Két változó függvényének parciális deriváltjai.
Koncepció és példák megoldásokra

Ebben a leckében folytatjuk az ismerkedést két változó függvényével, és megvizsgáljuk a talán leggyakoribb tematikus feladatot - a keresést. első és másodrendű parciális deriváltjai, valamint a függvény teljes differenciálja. A részmunkaidős hallgatók általában a 2. félév 1. évfolyamán részleges származékokkal szembesülnek. Sőt, megfigyeléseim szerint a vizsgán szinte mindig megtalálható a parciális deriváltak keresésének feladata.

A következő anyag hatékony tanulmányozása érdekében Ön szükséges többé-kevésbé magabiztosan meg tudja találni egy változó függvényének "szokásos" származékait. A leckéken megtanulhatod, hogyan kell helyesen kezelni a származékokat Hogyan lehet megtalálni a származékot?És Komplex függvény származéka. Szükségünk van az elemi függvények és a differenciálási szabályok derivált táblázatára is, a legkényelmesebb, ha nyomtatott formában kéznél van. Referenciaanyagot találsz az oldalon Matematikai képletek és táblázatok.

Ismételjük meg gyorsan a két változós függvény fogalmát, megpróbálom a minimumra szorítkozni. Egy két változóból álló függvényt általában úgy írnak le, hogy a változókat hívják független változók vagy érvek.

Példa: - két változó függvénye.

Néha a jelölést használják. Vannak olyan feladatok is, ahol a betű helyett a betűt használják.

Geometriai szempontból két változó függvénye leggyakrabban egy háromdimenziós tér felülete (sík, henger, golyó, paraboloid, hiperboloid stb.). De valójában ez már inkább analitikus geometria, és napirenden van a matematikai elemzés, amit az egyetemi tanárom soha nem engedett leírni az én „lovam”.

Rátérünk az első és másodrendű parciális származékok megtalálásának kérdésére. Van egy jó hírem azoknak, akik már ittak néhány csésze kávét, és elképzelhetetlenül nehéz anyagra vágynak: parciális deriváltjai szinte megegyeznek egy változó függvényének "közönséges" deriváltjaival.

A parciális deriváltakra az összes differenciálási szabály és az elemi függvények deriváltjainak táblázata érvényes. Csak néhány apró különbség van, amelyeket most megismerünk:

... igen, egyébként ehhez a témához én hoztam létre kis pdf könyv, amivel pár óra alatt "megtöltheti a kezét". De a webhely használatával természetesen az eredményt is megkapja - csak talán egy kicsit lassabban:

1. példa

Keresse meg egy függvény első és másodrendű parciális deriváltját

Először megkeressük az elsőrendű parciális deriváltokat. Ketten vannak.

Jelölés:
vagy - részleges derivált az "x" vonatkozásában
vagy - részleges derivált az "y" vonatkozásában

Kezdjük azzal. Ha megtaláljuk a parciális deriváltot "x"-hez képest, akkor a változót állandónak (konstans számnak) tekintjük..

Megjegyzések a megtett intézkedésekről:

(1) Az első dolog, amit a parciális derivált megtalálásakor tegyünk, az a következtetés minden függvényt zárójelben a gondolatjel alatt alsó indexszel.

Figyelem fontos! Az alsó indexek NEM VESZTÉSEK a megoldás során. Ebben az esetben, ha valahol anélkül húzunk egy „vonást”, akkor a tanár legalább a feladat mellé teheti (a figyelmetlenségért azonnal leharapja a pontszám egy részét).

(2) Alkalmazza a differenciálás szabályait! , . Egy ilyen egyszerű példánál mindkét szabály alkalmazható ugyanabban a lépésben. Figyeljünk az első kifejezésre: mivel konstansnak tekintjük, és bármely állandó kivehető a derivált előjeléből, majd kivesszük a zárójelből. Vagyis ebben a helyzetben semmivel sem jobb, mint egy rendes szám. Most nézzük a harmadik kifejezést: itt éppen ellenkezőleg, nincs mit kivenni. Mivel ez egy állandó, egyben állandó is, és ebben az értelemben semmivel sem jobb, mint az utolsó tag - a „hét”.

(3) Táblázatos származékokat használunk és.

(4) Leegyszerűsítjük, vagy, ahogy mondani szoktam, „egyesítjük” a választ.

Most . Amikor megtaláljuk a parciális deriváltot "y"-hez képest, akkor a változóállandónak tekinthető (állandó szám).

(1) Ugyanazokat a megkülönböztetési szabályokat használjuk , . Az első tagból kivesszük a derivált előjelén túli konstanst, a második tagból semmit nem lehet kivenni, mert az már állandó.

(2) Az elemi függvények deriváltjainak táblázatát használjuk. Módosítsa gondolatban a táblázatban az összes "X"-et "Y"-re. Vagyis ez a táblázat egyformán érvényes (és szinte minden betűre). Az általunk használt képletek különösen így néznek ki: és .

Mit jelentenek a parciális származékok?

Magukban az elsőrendű parciális származékok hasonlítanak "közönséges" származék:

- ezt funkciókat, amelyek jellemzik átváltási érték a tengelyek irányában működik, ill. Tehát például a függvény jellemzi az "emelkedések" és a "lejtők" meredekségét felületek az abszcissza tengely irányába, és a függvény ugyanannak a felületnek az ordináta tengely irányába eső "domborművéről" szól.

! jegyzet : itt azokra az utasításokra utal, amelyek párhuzamosak koordinátatengelyek.

A jobb megértés érdekében vegyük figyelembe a sík egy adott pontját, és számítsuk ki benne a függvény értékét („magasság”):
- és most képzeld el, hogy itt vagy (MINDEN felszínen).

Kiszámoljuk a parciális deriváltot "x"-hez képest egy adott pontban:

Az "X" derivált negatív előjele kb ereszkedő az x tengely irányú pontjában működik. Vagyis ha kis-kicsit készítünk (elenyésző) lépés a tengely csúcsa felé (ezzel a tengellyel párhuzamosan), majd menj le a felszín lejtőjén.

Most megtudjuk a "terep" természetét az y tengely irányában:

Az "y"-hez viszonyított derivált pozitív, ezért a tengely egy pontjában a függvény növeli. Ha nagyon egyszerű, akkor itt egy emelkedőre várunk.

Ezenkívül egy pontban a parciális derivált jellemzi átváltási érték a megfelelő irányban működik. Minél nagyobb a kapott érték modulo- minél meredekebb a felület, és fordítva, minél közelebb van a nullához, annál laposabb a felület. Példánkban tehát az abszcissza tengely irányába eső "lejtő" meredekebb, mint az ordináta tengely irányú "hegy".

De ez két magánút volt. Teljesen világos, hogy attól a ponttól kezdve, ahol vagyunk, (és általában az adott felület bármely pontjáról) más irányba haladhatunk. Így van érdeklődés egy általános "navigációs térkép" összeállítása iránt, amely a felszín "tájáról" árulna el bennünket. ha lehetséges minden ponton ennek a funkciónak a hatóköre minden elérhető módon. Erről és más érdekességekről a következő leckék egyikén fogok beszélni, de most térjünk vissza a kérdés technikai oldalához.

Rendszerezzük az alkalmazott elemi szabályokat:

1) Ha -val különböztetjük meg, akkor a változót állandónak tekintjük.

2) Amikor a differenciálást aszerint végezzük, akkor állandónak tekinthető.

3) Az elemi függvények szabályai és deriváltjai minden olyan változóra (vagy bármely másra) érvényesek és alkalmazhatók, amelyekre vonatkozóan differenciálás történik.

Második lépés. Másodrendű parciális származékokat találunk. Négy van belőlük.

Jelölés:
vagy - a második derivált az "x" vonatkozásában
vagy - a második származék az "y" vonatkozásában
vagy - vegyes derivált "x y-val"
vagy - vegyes derivált "Y X-szel"

A második származékkal nincs probléma. Egyszerűen, a második származék az első származék származéka.

A kényelem kedvéért átírom a már talált elsőrendű részleges származékokat:

Először megtaláljuk a vegyes származékokat:

Mint látható, minden egyszerű: vesszük a parciális deriváltot, és újra megkülönböztetjük, de ebben az esetben már „y”-val.

Hasonlóképpen:

A gyakorlati példákban a következő egyenlőségre összpontosíthat:

Így a másodrendű vegyes származékokon keresztül nagyon kényelmesen ellenőrizhető, hogy helyesen találtuk-e meg az elsőrendű parciális származékokat.

Megtaláljuk a második deriváltot "x"-re vonatkozóan.
Nincsenek találmányok, vállaljuk és különböztesse meg ismét "X"-el:

Hasonlóképpen:

Meg kell jegyezni, hogy amikor megtalálja, meg kell mutatnia fokozott figyelem, hiszen nincsenek csodás egyenlőségek, amelyek próbára tennék őket.

A második származékok a gyakorlatban is széles körben alkalmazhatók, különösen a megtalálás problémájában használatosak két változó függvényének szélsősége. De mindennek megvan a maga ideje:

2. példa

Számítsa ki a függvény elsőrendű parciális deriváltjait a pontban! Keresse meg a másodrendű származékokat.

Ez egy példa az önálló megoldásra (válaszok a lecke végén). Ha nehézségei vannak a gyökerek megkülönböztetésében, térjen vissza a leckéhez Hogyan lehet megtalálni a származékot?Általánosságban elmondható, hogy hamarosan megtanulja, hogyan találhat hasonló származékokat menet közben.

Bonyolultabb példákkal tömjük meg a kezünket:

3. példa

Ellenőrizze azt. Írja fel az első sorrend teljes differenciáját!

Megoldás: Találunk elsőrendű parciális deriváltokat:

Ügyeljünk az alsó indexre: az "x" mellé nem tilos zárójelbe írni, hogy konstans. Ez a jelölés nagyon hasznos lehet kezdőknek, hogy könnyebben eligazodjanak a megoldásban.

További megjegyzések:

(1) Kivesszük a derivált előjelén kívüli összes állandót. Ebben az esetben és , és ennélfogva szorzatukat állandó számnak tekintjük.

(2) Ne felejtse el, hogyan kell megfelelően megkülönböztetni a gyökereket.

(1) A derivált előjeléből kivesszük az összes állandót, ebben az esetben a konstans .

(2) A prím alatt két függvény szorzata van, ezért a szorzatdifferenciálási szabályt kell használnunk. .

(3) Ne felejtsük el, hogy ez egy összetett függvény (bár a legegyszerűbb az összetettek közül). A megfelelő szabályt használjuk: .

Most másodrendű vegyes származékokat találunk:

Ez azt jelenti, hogy minden számítás helyes.

Írjuk fel a teljes különbséget. A vizsgált feladattal összefüggésben nincs értelme megmondani, hogy mekkora egy két változó függvényének teljes differenciája. Fontos, hogy ezt a különbséget nagyon gyakran le kell írni gyakorlati problémákba.

Teljes elsőrendű differenciál két változó függvénye a következő formában van:

Ebben az esetben:

Vagyis a képletben csak ostobán csak be kell cserélni a már megtalált elsőrendű parciális származékokat. Differenciál ikonok és ebben és hasonló helyzetekben, ha lehetséges, jobb számlálókkal írni:

És az olvasók ismételt kérésére teljes másodrendű differenciál.

Ez így néz ki:

Óvatosan keresse meg a 2. rendű "egybetűs" származékokat:

és írja le a „szörnyet”, óvatosan „rácsavarja” a négyzeteket, a szorzatot, és ne felejtse el megduplázni a kevert származékot:

Nem baj, ha valami nehéznek tűnt, később bármikor visszatérhet a származékokhoz, miután átvette a differenciálási technikát:

4. példa

Keresse meg egy függvény elsőrendű parciális deriváltjait . Ellenőrizze azt. Írja fel az első sorrend teljes differenciáját!

Vegyünk egy sor példát összetett függvényekkel:

5. példa

Keresse meg a függvény elsőrendű parciális deriváltjait.

Megoldás:

6. példa

Keresse meg egy függvény elsőrendű parciális deriváltjait .
Írja fel a teljes különbséget.

Ez egy példa az önálló megoldásra (válasz a lecke végén). Nem teszem közzé a teljes megoldást, mert nagyon egyszerű.

Elég gyakran a fenti szabályok mindegyikét kombinálva alkalmazzák.

7. példa

Keresse meg egy függvény elsőrendű parciális deriváltjait .

(1) Az összeg differenciálásának szabályát alkalmazzuk

(2) Az első tagot ebben az esetben konstansnak tekintjük, mivel a kifejezésben nincs semmi, ami "x"-től függne - csak "y". Tudod, mindig jó, ha egy törtből nullára lehet változtatni). A második tagra a termékdifferenciálási szabályt alkalmazzuk. Egyébként ebben az értelemben semmi sem változna, ha helyette egy függvényt adnának meg - ez itt fontos két függvény szorzata, amelyek mindegyike attól függ "X", ezért alkalmaznia kell a termék megkülönböztetésének szabályát. A harmadik tagra egy komplex függvény differenciálási szabályát alkalmazzuk.

(1) Az első tagban mind a számláló, mind a nevező „y”-t tartalmaz, ezért a hányados megkülönböztetésére a szabályt kell használni: . A második tag CSAK az "x"-től függ, ami azt jelenti, hogy állandónak tekintendő és nullává változik. A harmadik taghoz egy komplex függvény differenciálási szabályát használjuk.

Azoknak az olvasóknak, akik bátran eljutottak majdnem a lecke végére, elmondok egy régi Mekhmatov-anekdotát a detente kedvéért:

Egyszer egy gonosz származék jelent meg a függvények terében, és hogyan különböztetett meg mindenkit. Minden funkció szétszóródik minden irányba, senki sem akar megfordulni! És csak egy funkció nem szökik meg sehova. A derivált hozzááll, és megkérdezi:

– Miért nem menekülsz előlem?

- Hah. De nem érdekel, mert én "x erejéig e" vagyok, és nem tehetsz velem semmit!

Mire a gonosz származék alattomos mosollyal válaszol:

- Itt tévedsz, "y"-vel foglak megkülönböztetni, szóval neked legyen nulla.

Aki értette a viccet, az elsajátította a származékokat, legalábbis a "trojka" számára).

8. példa

Keresse meg egy függvény elsőrendű parciális deriváltjait .

Ez egy „csináld magad” példa. A teljes megoldás és a probléma mintaterve a lecke végén található.

Nos, ez majdnem minden. Végezetül, nem tehetek mást, mint a matematikusok kedvéért még egy példával. Még csak nem is amatőrökről van szó, mindenkinek más a matematikai felkészültsége – van, aki (és nem is olyan ritka) szeret versenyezni a nehezebb feladatokkal. Bár az utolsó példa ebben a leckében nem annyira bonyolult, mint inkább nehézkes a számítások szempontjából.

Két változó függvényének fogalma

Érték z hívott két független változó függvénye xÉs y, ha ezeknek a mennyiségeknek minden megengedhető értékpárja egy bizonyos törvény szerint a mennyiség egy jól meghatározott értékének felel meg z. Független változók xÉs y hívott érvek funkciókat.

Az ilyen funkcionális függőséget analitikusan jelöljük

Z = f (x, y),(1)

Az x és y argumentumok értékei, amelyek megfelelnek a függvény tényleges értékeinek z, figyelembe vett elfogadható, és meghívásra kerül az összes megengedett x és y értékpár halmaza definíciós tartomány két változó függvényei.

Több változó függvénye esetén, ellentétben egy változó függvényével, annak fogalmai részleges növekmény minden egyes érvhez és koncepcióhoz teljes növekmény.

A z=f (x,y) függvény Δ x z részleges növekménye argumentum alapján x az a növekmény, amelyet ez a függvény kap, ha az x argumentumát növeljük Δx ugyanazzal y:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

A z= f (x, y) függvény Δ y z részleges növekménye az y argumentumhoz képest az a növekmény, amelyet ez a függvény kap, ha az y argumentuma Δy növekményt kap x változatlansággal:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Teljes növekmény Δz funkciókat z= f (x, y)érvekkel xÉs y növekménynek nevezzük, amelyet egy függvény kap, ha mindkét argumentuma növekszik:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Kellően kis lépésekben ΔxÉs Δy függvény argumentumait

van egy hozzávetőleges egyenlőség:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

és minél pontosabb, annál kevésbé ΔxÉs Δy.

Két változó függvényének parciális deriváltjai

A z=f (x, y) függvény parciális deriváltja az x argumentumhoz képest az (x, y) pontban részleges növekményi arány határának nevezzük ∆xz ezt a funkciót a megfelelő növekményre Δxérv x, amikor törekszik Δx 0-ra, és feltéve, hogy ez a határ létezik:

, (6)

A függvény deriváltját hasonlóképpen definiáljuk z=f (x, y)érveléssel y:

A függvények részleges származékait a jelzett jelölésen kívül még jelöljük, z΄x, f΄x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

A parciális derivált fő jelentése a következő: egy több változóból álló függvény parciális deriváltja bármely argumentumához képest jellemzi ennek a függvénynek a változási sebességét, amikor ez az argumentum megváltozik.

Ha egy több változóból álló függvény parciális deriváltját számítjuk ki bármely argumentumhoz képest, a függvény összes többi argumentuma állandónak tekintendő.

Példa1. Keresse meg a függvények részleges származékait

f (x, y) = x 2 + y 3

Megoldás. Amikor ennek a függvénynek az x argumentumhoz viszonyított részleges deriváltját találjuk, az y argumentumot állandó értéknek tekintjük:

;

Amikor az y argumentumhoz tartozó parciális deriváltot keresünk, az x argumentumot állandó értéknek tekintjük:

.

Több változós függvény parciális és teljes differenciálja

Több változóból álló függvény parciális differenciálja, amelyre vonatkozóan-akár érveiből ennek a függvénynek az adott argumentumhoz viszonyított parciális deriváltjának és az argumentum differenciáljának szorzata:

dxz= ,(7)

dyz= (8)

Itt d x zÉs d y z-függvény parciális differenciáljai z= f (x, y)érvekkel xÉs y. Ahol

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

teljes differenciálmű Több változó függvényét parciális különbségeinek összegének nevezzük:

dz= d x z + d y z, (10)

2. példa Keresse meg a függvény részleges és teljes differenciálját! f (x, y) = x 2 + y 3 .

Mivel ennek a függvénynek a parciális deriváltjait az 1. példában találjuk, azt kapjuk

dxz= 2xdx; d y z = 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2dy

Egy több változóból álló függvény parciális differenciálja az egyes argumentumokhoz képest a függvény megfelelő részleges növekményének fő része..

Ennek eredményeként a következőket írhatja:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

A teljes differenciál analitikai jelentése az, hogy több változóból álló függvény teljes differenciája a fő része ennek a függvénynek a teljes növekményének..

Így közelítő egyenlőség áll fenn

∆zdz, (12)

A (12) képlet használata a teljes differencia közelítő számításokban való felhasználásán alapul.

Képzelj el egy növekedést Δz mint

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

és a teljes különbség a formában

Akkor kapjuk:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. A tanulók célja az órán:

A tanulónak tudnia kell:

1. Két változó függvényének meghatározása.

2. Két változó függvényének részleges és teljes növekményének fogalma.

3. Több változós függvény parciális deriváltjának meghatározása.

4. Egy több változóból álló függvény parciális deriváltjának fizikai jelentése bármely argumentumához képest.

5. Több változós függvény parciális differenciájának meghatározása.

6. Több változóból álló függvény teljes differenciájának meghatározása.

7. A teljes differenciál elemző jelentése.

A tanulónak képesnek kell lennie:

1. Keresse meg két változó függvényének privát és teljes növekményét.

2. Számítsa ki több változós függvény parciális deriváltjait!

3. Határozzuk meg egy több változós függvény részleges és teljes differenciálját!

4. Alkalmazza több változó függvényének teljes differenciáját közelítő számításokban.

Elméleti rész:

1. Több változós függvény fogalma.

2. Két változó függvénye. Két változó függvényének részleges és teljes növekménye.

3. Több változós függvény parciális deriváltja.

4. Több változós függvény parciális differenciáljai.

5. Több változóból álló függvény teljes differenciája.

6. Több változóból álló függvény teljes differenciájának alkalmazása közelítő számításokban.

Gyakorlati rész:

1. Keresse meg a függvények parciális deriváltjait:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z = 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) .

4. Határozza meg egy függvény parciális deriváltját egy adott argumentumhoz képest.

5. Mit nevezünk két változó függvényének parciális és teljes differenciáljának? hogyan kapcsolódnak egymáshoz?

6. Kérdések listája a tudás végső szintjének ellenőrzéséhez:

1. Egy több változóból álló tetszőleges függvény általános esetben a teljes növekménye egyenlő az összes részleges növekmény összegével?

2. Mi a fő jelentése egy több változóból álló függvény parciális deriváltjának bármely argumentumához képest?

3. Mi a teljes differenciál analitikai jelentése?

7. Az óra ütemezése:

1. Szervezési pillanat - 5 perc.

2. A téma elemzése - 20 perc.

3. Példák és feladatok megoldása - 40 perc.

4. A tudás aktuális ellenőrzése -30 perc.

5. A lecke összegzése - 5 perc.

8. Az óra oktatóirodalmának jegyzéke:

1. Morozov Yu.V. A felsőbb matematika és statisztika alapjai. M., "Gyógyászat", 2004, 4.1–4.5.

2. Pavlushkov I.V. et al.: A felsőfokú matematika és a matematikai statisztika alapjai. M., "GEOTAR-Media", 2006, 3.3.

Minden parciális derivált (over xés által y) két változó függvényének az egyik változó függvényének szokásos deriváltja a másik változó fix értékével:

(ahol y= állandó),

(ahol x= const).

Ezért a részleges származékok kiszámítása a következőből történik képletek és szabályok egy változó függvényei deriváltjainak számításához, miközben a másik változót állandónak (konstansnak) tekintjük.

Ha nincs szüksége a példák elemzésére és az ehhez szükséges minimális elméletre, hanem csak megoldásra van szüksége a problémára, akkor folytassa a online részleges származékkalkulátor .

Ha nehéz arra koncentrálni, hogy a függvényben hol van a konstans, akkor a példa vázlatos megoldásában tetszőleges számot behelyettesíthet a változó helyett egy fix értékű változóval - így gyorsan kiszámolhatja a parciális deriváltot a közönségesnek. egy változó függvényének deriváltja. Csak nem szabad elfelejteni a konstanst (fix értékű változót) a helyére visszaállítani a befejezéskor.

A parciális deriváltak fent leírt tulajdonsága a vizsgakérdésekben megtalálható parciális derivált definíciójából következik. Ezért az alábbi definíció megismeréséhez nyissa meg az elméleti hivatkozást.

Egy függvény folytonosságának fogalma z= f(x, y) egy pontban ehhez a fogalomhoz hasonlóan van definiálva egy változó függvényére.

Funkció z = f(x, y) folytonosnak nevezzük egy pontban, ha

A különbséget (2) a függvény teljes növekményének nevezzük z(ezt mindkét argumentum növelésével kapjuk meg).

Hagyja a függvényt z= f(x, y) és pont

Ha a funkció megváltozik z akkor fordul elő, ha csak az egyik argumentum változik, pl. x, a másik argumentum rögzített értékével y, akkor a függvény növekszik

a függvény részleges növekményének nevezzük f(x, y) tovább x.

Figyelembe véve a funkcióváltást z attól függően, hogy csak az egyik argumentum változott, valójában egy változó függvényére lépünk át.

Ha van véges határ

akkor a függvény parciális deriváltjának nevezzük f(x, y) érveléssel xés valamelyik szimbólum jelöli

(4)

A részleges növekményt hasonlóan határozzuk meg z tovább y:

és részleges származéka f(x, y) tovább y:

(6)

1. példa

Megoldás. Megtaláljuk a parciális deriváltot az "x" változóra vonatkozóan:

(y rögzített);

Megtaláljuk a parciális deriváltot az "y" változóra vonatkozóan:

(x rögzített).

Amint látható, nem mindegy, hogy a változó milyen mértékben van rögzítve: ebben az esetben csak egy szám, amely egy tényező (mint a szokásos derivált esetében) azzal a változóval, amellyel a részlegeset megtaláljuk. derivált. Ha a rögzített változót nem szorozzuk meg azzal a változóval, amelyre vonatkozóan a parciális deriváltot találjuk, akkor ez a magányos állandó, függetlenül attól, hogy milyen mértékben, mint egy közönséges derivált esetében, eltűnik.

2. példa Adott egy függvény

Keressen részleges származékokat

(x) és (y) alapján, és számítsa ki értékeiket a pontban DE (1; 2).

Megoldás. Egy fixen y az első tag deriváltja a hatványfüggvény deriváltjaként található ( egy változó derivált függvényeinek táblázata):

.

Egy fixen x az első tag deriváltja az exponenciális függvény deriváltja, a második pedig az állandó deriváltja:

Most kiszámítjuk ezeknek a parciális deriváltaknak az értékeit a ponton DE (1; 2):

A részleges deriváltokkal ellenőrizheti a problémák megoldását online részleges származékkalkulátor .

3. példa Keresse meg a függvények részleges származékait

Megoldás. Egy lépésben megtaláljuk

(y x, mintha a szinusz argumentuma 5 lenne x: ugyanígy a függvény jele előtt 5 jelenik meg);

(x fix, és ebben az esetben tényező a y).

A részleges deriváltokkal ellenőrizheti a problémák megoldását online részleges származékkalkulátor .

A három vagy több változóból álló függvény parciális deriváltjait hasonlóan definiáljuk.

Ha minden értékkészlet ( x; y; ...; t) független változókat a halmazból D egy meghatározott értéknek felel meg u sokaktól E, azután u változók függvényének nevezzük x, y, ..., tés jelöljük u= f(x, y, ..., t).

Három vagy több változóból álló függvények esetén nincs geometriai értelmezés.

Több változóból álló függvény parciális deriváltjait is definiáljuk és kiszámítjuk azzal a feltételezéssel, hogy a független változók közül csak az egyik változik, míg a többi fix.

4. példa Keresse meg a függvények részleges származékait

.

Megoldás. yÉs z rögzített:

xÉs z rögzített:

xÉs y rögzített:

Keressen saját részleges származékokat, majd tekintse meg a megoldásokat

5. példa

6. példa Keresse meg egy függvény parciális deriváltjait.

Egy több változóból álló függvény parciális deriváltja ugyanaz mechanikai jelentés, mint egy változó függvényének származéka, az a sebesség, amellyel a függvény változik az egyik argumentum változásához képest.

8. példaáramlási mennyiség P a vasutasok függvényében fejezhető ki

ahol P- az utasok számát, N- a megfelelő pontok lakóinak száma, R– pontok közötti távolság.

Egy függvény parciális deriváltja P tovább R egyenlő

azt mutatja, hogy az utasforgalom csökkenése fordítottan arányos a pontok megfelelő pontjai közötti távolság négyzetével azonos számú lakos esetén.

Részleges derivált P tovább N egyenlő

ábra mutatja, hogy az utasforgalom növekedése arányos az azonos távolságú települések lakosságának kétszeresével.

A részleges deriváltokkal ellenőrizheti a problémák megoldását online részleges származékkalkulátor .

Teljes differenciálmű

A parciális derivált és a megfelelő független változó növekményének szorzatát parciális differenciálnak nevezzük. A részleges eltéréseket a következőképpen jelöljük:

Az összes független változó részleges különbségeinek összege adja a teljes differenciát. Két független változó függvényében a teljes különbséget az egyenlőség fejezi ki

(7)

9. példa Keresse meg egy függvény teljes differenciáját

Megoldás. A (7) képlet használatának eredménye:

Azt a függvényt, amelynek valamely tartomány minden pontjában teljes differenciál van, abban a tartományban differenciálhatónak nevezzük.

Keresse meg egyedül a teljes különbséget, majd nézze meg a megoldást

Csakúgy, mint egy változó függvényének esetében, egy függvény differenciálhatósága egy adott régióban magában foglalja a folytonosságát ebben a tartományban, de nem fordítva.

Bizonyítás nélkül fogalmazzunk meg egy elégséges feltételt egy függvény differenciálhatóságára.

Tétel. Ha a funkció z= f(x, y) folyamatos parciális deriváltjai vannak

adott régióban, akkor ebben a régióban differenciálható, és differenciáját a (7) képlet fejezi ki.

Kimutatható, hogy ahogy egy változó függvénye esetén a függvény differenciálja a függvény növekményének fő lineáris része, úgy több változós függvény esetén is a teljes differenciál a fő, a független változók növekményeihez képest lineáris, a függvény teljes növekményének része.

Két változóból álló függvény esetén a függvény teljes növekményének alakja van

(8)

ahol α és β infinitezimálisak és esetén.

Magasabb rendű részleges származékok

Parciális deriváltak és függvények f(x, y) maguk is ugyanazon változók néhány függvénye, és viszont származékai lehetnek különböző változókhoz, amelyeket magasabb rendű parciális deriváltoknak nevezünk.

Függvény linearizálás. Érintősík és felület normál.

A magasabb rendű származékok és differenciálok.

1. Az FNP részleges származékai *)

Vegye figyelembe a funkciót És = f(P), RÎDÌR n vagy ami ugyanaz,

És = f(x 1 , x 2 , ..., x n).

Rögzítjük a változók értékeit x 2 , ..., x n, és a változó x 1 növeljük a D-t x egy . Aztán a függvény És egyenlőség által meghatározott növekményt kap

= f (x 1+D x 1 , x 2 , ..., x n) – f(x 1 , x 2 , ..., x n).

Ezt a növekedést ún magán növekmény funkciókat És változó szerint x 1 .

Meghatározás 7.1. Egy függvény parciális deriváltja És = f(x 1 , x 2 , ..., x n) változó szerint x 1 a függvény részleges növekménye és a D argumentum növekménye arányának határa x 1 a D-ben x 1 ® 0 (ha ez a határ létezik).

A részleges derivált a vonatkozásban x 1 karakter

Tehát definíció szerint

A fennmaradó változókra vonatkozó parciális deriváltokat hasonlóképpen határozzuk meg. x 2 , ..., x n. A definícióból látható, hogy egy függvény parciális deriváltja a változóhoz képest x i egy változó függvényének közönséges deriváltja x i amikor a többi változót állandónak tekintjük. Ezért az összes korábban vizsgált szabály és differenciálási képlet felhasználható több változó függvényének deriváltjának megkeresésére.

Például a funkcióhoz u = x 3 + 3xy – z 2 van nálunk

Így, ha több változó függvénye explicit módon meg van adva, akkor a létezés és parciális deriváltjainak megtalálásának kérdései leredukálódnak az egy változó függvényére vonatkozó megfelelő kérdésekre, amelyek alapján a deriváltot meg kell határozni.

Vegyünk egy implicit módon definiált függvényt. Legyen az F( x, y) = 0 egy változó implicit függvényét definiálja x. becsületes

7.1. Tétel.

Legyen F( x 0 , y 0) = 0 és az F( x, y), F¢ x(x, y), F¢ nál nél(x, y) folytonosak a pont valamelyik szomszédságában ( x 0 , nál nél 0), és F¢ nál nél(x 0 , y 0) ¹ 0. Ezután a függvény nál nél, implicit módon az F( x, y) = 0, van a pontban ( x 0 , y 0) derivált, amely egyenlő

.

Ha a tétel feltételei teljesülnek a DÌ R 2 tartomány bármely pontjában, akkor ennek a tartománynak minden pontjában .

Például a funkcióhoz x 3 –2nál nél 4 + Azta+ 1 = 0 talál

Legyen most az F( x, y, z) = 0 két változó implicit függvényét definiálja. Keressük és . Mivel a származék számítása tekintetében x fix (állandó) nál nél, akkor ilyen feltételek mellett az F( x, y= állandó, z) = 0 határozza meg z egy változó függvényében xés a 7.1 Tétel szerint azt kapjuk

.

Hasonlóképpen .

Így az egyenlet által implicit módon adott két változó függvényére , a parciális származékokat a következő képletekkel találjuk meg: ,

Egy függvény parciális deriváltjai abban az esetben, ha nem egy ponton, hanem egy bizonyos halmazon léteznek, ezen a halmazon meghatározott függvények. Ezek a függvények folytonosak lehetnek, és bizonyos esetekben a tartomány különböző pontjain részleges származékaik is lehetnek.

E függvények parciális deriváltjait másodrendű parciális deriváltoknak vagy másodrendű parciális deriváltoknak nevezzük.

A másodrendű parciális származékok két csoportra oszthatók:

második parciális deriváltjai a változóhoz képest;

· vegyes parciális deriváltjai az és változók tekintetében.

Utólagos differenciálással harmadrendű parciális deriváltak határozhatók meg stb. A magasabb rendű parciális deriváltokat analóg érveléssel határozzuk meg és írjuk le.

Tétel. Ha a számításba bevont összes parciális derivált, független változóik függvényének tekintve, folytonos, akkor a parciális differenciálás eredménye nem függ a differenciálás sorrendjétől.

Gyakran szükség van egy inverz probléma megoldására, ami abból áll, hogy meg kell határozni, hogy egy függvény teljes differenciája annak az alaknak a kifejezése, ahol a folytonos függvények elsőrendű folytonos deriváltokkal.

A teljes differenciál szükséges feltétele tételként fogalmazható meg, amit bizonyítás nélkül elfogadunk.

Tétel. Ahhoz, hogy egy differenciális kifejezés egy tartományban egy ebben a tartományban definiált és differenciálható függvény teljes differenciája legyen, szükség van arra, hogy bármely u független változópár feltétele azonosan teljesüljön ebben a tartományban.

Egy függvény teljes másodrendű differenciájának kiszámításának problémája a következőképpen oldható meg. Ha a teljes differenciál kifejezése is differenciálható, akkor a második teljes differenciálnak (vagy másodrendű összdifferenciálnak) tekinthetjük azt a kifejezést, amelyet a differenciálási műveletnek az első teljes differenciálra történő alkalmazása eredményeként kapunk, azaz. . A második teljes különbség analitikai kifejezése a következő:

Figyelembe véve, hogy a vegyes származékok nem függnek a differenciálási sorrendtől, a képlet csoportosítható és másodfokú alakban ábrázolható:

A másodfokú mátrix a következő:

Legyen az és -ben definiált függvények szuperpozíciója

Bizonyos benne. Ahol. Ekkor, ha és vannak folytonos parciális deriváltjai a másodrendű és pontokban, akkor van az összetett függvény második teljes differenciája a következő formában:

Mint látható, a második teljes differenciál nem rendelkezik alakváltozatlansági tulajdonsággal. Egy összetett függvény második differenciáljának kifejezése olyan alakú kifejezéseket tartalmaz, amelyek hiányoznak egy egyszerű függvény második differenciáljának képletéből.

Egy magasabb rendű függvény parciális deriváltjainak felépítése folytatható ennek a függvénynek az egymást követő differenciálásával:

Ahol az indexek értéket vesznek fel, pl. a sorrendi származékot a sorrendi derivált elsőrendű parciális deriváltjának tekintjük. Hasonlóképpen bevezethetjük egy függvény rendjének teljes differenciáljának fogalmát, mint a rendbeli differenciál elsőrendű teljes differenciáját: .

Két változóból álló egyszerű függvény esetén egy függvény rendjének teljes differenciáját kiszámító képlet:

A differenciálási operátor használata lehetővé teszi, hogy a Newton-féle binomiális képlethez hasonlóan kompakt és könnyen megjegyezhető jelölést kapjunk egy függvény rendjének teljes differenciájának kiszámításához. Kétdimenziós esetben a formája van