Terv:

Bevezetés

• 1 Valódi logaritmus
  • 1.1 Tulajdonságok
  • 1.2 logaritmikus függvény
  • 1.3 természetes logaritmusok
  • 1.4 Tizedes logaritmus
• 2 Komplex logaritmus
  • 2.1 Definíció és tulajdonságok
  • 2.2 Példák
  • 2.3 Analitikai folytatás
  • 2.4 Riemann felület
• 3 Történelmi vázlat
  • 3.1 Valódi logaritmus
  • 3.2 Komplex logaritmus
• 4 Logaritmikus táblázatok
• 5 Alkalmazások
Irodalom
Megjegyzések

Bevezetés

Rizs. 1. Logaritmikus függvények grafikonjai

Egy szám logaritmusa bésszel a (görögből. λόγος - "szó", "hozzáállás" és ἀριθμός - a „szám”) a bázis emelésének mértékének mutatója a hogy megkapja a számot b. Megnevezés: . A definícióból következik, hogy a és a bejegyzések egyenértékűek.

Például azért, mert.

1. Valós logaritmus

Valós szám logaritmusa a b akkor van értelme, ha . Mint tudod, az exponenciális függvény y = a x monoton, és minden érték csak egyszer vesz fel, és értéktartománya az összes pozitív valós számot tartalmazza. Ebből következik, hogy a valós logaritmus értéke pozitív szám mindig létezik és egyedileg meghatározott.

A legszélesebb körben használt logaritmusok a következő típusok.

1.1. Tulajdonságok

Bizonyíték

Bizonyítsuk be.

(mert a bc feltétel szerint > 0). ■

Bizonyíték

Bizonyítsuk be

(mert feltétel szerint ■

Bizonyíték

Használjuk az azonosságot ennek bizonyítására. Az azonosság mindkét oldalát a c bázisra logaritáljuk. Kapunk:

Bizonyíték

Bizonyítsuk be.

(mint b p> 0 feltétel szerint). ■

Bizonyíték

Bizonyítsuk be

Bizonyíték

Vegyük a bal és a jobb oldal logaritmusát az alaphoz c :

Bal oldal: Jobb oldal:

A kifejezések egyenlősége nyilvánvaló. Mivel a logaritmusok egyenlőek, ezért a logaritmikus függvény monotonitása miatt maguk a kifejezések egyenlőek. ■

1.2. logaritmikus függvény

Ha egy logaritmikus számot veszünk változónak, akkor azt kapjuk logaritmikus függvény y= log a x (lásd 1. ábra). Itt van meghatározva. Értéktartomány: .

A funkció szigorúan növekszik a számára a> 1 és szigorúan csökken 0-nál< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Egyenes x= 0 a bal oldali függőleges aszimptota, mert at a> 1 és 0< a < 1 .

A logaritmikus függvény deriváltja:

Bizonyíték

I. Bizonyítsuk be

Írjuk fel a személyazonosságot e ln x = x és megkülönbözteti annak bal és jobb oldalát

Ezt kapjuk, honnan következik

II. Bizonyítsuk be

A logaritmikus függvény izomorfizmust valósít meg multiplikatív csoport pozitív valós számokés az összes valós szám additív csoportja.

1.3. természetes logaritmusok

Kapcsolat a decimális logaritmussal: .

Amint fentebb említettük, a természetes logaritmus deriváltjának egyszerű képlete van:

Emiatt a természetes logaritmusokat elsősorban a matematikai kutatásokban használják. Gyakran előfordulnak differenciálegyenletek megoldásánál, statisztikai függőségek (például eloszlások) tanulmányozásánál prímszámok) stb.

A természetes logaritmus határozatlan integrálja könnyen megtalálható a részekre történő integrálással:

A Taylor sorozat bővítése a következőképpen ábrázolható:
amikor az egyenlőség

(1)

Különösen,

Ez a sorozat gyorsabban konvergál, ráadásul a képlet bal oldala immár bármilyen pozitív szám logaritmusát is kifejezheti.

1.4. Tizedes logaritmus

Rizs. 2a. Logaritmikus skála

Rizs. 2b. Logaritmikus skála szimbólumokkal

Logaritmus 10-es alapig (szimbólum: lg a) a számológépek feltalálása előtt széles körben használták számításokhoz. A decimális logaritmusok nem egységes skáláját általában a diaszabályokra is alkalmazzák. Hasonló skálát használnak a tudomány számos területén, például:

• Fizika - hangintenzitás (decibel).
• A csillagászat a csillagok fényességének skálája.
• Kémia - hidrogénionok aktivitása (pH).
• Szeizmológia - Richter-skála.
• Zeneelmélet - a zenei skála, a zenei hangok frekvenciájával kapcsolatban.
• A történelem logaritmikus időskála.

A logaritmikus skálát széles körben használják az exponenciális függőségek kitevőjének és a kitevőben az együttható azonosítására is. Ugyanakkor egy vagy két tengely mentén logaritmikus skálán ábrázolt gráf egyenes alakot ölt, ami könnyebben tanulmányozható.

2. Komplex logaritmus

2.1. Definíció és tulajdonságok

Komplex számok esetén a logaritmus ugyanúgy definiálható, mint a valós. A gyakorlatban szinte kizárólag a természetes komplex logaritmus használatos, amit az összes komplex szám halmazaként jelölünk és definiálunk. z oly módon, hogy e z = w . A komplex logaritmus létezik bármely , és valós része egyedileg meghatározott, míg az imagináriusnak végtelen sok értéke van. Emiatt többértékű függvénynek nevezik. Ha elképzelni w ban ben tájékoztató forma:

,

akkor a logaritmust a következő képlettel találjuk meg:

Itt az igazi logaritmus, r = | w | , k egy tetszőleges egész szám. A kapott érték, amikor k= 0-t hívunk fő fontosságaösszetett természetes logaritmus; az argumentum értékét szokás a (− π,π] intervallumban venni A megfelelő (már egyértékű) függvény ún. főág logaritmus és jelölése. Néha a logaritmus értékét is jelöli, amely nem a fő ágon található.

A képletből a következő:

• A logaritmus valós részét a következő képlet határozza meg:

• Egy negatív szám logaritmusát a következő képlet határozza meg:

Mivel az összetett trigonometrikus függvények az exponenciálishoz (Euler-képlet) vannak társítva, a komplex logaritmus, mint az exponenciális függvény inverze, az inverzhez kapcsolódik. trigonometrikus függvények. Példa egy ilyen kapcsolatra:

2.2. Példák

Íme néhány argumentum logaritmusának fő értéke:

Óvatosnak kell lennie az összetett logaritmusok konvertálásakor, figyelembe véve, hogy ezek többértékűek, ezért bármely kifejezés logaritmusának egyenlősége nem jelenti ezen kifejezések egyenlőségét. Példa a hibás érvelésre:

énπ = ln(− 1) = ln((− én) 2) = 2ln(− én) = 2(− énπ / 2) = − énπ - nyilvánvaló abszurditás.

Vegye figyelembe, hogy a logaritmus fő értéke a bal oldalon, a mögöttes ág értéke pedig a jobb oldalon található ( k= − 1 ). A hiba oka a tulajdonság gondatlan használata, amely általában összetett esetben magában foglalja a logaritmus teljes végtelen értékkészletét, és nem csak a főértéket.

2.3. Analitikai folytatás

Rizs. 3. Komplex logaritmus (képzetes rész)

Egy komplex szám logaritmusa úgy is definiálható, mint a valós logaritmus analitikus folytatása a teljes komplex síkra. A Γ görbe 1-től induljon, ne menjen át nullán, és ne metszi a valós tengely negatív részét. Ezután a logaritmus főértéke a végpontban w A Γ görbe a következő képlettel határozható meg:

Ha Γ egy egyszerű görbe (önmetszéspontok nélkül), akkor a rajta fekvő számokra félelem nélkül alkalmazhatók a logaritmikus azonosságok, pl.

Ha hagyjuk, hogy a Γ görbe metszi a valós tengely negatív részét, akkor az első ilyen metszéspont az eredményt a főérték ágból átviszi a szomszédos ágba, és minden további metszéspont hasonló eltolódást okoz a logaritmikus függvény ágai mentén ( lásd az ábrát).

Az analitikus folytatási képletből következik, hogy a logaritmus bármely ágán

Bármilyen körhöz S bezárva a 0 pontot:

Az integrált pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) vesszük. Ez az azonosság alapozza meg a maradékok elméletét.

A komplex logaritmus analitikus folytatása is meghatározható a fenti (1) sorozat segítségével, általánosítva. összetett érvelés. A bővítés típusából azonban az következik, hogy egységben egyenlő nullával, vagyis a sorozat csak a komplex logaritmus többértékű függvényének fő ágára vonatkozik.

2.4. Riemann felület

A komplex logaritmikus függvény egy példa a Riemann-felületre; képzeletbeli része (3. ábra) végtelen számú, spirál alakban csavart ágból áll. Ez a felület egyszerűen össze van kötve; annak egyetlen nulláját (elsőrendű) kapjuk meg z= 1 , speciális pontok: z= 0 és (végtelen rendű elágazási pontok).

A logaritmus Riemann-felülete az univerzális lefedése összetett sík 0 pont nélkül.

3. Történelmi vázlat

3.1. Valódi logaritmus

Az összetett számítások iránti igény a 16. században gyorsan megnőtt, és a nehézségek nagy része a többjegyű számok szorzásával és osztásával, valamint a gyökök kivonásával járt. A század végén több matematikusban szinte egyszerre támadt az ötlet: az időigényes szorzást egyszerű összeadásra cserélni, a geometriai és a számtani sorozatok összehasonlítását speciális táblázatok segítségével, miközben a geometriai lesz az eredeti. Ekkor az osztást automatikusan felváltja egy mérhetetlenül egyszerűbb és megbízhatóbb kivonás, és a fok gyökének kinyerése n redukálódik a gyök kifejezés logaritmusának osztására n. Ő volt az első, aki ezt az ötletet publikálta könyvében Arithmetica integra» Michael Stiefel, aki azonban nem tett komoly erőfeszítéseket ötletének megvalósításáért.

John Napier skót amatőr matematikus 1614-ben publikálta a latin esszé címe " A csodálatos logaritmustábla leírása"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Volt Rövid leírás logaritmusok és tulajdonságaik, valamint szinuszok, koszinuszok és érintők logaritmusainak 8 számjegyű táblázatai, 1" lépéssel. logaritmus Napier javasolta, meghonosodott a tudományban. Napier másik könyvében felvázolta a logaritmus elméletét. Csodálatos logaritmustáblázat felépítése"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), fia posztumusz, 1619-ben adott ki.

A függvény fogalma még nem létezett, és Napier kinematikailag határozta meg a logaritmust, összehasonlítva az egyenletes és logaritmikusan lassított mozgást; például a szinusz logaritmusát a következőképpen definiálta:

Egy adott szinusz logaritmusa olyan szám, amely aritmetikailag mindig ugyanolyan ütemben nőtt, ahogy a teljes szinusz geometriailag csökkenni kezdett.

Modern jelöléssel a Napier kinematikai modell ábrázolható differenciálegyenlet: dx/x = -dy/M, ahol M a méretezési tényező, amelyet bevezetünk, hogy az értéket a kívánt számú számjegyből álló egész szám legyen ( tizedesjegyek még nem használják széles körben). Napier M = 10000000-at vett.

Szigorúan véve Napier rossz függvényt táblázott be, amelyet ma logaritmusnak neveznek. Ha a funkcióját LogNap(x)-ként jelöljük, akkor a következőképpen kapcsolódik a természetes logaritmushoz:

Nyilvánvaló, hogy LogNap (M) = 0, vagyis a "teljes szinusz" logaritmusa nulla - erre törekedett Napier a definíciójával. .

A Napier-logaritmus fő tulajdonsága: ha a mennyiségek alakulnak geometriai progresszió, akkor logaritmusaik számtani sorozatot alkotnak. A nem Pieri-függvény logaritmusának szabályai azonban eltértek a modern logaritmus szabályaitól.

Például, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Sajnos Napier táblázatában minden érték számítási hibát tartalmazott a hatodik számjegy után. Ez azonban nem akadályozta meg, hogy az új számítási módszer széles körben elterjedjen, és sok európai matematikus, köztük Kepler is, vállalta a logaritmikus táblázatok összeállítását. Már 5 évvel később, 1619-ben a londoni matematikatanár, John Spydell ( John Spidell) újraközölte a Napier-táblázatokat, átalakítva, hogy azok valójában természetes logaritmusok táblázataivá váljanak (bár a Spydell megtartotta az egész számokra való skálázást). A "természetes logaritmus" kifejezést Pietro Mengoli olasz matematikus alkotta meg. Pietro Mengoli)) a XVI. század közepén.

Az 1620-as években Edmund Wingate és William Oughtred feltalálta az első csúszószabályt, még a zsebszámológépek megjelenése előtt, amely nélkülözhetetlen eszköz volt a mérnökök számára.

A logaritmus modern felfogásához közel álló - mint a hatalommá emeléssel fordított művelet - először Wallisban és Johann Bernoulliban jelent meg, majd végül Euler legalizálta a 18. században. A Bevezetés a végtelenek elemzésébe (1748) Euler azt adta modern meghatározások mind az exponenciális, mind a logaritmikus függvények terjeszkedéséhez vezettek teljesítmény sorozat, hangsúlyozta a természetes logaritmus szerepét.

Eulernek megvan az az érdeme is, hogy a logaritmikus függvényt kiterjeszti a komplex tartományra.

3.2. Komplex logaritmus

Az első kísérletek a logaritmusok kiterjesztésére komplex számok Leibniz és Johann Bernoulli a 17-18. század fordulóján vállalkoztak, de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk - elsősorban azért, mert akkor még a logaritmus fogalma nem volt egyértelműen meghatározva. A vita erről a kérdésről először Leibniz és Bernoulli között, majd a XVIII. század közepén - d'Alembert és Euler között - zajlott. Bernoulli és d'Alembert úgy gondolta, hogy meg kell határozni log(-x) = log(x). Teljes elmélet A negatív és komplex számok logaritmusát Euler adta ki 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől.

Bár a vita folytatódott (D'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette azt az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler álláspontja gyorsan általános elismerést kapott.

4. Logaritmikus táblák

Logaritmikus táblázatok

A logaritmus tulajdonságaiból következik, hogy a többértékű számok időigényes szorzása helyett elegendő (táblázatokból) megkeresni és összeadni a logaritmusukat, majd ugyanezen táblázatok segítségével végrehajtani a potenciálást, azaz megkeresni a az eredmény értéke logaritmusával. Az osztás csak annyiban különbözik, hogy a logaritmusokat kivonják. Laplace szerint a logaritmusok feltalálása "meghosszabbította a csillagászok életét", mivel nagymértékben felgyorsította a számítási folyamatot.

Amikor egy számban a tizedesvesszőt áthelyezi ide n számjegy, ennek a számnak a decimális logaritmusának értéke módosul n. Például lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Ebből következik, hogy elegendő egy decimális logaritmus táblázatot készíteni az 1 és 10 közötti számokhoz.

Az első logaritmustáblázatokat John Napier (1614) publikálta, és ezek csak a trigonometrikus függvények logaritmusait tartalmazták, méghozzá hibával. Tőle függetlenül, Joost Burgi, Kepler barátja publikálta táblázatait (1620). 1617-ben Henry Briggs oxfordi matematikaprofesszor olyan táblázatokat adott ki, amelyek már maguknak a számoknak a decimális logaritmusát tartalmazták 1-től 1000-ig, 8 (később 14) számjegyből. De Briggs táblázatai is mutattak hibákat. Az első, a Vega-táblázatokon alapuló tévedhetetlen kiadás (1783) csak 1857-ben jelent meg Berlinben (Bremiver-táblázatok).

Oroszországban az első logaritmustáblázatokat 1703-ban adták ki L. F. Magnitsky részvételével. A Szovjetunióban számos logaritmustáblázat-gyűjtemény jelent meg.

• Bradis V. M. Négyjegyű matematikai táblázatok. 44. kiadás, M., 1973.

Bradys (1921) táblázatait használták oktatási intézményekés a nagy pontosságot nem igénylő mérnöki számításokban. Tartalmaztak számok és trigonometrikus függvények decimális logaritmusainak mantisszáját, természetes logaritmusokat és néhány más hasznos számítási eszközt.

• Vega G. Hétjegyű logaritmustáblázatok, 4. kiadás, M., 1971.

Professzionális gyűjtemény a pontos számításokhoz.

• A trigonometrikus mennyiségek természetes értékeinek ötjegyű táblázatai, logaritmusaik és számok logaritmusai, 6. kiadás, M .: Nauka, 1972.
• Természetes logaritmusok táblázatai, 2. kiadás, 2 kötetben, Moszkva: Nauka, 1971.

Jelenleg a számológépek elterjedésével megszűnt a logaritmustáblázatok használatának szükségessége.

M, Feature (komplex elemzés).

Definíció és tulajdonságok

A komplex nullának nincs logaritmusa, mert a komplex kitevő nem vesz fel nulla értéket. nem nulla texvc exponenciális formában ábrázolható:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): k- tetszőleges egész szám

Azután Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): \mathrm(Ln)\,z a következő képlet szerint található:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A hangoláshoz lásd a math/README-t.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Itt Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \ln\,r= \ln\,|z| az igazi logaritmus. Ebből következik:

A képletből látható, hogy az értékek közül csak egynek van képzeletbeli része az intervallumban Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc . Ezt az értéket hívják fő fontosságaösszetett természetes logaritmus. A megfelelő (már egyértékű) függvényt hívjuk főág logaritmus és jelöljük Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \ln\,z. Néha át Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \ln\, z jelöli a logaritmus értékét is, amely nem a főágon fekszik. Ha egy Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): z valós szám, akkor logaritmusának főértéke egybeesik a szokásos valós logaritmussal.

A fenti képletből az is következik, hogy a logaritmus valós részét a következőképpen határozzuk meg az argumentum komponensein keresztül:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README-t.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Az ábrán látható, hogy a valós rész a komponensek függvényében centrálisan szimmetrikus, és csak az origó távolságától függ. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a valós logaritmus grafikonját a függőleges tengely körül elforgatjuk. Ahogy közeledik a nullához, a függvény hajlamos arra Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): -\infty.

Egy negatív szám logaritmusát a következő képlet határozza meg:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A hangolási segítségért lásd a math/README-t.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \ pm2\pontok)

Példák összetett logaritmusértékekre

Megadjuk a logaritmus fő értékét ( Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): \ln) és általános kifejezése ( Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \mathrm(Ln)) néhány érvhez:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Óvatosnak kell lennie az összetett logaritmusok konvertálásakor, figyelembe véve, hogy ezek többértékűek, ezért bármely kifejezés logaritmusának egyenlősége nem jelenti ezen kifejezések egyenlőségét. Példa tévesérvelés:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi nyilvánvaló hiba.

Vegye figyelembe, hogy a logaritmus fő értéke a bal oldalon, a mögöttes ág értéke pedig a jobb oldalon található ( Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): k=-1). A hiba oka az ingatlan gondatlan használata Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, ami általában véve összetett esetben magában foglalja a logaritmus teljes végtelen értékkészletét, és nem csak a főértéket.

Komplex logaritmikus függvény és Riemann felület

A logaritmus Riemann-felülete az egyszerű összekapcsolásnak köszönhetően univerzális lefedése a pont nélküli összetett síknak. Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc .

Analitikai folytatás

Egy komplex szám logaritmusa úgy is definiálható, mint a valós logaritmus analitikus folytatása a teljes komplex síkra. Hagyja a görbét Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc egynél kezdődik, nem megy át nullán, és nem keresztezi a valós tengely negatív részét. Ezután a logaritmus főértéke a végpontban Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): w görbe Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \Gamma képlettel határozható meg:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Ha egy Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \Gamma- egy egyszerű görbe (önmetszetek nélkül), majd a rajta fekvő számokra félelem nélkül logaritmikus azonosságokat lehet alkalmazni, pl.

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README-t: \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

A logaritmikus függvény fő ága folytonos és differenciálható a teljes komplex síkon, kivéve a valós tengely negatív részét, amelyre a képzeletbeli rész ugrik. Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 2\pi. De ez a tény a főérték képzeletbeli részének intervallum általi mesterséges korlátozásának a következménye Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): (-\pi, \pi]. Ha figyelembe vesszük a függvény összes ágát, akkor a folytonosság minden ponton megtörténik, kivéve a nullát, ahol a függvény nincs definiálva. Ha megengedi a görbét Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \Gamma keresztezi a valós tengely negatív részét, akkor az első ilyen metszéspont a főérték ágából átviszi az eredményt a szomszédos ágba, és minden további metszéspont hasonló eltolódást okoz a logaritmikus függvény ágai mentén (lásd az ábrát).

Az analitikus folytatási képletből az következik, hogy a logaritmus bármely ágán:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README-t.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\z felett)

Bármilyen körhöz Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): S bezárva a pontot Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 0 :

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd: math/README.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Az integrált pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) vesszük. Ez az azonosság alapozza meg a maradékok elméletét.

A komplex logaritmus analitikus folytatása is meghatározható a valós esetre ismert sorozat segítségével:

E sorozatok alakjából azonban az következik, hogy egységnél a sorozat összege nullával egyenlő, vagyis a sorozat csak a komplex logaritmus többértékű függvényének fő ágára vonatkozik. Mindkét sorozat konvergencia sugara 1.

Kapcsolat az inverz trigonometrikus és hiperbolikus függvényekkel

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README-t.): \operátornév(Arcsin) z = -i \operátornév(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README-t.): \operátornév(Arccos) z = -i \operátornév(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README-t.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd: math/README.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README-t.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- inverz hiperbolikus szinusz Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README részt.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- inverz hiperbolikus koszinusz Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README részt.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- inverz hiperbolikus érintő Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README részt.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- inverz hiperbolikus kotangens

Történelmi vázlat

Az első kísérleteket a logaritmus komplex számokra való kiterjesztésére a 17-18. század fordulóján Leibniz és Johann Bernoulli tette, de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk - elsősorban azért, mert a logaritmus fogalma még nem volt világos. meghatározott. Erről a témáról először Leibniz és Bernoulli, majd a 18. század közepén d'Alembert és Euler vitatkoztak. Bernoulli és d'Alembert úgy gondolta, hogy meg kell határozni Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): \log(-x) = \log(x), míg Leibniz amellett érvelt, hogy egy negatív szám logaritmusa egy képzeletbeli szám. A negatív és komplex számok logaritmusának teljes elméletét Euler publikálta 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől. Bár a vita folytatódott (d'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler megközelítése a 18. század végére egyetemes elismerést kapott.

Írjon véleményt a "Komplex logaritmus" című cikkről

Irodalom

A logaritmusok elmélete

• Korn G., Korn T.. - M .: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. - M .: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama. - szerk. 6. - M .: Nauka, 1966. - 680 p.

A logaritmusok története

• A 18. század matematikája // / Szerkesztette A. P. Juskevics, három kötetben. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Juskevics A. P. (szerk.). A 19. század matematikája. Geometria. Az analitikus függvények elmélete. - M .: Nauka, 1981. - T. II.

Megjegyzések

1. Logaritmikus függvény. // . - M .: Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3.
2. , II. kötet, 520-522.
3. , val vel. 623..
4. , val vel. 92-94..
5. , val vel. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, 21. szám).
7. , II. kötet, 522-526.
8. , val vel. 624...
9. , val vel. 325-328..
10. Rybnikov K. A. A matematika története. Két kötetben. - M .: Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
11. , val vel. 122-123..
12. Klein F.. - M .: Nauka, 1987. - T. II. Geometria. - S. 159-161. - 416 p.

A Komplex logaritmust jellemző részlet

A minket elfogó vad borzalomtól golyóként rohantunk át egy széles völgyön, anélkül, hogy gondoltuk volna, hogy gyorsan átmehetnénk egy másik „emeletre”... Egyszerűen nem volt időnk ezen gondolkodni - túlságosan megijedtünk.
A lény pont felettünk repült, hangosan csattogva tátongó fogas csőrével, mi pedig rohantunk, amennyire csak lehetett, aljas nyálkás spray-ket szórtunk oldalra, és gondolatban imádkoztunk, hogy valami más is felkeltse hirtelen érdeklődését ennek a szörnyű „csodamadárnak”... Érezhető volt, hogy sokkal gyorsabb, és egyszerűen esélyünk sem volt elszakadni tőle. Gonoszként egy fa sem nőtt a közelben, nem volt bokrok, még kövek sem, amelyek mögé elbújhattak volna, csak a távolban egy baljós fekete szikla látszott.
- Ott! - kiáltotta Stella, és ujjával ugyanarra a sziklára mutatott.
Ám hirtelen, váratlanul, közvetlenül előttünk, valahonnan feltűnt egy lény, amelynek látványától szó szerint megfagyott az ereinkben a vér... Úgymond „egyenesen a levegőből” keletkezett, és valóban rémisztő volt. ... A hatalmas fekete tetemet teljesen beborította a hosszú, merev szőr, így úgy nézett ki, mint egy pocakos medve, csak ez a „medve” olyan magas volt, mint egy háromemeletes ház... A szörnyeteg göröngyös fejét „ házas” két hatalmas, ívelt szarvával, és egy pár hihetetlenül hosszú, éles, mint a kés agyar díszítette iszonyatos száját, amelyre csak ránézve ijedtében a lábak engedtek... Aztán, kimondhatatlanul meglepődve, a szörnyeteg könnyedén. felugrott és .... felkapta az egyik hatalmas agyarára a repülő "szart"... Döbbenten lefagytunk.
- Fussunk!!! Stella sikoltott. - Fussunk, amíg ő "elfoglalt"! ..
És már készen álltunk, hogy hátranézés nélkül újra rohanjunk, amikor hirtelen megszólalt a hátunk mögött egy vékony hang:
- Lányok, várjatok! Nem kell menekülni! .. Dean megmentett, ő nem ellenség!
Élesen megfordultunk - egy pici, nagyon szép fekete szemű lány állt mögötte... és nyugodtan simogatta a hozzá közeledő szörnyet!.. Kipattant a szemünk a meglepetéstől... Hihetetlen volt! Egy biztos - meglepetések napja volt!.. A lány ránk nézve barátságosan mosolygott, egyáltalán nem félt a közelben álló szőrös szörnyetegtől.
Kérlek, ne félj tőle. Ő nagyon kedves. Láttuk, hogy Ovara üldöz téged, és úgy döntöttünk, hogy segítünk. Dean jó srác, időben sikerült. Tényleg, jó?
"Jó" dorombolt, ami enyhe földrengésnek tűnt, és fejét lehajtva megnyalta a lány arcát.
– És ki az az Owara, és miért támadt meg minket? Megkérdeztem.
Mindenkit megtámad, ő egy ragadozó. És nagyon veszélyes – válaszolta a lány higgadtan. – Megkérdezhetem, mit keresel itt? Ti nem ide valók vagytok, lányok?
- Nem, nem innen. Csak sétáltunk. De ugyanaz a kérdés neked is: mit keresel itt?
Megyek anyámhoz... - lett szomorú a kislány. „Együtt haltunk meg, de valamiért itt kötött ki. És most itt élek, de ezt nem mondom el neki, mert soha nem fog egyetérteni ezzel. Azt hiszi, csak jövök...
– Nem jobb, ha csak jön? Olyan szörnyű itt! .. - Stella megrándította a vállát.
„Nem hagyhatom itt egyedül, figyelem őt, hogy ne történjen vele semmi. És itt van velem Dean... Segít nekem.
Egyszerűen nem hittem el... Ez az apró bátor lány önként hagyta el gyönyörű és kedves "padlóját", hogy ebben a hideg, szörnyű és idegen világban éljen, védve anyját, aki valamiben nagyon "bűnös" volt! Szerintem nem sokan lettek volna ennyire bátrak és önzetlenek (még felnőttek is!) Akik ekkora bravúr mellett döntöttek volna... És rögtön arra gondoltam - talán csak nem értette, mire fogja magát kárhoztatni. ?!
- És mióta vagy itt, kislány, ha nem titok?
„Nemrég...” – válaszolta szomorúan a fekete szemű kislány, ujjaival göndör haja fekete tincsét rángatva. - Belejöttem ebbe gyönyörű világ amikor meghalt! .. Olyan kedves és okos volt! .. Aztán láttam, hogy anyám nincs velem, és rohantam megkeresni. Eleinte olyan ijesztő volt! Valamiért nem volt sehol... Aztán beleestem ebbe a szörnyű világba... Aztán megtaláltam. Annyira megrémültem itt... Olyan magányos... Anya azt mondta, hogy menjek el, még meg is szidott. De nem hagyhatom el... Most van egy barátom, az én jó Deanem, és valahogy itt tudok létezni.
A „jó barátja” ismét felmordult, ami hatalmas „alsó asztrális” libabőrt okozott Stellában és bennem... Miután összeszedtem magam, próbáltam egy kicsit megnyugodni, és elkezdtem nézni ezt a szőrös csodát... Ő pedig, azonnal érezve hogy észrevette, rettenetesen kitátotta agyaras száját... Hátraugrottam.
- Ó, kérlek, ne félj! Ő az, aki rád mosolyog - nyugtatta meg a lány.
Igen... Egy ilyen mosolyból megtanulsz gyorsan futni... - gondoltam magamban.
– De hogyan történt, hogy összebarátkoztál vele? – kérdezte Stella.
- Amikor először jöttem ide, nagyon megijedtem, főleg amikor ma olyan szörnyeket támadtak, mint te. Aztán egy napon, amikor majdnem meghaltam, Dean megmentett egy csomó hátborzongató repülő "madártól". Eleinte én is féltem tőle, de aztán rájöttem, milyen aranyszíve van... Ő a legjobb legjobb barát! Soha nem volt ilyenem, még akkor sem, amikor a Földön éltem.
Hogy szoktad meg ilyen gyorsan? A megjelenése nem egészen ismerős, mondjuk...
- És itt megértettem egy nagyon egyszerű igazságot, amit valamiért nem vettem észre a Földön - a megjelenés nem számít, ha az embernek vagy a teremtménynek jó a szíve... Anyám nagyon szép volt, de néha nagyon dühös is. . Aztán minden szépsége eltűnt valahol... Dean pedig, bár félelmetes, mindig nagyon kedves, és mindig megvéd, érzem a jóságát és nem félek semmitől. Meg lehet szokni a külsőt...
"Tudod, hogy nagyon sokáig itt leszel, sokkal tovább, mint amennyit a Földön élnek?" Tényleg itt akarsz maradni?
„Az anyám itt van, úgyhogy segítenem kell neki. És amikor újra „elmegy” a Földre élni, én is elmegyek... Ahol több a jóság. Ebben a szörnyű világban az emberek nagyon furcsák – mintha nem is élnének. Miert van az? Tudsz róla valamit?
- És ki mondta neked, hogy anyád újra elmegy élni? – kérdezte Stella.
Dean, természetesen. Sokat tud, nagyon régóta él itt. Azt is mondta, hogy ha mi (anyám és én) újra élünk, más lesz a családunk. És akkor már nem lesz anyám... Ezért akarok most vele lenni.
– És hogyan beszélsz vele, a dékánoddal? – kérdezte Stella. – És miért nem akarod megmondani a nevedet?
De ez igaz – még mindig nem tudtuk a nevét! És honnan jött - szintén nem tudták ...
– A nevem Maria... De ez itt tényleg számít?
- Természetesen! Stella nevetett. - És hogyan kommunikáljak veled? Ha elmész, új nevet adnak neked, de amíg itt vagy, a régivel kell élned. Beszéltél itt valaki mással, Maria lány? - Megszokásból témáról témára ugrálva kérdezte Stella.
– Igen, igen… – mondta a kislány bizonytalanul. „De olyan furcsák itt. És olyan nyomorult... Miért ilyen nyomorultak?
– De az, amit itt látsz, elősegíti-e a boldogságot? Meglepett a kérdése. – Már maga a helyi „valóság” is előre megöl minden reményt!... Hogy lehet itt boldog az ember?
- Nem tudom. Amikor anyámmal vagyok, úgy tűnik, itt is boldog lehetek... Igaz, itt nagyon ijesztő, és nagyon nem szeret itt... Amikor azt mondtam, hogy beleegyeztem, hogy együtt maradok ő, kiabált velem, és azt mondta, hogy én vagyok az "agyatlan szerencsétlensége"... De nem sértődök meg... Tudom, hogy csak fél. Pont mint én...
- Talán csak meg akart menteni a "szélsőséges" döntésedtől, és csak azt akarta, hogy menj vissza a "padlódra"? - Óvatosan, nehogy megsértődjön kérdezte Stella.
– Nem, természetesen nem... De köszönöm kedves szavait. Anya gyakran nevezett nem túl jó néven, még a Földön is... De tudom, hogy ez nem rosszindulatból van. Csak boldogtalan volt, mert megszülettem, és gyakran mondta nekem, hogy tönkretettem az életét. De nem az én hibám volt, igaz? Mindig próbáltam boldoggá tenni, de valamiért nem igazán sikerült... De soha nem volt apám. Maria nagyon szomorú volt, és a hangja remegett, mintha sírni készülne.
Stellával egymásra néztünk, és szinte biztos voltam benne, hogy hasonló gondolatok jártak már nála... Már akkor is nagyon idegenkedtem ettől az elkényeztetett, önző "anyától", aki ahelyett, hogy maga aggódott volna a gyerekéért, nem törődött a hőstettével. egyáltalán áldozatot.Megértettem, és ráadásul még fájdalmasabban bántottam.
- Dean azt mondja, hogy jó vagyok, és nagyon boldoggá teszem! - mormolta vidámabban a kislány. És barátkozni akar velem. A többiek pedig, akikkel itt találkoztam, nagyon hidegek és közönyösek, sőt néha dühösek is... Főleg azok, akikhez szörnyek kötődnek...
- Szörnyek - mi? .. - nem értettük.
- Nos, ijesztő szörnyek vannak a hátukon, és mondják meg nekik, mit kell tenniük. És ha nem hallgatnak, a szörnyek rettenetesen kigúnyolják őket... Próbáltam beszélni velük, de ezek a szörnyek nem engedik.
Abszolút semmit sem értettünk ebből a „magyarázatból”, de azt a tényt, hogy egyes asztrális lények embert kínoznak, nem maradhattak „feltárva”, ezért azonnal megkérdeztük tőle, hogyan láthatjuk ezt a csodálatos jelenséget.
- Ó, mindenhol! Főleg a Fekete-hegyen. Ott van a fák mögött. Akarod, hogy mi is veled menjünk?
– Hát persze, hogy boldogok leszünk! - válaszolta azonnal elragadtatva Stella.
Hogy őszinte legyek, nem nagyon mosolyogtam azon a kilátáson, hogy valaki mással randevúzhatok, aki „hátborzongató és érthetetlen”, különösen egyedül. De az érdeklődés legyőzte a félelmet, és természetesen mentünk volna, annak ellenére, hogy kicsit féltünk... De amikor egy olyan védő volt velünk, mint Dean, azonnal szórakoztatóbb lett...
És most egy rövid pillanat alatt egy igazi Pokol tárult a csodálkozástól tágra nyílt szemünk elé... világ... Persze nem volt őrült, hanem egyszerűen csak egy látó, aki valamiért láthatott. csak az alsó Asztrális. De meg kell adnunk neki a méltóságát – nagyszerűen ábrázolta... Láttam a festményeit egy könyvben, ami apám könyvtárában volt, és még mindig emlékeztem arra a szörnyű érzésre, amit a legtöbb festménye hordozott...
- Micsoda borzalom! .. - suttogta a döbbent Stella.
Valószínűleg azt lehetne mondani, hogy sokat láttunk már itt, a „padlón”... De legszörnyűbb rémálmunkban még mi sem tudtunk ilyesmit elképzelni! .. A „fekete szikla” mögött valami egészen elképzelhetetlen ... Úgy nézett ki, mint egy hatalmas, lapos, sziklába vájt "üst", melynek alján bíborvörös "láva" bugyborékolt... Forró levegő "feltört" mindenfelé furcsa, villogó vöröses buborékokkal, amiből égő gőz szökött ki és nagy cseppekben hullott a földre, vagy azokra az emberekre, akik abban a pillanatban alá kerültek... Szívszorító kiáltások hallatszottak, de azok azonnal elhallgattak, ahogy a legundorítóbb lények ültek ugyanazon emberek hátán, akik , elégedett tekintettel "kezelték" áldozataikat, a legkisebb figyelmet sem fordítva szenvedéseikre... Az emberek meztelen lábai alatt vörösen izzó kövek vöröslöttek, a forró bíbor föld bugyborékolt és "olvadt". magasan, enyhe köddel párologtatva... A „gödör” kellős közepén pedig egy élénkvörös, széles, tüzes folyó ömlött, amelybe időnként ugyanazok az undok szörnyek dobtak váratlanul egy-egy meggyötört entitást, ami , zuhanás, csak egy rövid narancssárga szikra csobbanását idézte elő, majd egy pillanatra pihe-puha fehér felhővé változva eltűnt... örökre... Igazi pokol volt, és Stellával szerettünk volna „eltűnni” onnan mielőbb...
- Mit fogunk csinálni? .. - suttogta Stella csendes rémülettel. - Le akarsz menni? Tudunk valamit tenni, hogy segítsünk nekik? Nézzétek mennyi van!...
Egy feketebarna, hőtől kiszáradt sziklán álltunk, néztük a fájdalom, a kilátástalanság és az erőszak alatt húzódó „zűrzavart”, elöntött a rémület, és olyan gyerekesen tehetetlennek éreztük magunkat, hogy ezúttal még az én harcias Stellám is kategorikusan összehajtotta kócos „ szárnyak”, és az első hívásra készen állt, hogy rohanjon a saját, oly kedves és megbízható felső „emeletére” ...

Valós változó exponenciális függvénye (for pozitív talaj) meghatározása több lépésben történik. Először is, a természeti értékekre - egyenlő tényezők termékeként. A meghatározást ezután a szabályok negatív egész és nem nulla értékekre is kiterjesztik. Továbbá törtmutatókat veszünk figyelembe, amelyeknél az érték exponenciális függvény a gyökerek határozzák meg: . Az irracionális értékek esetében a definíció már összefügg a matematikai elemzés alapfogalmával - a kontinuitás okán a határokig való átlépéssel. Mindezek a megfontolások semmiképpen nem alkalmazhatók arra a kísérletre, hogy az exponenciális függvényt a mutató komplex értékeire terjesztik ki, és ami például teljesen érthetetlen.

Az integrálszámítás számos konstrukciójának elemzése alapján először Euler vezetett be egy természetes bázisú, összetett kitevővel rendelkező fokozatot. Néha nagyon hasonló algebrai kifejezések integrálva teljesen eltérő válaszokat adnak:

Ugyanakkor itt formálisan megkapjuk a második integrált az elsőből úgy, hogy ezt helyettesíti

Ebből arra következtethetünk, hogy egy komplex kitevővel rendelkező exponenciális függvény megfelelő definíciójával az inverz trigonometrikus függvények a logaritmusokhoz, így az exponenciális függvények a trigonometrikus függvényekhez kapcsolódnak.

Eulernek volt bátorsága és fantáziája, hogy ésszerű definíciót adjon az exponenciális függvényre bázissal, nevezetesen,

Ez egy definíció, ezért ez a képlet nem bizonyított, csak érveket lehet keresni egy ilyen meghatározás ésszerűsége és célszerűsége mellett. Matematikai elemzés sok ilyen érvet ad fel. Csak egyre korlátozzuk magunkat.

Ismeretes, hogy valósra a határreláció teljesül: . A jobb oldalon van egy polinom, amely még az összetett értékekhez is értelmes. A komplex számok sorozatának határa természetes módon van meghatározva. Egy sorozatról azt mondjuk, hogy konvergál, ha a valós és a sorozatok képzeletbeli részekés elfogadta

Találjuk meg. Ehhez forduljunk a trigonometrikus formához, és az argumentumhoz az intervallumból választunk értékeket. Ezzel a választással egyértelmű, hogy a számára. További,

A határérték eléréséhez ellenőrizni kell a határértékek meglétét, és meg kell találni ezeket a határokat. Egyértelmű, hogy és

Tehát a kifejezésben

a valós rész hajlamos , a képzeletbeli - arra

Ez az egyszerű érv az egyik érv az exponenciális függvény Euler-definíciója mellett.

Most állapítsuk meg, hogy az exponenciális függvény értékeinek szorzásakor a kitevők összeadódnak. Igazán:

2. Euler-képletek.

Betesszük az exponenciális függvény definícióját. Kapunk:

B-t -b-re cserélve azt kapjuk

Ezeket az egyenlőségeket tagonként összeadva és kivonva megtaláljuk a képleteket

az úgynevezett Euler-képleteket. Kapcsolatot teremtenek a trigonometrikus függvények és az exponenciális és a képzeletbeli kitevő között.

3. Komplex szám természetes logaritmusa.

Egy trigonometrikus formában megadott komplex szám alakban írható fel. Ezt a komplex szám írási formáját exponenciálisnak nevezzük. Megőrzi a trigonometrikus forma minden jó tulajdonságát, de még tömörebb. Továbbá ezért természetes az a feltételezés, hogy így egy komplex szám logaritmusának valós része a modulusának logaritmusa, az imaginárius része pedig az argumentuma. Ez bizonyos mértékig megmagyarázza az argumentum "logaritmikus" tulajdonságát - a szorzat argumentuma egyenlő a tényezők argumentumainak összegével.

logaritmikus függvény

A logaritmikus függvény egy f(x) = logax alakú függvény, amelyre definiált

Tartomány: . Értéktartomány: . A függvény szigorúan növekszik, ha > 1, és szigorúan csökken, ha 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Az x = 0 egyenes a bal oldali függőleges aszimptota, mivel a > 1 és 0 esetén< a < 1.

A logaritmikus függvény deriváltja:

A logaritmikus függvény izomorfizmust valósít meg a pozitív valós számok multiplikatív csoportja és az összes valós szám additív csoportja között.

Komplex logaritmus

Definíció és tulajdonságok

Komplex számok esetén a logaritmus ugyanúgy definiálható, mint a valós. A gyakorlatban szinte kizárólag a természetes komplex logaritmus használatos, amelyet az összes z komplex szám halmazaként jelölünk és definiálunk úgy, hogy ez = w. A komplex logaritmus bárki számára létezik, és valós része egyedileg meghatározott, míg az imagináriusnak végtelen sok értéke van. Emiatt többértékű függvénynek nevezik. Ha w-t exponenciális formában ábrázoljuk:

akkor a logaritmust a következő képlettel találjuk meg:

Itt -- valós logaritmus, r = | w | , k egy tetszőleges egész szám. A k = 0 esetén kapott értéket a komplex természetes logaritmus főértékének nevezzük; a benne lévő argumentum értékét szokás a (? p, p] intervallumban venni.A megfelelő (már egyértékű) függvényt a logaritmus főágának nevezzük és jelöljük.Néha a logaritmus értéke, nem fekszik a főágon is jelöljük.

A képletből a következő:

A logaritmus valós részét a következő képlet határozza meg:

Egy negatív szám logaritmusát a képlet határozza meg.