Egy tartományt egyszerűen összekapcsoltnak nevezünk, ha a határa egy összekapcsolt halmaz. Egy tartományt n-kapcsoltnak nevezünk, ha a határa n-összefüggõ halmazokra hasad.
Megjegyzés. Green képlete igaz többszörösen összekapcsolt tartományokra is.
Ahhoz, hogy az integrál (A, B bármely pont D-ből) független legyen az integrációs úttól (de csak A, B kezdeti és végső pontján), szükséges és elégséges, hogy bármely zárt görbén (fölött) bármely kontúr) D-ben fekvő integrálja nulla =0
Bizonyítás (szükség). Legyen (4) független az integrációs úttól. Tekintsünk egy tetszőleges C kontúrt a D tartományban, és válasszunk két tetszőleges A, B pontot ezen a kontúron. Ekkor a C görbe két AB=G2 , AB=G1 , C=Г - 1 + G2 görbe uniójaként ábrázolható.
1. Tétel. Ahhoz, hogy a görbe vonalú integrál független legyen a D-beli integrációs úttól, szükséges és elégséges, hogy
területen D. Elegendőség. Ha elégedett, akkor Green képlete bármely C kontúrra a következő lesz 
ahonnan a szükséges állítást a lemma követi. Szükség. A lemma szerint tetszőleges kontúrra = 0. Ekkor a zöld képlet szerint az ezzel a körvonallal határolt D tartományra = 0. Az átlagérték tétellel=mDor==0. A határértékre áthaladva, a kontúrt egy pontig összehúzva ezt kapjuk ezen a ponton.
2. Tétel. Ahhoz, hogy a (4) görbe vonal független legyen a D-beli integrációs úttól, szükséges és elégséges, hogy a Pdx+Qdy integrandus valamely u függvény teljes differenciálja a D tartományban. du = Pdx+Qdy. Megfelelőség. Legyen kész, aztán a szükségszerűség. Legyen az integrál független az integráció útjától. Rögzítünk egy A0 pontot a D tartományban, és definiáljuk az u(A) = u(x,y)= függvényt
Ebben az esetben
XО (xО). Így van egy =P derivált. Hasonlóképpen ellenőrizzük, hogy =Q. A feltételezések alapján az u függvény folytonosan differenciálható, és du = Pdx+Qdy.
32-33. Az 1. és 2. típusú görbe vonalú integrálok meghatározása
Görbe vonalú integrál az ívhosszon (1. fajta)
Legyen az f(x, y) függvény definiált és folytonos egy K sima görbe AB ívének pontjaiban. Az ívet tetszőlegesen felosztjuk n elemi ívre a t0..tn pontokkal Legyen lk k hossza. részleges ív. Vegyünk egy tetszőleges N(k,k) pontot minden elemi ívre, és ezt a pontot szorozzuk meg ill. az ív hosszából három integrált összeget adunk:
1
=
f(k,k)lk 2 = 
Р(k,k)хk 3 = 
Q(k,k)yk, ahol хk = x k -x k -1, yk = y k -y k -1
Az 1. típusú görbe vonalú integrált az ív hosszában a 1 integrálösszeg határának nevezzük, feltéve, hogy max(lk) 0 
Ha az integrálösszeg határa 2 vagy 3 0-nál, akkor ezt a határértéket hívjuk. 2. típusú görbe vonalú integrál, P(x,y) vagy Q(x,y) függvények az l = AB görbe mentén, és ezt jelöljük: 
vagy 
összeg: 
+
a 2. típusú általános görbe vonalú integrált szokás hívni és a szimbólummal jelölni: 
ebben az esetben az f(x,y), P(x,y), Q(x,y) függvényeket az l = AB görbe mentén integrálhatónak nevezzük. Magát az l görbét kontúrnak nevezzük, vagy az A-t - a kezdeti, B-t - az integráció végpontjait, a dl-t - az ívhossz-különbséget integrálva, ezért az 1. típusú görbevonalas integrált nevezzük. görbe vonalú integrál a görbe íve felett, és a második típus - a függvény felett.
A görbevonalas integrálok definíciójából következik, hogy az 1. típusú integrálok nem függnek attól, hogy az l görbe A-ból és B-ből, illetve B-ből és A-ból melyik irányban fut. 1. típusú görbe vonalú integrál AB felett:
, a 2. típusú görbe vonalú integrálok esetében a görbe haladási irányának változása előjelváltozáshoz vezet:
Abban az esetben, ha l egy zárt görbe, azaz t. B egybeesik az A ponttal, akkor a zárt l körvonal megkerülésének két lehetséges iránya közül az az irány, amelyben a kontúron belüli terület balra marad a körvonalhoz képest ??? pozitívnak nevezik. kitérőt tesz, azaz a mozgás iránya az óramutató járásával ellentétes. A bypass ellenkező irányát negatívnak nevezzük. A pozitív irányban futó zárt l körvonal mentén lévő AB görbe vonalú integrált a szimbólum jelöli:
Egy térbeli görbéhez hasonlóan bevezetünk egy 1. típusú integrált:
és három 2. típusú integrál:
az utolsó három integrál összegét nevezzük. 2. típusú általános görbe integrál.
Az 1. típusú görbe vonalú integrálok néhány alkalmazása.
1.Integrál 
- AB ívhossz
2. Az 1. típusú integrál mechanikai jelentése.
Ha f(x,y) = (x,y) az anyagív lineáris sűrűsége, akkor a tömege: 
3. Az anyagív tömegközéppontjának koordinátái:
4. Az xy síkban fekvő ív tehetetlenségi nyomatéka az ox, oy forgástengelyéhez és origójához viszonyítva:
5. Az első típusú integrál geometriai jelentése
Legyen a z = f(x,y) függvénynek f(x,y)>=0 hosszúságú dimenziója az anyagív xy síkban fekvő minden pontjában, akkor:
, ahol S a hengeres felület területe, a macska a keleti oxi síkra merőlegesekből áll. az AB görbe M(x, y) pontjaiban.
A 2. típusú görbe vonalú integrálok néhány alkalmazása.
Egy D sík régió területének kiszámítása L határral
2. Power munka. Hagyja, hogy egy anyagi pont egy erő hatására egy folytonos BC sík görbe mentén mozogjon B-ből C-be, ennek az erőnek a munkája:
Ostrogradsky-Green formula
Ez a képlet kapcsolatot hoz létre a görbe vonalú integrál között a zárt C körvonalak felett és kettős integrál e körvonal által határolt terület mentén.
Definíció 1. Egy D tartományt egyszerű tartománynak nevezünk, ha véges számú első típusú tartományra, és ettől függetlenül véges számú második típusú tartományra osztható.
1. Tétel. Legyen egyszerű tartományban definiálva a P(x,y) és Q(x,y) függvények, amelyek parciális deriváltjaikkal, ill.
Akkor a képlet érvényes
ahol С a D régió zárt körvonala.
Ez az Ostrogradsky-Green képlet.
A függetlenség feltételei görbe vonalú integrál az integráció útjáról
1. Definíció. Egy zárt négyzetes D tartományt egyszerűen összekapcsoltnak mondjuk, ha bármely l D zárt görbe folyamatosan ponttá alakítható úgy, hogy ennek a görbének minden pontja a D tartományba tartozzon (egy „lyukak” nélküli tartomány - D 1 ), ha az ilyen deformáció lehetetlen, akkor a régiót többszörösen összekapcsoltnak nevezik ("lyukakkal" - D 2).
Definíció 2. Ha az AB görbe mentén a görbe integrál értéke nem függ az A és B pontot összekötő görbe típusától, akkor azt mondják, hogy ez a görbe integrál nem függ az integrációs úttól:
1. Tétel. Legyen egy zárt, egyszerűen összefüggő D tartományban P(x,y) és Q(x,y) folytonos függvények a parciális deriváltjaikkal együtt. Ekkor a következő 4 feltétel egyenértékű (egyenértékű):
1) görbe vonalú integrál zárt kontúr mentén
ahol C bármely zárt hurok D-ben;
2) a zárt körvonal feletti görbe integrál nem függ a D tartomány integrációjának útjától, azaz.
3) a P(x,y)dx + Q(x,y)dy differenciálforma valamely F függvény teljes differenciálja a D tartományban, azaz létezik olyan F függvény, amelyre (x,y)D egyenlő
dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)
4) az összes (x, y) D pontra a következő feltétel teljesül:
Bizonyítsuk be a séma szerint.
Bizonyítsuk be ebből
Legyen 1), azaz legyen adott = 0 az 1. § 2. tulajdonságával, amely = 0 (az 1. § 1. tulajdonságával) .
Bizonyítsuk be ebből
Adott, hogy cr.int. nem az integráció útjától függ, hanem csak az út kezdetének és végének megválasztásától
Vegye figyelembe a funkciót
Mutassuk meg, hogy a P(x,y)dx + Q(x,y)dy differenciálforma az F(x,y) függvény teljes differenciálja, azaz, , mit
Állítsunk be egy magánhasznot
x F (x, y) = F (x + x, y) -F (x, y) = = == =
(az 1. § 3. tulajdonsága alapján, BB* Oy) = = P (c, y)x (átlagérték tétellel, -const), ahol x (a P függvény folytonossága miatt). Megkaptuk az (5) képletet. A (6) képletet hasonló módon kapjuk meg. Bizonyítsuk be ebből Adott a képlet dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. Nyilvánvaló, hogy = P(x, y). Akkor A tétel feltétele szerint a (7) és (8) egyenlőségek jobb oldali részei folytonos függvények, majd a vegyes deriváltak egyenlőségére vonatkozó tétel alapján a bal oldali részek is egyenlők lesznek, azaz hogy Bizonyítsuk be, hogy a 41-ből. Válasszunk a D tartományból tetszőleges zárt kontúrt, amely a D 1 tartományt korlátozza. A P és Q függvények kielégítik az Ostrogradsky-Green feltételeket: A (9) bal oldalán lévő (4) egyenlőség értelmében az integrál egyenlő 0-val, ami azt jelenti, hogy az egyenlőség jobb oldala egyenlő Megjegyzés 1. Az 1. tétel három független tételként fogalmazható meg Tétel 1*. Annak érdekében, hogy az ívelt int. nem függ az integrációs úttól, így a (.1) feltétel teljesül, azaz. 2. tétel*. Annak érdekében, hogy az ívelt int. nem függ az integrációs útvonaltól, így a (3) feltétel teljesül: a P(x,y)dx + Q(x,y)dy differenciálforma valamely F függvény teljes differenciája a D tartományban. 3. tétel*. Annak érdekében, hogy az ívelt int. nem függ az integrációs útvonaltól, így a (4) feltétel teljesül: Megjegyzés 2. A 2* tételben a D tartomány szorzatosan is összekapcsolható. Green képlete: Ha C a D tartomány zárt határa, és a P(x,y) és Q(x,y) függvények elsőrendű parciális deriváltjaikkal együtt folytonosak a D zárt tartományban (beleértve a határt is) C), akkor a Green-képlet érvényes:, és a C körvonal körüli bypass úgy van kiválasztva, hogy a D régió a bal oldalon maradjon. Az előadásokból: Legyenek adottak a P(x,y) és Q(x,y) függvények, amelyek folytonosak a D tartományban elsőrendű parciális deriváltokkal együtt. Az (L) határintegrál, amely teljes egészében a D tartományban fekszik, és tartalmazza a D tartomány összes pontját: . A kontúr pozitív iránya az, ha a kontúr korlátozott része a bal oldalon van. A 2. típusú görbe vonalú integrál függetlenségének feltétele az integráció útjától. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az M1 és M2 pontot összekötő első típusú görbe integrálja ne az integráció útjától, hanem csak a kezdő és a végponttól függjön, az egyenlőség:. - a felület megadása. S-t az xy síkra vetítjük, megkapjuk a D területet. A D területet egy vonalhálóval felosztjuk Di részekre. Minden egyes pontból z-vel párhuzamos egyeneseket húzunk, ekkor S-t Si-re osztjuk. Készítsünk integrál összeget: . Állítsuk a maximális Di átmérőt nullára:, kapjuk: Ez az első típusú felületi integrál Ez az első típusú felületi integrál. A definíció röviden. Ha az integrálösszegnek van véges határa, amely nem függ S elemi Si szakaszokra való felosztásának módjától és a pontok megválasztásától, akkor azt első típusú felületi integrálnak nevezzük. Amikor az x és y változókról u és v változókra térünk át: P A második típusú felületi integrál definíciója, főbb tulajdonságai és számítása. Kapcsolat az első típusú integrállal. Legyen adott egy L vonallal határolt S felület (3.10. ábra). Vegyünk egy L kontúrt az S felületen, amelynek nincsenek közös pontjai az L határvonallal. Az L kontúr M pontjában két u normált állíthatunk vissza az S felületre. Ezek közül az irányok közül választunk egyet. Vázolja fel az M pontot az L kontúr mentén a normál választott irányával. Ha az M pont a normál irányával megegyező (és nem ellentétes) irányban tér vissza eredeti helyzetébe, akkor az S felületet kétoldalinak nevezzük. Csak a kétoldalas felületeket vesszük figyelembe. Kétoldalas felület bármely sima felület, amelynek egyenlete . Legyen S egy kétoldalas, nem zárt felület, amelyet egy L egyenes határol, amelynek nincs önmetszéspontja. Válasszunk ki a felület egy bizonyos oldalát. Az L kontúr megkerülésének pozitív irányát nevezzük olyan iránynak, amely mentén haladva a felület kiválasztott oldalán maga a felület balra marad. Az így beállított pozitív kontúrbejárási irányú kétoldalas felületet orientált felületnek nevezzük. Folytassuk a második típusú felületi integrál felépítését. Vegyünk térben egy kétoldalas S felületet, amely véges számú darabból áll, amelyek mindegyikét egy alakegyenlet adja meg, vagy egy hengeres felület, amelynek generátorai az Oz tengellyel párhuzamosak. Legyen R(x,y,z) az S felületen definiált és folytonos függvény. Egy vonalhálózat segítségével S-t tetszőlegesen felosztjuk n "elemi" szegmensre ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, amelyeknek nincs közös belső pontjuk. Minden ΔSi szakaszon tetszőlegesen kiválasztunk egy Mi(xi,yi,zi) pontot (i=1,...,n). Legyen (ΔSi)xy a ΔSi szakasz vetületi területe az Oxy koordinátasíkra, a "+" jellel felvéve, ha a normál az S felületre a Mi(xi,yi,zi) pontban (i= 1,...,n) tengelyű formák Oz hegyesszög, és "-" előjellel, ha ez a szög tompaszög. Állítsuk össze az R(x,y,z) függvény integrálösszegét az S felületen az x,y: változókra tekintettel. Legyen λ a ΔSi átmérők közül a legnagyobb (i = 1, ..., n). Ha van egy véges határ, amely nem függ az S felület ΔSi "elemi" szakaszokra való felosztásának módjától és a pontok megválasztásától, akkor azt az R függvény S felületének kiválasztott oldala feletti felületi integrálnak nevezzük. (x, y, z) az x, y koordináták (vagy a második típusú felületi integrál) mentén, és jelöljük Hasonlóképpen lehet felületi integrálokat építeni az x, z vagy y, z koordináták felett a felület megfelelő oldala mentén, azaz. Ha ezek az integrálok mindegyike létezik, akkor bevezethet egy "általános" integrált a felület kiválasztott oldalára: . A második típusú felületi integrál az integrál szokásos tulajdonságaival rendelkezik. Csak azt jegyezzük meg, hogy bármely másodlagos felületi integrál előjelet vált, ha a felület oldala megváltozik. Kapcsolat az első és a második típusú felületi integrálok között. Adjuk meg az S felületet a következő egyenlettel: z \u003d f (x, y), és f (x, y), f "x (x, y), f "y (x, y) folytonos függvények egy τ zárt tartomány (az S felület vetületei az Oxy koordinátasíkra), az R(x,y,z) függvény pedig folytonos az S felületen. Az S felület normálja, melynek iránykoszinuszai cos α, cos β , cos γ, az S felület felső oldalára van választva. Ekkor . Általános esetben a következőket találjuk:
= Tekintsünk egy 2. típusú görbe vonalú integrált, ahol L- görbe összekötő pontok Més N. Hagyjuk a függvényeket P(x, y)és Q(x, y) folytonos parciális deriváltjai vannak valamilyen tartományban D, amely a teljes görbét tartalmazza L. Határozzuk meg, hogy milyen feltételek mellett a vizsgált görbe integrál nem függ a görbe alakjától L, de csak a pontok helyén Més N. Rajzoljon két tetszőleges görbét MPNés MQN, a környéken fekszik Dés kapcsolódási pontok Més N(1. ábra). M N Rizs. egy. P Tegyük fel, hogy ez van Akkor hol L- zárt körvonal, amely görbékből áll MPNés NQM(tehát önkényesnek tekinthető). Így egy 2. típusú görbe vonalú integrál függetlenségének feltétele az integrációs úttól ekvivalens azzal a feltétellel, hogy egy ilyen integrál bármely zárt körvonal felett nullával egyenlő. 1. tétel. Legyen egy terület minden pontján D a funkciók folyamatosak P(x, y)és Q(x, y)és ezek parciális származékai és . Aztán annak érdekében, hogy bármilyen zárt hurok L, a környéken fekszik D, Az állapot Szükséges és elégséges, hogy = a régió minden pontján D. Bizonyíték
. 1) Elegendőség: teljesüljön a feltétel =. Tekintsünk egy tetszőleges zárt hurkot L valaminek a területén D, korlátozza a területet S, és írd be hozzá Green képletét: Tehát az elegendőség bebizonyosodott. 2) Szükségszerűség: tegyük fel, hogy a feltétel a terület minden pontján teljesül D, de van legalább egy pont ebben a tartományban, ahol - ≠ 0. Legyen például a pont P(x0, y0)-> 0. Mivel az egyenlőtlenség bal oldalán van egy folytonos függvény, ez pozitív lesz, és nagyobb, mint valami δ > 0 valamilyen kis területen D' pontot tartalmazó R. Következésképpen, Ezért Green formulájával azt kapjuk, hogy , ahol L`- a területet határoló körvonal D'. Ez az eredmény ellentmond a feltételnek. Ezért = a régió minden pontján D, amit bizonyítani kellett. Megjegyzés 1
. Hasonlóan a háromdimenziós tér kimutatható, hogy a szükséges és elegendő feltételek a görbe integrál függetlensége az integráció útjáról: 2. megjegyzés.
Ha a feltételek (28/1,18) teljesülnek, a kifejezés Pdx+Qdy+Rdz valamely függvény teljes differenciája és. Ez lehetővé teszi, hogy a görbe integrál számítását az értékek közötti különbség meghatározására redukáljuk és a döntőben és kiindulópontok integrációs kontúr, mert Ugyanakkor a funkció és képlet segítségével találhatjuk meg ahol ( x0, y0, z0)– pont a területről D, a C egy tetszőleges állandó. Valójában könnyen ellenőrizhető, hogy a függvények parciális deriváltjai és a (28/1,19) képlettel adottak P, Qés R. 2. fajta az integrációs útról Tekintsünk egy 2. típusú görbe vonalú integrált, ahol L az M és N pontot összekötő görbe. Legyen a P(x, y) és Q(x, y) függvényeknek folytonos parciális deriváltjai valamilyen D tartományban, amelyben a görbe Határozzuk meg, hogy milyen feltételek mellett a vizsgált görbe integrál nem az L görbe alakjától, hanem csak az M és N pontok elhelyezkedésétől függ. Rajzoljunk két tetszőleges MSN és MTN görbét, amelyek a D tartományban helyezkednek el és összekötik az M és N pontot (14. ábra). Tegyük fel, hogy az ahol L egy zárt kontúr, amely MSN és NTM görbékből áll (ezért tetszőlegesnek tekinthető). Így az a feltétel, hogy egy 2. típusú görbe vonalú integrál független az integrációs úttól, egyenértékű azzal a feltétellel, hogy egy ilyen integrál bármely zárt kontúron egyenlő nullával. 5. tétel (Green tétele). Legyenek a P(x, y) és Q(x, y) függvények és ezek u parciális deriváltjai valamely D tartomány minden pontjában folytonosak. Majd annak érdekében, hogy a D tartományban fekvő bármely zárt L kontúr kielégítse a feltételt szükséges és elégséges, hogy = a D tartomány minden pontján. Bizonyíték. 1) Elegendőség: teljesüljön a feltétel =. Tekintsünk egy tetszőleges zárt L körvonalat a D tartományban, amely határolja az S tartományt, és írjuk fel a zöld képletet: Tehát az elegendőség bebizonyosodott. 2) Szükségszerűség: tegyük fel, hogy a feltétel a D régió minden pontján teljesül, de ebben a tartományban van legalább egy olyan pont, amelyben - ? 0. Legyen például a P(x0, y0) pontban: - > 0. Mivel az egyenlőtlenség bal oldala folyamatos funkció, pozitív lesz és nagyobb, mint néhány? > 0 valamely kis D` régióban, amely a P pontot tartalmazza. Ezért Green képletével ezt kapjuk ahol L` a körvonal, amely a D tartományt határolódik. Ez az eredmény ellentmond a feltételnek. Ezért = a D tartomány minden pontján, amit bizonyítani kellett. Megjegyzés 1. Hasonló módon háromdimenziós térre is bebizonyítható, hogy a görbe integrál függetlenségének szükséges és elégséges feltételei az integráció útjáról: 2. megjegyzés. Az (52) feltételek mellett a Pdx + Qdy + Rdz kifejezés valamely u függvény teljes differenciája. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy a görbe vonalú integrál kiszámítását az integrációs kontúr értékei és a vég- és kezdőpontjai közötti különbség meghatározására redukáljuk, mivel Ebben az esetben a és függvény a képlettel kereshető ahol (x0, y0, z0) egy pont D-ben, C pedig tetszőleges állandó. Valójában könnyen ellenőrizhető, hogy az (53) képlettel adott függvény parciális deriváltjai egyenlők-e P, Q és R. 10. példa Számítsa ki a 2. típusú görbe vonalú integrált az (1, 1, 1) és (2, 3, 4) pontokat összekötő tetszőleges görbe mentén. Győződjön meg arról, hogy az (52) feltételek teljesülnek: Ezért a függvény létezik. Keressük meg az (53) képlet alapján, x0 = y0 = z0 = 0 beállítással. Ekkor Így a és függvény egy tetszőleges állandó tagig van meghatározva. Vegyük С = 0, majd u = xyz. Következésképpen,
30. Green képlete. A görbe vonalú integrál függetlenségének feltételei az integráció útjától.
.31. Első és második típusú felületi integrálok, főbb tulajdonságaik és számításuk.
egy felületi integrál rendelkezik a közönséges integrál összes tulajdonságával. Lásd a fenti kérdéseket.
.
és 
.
