Más szavakkal, a vektorok egy csoportjának lineáris függése azt jelenti, hogy van közöttük olyan vektor, amely a csoport más vektorainak lineáris kombinációjával ábrázolható.
Mondjuk . Azután
Ezért a vektor x lineárisan függ ennek a csoportnak a vektoraitól.
Vektorok x, y, ..., z lineárisnak nevezzük független vektorok ha a (0) egyenlőségből az következik
α=β= ...= γ=0.
Ez azt jelenti, hogy a vektorcsoportok lineárisan függetlenek, ha egyetlen vektor sem ábrázolható a csoport más vektorainak lineáris kombinációjával.
Vektorok lineáris függésének meghatározása
Legyen adott n sorrendű sorok m vektora:
A Gauss-féle kivételt követően a (2) mátrixot a felső háromszög alakúra hozzuk. Az utolsó oszlop elemei csak a sorok átrendezésekor változnak. M eltávolítási lépés után a következőket kapjuk:
ahol én 1 , én 2 , ..., én m - a karakterláncok egy lehetséges permutációjából kapott karakterláncok indexei. Figyelembe véve a sorindexekből kapott sorokat, kizárjuk azokat, amelyek a sorok nullvektorának felelnek meg. A fennmaradó sorok lineárisan független vektorokat alkotnak. Megjegyezzük, hogy a (2) mátrix összeállításakor a sorvektorok sorrendjének megváltoztatásával egy másik lineárisan független vektorcsoportot kaphatunk. De az altér, amelyet mindkét vektorcsoport alkot, ugyanaz.
A vektoralgebra tanulmányozásában nagyon fontosak a vektorrendszer lineáris függésének és függetlenségének fogalmai, mivel a dimenzió és a téralap fogalma ezeken alapul. Ebben a cikkben definíciókat adunk, megvizsgáljuk a lineáris függőség és függetlenség tulajdonságait, algoritmust kapunk a lineáris függőség vektorrendszerének tanulmányozására, és részletesen elemezzük a példák megoldásait.
Oldalnavigáció.
Vektorrendszer lineáris függésének és lineáris függetlenségének meghatározása.
Tekintsünk p n-dimenziós vektorok halmazát, jelöljük őket a következőképpen. Készítsen lineáris kombinációt ezekből a vektorokból és tetszőleges számokból 
(valós vagy összetett): . Az n-dimenziós vektorokon végzett műveletek definíciója, valamint a vektorok összeadása és a vektor számmal való szorzása műveleteinek tulajdonságai alapján kijelenthető, hogy az írott lineáris kombináció valami n-dimenziós vektor, azaz .
Így jutottunk el a vektorrendszer lineáris függésének definíciójához.
Meghatározás.
Ha egy lineáris kombináció lehet nulla vektor, amikor a számok között 
van legalább egy nullától eltérő, akkor a vektorrendszert hívjuk lineárisan függő.
Meghatározás.
Ha a lineáris kombináció nullvektor csak akkor, ha minden szám egyenlőek nullával, akkor a vektorrendszert nevezzük lineárisan független.
A lineáris függés és függetlenség tulajdonságai.
Ezen definíciók alapján fogalmazzuk meg és bizonyítjuk vektorrendszer lineáris függésének és lineáris függetlenségének tulajdonságai.
Ha több vektort adunk egy lineárisan függő vektorrendszerhez, akkor a kapott rendszer lineárisan függő lesz.
Bizonyíték.
Mivel a vektorok rendszere lineárisan függ, az egyenlőség akkor lehetséges, ha van legalább egy nullától eltérő szám a számokból . Legyen .
Adjunk hozzá további s vektorokat az eredeti vektorrendszerhez 
, és megkapjuk a rendszert. Mivel és , akkor ennek az alakrendszernek a vektorainak lineáris kombinációja
egy nullvektor, és . Ezért a kapott vektorrendszer lineárisan függ.
Ha több vektort kizárunk egy lineárisan független vektorrendszerből, akkor a kapott rendszer lineárisan független lesz.
Bizonyíték.
Feltételezzük, hogy a kapott rendszer lineárisan függő. Ha ehhez a vektorrendszerhez hozzáadjuk az összes eldobott vektort, megkapjuk az eredeti vektorrendszert. Feltétel szerint lineárisan független, és a lineáris függőség korábbi tulajdonsága miatt lineárisan függőnek kell lennie. Ellentmondáshoz érkeztünk, ezért a feltevésünk téves.
Ha egy vektorrendszernek legalább egy nulla vektora van, akkor egy ilyen rendszer lineárisan függő.
Bizonyíték.
Legyen a vektor ebben a vektorrendszerben nulla. Tegyük fel, hogy az eredeti vektorrendszer lineárisan független. Ekkor a vektoregyenlőség csak akkor lehetséges, ha . Ha azonban bármilyen nullától eltérőt veszünk, akkor az egyenlőség továbbra is érvényes lesz, hiszen . Ezért a feltevésünk téves, és az eredeti vektorrendszer lineárisan függő.
Ha egy vektorrendszer lineárisan függő, akkor legalább egy vektora lineárisan kifejeződik a többi vektorral. Ha a vektorrendszer lineárisan független, akkor egyik vektor sem fejezhető ki a többi vektorral.
Bizonyíték.
Először bizonyítsuk be az első állítást.
Legyen a vektorrendszer lineárisan függő, akkor van legalább egy nullától eltérő szám, és az egyenlőség igaz. Ez az egyenlőség feloldható a tekintetében, mivel ebben az esetben van 
Következésképpen a vektor lineárisan fejeződik ki a rendszer fennmaradó vektoraival, amit igazolni kellett.
Most a második állítást bizonyítjuk.
Mivel a vektorrendszer lineárisan független, az egyenlőség csak -re lehetséges.
Tegyük fel, hogy a rendszer valamely vektora lineárisan fejeződik ki a többi vektorral. Legyen ez a vektor akkor . Ez az egyenlőség átírható így, bal oldalán a rendszer vektorainak lineáris kombinációja található, és a vektor előtti együttható nullától eltérő, ami az eredeti vektorrendszer lineáris függését jelzi. Tehát ellentmondáshoz jutottunk, ami azt jelenti, hogy a tulajdonság bizonyított.
Az utolsó két tulajdonságból egy fontos megállapítás következik:
ha a vektorrendszer tartalmaz vektorokat és , ahol – tetszőleges szám, akkor lineárisan függő.
A lineáris függőség vektorrendszerének vizsgálata.
Tegyük fel a feladatot: meg kell állapítanunk a vektorrendszer lineáris függését vagy lineáris függetlenségét.
A logikus kérdés: "hogyan lehet megoldani?"
Valami gyakorlati szempontból hasznos dolog levezethető a vektorrendszer lineáris függésének és függetlenségének fenti definícióiból és tulajdonságaiból. Ezek a definíciók és tulajdonságok lehetővé teszik, hogy egy vektorrendszer lineáris függését megállapítsuk a következő esetekben:
Mi a helyzet az egyéb esetekben, amelyekben van többség?
Foglalkozzunk ezzel.
Emlékezzünk vissza a mátrix rangjára vonatkozó tétel megfogalmazására, amelyet a cikkben idéztünk.
Tétel.
Legyen r az A mátrix rangja p - n -re , 
. Legyen M az A mátrix alapmollja. Az A mátrix minden olyan sora (minden oszlopa), amely nem vesz részt az alapmoll M kialakításában, lineárisan fejeződik ki a mátrix azon sorain (oszlopain) keresztül, amelyek az alapmoll M-et generálják.
És most magyarázzuk meg a mátrix rangjára vonatkozó tétel kapcsolatát a lineáris függőség vektorrendszerének vizsgálatával.
Készítsünk egy A mátrixot, melynek sorai a vizsgált rendszer vektorai lesznek: 
Mit jelentene lineáris függetlenség vektoros rendszerek?
Egy vektorrendszer lineáris függetlenségének negyedik tulajdonságából tudjuk, hogy a rendszer egyik vektora sem fejezhető ki a többivel. Más szavakkal, az A mátrix egyetlen sora sem lesz lineárisan kifejezve a többi sorral, ezért a vektorrendszer lineáris függetlensége ekvivalens lesz a Rank(A)=p feltétellel.
Mit jelent a vektorrendszer lineáris függése?
Minden nagyon egyszerű: az A mátrix legalább egy sora lineárisan lesz kifejezve a többihez képest, ezért a vektorrendszer lineáris függése ekvivalens a Rank(A) feltétellel
.
Tehát a lineáris függőség vektorrendszerének tanulmányozásának problémája a rendszer vektoraiból álló mátrix rangjának megtalálásának problémájára redukálódik.
Megjegyzendő, hogy p>n esetén a vektorok rendszere lineárisan függ.
Megjegyzés: az A mátrix összeállításakor a rendszervektorokat nem soroknak, hanem oszlopoknak vehetjük.
Algoritmus vektorrendszer tanulmányozására lineáris függőség esetén.
Elemezzük az algoritmust példákkal.
Példák a lineáris függőség vektorrendszerének tanulmányozására.
Példa.
Adott egy vektorrendszer. Vizsgálja meg lineáris kapcsolatra.
Megoldás.
Mivel a c vektor nulla, az eredeti vektorrendszer a harmadik tulajdonság miatt lineárisan függő.
Válasz:
A vektorok rendszere lineárisan függ.
Példa.
Vizsgálja meg a vektorrendszert lineáris függőségre!
Megoldás.
Nem nehéz belátni, hogy a c vektor koordinátái megegyeznek a vektor megfelelő koordinátáival, szorozva 3-mal, azaz . Ezért az eredeti vektorrendszer lineárisan függ.
A vektorok lineáris függése és függetlensége
Lineárisan függő és független vektorrendszerek definíciói
22. definíció
Legyen egy n-vektoros rendszerünk és egy számhalmazunk 
, azután
(11)
egy adott vektorrendszer adott együtthatókészlettel rendelkező lineáris kombinációjának nevezzük.
23. definíció
Vektoros rendszer 
lineárisan függőnek nevezzük, ha van ilyen együtthatóhalmaz 
, amelyek közül legalább az egyik nem egyenlő nullával, úgy, hogy az adott vektorrendszer lineáris kombinációja ezzel az együtthatókészlettel egyenlő a nulla vektorral:
Legyen 
, azután
24. definíció ( a rendszer egyik vektorának a többi vektor lineáris kombinációjaként való megjelenítésén keresztül)
Vektoros rendszer 
lineárisan függőnek nevezzük, ha ennek a rendszernek legalább az egyik vektora a rendszer többi vektorának lineáris kombinációjaként ábrázolható.
3. állítás
A 23. és 24. definíció egyenértékű.
25. definíció(nulla vonal kombináción keresztül)
Vektoros rendszer 
lineárisan függetlennek nevezzük, ha ennek a rendszernek a nulla lineáris kombinációja csak mindenki számára lehetséges 
egyenlő nullával.
26. meghatározás(a rendszer egy vektorának a többi vektorának lineáris kombinációjaként való ábrázolásának lehetetlensége miatt)
Vektoros rendszer 
lineárisan függetlennek nevezzük, ha ennek a rendszernek egyik vektora sem ábrázolható a rendszer többi vektorának lineáris kombinációjaként.
Lineárisan függő és független vektorrendszerek tulajdonságai
Tétel 2 (nulla vektor a vektorok rendszerében)
Ha van egy nulla vektor a vektorok rendszerében, akkor a rendszer lineárisan függő.
Hagyjuk 
, azután .
Kap 
tehát egy lineárisan függő vektorrendszer definíciója alapján nulla lineáris kombinációban (12)
a rendszer lineárisan függő.
Tétel 3 (függő alrendszer a vektorok rendszerében)
Ha egy vektorrendszernek van egy lineárisan függő alrendszere, akkor az egész rendszer lineárisan függő.
Hagyjuk 
- lineárisan függő alrendszer 
, amelyek között legalább egy nem egyenlő nullával:
Ezért a 23. definíció szerint a rendszer lineárisan függ.
4. tétel
Egy lineárisan független rendszer bármely alrendszere lineárisan független.
Ellenkezőleg. Legyen a rendszer lineárisan független és legyen egy lineárisan függő alrendszere. De akkor a 3. Tétel szerint az egész rendszer lineárisan függő lesz. Ellentmondás. Ezért egy lineárisan független rendszer alrendszere nem lehet lineárisan függő.
Egy vektorrendszer lineáris függésének és függetlenségének geometriai jelentése
5. tétel
Két vektor 
És 
lineárisan függő akkor és csak akkor 
.
Szükség.
És 
- lineárisan függő 
hogy az állapot 
. Azután 
, azaz 
.
Megfelelőség.
Lineáris függő.
Következmény 5.1
A nulla vektor kollineáris bármely vektorhoz
Következmény 5.2
Ahhoz, hogy két vektor lineárisan független legyen, szükséges és elegendő az 
nem volt kollineáris 
.
6. tétel
Ahhoz, hogy egy három vektorból álló rendszer lineárisan függő legyen, szükséges és elegendő, hogy ezek a vektorok egy síkban legyenek .
Szükség.
- lineárisan függőek, ezért az egyik vektor a másik kettő lineáris kombinációjaként ábrázolható.
,
(13)
ahol 
És 
. A paralelogramma szabály szerint 
az oldalakkal rendelkező paralelogramma átlója 
, de a paralelogramma lapos ábra 
egysíkú 
szintén egysíkúak.
Megfelelőség.
- egysíkú. Három vektort alkalmazunk az O pontra:
C
B`
– lineárisan függő
Következmény 6.1
A nulla vektor egy síkban van bármely vektorpárral.
Következmény 6.2
Annak érdekében, hogy a vektorok 
akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha nem egysíkúak.
Következmény 6.3
Bármely síkvektor ábrázolható egyazon sík bármely két nem-kollineáris vektorának lineáris kombinációjaként.
7. tétel
A térben bármely négy vektor lineárisan függ .
Nézzünk meg 4 esetet:
Rajzoljunk egy síkot a vektorokon keresztül, majd egy síkot a vektorokon és egy síkot a vektorokon keresztül. Ezután megrajzoljuk a D ponton átmenő síkokat, párhuzamosan a vektorpárokkal; ; illetőleg. A síkok metszésvonalai mentén paralelepipedont építünk OB 1 D 1 C 1 ABDC.
Fontolgat OB 1
D 1
C 1
- paralelogramma a paralelogramma szabály szerinti szerkesztéssel 
.
Tekintsük az OADD 1-et – egy paralelogrammát (a paralelepipedon tulajdonságból) 
, azután
EMBED Egyenlet.3 .
Az 1. tétel szerint 
oly módon, hogy . Azután 
, és a 24. definíció szerint a vektorrendszer lineárisan függő.
Következmény 7.1
Három nem egysíkú vektor összege a térben egy olyan vektor, amely egybeesik az e három közös origóhoz kötött vektorra épített paralelepipedon átlójával, és az összegvektor eleje egybeesik e három vektor közös origójával.
Következmény 7.2
Ha egy térben 3 nem egysíkú vektort veszünk, akkor ennek a térnek bármelyik vektora felbontható e három vektor lineáris kombinációjára.
a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Megoldás.Általános megoldást keresünk az egyenletrendszerre
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
Gauss módszer. Ehhez ezt a homogén rendszert koordinátákba írjuk:
Rendszermátrix
Az engedélyezett rendszer így néz ki: 
(r A = 2, n= 3). A rendszer következetes és definiálatlan. Általános megoldása ( x 2 - szabad változó): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => x o = . Egy nem nulla privát megoldás jelenléte, például , azt jelzi, hogy a vektorok a
1 , a
2 , a
3
lineárisan függő.
2. példa
Találja ki, hogy van-e ezt a rendszert lineárisan függő vagy lineárisan független vektorok:
1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.
Megoldás. Tekintsük a homogén egyenletrendszert a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
vagy kibontva (koordinátákkal)
A rendszer homogén. Ha nem degenerált, akkor egyedi megoldása van. Amikor homogén rendszer a nulla (triviális) megoldás. Ebben az esetben tehát a vektorrendszer független. Ha a rendszer degenerált, akkor nem nulla megoldásai vannak, és ezért függő.
A rendszer ellenőrzése elfajultság szempontjából:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
A rendszer nem degenerált, és ezért a vektorok a 1 , a 2 , a 3 lineárisan függetlenek.
Feladatok. Nézze meg, hogy az adott vektorrendszer lineárisan függő vagy lineárisan független:
1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.
2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.
4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.
5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.
6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.
7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Bizonyítsuk be, hogy egy vektorrendszer lineárisan függő, ha tartalmazza:
a) két egyenlő vektor;
b) két arányos vektor.
Meghatározás. Vektorok lineáris kombinációja a 1 , ..., a n x 1 , ..., x n együtthatókkal vektornak nevezzük
x 1 a 1 + ... + x n a n .
jelentéktelen, ha minden x 1 , ..., x n együttható nulla.
Meghatározás. Az x 1 a 1 + ... + x n a n lineáris kombinációt nevezzük nem triviális, ha az x 1 , ..., x n együtthatók legalább egyike nem egyenlő nullával.
lineárisan független, ha ezeknek a vektoroknak nincs nem triviális kombinációja, amely egyenlő a nulla vektorral.
Vagyis az a 1 , ..., a n vektorok lineárisan függetlenek, ha x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 akkor és csak akkor, ha x 1 = 0, ..., x n = 0.
Meghatározás. Az a 1 , ..., a n vektorokat hívjuk lineárisan függő, ha létezik ezeknek a vektoroknak a nulla vektorral egyenlő nem triviális kombinációja.
Lineárisan függő vektorok tulajdonságai:
N-dimenziós vektorokhoz.
n + 1 vektorok mindig lineárisan függőek.
2 és 3 dimenziós vektorokhoz.
Két lineáris függő vektorok- kollineáris. (A kollineáris vektorok lineárisan függenek.) .
3-dimenziós vektorokhoz.
Három lineárisan függő vektor egysíkú. (A három koplanáris vektor lineárisan függ.)
Példák a vektorok lineáris függésének és lineáris függetlenségének feladatára:
1. példa: Ellenőrizze, hogy az a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorok lineárisan függetlenek-e .
Megoldás:
A vektorok lineárisan függenek, mivel a vektorok mérete kisebb, mint a vektorok száma.
2. példa Ellenőrizze, hogy az a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorok lineárisan függetlenek-e.
Megoldás:
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + x3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
vonjuk ki a másodikat az első sorból; add hozzá a második sort a harmadikhoz:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ez a megoldás azt mutatja, hogy a rendszernek sok megoldása van, azaz létezik az x 1 , x 2 , x 3 számok értékeinek nullától eltérő kombinációja úgy, hogy az a , b , c vektorok lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektor, például:
A + b + c = 0
ami azt jelenti, hogy az a , b , c vektorok lineárisan függőek.
Válasz: az a , b , c vektorok lineárisan függőek.
3. példa Ellenőrizze, hogy az a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorok lineárisan függetlenek-e.
Megoldás: Keressük meg azoknak az együtthatóknak az értékeit, amelyeknél ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja egyenlő lesz a nulla vektorral.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Ez a vektoregyenlet felírható rendszerként lineáris egyenletek
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + 2x3 = 0 |
Ezt a rendszert Gauss módszerrel oldjuk meg
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
vonjuk ki az elsőt a második sorból; vonjuk ki az elsőt a harmadik sorból:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
vonjuk ki a másodikat az első sorból; add hozzá a második sort a harmadikhoz.