A képlet bizonyítéka .
=
= 
=
mivel a szinusz és a koszinusz nem egy olyan szög összeadásától függ, amely többszöröse
És ez az egyenlőség már nyilvánvaló, hiszen ez a trigonometrikus forma összetett szám.
Így a logaritmus a sík minden pontjára létezik, kivéve a nullát. Érvényesre pozitív szám, az argumentum 0, tehát ennek a végtelen ponthalmaznak a formája van, vagyis az egyik érték, nevezetesen at , a valós tengelyre fog esni. Ha kiszámoljuk egy negatív szám logaritmusát, akkor azt kapjuk 
, vagyis a pontok halmaza felfelé tolódik el, és egyik sem esik a valós tengelyre.
A képletből látható, hogy csak akkor, ha az eredeti szám argumentuma nulla, a logaritmus egyik értéke a valós tengelyre esik. Ez pedig megfelel a jobb oldali féltengelynek, ezért az iskolai matematika során csak a pozitív számok logaritmusait vettük figyelembe. Létezik negatív és imaginárius számok logaritmusa is, de ezeknek nincs egyetlen értéke a valós tengelyen.
A következő rajz azt mutatja, hogy a síkban hol található egy pozitív szám logaritmusának összes értéke. Az egyik a valós tengelyen van, a többi a , , és így tovább. Negatív vagy komplex számok esetén az argumentum nem nulla, ezért ez a pontsorozat függőlegesen eltolódik, így a valós tengelyen nem lesz pont.
Példa. Kiszámítja .
Döntés. Határozzuk meg a (2-vel egyenlő) szám modulusát és a 180 0 argumentumot, azaz . Akkor = 
.
Függelék 1. Bizonyítékkérdések (jegyekhez).
1. előadás
1. Igazolja a részenkénti integráció képletét!
2. előadás
1. Bizonyítsuk be, hogy a helyettesítés, ahol r = LCM (r 1 ,...,r k) csökkenti az integrált 
2. Bizonyítsuk be, hogy a behelyettesítés csökkenti az alak integrálját 
racionális tört integráljához.
3. Vezesse le a szinusz és koszinusz transzformációs képleteit!
Az univerzális trigonometrikus változáshoz .
4. Bizonyítsuk be, hogy abban az esetben, ha a függvény páratlan a koszinuszhoz képest, a csere az integrált racionális törtté redukálja.
5. Bizonyítsa be, hogy abban az esetben, amikor
csere: az integrált racionális törtre redukálja.
6. Igazolja, hogy az alak integráljára 
7. Igazolja a képletet! 
8. Bizonyítsuk be, hogy az alak integráljára 
a helyettesítésnek megvan a saját integrálja egy racionális törthez.
9. Bizonyítsuk be, hogy az alak integráljára 
a helyettesítés az integrált racionális törtre redukálja.
3. előadás
1. Igazolja, hogy a függvény 
a függvény antideriváltja.
2. Igazolja a Newton-Leibniz képletet: 
.
3. Igazolja a képletet egy kifejezetten megadott görbe hosszára:
.
4. Igazolja a görbe polárkoordinátában megadott hosszának képletét! 
4. előadás
Bizonyítsuk be a tételt: konvergál, konvergál.
5. előadás
1. Következtesse (bizonyítsa) kifejezetten a területképletet adott felület 
.
2. A polárkoordinátákra való átmenet képletei származtatása.
3. A polárkoordináták Jacobi-determinánsának levezetése.
4. A hengeres koordinátákra való átmenet képletei származtatása.
5. A Jacobi-determináns származtatása hengeres koordináták.
6. A gömbi koordinátákra való átmenet képletei származtatása:
.
6. előadás
1. Bizonyítsuk be, hogy a helyettesítés a homogén egyenletet elválasztható változókkal rendelkező egyenletté redukálja.
2. Visszavonás általános forma lineáris homogén egyenlet.
3. Vezess le általános képet a lineáris megoldásáról! inhomogén egyenlet Lagrange módszerrel.
4. Bizonyítsuk be, hogy a helyettesítés lineáris egyenletté redukálja a Bernoulli-egyenletet.
7. számú előadás.
1. Bizonyítsuk be, hogy a helyettesítés k-val csökkenti az egyenlet sorrendjét.
2. Bizonyítsuk be, hogy a helyettesítés eggyel csökkenti az egyenlet sorrendjét 
.
3. Bizonyítsa be a tételt: A függvény egy lineáris homogén differenciálegyenlet megoldása, és karakterisztikus gyöke van.
4. Bizonyítsuk be azt a tételt, hogy lineáris kombináció lineáris homogén diff. megoldásai. az egyenlet a megoldása is.
5. Bizonyítsa be a megoldások kitételére vonatkozó tételt: Ha egy lineáris nemhomogén differenciálegyenlet megoldása jobb oldali, és ugyanazon differenciálegyenlet megoldása, de jobb oldali, akkor az összeg a megoldás az egyenlet jobb oldalával.
8. számú előadás.
1. Igazolja azt a tételt, hogy a függvényrendszer lineárisan függő!
2. Bizonyítsa be azt a tételt, hogy egy n rendű lineáris homogén differenciálegyenletnek n lineárisan független megoldása van!
3. Bizonyítsuk be, hogy ha 0 a multiplicitás gyöke, akkor ennek a gyöknek megfelelő megoldásrendszer alakja .
9. számú előadás.
1. Bizonyítsa be az exponenciális formával, hogy komplex számok szorzásakor a modulok szorozódnak és az argumentumok összeadódnak.
2. Bizonyítsuk be De Moivre n fokozatú képletét!
3. Bizonyítsa be egy komplex szám n rendű gyökének képletét!
.
4. Bizonyítsd be 
és 
a szinusz és a koszinusz általánosításai, azaz. számára valós számok ezen képletek szerint egy szinusz (koszinusz) lesz.
5. Igazolja egy komplex szám logaritmusának képletét:
2. függelék
Kisebb és szóbeli kérdések az elmélet ismeretéhez (kollokviumokhoz).
1. előadás
1. Mi az az antiderivatív és határozatlan integrál, Mi a különbség?
2. Indokolja meg, miért is antiderivatív.
3. Írjon képletet a részenkénti integráláshoz!
4. Milyen pótlás szükséges az alakintegrálban, és hogyan szünteti meg a gyökereket?
5. Írja fel a racionális tört integrandusának legegyszerűbbre való bővítésének típusát abban az esetben, ha minden gyök különböző és valós!
6. Írja fel a racionális törtek integránsának egyszerűre való bővítésének típusát abban az esetben, ha minden gyök valós és a k multiplicitásnak egy többszörös gyöke van!
2. számú előadás.
1. Írja fel, mi a racionális tört legegyszerűbbre bontása abban az esetben, ha a nevező 2 fokos tényezője negatív diszkriminánssal!
2. Melyik helyettesítés csökkenti az integrált racionális töredékhez?
3. Mi az univerzális trigonometrikus helyettesítés?
4. Milyen pótlások történnek azokban az esetekben, amikor az integráljel alatti függvény páratlan a szinuszhoz (koszinuszhoz) képest?
5. Milyen helyettesítéseket hajtunk végre, ha az integrandus tartalmazza a , , vagy kifejezéseket.
3. számú előadás.
1. Határozott integrál definíciója.
2. Sorolja fel a határozott integrál néhány főbb tulajdonságát!
3. Írja fel a Newton-Leibniz képletet!
4. Írja fel egy forgástest térfogatának képletét!
5. Írja fel az explicit görbe hosszának képletét!
6. Írja fel a paraméteres görbe hosszának képletét!
4. számú előadás.
1. Nem megfelelő integrál meghatározása (határérték segítségével).
2. Mi a különbség az 1. és 2. típusú nem megfelelő integrálok között?
3. Mondjon egyszerű példákat 1. és 2. típusú konvergens integrálokra!
4. Mely integrálokra (T1) konvergálnak.
5. Hogyan kapcsolódik a konvergencia az antiderivált véges határához (T2)?
6. Mi az szükséges tulajdonság konvergencia, annak megfogalmazása.
7. Összehasonlítás jele a végleges formában
8. Összehasonlítási teszt a korlátozó formában.
9. Többszörös integrál definíciója.
5. számú előadás.
1. Az integráció sorrendjének megváltoztatása, mutassa meg a legegyszerűbb példán.
2. Írja fel a felület képletét!
3. Mi az poláris koordináták, írjon átmeneti képleteket.
4. Mi a poláris koordináta-rendszer Jacobi-féle?
5. Mi a hengeres és gömbkoordináta, mi a különbségük.
6. Mi a hengeres (gömbi) koordináták jakobiusza?
6. számú előadás.
1. Mi az elsőrendű differenciálegyenlet (általános nézet).
2. Mi az I. rendű differenciálegyenlet, a deriváltra nézve feloldva? Mondj egy példát.
3. Mi az elválasztható változókkal rendelkező egyenlet.
4. Mi az általános, sajátos megoldás, Cauchy-feltételek.
5. Mi a homogén egyenlet, mi a megoldásának általános módja.
6. Mi az lineáris egyenlet, mi a megoldási algoritmusa, mi a Lagrange-módszer.
7. Mi a Bernoulli-egyenlet, a megoldási algoritmus?
7. számú előadás.
1. Milyen helyettesítésre van szükség egy alakú egyenlethez.
2. Milyen pótlás szükséges egy alakegyenlethez .
3. Mutassa be példákkal, hogyan fejezhető ki ként.
4. Mi az n rendű lineáris differenciálegyenlet?
5. Mi az karakterisztikus polinom, a karakterisztikus egyenlet.
6. Fogalmazzon meg egy tételt, amelyre r a függvény egy lineáris homogén differenciálegyenlet megoldása!
7. Fogalmazzon meg egy tételt, amely szerint egy lineáris homogén egyenlet megoldásainak lineáris kombinációja a megoldása is.
8. Fogalmazza meg a megoldáskivetési tételt és következményeit!
9. Mi a lineárisan függő és lineárisan független függvényrendszer, mondjon néhány példát!
10. Mi a Wronsky-determináns egy n függvényből álló rendszerben, mondjon példát a Wronsky-determinánsra LZS és LNS rendszerekre!
8. számú előadás.
1. Milyen tulajdonsága van a Wronsky-determinánsnak, ha a rendszer lineárisan függő függvény?
2. Hány lineárisan független megoldása létezik egy n rendű lineáris homogén differenciálegyenletnek.
3. Az FSR meghatározása ( alapvető rendszer megoldásai) egy n rendű lineáris homogén egyenlet.
4. Hány funkciót tartalmaz az SRF?
5. Írja fel az egyenletrendszer alakját a Lagrange-módszerrel n=2 esetén!
6. Írja le az adott megoldás típusát abban az esetben, amikor
7. Mi a lineáris rendszer differenciál egyenletekírj egy példát.
8. Mi az autonóm differenciálegyenlet-rendszer.
9. fizikai jelentése differenciálegyenletrendszerek.
10. Írja le, milyen függvényekből áll egy egyenletrendszer FSR, ha ismertek ennek a rendszernek a főmátrixának sajátértékei és sajátvektorai!
9. számú előadás.
1. Mi az a képzeletbeli egység.
2. Mi az a konjugált szám, és mi történik, ha megszorozzuk az eredetivel?
3. Mi a komplex szám trigonometrikus, exponenciális alakja?
4. Írd fel az Euler-képletet!
5. Mi a komplex szám modulja, argumentuma.
6. mi történik a modulokkal és az argumentumokkal a szorzás (osztás) során.
7. Írja fel De Moivre képletét az n fokra!
8. Írja fel az n sorrend gyökének képletét!
9. Írja fel az összetett argumentum általánosított szinusz és koszinusz képleteit!
10. Írja fel egy komplex szám logaritmusának képletét!
3. melléklet Feladatok az előadásokból.
1. előadás
Példa. . Példa. .
Példa. 
. Példa. .
Példa. Példa. .
Példa. 
. Példa. .
2. előadás
Példa. 
. Példa. .
Példa. . Példa. .
Példa. . Példa.. , hol, szám .
Példa. Oszd meg tájékoztató forma.
Példa. Keresse meg De Moivre képletével.
Példa. Keresse meg az összes gyökérértéket.
Definíció és tulajdonságok
A komplex nullának nincs logaritmusa, mert a komplex kitevő nem vesz fel nulla értéket. nem nulla texvc exponenciális formában ábrázolható:
texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): k- tetszőleges egész szám Azután Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): \mathrm(Ln)\,z a következő képlet szerint található:
texvc nem található; A hangoláshoz lásd a math/README-t.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)
Itt Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \ln\,r= \ln\,|z| az igazi logaritmus. Ebből következik:
A képletből látható, hogy az értékek közül csak egynek van képzeletbeli része az intervallumban Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc . Ezt az értéket hívják fő fontosságaösszetett természetes logaritmus. A megfelelő (már egyértékű) függvényt hívjuk főág logaritmus és jelöljük Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \ln\,z. Néha át Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \ln\, z jelöli a logaritmus értékét is, amely nem a főágon fekszik. Ha egy Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): z valós szám, akkor logaritmusának főértéke egybeesik a szokásos valós logaritmussal.
A fenti képletből az is következik, hogy a logaritmus valós részét a következőképpen határozzuk meg az argumentum komponensein keresztül:
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájltexvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README-t.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)
Az ábrán látható, hogy a valós rész a komponensek függvényében centrálisan szimmetrikus, és csak az origó távolságától függ. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a valós logaritmus grafikonját a függőleges tengely körül elforgatjuk. Ahogy közeledik a nullához, a függvény hajlamos arra Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): -\infty.
Egy negatív szám logaritmusát a következő képlet határozza meg:
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájltexvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README-t.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \ pm2\pontok)
Példák összetett logaritmusértékekre
Megadjuk a logaritmus fő értékét ( Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): \ln) és általános kifejezése ( Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \mathrm(Ln)) néhány érvhez:
texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi
Óvatosnak kell lennie az összetett logaritmusok konvertálásakor, figyelembe véve, hogy ezek többértékűek, ezért bármely kifejezés logaritmusának egyenlősége nem jelenti ezen kifejezések egyenlőségét. Példa tévesérvelés:
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájltexvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi nyilvánvaló hiba. Vegye figyelembe, hogy a logaritmus fő értéke a bal oldalon, a mögöttes ág értéke pedig a jobb oldalon található ( Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): k=-1). A hiba oka az ingatlan gondatlan használata Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, ami általában véve összetett esetben magában foglalja a logaritmus teljes végtelen értékkészletét, és nem csak a főértéket.
Komplex logaritmikus függvény és Riemann felület
A logaritmus Riemann-felülete az egyszerű összekapcsolásnak köszönhetően univerzális lefedése a pont nélküli összetett síknak. Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc
.
Analitikai folytatás
Egy komplex szám logaritmusa úgy is definiálható, mint a valós logaritmus analitikus folytatása a teljes komplex síkra. Hagyja a görbét Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc egynél kezdődik, nem megy át nullán, és nem keresztezi a valós tengely negatív részét. Ezután a logaritmus főértéke a végpontban Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): w görbe Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \Gamma képlettel határozható meg:
texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README oldalt.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)
Ha egy Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \Gamma- egy egyszerű görbe (önmetszetek nélkül), majd a rajta fekvő számokra félelem nélkül logaritmikus azonosságokat lehet alkalmazni, pl.
texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README-t: \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma
A logaritmikus függvény fő ága folytonos és differenciálható a teljes komplex síkon, kivéve a valós tengely negatív részét, amelyre a képzeletbeli rész ugrik. Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 2\pi. De ez a tény a főérték képzeletbeli részének intervallum általi mesterséges korlátozásának a következménye Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): (-\pi, \pi]. Ha figyelembe vesszük a függvény összes ágát, akkor a folytonosság minden ponton megtörténik, kivéve a nullát, ahol a függvény nincs definiálva. Ha megengedi a görbét Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): \Gamma keresztezi a valós tengely negatív részét, akkor az első ilyen metszéspont a főérték ágából átviszi az eredményt a szomszédos ágba, és minden további metszéspont hasonló eltolódást okoz a logaritmikus függvény ágai mentén (lásd az ábrát).
Az analitikus folytatási képletből az következik, hogy a logaritmus bármely ágán:
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájltexvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README-t.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\z felett)
Bármilyen körhöz Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): S bezárva a pontot Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): 0
:
texvc nem található; A beállítási súgóért lásd: math/README.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i
Az integrált pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) vesszük. Ez az azonosság alapozza meg a maradékok elméletét.
A komplex logaritmus analitikus folytatása is meghatározható a valós esetre ismert sorozat segítségével:
E sorozatok alakjából azonban az következik, hogy egységnél a sorozat összege nullával egyenlő, vagyis a sorozat csak a komplex logaritmus többértékű függvényének fő ágára vonatkozik. Mindkét sorozat konvergencia sugara 1.
Kapcsolat az inverz trigonometrikus és hiperbolikus függvényekkel
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájltexvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README-t.): \operátornév(Arcsin) z = -i \operátornév(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2))
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README-t.): \operátornév(Arccos) z = -i \operátornév(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2))
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README-t.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i)
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd: math/README.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i)
Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállításhoz lásd a math/README-t.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- inverz hiperbolikus szinusz Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README részt.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- inverz hiperbolikus koszinusz Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README részt.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- inverz hiperbolikus érintő Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási súgóért lásd a math/README részt.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- inverz hiperbolikus kotangens Történelmi vázlat
Az első kísérleteket a logaritmus komplex számokra való kiterjesztésére a 17-18. század fordulóján Leibniz és Johann Bernoulli tette, de nem sikerült holisztikus elméletet alkotniuk - elsősorban azért, mert a logaritmus fogalma még nem volt világos. meghatározott. Erről a témáról először Leibniz és Bernoulli, majd a 18. század közepén d'Alembert és Euler vitatkoztak. Bernoulli és d'Alembert úgy gondolta, hogy meg kell határozni Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README-t.): \log(-x) = \log(x), míg Leibniz amellett érvelt, hogy egy negatív szám logaritmusa az képzeletbeli szám. Teljes elmélet A negatív és komplex számok logaritmusát Euler adta ki 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől. Bár a vita folytatódott (d'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler megközelítése a 18. század végére egyetemes elismerést kapott.
Írjon véleményt a "Komplex logaritmus" című cikkről
Irodalom
A logaritmusok elmélete- Korn G., Korn T.. - M .: Nauka, 1973. - 720 p.
- Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Egy komplex változó függvényeinek elmélete. - M .: Nauka, 1967. - 304 p.
- Fikhtengolts G. M. A differenciál- és integrálszámítás tanfolyama. - szerk. 6. - M .: Nauka, 1966. - 680 p.
- A 18. század matematikája // / Szerkesztette A. P. Juskevics, három kötetben. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
- Kolmogorov A. N., Juskevics A. P. (szerk.). A 19. század matematikája. Geometria. Az analitikus függvények elmélete. - M .: Nauka, 1981. - T. II.
Megjegyzések
- logaritmikus függvény. // . - M .: Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3.
- , II. kötet, 520-522.
- , val vel. 623..
- , val vel. 92-94..
- , val vel. 45-46, 99-100..
- Boltyansky V. G., Efremovich V. A.. - M .: Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, 21. szám).
- , II. kötet, 522-526.
- , val vel. 624...
- , val vel. 325-328..
- Rybnikov K. A. A matematika története. Két kötetben. - M .: Szerk. Moszkvai Állami Egyetem, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231 ..
- , val vel. 122-123..
- Klein F.. - M .: Nauka, 1987. - T. II. Geometria. - S. 159-161. - 416 p.
A Komplex logaritmust jellemző részlet
A minket elfogó vad borzalomtól golyóként rohantunk keresztül egy széles völgyön, anélkül, hogy gondoltuk volna, hogy gyorsan átmehetnénk egy másik „emeletre”... Egyszerűen nem volt időnk ezen gondolkodni - túlságosan megijedtünk.A lény pont felettünk repült, hangosan csattogva tátongó fogas csőrével, mi pedig rohantunk, amennyire csak lehetett, aljas nyálkás spray-ket szórtunk oldalra, és gondolatban imádkoztunk, hogy valami más is felkeltse hirtelen érdeklődését ennek a szörnyű „csodamadárnak”... Érezhető volt, hogy sokkal gyorsabb, és egyszerűen esélyünk sem volt elszakadni tőle. Gonoszként egy fa sem nőtt a közelben, nem volt bokrok, még kövek sem, amelyek mögé elbújhattak volna, csak a távolban egy baljós fekete szikla látszott.
- Ott! - kiáltotta Stella, és ujjával ugyanarra a sziklára mutatott.
Ám hirtelen, váratlanul, közvetlenül előttünk, valahonnan felbukkant egy lény, amelynek látványától szó szerint megfagyott a vérünk az ereinkben... Úgymond „egyenesen a levegőből” támadt, és valóban rémisztő volt. ... A hatalmas fekete tetemet teljesen beborította a hosszú, merev szőr, így úgy nézett ki, mint egy pocakos medve, csak ez a „medve” olyan magas volt, mint egy háromemeletes ház... A szörnyeteg göröngyös fejét „ házas” két hatalmas, ívelt szarvával, és egy pár hihetetlenül hosszú, éles, mint a kés agyar díszítette iszonyatos száját, amelyre csak ránézve ijedtében a lábak engedtek... Aztán, kimondhatatlanul meglepődve, a szörnyeteg könnyedén. felugrott és .... felkapta az egyik hatalmas agyarára a repülő "szart"... Döbbenten lefagytunk.
- Fussunk!!! Stella sikoltott. - Fussunk, amíg ő "elfoglalt"! ..
És már készen álltunk, hogy hátranézés nélkül újra rohanjunk, amikor hirtelen megszólalt a hátunk mögött egy vékony hang:
- Lányok, várjatok! Nem kell menekülni! .. Dean megmentett, ő nem ellenség!
Élesen megfordultunk - egy pici, nagyon szép fekete szemű lány állt mögötte... és nyugodtan simogatta a hozzá közeledő szörnyet!.. Kipattant a szemünk a meglepetéstől... Hihetetlen volt! Egy biztos - meglepetések napja volt!.. A lány ránk nézve barátságosan mosolygott, egyáltalán nem félt a közelben álló szőrös szörnyetegtől.
Kérlek, ne félj tőle. Ő nagyon kedves. Láttuk, hogy Ovara üldöz téged, és úgy döntöttünk, hogy segítünk. Dean jó srác, időben sikerült. Tényleg, jó?
"Jó" dorombolt, ami enyhe földrengésnek tűnt, és fejét lehajtva megnyalta a lány arcát.
– És ki az az Owara, és miért támadt meg minket? Megkérdeztem.
Mindenkit megtámad, ő egy ragadozó. És nagyon veszélyes – válaszolta a lány higgadtan. – Megkérdezhetem, mit keresel itt? Ti nem ide valók vagytok, lányok?
- Nem, nem innen. Csak sétáltunk. De ugyanaz a kérdés neked is: mit keresel itt?
Megyek anyámhoz... - lett szomorú a kislány. „Együtt haltunk meg, de valamiért itt kötött ki. És most itt élek, de ezt nem mondom el neki, mert soha nem fog egyetérteni ezzel. Azt hiszi, csak jövök...
– Nem jobb, ha csak jön? Olyan szörnyű itt! .. - Stella megrándította a vállát.
„Nem hagyhatom itt egyedül, figyelem őt, hogy ne történjen vele semmi. És itt van velem Dean... Segít nekem.
Egyszerűen nem hittem el... Ez a pici bátor lány önként hagyta el gyönyörű és kedves "padlóját", hogy ebben a hideg, rettenetes és idegen világban éljen, megvédve édesanyját, aki valamiben nagyon "bűnös" volt! Szerintem nem sokan lettek volna ennyire bátrak és önzetlenek (még felnőttek is!) Azok, akik ekkora bravúr mellett döntöttek volna... És rögtön arra gondoltam – talán csak nem értette, mire fogja magát kárhoztatni. ?!
- És mióta vagy itt, kislány, ha nem titok?
„Nemrég...” – válaszolta szomorúan a fekete szemű kislány, ujjaival göndör haja fekete tincsét rángatva. - Belejöttem ebbe gyönyörű világ amikor meghalt! .. Olyan kedves és okos volt! .. Aztán láttam, hogy anyám nincs velem, és rohantam megkeresni. Eleinte olyan ijesztő volt! Valamiért nem volt sehol... Aztán beleestem ebbe a szörnyű világba... Aztán megtaláltam. Annyira megrémültem itt... Olyan magányos... Anya azt mondta, hogy menjek el, még meg is szidott. De nem hagyhatom el... Most van egy barátom, az én jó Deanem, és valahogy itt tudok létezni.
A „jó barátja” ismét felmordult, amitől Stellával hatalmas „alsó asztrális” libabőrös lettünk... Miután összeszedtem magam, próbáltam egy kicsit megnyugodni, és alaposan szemügyre vettem ezt a szőrös csodát... És ő, azonnal érezve, hogy észrevette, rettenetesen kitátotta agyaras száját... Hátraugrottam.
- Ó, kérlek, ne félj! Ő az, aki rád mosolyog - nyugtatta meg a lány.
Igen... Egy ilyen mosolyból megtanulsz gyorsan futni... - gondoltam magamban.
– De hogyan történt, hogy összebarátkoztál vele? – kérdezte Stella.
- Amikor először jöttem ide, nagyon megijedtem, főleg amikor ma olyan szörnyeket támadtak, mint te. Aztán egy napon, amikor majdnem meghaltam, Dean megmentett egy csomó hátborzongató repülő "madártól". Eleinte én is féltem tőle, de aztán rájöttem, milyen aranyszíve van... Ő a legjobb legjobb barát! Soha nem volt ilyenem, még akkor sem, amikor a Földön éltem.
Hogy szoktad meg ilyen gyorsan? A megjelenése nem egészen ismerős, mondjuk...
- És itt megértettem egy nagyon egyszerű igazságot, amit valamiért nem vettem észre a Földön - a megjelenés nem számít, ha az embernek vagy a teremtménynek jó a szíve... Anyám nagyon szép volt, de néha nagyon dühös is. . Aztán minden szépsége eltűnt valahol... Dean pedig, bár félelmetes, mindig nagyon kedves, és mindig megvéd, érzem a jóságát és nem félek semmitől. Meg lehet szokni a külsőt...
"Tudod, hogy nagyon sokáig itt leszel, sokkal tovább, mint amennyit a Földön élnek?" Tényleg itt akarsz maradni?
„Az anyám itt van, úgyhogy segítenem kell neki. És amikor újra „elmegy” a Földre élni, én is elmegyek... Ahol több a jóság. Ebben a szörnyű világban az emberek nagyon furcsák – mintha nem is élnének. Miert van az? Tudsz róla valamit?
- És ki mondta neked, hogy anyád újra elmegy élni? – kérdezte Stella.
Dean, természetesen. Sokat tud, nagyon régóta él itt. Azt is mondta, hogy ha mi (anyám és én) újra élünk, más lesz a családunk. És akkor már nem lesz anyám... Ezért akarok most vele lenni.
– És hogyan beszélsz vele, a dékánoddal? – kérdezte Stella. – És miért nem akarod megmondani a nevedet?
De ez igaz – még mindig nem tudtuk a nevét! És honnan jött - szintén nem tudták ...
– A nevem Maria... De ez itt tényleg számít?
- Természetesen! Stella nevetett. - És hogyan kommunikáljak veled? Ha elmész, új nevet adnak neked, de amíg itt vagy, a régivel kell élned. Beszéltél itt valaki mással, Maria lány? - Megszokásból témáról témára ugrálva kérdezte Stella.
– Igen, igen… – mondta a kislány bizonytalanul. „De olyan furcsák itt. És olyan nyomorult... Miért ilyen nyomorultak?
– De az, amit itt látsz, elősegíti-e a boldogságot? Meglepett a kérdése. – Már maga a helyi „valóság” is előre megöl minden reményt!... Hogy lehet itt boldog az ember?
- Nem tudom. Amikor anyámmal vagyok, úgy tűnik, itt is boldog lehetek... Igaz, itt nagyon ijesztő, és nagyon nem szeret itt... Amikor azt mondtam, hogy beleegyeztem, hogy együtt maradok ő, kiabált velem, és azt mondta, hogy én vagyok az "agyatlan szerencsétlensége"... De nem sértődök meg... Tudom, hogy csak fél. Pont mint én...
- Talán csak meg akart menteni a "szélsőséges" döntésedtől, és csak azt akarta, hogy menj vissza a "padlódra"? - Óvatosan, nehogy megsértődjön kérdezte Stella.
– Nem, természetesen nem... De köszönöm kedves szavait. Anya gyakran nevezett nem túl jó néven, még a Földön is... De tudom, hogy ez nem rosszindulatból van. Csak boldogtalan volt, mert megszülettem, és gyakran mondta nekem, hogy tönkretettem az életét. De nem az én hibám volt, igaz? Mindig próbáltam boldoggá tenni, de valamiért nem igazán sikerült... De soha nem volt apám. Maria nagyon szomorú volt, és a hangja remegett, mintha sírni készülne.
Stellával egymásra néztünk, és szinte biztos voltam benne, hogy hasonló gondolatok jártak már nála... Már akkor is nagyon idegenkedtem ettől az elkényeztetett, önző "anyukától", aki ahelyett, hogy maga aggódott volna a gyerekéért, nem törődött a hősiességével. egyáltalán áldozatot.Megértettem, és ráadásul még fájdalmasabban bántottam.
- Dean azt mondja, hogy jó vagyok, és nagyon boldoggá teszem! - mormolta vidámabban a kislány. És barátkozni akar velem. A többiek pedig, akikkel itt találkoztam, nagyon hidegek és közönyösek, sőt néha dühösek is... Főleg azok, akikhez szörnyek kötődnek...
- Szörnyek - mi? .. - nem értettük.
- Nos, ijesztő szörnyek vannak a hátukon, és mondják meg nekik, mit kell tenniük. És ha nem hallgatnak, a szörnyek rettenetesen kigúnyolják őket... Próbáltam beszélni velük, de ezek a szörnyek nem engedik.
Abszolút semmit sem értünk ebből a „magyarázatból”, de azt a tényt, hogy egyes asztrális lények embereket kínoznak, nem maradhattak „feltárva”, ezért azonnal megkérdeztük tőle, hogyan láthatjuk ezt a csodálatos jelenséget.
- Ó, mindenhol! Főleg a Fekete-hegyen. Ott van a fák mögött. Akarod, hogy mi is veled menjünk?
– Hát persze, hogy boldogok leszünk! - válaszolta azonnal elragadtatva Stella.
Hogy őszinte legyek, nem nagyon mosolyogtam azon a kilátáson, hogy valaki mással randevúzhatok, aki „hátborzongató és érthetetlen”, különösen egyedül. De az érdeklődés legyőzte a félelmet, és természetesen mentünk volna, annak ellenére, hogy kicsit féltünk... De amikor egy olyan védő volt velünk, mint Dean, azonnal szórakoztatóbb lett...
És most egy rövid pillanat alatt egy igazi Pokol tárult a csodálkozástól tágra nyílt szemünk elé... világ... Persze nem volt őrült, hanem egyszerűen egy látó, aki valamiért láthatott. csak az alsó Asztrális. De meg kell adnunk neki a méltóságát – nagyszerűen ábrázolta... Láttam a festményeit egy könyvben, ami apám könyvtárában volt, és még mindig emlékeztem arra a szörnyű érzésre, amit a legtöbb festménye hordozott...
- Micsoda borzalom! .. - suttogta a döbbent Stella.
Valószínűleg azt mondhatnánk, hogy sokat láttunk már itt, a „padlón”... De legszörnyűbb rémálmunkban még mi sem tudtunk ilyesmit elképzelni! .. A „fekete szikla” mögött valami egészen elképzelhetetlen ... Úgy nézett ki, mint egy hatalmas, lapos, sziklába vájt "üst", melynek alján bíborvörös "láva" bugyborékolt... A forró levegő mindenfelé furcsán villogó vöröses buborékokkal "feltört", amiből forradó gőz szökött ki és nagy cseppekben zuhant a földre, vagy azokra az emberekre, akik abban a pillanatban alatta estek... Szívszorító kiáltások hallatszottak, de azok azonnal elhallgattak, ahogy a legundorítóbb lények ültek ugyanazon emberek hátán, akik , elégedett tekintettel "kezelték" áldozataikat, a legkisebb figyelmet sem fordítva szenvedéseikre... Az emberek meztelen lábai alatt vörösen izzó kövek vöröslöttek, a forró bíbor föld bugyborékolt és "olvadt" ... magasan, enyhe köddel párologtatva... A „gödör” kellős közepén pedig egy élénkvörös, széles tüzes folyó ömlött, amelybe időnként ugyanazok az undok szörnyek dobtak váratlanul egy-egy meggyötört entitást, ami , leesve csak egy rövid narancssárga szikrát okozott, majd egy pillanatra pihe-puha fehér felhővé változva eltűnt... örökre... Igazi pokol volt, és Stellával szerettünk volna „eltűnni” onnan mielőbb...
- Mit fogunk csinálni? .. - suttogta Stella csendes rémülettel. - Le akarsz menni? Tudunk valamit tenni, hogy segítsünk nekik? Nézzétek mennyi van!...
Egy feketebarna, hőtől kiszáradt sziklán álltunk, néztük a fájdalom, a kilátástalanság és az erőszak alatt húzódó „zűrzavart”, elöntött a rémület, és olyan gyerekesen tehetetlennek éreztük magunkat, hogy ezúttal még az én harcias Stellám is kategorikusan összehajtotta kócos „ szárnyak”, és az első hívásra készen állt, hogy rohanjon a saját, oly kedves és megbízható felső „emeletére” ...
logaritmikus függvény
A logaritmikus függvény egy f(x) = logax alakú függvény, amelyre definiált
Tartomány: . Értéktartomány: . A függvény szigorúan növekszik, ha > 1, és szigorúan csökken, ha 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.
Az x = 0 egyenes a bal oldali függőleges aszimptota, mivel a > 1 és 0 esetén< a < 1.
A logaritmikus függvény deriváltja:
A logaritmikus függvény izomorfizmust valósít meg multiplikatív csoport pozitív valós számokés az összes valós szám additív csoportja.
Komplex logaritmus
Definíció és tulajdonságok
Komplex számok esetén a logaritmus ugyanúgy definiálható, mint a valós. A gyakorlatban szinte kizárólag a természetes komplex logaritmus használatos, amelyet az összes z komplex szám halmazaként jelölünk és definiálunk úgy, hogy ez = w. A komplex logaritmus bárki számára létezik, és valós része egyedileg meghatározott, míg az imagináriusnak végtelen sok értéke van. Emiatt többértékű függvénynek nevezik. Ha w-t exponenciális formában ábrázoljuk:
akkor a logaritmust a következő képlettel találjuk meg:
Itt -- valós logaritmus, r = | w | , k egy tetszőleges egész szám. A k = 0 esetén kapott értéket a komplex természetes logaritmus főértékének nevezzük; a benne lévő argumentum értékét szokás a (? p, p] intervallumban venni.A megfelelő (már egyértékű) függvényt a logaritmus főágának nevezzük és jelöljük.Néha a logaritmus értéke, nem fekszik a főágon is jelöljük.
A képletből a következő:
A logaritmus valós részét a következő képlet határozza meg:
Egy negatív szám logaritmusát a képlet határozza meg.
Valós változó exponenciális függvénye (for pozitív talaj) meghatározása több lépésben történik. Először is, a természeti értékekre - egyenlő tényezők termékeként. A meghatározást ezután a szabályok negatív egész és nem nulla értékekre is kiterjesztik. Továbbá törtmutatókat veszünk figyelembe, amelyeknél az érték exponenciális függvény a gyökerek határozzák meg: . Az irracionális értékek esetében a definíció már összefügg a matematikai elemzés alapfogalmával - a kontinuitás okán a határig való átlépéssel. Mindezek a megfontolások semmiképpen nem alkalmazhatók az exponenciális függvény kiterjesztésére irányuló kísérletekre a mutató összetett értékeire, és ami például teljesen érthetetlen.
Az integrálszámítás számos konstrukciójának elemzése alapján először Euler vezetett be egy természetes bázisú komplex kitevővel rendelkező fokot. Néha nagyon hasonló algebrai kifejezések integrálva teljesen eltérő válaszokat adnak:
Ugyanakkor itt formálisan megkapjuk a második integrált az elsőből úgy, hogy ezt helyettesíti
Ebből arra következtethetünk, hogy egy komplex kitevővel rendelkező exponenciális függvény megfelelő definíciójával az inverz trigonometrikus függvények a logaritmusokhoz, így az exponenciális függvények a trigonometrikus függvényekhez kapcsolódnak.
Eulernek volt bátorsága és fantáziája, hogy ésszerű definíciót adjon az exponenciális függvényre bázissal, nevezetesen,
Ez egy definíció, ezért ez a képlet nem bizonyított, csak érveket lehet keresni egy ilyen meghatározás ésszerűsége és célszerűsége mellett. Matematikai elemzés sok ilyen érvet ad fel. Csak egyre korlátozzuk magunkat.
Ismeretes, hogy valósra a határreláció teljesül: . A jobb oldalon van egy polinom, amely még az összetett értékekhez is értelmes. A komplex számok sorozatának határa természetes módon van meghatározva. Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha a valós és a képzetes részek sorozatai konvergálnak, és feltételezzük, hogy
Találjuk meg. Ehhez forduljunk a trigonometrikus formához, és az argumentumhoz az intervallumból választunk értékeket. Ezzel a választással egyértelmű, hogy a számára. További,
A határérték eléréséhez ellenőrizni kell a határértékek meglétét, és meg kell találni ezeket a határokat. Egyértelmű, hogy és
Tehát a kifejezésben
a valós rész hajlamos , a képzeletbeli - arra
Ez az egyszerű érv az egyik érv az exponenciális függvény Euler-definíciója mellett.
Most állapítsuk meg, hogy az exponenciális függvény értékeinek szorzásakor a kitevők összeadódnak. Igazán:
2. Euler-képletek.
Betesszük az exponenciális függvény definícióját. Kapunk:
B-t -b-re cserélve azt kapjuk
Ezeket az egyenlőségeket tagonként összeadva és kivonva megtaláljuk a képleteket
az úgynevezett Euler-képleteket. Kapcsolatot teremtenek között trigonometrikus függvényekés exponenciális képzeletbeli mutatókkal.
3. Komplex szám természetes logaritmusa.
Egy trigonometrikus formában megadott komplex szám alakban írható fel. Ezt a komplex szám írási formáját exponenciálisnak nevezzük. Minden jó tulajdonságát megőrzi trigonometrikus forma, de még rövidebb. Továbbá, ezért természetes az a feltételezés, hogy így egy komplex szám logaritmusának valós része a modulusának logaritmusa, képzeletbeli rész ez az érve. Ez bizonyos mértékig megmagyarázza az argumentum "logaritmikus" tulajdonságát - a szorzat argumentuma egyenlő a tényezők argumentumainak összegével.
természetes logaritmusok
A természetes logaritmus deriváltjának egy egyszerű képlete van:
Emiatt a természetes logaritmusokat elsősorban a matematikai kutatásokban használják. Gyakran megjelennek a differenciál megoldása során egyenletek, statisztikai függőségek tanulmányozása (például az egyszerűek eloszlása számok) stb.
Mert , az egyenlőség
Ez a sorozat gyorsabban konvergál, ráadásul a képlet bal oldala immár bármilyen pozitív szám logaritmusát is kifejezheti.
Kapcsolat a decimális logaritmussal: .
Tizedes logaritmus
Rizs. 2. Rönkmérleg
Logaritmus 10-es alapig (szimbólum: lg a) a találmány előtt számológépek széles körben használják számítástechnikára. egyenetlen léptékű decimális logaritmusokat szoktak alkalmazni csúsztatási szabályok. Hasonló skálát széles körben használnak a tudomány különböző területein, például:
Fizika- hangintenzitás ( decibel).
Csillagászat- skála csillag fényessége.
Kémia- tevékenység hidrogén ionok (pH).
Szeizmológia - Richter skála.
zeneelmélet- hangskála, a zenei hangok frekvenciáihoz képest.
Sztori - logaritmikus időskála.
A logaritmikus skálát széles körben használják az exponenciális függőségek kitevőjének és a kitevőben az együttható azonosítására is. Ugyanakkor az egy vagy két tengely mentén logaritmikus skálán felépített gráf egyenes alakot ölt, ami könnyebben tanulmányozható.
logaritmikus függvény
A logaritmikus függvény az alak függvénye f(x) = napló a x, meghatározva a
A logaritmikus függvény vizsgálata
Tartomány:
Értéktartomány:
Bármely logaritmikus függvény grafikonja átmegy az (1; 0) ponton
A logaritmikus függvény deriváltja:
Bizonyíték [előadás]
I. Bizonyítsuk be
Írjuk fel a személyazonosságot e ln x = xés megkülönbözteti annak bal és jobb oldalát
Ezt értjük 
, honnan az következik 
II. Bizonyítsuk be 
A funkció szigorúan növekszik a számára a> 1 és szigorúan csökken 0 a-nál
Egyenes x= 0 maradt függőleges aszimptota, mert at a> 1 és 0 a
Komplex logaritmus
Többértékű függvény
Mert komplex számok A logaritmus definíciója ugyanúgy történik, mint a valós. Kezdjük a természetes logaritmussal, amelyet az összes komplex szám halmazaként jelölünk és definiálunk. z oly módon, hogy e z = w. A komplex logaritmus létezik bármely , és valós része egyedileg meghatározott, míg az imagináriusnak végtelen sok értéke van. Emiatt többértékű függvénynek nevezik. Ha elképzelni w exponenciális formában:
akkor a logaritmust a következő képlettel találjuk meg:
Itt az igazi logaritmus, r = | w | , k- tetszőleges egész szám. A kapott érték, amikor k= 0-t hívunk fő fontosságaösszetett természetes logaritmus; az argumentum értékét szokás a (− π,π] intervallumban venni A megfelelő (már egyértékű) függvény ún. főág logaritmus és jelölése. Néha a logaritmus értékét is jelöli, amely nem a fő ágon található.
A képletből a következő:
A logaritmus valós részét a következő képlet határozza meg:
Egy negatív szám logaritmusát a következő képlet határozza meg:
Példák (a logaritmus fő értéke megadva):
Az eltérő bázisú összetett logaritmusokat hasonlóan tekintjük. Az összetett logaritmusok transzformációja során azonban óvatosnak kell lenni, figyelembe véve, hogy azok többértékűek, ezért ezeknek a kifejezéseknek az egyenlősége nem következik egyetlen kifejezés logaritmusának egyenlőségéből sem. Példa a hibás érvelésre:
énπ = ln(− 1) = ln((− én) 2) = 2ln(− én) = 2(− énπ / 2) = − én A π nyilvánvaló abszurditás.
Vegye figyelembe, hogy a logaritmus fő értéke a bal oldalon, a mögöttes ág értéke pedig a jobb oldalon található ( k= − 1). A hiba oka a tulajdonság gondatlan használata, amely általában összetett esetben magában foglalja a logaritmus teljes végtelen értékkészletét, és nem csak a főértéket.
Riemann felület
Komplex logaritmikus függvény - példa Riemann felület; képzeletbeli része (3. ábra) végtelen számú spirálszerűen összecsavarodott ágból áll. Ezt a felületet egyszerűen csatlakoztatva; annak egyetlen nulláját (elsőrendű) kapjuk meg z= 1, egyes pontok: z= 0 és (végtelen rendű elágazási pontok).
A logaritmus Riemann-felülete az univerzális burkolat a 0 pont nélküli komplex síkra.
Történelmi vázlat
Valódi logaritmus
Komplex számítások szükségessége XVI század gyorsan növekedett, és a nehézségek nagy része a többjegyű számok szorzásával és osztásával járt. A század végén több matematikusban szinte egyszerre támadt az ötlet: az időigényes szorzást egyszerű összeadással helyettesíteni, speciális táblázatok segítségével összehasonlítani. geometriaiés számtan progresszió, míg a geometria lesz az eredeti. Ekkor az osztást automatikusan felváltja egy mérhetetlenül egyszerűbb és megbízhatóbb kivonás. Ő volt az első, aki ezt az ötletet publikálta könyvében Arithmetica integra» Michael Stiefel, aki azonban nem tett komoly erőfeszítéseket ötletének megvalósításáért.
NÁL NÉL 1614 skót amatőr matematikus John Napier napon jelent meg latin esszé címe " A csodálatos logaritmustábla leírása". Volt Rövid leírás logaritmusok és tulajdonságaik, valamint 8 számjegyű logaritmustáblázatok melléküregek, koszinuszokatés érintők, 1" lépéssel Term logaritmus Napier javasolta, meghonosodott a tudományban.
A függvény fogalma még nem létezett, és Napier meghatározta a logaritmust kinematikailag, összehasonlítva az egyenletes és logaritmikusan lassú mozgást. Modern jelöléssel a Napier-modell egy differenciálegyenlettel ábrázolható: dx/x = -dy/M, ahol M egy skálázási tényező, amelyet azért vezettünk be, hogy az érték a kívánt számjegyből álló egész szám legyen (akkor még nem használták széles körben a tizedesjegyeket). Napier M = 10000000-at vett.
Szigorúan véve Napier rossz függvényt táblázott be, amelyet ma logaritmusnak neveznek. Ha a funkcióját LogNap(x)-ként jelöljük, akkor a következőképpen kapcsolódik a természetes logaritmushoz:
Nyilvánvaló, hogy LogNap (M) = 0, vagyis a "teljes szinusz" logaritmusa nulla - erre törekedett Napier a definíciójával. LogNap(0) = ∞.
A Napier-logaritmus fő tulajdonsága: ha a mennyiségek alakulnak geometriai progresszió, akkor logaritmusaik progressziót alkotnak számtan. A nem Pieri-függvény logaritmusának szabályai azonban eltértek a modern logaritmus szabályaitól.
Például, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).
Sajnos Napier táblázatában minden érték számítási hibát tartalmazott a hatodik számjegy után. Ez azonban nem akadályozta meg, hogy az új számítási módszer széles körben elterjedjen, és sok európai matematikus fogott hozzá logaritmikus táblázatok összeállításához, pl. Kepler.
Az 1620-as években Edmund Wingate és Vilmos Otred feltalálta az elsőt logarléc, a zsebszámológépek megjelenése előtt - nélkülözhetetlen eszköz egy mérnök számára.
Közel a logaritmus modern felfogásához - mint művelet, az inverz hatványozás-ben jelent meg először Wallisaés Johann Bernoulliés végül jóváhagyta Euler ban ben XVIII század. A "Bevezetés a végtelen elemzésébe" című könyvben ( 1748 ) Euler adta modern meghatározások mint demonstratív, és a logaritmikus függvények vezették ki a kiterjesztését teljesítmény sorozat, hangsúlyozta a természetes logaritmus szerepét.
Eulernek megvan az az érdeme is, hogy a logaritmikus függvényt kiterjeszti a komplex tartományra.
Komplex logaritmus
Az első kísérletek a logaritmusok komplex számokra való kiterjesztésére a 17-18. század fordulóján történtek. Leibnizés Johann Bernoulli holisztikus elméletet azonban nem sikerült megalkotniuk – elsősorban azért, mert akkor még a logaritmus fogalma nem volt egyértelműen meghatározva. Erről a témáról először Leibniz és Bernoulli között, majd a 18. század közepén - között. d'Alembertés Euler. Bernoulli és d'Alembert úgy gondolta, hogy meg kell határozni log(-x) = log(x). A negatív és összetett számok logaritmusának teljes elméletét Euler publikálta 1747-1751-ben, és lényegében nem különbözik a moderntől.
Bár a vita folytatódott (D'Alembert megvédte álláspontját, és részletesen kifejtette azt az Encyclopedia egyik cikkében és más munkákban), Euler álláspontja gyorsan egyetemes elismerést kapott.
Logaritmikus táblázatok
Logaritmikus táblázatok
A logaritmus tulajdonságaiból következik, hogy a többértékű számok időigényes szorzása helyett elég (a táblázatokból) megkeresni és összeadni a logaritmusukat, majd ugyanazokkal a táblákkal végrehajtani. potencírozás, azaz keresse meg az eredmény értékét a logaritmusával. Az osztás csak annyiban különbözik, hogy a logaritmusokat kivonják. Laplace Azt mondta, hogy a logaritmusok feltalálása "meghosszabbította a csillagászok életét", mivel nagymértékben felgyorsította a számítási folyamatot.
Amikor egy számban a tizedesvesszőt áthelyezi ide n számjegy, ennek a számnak a decimális logaritmusának értéke módosul n. Például lg8314.63 = lg8.31463 + 3. Ebből következik, hogy elég elkészíteni egy decimális logaritmus táblázatot az 1-től 10-ig terjedő számokhoz.
Az első logaritmustáblázatokat John Napier ( 1614 ), és csak a trigonometrikus függvények logaritmusát tartalmazták, és hibával. Tőle függetlenül a táblázatait egy barát, Jost Bürgi adta ki Kepler (1620 ). NÁL NÉL 1617 Oxford matematika professzor Henry Briggs közzétett táblázatok, amelyek már maguknak a számoknak a decimális logaritmusát tartalmazták, 1-től 1000-ig, 8 (később - 14) számjeggyel. De a Briggs-táblázatokban is voltak hibák. Az első tévedhetetlen kiadás a Vega-táblázatok alapján ( 1783 ) csak ben jelent meg 1857 Berlinben (Bremiver asztalok).
Oroszországban az első logaritmustáblázatokat ben adták ki 1703 főszerepben L. F. Magnyitszkij. A Szovjetunióban számos logaritmustáblázat-gyűjtemény jelent meg.
Bradis V. M. Négyjegyű matematikai táblázatok. 44. kiadás, M., 1973.
Bradis asztalok ( 1921 ) ben használták oktatási intézményekés a nagy pontosságot nem igénylő mérnöki számításokban. Tartalmaztak mantissza számok decimális logaritmusai és trigonometrikus függvények, természetes logaritmusok és néhány más hasznos számítási eszköz.
Irodalom
Uspensky Ya. V. Esszé a logaritmusok történetéről. Petrograd, 1923. −78 p.
Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M.: AST, 2003. - ISBN 5-17-009554-6
Matematikatörténet Szerk A. P. Juskevics három kötetben, Moszkva: Nauka.
Sztori pszichológia (10)
Absztrakt >> PszichológiaA pszichofizika eredete lett. asztal logaritmusok Kiderült, hogy alkalmazható a lélek jelenségeire ... amelyekre az ösztönök gyökerei nyúlnak vissza történelem kedves, anélkül, hogy élnének... megtörve, "megfelel minden fájdalmas jelenségnek. megjelenéseúj irányzatok a pszichológiában, szociológiában...
Sztori A pszichológia mint önálló tudomány (1)
Csallólap >> PszichológiaTevékenység: A tantárgy fő feladatai történeteket pszichológia 1. Dialízis eseményés a tudományos ismeretek továbbfejlesztése ... amivel az érzet intenzitása arányos logaritmus ingerintenzitás: annak érdekében, hogy ...
Sztori szociálpszichológia (2)
Csallólap >> PszichológiaHogy az érzet nagysága arányos logaritmus a cselekvő inger intenzitása (... XX. században először ben történeteket a pszichológia kísérletesen próbált megvizsgálni ... azonosítani az okokat és a konkrét feltételeket esemény neurózisok, elszigeteltség egy különleges ...
Hang 1 Az ókortól a modern idők kezdetéig. (1970) pszichológia mint független tudomány (2)Absztrakt >> Pszichológia
A tantárgy fő céljai történeteket Pszichológia 1. Elemzés eseményés továbbfejlődés... az érzés arányos logaritmus az inger intenzitása: a ... cselekvés végrehajtására, miatt megjelenése a probléma megoldásának szükségessége; - cél...