Komplex szám logaritmusa. Komplex logaritmusok

Terv:

1 Valódi logaritmus
- 1.1 Tulajdonságok
- 1.2 logaritmikus függvény
- 1.3 természetes logaritmusok
- 1.4 Tizedes logaritmus
2 Komplex logaritmus
- 2.1 Definíció és tulajdonságok
- 2.2 Példák
- 2.3 Analitikai folytatás
- 2.4 Riemann felület
3 Történelmi vázlat
- 3.1 Valódi logaritmus
- 3.2 Komplex logaritmus
4 Logaritmikus táblázatok
5 Alkalmazások

Bevezetés

Rizs. 1. Logaritmikus függvények grafikonjai

Egy szám logaritmusa bésszel a (görögből. λόγος - "szó", "hozzáállás" és ἀριθμός - a „szám”) a bázis emelésének mértékének mutatója a hogy megkapja a számot b. Megnevezés: . A definícióból következik, hogy a és a bejegyzések egyenértékűek.

Például azért, mert.

1. Valós logaritmus

Valós szám logaritmusa a b akkor van értelme. Mint tudod, az exponenciális függvény y = a x monoton, és minden érték csak egyszer vesz fel, és értéktartománya az összes pozitív valós számot tartalmazza. Ebből következik, hogy a valós logaritmus értéke pozitív szám mindig létezik és egyedileg meghatározott.

A legszélesebb körben használt logaritmusok a következő típusok.

1.1. Tulajdonságok

Bizonyíték

Bizonyítsuk be.

(mert a bc feltétel szerint > 0). ■

Bizonyíték

Bizonyítsuk be

(mert feltétel szerint ■

Bizonyíték

Használjuk az azonosságot ennek bizonyítására. Az azonosság mindkét oldalát a c bázisra logaritáljuk. Kapunk:

Bizonyíték

Bizonyítsuk be.

(mivel b p> 0 feltétel szerint). ■

Bizonyíték

Bizonyítsuk be

Bizonyíték

Vegyük a bal és a jobb oldal logaritmusát az alaphoz c :

Bal oldal: Jobb oldal:

A kifejezések egyenlősége nyilvánvaló. Mivel a logaritmusok egyenlőek, akkor a monotonitás miatt logaritmikus függvény maguk a kifejezések egyenlők. ■

1.2. logaritmikus függvény

Ha egy logaritmikus számot veszünk változónak, akkor azt kapjuk logaritmikus függvény y= log a x (lásd az 1. ábrát). Itt van meghatározva. Értéktartomány: .

A funkció szigorúan növekszik a számára a> 1 és szigorúan csökken 0-nál< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Egyenes x= 0 a bal oldali függőleges aszimptota, mert at a> 1 és 0< a < 1 .

A logaritmikus függvény deriváltja:

Bizonyíték

I. Bizonyítsuk be

Írjuk fel a személyazonosságot e ln x = x és megkülönbözteti annak bal és jobb oldalát

Ezt kapjuk, honnan következik

II. Bizonyítsuk be

A logaritmikus függvény izomorfizmust valósít meg multiplikatív csoport pozitív valós számokés az összes valós szám additív csoportja.

1.3. természetes logaritmusok

Kapcsolat a decimális logaritmussal: .

Amint fentebb említettük, a természetes logaritmus deriváltjának egyszerű képlete van:

Emiatt a természetes logaritmusokat elsősorban a matematikai kutatásokban használják. Gyakran megjelennek, amikor differenciál egyenletek, a statisztikai függőségek tanulmányozása (például az eloszlás prímszámok) stb.

A természetes logaritmus határozatlan integrálja könnyen megtalálható a részekre történő integrálással:

A Taylor sorozat bővítése a következőképpen ábrázolható:
amikor az egyenlőség

(1)

Különösen,

Ez a sorozat gyorsabban konvergál, ráadásul a képlet bal oldala immár bármilyen pozitív szám logaritmusát is kifejezheti.

1.4. Tizedes logaritmus

Rizs. 2a. Logaritmikus skála

Rizs. 2b. Logaritmikus skála szimbólumokkal

Logaritmus 10-es alapig (szimbólum: lg a) a számológépek feltalálása előtt széles körben használták számításokhoz. A decimális logaritmusok nem egységes skáláját általában a diaszabályokra is alkalmazzák. Hasonló skálát használnak a tudomány számos területén, például:

Fizika - hangintenzitás (decibel).
A csillagászat a csillagok fényességének skálája.
Kémia - hidrogénionok aktivitása (pH).
Szeizmológia - Richter-skála.
Zeneelmélet - a zenei skála, a zenei hangok frekvenciájával kapcsolatban.
A történelem logaritmikus időskála.

A logaritmikus skálát széles körben használják az exponenciális függőségek kitevőjének és a kitevőben az együttható azonosítására is. Ugyanakkor egy vagy két tengely mentén logaritmikus skálán ábrázolt gráf egyenes alakot ölt, ami könnyebben tanulmányozható.

2. Komplex logaritmus

2.1. Definíció és tulajdonságok

Komplex számok esetén a logaritmus ugyanúgy definiálható, mint a valós. A gyakorlatban szinte kizárólag a természetes komplex logaritmus használatos, amit az összes komplex szám halmazaként jelölünk és definiálunk. z oly módon, hogy e z = w . A komplex logaritmus létezik bármely , és valós része egyedileg meghatározott, míg az imagináriusnak végtelen sok értéke van. Emiatt többértékű függvénynek nevezik. Ha elképzelni w exponenciális formában:

akkor a logaritmust a következő képlettel találjuk meg:

Itt az igazi logaritmus, r = | w | , k egy tetszőleges egész szám. A kapott érték, amikor k= 0-t hívunk fő fontosságaösszetett természetes logaritmus; az argumentum értékét szokás a (− π,π] intervallumban venni A megfelelő (már egyértékű) függvény ún. főág logaritmus és jelölése. Néha a logaritmus értékét is jelöli, amely nem a fő ágon található.

A képletből a következő:

A logaritmus valós részét a következő képlet határozza meg:

Egy negatív szám logaritmusát a következő képlet határozza meg:

Mivel az összetett trigonometrikus függvények az exponenshez (Euler-képlet) vannak társítva, a komplex logaritmus, mint az exponenciális függvény inverze, az inverzekhez kapcsolódik. trigonometrikus függvények. Példa egy ilyen kapcsolatra:

2.2. Példák

Íme néhány argumentum logaritmusának fő értéke:

Óvatosnak kell lennie az összetett logaritmusok konvertálásakor, figyelembe véve, hogy ezek többértékűek, ezért bármely kifejezés logaritmusának egyenlősége nem jelenti ezen kifejezések egyenlőségét. Példa a hibás érvelésre:

énπ = ln(− 1) = ln((− én) 2) = 2ln(− én) = 2(− énπ / 2) = − énπ - nyilvánvaló abszurditás.

Vegye figyelembe, hogy a logaritmus fő értéke a bal oldalon, a mögöttes ág értéke pedig a jobb oldalon található ( k= − 1 ). A hiba oka a tulajdonság gondatlan használata, amely általában összetett esetben magában foglalja a logaritmus teljes végtelen értékkészletét, és nem csak a főértéket.

2.3. Analitikai folytatás

Rizs. 3. Komplex logaritmus (képzetes rész)

Logaritmus összetett számúgy is definiálható, mint a valós logaritmus analitikus folytatása a teljes komplex síkra. A Γ görbe 1-től induljon, ne menjen át nullán, és ne metszi a valós tengely negatív részét. Ezután a logaritmus főértéke a végpontban w A Γ görbe a következő képlettel határozható meg:

Ha Γ egy egyszerű görbe (önmetszéspontok nélkül), akkor a rajta fekvő számokra félelem nélkül alkalmazhatók a logaritmikus azonosságok, pl.

Ha hagyjuk, hogy a Γ görbe metszi a valós tengely negatív részét, akkor az első ilyen metszéspont az eredményt a főérték ágból átviszi a szomszédos ágba, és minden további metszéspont hasonló eltolódást okoz a logaritmikus függvény ágai mentén ( lásd az ábrát).

Az analitikus folytatási képletből következik, hogy a logaritmus bármely ágán

Bármilyen körhöz S bezárva a 0 pontot:

Az integrált pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) vesszük. Ez az azonosság alapozza meg a maradékok elméletét.

A komplex logaritmus analitikus folytatása is meghatározható a fenti (1) sorozat segítségével, általánosítva. összetett érvelés. A bővítés típusából azonban az következik, hogy egységben egyenlő nullával, vagyis a sorozat csak a komplex logaritmus többértékű függvényének fő ágára vonatkozik.

2.4. Riemann felület

A komplex logaritmikus függvény egy példa a Riemann-felületre; képzeletbeli része (3. ábra) végtelen számú, spirál alakban csavart ágból áll. Ez a felület egyszerűen össze van kötve; annak egyetlen nulláját (elsőrendű) kapjuk meg z= 1 , speciális pontok: z= 0 és (végtelen rendű elágazási pontok).

A logaritmus Riemann-felülete az univerzális lefedése összetett sík 0 pont nélkül.

3. Történelmi vázlat

3.1. Valódi logaritmus

Az összetett számítások iránti igény a 16. században gyorsan megnőtt, és a nehézségek nagy része a többjegyű számok szorzásával és osztásával, valamint a gyökök kivonásával járt. A század végén több matematikusban szinte egyszerre támadt az ötlet: az időigényes szorzást egyszerű összeadásra cserélni, a geometriai és a számtani sorozatok összehasonlítását speciális táblázatok segítségével, miközben a geometriai lesz az eredeti. Ekkor az osztást automatikusan felváltja egy mérhetetlenül egyszerűbb és megbízhatóbb kivonás, és a fok gyökének kinyerése n redukálódik a gyök kifejezés logaritmusának osztására n. Ő volt az első, aki ezt az ötletet publikálta könyvében Arithmetica integra» Michael Stiefel, aki azonban nem tett komoly erőfeszítéseket ötletének megvalósításáért.

John Napier skót amatőr matematikus 1614-ben publikálta a latin esszé címe " A csodálatos logaritmustábla leírása"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Volt Rövid leírás logaritmusok és tulajdonságaik, valamint szinuszok, koszinuszok és érintők logaritmusainak 8 számjegyű táblázatai, 1" lépéssel. logaritmus Napier javasolta, meghonosodott a tudományban. Napier másik könyvében felvázolta a logaritmus elméletét. Csodálatos logaritmustáblázat felépítése"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), fia posztumusz, 1619-ben adott ki.

A függvény fogalma még nem létezett, és Napier kinematikailag határozta meg a logaritmust, összehasonlítva az egyenletes és logaritmikusan lassított mozgást; például a szinusz logaritmusát a következőképpen definiálta:

Egy adott szinusz logaritmusa olyan szám, amely aritmetikailag mindig ugyanolyan ütemben nőtt, ahogy a teljes szinusz geometriailag csökkenni kezdett.

Modern jelöléssel a Napier-féle kinematikai modell egy differenciálegyenlettel ábrázolható: dx/x = -dy/M, ahol M a méretezési tényező, amelyet bevezetünk, hogy az értéket a kívánt számú számjegyből álló egész szám legyen ( tizedesjegyek még nem használják széles körben). Napier M = 10000000-at vett.

Szigorúan véve Napier rossz függvényt táblázott be, amelyet ma logaritmusnak neveznek. Ha a funkcióját LogNap(x)-ként jelöljük, akkor a következőképpen kapcsolódik a természetes logaritmushoz:

Nyilvánvaló, hogy LogNap (M) = 0, vagyis a "teljes szinusz" logaritmusa nulla - erre törekedett Napier a definíciójával. .

A Napier-logaritmus fő tulajdonsága: ha a mennyiségek alakulnak geometriai progresszió, akkor logaritmusaik számtani sorozatot alkotnak. A nem Pieri-függvény logaritmusának szabályai azonban eltértek a modern logaritmus szabályaitól.

Például, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Sajnos Napier táblázatában minden érték számítási hibát tartalmazott a hatodik számjegy után. Ez azonban nem akadályozta meg, hogy az új számítási módszer széles körben elterjedjen, és sok európai matematikus, köztük Kepler is, vállalta a logaritmikus táblázatok összeállítását. Már 5 évvel később, 1619-ben a londoni matematikatanár, John Spydell ( John Spidell) újraközölte a Napier-táblázatokat, átalakítva, hogy azok valójában természetes logaritmusok táblázataivá váljanak (bár a Spydell megtartotta az egész számokra való skálázást). A "természetes logaritmus" kifejezést Pietro Mengoli olasz matematikus alkotta meg. Pietro Mengoli)) a XVI. század közepén.

Az 1620-as években Edmund Wingate és William Oughtred feltalálta az első csúszószabályt, még a zsebszámológépek megjelenése előtt, amely nélkülözhetetlen eszköz volt a mérnökök számára.

A logaritmus modern felfogásához közel álló - mint a hatalommá emeléssel fordított művelet - először Wallisban és Johann Bernoulliban jelent meg, majd végül Euler legalizálta a 18. században. A Bevezetés a végtelenek elemzésébe (1748) Euler azt adta modern meghatározások mind az exponenciális, mind a logaritmikus függvények hatványsorokká való kiterjesztését eredményezték, különös tekintettel a természetes logaritmus szerepére.

Eulernek megvan az az érdeme is, hogy a logaritmikus függvényt kiterjeszti a komplex tartományra.

3.2. Komplex logaritmus

Az első kísérletek a logaritmus komplex számokra való kiterjesztésére a 17-18. század fordulóján Leibniz és Johann Bernoulli voltak, de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk - elsősorban azért, mert maga a logaritmus fogalma még nem volt világos. meghatározott. Erről a témáról először Leibniz és Bernoulli, majd a 18. század közepén d'Alembert és Euler vitatkoztak. Bernoulli és d'Alembert úgy gondolta, hogy meg kell határozni log(-x) = log(x). Teljes elmélet A negatív és komplex számok logaritmusát Euler adta ki 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől.

Bár a vita folytatódott (D'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette azt az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler álláspontja gyorsan általános elismerést kapott.

4. Logaritmikus táblák

Logaritmikus táblázatok

A logaritmus tulajdonságaiból következik, hogy a többértékű számok időigényes szorzása helyett elegendő (táblázatokból) megkeresni és összeadni a logaritmusukat, majd ugyanezen táblázatok segítségével végrehajtani a potenciálást, azaz megkeresni a az eredmény értéke logaritmusával. Az osztás csak annyiban különbözik, hogy a logaritmusokat kivonják. Laplace szerint a logaritmusok feltalálása "meghosszabbította a csillagászok életét", mivel nagymértékben felgyorsította a számítási folyamatot.

Amikor egy számban a tizedesvesszőt áthelyezi ide n számjegy, ennek a számnak a decimális logaritmusának értéke erre változik n. Például lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Ebből következik, hogy elegendő egy decimális logaritmus táblázatot készíteni az 1 és 10 közötti számokhoz.

Az első logaritmustáblázatokat John Napier (1614) publikálta, és csak a trigonometrikus függvények logaritmusait tartalmazták, méghozzá hibával. Tőle függetlenül, Joost Burgi, Kepler barátja publikálta táblázatait (1620). 1617-ben Henry Briggs oxfordi matematikaprofesszor olyan táblázatokat adott ki, amelyek már maguknak a számoknak a decimális logaritmusát tartalmazták 1-től 1000-ig, 8 (később 14) számjegyből. De a Briggs-táblázatokban is voltak hibák. Az első, a Vega-táblázatokon alapuló tévedhetetlen kiadás (1783) csak 1857-ben jelent meg Berlinben (Bremiver-táblázatok).

Oroszországban az első logaritmustáblázatokat 1703-ban adták ki L. F. Magnitsky részvételével. A Szovjetunióban számos logaritmustáblázat-gyűjtemény jelent meg.

Bradis V. M. Négyjegyű matematikai táblázatok. 44. kiadás, M., 1973.

Bradys (1921) táblázatait használták oktatási intézményekés a nagy pontosságot nem igénylő mérnöki számításokban. Tartalmaztak számok és trigonometrikus függvények decimális logaritmusainak mantisszáját, természetes logaritmusokat és néhány más hasznos számítási eszközt.

Vega G. Hétjegyű logaritmustáblázatok, 4. kiadás, M., 1971.

Professzionális gyűjtemény a pontos számításokhoz.

A trigonometrikus mennyiségek természetes értékeinek ötjegyű táblázatai, logaritmusaik és számok logaritmusai, 6. kiadás, M .: Nauka, 1972.
Természetes logaritmusok táblázatai, 2. kiadás, 2 kötetben, Moszkva: Nauka, 1971.

Jelenleg a számológépek elterjedésével megszűnt a logaritmustáblázatok használatának szükségessége.

M, Feature (komplex elemzés).

(a görög λόγος - "szó", "kapcsolat" és ἀριθμός - "szám") számok bésszel a(log α b) ilyen számnak nevezzük c, És b= a c, azaz log α b=cÉs b=ac egyenértékűek. A logaritmus akkor értelmezhető, ha a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Más szavakkal logaritmus számok bésszel de kitevőként fogalmazódik meg, amelyre egy számot kell emelni a hogy megkapja a számot b(a logaritmus csak pozitív számoknál létezik).

Ebből a megfogalmazásból az következik, hogy a számítás x= log α b, ekvivalens az a x =b egyenlet megoldásával.

Például:

log 2 8 = 3, mert 8=2 3 .

Megjegyezzük, hogy a logaritmus feltüntetett megfogalmazása lehetővé teszi az azonnali meghatározását logaritmus érték amikor a logaritmus előjele alatti szám az alap bizonyos hatványa. Valójában a logaritmus megfogalmazása lehetővé teszi annak igazolását, hogy ha b=a c, majd a szám logaritmusa bésszel a egyenlő tól től. Az is jól látható, hogy a logaritmus témaköre szorosan kapcsolódik a témához szám foka.

A logaritmus számítására hivatkozunk logaritmus. A logaritmus a logaritmus felvételének matematikai művelete. A logaritmus felvételekor a tényezők szorzatai tagok összegévé alakulnak.

Potencírozás a logaritmusra fordított matematikai művelet. Potencírozáskor az adott bázist annak a kifejezésnek a hatványára emeljük, amelyen a potencírozás történik. Ebben az esetben a tagok összegei faktorok szorzatává alakulnak.

Elég gyakran használnak 2-es (bináris), e Euler-számú e ≈ 2,718 (természetes logaritmus) és 10-es (tizedes) valós logaritmusokat.

Ebben a szakaszban érdemes megfontolni logaritmus minták napló 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

És az lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 bejegyzéseknek nincs értelme, mivel az elsőben negatív szám van a logaritmus előjele alatt, a másodikban pedig egy negatív szám az alap, a harmadikban pedig egy negatív szám a logaritmus és az egység jele alatt az alapban.

A logaritmus meghatározásának feltételei.

Külön érdemes figyelembe venni az a > 0, a ≠ 1, b > 0 feltételeket. a logaritmus meghatározása. Nézzük meg, miért fogadjuk el ezeket a korlátozásokat. Ez segít nekünk egy x = log α alakú egyenlőségben b, az úgynevezett alapvető logaritmikus azonosság, ami közvetlenül következik a logaritmus fent megadott definíciójából.

Fogadd el a feltételt a≠1. Mivel egy bármely hatvány eggyel egyenlő, akkor az x=log α egyenlőség b csak akkor létezhet b=1, de log 1 1 bármilyen valós szám lesz. Ennek a kétértelműségnek a kiküszöbölésére vesszük a≠1.

Bizonyítsuk be a feltétel szükségességét a>0. Nál nél a=0 a logaritmus megfogalmazása szerint csak akkor létezhet b=0. És akkor ennek megfelelően log 0 0 bármely nullától eltérő valós szám lehet, mivel nullától bármely nem nullától eltérő hatvány nulla. Ennek a kétértelműségnek a kiküszöbölésére a feltétel a≠0. És mikor a<0 el kell vetnünk a logaritmus racionális és irracionális értékeinek elemzését, mivel a racionális és irracionális kitevővel rendelkező kitevő csak nem negatív bázisokra van definiálva. Ez az oka annak, hogy a feltétel a>0.

És az utolsó feltétel b>0 az egyenlőtlenségből következik a>0, mivel x=log α b, és a fokozat értéke pozitív bázissal a mindig pozitív.

A logaritmus jellemzői.

Logaritmusok jellegzetes jellemzők, ami széleskörű használatukhoz vezetett, hogy nagyban megkönnyítsék a gondos számításokat. A „logaritmusok világába” való átmenetben a szorzás sokkal könnyebb összeadássá, az osztás kivonássá, a hatványra emelés és a gyökérvétel pedig egy kitevővel szorzássá, illetve osztássá alakul.

A logaritmusok megfogalmazását és értékeinek táblázatát (a trigonometrikus függvényekhez) először 1614-ben tette közzé John Napier skót matematikus. A más tudósok által felnagyított és részletezett logaritmikus táblázatokat széles körben használták tudományos és mérnöki számításokban, és mindaddig relevánsak maradtak, amíg az elektronikus számológépeket és számítógépeket el nem kezdték használni.

Adott a logaritmus főbb tulajdonságai, a logaritmus grafikonja, a definíciós tartomány, az értékkészlet, az alapképletek, a növekedés és a csökkenés. Meg kell találni a logaritmus deriváltját. És az integrál, a bővítés is teljesítmény sorozatés komplex számokkal történő ábrázolás.

Tartalom

Tartomány, értékkészlet, növekvő, csökkenő

A logaritmus az monoton funkció, tehát nincsenek szélsőségei. A logaritmus főbb tulajdonságait a táblázat mutatja be.


Tartomány	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Értékek tartománya	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monoton	monoton növekszik	monoton csökken
Nullák, y= 0	x= 1	x= 1
Az y tengellyel való metszéspontok, x = 0	Nem	Nem
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Magánértékek

A 10-es alapú logaritmust nevezzük decimális logaritmusés így van jelölve:

bázis logaritmus e hívott természetes logaritmus:

Alapvető logaritmusképletek

Az inverz függvény definíciójából következő logaritmus tulajdonságai:

A logaritmus fő tulajdonsága és következményei

Alaphelyettesítő képlet

A logaritmus a logaritmus felvételének matematikai művelete. A logaritmus felvételekor a tényezők szorzatait tagok összegére alakítjuk át.
A potenciálás a logaritmusra fordított matematikai művelet. Potencírozáskor az adott bázist annak a kifejezésnek a hatványára emeljük, amelyen a potencírozás történik. Ebben az esetben a tagok összegeit tényezők szorzataivá alakítják át.

A logaritmusok alapképleteinek bizonyítása

A logaritmusokhoz kapcsolódó képletek az exponenciális függvények képleteiből és az inverz függvény definíciójából következnek.

Vegye figyelembe az ingatlant exponenciális függvény
.
Azután
.
Alkalmazza az exponenciális függvény tulajdonságát
:
.

Bizonyítsuk be az alapváltoztatási képletet.
;
.
A c = b beállítással a következőket kapjuk:

Inverz függvény

Az a bázis logaritmusának reciproka az a kitevővel rendelkező exponenciális függvény.

Ha akkor

A logaritmus származéka

A modulo x logaritmus deriváltja:
.
Az n-edik rend származéka:
.
Képletek származtatása > > >

A logaritmus deriváltjának megtalálásához bázisra kell redukálni e.
;
.

Integrál

A logaritmus integrálját a következő részekkel történő integrálással számítjuk ki: .
Így,

Kifejezések komplex számokkal

Tekintsük a komplex számfüggvényt z:
.
Adjunk meg egy komplex számot z modulon keresztül rés érvelés φ :
.
Ezután a logaritmus tulajdonságait felhasználva a következőt kapjuk:
.
Vagy

Az érvelés azonban φ nincs egyértelműen meghatározva. Ha feltesszük
, ahol n egy egész szám,
akkor ugyanaz a szám lesz a különböző n.

Ezért a logaritmus, mint egy komplex változó függvénye, nem egyértékű függvény.

Teljesítménysorozat bővítése

A számára a bővítés megtörténik:

Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.

Lásd még:

Valós változó exponenciális függvénye (for pozitív talaj) meghatározása több lépésben történik. Először is, a természeti értékekre - egyenlő tényezők termékeként. A meghatározást ezután a szabályok negatív egész és nem nulla értékekre is kiterjesztik. Továbbá törtmutatókat veszünk figyelembe, amelyekben az exponenciális függvény értékét a gyökök segítségével határozzuk meg: . Az irracionális értékek esetében a definíció már összefügg a matematikai elemzés alapfogalmával - a kontinuitás okán a határig való átlépéssel. Mindezek a megfontolások semmiképpen nem alkalmazhatók arra a kísérletre, hogy az exponenciális függvényt a mutató komplex értékeire terjesztik ki, és ami például teljesen érthetetlen.

Az integrálszámítás számos konstrukciójának elemzése alapján először Euler vezetett be egy természetes bázisú, összetett kitevővel rendelkező fokozatot. Néha nagyon hasonló algebrai kifejezések integrálva teljesen eltérő válaszokat adnak:

Ugyanakkor itt formálisan megkapjuk a második integrált az elsőből úgy, hogy ezt helyettesíti

Ebből arra következtethetünk, hogy egy összetett kitevővel rendelkező exponenciális függvény megfelelő definíciójával az inverz trigonometrikus függvények a logaritmusokhoz, így az exponenciális függvények a trigonometrikus függvényekhez kapcsolódnak.

Eulernek volt bátorsága és fantáziája, hogy ésszerű definíciót adjon az exponenciális függvényre bázissal, nevezetesen,

Ez egy definíció, ezért ez a képlet nem bizonyított, csak érveket lehet keresni egy ilyen meghatározás ésszerűsége és célszerűsége mellett. Matematikai elemzés sok ilyen érvet ad fel. Csak egyre korlátozzuk magunkat.

Ismeretes, hogy valósra a határreláció teljesül: . A jobb oldalon van egy polinom, amely még az összetett értékekhez is értelmes. A komplex számok sorozatának határa természetes módon van meghatározva. Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha a valós és a képzetes részek sorozatai konvergálnak, és feltételezzük, hogy

Találjuk meg. Ehhez forduljunk a trigonometrikus formához, és az argumentumhoz az intervallumból választunk értékeket. Ezzel a választással egyértelmű, hogy a számára. További,

A határérték eléréséhez ellenőrizni kell a határértékek meglétét, és meg kell találni ezeket a határokat. Egyértelmű, hogy és

Tehát a kifejezésben

a valós rész hajlamos , a képzeletbeli - arra

Ez az egyszerű érv az egyik érv az exponenciális függvény Euler-definíciója mellett.

Most állapítsuk meg, hogy az exponenciális függvény értékeinek szorzásakor a kitevők összeadódnak. Igazán:

2. Euler-képletek.

Betesszük az exponenciális függvény definícióját. Kapunk:

B-t -b-re cserélve azt kapjuk

Ezeket az egyenlőségeket tagonként összeadva és kivonva megtaláljuk a képleteket

az úgynevezett Euler-képleteket. Kapcsolatot teremtenek a trigonometrikus függvények és az exponenciális és a képzeletbeli kitevő között.

3. Komplex szám természetes logaritmusa.

Egy trigonometrikus formában megadott komplex szám alakban írható fel. Ezt a komplex szám írási formáját exponenciálisnak nevezzük. Megőrzi a trigonometrikus forma minden jó tulajdonságát, de még tömörebb. Továbbá, ezért természetes az a feltételezés, hogy így egy komplex szám logaritmusának valós része a modulusának logaritmusa, képzeletbeli rész ez az érve. Ez bizonyos mértékig megmagyarázza az argumentum "logaritmikus" tulajdonságát - a szorzat argumentuma egyenlő a tényezők argumentumainak összegével.

A képlet bizonyítéka .

= =

mivel a szinusz és a koszinusz nem egy olyan szög összeadásától függ, amely többszöröse

És ez az egyenlőség már nyilvánvaló, hiszen ez egy komplex szám trigonometrikus alakja.

Így a logaritmus a sík minden pontjára létezik, kivéve a nullát. Valós pozitív szám esetén az argumentum 0, tehát ez a végtelen ponthalmaz az , vagyis az egyik érték, nevezetesen at , a valós tengelyre fog esni. Ha egy negatív szám logaritmusát számoljuk ki, akkor kapjuk, hogy a pontok halmaza feljebb tolódik, és egyik sem esik a valós tengelyre.

A képletből látható, hogy csak akkor, ha az eredeti szám argumentuma nulla, akkor a logaritmus egyik értéke a valós tengelyre esik. Ez pedig megfelel a jobb oldali féltengelynek, ezért az iskolai matematika során csak a pozitív számok logaritmusait vettük figyelembe. Létezik negatív és imaginárius számok logaritmusa is, de ezeknek nincs egyetlen értéke a valós tengelyen.

A következő rajz azt mutatja, hogy a síkban hol található egy pozitív szám logaritmusának összes értéke. Az egyik a valós tengelyen van, a többi a , , és így tovább. Negatív vagy komplex számok esetén az argumentum nem nulla, ezért ez a pontsorozat függőlegesen eltolódik, így a valós tengelyen nem lesz pont.

Példa. Kiszámítja .

Megoldás. Határozzuk meg a (2-vel egyenlő) szám modulusát és a 180 0 argumentumot, azaz . Akkor = .

Függelék 1. Bizonyítékkérdések (jegyekhez).

1. előadás

1. Igazolja a részenkénti integráció képletét!

2. előadás

1. Bizonyítsuk be, hogy a változás, ahol r = LCM (r 1 ,...,r k), az integrált egy racionális tört integráljára redukálja.

2. Bizonyítsuk be, hogy a behelyettesítés csökkenti az alak integrálját racionális tört integráljához.

3. Vezesse le a szinusz és koszinusz transzformációs képleteit!

Az univerzális trigonometrikus változáshoz .

4. Bizonyítsuk be, hogy abban az esetben, ha a függvény páratlan a koszinuszhoz képest, a csere az integrált racionális törtté redukálja.

5. Bizonyítsa be, hogy abban az esetben, amikor

csere: az integrált racionális törtre redukálja.

6. Bizonyítsuk be, hogy az alak integráljára

7. Igazolja a képletet!

8. Bizonyítsuk be, hogy az alak integráljára a helyettesítésnek megvan a saját integrálja egy racionális törthez.

9. Bizonyítsuk be, hogy az alak integráljára a helyettesítés az integrált racionális törtre redukálja.

3. előadás

1. Igazolja, hogy a függvény a függvény antideriváltja.

2. Igazolja a Newton-Leibniz képletet: .

3. Igazolja a képletet egy kifejezetten megadott görbe hosszára:

4. Igazolja a görbe polárkoordinátában megadott hosszának képletét!

4. előadás

Bizonyítsuk be a tételt: konvergál, konvergál.

5. előadás

1. Következtesse (bizonyítsa) kifejezetten a területképletet adott felület .

2. A polárkoordinátákra való átmenet képletei származtatása.

3. A polárkoordináták Jacobi-determinánsának levezetése.

4. A hengeres koordinátákra való átmenet képletei származtatása.

5. A Jacobi-determináns származtatása hengeres koordináták.

6. A gömbi koordinátákra való átmenet képletei származtatása:

6. előadás

1. Bizonyítsuk be, hogy a helyettesítés a homogén egyenletet elválasztható változókkal rendelkező egyenletté redukálja.

2. Visszavonás általános forma lineáris homogén egyenlet.

3. Vezesse le egy lineáris inhomogén egyenlet megoldásának általános képét a Lagrange-módszerrel!

4. Bizonyítsuk be, hogy a helyettesítés lineáris egyenletté redukálja a Bernoulli-egyenletet.

7. számú előadás.

1. Bizonyítsuk be, hogy a helyettesítés k-val csökkenti az egyenlet sorrendjét.

2. Bizonyítsuk be, hogy a helyettesítés eggyel csökkenti az egyenlet sorrendjét .

3. Bizonyítsa be a tételt: A függvény egy lineáris homogén differenciálegyenlet megoldása, és karakterisztikus gyöke van.

4. Bizonyítsuk be azt a tételt, hogy lineáris kombináció lineáris homogén diff. megoldásai. az egyenlet a megoldása is.

5. Bizonyítsa be a megoldások kitételére vonatkozó tételt: Ha egy lineáris nemhomogén differenciálegyenlet megoldása jobb oldali, és ugyanazon differenciálegyenlet megoldása, de jobb oldali, akkor az összeg a megoldás az egyenlet jobb oldalával.

8. számú előadás.

1. Igazolja azt a tételt, hogy a függvényrendszer lineárisan függő!

2. Bizonyítsa be azt a tételt, hogy egy n rendű lineáris homogén differenciálegyenletnek n lineárisan független megoldása van!

3. Bizonyítsuk be, hogy ha 0 a multiplicitás gyöke, akkor ennek a gyöknek megfelelő megoldásrendszer alakja .

9. számú előadás.

1. Bizonyítsa be az exponenciális formával, hogy komplex számok szorzásakor a modulok szorozódnak és az argumentumok összeadódnak.

2. Bizonyítsuk be De Moivre n fokozatú képletét!

3. Bizonyítsa be egy komplex szám n rendű gyökének képletét!

4. Bizonyítsd be És

a szinusz és a koszinusz általánosításai, azaz. számára valós számok ezen képletek szerint egy szinusz (koszinusz) lesz.

5. Igazolja egy komplex szám logaritmusának képletét:

2. függelék

Kisebb és szóbeli kérdések az elmélet ismeretéhez (kollokviumokhoz).

1. előadás

1. Mi az az antiderivatív és határozatlan integrál, Mi a különbség?

2. Indokolja meg, miért is antiderivatív.

3. Írjon képletet a részenkénti integráláshoz!

4. Milyen pótlás szükséges az alakintegrálban, és hogyan szünteti meg a gyökereket?

5. Írja fel a racionális tört integrandusának legegyszerűbbre való bővítésének típusát abban az esetben, ha minden gyök különböző és valós!

6. Írja fel a racionális törtek integránsának egyszerűre való bővítésének típusát abban az esetben, ha minden gyök valós és a k multiplicitásnak egy többszörös gyöke van!

2. számú előadás.

1. Írja fel, mi a racionális tört legegyszerűbbre bontása abban az esetben, ha a nevező 2 fokos tényezője negatív diszkriminánssal!

2. Milyen helyettesítés redukálja az integrált racionális törtté?

3. Mi az univerzális trigonometrikus helyettesítés?

4. Milyen pótlások történnek azokban az esetekben, amikor az integráljel alatti függvény páratlan a szinuszhoz (koszinuszhoz) képest?

5. Milyen helyettesítéseket hajtunk végre, ha az integrandus tartalmazza a , , vagy kifejezéseket.

3. számú előadás.

1. Határozott integrál definíciója.

2. Sorolja fel a határozott integrál néhány főbb tulajdonságát!

3. Írja fel a Newton-Leibniz képletet!

4. Írja fel egy forgástest térfogatának képletét!

5. Írja fel az explicit görbe hosszának képletét!

6. Írja fel a paraméteres görbe hosszának képletét!

4. számú előadás.

1. Nem megfelelő integrál meghatározása (határérték segítségével).

2. Mi a különbség az 1. és 2. típusú nem megfelelő integrálok között?

3. Mondjon egyszerű példákat 1. és 2. típusú konvergens integrálokra!

4. Mely integrálokra (T1) konvergálnak.

5. Hogyan kapcsolódik a konvergencia az antiderivált véges határához (T2)?

6. Mi az szükséges jel konvergencia, annak megfogalmazása.

7. Összehasonlítás jele a végleges formában

8. Összehasonlítási teszt a korlátozó formában.

9. Többszörös integrál definíciója.

5. számú előadás.

1. Az integráció sorrendjének megváltoztatása, mutassa meg a legegyszerűbb példán.

2. Írja fel a felület képletét!

3. Mi az poláris koordináták, írjon átmeneti képleteket.

4. Mi a poláris koordináta-rendszer Jacobi-féle?

5. Mi a hengeres és gömbkoordináta, mi a különbségük.

6. Mi a hengeres (gömbi) koordináták jakobiusza?

6. számú előadás.

1. Mi az elsőrendű differenciálegyenlet (általános nézet).

2. Mi az I. rendű differenciálegyenlet, a deriváltra nézve feloldva? Mondj egy példát.

3. Mi az elválasztható változókkal rendelkező egyenlet.

4. Mi az általános, sajátos megoldás, Cauchy-feltételek.

5. Mi a homogén egyenlet, mi a megoldásának általános módja.

6. Mi az lineáris egyenlet, mi a megoldási algoritmusa, mi a Lagrange-módszer.

7. Mi a Bernoulli-egyenlet, a megoldási algoritmus?

7. számú előadás.

1. Milyen helyettesítésre van szükség egy alakú egyenlethez.

2. Milyen pótlás szükséges egy alakegyenlethez .

3. Mutassa be példákkal, hogyan fejezhető ki ként.

4. Mi az n rendű lineáris differenciálegyenlet?

5. Mi a karakterisztikus polinom, karakterisztikus egyenlet.

6. Fogalmazzon meg egy tételt, amelyre r a függvény egy lineáris homogén differenciálegyenlet megoldása.

7. Fogalmazzon meg egy tételt, amely szerint egy lineáris homogén egyenlet megoldásainak lineáris kombinációja a megoldása is.

8. Fogalmazza meg a megoldáskivetési tételt és következményeit!

9. Mi a lineárisan függő és lineárisan független függvényrendszer, mondjon néhány példát!

10. Mi a Wronsky-determináns egy n függvényből álló rendszerben, mondjon példát a Wronsky-determinánsra LZS és LNS rendszerekre!

8. számú előadás.

1. Milyen tulajdonsága van a Wronsky-determinánsnak, ha a rendszer lineárisan függő függvény?

2. Hány lineárisan független megoldása létezik egy n rendű lineáris homogén differenciálegyenletnek.

3. Az FSR meghatározása ( alapvető rendszer megoldásai) egy n rendű lineáris homogén egyenlet.

4. Hány funkciót tartalmaz az SRF?

5. Írja fel az egyenletrendszer alakját a Lagrange-módszerrel n=2 esetén!

6. Írja le az adott megoldás típusát abban az esetben, amikor

7. Mi az lineáris rendszer differenciálegyenletek, írjon példát.

8. Mi az autonóm differenciálegyenlet-rendszer.

9. fizikai jelentése differenciálegyenletrendszerek.

10. Írja le, hogy ha ismert, milyen függvényekből áll az egyenletrendszer FSR! sajátértékekés e rendszer főmátrixának sajátvektorai.

9. számú előadás.

1. Mi az a képzeletbeli egység.

2. Mi az a konjugált szám, és mi történik, ha megszorozzuk az eredetivel?

3. Mi az a trigonometrikus, tájékoztató formaösszetett szám.

4. Írd fel az Euler-képletet!

5. Mi a komplex szám modulja, argumentuma.

6. mi történik a modulokkal és az argumentumokkal a szorzás (osztás) során.

7. Írja fel De Moivre képletét az n fokra!

8. Írja fel az n sorrend gyökének képletét!

9. Írja fel az összetett argumentum általánosított szinusz és koszinusz képleteit!

10. Írja fel egy komplex szám logaritmusának képletét!

3. melléklet Feladatok az előadásokból.

1. előadás

Példa. . Példa. .

Példa. Példa. .

Példa. . Példa. .

2. előadás

Példa. . Példa. .

Példa. . Példa.. , hol, szám .

Példa. Osztás exponenciális formában.

Példa. Keresse meg De Moivre képletével.

Példa. Keresse meg az összes gyökérértéket.