Legyen l- néhány térvonal. Mint a planimetriában, bármilyen vektor

de =/= 0, kollineáris egyenes l, nak, nek hívják útmutató vektor ezt az egyenest.

Az egyenes térbeli helyzetét egy irányvektor és az egyeneshez tartozó pont megadásával teljes mértékben meghatározzuk.

Hagyja a sort lútmutató vektorral de áthalad az M 0 ponton, és M a tér tetszőleges pontja. Nyilvánvalóan az M pont (197. ábra) az egyeneshez tartozik l akkor és csak akkor, ha a $\overrightarrow(M_0 M)$ vektor kollineáris a vektorral de , azaz

$\overrightarrow(M_0 M)$ = t a , t$\ban ben$ R. (1)

Ha az M és M 0 pontokat sugárvektoraikkal adjuk meg r És r 0 (198. ábra) a tér valamely O pontjához képest, akkor $\overrightarrow(M_0 M)$ = r - r 0 , és az (1) egyenlet alakját veszi fel

r = r 0 + t a , t$\ban ben$ R. (2)

Az (1) és (2) egyenletet nevezzük egyenes vektor-paraméteres egyenletei. Változó t vektorparaméteres egyenletekben egyenest nevezünk paraméter.

Legyen az M 0 pont egy egyenes lés az a irányvektort a koordinátáik adják meg:

M 0 ( x 0 ; nál nél 0 , z 0), de = (de 1 ; de 2 ; de 3).

Aztán ha ( X; y; z) - az egyenes tetszőleges M pontjának koordinátái l, azután

$\overrightarrow(M_0 M) $ = ( x - x 0 ; u u 0 ; z Z 0)

és az (1) vektoregyenlet ekvivalens a következő három egyenlettel:

x - x 0 = ta 1 , u u 0 = ta 2 , z Z 0 = ta 3

$$ \begin(esetek) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(esetek) (3)$$

A (3) egyenleteket nevezzük az egyenes paraméteres egyenletei űrben.

1. feladat.Írja fel egy ponton átmenő egyenes paraméteres egyenleteit!

M 0 (-3; 2; 4) és irányvektorral rendelkezik de = (2; -5; 3).

Ebben az esetben x 0 = -3, nál nél 0 = 2, z 0 = 4; de 1 = 2; de 2 = -5; de 3 = 3. Ezeket az értékeket a (3) képletekre behelyettesítve megkapjuk ennek az egyenesnek a paraméteres egyenleteit

$$ \begin(esetek) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end(esetek) $$

A paraméter kizárása t a (3) egyenletekből. Ezt meg lehet tenni, mert de =/= 0, és ezért a vektor egyik koordinátája de nyilvánvalóan különbözik a nullától.

Először is legyen minden koordináta nullától eltérő. Azután

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

és innentől

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Ezeket az egyenleteket ún az egyenes kanonikus egyenletei .

Figyeljük meg, hogy a (4) egyenletek két egyenletrendszert alkotnak három változóval x, yÉs z.

Ha a (3) egyenletekben a vektor egyik koordinátája de , például de 1 egyenlő nullával, tehát a paraméter nélkül t, ismét egy két egyenletrendszert kapunk három változóval x, yÉs z:

$x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)$

Ezeket az egyenleteket az egyenes kanonikus egyenleteinek is nevezik. Az egységesség kedvéért ezeket is feltételesen a (4) formában írják.

$\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)$

figyelembe véve, hogy ha a nevező egyenlő nullával, akkor a megfelelő számláló egyenlő nullával. Ezek az egyenletek az M 0 ponton áthaladó egyenes egyenletei x 0 ; nál nél 0 , z 0) párhuzamosan Koordináta sík yOz, mivel ez a sík párhuzamos az irányvektorával (0; de 2 ; de 3).

Végül, ha a (3) egyenletben a vektor két koordinátája de , például de 1 és de 2 egyenlő nullával, akkor ezek az egyenletek a következő alakot veszik fel

x = x 0 , y = nál nél 0 , z = z 0 + t a 3 , t$\ban ben$ R.

Ezek az M 0 ponton átmenő egyenes egyenletei ( x 0 ; nál nél 0 ; z 0) párhuzamos a tengellyel Oz. Egy ilyen közvetlen x = x 0 , y = nál nél 0, a z- bármilyen szám. És ebben az esetben az egységesség kedvéért egy egyenes egyenletei (ugyanazon fenntartással) a (4) alakban írhatók fel.

$\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)$

Így minden egyenes helyre írható kanonikus egyenletek(4), és fordítva, bármely (4) alakú egyenlet, feltéve, hogy legalább az egyik együttható de 1 , de 2 , de 3 nem egyenlő nullával, valamilyen térvonalat határoz meg.

2. feladat.Írja fel a vektorral párhuzamos M 0 (- 1; 1, 7) ponton átmenő egyenes kanonikus egyenleteit de = (1; 2; 3).

A (4) egyenleteket ebben az esetben a következőképpen írjuk fel:

$\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)$

Vezessük le egy két megadott ponton átmenő egyenes egyenleteit M 1 ( x 1 ; nál nél 1 ; z 1) és

M2( x 2 ; nál nél 2 ; z 2). Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenesnek az irányvektorát vehetjük vektornak a = (x 2 - x 1 ; nál nél 2 - nál nél 1 ; z 2 - z 1), de azon az M 0 ponton túl, amelyen az egyenes áthalad, például az M 1 ponton. Ekkor a (4) egyenleteket a következőképpen írjuk fel:

$\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)$ (5)

Ezek egy két M 1 ponton átmenő egyenes egyenletei ( x 1 ; nál nél 1 ; z 1) és

M2( x 2 ; nál nél 2 ;z 2).

3. feladat.Írja fel az M 1 (-4; 1; -3) és M 2 (-5; 0; 3) pontokon átmenő egyenes egyenleteit!

Ebben az esetben x 1 = -4, nál nél 1 = 1, z 1 = -3, x 2 = -5, nál nél 2 = 0, z 2 = 3. Ezeket az értékeket behelyettesítve az (5) képletbe, megkapjuk

$\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)$

4. feladat.Írja fel az M 1 (3; -2; 1) pontokon átmenő egyenes egyenleteit és

M 2 (5; -2; 1/2).

Miután az M 1 és M 2 pontok koordinátáit behelyettesítettük az (5) egyenletbe, megkapjuk

$\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))$

7. sz. előadás

Sík és vonal a térben

prof. Dymkov M.P.

1. Paraméteres egyenlet egyenes

Legyen adott egy M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) pont egy egyenesen és egy s = (l ,m ,n ) vektor

ez a vonal (vagy vele párhuzamos). Az s vektort is nevezik útmutató vektor egyenes.

Ezek a feltételek egyedi módon határoznak meg egy egyenes vonalat a térben. Keressük meg őt

az egyenlet. Vegyünk egy tetszőleges M (x, y, z) pontot az egyenesen. Nyilvánvaló, hogy a vektorok

M 0 M (x − x 0, y − y 0, z − z 0) és s kollineárisak.

Ezért M 0 M = t s − egy egyenes vektoregyenlete.

A koordinátajelölésben az utolsó egyenlet a következő paraméteres ábrázolással rendelkezik

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm ,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

ahol t - "átszalad"

intervallum (−∞ ,∞ ) ,

(mert az M (x, y, z) pontnak kell

"végigmenni"

az egész sort).

2. Egy egyenes kanonikus egyenlete

A t paramétert az előző egyenletekből kihagyva, megvan

x − x

y − y

z − z

T-

egy egyenes kanonikus egyenlete.

3. Szög a vonalak között. Két sor " " és " " feltételei

Legyen két sor adott

x − xi

y − yi

z−zi

i = 1,2.

Meghatározás.

Szög az L 1 és L 2 egyenesek között

nevezzük bármilyen szögből

két, az adott ponttal párhuzamos és egy ponton átmenő egyenes által alkotott két szög (amelyhez szükséges lehet párhuzamos átvitel az egyik sor).

A definícióból az következik, hogy az egyik szög egyenlő a ϕ közötti szöggel

vonalak irányvektorai

= (l 1 , m 1 , n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [és a második szög

akkor egyenlő lesz (π − φ ) ]. Ezután az összefüggésből határozzuk meg a szöget

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Az egyenes vonalak párhuzamosak ha s és s

kollineáris

Az egyenesek merőlegesek az s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0-ra.

4. Egy egyenes és egy sík közötti szög. Feltételek « » és « » közvetlen és

repülőgép

Adjuk meg az L egyenest az x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 kanonikus egyenlete,

a P síkot pedig az egyenlet szerint

Ax + By + Cz + D = 0.

Meghatározás. Szög az L vonal között

a p sík pedig az L egyenes és a síkra való vetülete közötti hegyesszög.

A definícióból (és az ábrából) következik, hogy a szükséges ϕ szög járulékos (max derékszög) az n (A , B ,C ) és normálvektor közötti szögbe

s irányvektor (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Sin φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(. hegyesszöget kapunk).

Ha L Р, akkor s n (s, n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −			feltétel " ".
Ha L P, akkor s kollineáris n-hez
		C-	feltétel " ".


5. Egyenes és sík metszéspontjai
L : x = x0 + l , t ,			y = y0 + m t, z = z0 + n t;
P : Ax + By + Cz + D = 0 .
Az x, y, z kifejezéseket behelyettesítjük a sík egyenletébe és transzformáljuk,
	t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D .
		Al + Bm + Cn

Ha a talált "t"-t behelyettesítjük az egyenes paraméteres egyenleteibe, akkor megtaláljuk a kívánt metszéspontot

Előadás 8-9

Alapok matematikai elemzés

prof. Dymkov M.P.

A matematikai elemzés egyik fő művelete a határértékre való áthaladás művelete, amely a tanfolyam során különböző formákban fordul elő. Kezdjük a határműveletre való átlépés legegyszerűbb formájával, a limit fogalma alapján, az ún. számsorozat. Ez megkönnyíti a határművelethez való átmenet egy másik nagyon fontos formájának, a függvény határának bevezetését. A továbbiakban a határérték átjárók konstrukcióit használjuk fel a differenciál- és integrálszámítás felépítésében.



 Végtelenül kicsi és végtelenül nagy sorozatok

 Kapcsolat a végtelenül nagy és a végtelenül kicsi sorozatok között.

 Az infinitezimális sorozatok legegyszerűbb tulajdonságai

 Sorozatkorlát.

 Konvergens sorozatok tulajdonságai

 Aritmetikai műveletek konvergens sorozatokon

 Monoton sorozatok

 Cauchy konvergenciakritérium

 Az e szám és gazdasági szemléltetése.

 Határértékek alkalmazása a gazdasági számításokban

§ 1. Numerikus sorozatok és egyszerű tulajdonságok

1. A numerikus sorozat fogalma. Aritmetikai műveletek sorozatokon

A számsorozatok végtelen számhalmazok. Példasorozatok ismertek az iskolából:

1) egy végtelen számtani és geometriai sorozat összes tagjának sorozata;

2) szabályos kerületek sorozata adott körbe írt n-szögek;

	3) számsor							közelítve a számot

számsorozatnak nevezzük (vagy csak egy sorozat).

A különálló x 3 , x 5 , x n számokat az (1) sorozat elemeinek vagy tagjainak nevezzük. Az x n szimbólumot a sorozat közös vagy n-edik tagjának nevezzük. Az n = 1, 2, … értéket megadva az x n közös tagban rendre megkapjuk az első x 1 , a második x 2 és így tovább. tagjai.

Egy sorozat adottnak tekinthető (lásd: Def.), ha az elemeinek bármelyikének megszerzésére szolgáló módszert megadunk. Egy sorozatot gyakran a sorozat közös tagjának képlete ad meg.

A jelölés rövidítése érdekében az (1) sorozatot néha így írják le

(x n) . Például,			az 1. sorozatot jelenti,
(x n) . Például,			az 1. sorozatot jelenti,

( 1+ (− 1)n ) van			0, 2, 0, 2, … .

A köztag szerkezete (képlete) összetett is lehet. Például,


		n N.
x n =	n-páratlan	n N.

Néha a sorrendet az ún visszatérő képletek, azaz képletek, amelyek lehetővé teszik a sorozat következő tagjainak megtalálását az ismert korábbiak közül.

Példa (Fibonacci-számok). Legyen x 1 = x 2 = 1, és az x n = x n − 1 + x n − 2 ismétlődő képlet adott n = 3, 4, … esetén. Ezután megkapjuk az 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (Fibonacci becenéven a pisai Leonardo számai). Geometriailag egy numerikus sorozat ábrázolható egy numerikusan

tengely olyan pontsorozat formájában, amelynek koordinátái megegyeznek a megfelelő koordinátákkal

a sorozat megfelelő tagjai. Például ( x n ) = 1 n .

№ 8-9 előadás A matematikai elemzés alapjai prof. Dymkov M.P. 66

Tekintsünk az ( x n ) sorozattal együtt egy másik sorozatot ( y n ): y 1 , y 2 , y , n (2 ).

Meghatározás. A sorozat összege (különbsége, szorzata, hányadosa).

Az ( xn ) és ( yn ) értékeket sorozatnak ( zn ) nevezzük, amelynek tagjai

szerint alakult

z n = x n + y n

X-y

≠ 0

Egy sorozat (xn) és egy c R szám szorzata egy sorozat (c xn).

Meghatározás. Az ( xn ) sorozatot korlátosnak nevezzük

felülről (alulról), ha van olyan M (m) valós szám, hogy ennek az xn sorozatnak minden eleme kielégíti az egyenlőtlen

xn ≤ M (xn ≥ m) . Egy sorozatot korlátosnak nevezünk, ha m ≤ xn ≤ M felett és alatt is korlátos. Az xn sorozatot nevezzük

korlátlan, ha for pozitív szám A (többet) legalább van az xn sorozat egyik eleme teljesül

amely megadja az xn > A egyenlőtlenséget.

(x n) = (1n) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − alulról 1-gyel határolt, de határtalan.

( x n ) = ( − n ) − felülről korlátos (–1), de korlátlan is.

Meghatározás. Az ( x n ) sorozatot hívjuk elenyésző,

ha bármely ε pozitív valós számra (bármilyen kicsire is vesszük) létezik egy N szám, amely általában véve ε-tól függ, (N = N (ε )) úgy, hogy minden n ≥ N esetén az x n egyenlőtlenség< ε .

Példa. (x n) = 1 n.

Meghatározás. Az ( xn ) sorozatot hívjuk végtelen fájdalom -

shoy, ha egy pozitív A valós számhoz (bármekkora is) van olyan N szám (N = N(A)), hogy minden n ≥ N

az xn > A egyenlőtlenséget kapjuk.

Az egyenes menjen át az M1 (x1, y1, z1) ponton, és legyen párhuzamos az (m ,n, l) vektorral. Írjunk fel egyenletet erre az egyenesre.

Vegyünk egy tetszőleges M (x, y, z) pontot ezen az egyenesen, és keressük meg az összefüggést x, y, z között. Építsünk vektort

A vektorok kollineárisak.

- térbeli egyenes kanonikus egyenlete.

44 Egyenes paraméteres egyenletei

Mivel ezt az egyenletet az egyenes bármely pontjának koordinátái teljesítik, akkor a kapott egyenlet az egyenes paraméteres egyenlete.

Ez a vektoregyenlet koordináta alakban ábrázolható:

Ezt a rendszert átalakítva és a t paraméter értékeit egyenlővé téve egy térbeli egyenes kanonikus egyenleteit kapjuk:

Meghatározás. Az egyenes iránykoszinuszai a vektor iránykoszinuszai, amelyek a következő képletekkel számíthatók ki:

Innen kapjuk: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Az m, n, p számokat az egyenes meredekségének nevezzük. Mivel egy nem nulla vektor, akkor m, n és p nem lehet egyenlő nullával egyszerre, de ezek közül egy vagy kettő lehet nulla. Ebben az esetben az egyenes egyenletében a megfelelő számlálókat nullával kell egyenlővé tenni.

45 Két különböző adott ponton átmenő térbeli egyenes egyenlete.

Analitikus geometria

Két adott ponton átmenő egyenes egyenlete.

Legyen M1(x1y1) és M2(x2y2) adott a síkon. Állítsuk össze az ezen a két ponton átmenő egyenes kanonikus egyenletét, S irányvektorként az M1M2-t vesszük

trojka.

Ez egy két adott ponton (x1 y1) és (x2, y2) átmenő egyenes egyenlete.

Térjünk most át az egyenes és a térbeli sík egyenleteire.

Analitikus geometria 3 dimenziós térben

A kétdimenziós esethez hasonlóan minden elsőfokú egyenlet három x, y, z változóra nézve egy sík egyenlete az Оxyz.síkok térben. Az M(x0,y0,z0) ponton átmenő, N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) normál N(A,B,C) sík kanonikus egyenlete =0 – melyik ez az egyenlet?

Az x-x0, y-y0 és z-z0 értékek az aktuális pont és a fix pont koordinátái közötti különbségek. Ezért az a vektor (x-x 0, y-y0, z-z0) a leírt síkban fekvő vektor, az N vektor pedig a síkra merőleges vektor, ami azt jelenti, hogy merőlegesek egymásra.

Aztán őket skaláris szorzat nullával kell egyenlőnek lennie.

Az (N,a)=0 koordináta alakban így néz ki:

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

A térben megkülönböztetik a vektorok jobb és bal hármasát. Az a, b, c nem egysíkú vektorok hármasát akkor nevezzük jobbnak, ha közös origójukból az a, b, c vektorok végeinek meghatározott sorrendben való bejárása az óramutató járásával megegyező irányban halad. Másképp a,b,c eset- bal.

46 A vonalak közötti szög a térben

A térben lévő egyenesek közötti szög az adatokkal párhuzamos tetszőleges ponton áthúzott két egyenes által alkotott szomszédos szögek bármelyike.

Adjunk meg két egyenest a térben:

Nyilvánvalóan az egyenesek közötti φ szög felfogható az irányvektoraik és az irányvektoraik közötti szögnek. Mivel, akkor a vektorok közötti szög koszinuszának képlete szerint azt kapjuk

Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének feltételei ekvivalensek irányvektoraik párhuzamosságának és merőlegességének feltételeivel és:

Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha a hozzájuk tartozó együtthatók arányosak, azaz. l1 akkor és csak akkor párhuzamos l2-vel, ha párhuzamos .

Két egyenes akkor és csak akkor merőleges, ha a megfelelő együtthatók szorzatainak összege nulla: .

Határozzuk meg az l1 egyenessel párhuzamos М1(1;2;3) ponton átmenő egyenes egyenleteit:

Mivel a kívánt l egyenes párhuzamos l1-gyel, ezért a kívánt l egyenes irányvektoraként az l1 egyenes irányvektorát vehetjük fel.

Egy egyenes paraméteres egyenletei alapvetően ennek az egyenesnek a kanonikus egyenletéből származnak, amelynek alakja . Vegyük paraméternek azt az értéket, amellyel a kanonikus egyenlet bal és jobb része szorozható.

Mivel az egyik nevező szükségszerűen különbözik a nullától, és a megfelelő számláló bármilyen értéket felvehet, a paraméterváltozás területe a teljes tengely valós számok: .

Megkapjuk vagy végre

Az (1) egyenletek az egyenes kívánt paraméteres egyenletei. Ezek az egyenletek mechanikus értelmezést tesznek lehetővé. Ha feltételezzük, hogy a paraméter egy kezdeti pillanattól mért idő, akkor a parametrikus egyenletek határozzák meg a mozgás törvényét anyagi pont egyenes vonalban állandó sebességgel (az ilyen mozgás tehetetlenségi nyomatékkal történik).

1. példaÁllítsa össze egy síkon egy ponton átmenő, irányvektorral rendelkező egyenes paraméteres egyenleteit!

Megoldás. Behelyettesítjük a pont és az irányvektor adatait az (1)-ben, és megkapjuk:

Problémák esetén gyakran szükséges egy egyenes paraméteres egyenleteit más típusú egyenletekre transzformálni, más típusú egyenletekből pedig egy egyenes paraméteres egyenleteit kapni. Nézzünk néhány ilyen példát. Egy egyenes paraméteres egyenleteinek átalakításához egy egyenes általános egyenlete először a kanonikus formára kell hozni őket, majd a kanonikus egyenletből kapjuk általános egyenlet egyenes

2. példaÍrd fel az egyenes egyenletét!

általában.

Megoldás. Először az egyenes paraméteres egyenleteit hozzuk a kanonikus egyenletbe:

További átalakítások az egyenletet általános formába hozzák:

Valamivel nehezebb egy általános egyenletet egy egyenes paraméteres egyenletévé konvertálni, de ehhez a művelethez egy világos algoritmus is felállítható. Először is átalakíthatjuk az általános egyenletet lejtőegyenletés keressük meg belőle az egyeneshez tartozó valamely pont koordinátáit, az egyik koordinátának tetszőleges értéket adva. Ha ismerjük a pont koordinátáit és az irányvektort (az általános egyenletből), akkor az egyenes paraméteres egyenletei felírhatók.

3. példaÍrja fel az egyenes egyenletét paraméteres egyenletek formájában!

Megoldás. Az egyenes általános egyenletét egy meredekségű egyenletbe hozzuk:

Megkeressük az egyeneshez tartozó valamely pont koordinátáit. Adjunk tetszőleges értéket a pont egyik koordinátájának!

A meredekségű egyenes egyenletéből a pont másik koordinátáját kapjuk:

Így ismerjük a pontot és az irányvektort. Adataikat behelyettesítjük (1)-be, és megkapjuk az egyenes kívánt paraméteres egyenleteit:

4. példa Határozza meg a paraméteres egyenletekkel megadott egyenes meredekségét!

Megoldás. Az egyenes paraméteres egyenleteit először kanonikusra, majd általánosra, végül lejtőegyenletre kell konvertálni.

Így egy adott egyenes lejtése:

5. példa Készítsen paraméteres egyenleteket egy ponton átmenő egyenesről és egy merőlegesről

Feltétlenül olvassa el ezt a bekezdést! A paraméteres egyenletek természetesen nem a térgeometria alfája és omegája, hanem számos probléma munkahangya. Ráadásul az ilyen típusú egyenleteket gyakran váratlanul, és mondhatnám elegánsan alkalmazzák.

Ha ismert az egyeneshez tartozó pont és ennek az egyenesnek az irányvektora, akkor ennek az egyenesnek a parametrikus egyenleteit a rendszer adja meg:

A leckéken a parametrikus egyenletek fogalmáról beszéltem Egyenlet egy síkonÉs Paraméteresen meghatározott függvény deriváltja.

Minden egyszerűbb, mint egy párolt fehérrépa, így meg kell fűszerezni a feladatot:

7. példa

Megoldás: Az egyeneseket kanonikus egyenletekkel adjuk meg, és az első lépésben meg kell találni az egyeneshez tartozó pontot és annak irányvektorát.

a) Vegye ki a pontot és az irányvektort az egyenletek közül: . Választhat másik pontot is (a fentiekben leírtuk, hogy ezt hogyan kell megtenni), de jobb, ha a legnyilvánvalóbbat választja. Egyébként a hibák elkerülése érdekében mindig helyettesítse a koordinátáit az egyenletekben.

Állítsuk össze ennek az egyenesnek a paraméteres egyenleteit:

A parametrikus egyenletek kényelme abban rejlik, hogy segítségükkel nagyon könnyű megtalálni az egyenes további pontjait. Például keressünk egy pontot, amelynek koordinátái mondjuk megfelelnek a paraméter értékének:

Ilyen módon:

b) Tekintsük a kanonikus egyenleteket. A pont kiválasztása itt egyszerű, de alattomos: (vigyázz, ne keverd össze a koordinátákat!!!). Hogyan lehet kihúzni egy vezetővektort? Lehet vitatkozni, hogy mivel párhuzamos ez az egyenes, vagy használhatunk egy egyszerű formai trükköt: az arány „y” és „z”, ezért írjuk fel az irányvektort, és a maradék helyre tegyünk nullát: .

Összeállítjuk az egyenes paraméteres egyenleteit:

c) Írjuk át az egyenleteket alakba, azaz "Z" bármi lehet. És ha van, akkor legyen például . Így a pont ehhez az egyeneshez tartozik. Az irányvektor megtalálásához a következő formális technikát használjuk: a kezdeti egyenletekben "x" és "y" szerepel, az irányvektorba pedig ezekre a helyekre írunk. nullák: . A fennmaradó helyre tesszük Mértékegység: . Egy helyett bármely szám megfelel, kivéve a nullát.

Felírjuk az egyenes paraméteres egyenleteit:

Edzéshez:

8. példa

Írjon paraméteres egyenleteket a következő sorokhoz:

Megoldások és válaszok az óra végén. Az Ön válaszai kissé eltérhetnek az én válaszaimtól, az tény a parametrikus egyenletek többféleképpen is felírhatók. Fontos, hogy a te és az én irányvektorok egybeesjenek, és hogy a pontod "illesszen" az egyenleteimhez (jó, vagy fordítva, az én pontom a te egyenleteiddel).

Hogyan másként határozhat meg egy egyenest a térben? Szeretnék kitalálni valamit a normál vektorral. A szám azonban nem fog működni, egy térvonal esetében a normálvektorok teljesen más irányokba nézhetnek.

Egy másik módszerről már szó esett a leckében Sík egyenletés a cikk elején.

1. Paraméteres egyenlet egyenes

2. Egy egyenes kanonikus egyenlete

5. Egyenes és sík metszéspontjai



44 Egyenes paraméteres egyenletei

45 Két különböző adott ponton átmenő térbeli egyenes egyenlete.

46 A vonalak közötti szög a térben