A maradékgyűrű multiplikatív csoportja. Multiplikatív csoport A maradékgyűrű multiplikatív csoportja

Nem vagy rabszolga!
Zárt oktatási tanfolyam az elit gyermekeinek: "A világ igazi elrendezése".
http://noslave.org

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Multiplikatív maradékgyűrűcsoport modulo m a maradékok gyűrűjének invertálható elemeinek multiplikatív csoportja modulo m. Ebben az esetben a maradékok bármely redukált rendszere modulo m.

A csökkentett levonási rendszer

A csökkentett levonási rendszer modulo m- a teljes maradékanyag-rendszer összes számának halmaza modulo m, koprime with m. A maradékok redukált rendszereként modulo m rendszerint viszonylag prime m számok től 1 előtt m-1 .

Példa: a modulo 42 redukciós rendszere a következő lesz: ( 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41 ).

Tulajdonságok

Csökkentett maradék rendszer modulo szorzással m nevű csoportot alkot multiplikatív csoport vagy a maradékgyűrű invertálható elemeinek csoportja modulo m , amelyet jelölünk texvc vagy Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)_m) .

Ha m prím, majd, amint fentebb megjegyeztük, az 1, 2, ... elemek, m-1 benne van Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \mathbb(Z)_m^(\times). Ebben az esetben Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \mathbb(Z)_m^(\times) egy mező.

Belépés formái

Modulo maradék gyűrű n kijelöl Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README részt.): \mathbb(Z)/n\mathbb(Z) vagy Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \mathbb(Z)_n. Multiplikatív csoportját, mint általában a gyűrűk invertálható elemeiből álló csoportok esetében, jelöljük Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): (\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^*, Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README oldalt.: (\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^\time, Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.: U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)), Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.: E(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)), Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \mathbb(Z)_n^(\times), Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)_n) .

A legegyszerűbb eset

A csoport felépítésének megértése Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc , tekinthetjük a speciális esetet Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): n=p^a, ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc - egy prímszámot, és általánosítsd. Fontolgat legegyszerűbb eset, amikor Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): a=1, azaz Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): n=p .

Tétel: Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc - ciklikus csoport.

Példa : Gondoljunk egy csoportra Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))= (1,2,4,5,7,8) A csoportgenerátor a 2-es szám. Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README oldalt.): 2^1 \equiv 2\ \pmod 9 Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README oldalt.): 2^2 \equiv 4\ \pmod 9 Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README oldalt.): 2^3 \equiv 8\ \pmod 9 Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README oldalt.): 2^4 \equiv 7\ \pmod 9 Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README oldalt.): 2^5 \equiv 5\ \pmod 9 Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README oldalt.): 2^6 \equiv 1\ \pmod 9 Mint látható, a csoport bármely eleme Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z)) formában lehet bemutatni Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítási segítséget.): 2^l, ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 1\le\ell< \varphi(m) . Ez egy csoport Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))- ciklikus.

Általános eset

Az általános eset figyelembe vételéhez meg kell határozni egy primitív gyökeret. Primitív gyökér modulo prím Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): p egy olyan szám, amely maradékosztályával együtt egy csoportot generál Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)/p\mathbb(Z)) .

Példák: 2 11 ; 8 - primitív gyökér modulo 11 ; 3 nem primitív modulo gyökér 11 .

Egy teljes modul esetén Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítási segítséget.): n a meghatározás ugyanaz.

A csoport szerkezetét a következő tétel határozza meg: Ha p páratlan prímszám és l pozitív egész szám, akkor vannak modulo primitív gyökök Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README részt.): p^(l), azaz Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)/p^(l)\mathbb(Z)) ciklikus csoport.

Simplicity Witness Alcsoport

Legyen Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc - 1-nél nagyobb páratlan szám. Szám Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc formában egyértelműen bemutatásra kerül Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): m-1 = 2^s \cdot t, ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítási segítséget.): t páratlan. Egész szám Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): a , Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): 1< a < m , nak, nek hívják tanúja az egyszerűségnek számok Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): m ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): a^t\equiv 1\pmod m

van egy egész szám Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): k , Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 0\leq k , oly módon, hogy Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README hangolási segítséget.): a^(2^kt)\equiv m-1\pmod m.

Ha szám Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): m- összetett, a maradékgyűrű multiplikatív csoportjának van egy alcsoportja, amelyet az egyszerűség tanúinak alcsoportjának neveznek. Hatalomra emelt elemei Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): m-1, egybeesik Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc modulo Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): m .

Példa : Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): m=9. Van Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): 6 maradványok koprime -val Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc , ezt Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README - beállítási súgót.): 1,2,4,5,7És Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc . Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 8 egyenértékű Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): -1 modulo Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 9, azt jelenti Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): 8^(8) egyenértékű Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): 1 modulo Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 9. Eszközök, Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): 1És Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 8- tanúi a szám egyszerűségének Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 9. Ebben az esetben (1, 8) az egyszerűség tanúinak alcsoportja.

Tulajdonságok

Csoportos kiállító

Generátorkészlet

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)) akkor és csak akkor ciklikus csoport Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \varphi(n)=\lambda(n). Ciklikus csoport esetén a generátort primitív gyökérnek nevezzük.

Példa

Csökkentett maradékanyag-rendszer modulo Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 10 tartalmaz Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 4 levonási osztályok: Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): _(10), _(10), _(10), _(10). A maradékosztályokra meghatározott szorzás tekintetében csoportot alkotnak, és Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc És Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): _(10) kölcsönös (pl. Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): _(10)(\cdot)_(10) = _(10)), de Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): _(10)És Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): _(10) inverzek önmagukkal szemben.

Csoportstruktúra

Felvétel Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): C_n jelentése "n-rendű ciklikus csoport".
Csoportstruktúra Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))

Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)) Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc generátor Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): n\; Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)) Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \varphi(n) Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A konfigurációs segítségért lásd a math/README részt.): \lambda(n)\; generátor
2 C1 1 1 1 33 C2×C10 20 10 10, 2
3 C2 2 2 2 34 C 16 16 16 3
4 C2 2 2 3 35 C2×C12 24 12 6, 2
5 C4 4 4 2 36 C2×C6 12 6 19, 5
6 C2 2 2 5 37 C 36 36 36 2
7 C6 6 6 3 38 C 18 18 18 3
8 C2×C2 4 2 7, 3 39 C2×C12 24 12 38, 2
9 C6 6 6 2 40 C2×C2×C4 16 4 39, 11, 3
10 C4 4 4 3 41 C40 40 40 6
11 C 10 10 10 2 42 C2×C6 12 6 13, 5
12 C2×C2 4 2 5, 7 43 C42 42 42 3
13 C 12 12 12 2 44 C2×C10 20 10 43, 3
14 C6 6 6 3 45 C2×C12 24 12 44, 2
15 C2×C4 8 4 14, 2 46 C 22 22 22 5
16 C2×C4 8 4 15, 3 47 C46 46 46 5
17 C 16 16 16 3 48 C2×C2×C4 16 4 47, 7, 5
18 C6 6 6 5 49 C42 42 42 3
19 C 18 18 18 2 50 C 20 20 20 3
20 C2×C4 8 4 19, 3 51 C2×C16 32 16 50, 5
21 C2×C6 12 6 20, 2 52 C2×C12 24 12 51, 7
22 C 10 10 10 7 53 C 52 52 52 2
23 C 22 22 22 5 54 C 18 18 18 5
24 C2×C2×C2 8 2 5, 7, 13 55 C2×C20 40 20 21, 2
25 C 20 20 20 2 56 C2×C2×C6 24 6 13, 29, 3
26 C 12 12 12 7 57 C2×C18 36 18 20, 2
27 C 18 18 18 2 58 C 28 28 28 3
28 C2×C6 12 6 13, 3 59 C 58 58 58 2
29 C 28 28 28 2 60 C2×C2×C4 16 4 11, 19, 7
30 C2×C4 8 4 11, 7 61 C60 60 60 2
31 C 30 30 30 3 62 C 30 30 30 3
32 C2×C8 16 8 31, 3 63 C6×C6 36 6 2, 5
Alkalmazás

Történelem

A maradékgyűrű multiplikatív csoportjának szerkezetének vizsgálatához Artin, Bielharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler járult hozzá. Lagrange bebizonyította azt a lemmát, hogy ha Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): f(x) \in k[x], és k egy mező, akkor f-nek legfeljebb n különböző gyöke van, ahol n f hatványa. Bebizonyította, hogy ennek a lemmának az összevetéséből álló fontos velejárója Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): x^(p-1)-1 ≡ Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A hangolási segítségért lásd a matematikát/README-t.): (x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p). Euler bebizonyította Fermat kis tételét. Waring megfogalmazta Wilson tételét, Lagrange pedig bebizonyította. Euler a primitív gyökök létezését javasolta prímszám modulo. Gauss bebizonyította. Artin felállította hipotézisét a létezésről és a számszerűsítésről prímszámok, modulo amely az adott egész egy primitív gyök. Brouwer hozzájárult az egymást követő egész számok halmazainak létezésének problémájának tanulmányozásához, amelyek mindegyike a kth modulo p hatvány. Bielhartz bebizonyította Artin sejtésének analógját. Hooley bebizonyította Artin sejtését azzal a feltételezéssel, hogy a kiterjesztett Riemann-hipotézis érvényes algebrai számmezőkre.

Írjon véleményt a "Multiplicative Residue Ring Group" cikkről
Megjegyzések

Irodalom

Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe. - M .: Mir, 1987.

Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. A kriptográfia alapjai. - Moszkva: "Helios ARV", 2002.

Rosztovcev A.G., Makhovenko E.B. Elméleti kriptográfia. - Szentpétervár: NPO "Professzionális", 2004.

Linkek

Bukhshtab A. A. Számelmélet. - M .: Oktatás, 1966.

Weisstein, Eric W.(angolul) a Wolfram MathWorld honlapján.

A maradékgyűrű multiplikatív csoportját jellemző részlet
„Nem vagyok furcsa, csak élek. De én két világ között élek - az élők és a holtak között... És látom azt, amit sokan sajnos nem látnak. Mert valószínűleg senki sem hisz nekem... De minden sokkal könnyebb lenne, ha az emberek hallgatnának, és legalább egy percig gondolkodnának, még ha nem is hinnének... De úgy gondolom, hogy ha ez megtörténik, amikor Egy napon, akkor ma biztosan nem fog megtörténni... de ma együtt kell élnem ezzel...
– Sajnálom, drágám… – suttogta a férfi. „Tudod, sok hozzám hasonló ember van itt. Több ezren vannak itt... Valószínűleg érdekes lenne beszélgetni velük. Még igazi hősök is vannak, nem úgy, mint én. Sok van itt...
Hirtelen vad vágy támadt, hogy segítsek ezen a szomorú, magányos emberen. Valójában fogalmam sem volt, mit tehetnék érte.
„Akarod, hogy egy másik világot teremtsünk neked, amíg itt vagy?” – kérdezte váratlanul Stella.
Remek ötlet volt, és kicsit szégyelltem magam, amiért először nem jutott eszembe. Stella csodálatos ember volt, és valahogy mindig talált valami kedveset, ami örömet okozhat másoknak.
- Miféle "más világ"? .. - lepődött meg a férfi.
„Nézd, nézd…” és sötét, komor barlangjában hirtelen ragyogó, örömteli fény ragyogott fel!.. „Hogy tetszik egy ilyen ház?”
„Szomorú” barátunk szeme boldogan felcsillant. Tanácstalanul nézett körül, nem értette, mi történt itt... És hátborzongató, sötét barlangjában ragyogóan és vidáman sütött a nap, illatos volt a buja növényzet, énekeltek a madarak, és csodálatos virágszagok illata volt. virágok... túlsó sarkában egy patak vidáman zúgott, a legtisztább, legfrissebb, kristályvíz cseppjeit fröcskölte...
- Tessék! Ahogy szeretnéd? – kérdezte Stella vidáman.
A látottaktól teljesen elképedt férfi egy szót sem szólt, csak csodálkozástól elkerekedett szemekkel nézte ezt a szépséget, amelyben a „boldog” könnyek remegő cseppjei tiszta gyémántként ragyogtak...
- Uram, mióta nem láttam a napot! .. - suttogta halkan. - Ki vagy te lány?
- Ó, én csak egy férfi vagyok. Akárcsak te – halott. És itt van, már tudja – él. Néha együtt sétálunk itt. És természetesen segítünk, ha tudunk.
Nyilvánvaló volt, hogy a baba örült a hatásnak, és szó szerint izgatott a vágytól, hogy meghosszabbítsa ...
- Tényleg szereted? Akarod, hogy ez így maradjon?
A férfi csak bólintott, egy szót sem tudott kinyögni.
Meg sem próbáltam elképzelni, milyen boldogságot kellett volna átélnie ama fekete borzalom után, amelyben naponta és oly sokáig volt!
– Köszönöm, kedves… – suttogta halkan a férfi. – Mondd csak, hogy maradhat meg?
- Ó, ez könnyű! A te világod csak itt lesz, ebben a barlangban, és rajtad kívül senki sem fogja látni. És ha nem mész el innen, örökre veled marad. Nos, elmegyek hozzád ellenőrizni... A nevem Stella.
- Nem tudom, mit mondjak erre... Nem érdemeltem meg. Ez valószínűleg rossz... A nevem Luminary. Igen, nem sok „fényt” hozott még, amint látod...
- Ó, semmi, hozz még! - egyértelmű volt, hogy a baba nagyon büszke arra, amit tett, és repes az örömtől.
„Köszönöm, kedveseim...” A világító büszke lehajtott fejjel ült, és hirtelen sírva fakadt, mint egy gyerek...
- Nos, mi van a többiekkel, ugyanígy? .. - súgtam halkan Stella fülébe. - Biztosan sok van belőlük, igaz? Mit kell velük csinálni? Végül is nem igazságos segíteni valakinek. És ki adott nekünk jogot, hogy eldöntsük, melyikük érdemes ilyen segítségre?
Stellino arca azonnal elkomorodott...
– Nem tudom... De biztosan tudom, hogy így van. Ha nem lenne helyes, nem tudnánk megtenni. Vannak más törvények is...
Hirtelen eszembe jutott:
„Várjunk csak, de mi van a mi Haroldunkkal?! .. Lovag volt, tehát ő is ölt?” Hogyan tudott ott maradni, a „felső emeleten”? ..
– Fizetett mindenért, amit tett... Megkérdeztem – nagyon drágán fizetett... – válaszolta Stella komolyan, és viccesen ráncigálta a homlokát.
- Mit fizettél? - Nem értettem.
– Essence… – suttogta szomorúan a kislány. - Lényegének egy részét azért adta, amit életében tett. De a lényege nagyon magas volt, így még egy részét el is adta, de továbbra is „a csúcson” tudott maradni. Ezt azonban nagyon kevesen tudják megtenni, csak valóban nagyon fejlett entitások. Általában az emberek túl sokat veszítenek, és sokkal lejjebb esnek, mint eredetileg voltak. Milyen fényes...
Csodálatos volt... Szóval, miután valami rosszat tettek a Földön, az emberek elveszítették önmaguk egy részét (vagy inkább evolúciós potenciáljuk egy részét), és ugyanakkor még mindig abban a rémálomszerű borzalomban kellett maradniuk, ami az úgynevezett - "alsó" Astral... Igen, a hibákért, és igazából drágán kellett fizetni...
- Nos, most már mehetünk - csicseregte a kislány, és elégedetten intett a kezével. - Viszlát, Light! Eljövök hozzád!
Továbbmentünk, és új barátunk még mindig ült, megdermedve a váratlan boldogságtól, mohón szívta magába a Stella által teremtett világ melegét és szépségét, és olyan mélyre merült benne, ahogyan egy haldokló tenné, és magába szívta az élet, amely hirtelen visszatért hozzá. .
- Igen, így van, teljesen igazad volt! .. - mondtam elgondolkodva.
Stella sugárzott.
A legszivárványosabb hangulatban éppen a hegyek felé fordultunk, amikor egy hatalmas, tüskés karmú lény hirtelen előbukkant a felhők közül és egyenesen felénk rohant...
- Vigyázz magadra! - rikoltott Stela, és éppen sikerült két sor borotvaéles fogat látni, és egy erős hátba ütéstől fejjel a földre gurult...
A minket elfogó vad borzalomtól golyóként rohantunk végig egy széles völgyön, anélkül, hogy gondoltuk volna, hogy gyorsan átmehetnénk egy másik „emeletre”... Egyszerűen nem volt időnk ezen gondolkodni - túlságosan megijedtünk.
A lény pont felettünk repült, hangosan csattogva tátongó fogas csőrével, mi pedig rohantunk, amennyire csak lehetett, aljas nyálkás spray-ket szórtunk oldalra, és gondolatban imádkoztunk, hogy valami más is felkeltse hirtelen érdeklődését ennek a szörnyű „csodamadárnak”... Érezhető volt, hogy sokkal gyorsabb, és egyszerűen esélyünk sem volt elszakadni tőle. Gonoszként egy fa sem nőtt a közelben, nem volt bokrok, még kövek sem, amelyek mögé elbújhattak volna, csak a távolban egy baljós fekete szikla látszott.
- Ott! - kiáltotta Stella, és ujjával ugyanarra a sziklára mutatott.
Ám hirtelen, váratlanul, közvetlenül előttünk, valahonnan felbukkant egy lény, amelynek látványától szó szerint megfagyott a vérünk az ereinkben... Úgymond „egyenesen a levegőből” támadt, és valóban rémisztő volt. ... A hatalmas fekete tetemet teljesen beborította a hosszú, merev szőr, így úgy nézett ki, mint egy pocakos medve, csak ez a „medve” olyan magas volt, mint egy háromemeletes ház... A szörnyeteg göröngyös fejét „ házas” két hatalmas, ívelt szarvával, és egy pár hihetetlenül hosszú, éles, mint a kés agyar díszítette iszonyatos száját, amelyre csak ránézve ijedtében a lábak engedtek... Aztán, kimondhatatlanul meglepődve, a szörnyeteg könnyedén. felugrott és .... felkapta az egyik hatalmas agyarára a repülő "szart"... Döbbenten lefagytunk.
- Fussunk!!! Stella sikoltott. - Fussunk, amíg ő "elfoglalt"! ..
És már készen álltunk, hogy hátranézés nélkül újra rohanjunk, amikor hirtelen megszólalt a hátunk mögött egy vékony hang:
- Lányok, várjatok! Nem kell menekülni! .. Dean megmentett, ő nem ellenség!
Élesen megfordultunk - egy pici, nagyon szép fekete szemű lány állt mögötte... és nyugodtan simogatta a hozzá közeledő szörnyet!.. Kipattant a szemünk a meglepetéstől... Hihetetlen volt! Egy biztos - meglepetések napja volt!.. A lány ránk nézve barátságosan mosolygott, egyáltalán nem félt a közelben álló szőrös szörnyetegtől.
Kérlek, ne félj tőle. Ő nagyon kedves. Láttuk, hogy Ovara üldöz téged, és úgy döntöttünk, hogy segítünk. Dean jó srác, időben sikerült. Tényleg, jó?
"Jó" dorombolt, ami enyhe földrengésnek tűnt, és fejét lehajtva megnyalta a lány arcát.
– És ki az az Owara, és miért támadt meg minket? Megkérdeztem.
Mindenkit megtámad, ő egy ragadozó. És nagyon veszélyes – válaszolta a lány higgadtan. – Megkérdezhetem, mit keresel itt? Ti nem ide valók vagytok, lányok?
- Nem, nem innen. Csak sétáltunk. De ugyanaz a kérdés neked is: mit keresel itt?
Megyek anyámhoz... - lett szomorú a kislány. „Együtt haltunk meg, de valamiért itt kötött ki. És most itt élek, de ezt nem mondom el neki, mert soha nem fog egyetérteni ezzel. Azt hiszi, csak jövök...
– Nem jobb, ha csak jön? Olyan szörnyű itt! .. - Stella megrándította a vállát.
„Nem hagyhatom itt egyedül, figyelem őt, hogy ne történjen vele semmi. És itt van velem Dean... Segít nekem.
Egyszerűen nem hittem el... Ez a pici bátor lány önként hagyta el gyönyörű és kedves "padlóját", hogy ebben a hideg, rettenetes és idegen világban éljen, megvédve édesanyját, aki valamiben nagyon "bűnös" volt! Szerintem nem sokan lettek volna ennyire bátrak és önzetlenek (még felnőttek is!) Azok, akik ekkora bravúr mellett döntöttek volna... És rögtön arra gondoltam – talán csak nem értette, mire fogja magát kárhoztatni. ?!
- És mióta vagy itt, kislány, ha nem titok?
„Nemrég...” – válaszolta szomorúan a fekete szemű kislány, ujjaival göndör haja fekete tincsét rángatva. - Olyan szép világba kerültem, amikor meghaltam! .. Olyan kedves és fényes volt! .. És akkor láttam, hogy anyám nincs velem, és rohantam megkeresni. Eleinte olyan ijesztő volt! Valamiért nem volt sehol... Aztán beleestem ebbe a szörnyű világba... Aztán megtaláltam. Annyira megrémültem itt... Olyan magányos... Anya azt mondta, hogy menjek el, még meg is szidott. De nem hagyhatom el... Most van egy barátom, az én jó Deanem, és valahogy itt tudok létezni.
A „jó barátja” ismét felmordult, ami hatalmas „alsó asztrális” libabőrt okozott Stellában és bennem... Miután összeszedtem magam, próbáltam egy kicsit megnyugodni, és elkezdtem nézni ezt a szőrös csodát... Ő pedig, azonnal érezve hogy észrevette, rettenetesen kitátotta agyaras száját... Hátraugrottam.
- Ó, kérlek, ne félj! Ő az, aki rád mosolyog - nyugtatta meg a lány.
Igen... Egy ilyen mosolyból megtanulsz gyorsan futni... - gondoltam magamban.
– De hogyan történt, hogy összebarátkoztál vele? – kérdezte Stella.
- Amikor először jöttem ide, nagyon megijedtem, főleg amikor ma olyan szörnyeket támadtak, mint te. Aztán egy napon, amikor majdnem meghaltam, Dean megmentett egy csomó hátborzongató repülő "madártól". Először én is féltem tőle, de aztán rájöttem, milyen arany szíve van... Ő a legjobb barát! Soha nem volt ilyenem, még akkor sem, amikor a Földön éltem.
Hogy szoktad meg ilyen gyorsan? A megjelenése nem egészen ismerős, mondjuk...
- És itt megértettem egy nagyon egyszerű igazságot, amit valamiért nem vettem észre a Földön - a megjelenés nem számít, ha az embernek vagy a teremtménynek jó a szíve... Anyám nagyon szép volt, de néha nagyon dühös is. . Aztán minden szépsége eltűnt valahol... Dean pedig, bár félelmetes, mindig nagyon kedves, és mindig megvéd, érzem a jóságát és nem félek semmitől. Meg lehet szokni a külsőt...

4) A maradékok szorzócsoportja:
modulo n.
Valamivel nehezebb meghatározni
multiplikatív maradékcsoport vele
modulo n. Ennek a csoportnak az elemei alkotnak
halmaz Z*n , amely Zn elemekből áll,
viszonylag prím az n-hez. A kölcsönösség fogalma
az egyszerűségnek a következő jelentése van:
ha k egész szám, akkor gcd(a,n) = 1
egyenértékű a gcd(a+kn,n) =1-gyel.
7. tétel.
Rendszer
véges Abel-csoport.
Bizonyíték.
Ellenőrizzük, hogy van-e bármely elem
inverz a csoportművelet értelmében.
(A semleges elem C1 osztályú).
Az a inverzének meghatározásához vegyük figyelembe
az eljárással előállított hármas (d,x,y).
Kiterjesztett-Euklidész(a,n). Amennyiben
, a és n számok
koprím és d= gcd(a,b) = 1, tehát
ax + ny = 1 és
, így,
elem az inverze
csoportban
.
A fordítva egyedisége bizonyítható
(mint minden csoportnál) az alábbiak szerint:
ha x és x' inverze a-val, akkor
,
és a zárójelek átrendezése asszociativitás szerint,
kapunk
stb.
A következőkben az egyszerűség kedvéért a modulo összeadást és szorzást a szokásos + és ∙ jelekkel jelöljük (néha elhagyjuk a szorzójelet), és összeadjuk
A következőkben az egyszerűség kedvéért jelöljük
összeadás és szorzás modulo hagyományos
+ és ∙ jelek (néha kihagyva a szorzójelet), és
additív és multiplikatív csoportok
A modulo n maradékokat Zn és Z*n jelöljük
(a csoportos működésről nem is beszélve). Elem,
inverz (a szorzás műveletéhez képest)
a-hoz a-1 mod n-t fogunk jelölni. Normális esetben,
az a/b hányadost Z*n-ben a következőképpen definiáljuk
ab-1(mod n). Például be
nekünk van
(15-ös mód),
Amennyiben
, ahol
.
5) A visszafordítható elemek száma a maradékgyűrűben.
A megfordítható elemek száma a gyűrűben
levonások, azaz. elemek száma benne
,
jelöljük
. A függvényt hívják
- Euler függvény.
Az Euler-függvényre a következő képletet tudjuk bebizonyítani: (3) ahol p1,….,ps az n összes prímosztóinak listája. Ez a képlet a következőképpen magyarázható:
A függvényre be lehet bizonyítani egy ilyen képletet
Euler:
(3)
ahol p1,….,ps az összes prímosztó listája
n szám. Ezt a képletet így magyarázhatod:
a t véletlenszám relatív prímszáma n-hez képest, ha
nem osztható p1-gyel (aminek a valószínűsége
(1-1/p1)), nem osztható p2-vel (valószínűség (1-1/p2))
stb., és ezek az események függetlenek.
Például,
,
mivel a 45 főosztói
a 3-as és az 5-ös számok. Prímszám esetén
nekünk van
(4)
mivel minden 1,2,…, p -1 szám viszonylag prím a p-hez képest.
Ha n összetett szám, akkor
6) Alcsoportok.
Legyen
egy csoport és
.
Ha
akkor is egy csoport
a csoport alcsoportjának nevezzük
. Például,
a páros számok egész számok alcsoportját alkotják
(összeadási művelettel).
10. Ha egy véges csoport részcsoportja, akkor oszt.
8. tétel (Lagrange).
Ha
véges csoport alcsoportja
azután
oszt.
,
11. Bizonyítás.
Megtalálható az algebrai tankönyvekben (S csoport
nem átfedő osztályokra osztva
kedves
, mindegyik tartalmaz
elemek).
Egy S csoport S' alcsoportja, amely nem esik egybe
az egész csoportot sajátnak nevezzük
alcsoport.
12. Következmény 8.1.
Ha S' egy véges megfelelő részcsoportja
S csoport, akkor
.
Ez Lagrange tételének (nyilvánvaló) következménye
valószínűségi elemzésében használt
Schiller-Rabin algoritmus
(egyszerűségi ellenőrzés).
13. 7) Egy csoport eleme által generált alcsoport.
Legyen a egy véges valamely eleme
csoport S. Tekintsük a sorrendet
elemeket
A hatáskörök analógiájára (csoportos működés
szorzásnak felel meg) fogjuk írni
stb.
Ezt könnyű belátni
,
különösen
. Hasonló
kijelentés is megfogalmazható
"negatív erők"
különösen
.
14. Ha az S csoport véges, akkor a sorozat periodikus lesz (a következő elemet az előző határozza meg, tehát egyszer megismétlődik, el
Ha az S csoport véges, akkor
utósorozat
periodikus lesz (következő elem
az előző határozza meg, tehát egyszer
ismétlődő, az elemek ismétlődnek
ciklus). Tehát a sorrend
van formája
(minden megismétlődik) és t-t tartalmaz
különböző elemek, ahol t a legkisebb
pozitív szám, amelyre
.
Ezt a számot az a és az elemek sorrendjének nevezzük
ord(a) jelöléssel.
15. A megadott t elemek alcsoportot alkotnak, mert a csoportművelet a "kitevők" hozzáadásának felel meg. Ezt az alcsoportot ún
A megadott t elemek alkotnak
alcsoport, mert csoportos működésnek felel meg
kitevők hozzáadása. Ez az alcsoport
az a és elem által generáltnak nevezzük
jelöljük, vagy ha kifejezetten meg akarjuk adni
csoportos működés,
). A elem
az alcsoport generátorának nevezik
; azt mondják,
hogy ezt az alcsoportot generálja.
Például a Z6 csoport a=2 eleme
elemekből álló alcsoportot generál
0,2,4.
16. Íme a Z6 csoport több alcsoportja, amelyeket különböző elemek generálnak: . Hasonló példa egy multiplikatív csoportra: itt Az elmondottakból
Íme a Z6 csoport néhány alcsoportja,
különböző elemek által generált:
. Hasonló
példa multiplikatív csoportra
:
itt
A 9. tétel az elmondottakból következik.
17. Legyen véges csoport. Ha, akkor az a-val generált alcsoport elemeinek száma egybeesik a (vagyis) sorrendjével.
9. tétel.
Legyen
- végső csoport. Ha
, majd a szám
által generált alcsoport elemei egybeesnek
rendelni (pl.
).
18. Következmény 9.1.
Utóbbi
időszaka van
t=ord(a);
más szavakkal
, akkor és csak akkor,
amikor
.
A periodicitás lehetővé teszi a folytatást
szekvencia mindkét irányban, meghatározó
hogyan
bármely i egész számra, beleértve
negatív.
19. Következmény 9.2.
Az utolsó csoportban
az e egységgel minden
egyenlőség
.
Bizonyíték. A Lagrange-tétel (a) tétele szerint
honnan osztja el
, ahol
stb.
20. 8) Lineáris diofantin egyenletek megoldása.
Érdekelnek minket az egész számok.
az egyenlet megoldása
(5)
(itt a, b és n egész számok; ilyen egyenletek
"lineáris diofantinnak" nevezik
egyenletek"). Nyilvánvaló, hogy csak a
x n-nel való osztásának maradéka, így (5) megoldása
természetes, hogy nem egész számot, hanem elemet nevezünk meg
csoport Zn, (az ugyanazt adó számok osztálya
maradék, ha elosztjuk n-nel). Így lehetséges
fogalmazza meg a problémát a következőképpen: vannak elemek
,
mindent keresünk
, amelyekre
.
21. Emlékezzünk vissza, hogy az a elem által generált alcsoportot jelöljük (jelen esetben a Zn csoport alcsoportját). Definíció szerint tehát az egyenletek
Emlékezzen arra keresztül
jelöljük
az a elem által generált alcsoport (az adott
eset a Zn csoport alcsoportja). Definíció szerint
, tehát az (5) egyenlet
legalább egy megoldása van akkor és csak
akkor mikor
. Hány elem van benne
?
A Lagrange-tétel (T8) szerint ez a szám
osztó n. Zn-ben a csoportművelet az
kiegészítés, mert A Zn egy additív csoport, tehát
.
22. Legyen az egyenlet megoldható, és legyen a megoldása. Ekkor az egyenletnek d =gcd(a,n) Zn-beli megoldása van a képlet alapján, ahol i = 0,1,2,... , n - 1.
10. tétel.
Legyen az egyenlet
megoldható és
az ő megoldása. Akkor az egyenlet megvan
d =gcd(a,n) a képlettel megadott cinkben lévő oldatok
, ahol i = 0,1,2,... , n - 1.
23. Bizonyítás.
Kezdve n/d lépésekben, mi
tegyünk d lépést, mielőtt bezárjuk a kört, mert
. Minden átadott szám lesz
az egyenlet megoldásai
, mert at
x növelése n/d szorzattal ax
n(a/d)-vel nő, azaz. n többszörösére. Így
Így az összes d megoldást felsoroltuk.
a=b
a(+n/d)=a +an/d=a +na/d=a +kn≡a
h.t.d.
24. Legyen n > 1. Ha gcd(a, n) = 1, akkor az egyenletnek egyedi megoldása van (Zn-ben). A b=1 eset különösen fontos - itt találjuk x inverz elemét
Következmény 10.1
Legyen n > 1. Ha gcd(a, n) = 1, akkor az egyenlet
egyedi megoldása van (Zn-ben).
A b=1 eset különösen fontos, hiszen mi
x modulo n-re fordított elemet találunk, azaz.
inverz elem a csoportban.
25. Következmény 10.2
Legyen n > 1. Ha gcd(a, n) = 1, akkor
egyenlet ax ≡ 1 (mod n)
(6)
egyedülálló megoldással rendelkezik a Zn.
Gcd(a, n) > 1 esetén ez a megoldási egyenlet nem
Megvan.
Így megtanultunk számolni
inverz elem egy csoportban O(log n)
aritmetikai műveletek.
26. 9) Kínai maradéktétel.
Kr.e. 100 körül Song kínai matematikus
Tsu megoldotta a következő problémát: keress egy számot, amely megadja
ha elosztjuk 3-mal, 5-tel és 7-tel, a maradékok 2, 3 és 2
illetve ( általános forma megoldások 23+105k
k egész számra). Ezért a nyilatkozat arról
az összehasonlítások rendszerének ekvivalenciája kölcsönösen
egyszerű modulok és modulok összehasonlítása
műveket "kínai tételnek" nevezik
maradék."
27. Legyen valamilyen n szám páronkénti koprímszámok szorzataként. A kínai maradék tétel kimondja, hogy a száma
Legyen valamilyen n szám mint
páronkénti koprímszámok szorzata
. Kínai maradék tétel
kimondja, hogy a Zn maradékgyűrű szerkezete a következő
maradék gyűrűk terméke
(komponensenkénti összeadással és szorzással).
Ez a megfeleltetés az algoritmusnál is hasznos
szempontból, mivel könnyebben kivitelezhető
műveletek minden halmazon Zni mint
közvetlenül a Zn-be.
28. 10) Egy elem fokai.
Tekintsük a multiplikatív csoportban
levonások
fokozati sorrend
néhány elem a:
(7)
Nullától kezdjük a számolást, feltételezve
;
a 3 in szám hatványsorozatának i-edik tagja
A 7. modulnak a következő formája van:
és a 2 modulo 7 hatványaihoz a következőket kínáljuk:
29. 11) 11. tétel (Euler).
Ha n>1 egész szám, akkor
mindenkinek
, ahol
(8)
- Euler phi-függvénye.
Bizonyíték nélkül.
Egy n prím esetén a tétel „kicsivé változik
Fermat tétele.
30. 12) 12. tétel (Fermat kis tétele).
Ha p prímszám, akkor
(9)
mindenkinek
.
Bizonyíték. Mivel p prím,
\u003d p-1, h.t.d.
31. Következmény 12.1. Legyen p prímszám Következmény 12.2. Legyen p prímszám, akkor a Fermat-tétel alkalmazható lesz a=0-ra.
32. 13) 13. tétel (Euler-tétel erősítése).
Legyen n=pq, ahol p és q különböző prímek.
Ezután bármely a egész számra és bármelyikre
természetes k megvan az azonosság
.
33. h.t.d.
Bizonyíték.
h.t.d.
34. 14) Hatványok számítása ismételt négyzetre emeléssel.
A hatványozás modulo fontos szerepet játszik
szerepe a számok elsődlegességének ellenőrzésében, valamint a
RSA kriptorendszer. Ami a közönséges számokat illeti,
az ismételt szorzás nem a leggyorsabb
út; jobb az algoritmus használata
újra négyzetre emelve.
35. Kiszámítjuk ab mod n-t, ahol a egy modulo n maradék, b pedig egy nemnegatív egész szám, amelynek alakja (bk,bk-1,...,b1,b0) bináris jelöléssel ( 3. szám
Ki akarjuk számítani ab mod n-t, ahol
a egy modulo n maradék, a b egy egész szám
nem negatív szám, amelynek binárisan
a (bk,bk-1,... ,b1,b0) űrlap bejegyzései (karakterek száma
tekintsük egyenlőnek k + 1; magas rangú, pl
általában a bal oldalon). Kiszámoljuk az ac mod n értéket
néhány c, ami növekszik, és a végén
végül egyenlővé válik b-vel.
36. Ha c-t megszorozzuk 2-vel, az ac szám négyzetre kerül, ha c-t 1-gyel növeljük, az ac számot megszorozzuk a-val. Minden lépésben c bináris reprezentációja eltolódik
1 balra, utána
mi, ha szükséges (bi=1), az utolsó számjegy
a bináris jelölés 0-ról 1-re változik. (3 Megjegyzés,
hogy a c változót valójában nem használjuk és
elhagyható.)
37. Becsülje meg az eljárás lefutási idejét! Ha a három szám, amely a kezdeti adata, nem tartalmaz több β bitet, akkor az aritmetikai műveletek száma ec
Becsüljük meg az eljárás lefutási idejét. Ha
három szám, amely az eredeti
az adatok legfeljebb β bitet tartalmazhatnak, akkor a szám
aritmetikai műveletek O(β), és a szám
bitesek - O (β 3).
Egy példa (a = 7, b = 560, n = 561) látható
ábra.
A négyzetesítés 1-gyel balra tolódik
szám foka.
38.
én
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
kettős
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
c
1
2
4
8
17
35
70
140
280
560
d
7
49
157
526
160
241
298
166
67
1
Rizs. Munkafolyamat felállítás be
fokozat modulo n
ahol a = 7, b = 560 = (1000110000) és n = 561.
A változó értékek ezután jelennek meg
a for ciklus törzsének következő végrehajtása.
Az eljárás 1-es választ ad vissza.
Modulo m, amelyet jelölünk $\mathbb(Z)_m^(\times)$ vagy $U(\mathbb(Z)_m)$ .
Ha m prím, majd, amint fentebb megjegyeztük, az 1, 2, ... elemek, m-1 benne van $\mathbb(Z)_m^(\times)$ . Ebben az esetben $\mathbb(Z)_m^(\times)$ egy mező.

Belépés formái

Modulo maradék gyűrű n kijelöl $\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)$ vagy $\mathbb(Z)_n$ . Multiplikatív csoportját, mint általában a gyűrűk invertálható elemeiből álló csoportok esetében, jelöljük $(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^*,$ $(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^\times,$ $U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)),$ $E(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)),$ $\mathbb(Z)_n^(\times),$ $U(\mathbb(Z)_n)$ .

A legegyszerűbb eset

A csoport felépítésének megértése $U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))$ , tekinthetjük a speciális esetet $n=p^a$ , ahol $p$ - egy prímszámot, és általánosítsd. Tekintsük a legegyszerűbb esetet, amikor $a=1$ , azaz $n=p$ .
Tétel: $U(\mathbb(Z)/p\mathbb(Z))$ ciklikus csoport.
Példa : Gondoljunk egy csoportra $U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))$
$U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))$ = (1,2,4,5,7,8) A csoportgenerátor a 2-es szám. $2^1 \equiv 2\ \pmod 9$ $2^2 \equiv 4\ \pmod 9$ $2^3 \equiv 8\ \pmod 9$ $2^4 \equiv 7\ \pmod 9$ $2^5 \equiv 5\ \pmod 9$ $2^6 \equiv 1\ \pmod 9$ Mint látható, a csoport bármely eleme $U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))$ formában lehet bemutatni $2^l$ , ahol $1\le\ell< \varphi(m)$ . Ez egy csoport $U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))$ - ciklikus.
Általános eset

Az általános eset figyelembe vételéhez meg kell határozni egy primitív gyökeret. Primitív gyökér modulo prím $p$ egy olyan szám, amely maradékosztályával együtt egy csoportot generál $U(\mathbb(Z)/p\mathbb(Z))$ .
Példák: 2 11 ; 8 - primitív gyökér modulo 11 ; 3 nem primitív modulo gyökér 11 .
Egy teljes modul esetén $n$ a meghatározás ugyanaz.
A csoport szerkezetét a következő tétel határozza meg: Ha p páratlan prímszám és l pozitív egész szám, akkor vannak modulo primitív gyökök $p^(l)$ , azaz $U(\mathbb(Z)/p^(l)\mathbb(Z))$ ciklikus csoport.

Simplicity Witness Alcsoport

Legyen $m$ - 1-nél nagyobb páratlan szám. Szám $m-1$ formában egyértelműen bemutatásra kerül $m-1 = 2^s \cdot t$ , ahol $t$ páratlan. Egész szám $a$ , $1 < a < m$ , nak, nek hívják tanúja az egyszerűségnek számok $m$ ha az alábbi feltételek egyike teljesül:

$a^t\equiv 1\pmod m$

van egy egész szám $k$ , $0\leq k, oly módon, hogy a^(2^kt)\equiv m-1\pmod m.$

Ha szám $m$ - összetett, a maradékgyűrű multiplikatív csoportjának van egy alcsoportja, amelyet az egyszerűség tanúinak alcsoportjának neveznek. Hatalomra emelt elemei $m-1$ , egybeesik $1$ modulo $m$ .
Példa : $m=9$ . Van $6$ maradványok koprime -val $9$ , ezt $1,2,4,5,7$ És $8$ . $8$ egyenértékű $-1$ modulo $9$ , azt jelenti $8^{8}$ egyenértékű $1$ modulo $9$ . Eszközök, $1$ És $8$ - tanúi a szám egyszerűségének $9$ . Ebben az esetben (1, 8) az egyszerűség tanúinak alcsoportja.

Tulajdonságok

Csoportos kiállító

Generátorkészlet

$U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))$ akkor és csak akkor ciklikus csoport $\varphi(n)=\lambda(n).$ Ciklikus csoport esetén a generátort primitív gyökérnek nevezzük.

Példa

Csökkentett maradékanyag-rendszer modulo $10$ tartalmaz $4$ levonási osztályok: $_{10}, _{10}, _{10}, _{10}$ . A maradékosztályokra meghatározott szorzás tekintetében csoportot alkotnak, és $_{10}$ És $_{10}$ kölcsönös (pl. $_(10)(\cdot)_(10) = _(10)$ ), de $_{10}$ És $_{10}$ inverzek önmagukkal szemben.

Csoportstruktúra

Felvétel $C_n$ jelentése "n-rendű ciklikus csoport".
Csoportstruktúra $U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))$

$n\;$ $U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))$ $\varphi(n)$ $\lambda(n)\;$ generátor $n\;$ $U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))$ $\varphi(n)$ $\lambda(n)\;$ generátor
2 C1 1 1 1 33 C2×C10 20 10 10, 2
3 C2 2 2 2 34 C 16 16 16 3
4 C2 2 2 3 35 C2×C12 24 12 6, 2
5 C4 4 4 2 36 C2×C6 12 6 19, 5
6 C2 2 2 5 37 C 36 36 36 2
7 C6 6 6 3 38 C 18 18 18 3
8 C2×C2 4 2 7, 3 39 C2×C12 24 12 38, 2
9 C6 6 6 2 40 C2×C2×C4 16 4 39, 11, 3
10 C4 4 4 3 41 C40 40 40 6
11 C 10 10 10 2 42 C2×C6 12 6 13, 5
12 C2×C2 4 2 5, 7 43 C42 42 42 3
13 C 12 12 12 2 44 C2×C10 20 10 43, 3
14 C6 6 6 3 45 C2×C12 24 12 44, 2
15 C2×C4 8 4 14, 2 46 C 22 22 22 5
16 C2×C4 8 4 15, 3 47 C46 46 46 5
17 C 16 16 16 3 48 C2×C2×C4 16 4 47, 7, 5
18 C6 6 6 5 49 C42 42 42 3
19 C 18 18 18 2 50 C 20 20 20 3
20 C2×C4 8 4 19, 3 51 C2×C16 32 16 50, 5
21 C2×C6 12 6 20, 2 52 C2×C12 24 12 51, 7
22 C 10 10 10 7 53 C 52 52 52 2
23 C 22 22 22 5 54 C 18 18 18 5
24 C2×C2×C2 8 2 5, 7, 13 55 C2×C20 40 20 21, 2
25 C 20 20 20 2 56 C2×C2×C6 24 6 13, 29, 3
26 C 12 12 12 7 57 C2×C18 36 18 20, 2
27 C 18 18 18 2 58 C 28 28 28 3
28 C2×C6 12 6 13, 3 59 C 58 58 58 2
29 C 28 28 28 2 60 C2×C2×C4 16 4 11, 19, 7
30 C2×C4 8 4 11, 7 61 C60 60 60 2
31 C 30 30 30 3 62 C 30 30 30 3
32 C2×C8 16 8 31, 3 63 C6×C6 36 6 2, 5
Alkalmazás

Történelem

A maradékgyűrű multiplikatív csoportjának szerkezetének vizsgálatához Artin, Bielharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler járult hozzá. Lagrange bebizonyította azt a lemmát, hogy ha $f(x) \in k[x]$ , és k egy mező, akkor f-nek legfeljebb n különböző gyöke van, ahol n f hatványa. Bebizonyította, hogy ennek a lemmának az összevetéséből álló fontos velejárója $x^(p-1)-1$ ≡ $(x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p)$ . Euler bebizonyította Fermat kis tételét. Waring megfogalmazta Wilson tételét, Lagrange pedig bebizonyította. Euler a primitív gyökök létezését javasolta prímszám modulo. Gauss bebizonyította. Artin felvetette hipotézisét azon prímszámok létezéséről és számszerűsítéséről, amelyeknek egy adott egész szám primitív gyök. Brouwer hozzájárult az egymást követő egész számok halmazainak létezésének problémájának tanulmányozásához, amelyek mindegyike a kth modulo p hatvány. Bielhartz bebizonyította Artin sejtésének analógját. Hooley bebizonyította Artin sejtését azzal a feltételezéssel, hogy a kiterjesztett Riemann-hipotézis érvényes algebrai számmezőkre.

Írjon véleményt a "Multiplicative Residue Ring Group" cikkről
Megjegyzések

Irodalom

Ireland K., Rosen M. Klasszikus bevezetés a modern számelméletbe. - M .: Mir, 1987.

Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. A kriptográfia alapjai. - Moszkva: "Helios ARV", 2002.

Rosztovcev A.G., Makhovenko E.B. Elméleti kriptográfia. - Szentpétervár: NPO "Professzionális", 2004.

Linkek

Bukhshtab A. A. Számelmélet. - M .: Oktatás, 1966.

Weisstein, Eric W.(angolul) a Wolfram MathWorld honlapján.

A maradékgyűrű multiplikatív csoportját jellemző részlet
- Megkaptam az üzenetet. Senki sem esett fogságba, senkit sem öltek meg. Kutuzov azt írja, - kiáltotta áthatóan, mintha ezzel a kiáltással akarná elűzni a hercegnőt, - megölték!
A hercegnő nem esett el, nem ájult el. Már sápadt volt, de amikor meghallotta ezeket a szavakat, megváltozott az arca, és valami megcsillant sugárzó, gyönyörű szemében. Mintha az öröm, a legmagasabb öröm, független e világ bánataitól és örömeitől, ömlött volna át a benne rejlő erős szomorúságon. Elfelejtette minden félelmét az apjától, odament hozzá, megfogta a kezét, magához húzta és átölelte száraz, inas nyakát.
– Mon pere – mondta. Ne fordulj el tőlem, sírjunk együtt.
- Gazemberek, gazemberek! – kiáltotta az öreg, és elhúzta magától az arcát. - Pusztítsd el a sereget, pusztítsd el az embereket! Miért? Menj, menj, mondd meg Lisának. A hercegnő tehetetlenül lerogyott egy karosszékbe az apja mellé, és sírt. Most látta bátyját abban a pillanatban, amikor szelíd és egyben arrogáns levegőjével búcsúzik tőle és Lizától. Abban a pillanatban látta őt, amikor gyengéden és gúnyosan magára tette az ikont. „Hitt? Megbánta-e hitetlenségét? Ott van most? Ott van az örök béke és boldogság hajlékában? gondolta.
– Mon pere, [atyám] mondd el, milyen volt? – kérdezte könnyek között.
- Menj, menj, egy csatában halt meg, amelyben az oroszokat a legjobb emberek és az orosz dicsőség megölésére vezették. Menj, Mary hercegnő. Menj és mondd el Lisának. Jönni fogok.
Amikor Mária hercegnő visszatért édesapjától, a kis hercegnő a munkahelyén ült, és azzal a különleges, befelé irányuló, boldogan nyugodt pillantással nézett Mária hercegnőre. Nyilvánvaló volt, hogy szeme nem Marya hercegnőt látja, hanem mélyen önmagába nézett - valami boldog és titokzatos dologba, ami benne történik.
– Marie – mondta, és eltávolodott a karikától, és hátrafelé kacsázott –, add ide a kezed. - Megfogta a hercegnő kezét és a hasára tette.
Szemei várakozóan mosolyogtak, a bajuszos szivacs felemelkedett, és gyerekesen boldogan felemelkedett.
Mária hercegnő letérdelt előtte, és menye ruhájának redőibe rejtette arcát.
- Itt, itt - hallod? Ez olyan furcsa nekem. És tudod, Marie, nagyon fogom őt szeretni – mondta Lisa, és csillogó, boldog szemekkel nézett sógornőjére. Mária hercegnő nem tudta felemelni a fejét: sírt.
- Mi van veled, Mása?
„Semmi… olyan szomorú… szomorú voltam Andrej miatt” – mondta, és a könnyeit menye térdébe törölte. A délelőtt folyamán Marya hercegnő többször is felkészítette menyét, és minden alkalommal sírni kezdett. Ezek a könnyek, amelyeknek a kis hercegnő nem értette az okát, megriasztották, bármennyire is figyelmes volt. Nem szólt semmit, csak nyugtalanul körülnézett, keresett valamit. Vacsora előtt az öreg herceg, akitől mindig is félt, belépett a szobájába, most különösen nyugtalan, haragos arccal, és szó nélkül kiment. Marya hercegnőre nézett, majd a terhes nők befelé forduló figyelmével gondolt, és hirtelen sírva fakadt.
Kaptál valamit Andrew-tól? - azt mondta.
- Nem, tudod, hogy még nem jöhetett a hír, de mon pere aggódik, én pedig félek.
- Ó semmi?
– Semmi – mondta Marya hercegnő, és határozottan sugárzó szemekkel nézett menyére. Úgy döntött, hogy nem mondja el neki, és rávette az apját, hogy titkolja a szörnyű hírt a menyétől az engedélyeig, aminek a minap kellett volna megérkeznie. Marya hercegnő és az öreg herceg, mindegyik a maga módján, hordozta és elrejtette bánatát. Az idős herceg nem akart reménykedni: úgy döntött, hogy Andrej herceget megölték, és annak ellenére, hogy tisztviselőt küldött Ausztriába fia nyomának felkutatására, emlékművet rendelt neki Moszkvában, amelyet szándékában áll felállítani. a kertjében, és mindenkinek elmondta, hogy a fiát megölik. Igyekezett nem változtatni korábbi életmódján, de ereje elárulta: kevesebbet sétált, kevesebbet evett, kevesebbet aludt, és napról napra gyengébb lett. Mary hercegnő remélte. Úgy imádkozott bátyjáért, mintha élne, és minden percben várta a hírt a visszatéréséről.
- Ma bonne amie, [jó barátom,] - mondta a kis hercegnő március 19-én reggeli után, és bajuszos szivacsja a régi szokásból felemelkedett; de ahogy ebben a házban nemcsak a mosoly, de a beszédek hangja, még a járás is, attól a naptól kezdve, hogy megkapták a szörnyű híreket, szomorúság volt, most is a kis hercegnő mosolya, aki engedett az általános hangulatnak, bár nem tudta az okát, olyan volt, hogy még inkább az általános szomorúságra emlékeztetett.
- Ma bonne amie, je crains que le fruschtique (comme dit Foka – szakács) de ce matin ne m "aie pas fait du mal. [Barátom, attól tartok, hogy a jelenlegi frischtik (ahogyan Foka séf nevezi) nem hogy rosszul érezzem magam.]
Mi van veled, lelkem? Sápadt vagy. Ó, nagyon sápadt vagy mondta ijedten Marya hercegnő, és nehéz, halk lépteivel odarohant menyéhez.
– Excellenciás úr, miért nem küldi el Marya Bogdanovnát? - mondta az egyik itt tartózkodó szobalány. (Mária Bogdanovna szülésznő volt egy kerületi városból, aki még egy hete Lysy Goryban élt.)
– És valóban – vette fel Marya hercegnő –, talán biztosan. Menni fogok. Bátorság, mon ange! [Ne félj, angyalom.] Megcsókolta Lisát, és ki akart hagyni a szobát.
- Ó, nem, nem! - És a sápadtság mellett a kis hercegnő arca az elkerülhetetlen testi szenvedéstől való gyermeki félelmet fejezte ki.
- Non, c "est l" estomac ... dites que c "est l" estomac, dites, Marie, dites ..., [Nem, ez a gyomor ... mondd, Mása, hogy ez a gyomor ...] - és a hercegnő gyerekesen, szenvedve, szeszélyesen, sőt kissé színlelt sírni kezdett, eltörve kis kezüket. A hercegnő Marya Bogdanovna után kirohant a szobából.
– Mon Dieu! Mon Dieu! [Istenem! Istenem!] Ó! – hallotta a háta mögül.
Telt, kicsi, fehér kezeit dörzsölve, a szülésznő már feléje ment, meglehetősen nyugodt arccal.
- Mária Bogdanovna! Úgy tűnik, elkezdődött ”- mondta Marya hercegnő, miközben ijedten nyitott szemekkel nézett nagyanyjára.
– Nos, hála Istennek, hercegnő – mondta Marya Bogdanovna anélkül, hogy egy lépést is tett volna. Nektek lányok nem kell erről tudnotok.
– De miért nem érkezett még meg az orvos Moszkvából? - mondta a hercegnő. (Lisa és Andrej herceg kérésére határidőre Moszkvába küldték szülészorvoshoz, akit percenként vártak.)
- Rendben van, hercegnő, ne aggódjon - mondta Marya Bogdanovna -, és orvos nélkül minden rendben lesz.
Öt perccel később a hercegnő hallotta a szobájából, hogy valami nehéz dolgot cipelnek. Kinézett – valamiért a pincérek egy bőrkanapét vittek be a hálószobába, amely Andrej herceg irodájában állt. A hordozó emberek arcán valami ünnepélyes és csendes volt.
Marya hercegnő egyedül ült a szobájában, hallgatta a ház hangját, időnként kinyitotta az ajtót, amikor elhaladtak mellette, és alaposan szemügyre vette, mi folyik a folyosón. Több nő halk léptekkel járkált ide-oda, visszanézett a hercegnőre, és elfordult tőle. Nem merte megkérdezni, becsukta az ajtót, visszatért a szobájába, és vagy leült a székére, vagy felvette az imakönyvet, vagy letérdelt a kiot elé. Szerencsétlenségére és meglepetésére úgy érezte, hogy az ima nem csillapítja izgatottságát. Hirtelen csendesen kinyílt szobájának ajtaja, és a küszöbön megjelent régi ápolónője, Praskovya Savishna zsebkendővel megkötve, aki a herceg tiltása miatt szinte soha nem ment be a szobájába.
- Azért jöttem, hogy leüljek hozzád, Masenka - mondta a dada -, igen, a herceg esküvői gyertyáit hozta a szent elé, angyalkám - mondta sóhajtva.
– Ó, mennyire örülök, dajka.
„Isten irgalmas, galamb. - Dada gyertyákat gyújtott arannyal összefonva az ikontok előtt, és harisnyával leült az ajtóhoz. Mary hercegnő fogta a könyvet, és olvasni kezdett. Csak ha léptek vagy hangok hallatszottak, a hercegnő nézett ijedten, kérdőn, a dadus pedig biztatóan nézett egymásra. A ház minden végében ugyanaz az érzés volt, amit Mary hercegnő a szobájában ülve átélt, és mindenkit megszállt. Az a hiedelem, hogy minél kevesebben tudnak a gyermekágyas gyermek szenvedéseiről, annál kevésbé szenved, mindenki tudatlanságot próbált színlelni; senki nem beszélt róla, de minden emberben, kivéve a jó modor szokásos mértékét és tiszteletét, amely uralkodott a herceg házában, egyfajta általános aggodalom, meglágyult szív és valami nagy, felfoghatatlan dolog tudata volt abban a pillanatban. .
Nem volt nevetés a nagylányok szobájában. A pincérszobában minden ember csendben ült, valamire készen. Az udvaron fáklyákat és gyertyákat égettek, és nem aludtak. Az öreg herceg a sarkára lépve körbejárta a dolgozószobát, és Tyihont elküldte Marya Bogdanovnához, hogy megkérdezze: mi? - Mondd csak: a herceg megparancsolta, hogy mit kérdezz? és gyere és mondd meg, mit fog mondani.
– Jelentse a hercegnek, hogy megkezdődött a szülés – mondta Marya Bogdanovna, és jelentőségteljesen nézett a hírnökre. Tikhon elment és jelentett a hercegnek.
– Rendben – mondta a herceg, és becsukta maga mögött az ajtót, és Tyihon már a legkisebb hangot sem hallotta a dolgozószobában. Kicsit később Tikhon belépett az irodába, mintha a gyertyákat akarná megjavítani. Amikor látta, hogy a herceg a kanapén fekszik, Tikhon a hercegre nézett, feldúlt arcára, megrázta a fejét, némán odalépett hozzá, és vállon csókolva, kiment anélkül, hogy megigazította volna a gyertyákat, és meg sem mondta volna, miért jött. A világ legünnepélyesebb szentségének kiszolgáltatása folytatódott. Eltelt az este, eljött az éjszaka. És a várakozás érzése és a szív meglágyulása a felfoghatatlan előtt nem alábbhagyott, hanem felemelkedett. Senki nem aludt.
Egyike volt azoknak a márciusi éjszakáknak, amikor úgy tűnik, hogy a tél meg akarja szedni áldozatait, és kétségbeesett haraggal kiönti az utolsó havat és hóvihart. A moszkvai német orvossal találkozni, akit percenként vártak, és akiért a főútra, az országútra kanyarodó szerelvényt küldtek, lámpás lovasokat küldtek, akik végigvezették a dudorokon, réseken.
Mária hercegnő már régen elhagyta a könyvet: csendben ült, ragyogó szemét a dada ráncos, a legapróbb részletig ismerős arcára szegezve: a sál alól kibújt ősz hajfürtnél, a lógó bőrzsák az álla alatt.
Savisna dada harisnyával a kezében, halk hangon, anélkül, hogy hallotta és nem értené saját szavait, százszor mesélt arról, hogyan szülte meg az elhunyt chisinaui hercegnő Mária hercegnőt, egy moldvai parasztasszonnyal, ahelyett, hogy nem nagymama.
„Isten irgalmazz, soha nincs szükséged orvosra” – mondta. Hirtelen széllökés csapott meg a szoba egyik szabadon álló keretén (a herceg akaratából minden szobában mindig egy keretet állítottak fel pacsirtákkal), és miután leverte a rosszul betolt reteszét, felborzolta a damaszt függönyt, és szaga volt. a hideg, a hó, elfújta a gyertyát. Mária hercegnő összerezzent; a dada letette a harisnyát, felment az ablakhoz, és kihajolva fogni kezdte a nyitott keretet. Hideg szél borzolta zsebkendője végét és szürke, kósza hajszálait.
- Hercegnő, anya, valaki végighajt a prefektúrán! – mondta, miközben a keretet fogta, és nem zárta be. - Lámpásnál annak kell lennie, dokhtur...
- Istenem! Hála Istennek! - mondta Mária hercegnő -, mennünk kell, hogy találkozzunk vele: nem tud oroszul.
Marya hercegnő felvette a kendőjét, és az utazók elé futott. Amikor elhaladt a hall mellett, az ablakon át látta, hogy valami hintó és lámpák állnak a bejáratnál. Kiment a lépcsőre. Faggyúgyertya állt a korláton, és a széltől áradt. Fülöp pincér ijedt arccal, újabb gyertyával a kezében ott állt lent, a lépcső első lépcsőjén. Még lejjebb, a kanyarban, a lépcsőn meleg csizmában léptek mozgást lehetett hallani. És valami ismerős hang, ahogy Mary hercegnőnek tűnt, mondott valamit.

A testek egy csoport, melynek minden eleme az adott test nullától eltérő eleme, és a művelet megegyezik a testben végzett szorzás műveletével. A M. g. mezők Abel-csoport. O. A. Ivanova... Matematikai Enciklopédia

A modulo m redukált maradékrendszer a teljes maradékanyag-rendszer összes számának halmaza, modulo m coprime to m. A redukált maradékrendszer modulo m φ(m) számokból áll, ahol φ( ) az Euler-függvény. Csökkentett levonási rendszerként ... ... Wikipédia

Csoportelmélet ... Wikipédia

A csoport az absztrakt algebrában egy nem üres halmaz, amelyen egy bináris művelet van definiálva, amely kielégíti a következő axiómákat. A matematikának a csoportokkal foglalkozó ágát csoportelméletnek nevezzük. Minden ismert valós szám a ... ... Wikipédiával van ellátva

Valamelyik szeszkvilináris f alak automorfizmuscsoportja a jobb oldali K E modulon, ahol K egy gyűrű; ráadásul f és E (és néha K) további feltételeket is kielégít. Nincs pontos definíciója K. g. Feltételezzük, hogy f vagy nulla, vagy nem degenerált... ... Matematikai Enciklopédia

Az azonosságú K asszociatív gyűrű feletti összes n fokú invertálható mátrix csoportja; közös jelölés: GLn(K). vagy GL(n, K). P. l. d. A GL(n, K) egy szabad jobboldali Vs modul АutK(V) automorfizmuscsoportjaként is definiálható… … Matematikai Enciklopédia

A csoportelmélet általános leírását lásd: Csoport (matematika) és Csoportelmélet. A dőlt betű a szótár hivatkozását jelzi. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U ... Wikipédia

Hagyjuk A?<А, ·>- multiplikatív csoport,

H az A, H? halmaz egy részhalmaza.

1. definíció.<Н,·>- hívott a multiplikatív csoport alcsoportjaÉs ha a következő feltételek teljesülnek:

1. H - a "*" bináris művelethez képest zárt a, b H, ab H;

2. Van eH = eA - az egyetlen elem a "°"-hoz képest;

3. a H létezik a-1 H.

Definíció 2. Ha H = A vagy H = (e), akkor<Н,·>az A csoport nem megfelelő alcsoportjának nevezzük.

Ha H A, H megfelelő részhalmaza az A halmaznak, akkor az alcsoportot hívjuk az A csoport saját alcsoportja.

H \u003d A - maga az A csoport.

H \u003d (e) - egyetlen alcsoport.

ciklikus alcsoport multiplikatív csoport

Példa. Csinálja<А, ·>, ahol A \u003d (1, - 1, i, - i), i a képzeletbeli egység, egy csoport?

1) Ellenőrizze a szorzócsoport feltételeit!

A "·" egy bináris asszociatív művelet az A halmazon.

Cayley asztal a "·" számára az A sorozaton.

<А, ·>- alcsoport.

A multiplikatív alcsoportok fontos példája az ún multiplikatív ciklikus alcsoportok.

Legyen<А, ·>- Csoport. Az e A elem az azonosságelem. elem a? e, egy A.

(a) - az a elem egész hatványainak halmaza: (a) = (x = a n: n Z, a A, a ? e)

becsületes

1. tétel.< (а), ·>a csoport alcsoportja<А, ·>.

Bizonyíték. Vizsgáljuk meg a multiplikatív részcsoport feltételeit.

1) H \u003d (a) - zárva a "·" tekintetében:

x \u003d a n, y \u003d a l, n, e Z, x, y H, xy \u003d a n a l \u003d a n + l H, mert n+lZ;

2) e = 1 = a 0 H, A: x H xa 0 = a 0 x = x;

3) x \u003d a H, x -1 \u003d a -n H: a n a -n \u003d a -n a n \u003d a 0 \u003d 1.

1) - 3) definíció szerint H< (а), ·>az A multiplikatív csoport alcsoportja.

Definíció 3. Legyen<А, ·>valami multiplikatív csoport és

Az elem sorrendje a a legkisebb n természetes szám, amelyre a n = e.

Példa. Határozzuk meg az A = (1; - 1; i; - i) szorzócsoport a = - 1, b = i, c = - i elemeinek sorrendjét!

1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. Következésképpen,

n = 2 - elemsorrend - 1.

i: (i) 1 = i, (i) 2 = - 1, (i) 4 = 1 = e. Következésképpen,

n = 4 - az i elem sorrendje.

i: (-i) 1 = - i, (-i) 2 = - 1, (-i) 4 = 1 = e. Következésképpen,

n = 4 elemsorrend - i.

2. Tétel. Legyen<А, ·>- csoport, ugye A, mi? e, a az n-edik rendű elem, akkor:

1) Az A csoport (a) alcsoportja a következő formában van: (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1) -

n - az a elem nem negatív hatványainak elemi halmaza;

2) Az a k, k Z elem tetszőleges egész hatványa az (a) és halmazhoz tartozik

a k = e<=>k = nq, nN, qZ.

Bizonyíték. Mutassuk meg, hogy minden (a) elem különálló. Tegyük fel az ellenkezőjét: a k = a l , k > l, akkor a k-l = e. k-l< n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.

Mutassuk meg, hogy a k , K Z az (a) halmazhoz tartozik.

Legyen k = n, k: n, a k = a nq + r = a k × a nq + r = (a n) q × a r = e q × a r = e × a r = a r,

0? r? n? 1 => a k (a). Ha r = 0, akkor k = nq<=>a k = e.

Definíció 4. Alcsoport< (а), ·>, ahol (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1), az A, a csoportok egy n-edik rendű elem, az ún. Az A csoport ciklikus alcsoportja(A multiplikatív ciklikus alcsoportja).

Definíció 5. Alcsoportjával egybeeső csoport<А, ·>, < (а), ·>, egy multiplikatív ciklikus alcsoport, az úgynevezett ciklikus csoport.

3. Tétel. Minden multiplikatív ciklikus csoport Abel-féle.

Bizonyíték. A = (a), mi? e, a - a csoport generáló eleme

a k, a l A, a k N a l = a l N a k. Valóban, a k P a l = a k+l = a l+k = a l P a k, l,k Z.

$n\;$	$U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))$	$\varphi(n)$	$\lambda(n)\;$	generátor	$n\;$	$U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))$	$\varphi(n)$	$\lambda(n)\;$	generátor
2	C1	1	1	1	33	C2×C10	20	10	10, 2
3	C2	2	2	2	34	C 16	16	16	3
4	C2	2	2	3	35	C2×C12	24	12	6, 2
5	C4	4	4	2	36	C2×C6	12	6	19, 5
6	C2	2	2	5	37	C 36	36	36	2
7	C6	6	6	3	38	C 18	18	18	3
8	C2×C2	4	2	7, 3	39	C2×C12	24	12	38, 2
9	C6	6	6	2	40	C2×C2×C4	16	4	39, 11, 3
10	C4	4	4	3	41	C40	40	40	6
11	C 10	10	10	2	42	C2×C6	12	6	13, 5
12	C2×C2	4	2	5, 7	43	C42	42	42	3
13	C 12	12	12	2	44	C2×C10	20	10	43, 3
14	C6	6	6	3	45	C2×C12	24	12	44, 2
15	C2×C4	8	4	14, 2	46	C 22	22	22	5
16	C2×C4	8	4	15, 3	47	C46	46	46	5
17	C 16	16	16	3	48	C2×C2×C4	16	4	47, 7, 5
18	C6	6	6	5	49	C42	42	42	3
19	C 18	18	18	2	50	C 20	20	20	3
20	C2×C4	8	4	19, 3	51	C2×C16	32	16	50, 5
21	C2×C6	12	6	20, 2	52	C2×C12	24	12	51, 7
22	C 10	10	10	7	53	C 52	52	52	2
23	C 22	22	22	5	54	C 18	18	18	5
24	C2×C2×C2	8	2	5, 7, 13	55	C2×C20	40	20	21, 2
25	C 20	20	20	2	56	C2×C2×C6	24	6	13, 29, 3
26	C 12	12	12	7	57	C2×C18	36	18	20, 2
27	C 18	18	18	2	58	C 28	28	28	3
28	C2×C6	12	6	13, 3	59	C 58	58	58	2
29	C 28	28	28	2	60	C2×C2×C4	16	4	11, 19, 7
30	C2×C4	8	4	11, 7	61	C60	60	60	2
31	C 30	30	30	3	62	C 30	30	30	3
32	C2×C8	16	8	31, 3	63	C6×C6	36	6	2, 5