Az egyenes kanonikus egyenleteiben az egyes törteket egy paraméterrel egyenlővé tesszük t:

A paraméteren keresztül az egyenes minden pontjának aktuális koordinátáit kifejező egyenleteket kapunk t.

így az egyenes paraméteres egyenletei a következő alakúak:

Két adott ponton átmenő egyenes egyenletei.

Legyen két pont M 1 (x1,y1,z1)és M2 (x2,y2,z2). Egy két adott ponton áthaladó egyenes egyenletei ugyanúgy jönnek létre, mint egy síkon lévő hasonló egyenlet. Ezért azonnal megadjuk ennek az egyenletnek a formáját.

Egyenes két sík metszéspontjában. Egy térbeli egyenes általános egyenlete.

Ha két nem párhuzamos síkot veszünk figyelembe, akkor a metszéspontjuk egyenes lesz.

Ha a normálvektorok és nem kollineáris.

Az alábbiakban, amikor példákat veszünk figyelembe, bemutatjuk az ilyen egyenes egyenletek átalakításának módját kanonikus egyenletek.

5.4 Szög két egyenes között. Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltétele.

A térben lévő két egyenes közötti szög bármely, az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton keresztül húzott két egyenes által alkotott szög.

Adjanak meg két egyenest a kanonikus egyenleteik.

Két egyenes közötti szögnél az irányvektorok közötti szöget vesszük.

És

Két egyenes merőlegességének feltétele az irányvektoraik merőlegességének feltételére redukálódik, vagyis a skaláris szorzat nullával való egyenlőségére: vagy koordináta alakban: .

Két egyenes párhuzamosságának feltétele az irányvektoraik párhuzamosságának feltételére redukálódik és

5.5 Kölcsönös megállapodás egyenes és sík.

Legyenek adottak az egyenes egyenletei:

és repülőgépek. Az egyenes és a sík közötti szög az egyenes és a síkra való vetülete által alkotott két szomszédos szög bármelyike ​​lesz (5.5. ábra).

5.5. ábra

Ha az egyenes merőleges a síkra, akkor az egyenes irányítóvektora és a síkra vonatkozó normálvektor kollineáris. Így egy egyenes és egy sík merőlegességének feltétele a kollineáris vektorok feltételére redukálódik

Egy egyenes és egy sík párhuzamossága esetén a fent jelzett vektoraik egymásra merőlegesek. Ezért az egyenes és a sík párhuzamosságának feltétele a vektorok merőlegességének feltételére redukálódik; azok. őket skaláris szorzat nulla vagy koordináta formában: .

Az alábbiakban az 5. fejezet témájához kapcsolódó problémák megoldására mutatunk be példákat.

1. példa:

Írjon fel egyenletet az egyenlet által megadott egyenesre merőleges A (1,2,4) ponton átmenő síkra:

Megoldás:

Az áthaladó sík egyenletét használjuk adott pont merőleges az adott vektorra.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Pontnak vesszük az A pontot (1,2,4), amelyen a sík áthalad a feltétel mellett.

Az egyenes kanonikus egyenleteinek ismeretében ismerjük az egyenessel párhuzamos vektort.

Tekintettel arra, hogy a feltétel szerint az egyenes merőleges a kívánt síkra, az irányvektor a sík normálvektorának tekinthető.

Így megkapjuk a sík egyenletét a következő formában:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

2. példa:

Találd meg a repülőn 4x-7y+5z-20=0 egy P pont, amelyre OP egyenlő szöget zár be a koordinátatengelyekkel.

Megoldás:

Készítsünk sematikus rajzot. (5.6. ábra)

nál nél

5.6. ábra

Az üres Р pontnak vannak koordinátái. Mivel a vektor ugyanazokat a szögeket zárja be a koordinátatengelyekkel, ennek a vektornak az iránykoszinuszai egyenlők egymással

Keressük a vektor vetületeit:

akkor ennek a vektornak az iránykoszinuszai könnyen megtalálhatók.

Az iránykoszinuszok egyenlőségéből az egyenlőség következik:

x p \u003d y p \u003d z p

mivel a P pont a síkon fekszik, ennek a pontnak a koordinátáinak behelyettesítése a sík egyenletébe azonossággá változtatja.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Illetőleg: y r=10; z p=10.

Így a kívánt P pont P (10; 10; 10) koordinátákkal rendelkezik.

3. példa:

Adott két A (2, -1, -2) és B (8, -7,5) pont. Határozzuk meg a B ponton átmenő sík egyenletét, amely merőleges az AB szakaszra!

Megoldás:

A feladat megoldásához egy adott vektorra merőlegesen átmenő sík egyenletét használjuk.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Pontként a B pontot (8, -7,5), a síkra merőleges vektorként pedig a vektort használjuk. Keressük a vektor vetületeit:

akkor a sík egyenletét a következő formában kapjuk meg:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

4. példa:

Határozzuk meg az OY tengellyel párhuzamos és a K(1,-5,1) és M(3,2,-2) pontokon átmenő sík egyenletét!

Megoldás:

Mivel a sík párhuzamos az OY tengellyel, a sík hiányos egyenletét fogjuk használni.

Ax+Cz+D=0

Tekintettel arra, hogy a K és M pont a síkon fekszik, két feltételt kapunk.

Fejezzük ki ezekből a feltételekből az A és C együtthatókat D-vel.

A talált együtthatókat behelyettesítjük a sík hiányos egyenletébe:

óta, akkor csökkentjük D:

5. példa:

Határozzuk meg a három ponton átmenő sík egyenletét: M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Megoldás:

Használjuk a 3 adott ponton átmenő sík egyenletét.

a koordinátákat helyettesítve pont M, K, R elsőként, másodikként és harmadikként a következőket kapjuk:

bontsa ki a determinánst az 1. sor mentén.

6. példa:

Határozzuk meg az M 1 (8, -3,1) pontokon átmenő sík egyenletét! M 2 (4,7,2) és a síkra merőlegesen 3x+5y-7z-21=0

Megoldás:

Készítsünk vázlatos rajzot (5.7. ábra)

5.7. ábra

Jelöljük az adott síkot P 2 és a kívánt síkot P 2. . Az egyenletből adott repülőgépР 1 meghatározzuk a vektor vetületeit az Р 1 síkra merőlegesen.

Vektor módon párhuzamos átvitel mozgatható a P 2 síkra, hiszen a feladat feltétele szerint a P 2 sík merőleges a P 1 síkra, ami azt jelenti, hogy a vektor párhuzamos a P 2 síkkal.

Keressük meg a vektor vetületeit a Р 2 síkban:

most két vektorunk van és az R 2 síkban fekszik. Nyilvánvaló, hogy a vektor egyenlő a vektorok vektorszorzatával, és merőleges lesz a P 2 síkra, mivel merőleges a P 2 síkra, és ezért a normálvektora is arra.

A és vektorokat a vetületeik adják meg, ezért:

Ezután a vektorra merőleges adott ponton áthaladó sík egyenletét használjuk. Pontként felveheti az M 1 vagy M 2 pontok bármelyikét, például M 1 (8, -3,1); Normálvektorként a Р 2 síkra vesszük.

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

7. példa:

Az egyenest két sík metszéspontja határozza meg. Keresse meg az egyenes kanonikus egyenleteit!

Megoldás:

Van egy egyenletünk a következő formában:

Találni kell egy pontot x 0, y 0, z 0), amelyen az egyenes és az irányvektor áthalad.

Tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül. Például, z=1, akkor egy két egyenletrendszert kapunk két ismeretlennel:

Így találtunk egy pontot, amely a kívánt (2,0,1) egyenesen fekszik.

A kívánt egyenes irányító vektoraként a és vektorok keresztszorzatát vesszük, amelyek normálvektorok, mivel , ami azt jelenti, hogy párhuzamos a kívánt egyenessel.

Így az egyenes irányvektorának vetületei vannak. Adott vektorral párhuzamos adott ponton áthaladó egyenes egyenletével:

Tehát a kívánt kanonikus egyenletnek a következő alakja van:

8. példa:

Keresse meg egy egyenes metszéspontjának koordinátáit és repülőgép 2x+3y+3z-8=0

Megoldás:

Írjuk le azért adott egyenlet egyenesen parametrikus forma.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

az egyenes minden pontja a paraméter egyetlen értékének felel meg t. A paraméter megtalálásához t az egyenes és a sík metszéspontjának megfelelő kifejezést behelyettesítjük a sík egyenletébe x, y, z paraméteren keresztül t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

majd a kívánt pont koordinátáit

a kívánt metszéspontnak vannak koordinátái (1;1;1).

9. példa:

Határozzuk meg a párhuzamos egyeneseken átmenő sík egyenletét!

Készítsünk vázlatos rajzot (5.9. ábra)

5.9. ábra

A megadott egyenesegyenletekből és meghatározzuk ezen egyenesek irányítóvektorainak vetületeit. Megtaláljuk a P síkban fekvő vektor vetületeit, és vegyük ki az M 1 (1, -1,2) és M 2 (0,1, -2) egyenesek kanonikus egyenleteinek pontjait.

Egy egyenes paraméteres egyenletei alapvetően ennek az egyenesnek a kanonikus egyenletéből származnak, amelynek alakja . Vegyük paraméternek azt az értéket, amellyel a kanonikus egyenlet bal és jobb része szorozható.

Mivel az egyik nevező szükségszerűen különbözik a nullától, és a megfelelő számláló bármilyen értéket felvehet, a paraméterváltozás területe a teljes tengely valós számok: .

Megkapjuk vagy végre

Az (1) egyenletek az egyenes kívánt paraméteres egyenletei. Ezek az egyenletek mechanikus értelmezést tesznek lehetővé. Ha feltételezzük, hogy a paraméter egy kezdeti pillanattól mért idő, akkor a parametrikus egyenletek határozzák meg a mozgás törvényét anyagi pont egyenes vonalban állandó sebességgel (az ilyen mozgás tehetetlenségi nyomatékkal történik).

1. példaÁllítsa össze egy síkon egy ponton átmenő, irányvektorral rendelkező egyenes paraméteres egyenleteit!

Megoldás. Behelyettesítjük a pont és az irányvektor adatait az (1)-ben, és megkapjuk:

Problémák esetén gyakran szükséges egy egyenes paraméteres egyenleteit más típusú egyenletekre transzformálni, más típusú egyenletekből pedig egy egyenes paraméteres egyenleteit kapni. Nézzünk néhány ilyen példát. Az átalakításhoz parametrikus egyenletek egyenesen egy egyenes általános egyenlete először le kell redukálni őket a kanonikus formára, majd a kanonikus egyenletből, hogy megkapjuk az egyenes általános egyenletét

2. példaÍrd fel az egyenes egyenletét!

általában.

Megoldás. Először az egyenes paraméteres egyenleteit hozzuk a kanonikus egyenletbe:

További átalakítások az egyenletet általános formába hozzák:

Valamivel nehezebb egy általános egyenletet egy egyenes paraméteres egyenletévé konvertálni, de ehhez a művelethez egy világos algoritmus is felállítható. Először is átalakíthatjuk az általános egyenletet lejtőegyenletés keressük meg belőle az egyeneshez tartozó valamely pont koordinátáit, az egyik koordinátának tetszőleges értéket adva. Ha ismerjük a pont koordinátáit és az irányvektort (az általános egyenletből), akkor az egyenes paraméteres egyenletei felírhatók.

3. példaÍrja fel az egyenes egyenletét paraméteres egyenletek formájában!

Megoldás. Az egyenes általános egyenletét egy meredekségű egyenletbe hozzuk:

Megkeressük az egyeneshez tartozó valamely pont koordinátáit. Adjunk tetszőleges értéket a pont egyik koordinátájának!

A meredekségű egyenes egyenletéből a pont másik koordinátáját kapjuk:

Így ismerjük a pontot és az irányvektort. Adataikat behelyettesítjük (1)-be, és megkapjuk az egyenes kívánt paraméteres egyenleteit:

4. példa Határozza meg a paraméteres egyenletekkel megadott egyenes meredekségét!

Megoldás. Az egyenes paraméteres egyenleteit először kanonikusra, majd általánosra, végül lejtőegyenletre kell konvertálni.

Így egy adott egyenes lejtése:

5. példa Készítsen paraméteres egyenleteket egy ponton átmenő egyenesről és egy merőlegesről

Az egyenes a ponttal együtt a geometria fontos elemei, amelyek segítségével számos alakzat épül fel térben és síkon. Ez a cikk részletesen tárgyalja ennek a geometriai elemnek a paramétereit és kapcsolatát más típusú egyenletekkel.

Egyenes és egyenletek a leírására

Az egyenes a geometriában olyan pontok összessége, amelyek tetszőleges két pontot kötnek össze a térben egy legkisebb hosszúságú szakaszon keresztül. Ez a szakasz egy egyenes része. A tér két rögzített pontját összekötő bármely más görbe nagy hosszúságú lesz, tehát nem egyenes vonalak.

A fenti képen két fekete pont látható. Az őket összekötő kék vonal egyenes, a piros pedig íves. Nyilvánvaló, hogy a fekete pontok közötti piros vonal hosszabb, mint a kék.

Az egyenes vonalak leírására többféle típusú egyenes egyenlet létezik háromdimenziós tér vagy két dimenzióban. Az alábbiakban ezeknek az egyenleteknek a nevei találhatók:

• vektor;
• parametrikus;
• szegmensekben;
• szimmetrikus vagy kanonikus;
• általános típus.

Ebben a cikkben egy egyenes paraméteres egyenletét fogjuk megvizsgálni, de a vektorból származtatjuk. Megmutatjuk a paraméteres és a szimmetrikus vagy kanonikus egyenletek közötti kapcsolatot is.

vektor egyenlet

Nyilvánvaló, hogy a vizsgált geometriai elemre vonatkozó összes fenti egyenlettípus összefügg egymással. Mindazonáltal a vektoregyenlet mindegyiknél alapvetõ, mivel az egyenes definíciójából közvetlenül következik. Nézzük meg, hogyan kerül be a geometriába.

Tegyük fel, hogy kapunk egy pontot a P(x 0 ; y 0 ; z 0 ) térben. Ismeretes, hogy ez a pont az egyeneshez tartozik. Hány vonalat lehet rajta húzni? Végtelen készlet. Ezért ahhoz, hogy egyetlen egyenest lehessen húzni, meg kell határozni az utóbbi irányát. Az irányt, mint tudod, a vektor határozza meg. Jelöljük v¯(a; b; c), ahol a zárójelben lévő szimbólumok a koordinátái. Minden egyes Q(x; y; z) pontra, amely a vizsgált egyenesen van, felírhatjuk az egyenlőséget:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c)

Itt az α szimbólum egy olyan paraméter, amely abszolút bármilyen valós értéket vesz fel (egy vektort egy számmal megszorozva csak a modulusa vagy iránya az ellenkezőjére változtatható). Ezt az egyenlőséget háromdimenziós térbeli egyenes vektoregyenletének nevezzük. Az α paraméter megváltoztatásával megkapjuk az összes pontot (x; y; z), amelyek ezt az egyenest alkotják.

Az egyenletben szereplő v¯(a; b; c) vektort irányvektornak nevezzük. Az egyenesnek nincs konkrét iránya, hossza pedig végtelen. Ezek a tények azt jelentik, hogy bármely vektor, amelyet v¯-ból kapunk, ha megszorozzuk vele valós szám, egyben útmutató lesz az egyeneshez.

Ami a P(x 0; y 0; z 0) pontot illeti, helyette egy tetszőleges pont behelyettesíthető az egyenletbe, amely egy egyenesen fekszik, és ez utóbbi nem fog változni.

A fenti ábra egy egyenest (kék vonalat) mutat, amelyet egy irányvektor (piros vonalszakasz) határoz meg a térben.

Nem nehéz hasonló egyenlőséget szerezni a kétdimenziós esetre. Hasonló érveléssel jutunk el a következő kifejezéshez:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Látjuk, hogy teljesen megegyezik az előzővel, csak három helyett két koordinátát használunk a pontok és vektorok megadására.

Paraméteres egyenlet

Először is megkapjuk egy térbeli egyenes paraméteres egyenletét. Fent a vektoregyenlőség írásakor már szó volt a benne szereplő paraméterről. Ahhoz, hogy egy parametrikus egyenletet kapjunk, elegendő a vektort kiterjeszteni. Kapunk:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × c

Ennek a három lineáris egyenlőségnek a halmazát, amelyek mindegyikének egy változó koordinátája és α paramétere van, általában egy térbeli egyenes paraméteres egyenletének nevezik. Valójában semmi újat nem csináltunk, hanem egyszerűen rögzítettük a megfelelő vektor kifejezés jelentését. Csak egy pontot jegyezünk meg: az α szám, bár tetszőleges, mindhárom egyenlőségre ugyanaz. Például, ha az 1. egyenlőségnél α \u003d -1,5, akkor a pont koordinátáinak meghatározásakor ugyanazt az értéket kell behelyettesíteni a második és harmadik egyenlőségbe.

Egy síkon lévő egyenes paraméteres egyenlete hasonló a térbeli esethez. Így van írva:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b

Így egy egyenes paraméteres egyenletének összeállításához explicit formában fel kell írni a vektoregyenletet.

A kanonikus egyenlet megszerzése

Mint fentebb megjegyeztük, minden egyenlet, amely egy egyenest a térben és egy síkon határoz meg, egymásból származik. Mutassuk meg, hogyan kaphatunk kanonikus egyenest egy parametrikus egyenletből. A térbeli esethez a következőket kínáljuk:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × c

Fejezzük ki a paramétert minden egyenlőségben:

α \u003d (x - x 0) / a;

α \u003d (y - y 0) / b;

α \u003d (z - z 0) / c

Mivel a bal oldalak azonosak, ezért az egyenlőségek jobb oldalai is egyenlők egymással:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

Ez a térbeli egyenes kanonikus egyenlete. A nevező értéke minden kifejezésben a megfelelő koordináta. A számlálóban szereplő értékek, amelyeket az egyes változókból kivonunk, az adott egyenesen lévő pont koordinátái.

A síkon lévő esetre vonatkozó megfelelő egyenlet a következőképpen alakul:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

2 ponton átívelő egyenes egyenlete

Ismeretes, hogy két fix pont, mind a síkban, mind a térben egyedileg határoz meg egy egyenest. Tegyük fel, hogy a síkon a következő két pont adott:

Hogyan írjunk rájuk egy egyenes egyenletet? Az első lépés egy irányvektor meghatározása. A koordinátái a következők:

PQ¯(x 2 - x 1 ; y 2 ​​- y 1)

Most már felírhatja az egyenletet a fenti bekezdésekben tárgyalt három alak bármelyikében. Például egy egyenes paraméteres egyenlete a következőképpen alakul:

x \u003d x 1 + α × (x 2 - x 1);

y \u003d y 1 + α × (y 2 - y 1)

Kanonikus formában a következőképpen írhatja át:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Látható, hogy a kanonikus egyenlet mindkét pont koordinátáit tartalmazza, és ezek a pontok a számlálóban módosíthatók. Tehát az utolsó egyenlet a következőképpen írható át:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Minden írott kifejezést 2 ponton áthaladó egyenes egyenletének nevezünk.

Három pont probléma

A következő három pont koordinátái adottak:

Meg kell határozni, hogy ezek a pontok egy egyenesen esnek-e vagy sem.

Ezt a feladatot a következőképpen kell megoldani: először készítsünk egy egyenes egyenletet bármely két pontra, majd cseréljük be a harmadik koordinátáit, és ellenőrizzük, hogy teljesítik-e a kapott egyenlőséget.

Összeállítunk egy egyenletet M és N szempontjából parametrikus formában. Ehhez a fenti bekezdésben kapott képletet alkalmazzuk, amelyet általánosítunk a háromdimenziós esetre. Nekünk van:

x = 5 + α × (-3);

y = 3 + α × (-1);

z = -1 + α × 1

Most cseréljük be a K pont koordinátáit ezekbe a kifejezésekbe, és keressük meg a hozzájuk tartozó alfa paraméter értékét. Kapunk:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;

1 = 3 + α × (-1) => α = 4;

5 = -1 + α × 1 => α = -4

Megállapítottuk, hogy mindhárom egyenlőség akkor lesz érvényes, ha mindegyik az α paraméter más-más értékét veszi fel. Utolsó tény ellentmond egy egyenes paraméteres egyenletének feltételének, amelyben α-nak minden egyenletre egyenlőnek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a K pont nem tartozik az MN egyeneshez, ami azt jelenti, hogy mindhárom pont nem ugyanazon az egyenesen fekszik.

A párhuzamos egyenesek problémája

Két egyenes egyenletet adunk meg parametrikus formában. Az alábbiakban mutatjuk be őket:

x = -1 + 5 × α;

x = 2-6 × λ;

y = 4-3,6 × λ

Meg kell határozni, hogy a vonalak párhuzamosak-e. Két egyenes párhuzamosságát a legkönnyebben az irányvektorok koordinátái segítségével határozhatjuk meg. A parametrikus egyenlet általános képletére hivatkozva kétdimenziós térben azt kapjuk, hogy az egyes egyenesek irányvektorainak koordinátái lesznek:

Két vektor párhuzamos, ha az egyiket úgy kapjuk meg, hogy a másikat megszorozzuk valamilyen számmal. A vektorok koordinátáit párokra osztjuk, így kapjuk:

Ez azt jelenti:

v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯

A v 2 ¯ és v 1 ¯ irányvektorok párhuzamosak, ami azt jelenti, hogy a problémafelvetésben a vonalak is párhuzamosak.

Ellenőrizzük, hogy nem ugyanaz a vonal. Ehhez az egyenlet bármely pontjának koordinátáit egy másikkal kell helyettesítenie. Vegyük a pontot (-1; 3), cseréljük be a második egyenes egyenletébe:

1 = 2-6 × λ => λ = 1/2;

3 \u003d 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

Vagyis mások a vonalak.

A vonalak merőlegességének problémája

Két egyenes egyenlete van megadva:

x = 2 + 6 × λ;

y = -2 - 4 × λ

Ezek a vonalak merőlegesek?

Két egyenes akkor lesz merőleges, ha irányvektorának pontszorzata nulla. Írjuk fel ezeket a vektorokat:

Keressük meg a skalárszorzatukat:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

Így azt találtuk, hogy a figyelembe vett egyenesek merőlegesek. A fenti képen láthatóak.

SÍK KÖZÖTTI SZÖG

Tekintsünk két α 1 és α 2 síkot, amelyeket az egyenletek adnak meg:

Alatt szög két sík között az e síkok által alkotott kétszögek egyikét értjük. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az α 1 és α 2 síkok közötti szög egyenlő a jelzett szomszédos kétszögek valamelyikével, ill. . Ezért . Mivel És , azután

.

Példa. Határozza meg a síkok közötti szöget! x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.

Két sík párhuzamosságának feltétele.

Két α 1 és α 2 sík akkor és csak akkor párhuzamos, ha normálvektoraik és párhuzamosak, és ezért .

Tehát két sík akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha a megfelelő koordinátákon az együtthatók arányosak:

vagy

Síkok merőlegességének feltétele.

Nyilvánvaló, hogy két sík akkor és csak akkor merőleges, ha normálvektoraik merőlegesek, ezért vagy .

Ily módon,.

Példák.

KÖZVETLENÜL A TÉRBEN.

VEKTOR EGYENLET KÖZVETLEN.

PARAMÉTERES EGYENLETEK KÖZVETLEN

Egy egyenes helyzetét a térben teljes mértékben meghatározzuk bármely fix pontjának megadásával M 1 és egy ezzel az egyenessel párhuzamos vektor.

Az egyenessel párhuzamos vektort nevezzük irányító ennek az egyenesnek a vektora.

Szóval hagyd az egyenest l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1) a vektorral párhuzamos egyenesen fekve.

Tekintsünk egy tetszőleges pontot M(x,y,z) egyenes vonalon. Az ábrán látható, hogy .

A és vektorok kollineárisak, tehát van ilyen szám t, mi , hol van a szorzó t tetszőleges számértéket vehet fel a pont helyzetétől függően M egyenes vonalon. Tényező t paraméternek nevezzük. A pontok sugárvektorainak jelölése M 1 és M illetőleg a és -n keresztül kapjuk meg. Ezt az egyenletet ún vektor egyenes egyenlet. Azt mutatja, hogy minden paraméter értéke t valamely pont sugárvektorának felel meg M egyenes vonalon fekve.

Ezt az egyenletet koordináta alakban írjuk fel. Vedd észre, és innen

A kapott egyenleteket ún parametrikus egyenes egyenletek.

A paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yÉs zés pont M egyenes vonalban mozog.

KANONIKUS EGYENLETEK KÖZVETLEN

Legyen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - egy egyenesen fekvő pont l, És az irányvektora. Ismét vegyünk egy tetszőleges pontot egy egyenesen M(x,y,z)és vegyük figyelembe a vektort.

Nyilvánvaló, hogy a és vektorok kollineárisak, tehát a megfelelő koordinátáiknak arányosnak kell lenniük

– kánoni egyenes egyenletek.

Megjegyzés 1. Vegye figyelembe, hogy az egyenes kanonikus egyenletei a paraméteres egyenletekből a paraméter kiiktatásával kaphatók meg. t. Valóban, a kapott parametrikus egyenletekből vagy .

Példa.Írd fel az egyenes egyenletét! paraméteres módon.

Jelöli , ennélfogva x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

2. megjegyzés. Legyen az egyenes merőleges az egyikre koordinátatengelyek, mint például a tengely Ökör. Ekkor az egyenes irányvektora merőleges Ökör, Következésképpen m=0. Következésképpen az egyenes paraméteres egyenletei alakot öltenek

A paraméter eltávolítása az egyenletekből t formában kapjuk meg az egyenes egyenleteit

Azonban ebben az esetben is megegyezünk abban, hogy az egyenes kanonikus egyenleteit formálisan az alakba írjuk . Így ha az egyik tört nevezője nulla, akkor ez azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a megfelelő koordinátatengelyre.

Hasonlóképpen a kanonikus egyenletek a tengelyekre merőleges egyenesnek felel meg ÖkörÉs Oy vagy tengelye párhuzamos Oz.

Példák.

ÁLTALÁNOS EGYENLETEK KÖZVETLEN VONAL, MINT KÉT SÍK MEGFELELŐ VONALA

A térben minden egyes egyenesen végtelen számú sík halad át. Bármelyik kettő metszi egymást, meghatározza a térben. Ezért bármely két ilyen sík egyenlete együttesen ennek az egyenesnek az egyenlete.

Általában bármely két nem párhuzamos sík, amelyet az általános egyenletek adnak meg

határozza meg a metszésvonalukat. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenes.

Példák.

Szerkesszünk egyenletekkel megadott egyenest!

Egy egyenes felépítéséhez elég megtalálni bármelyik két pontját. A legegyszerűbb módja az, hogy kiválasztjuk az egyenes metszéspontjait koordinátasíkok. Például a síkkal való metszéspont xOy egy egyenes egyenleteiből kapjuk, feltételezve z= 0:

Ezt a rendszert megoldva megtaláljuk a lényeget M 1 (1;2;0).

Hasonlóképpen, feltételezve y= 0, megkapjuk az egyenes és a sík metszéspontját xOz:

Az egyenes általános egyenleteiből továbbléphetünk annak kanonikus vagy parametrikus egyenleteire. Ehhez meg kell találnia egy pontot M 1 az egyenesen és az egyenes irányvektora.

Pont koordinátái M 1-et kapunk ebből az egyenletrendszerből, és az egyik koordinátának tetszőleges értéket adunk. Az irányvektor megtalálásához vegye figyelembe, hogy ennek a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra És . Ezért az egyenes irányvektorához l elveheted vektor termék normál vektorok:

.

Példa. Vezet általános egyenletek egyenes a kanonikus formára.

Keressen egy pontot egy egyenesen. Ehhez tetszőlegesen kiválasztunk egyet a koordináták közül, pl. y= 0 és oldja meg az egyenletrendszert:

Az egyenest meghatározó síkok normálvektorainak koordinátái vannak Ezért az irányvektor egyenes lesz

. Következésképpen, l: .

JOGAK KÖZÖTTI SZÖG

sarok térbeli egyenesek között az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyikét nevezzük.

Adjunk meg két egyenest a térben:

Nyilvánvalóan az egyenesek közötti φ szög felfogható az irányvektoraik és az közötti szögnek. Mivel , akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képlete szerint kapjuk

Azt az egyenletet, amely egy ismeretlen mennyiségen kívül egy másik további mennyiséget is tartalmaz, amely egy adott régióból eltérő értéket vehet fel, az ún. parametrikus. Ezt a többletmennyiséget az egyenletben ún paraméter. Valójában sok egyenlet írható fel minden paraméteres egyenlethez. Megvizsgáljuk egy parametrikus egyenlet modulusát és egyszerű parametrikus egyenletek megoldását.

1. feladat Oldja meg az egyenleteket $x$ vonatkozásában
A) $x + a = 7 $
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5 $
E) $a – x ​​= x + b$
F) $ax = 3a$

Megoldás:

A) $x + a = 7 \Baljobbra nyíl x = 7 – a$, vagyis megvan a megoldás erre az egyenletre.
Különféle paraméterértékekre a megoldások $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \balra nyíl 2x = 4 - 8a \bal jobbra nyíl x = 2 - 4a$

C) $x + a = 2a – x\Baljobbra nyíl x + x = 2a – a \Baljobbra nyíl 2x = a \Baljobbra nyíl x = \frac(a)(2)$

D) $ax = 5$, ha a különbözik 0-tól, mindkét részt oszthatjuk a-val, és megkapjuk, hogy $x = 5$
Ha $a = 0$, akkor egy $0.x = 5$ egyenletet kapunk, amelynek nincs megoldása;

E) $a – x ​​​​= x + b \Baljobbra nyíl a – b = x + x \Baljobbra 2x = a – b \Baljobbra x = \frac(a-b)(2)$

F) Ha a = 0, az ax = 3a egyenlet 0.x = 0
Ezért bármely x megoldás. Ha a különbözik 0-tól, akkor
$ax = 3a \balra nyíl x = \frac(3a)(a) \bal jobbra nyíl x = 3$

2. feladat Ha a egy paraméter, oldja meg az egyenletet:
A) $(a + 1)x = 2a + 3 $
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Megoldás:

A) Ha $a + 1$ különbözik 0-tól, azaz $a \neq -1$,
akkor $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
ha $a + 1 = 0$, azaz. $a = -1 $
az egyenlet a következő lesz: $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, aminek nincs megoldása;

B) $2a + x = ax + 4 \balra nyíl$
$x – ax = 4 - 2a \Baljobb nyíl$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Ha $(1 – a) \neq 0$, akkor a $\neq 1$; döntés lesz
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Ha $a = 1$, az egyenlet a következő lesz: $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, aminek nincs megoldása

C) $a^2x – x = a \Baljobbra nyíl$
$x(a^2 -1) = a \bal jobbra nyíl$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Ha $a - 1 \neq 0$ és $a + 1 \neq 0$, azaz $a \neq 1, -1$,
a megoldás: $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Ha $a = 1$ vagy $a = -1$, az egyenlet a következő lesz: $0\cdot x = \pm 1$, aminek nincs megoldása

D) $a^2x + x = a \Baljobbra nyíl$
$(a^2 + 1)x = a$
Ebben az esetben $a^2 + 1 \neq 0$ bármely $a$ esetén, mert ez egy pozitív szám (1) és egy negatív szám összege
$(a^2 \geq 0)$ tehát $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

3. feladat Ha a és b paraméterek, oldja meg az egyenleteket:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 - a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Megoldás:

A) $ax + b = 0 \balra jobbra nyíl ax = -b$
Ha $a \neq 0$, akkor a megoldás: $x = -\frac(b)(a)$.
Ha $a = 0, b \neq 0$, akkor az egyenlet $0\cdot x = -b$ lesz, és nincs megoldása.
Ha $a = 0$ és $b = 0$, akkor az egyenlet $0\cdot x = 0$ lesz, és bármely $x$ megoldás;

B) $ax + 2b = x \balra nyíl ax – x = -2b \bal jobbra nyíl (a - 1)x = -2b$
Ha $a - 1 \neq 0$, azaz. $a \neq 1$, a megoldás: $x = -\frac(2b)(a-1)$
Ha $a - 1 = 0$, azaz $a = 1$ és $b \neq 0$, akkor az egyenlet $0\cdot x = -2b$ lesz, és nincs megoldása

C) Ha $b - 1 \neq 0$, ez $b \neq 1$,
a megoldás: $y = \frac(1-a)(b-1)$
Ha $b - 1 = 0$, azaz $b = 1$, de $1 egy \neq 0$,
azaz $a \neq 1$, az egyenlet $0\cdot y = 1 – a$ lesz, és nincs megoldása.
Ha $b = 1$ és $a = 1$, akkor az egyenlet $0\cdot y = 0$ lesz, és bármely $y$ megoldás

D) $b^2 + 1 \neq 0$ bármely $b$ esetén (miért?), tehát
$y = \frac(a+2)(b^2)$ az egyenlet megoldása.

Probléma $4$ A következő kifejezések $x$ mely értékeire egyenlő jelentéssel bírnak:
A) $5x + a$ és $3ax + 4$
B) $2x - 2$ és $4x + 5a $

Megoldás:

Ahhoz, hogy azonos értékeket kapjunk, megoldást kell találnunk az egyenletekre
$5x + a = 3ax + 4$ és $2x – 2 = 4x + 5a $

A) $5x + a = 3ax + 4 \balra nyíl$
$5x - 3ax = 4 - a \balra nyíl$
$(5 - 3a)x = 4 - a$
Ha $5 - 3a \neq 0$, azaz $a \neq \frac(5)(3)$, a megoldások: $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Ha 5 $ - 3a = 0 $, azaz. $a = \frac(5)(3)$, az egyenlet a következő lesz: $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, amelynek nincs megoldása

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Baljobbra nyíl$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Baljobbra nyíl$
$2x = - 2 - 5a \Baljobb nyíl$
$x = -\frac(2+5a)(2)$

5. feladat
A) $|ax + 2| = 4 dollár
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3 dollár

Megoldás:

A) $|ax + 2| = 4 \balra nyíl ax + 2 = 4$ vagy $ax + 2 = -4 \bal jobbra nyíl$
$ax = 2$ vagy $ax = -6$
Ha $a \neq 0$, akkor az egyenletek $x = \frac(2)(a)$ vagy $x = -\frac(6)(a)$
Ha $a = 0$, akkor az egyenletnek nincs megoldása

B) Ha $a Ha $a > 0 $, ez egyenértékű: $2x + 1 = 3a$
vagy $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ vagy
$2x = -3a - 1 \Baljobb nyíl x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

C) $|ax + 2a| = 3 \Bal jobbra nyíl ax + 2a = 3$ vagy $ax + 2a = - 3$,
és azt találjuk, hogy $ax = 3 - 2a$ vagy $ax = -3 - 2a$
Ha a = 0, akkor nincs megoldás, ha $a \neq 0$
megoldások: $x = \frac(3-2a)(a)$ és $x = -\frac(3+2a)(a)$

6. feladat Oldja meg a $2 - x = 2b - 2ax$ egyenletet, ahol a és b valós paraméterek. Keresse meg, hogy az egyenlet mely értékeire ad megoldást természetes szám, ha $b = 7$

Megoldás:

Ezt az egyenletet a következő formában ábrázoljuk: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
A következő lehetőségek lehetségesek:
Ha $2a - 1 \neq 0$, azaz $a \neq \frac(1)(2)$, az egyenletnek egyedi megoldása van
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Ha $a = \frac(1)(2)$ és $b = 1$, akkor az egyenlet $0\cdot x = 0$ lesz, és bármely $x$ megoldás
Ha $a = \frac(1)(2)$ és $b \neq 1$, akkor $0\cdot x = 2(b - 1)$, ahol $2(b - 1) \neq 0$
Ebben az esetben az egyenletnek nincs megoldása.
Ha $b = 7$ és $a \neq \frac(1)(2)$ az egyetlen megoldás
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Ha a egy egész szám, akkor a $2a - 1$ is egész szám, és a megoldás az
$x = \frac(12)(2a-1)$ egy természetes szám, amikor
A $2a - 1$ pozitív osztója 12$-nak.
Ahhoz, hogy a egész szám legyen, a $12$ osztójának páratlannak kell lennie. De csak 1$ és 3$ pozitív páratlan szám, amely osztható 12-vel
Ezért $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ vagy $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ vagy $2a - 1 = 1 \Bal jobbra nyíl a = 1$

7. feladat Oldja meg a $|ax - 2 – a| egyenletet = 4$, ahol a egy paraméter. Keresse meg, hogy a mely értékekre az egyenlet gyöke negatív egész szám.

Megoldás:

A moduldefinícióból kapjuk
$|ax - 2 – x| = 4 \balra jobbra nyíl fejsze - 2 - x = 4$ vagy $ax - 2 - x = - 4$
Az első egyenlőségből $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \balra jobbra nyíl (a - 1)x = 6 $
A második egyenlőségből $(a - 1)x = -2$ kapjuk
Ha $a - 1 = 0$, azaz. $a = 1$, az utolsó egyenletnek nincs megoldása.
Ha $a \neq 1$ azt találjuk, hogy $x = \frac(6)(a-1)$ vagy $x = -\frac(2)(a-1)$
Ahhoz, hogy ezek a gyökök negatív egész számok legyenek, a következőknek teljesülniük kell:
Az elsőnél $a - 1$ 6 ​​negatív osztójának, a másodiknál ​​pedig 2 pozitív osztójának kell lennie.
Ekkor $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ vagy $a - 1 = 1; 2 $
$a - 1 = -1 \Baljobbra nyíl a = 0; a - 1 = -2 \Baljobbra nyíl$
$a = -1; a - 1 = -3 \Baljobbra nyíl a = -2; a - 1 = -6 \Baljobbra nyíl a = -5$
vagy $a - 1 = 1 \Baljobbra nyíl a = 2; a - 1 = 2 \Baljobbra nyíl a = 3$
Ekkor $a = -5; -2; -egy; 0; 2; 3 dollár megoldás a problémára.

8. feladat Oldja meg az egyenletet:
A) $3ax - a = 1 - x$, ahol a egy paraméter;
B) $2ax + b = 2 + x$ ahol a és b paraméterek

Megoldás:

A) $3ax + x = 1 + a \Baljobbra nyíl (3a + 1)x = 1 + a$.
Ha $3a + 1 \neq 0$, azaz $a \neq -11 /3 /3$ , van megoldás
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Ha $a = -\frac(1)(3)$, akkor az egyenlet $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$ lesz, aminek nincs megoldása.

B) $2ax – x = 2 – b \balra jobbra nyíl (2a - 1)x = 2 – b$
Ha $2a - 1 \neq 0$, azaz $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ a megoldás.
Ha $a = \frac(1)(2)$, az egyenlet a következő lesz: $0.x = 2 – b$
Ekkor ha $b = 2$, bármelyik x megoldás, ha $b \neq 2$, akkor az egyenletnek nincs megoldása.

9. feladat Adott a $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ egyenlet, ahol k egy egész szám. Keresse meg az egyenlet k értékeit:
A) gyökér $-\frac(4)(3)$
B) nincs megoldása;
C) természetes számként gyöke van.

Megoldás:

Írja át az egyenletet a következőképpen: $6kx - 36 + 24 = 5kx \Bal jobbra nyíl kx = 12$

A) Ha $x = -\frac(4)(3)$, akkor k-ra a $-\frac(4)(3k) = 12 \Bal jobbra nyíl k = - 9$ egyenletet kapjuk

B) A $kx = 12$ egyenletnek nincs megoldása, ha $k = 0$

C) Ha $k \neq 0$ a gyök $x = \frac(12)(k)$ és ez természetes szám, ha k egy 12-vel osztható pozitív egész szám, azaz. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12 $

10. feladat Oldja meg az egyenletet:
A) $2ax + 1 = x + a$, ahol a egy paraméter;
B) $2ax + 1 = x + b$, ahol a és b paraméterek.

Megoldás:

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
Ha $2a - 1 \neq 0$, azaz $a \neq \frac(1)(2)$, az egyenlet egyetlen megoldása
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Ha $2a - 1 = 0$, azaz. $a = \frac(1)(2)$, az egyenlet így alakul
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, amelynek nincs megoldása

B) $2ax + 1 = x + b \Baljobbra nyíl$
$2ax – x = b - 1 \Baljobbra nyíl$
$(2a - 1)x = b - 1$
Ha $2a - 1 \neq 0$, azaz $a \neq \frac(1)(2)$, a megoldás az
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Ha $a = \frac(1)(2)$, az egyenlet megegyezik a következővel: $0.x = b - 1$
Ha b = 1 bármely x megoldás, ha $b \neq 1$, akkor nincs megoldás.

11. feladat Adott a $3(ax - 4) + 4 = 2ax$ egyenlet, ahol a paraméter egy egész szám. Keresse meg, hogy az egyenlet mely értékeinek gyökerei vannak:
A) $\left(-\frac(2)(3)\right)$
B) egy egész szám
C) természetes szám

Megoldás:

A) Ha $x = -\frac(2)(3)$ az egyenlet megoldása, akkor igaznak kell lennie
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \balra nyíl$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Baljobbra \frac(4a-6a)(3) = 8 \Baljobbra$
$-\frac(2a)(3) = 8 \bal jobbra nyíl a = -12$

B) 3 USD (ax - 4) + 4 = 2 ax \jobbra nyíl 3 ax - 2 ax = 12 - 4 \bal jobbra nyíl fejsze = 8 dollár
Ha $a \neq 0$ a megoldás $x = \frac(8)(a)$, akkor egész szám, ha a osztható $8$-tal.
Ezért; $±2; ±4; ±8 $
Ha $a=0$, akkor az egyenletnek nincs megoldása

C) Ahhoz, hogy ehhez a megoldáshoz természetes (pozitív egész) számot kapjunk, $x=\frac(8)(a)$ a következőnek kell lennie: $a=1, 2, 4, 8$

12. feladat Adott a $2 – x = 2b – 2ax$ egyenlet, ahol $a$ és $b$ paraméterek. Keresse meg, hogy az egyenlet mely értékeire rendelkezik megoldásokkal természetes szám formájában, ha $b = 7$

Megoldás:

Behelyettesítjük a $b = 7$ értékkel az egyenletbe, és megkapjuk a $2 – x = 2,7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Baljobbra nyíl (2a - 1)x = 12$
Ha $2a -1 \neq 0$, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, az egyenlet a következő lesz
$x = \frac(12)(2a-1)$ és természetes szám lesz, ha a $2a - 1$ nevező pozitív osztható $12$, és amellett, hogy egész szám, szükséges, hogy $2a - 1$ páratlan szám volt.
Tehát 2a – 1$ lehet 1$ vagy 3$
$2a - 1 = 1 \Baljobbra nyíl 2a = 2 \Baljobb nyíl a = 1$ és $2a - 1 = 3$
$\Baljobbra nyíl 2a = 4 \Baljobbra nyíl a = 2$

13. feladat Adott egy $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$ függvény, ahol a egy paraméter. Keresse meg a függvény grafikonjának milyen értékeit:
A) keresztezi az x tengelyt;
B) keresztezi az x tengelyt

Megoldás:

Ahhoz, hogy a függvénygráf keresztezze az x tengelyt, szükséges, hogy
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ volt megoldása, de nem volt megoldása arra, hogy ne keresztezze az x tengelyt.
Az egyenletből a következőt kapjuk: $(3a - 1)x = 2a - 1$
Ha $3a - 1 \neq 0$, azaz $a \neq \frac(1)(3)$, az egyenletnek vannak megoldásai
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, tehát a függvény grafikonja keresztezi az x tengelyt.
Ha $a = \frac(1)(3)$, akkor $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, ami nem vannak megoldásai.
Ezért ha $a = \frac(1)(3)$, akkor a függvénygráf nem keresztezi az x tengelyt.

14. feladat Oldja meg a paraméteres egyenletet:
A) $|x -2| = a$
B) $|ax -1| = 3 dollár
C) $|ax - 1| = a - 2 dollár

Megoldás:

A) Ha $a 0$ kapjuk:
$|x - 2| = a \Bal jobbra nyíl x - 2 = a$ vagy $x - 2 = -a$
$x-tól 2 = a \Jobbra x = a + 2$, és innen
$x - 2 = -a \Jobbra x = 2 - a$
Ha $a = 0$, akkor $x - 2 = 0$ vagy $x = 2$

B) $|ax - 1| = 3 \balra jobbra nyíl fejsze - 1 = 3$ vagy $ax - 1 = -3$
ahonnan $ax = 4$ vagy $ax = -2$
Ha $a \neq 0$, akkor a megoldások: $x = \frac(4)(a)$ vagy $x = -\frac(2)(a)$
Ha $a = 0$, akkor itt nincs megoldás

C) Ha $a - 2 Ha $a - 2 > 0$, azaz. $a > 2$ kapunk
$|ax - 1| = a - 2 \Bal jobbra nyíl ax - 1 = a - 2$ vagy $ax - 1 = 2 - a$
Így azt kapjuk, hogy $ax = a - 1$ vagy $ax = 3 – a$
Mivel $a > 2, a \neq 0$ tehát
$x = \frac(a-1)(a)$ vagy $x = \frac(3-a)(a)$.
Ha $a = 2$, akkor az egyenletek ekvivalensek
$2x - 1 = 0 \balra nyíl 2x = 1 \bal jobbra nyíl x = \frac(1)(2)$

15. feladat Keresse meg, hogy az m (a) paraméter mely értékeire ekvivalens a két egyenlet:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ és $(-x – 1) ^2 – 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1-m$ és $\frac(x-m)(3) = 1-2 m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ és $ax + 2a = 1 + x$, ha $x > 3$

Megoldás:

A) Oldjuk meg a második egyenletet! Írjuk a következő formában:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \balra nyíl$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \balra nyíl$
$x^2+ 2x + 1 - 1 = x^2 \balra nyíl$
$2x = 0 \Baljobbra nyíl x = 0$
Az elsőnek, amit kapunk
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \balra nyíl x + m = 2 – 2m \jobbra balra x = 2 – 3 m$
Ez a két egyenlet ekvivalens, ha azonos gyökök, pl.
$2 - 3m = 0 \balra nyíl$ $m = \frac(2)(3)$

B) Az első egyenletre a megoldás $x = 2 - 3m$, a másodikra ​​pedig azt kapjuk
$x – m = 3 – 6 m \balra nyíl$ x = 3 – 5 m$
Ugyanolyan gyökereik vannak, amikor
$2 - 3 m = 3 - 5 m \Baljobbra nyíl 5m - 3m = 3 - 2 \Bal jobbra nyíl 2m = 1 \Bal jobbra nyíl m = \frac(1)(2)$

C) Mivel $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 - x) = x - 3 USD
Az első egyenlet így fog kinézni: $x - 3 + x^2 - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​- 4x - 0 \jobbra nyíl x(x - 4) = 0 \jobbra nyíl$
$x = 0 $ vagy $x = 4 $
Azzal a feltétellel, hogy $x > 3$, tehát csak $x = 4$ a megoldás. A második egyenletre azt kapjuk
$ax – x = 1 – 2a \Bal jobbra nyíl (a – 1)x = 1 – 2a$
Ha $a - 1 = 0$ nincs megoldás (Miért?), ha $a - 1 \neq 0$, azaz. $a \neq 1$, van megoldás
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Ez a két egyenlet egyenlő, ha $4 = \frac(1-2a)(a-1) \balra nyíl$4(a - 1) = 1 - 2a \ Balra nyíl 4a + 2a = 1 + 4 \Bal jobbra nyíl 6a = 5 \Bal jobbra nyíl a = \frac(5)(6)$