 1 , a 2 ,…, a elemek p lineárisan függő. Ez azt jelenti, hogy van egy nem triviális lineáris kombináció, amely = 0 . A jelzett egyenlőség megmarad, ha mindkét részéhez hozzáadjuk az elemet. Azután + = 0 , miközben legalább az egyik szám l 1, l 2,…, lp különbözik a nullától. Ezért az a 1 , a 2 ,…, a vektorok n lineárisan függőek.

Következmény 3.3.1. Ha n elem lineárisan független, akkor bármelyik k lineárisan független (k< n).

Tétel 3.3.4. Ha a vektorok a 1, a 2,…, a n- 1 lineárisan függetlenek, és az elemek a 1, a 2,…, a n- 1, a n lineárisan függő, akkor a vektor a n vektorokra bontható a 1, a 2,…, a n- 1 .

Bizonyíték. Mivel a feltétel szerint a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n lineárisan függőek, akkor létezik ezek nemtriviális lineáris kombinációja = 0 , és (egyébként lineárisnak bizonyul függő vektorok a 1, a 2,…, a n- egy). De akkor a vektor

Q.E.D.