Tekintsünk egy 2. típusú görbe vonalú integrált, ahol L– pontokat összekötő görbe MÉs N. Hagyjuk a függvényeket P(x, y)És Q(x, y) folytonos parciális deriváltjai vannak valamilyen tartományban D, amely a teljes görbét tartalmazza L. Határozzuk meg, hogy milyen feltételek mellett a vizsgált görbe integrál nem függ a görbe alakjától L, de csak a pontok helyén MÉs N.
Rajzoljunk két tetszőleges görbét MPNÉs MQN, a környéken fekszik Dés kapcsolódási pontok MÉs N(1. ábra).
M N Rizs. 1. P
Tegyük fel, hogy ez van
Akkor hol L– görbékből álló zárt kontúr MPNÉs N.Q.M.(tehát önkényesnek tekinthető). Így a függetlenségi feltétel görbe vonalú integrál Az integrálási út 2. fajtája ekvivalens azzal a feltétellel, hogy egy ilyen integrál bármely zárt körvonalon egyenlő nullával.
1. tétel. Legyen egy régió minden pontján D a funkciók folyamatosak P(x, y)És Q(x, y)és ezek parciális származékai és . Majd annak érdekében, hogy bármilyen zárt kontúr L, a környéken fekszik D, a feltétel teljesült
Szükséges és elégséges, hogy = a régió minden pontján D.
Bizonyíték .
1) Elegendőség: teljesüljön a feltétel =. Tekintsünk egy tetszőleges zárt hurkot L területen D, korlátozza a területet S, és írd be Green képletét:
Tehát az elegendőség bebizonyosodott.
2) Szükségesség: tegyük fel, hogy a feltétel a régió minden pontján teljesül D, de van legalább egy pont ebben a tartományban, ahol - ≠ 0. Legyen például a pont P(x 0, y 0)-> 0. Mivel az egyenlőtlenség bal oldala folytonos függvényt tartalmaz, pozitív lesz, és nagyobb, mint valami δ > 0 valamilyen kis régióban D` pontot tartalmaz R. Ennélfogva,
Innen Green képletével azt kapjuk, hogy , hol L`- a területet korlátozó kontúr D`. Ez az eredmény ellentmond a feltételnek. Ezért = a régió minden pontján D, amit bizonyítani kellett.
1. megjegyzés . Hasonlóan a háromdimenziós tér igazolható, hogy a görbe integrál függetlenségének szükséges és elégséges feltételei
az integrációs útvonalból a következők:
Jegyzet 2. Ha a feltételek (28/1,18) teljesülnek, akkor kifejezés Pdx + Qdy + Rdz van teljes differenciálmű valamilyen funkciót És. Ez lehetővé teszi, hogy a görbe integrál számítását az értékek közötti különbség meghatározására redukáljuk És a döntőben és kiindulópontok integrációs kontúr, hiszen
Ebben az esetben a függvény És képlet segítségével találhatjuk meg
Ahol ( x 0, y 0, z 0)– pont a területről D,a C– tetszőleges állandó. Valóban, könnyen ellenőrizhető, hogy a függvény parciális deriváltjai És, amelyeket a (28/1,19) képlettel adunk meg, egyenlők P, QÉs R.
30. Green képlete. A görbe vonalú integrál függetlenségének feltételei az integráció útjától.
Green-képlet: Ha C egy D tartomány zárt határa, és a P(x,y) és Q(x,y) függvények elsőrendű parciális deriváltjaikkal együtt folytonosak zárt terület D (beleértve a C határt is), akkor Green-féle képlet érvényes:, és a C körvonal körüli kitérőt úgy választjuk meg, hogy a D tartomány a bal oldalon maradjon.
Előadásokból: Legyenek P(x,y) és Q(x,y) függvények, amelyek folytonosak a D tartományban elsőrendű parciális deriváltokkal együtt. Az (L) határ feletti integrál, amely teljes egészében a D régióban található, és tartalmazza a D régió összes pontját: . A kontúr pozitív iránya az, ha a kontúr korlátozott része balra esik.
A 2. típusú görbe vonalú integrál függetlenségének feltétele az integrációs úttól. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy az M1 és M2 pontot összekötő első típusú görbe integrálja ne az integráció útjától, hanem csak a kezdő- és végponttól függjön, az egyenlőség:.
.
31. Első és második típusú felületi integrálok, alapvető tulajdonságaik és számításuk.
– a felület megadása.
Vetítsük S-t az xy síkra, és kapjunk egy D tartományt. A D tartományt egy vonalrács segítségével Di részekre osztjuk. Minden egyes pontból z-vel párhuzamos egyeneseket húzunk, ekkor S-t Si-re osztjuk. Készítsünk integrál összeget: . Irányítsuk a maximális Di átmérőt nullára:, kapjuk:
Ez az első típusú felületi integrál
Így kerül kiszámításra az első típusú felületi integrál.
A definíció röviden. Ha az integrálösszegnek véges határa van, függetlenül az S Si elemi szakaszokra való felosztásának módszerétől és a pontok megválasztásától, akkor azt első típusú felületi integrálnak nevezzük.
Ha az x és y változókról az u és a v változókra lépünk:
P 
egy felületi integrál rendelkezik a közönséges integrál összes tulajdonságával. Lásd a fenti kérdéseket.
A második típusú felületi integrál definíciója, alapvető tulajdonságai és számítása. Kapcsolat az első típusú integrállal.
Legyen adott az S felület, vonal határolja L (3.10. ábra). Vegyünk egy L kontúrt az S felületre, amelynek nincs közös pontja az L határvonallal. Az L kontúr M pontjában visszaállíthatunk két normált az S felületre. Válasszunk ezek közül az irányok közül egyet. Követjük az M pontot az L kontúr mentén a kiválasztott normál iránnyal.
Ha az M pont a normál irányával megegyező (és nem az ellenkezőjével) visszatér eredeti helyzetébe, akkor az S felületet kétoldalasnak nevezzük. Csak a kétoldalas felületeket vesszük figyelembe. Kétoldalas felület bármely sima felület, amelynek egyenlete .
Legyen S egy L egyenes által határolt kétoldali nyitott felület, amelynek nincs önmetszéspontja. Válasszunk ki a felület egy bizonyos oldalát. Az L kontúr bejárásának pozitív irányának nevezzük azt az irányt, amelyben a felület kiválasztott oldalán haladva maga a felület balra marad. A rajta kialakított kontúrok áthaladásához pozitív irányú kétoldali felületet orientált felületnek nevezünk.
Térjünk át egy második típusú felületi integrál megszerkesztésére. Vegyünk egy kétoldalú S felületet a térben, amely véges számú darabból áll, amelyek mindegyikét egy alakegyenlet adja meg, vagy egy hengeres felület generátorokkal, a tengellyel párhuzamos Oz.
Legyen R(x,y,z) az S felületen definiált és folytonos függvény. Egy vonalhálózat segítségével S-t tetszőlegesen felosztjuk n „elemi” szakaszra ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, amelyeknek nincs közös belső pontjuk. Minden ΔSi szakaszon tetszőlegesen kiválasztunk egy Mi(xi,yi,zi) pontot (i=1,...,n). Legyen (ΔSi)xy a ΔSi szakasz Oxy koordinátasíkra való vetületének területe, a + jellel felvetve, ha az S felület normálja a Mi(xi,yi,zi) pontban ( i=1,...,n) formák az Oz tengellyel hegyesszög, és „–” jellel, ha ez a szög tompaszög. Állítsuk össze az R(x,y,z) függvény integrálösszegét az S felületen az x,y: változókban. Legyen λ a ΔSi átmérők közül a legnagyobb (i = 1, ..., n).
Ha van egy véges határ, amely nem függ az S felület ΔSi „elemi” szakaszokra való felosztásának módjától és a pontok megválasztásától, akkor azt az R függvény S felületének kiválasztott oldala feletti felületi integrálnak nevezzük. (x,y,z) az x, y koordináták (vagy a második típusú felületi integrál) mentén, és jelöljük 
.
Hasonlóképpen szerkeszthet felületi integrálokat x, z vagy y, z koordinátákon a felület megfelelő oldala mentén, azaz. 
És 
.
Ha ezek az integrálok mind léteznek, akkor bevezethetünk egy „általános” integrált a felület kiválasztott oldalára: .
A második típusú felületi integrál az integrál szokásos tulajdonságaival rendelkezik. Csak azt jegyezzük meg, hogy bármely másodlagos felületi integrál előjelet vált, ha a felület oldala megváltozik.
Az első és a második típusú felületi integrálok kapcsolata.
Adjuk meg az S felületet a következő egyenlettel: z = f(x,y), és f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) folytonos függvények a zárt τ tartomány (az S felület vetületei Koordináta sík Oxy), és az R(x,y,z) függvény folytonos az S felületen. Az S felület normálját, amelynek cos α, cos β, cos γ irányú koszinuszai vannak, az S felület felső oldalára választjuk. . Akkor .
Az általános esetre a következőket kínáljuk:
= 
4. előadás
Téma: Green képlete. A görbe vonalú integrál függetlenségének feltételei az integráció útjától.
Green képlete.
Green formulája kapcsolatot hoz létre egy síkon lévő zárt kontúr Г görbe vonalú integrálja és egy adott kontúr által határolt tartomány feletti kettős integrál között.
A zárt kontúr Г egyenes integrálját a szimbólum jelöli A zárt kontúr Г ennek a kontúrnak valamelyik B pontjában kezdődik és B pontban ér véget. A zárt kontúrintegrál nem függ a B pont megválasztásától.
1. definíció. A Г kontúr megkerülése akkor tekinthető pozitívnak, ha a Г kontúr megkerülésekor a D terület a bal oldalon marad. G + - a G áramkör pozitív irányban, G - - az áramkör negatív irányban kerül kiiktatásra, azaz. ellenkező irányba
| G + |
| x |
| Y |
| c |
| d |
| X = x 1 (y) |
| X=x2(y) |
| a |
| b |
| B |
| C |
| Y=y2(x) |
| Y = y 1 (x) |
| m |
| n |
.
Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy:
Az (1) és (2) egyenlőségből kapjuk:
Ennélfogva,
A Green-féle képlet a feltételezések alapján bebizonyosodott.
1. megjegyzés. Green képlete érvényben marad, ha a D terület Г határa több mint két pontban metszi néhány, a 0X vagy 0Y tengellyel párhuzamos egyenest. Ráadásul a Green-féle képlet n-összefüggő régiókra is érvényes.
A görbe vonalú integrál függetlenségének feltételei a síkon történő integráció útjától.
Ebben a részben megtudjuk, milyen feltételek mellett a görbe integrál nem az integráció útjától, hanem az integráció kezdő- és végpontjától függ.
1. tétel. Annak érdekében, hogy a görbe integrál 
nem függ az integráció útjától egy egyszerűen összefüggő tartományban, szükséges és elegendő, hogy ez az integrál ebben a tartományban bármely zárt darabonként sima kontúrt átvett nullával egyenlő legyen.
Bizonyíték: szükségszerűség. Adott: nem függ az integráció útjától. Be kell bizonyítani, hogy bármely zárt darabonkénti sima kontúr feletti görbe integrál egyenlő nullával.
Vegyünk egy tetszőleges darabonként sima zárt kontúrt Г a vizsgált D tartományban, vegyünk tetszőleges B és C pontokat a Г kontúron.
| G |
| D |
| n |
| m |
| B |
| C |
, azaz
Megfelelőség. Adott: Görbe integrál 
bármely zárt darabonkénti sima kontúr mentén nullával egyenlő.
Be kell bizonyítanunk, hogy az integrál nem függ az integráció útjától.
Tekintsünk egy görbe integrált két darabonként sima kontúron, amelyek összekötik a B és C pontot. A feltétel szerint:
Azok. görbe vonalú
az integrál nem függ az integráció útjától.
2. tétel. Legyenek folytonosak a parciális deriváltokkal együtt egy egyszerűen összefüggő D tartományban. Annak érdekében, hogy a görbe integrál 
nem függ az integráció útjától, szükséges és elegendő ahhoz, hogy az identitás a D tartományban maradjon
Bizonyíték: elégséges. Adott: . Ezt bizonyítani kell nem függ az integráció útjától. Ehhez elég ezt bizonyítani egyenlő nullával bármely zárt darabonként sima kontúr mentén. Green formulája szerint a következőket kapjuk:
Szükségesség. Adott: Az 1. tétel alapján a görbe integrál nem függ az integráció útjától. Ezt bizonyítani kell
Tekintsük a görbe integrált
Feltételezzük, hogy a függvényeknek a vizsgált D tartományban folytonos parciális deriváltjaik vannak. Nézzük meg, milyen feltételek mellett nem függ az írott görbe integrál az L görbe alakjától , de csak az M és N kezdő és végpont helyzetétől függ.
Tekintsünk két tetszőleges MPN és MQN görbét, amelyek a vizsgált D tartományban helyezkednek el, és összekötik az M és N pontokat (351. ábra). Hadd
Ekkor a görbe vonalú integrálok 1. és 2. tulajdonsága alapján (1. §) megvan
azaz sorintegrál zárt hurkon keresztül
Az utolsó képletben a vonalintegrál átveszi a görbékből álló zárt L kontúrt. Ez az L kontúr nyilvánvalóan önkényesnek tekinthető.
Abból a feltételből tehát, hogy bármely két M és N pontra az egyenes integrál nem függ az őket összekötő görbe alakjától, hanem csak e pontok helyzetétől, az következik, hogy bármely zárt körvonal mentén az egyenes integrál egyenlő nullára.
A fordított következtetés is igaz: ha bármely zárt körvonalon egy görbe integrál nullával egyenlő, akkor ez a görbe integrál nem függ bármely két pontot összekötő görbe alakjától, hanem csak ezeknek a pontoknak a helyzetétől. Valójában a (2) egyenlőség az (1) egyenlőséget jelenti.
A 2. § 4. példájában a görbe integrál nem függ az integrálás útjától, a 3. példában a görbe integrál az integráció útjától függ, mivel ebben a példában a zárt kontúr feletti integrál nem nulla, hanem megadja a kérdéses körvonal által határolt terület; az 1. és 2. példában a sorintegrálok az integrálás útjától is függenek.
Természetesen felmerül a kérdés: milyen feltételeknek kell megfelelniük a függvényeknek ahhoz, hogy bármely zárt körvonal mentén a görbe vonalú integrál nullával egyenlő legyen. A kérdésre a választ a következő tétel adja meg:
Tétel. Legyenek a függvények a parciális deriváltjaikkal együtt folytonosak valamely D tartomány minden pontján. Ekkor ahhoz, hogy a D tartományban fekvő bármely zárt L kontúr feletti görbe vonalú integrál nullával egyenlő legyen, azaz hogy
szükséges és elégséges az egyenlőség teljesüléséhez
a régió minden melegében
Bizonyíték. Tekintsünk egy tetszőleges zárt L körvonalat a D tartományban, és írjuk fel Green képletét:
Ha a (3) feltétel teljesül, akkor a bal oldali kettős integrál azonosan nullával egyenlő, és ezért
Így a (3) feltétel elégségessége igazolt.
Most bizonyítsuk be ennek a feltételnek a szükségességét, azaz bebizonyítjuk, hogy ha a (2) egyenlőség teljesül bármely zárt L görbére a D tartományban, akkor ennek a tartománynak minden pontjában teljesül a (3) feltétel is.
Tegyük fel, ellenkezőleg, a (2) egyenlőség teljesül, azaz.
és a (3) feltétel nem teljesül, azaz.
legalábbis egy ponton. Legyen például egy ponton az egyenlőtlenség
Mivel az egyenlőtlenség bal oldalán ott van folyamatos funkció, akkor pozitív és nagyobb lesz egy bizonyos számnál a pontot tartalmazó elég kicsi D régió minden pontján. Vegyük a kettős integrált a különbség ezen területére. Ennek pozitív jelentése lesz. Igazán,
De Green formulája szerint az utolsó egyenlőtlenség bal oldala egyenlő a tartomány határa mentén lévő görbe integrállal, amely egyenlő nullával. Következésképpen az utolsó egyenlőtlenség ellentmond a (2) feltételnek, és ezért hibás az a feltevés, hogy legalább egy ponton különbözik a nullától. Innen
ebből következik, hogy
ezen a területen minden ponton
Így a tétel teljesen bebizonyosodott.
A 9. §-ban ch. XIII bebizonyosodott, hogy a feltétel teljesülése ekvivalens azzal, hogy a kifejezés valamely függvény teljes differenciája, azaz.
De ebben az esetben a vektor
van egy függvénynek egy gradiense, amelynek gradiense egyenlő egy vektorral, ezt a vektor potenciáljának nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy ebben az esetben a görbe integrál
Bármely L görbe esetében, amely összeköti az M és N pontokat, (M) egyenlő a függvény értékei közötti különbséggel és ezeken a pontokon:
Bizonyíték. Ha a függvény teljes differenciálja, akkor a görbe integrálja felveszi a formát
Ennek az integrálnak a kiszámításához írunk parametrikus egyenletek görbe L összekötő pontok M és
az integrál a következő határozott integrálra redukálódik:
A zárójelben lévő kifejezés olyan függvény, amelynek teljes származéka a Ezért függvénynek
Amint látjuk, a teljes differenciál egyenes integrálja nem függ a görbe alakjától, amely mentén az integrációt végrehajtjuk.
Hasonló állítás érvényes a térgörbe feletti görbe vonalú integrálra is (lásd lent a 7. §-t).
Megjegyzés. Néha figyelembe kell venni egy függvény L ívhossza mentén görbe vonalú integrálokat
Egy régiót egyszerűen összefüggőnek nevezünk, ha a határa egy összefüggő halmaz. Egy régiót n-összefüggőnek nevezünk, ha a határa n-összefüggő halmazokra hasad.
Megjegyzés. Green képlete igaz a többszörösen összefüggő régiókra is.
Ahhoz, hogy az integrál (A, B – bármely pont D-ből) ne függjön az integrálási úttól (hanem csak az A, B kezdeti és végponttól), szükséges és elégséges, hogy bármely zárt görbe mentén (bármelyik mentén) kontúr) D-ben fekvő integrál értéke nulla =0
Bizonyítás (szükségszerűség). Legyen (4) független az integrációs úttól. Tekintsünk egy tetszőleges C kontúrt a D tartományban, és válasszunk két tetszőleges A, B pontot ezen a kontúron. Ekkor a C görbe két AB=G2, AB=G1, C=Г - 1 + G2 görbe uniójaként ábrázolható.
1. Tétel. Ahhoz, hogy egy görbe vonalú integrál független legyen a D-beli integrálási úttól, szükséges és elégséges, hogy
a D területen. Elegendőség. Ha ez igaz, akkor Green képlete bármely C kontúrra a következő lesz 
ahonnan a szükséges állítást a lemma követi. Szükségesség. Lemmája alapján bármely kontúrra = 0. Ekkor Green képletével a körvonal által határolt D területre = 0. Az átlagérték tétellel = mD vagy = = 0. A határértékre áthaladva, a kontúrt egy pontig összehúzva ezt kapjuk ezen a ponton.
2. Tétel. Ahhoz, hogy a (4) görbe vonalú integrál független legyen a D-beli integráció útjától, szükséges és elégséges, hogy a Pdx+Qdy integrandus kifejezés valamely u függvény teljes differenciája legyen a D tartományban. du = Pdx+Qdy. Megfelelőség. Hadd teljesüljön, akkor a Szükségszerűség. Legyen az integrál független az integráció útjától. Rögzítünk egy A0 pontot a D tartományban, és definiáljuk az u(A) = u(x,y)= függvényt
Ebben az esetben
XО (xО). Így van egy =P derivált. Hasonlóképpen ellenőrizzük, hogy =Q. A feltételezések alapján az u függvény folytonosan differenciálható, és du = Pdx+Qdy.
32-33. Az 1. és 2. típusú görbe vonalú integrálok meghatározása
Görbe vonalú integrál az ívhosszon (1. fajta)
Legyen az f(x,y) függvény definiált és folytonos egy K sima görbe AB ívének pontjaiban. Az ívet tetszőlegesen osszuk fel n elemi ívre t0..tn pontokkal. Legyen lk az adott görbe k hossza. ív. Vegyünk egy tetszőleges N(k,k) pontot minden elemi íven, és szorozzuk meg ezt a pontot a megfelelő ponttal. az ív hossza három integrál összegből áll:
1
=
f(k,k)lk 2 = 
Р(k,k)хk 3 = 
Q(k,k)yk, ahol хk = x k -x k -1, yk = y k -y k -1
Az 1. típusú görbe vonalú integrált az ív hosszában a 1 integrálösszeg határának nevezzük, feltéve, hogy max(lk) 0 
Ha az integrálösszeg határa 2 vagy 3 0-nál, akkor ezt a határértéket hívjuk. 2. típusú görbe vonalú integrál, egy P(x,y) vagy Q(x,y) függvény az l = AB görbe mentén, és ezt jelöljük: 
vagy 
összeg: 
+
Szokásos 2. típusú általános görbe vonalú integrálnak nevezni, és a szimbólummal jelölni: 
ebben az esetben az f(x,y), P(x,y), Q(x,y) függvényeket az l = AB görbe mentén integrálhatónak nevezzük. Magát az l görbét kontúrnak nevezzük, vagy integrálással A a kezdőpont, B a végső integrációs pont, dl az ívhossz differenciálja, ezért az 1. típusú görbe vonalú integrált nevezzük. egy görbe íve feletti görbe vonalú integrál, a második típusú pedig egy függvény felett.
A görbevonalas integrálok definíciójából az következik, hogy az 1. típusú integrálok nem függenek attól, hogy az l görbe A-ból és B-ből, illetve B-ből és A-ból milyen irányban fut. 1. típusú görbe vonalú integrál AB mentén:
, a 2. típusú görbe vonalú integrálok esetében a görbe irányának változása előjelváltozáshoz vezet:
Abban az esetben, ha l egy zárt görbe, azaz a B pont egybeesik az A ponttal, akkor a zárt kontúr bejárásának két lehetséges iránya közül azt az irányt nevezzük pozitívnak, amelyben a kontúron belüli terület balra marad. tekintetében??? kör megtétele, azaz a mozgás iránya az óramutató járásával ellentétes. Az ellenkező irányt negatívnak nevezzük. Az AB görbe vonalú integrált egy zárt l kontúr mentén, amely pozitív irányban halad, a következő szimbólummal jelöljük:
A térbeli görbékhez hasonlóan bevezetünk egy 1. típusú integrált:
és három 2. típusú integrál:
az utolsó három integrál összegét nevezzük. 2. típusú általános görbe integrál.
Az 1. típusú görbe vonalú integrálok néhány alkalmazása.
1.Integrál 
- AB ívhossz
2. Az 1. típusú integrál mechanikai jelentése.
Ha f(x,y) = (x,y) az anyagív lineáris sűrűsége, akkor a tömege: 
3. Az anyagív tömegközéppontjának koordinátái:
4. Az oxi síkban fekvő ív tehetetlenségi nyomatéka a koordináták origójához és a forgástengelyekhez képest ox, oy:
5. Az 1. típusú integrál geometriai jelentése
Legyen a z = f(x,y) – függvénynek f(x,y)>=0 hosszúságú dimenziója az anyagív minden pontjában, amely az oxisíkban fekszik, akkor:
, ahol S a hengeres felület területe, a macska a keleti okha síkra merőlegesekből áll. az AB görbe M(x,y) pontjaiban.
A 2. típusú görbe vonalú integrálok néhány alkalmazása.
Egy D sík terület területének kiszámítása L határral
2. Erőmunka. Hagyja, hogy egy anyagi pont egy erő hatására egy folytonos BC sík görbe mentén mozogjon B-ből C felé, ennek az erőnek a munkája:
