Adott legyen négyzetmátrix rendelés n. A mátrix karakterisztikus mátrixa A mátrixnak nevezik
=
a λ változó bármilyen számértéket felvesz.
A mátrix ׀https://pandia.ru/text/78/250/images/image004_113.gif" width="153" height="75 src="> determinánsa egy polinom n-edik fok λ-tól. Ezt a polinomot a mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük DE, a =0 egyenlet a karakterisztikus egyenlete, és a gyökereit https://pandia.ru/text/78/250/images/image008_68.gif" width="15" height="17 src="> tetszőlegesnek nevezzük nem nulla vektor x, amely megfelel a feltételnek: https://pandia.ru/text/78/250/images/image010_64.gif" width="19" height="24 src="> egy szám.
A számot saját transzformációs értékének nevezik https://pandia.ru/text/78/250/images/image011_63.gif" width="201" height="75"> (*)
Ha ismert a sajátérték λ , akkor a mátrix összes sajátvektora DE ehhez a sajátértékhez tartozó nemzérus megoldásokat találjuk ennek a rendszernek. Másrészt ez a négyzetmátrixú homogén rendszer A–λE nullától eltérő megoldásai vannak x akkor és csak akkor, ha ennek a rendszernek a mátrixának determinánsa egyenlő nullával és λ a vizsgált területhez tartozik R. De ez azt jelenti λ a karakterisztikus polinom gyöke és a mezőhöz tartozik R. Így a főmezőhöz tartozó mátrix karakterisztikus számai, és csakis azok a saját értékei. Egy mátrix összes sajátértékének megtalálása DE meg kell találnia az összes jellemző számot, és csak azokat kell kiválasztania, amelyek a fő mezőhöz tartoznak R, és megtalálni a mátrix összes sajátvektorát DE mindent meg kell találni nem nulla rendszermegoldások (*) minden sajátértékre λ mátrixok DE.
1. példa Keresse meg egy valós mátrix sajátértékeit és sajátvektorait 
.
Megoldás. Mátrix karakterisztikus polinomja DEúgy néz ki, mint a:
https://pandia.ru/text/78/250/images/image014_58.gif" width="144" height="75 src=">=(multiply (2) oszlop számonként (-2)
és adjuk hozzá (1 m oszlop) =https://pandia.ru/text/78/250/images/image016_45.gif" width="172" height="75">=(szorzás (1) oszlop számonként (-1)
és adjuk hozzá (3 m oszlop) = 
=(szorozzuk (1) soronként (2)
és adjuk hozzá (2) karakterlánc) = 
=(szorozzuk (2) oszlop számonként (-2)
és adjuk hozzá (3 m oszlop) = 
.
Így a karakterisztikus polinom gyökei λ1=6, λ2=λ3= – 3. Mindegyik valós, ezért a mátrix sajátértékei DE.
λ=6 esetén a rendszer ( А–λЕ)Х=0 formátuma: https://pandia.ru/text/78/250/images/image021_35.gif" width="57" height="75 src=">..gif" width="153" height="75 src = ">.
Általános megoldása az x=https://pandia.ru/text/78/250/images/image025_28.gif" width="85" height="27 src=">, megadja általános forma mátrix sajátvektorok DE a λ= – 3 sajátértékhez tartozó.
Legyen DE- n-edrendű négyzetes valós vagy komplex mátrix. Mátrix
az A változó tetszőleges numerikus értéket felvesz, hívjuk jellemző mátrix mátrixok DE. Az ő meghatározója
egy polinom az L fokozatú változóban P. Ezt a polinomot ún karakterisztikus polinom mátrixok DE.
Az, hogy a karakterisztikus polinom valójában polinom az A változóban, közvetlenül következik a determináns definíciójából. legmagasabb fokozat egyenlő n-nel a determináns összes tagja között A-E terméke van
A determináns többi tagja nem tartalmazza a mátrix legalább két elemét DE- DE E A változóval, és ezért nem magasabb, mint P - 2. Ezért a polinom foka az P. Vegyük észre, hogy az (5.9) szorzat nemcsak a karakterisztikus polinom fokát határozza meg, hanem annak két tagját is magasabb fokokkal.
A karakterisztikus polinom szabad tagja egybeesik az A = 0 értékével, és egyenlő | A - DE E= |A|, azaz. mátrix meghatározó DE.
Tehát a mátrix karakterisztikus polinomja DE rendelés P a következő formában van (lásd , 83. és , 55. o.):
ahol pk- a mátrix A>-edik rendjébe tartozó fő kiskorúak összege DE, különösen, Pi\u003d ats + "22 + - - + ftnn - a mátrix főátlójának elemeinek összege DE, ennek a mátrixnak a nyomának nevezik, és Sp A, r p- meghatározó |L| mátrixok DE.
A karakterisztikus polinom gyökerei |A - XE hívott jellegzetes gyökerei vagy jellemző számok mátrixok DE. sokféleség hogy g a karakterisztikus polinomban található karakterisztikus gyök A* ún algebrai multiplicitás ez a gyökér. Egy mátrix összes karakterisztikus gyökének halmaza, amelyben minden karakterisztikus gyök annyiszor ismétlődik, ahányszor a többszörösét ún. Az A mátrix spektruma. Ha a mátrix összes karakterisztikus gyöke egyszerű (azaz egységsokszoros), akkor a mátrix spektrumát ún. egyszerű.
A Vieta-képletekkel összhangban a karakterisztikus polinom együtthatói a karakterisztikus gyökekhez kapcsolódnak a következőképpen:
Ezekből a képletekből különösen a gyakran használt összefüggések következnek
Az utolsó egyenlőség szerint egy mátrix karakterisztikus polinomjának akkor és csak akkor van nulla karakterisztikus gyöke, ha ennek a mátrixnak a determinánsa egyenlő nullával, azaz. amikor a mátrix degenerált.
5.5. példa. Számítsa ki egy mátrix karakterisztikus polinomját!
Megoldás. A karakterisztikus polinom definíciójának megfelelően a következőket kapjuk:
Ha az (5.10) képletet használjuk, akkor először megtaláljuk
majd írj
A karakterisztikus polinom kiszámításának módszereit lásd a könyv végén található függelékben.
5.7. Tétel.A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai egybeesnek.
> Ha mátrixok DEÉs BAN BEN hasonló, akkor valamilyen nem degenerált mátrixra K egyenlőség BAN BEN = Q ~ lAQ. Következésképpen,
tetszőleges polinomba
a Λ változó helyett a négyzetmátrixot helyettesíthetjük DE rendelés P. Ennek eredményeként megkapjuk a mátrixot P(A) \u003d in A p + a A p ~ 1 -
N----+ a n_ 1 A + a p E, amit a polinom értékének nevezünk R( L)
L =-nél DE. Ha egy adott mátrixhoz DE igazi egyenlőség P(A)= O (a polinom értéke R( A) L =-nél DE a nullmátrix), akkor DE hívott mátrix, az Р( polinom gyöke A), és maga a P(A) polinom - az A mátrix által megsemmisített polinom.
5.8. Tétel. Minden négyzetmátrix egy nem nulla polinom gyöke.
> Az összes sorrendű négyzetmátrix halmaza P mezőről származó elemekkel R fent egy lineáris tér van R méretek n 2. Abban lineáris tér bármely rendszer legalább 2. o+1 elem, lineárisan függő. Ezért a rendszer A p , A p -1 , ..., DE, E tól től n 2+ 1 mátrixok lineárisan függőek, azaz. van egy ilyen számhalmaz ao, tól től, ..., a p 2 , amelyek nem tűnnek el egyszerre, ami kielégíti az egyenlőséget
Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy a mátrix DE a polinom gyöke
A bizonyított tétel valójában a következő állításból következik.
5.9 tétel (Hamilton tétel - Cayley).
Bármely négyzetes mátrix a rá jellemző polinom gyöke.
A tétel bizonyítása előtt bemutatjuk a fogalmat X-mátrixok- egy mátrix, amelynek elemei polinomok az A változóban. Bármely A-mátrix ábrázolható polinomként az A változóban, amelynek együtthatói a megfelelő sorrendű négyzetmátrixok. Például,
> Hagyjuk DE egy n rendű négyzetmátrix. Tekintsük a kapcsolódó mátrixot TÓL TŐL a mátrixhoz A-E. Elemei a | determináns elemeinek algebrai komplementerei DE - E|, amelyek A-ban nem magasabb fokú polinomok, mint P- 1. Mint fentebb említettük, a mátrix TÓL TŐL ként ábrázolható
ahol Ci, С2, ..., C p - néhány számmátrix. A kapcsolódó mátrix fő tulajdonsága szerint (lásd 3.C. szakasz, 3.2. Következmény) a következőkkel rendelkezünk:
Ebben az egyenlőségben a C mátrixot az (5.11) összeggel, a karakterisztikus polinomot pedig az (5.10) összeggel helyettesítjük. Akkor megkapjuk az egyenlőséget
Ha az egyenlőség mindkét részében felnyitjuk a zárójeleket, és egyenlővé tesszük az együtthatókat A azonos hatványai mellett, egy rendszert kapunk P+ 1 egyenlőség: 
A rendszer első egyenlőségét megszorozzuk A p, a második - L p_1-en stb., n-e egyenlőség - be A, (n+ 1)-edik egyenlőség - be A° = E:
Ha ezeket az egyenlőségeket a bal oldalon összeadjuk, nulla mátrixot kapunk, a jobb oldalon pedig a kifejezést
Ezért f(A) = 0. ?
5.6. Karakterisztikus és minimális polinom
Minimális fokú 92(A) polinom, amelynek vezető együtthatója egyenlő egy, és a mátrix megsemmisíti DE, hívott minimális polinom ezt a mátrixot.
Tétel 5 . 10 . Az A mátrix által megsemmisített bármely polinom teljesen osztható ennek a mátrixnak a minimális polinomjával. Különösen egy mátrix karakterisztikus polinomja osztható minimális polinomjával.
Körülbelül Oszd fel a polinomot R( K) a 9?(L) minimális polinomhoz a maradékkal: R( A) = 99(A) g(A) + r(A), ahol az r(A) polinom foka kisebb, mint 92(A). Az A változó helyettesítése a mátrixszal DE, kapunk:
Mivel P(A)= p(A) = 0 , majd és G (DE) = 0 . De ez az egyenlőség csak akkor lehetséges, ha a polinom g(A) nulla. Ellenkező esetben a minimális polinom definíciójával ellentmondás merül fel. Egyenlőség G = 0 azt jelenti, hogy a polinom R( A) teljesen osztható 92(A)-val. ?
Következmény 5 .1 . A mátrix minimális polinomjának bármely gyöke a karakterisztikus polinom gyöke.
О Ahogy a tétel bizonyítása is megállapította, a /(A) karakterisztikus polinom a 92(A) minimális polinomhoz kapcsolódik az /(A) = 99(A) egyenlőséggel q(). Ebből az egyenlőségből következik a következmény állítása. ?
Jegyezzünk meg még néhány hasznos tényt (lásd [ 7 ], tól től. 100 ).
Karakterisztikus polinom | DE - XE Az A mátrixok és annak 92(A) minimális polinomja összefügg a relációval
ahol Dn- Az 1 az összes mátrix-moll legnagyobb közös osztója DE - DE E, rendelkezik (n - 1 )-edik sorrendben.
A 92(A) minimális polinom gyökerei a | karakterisztikus polinom különböző gyökei DE- DE Eés ha
ahol 1^ p to ^ t k: k = 1,2
Az (5.12) képlet lehetővé teszi egy mátrix minimális polinomjának megtalálását. A mátrix minimális polinomjának egy másik módját az alábbiakban tárgyaljuk (lásd a 6.5. részt).
5.6. példa. Keresse meg a mátrix minimális polinomját
Megoldás. Az előző példákban a mátrixhoz DE jellemző polinom található A-E\u003d - A 3 + 2 L 2 + L - 2. Közös legnagyobb osztó D2 a mátrix összes másodrendű kiskorúja közül
egyenlő eggyel, mivel kiskorúak
kölcsönösen egyszerű. Ezért
5.7. példa. Keresse meg a mátrixok karakterisztikus és minimális polinomjait
Megoldás.A mátrixhoz DE a determináns közvetlen kiszámításával megtaláljuk a karakterisztikus polinomot
Kiírjuk a mátrix második rendjének összes mollját DE - DE E:
Közös legnagyobb osztó D2 ezeknek a minoroknak az A - 4. Ezért a mátrix minimális polinomja DEúgy néz ki, mint a:
vegye észre, az D2 másként is megtalálható. Valóban, ha a mátrix A-E helyettesítjük L = 4, akkor megkapjuk a mátrixot
rang G - 1. Ezért ennek a mátrixnak minden másodrendű minorja nulla. Ez azt jelenti, hogy a mátrix összes másodrendű kiskorúja DE - L E oszthatók A - 4-gyel, és ezek a mollok nem oszthatók az A - 4 binomiális nagy fokával, mivel például a moll
csak ennek a binomiálisnak az első hatványával osztható. Következésképpen az in? > 2 első fokon tartalmazza az A -4 tényezőt. Egyéb szorzók | DE - A? ^ 1 in?> 2 ne írjon be, mivel például az imént kiírt másodrendű moll nem osztható velük. Ezért Dg \u003d A - 4.
Mátrixhoz DE2 a determináns közvetlen kiszámításával is megtaláljuk a karakterisztikus polinomot
másodrendű kiskorúak
kölcsönösen egyszerű. Ezért D2 = 1 és
A vizsgált példa azt mutatja, hogy a különböző mátrixok azonos karakterisztikával, de eltérő minimális polinomokkal rendelkezhetnek.
Tekintettel arra, hogy egy adott lineáris operátor mátrixai különböző bázisokban hasonlóak és azonos karakterisztikus polinomokkal rendelkeznek, logikus, hogy ezt a polinomot nevezzük. egy lineáris operátor karakterisztikus polinomja,és a gyökerei egy lineáris operátor jellegzetes gyökerei.
Vegye figyelembe azt is, hogy a transzponált mátrix NÁL NÉL ugyanaz a mátrix DE karakterisztikus polinomok és karakterisztikus számok.
Tekintsünk egy négyzetmátrixot
Amint az látható (6.1.), minden mátrix hasonló a mátrixhoz DE, azaz az űrlap összes mátrixa A*= T -1 NÁL NÉL, ahol T– bármely nem szinguláris mátrix (négyzet), ugyanazzal a determinánssal | A|=| A*|.
Az ilyen mátrixoknak van még egy közös jellemzője.
A mátrixszal együtt DE vegyük figyelembe a mátrixot
,
amely abból alakul ki DEátlós elemek cseréje a ij elemeket 
, ahol 
– tetszőleges szám. Ennek a mátrixnak a meghatározója
fokszámú polinom n viszonylag 
(együttható at 
egyenlő (-1)n). Polinom 
a mátrix karakterisztikus polinomjának nevezzük DE.
Mutassuk meg, hogy minden hasonló mátrixnak ugyanaz a karakterisztikus polinomja, azaz mit értesz hol A*=T -1 NÁL NÉL.
Ehhez az identitást használjuk E*= T -1
ET. Ezután cserélje ki a mátrixba 
mátrixok DE*És E illetve be T -1
NÁL NÉLÉs T -1
ET, kapunk:
Így minden hasonló mátrixnak ugyanaz a karakterisztikus polinomja 
.
Algebrai egyenlet n fokozat 
a mátrix karakterisztikus egyenletének nevezzük DE, gyökei pedig jellemző számok.
A karakterisztikus egyenletnek megvan a formája
ahol 
- nyom k-edik rendű mátrix DE.
Következő k- a sorrend 
a lehetségesek összegének nevezzük 
jelentősebb kiskorúak k- sorrend:
A karakterisztikus egyenlet rendelkezik n nem feltétlenül különböző gyökerek 
. Minden karakterisztikus gyök egy sajátvektornak felel meg egy állandó tényezőig.
A karakterisztikus gyökök összege megegyezik a mátrix nyomával DE:
a karakterisztikus gyökök szorzata pedig egyenlő a mátrix determinánsával DE:
A nem nulla gyökök száma egybeesik a lineáris operátor mátrixának rangjával.
Az együtthatók megtalálásának egyik módszere 
karakterisztikus egyenlet a Faddeev-módszer. Legyen a lineáris operátor 
mátrix által adott DE. Aztán az együtthatók 
a következő séma szerint számítják ki:
Példa. Keresse meg egy lineáris operátor sajátértékeit 
, amelyet a mátrix adja meg
.
Megoldás. A karakterisztikus egyenletnek megvan a formája
Ennek eredményeként a következő jellemző egyenletet kapjuk:
vagy honnan vannak a lineáris operátor sajátértékei 
.
Hamilton-Cayley tétel. Minden négyzetes mátrix a rá jellemző polinom gyöke.
Bizonyíték. Tekintsük a polinomot
Mátrix elemek BAN BEN polinomokból származnak 
nincs magasabb fokozat n-1
). Ezért a mátrix BAN BEN a következő formában lehet bemutatni:
Az együtthatók azonos hatványon való egyenlővé tétele 
az egyenlőség mindkét részében (6.2.4) azt kapjuk
A (6.2.5) egyenlőségeket rendre megszorozzuk vele 
és összegezzük az eredményeket:
honnan az következik 
. A tétel bizonyítást nyert.
Példa. Lineáris operátor 
mátrix által adott
.
Megtalálni 
és azt mutasd meg 
.
Megoldás. Készítsünk mátrixot
Polinom 
van formája
.
6.3. Lineáris operátor sajátvektora és sajátértéke
Engedd be az űrbe 
adott lineáris operátor 
.
Meghatározás. Nem nulla vektor 
, kielégítve a kapcsolatot 
, sajátvektornak nevezzük, és a megfelelő számot 
– az operátor sajátértéke 
.
Tól től ezt a meghatározást ebből következik, hogy a sajátvektor képe 
egy kollineáris vektor 
.
Megjegyezzük az operátor sajátvektorainak néhány tulajdonságát 
.
1. Minden sajátvektor egyetlen sajátértéknek felel meg. Tegyük fel az ellenkezőjét: legyen a sajátvektor 
operátor 
két sajátértéknek felel meg 
. Ez azt jelenti
,
.
De ebből az következik
Mivel az állapot szerint 
akkor egy nem nulla vektor 
.
2. Ha 
És 
az operátor sajátvektorai 
ugyanazzal a sajátértékkel 
, akkor az összegük 
az operátor sajátvektora is 
saját számmal 
. Valóban, azóta 
És 
, azután
3. Ha 
az operátor sajátvektora 
saját számmal 
, akkor bármely vektor 
, kollineáris a vektorhoz 
, az operátor sajátvektora is 
ugyanazzal a sajátértékkel 
.
Igazán,
Így minden sajátérték 
kollineáris sajátvektorok megszámlálhatatlan halmazának felel meg. A 2. és 3. tulajdonságból következik, hogy az operátor sajátvektorainak halmaza 
ugyanazon sajátértéknek megfelelő teret képez, amely a tér altere 
.
Bizonyítsuk be a tételt egy sajátvektor létezéséről.
Tétel. Komplex lineáris térben 
minden vonal kezelője 
legalább egy sajátvektorral rendelkezik.
Bizonyíték. Legyen 
a térben meghatározott lineáris operátor 
, de 
ennek az operátornak egy sajátértékkel rendelkező sajátvektora 
, azaz 
. Tetszőleges alapot választunk 
és jelöljük a vektor koordinátáit 
ezen az alapon keresztül 
. Aztán ha 
az operátori mátrix 
alapon 
, akkor a relációt mátrix alakban felírva megkapjuk
|
ahol |
.Koordináta formában a (6.3.1) mátrixegyenlet alakja
|
|
A sajátvektor megtalálásához meg kell találni a (6.3.2) rendszer nullától eltérő megoldásait, amelyek akkor és csak akkor léteznek, ha a rendszer determinánsa egyenlő nullával, azaz. amikor 
. Ez azt jelenti, hogy a lineáris operátor sajátértéke 
a jellemző száma, amely mindig létezik. Ezt a számot behelyettesítve a (6.3.2) rendszerbe, talál ennek a rendszernek egy nem nullától eltérő megoldását, amely meghatározza a kívánt sajátvektort. A tétel bizonyítást nyert.
Ebből a tételből az következik, hogy egy lineáris operátor sajátértékének megállapítása 
és a megfelelő sajátvektor 
redukálódik a karakterisztikus egyenlet megoldására 
. Legyen 
a karakterisztikus egyenlet különböző gyökerei. Néhány gyökér behelyettesítése 
rendszerbe (6.3.2) megtaláljuk annak összes lineárisan független megoldását, amely meghatározza a sajátértéknek megfelelő sajátvektorokat 
. Ha a mátrix rangja 
egyenlő rÉs r<
n, akkor létezik k=
n-
r a gyökérnek megfelelő lineárisan független sajátvektorok.
Példa. Keresse meg a lineáris operátor sajátvektorait 
, amelyet a mátrix adja meg
.
Megoldás.Összeállítjuk a karakterisztikus egyenletet
,
vagy 
ahol 
.
A gyökereket helyettesítjük 
a rendszerbe (6.3.1). Keressük meg az operátor sajátvektorait 
.
Nál nél 
nekünk van
.
Kap homogén rendszer három lineáris egyenlet, amelyek közül csak egy (bármelyik) lineárisan független. A rendszer általános megoldásának van formája 
. Keressünk két lineárisan független megoldást:
Ezután a sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok 
, legyen az űrlap
,
ahol tól től a nullától eltérő tetszőleges valós szám.
Nál nél 
nekünk van
.
Ennek a rendszernek az általános megoldása a formája
A sajátértéknek megfelelő sajátvektor 
, egyenlő
.
Tétel. Legyen a sajátértékek 
operátor 
páronként eltérőek. Ezután a megfelelő sajátvektorok 
lineárisan függetlenek.
Bizonyíték. Az indukció módszerét alkalmazzuk a változók számára. Mivel 
egy nem nulla vektor, akkor for p=1 a tétel állítása igaz.
Legyen igaz a tétel állítása m<
p vektorok 
. Adjuk hozzá ezekhez a vektorokhoz a vektort 
és tegyük fel, hogy az egyenlőség
Mivel 
, -sajátvektorok, akkor 
ezért a (6.3.4) egyenlőség a következőképpen írható át:
Feltételesen minden 
, különböznek, tehát 
. Vektoros rendszer 
lineárisan független. Ezért a (6.3.6)-ból az következik, hogy. Majd a (6.3.3)-ból és abból a feltételből, hogy 
a sajátvektor ( 
), kapunk 
. Ez azt jelenti 
lineárisan független vektorok rendszere. Az indukció megtörtént. A tétel bizonyítást nyert.
Következmény: ha minden sajátérték 
páronként különállóak, akkor a megfelelő sajátvektorok 
képezik a tér alapját 
.
Tétel. Ha a tér alapjaként 
elfogad n lineárisan független sajátvektorok, majd az operátor 
ezen az alapon az átlós mátrix felel meg
.
Bizonyíték. Tekintsünk egy tetszőleges vektort 
és egy sajátvektorokból álló bázis 
ezt a teret. Akkor hol 
vektorkoordináták 
alapon 
.
Alkalmazás vektorra 
operátor 
, kapunk 
vagy 
.
Mivel 
, akkor egy sajátvektor 
.
|
|
A (6.3.7)-ből megvan
|
|
,
,
.A (6.3.8) egyenlőségek azt jelentik, hogy a lineáris operátor mátrixa 
alapon 
van formája
.
A tétel bizonyítást nyert.
Meghatározás. Lineáris operátor 
űrben R n egyszerű szerkezeti operátornak nevezzük, ha van n lineárisan független sajátvektorok.
Nyilvánvaló, hogy az egyszerű szerkezetű operátoroknak, és csak nekik van valamilyen alapon átlós mátrixa. Ez a bázis csak az operátor sajátvektoraiból állhat össze 
. Egy egyszerű szerkezet bármely operátorának művelete mindig a vektor koordinátáinak egy adott bázison történő "kinyújtásában" következik be.
Folytatjuk a lineáris operátorok vizsgálatát. Azt már tudjuk, hogy minden A operátor egy négyzetmátrixhoz van társítva, amely viszont a determinánsához kapcsolódik. A determináns értéke skalár (szám). Ezért egy olyan függvény, amely skalárt rendel az A operátorhoz. Ezért a determináns tulajdonságainak vizsgálata leegyszerűsítheti az operátor tulajdonságainak vizsgálatát.
Meghatározás.Skalár l sajátértéknek (sajátértéknek) és nullától eltérő vektornak nevezzük x-ben ható A lineáris operátor sajátvektora n-dimenziós vektor tér L, ha
Ha vektornak tekintjük, bármely , , vektor kollineáris x, sajátértékkel rendelkező sajátvektor lesz l. Ha a sajátérték l két vektornak felel meg, xÉs y, akkor az alak bármely nullától eltérő vektora is sajátvektor lesz. Mivel a 0-vektor nem megfelelő, a halmaz M az operátor összes sajátvektora A nem altér. Ha M akkor egészítsük ki 0-vektorral M altérré válik. sokféleség sajátérték l altér dimenziójának nevezzük M; sajátérték l hívott egyszerű ha a többszöröse 1.
A feladat. Keresse meg a nulla - O és az azonos - E operátorok összes sajátértékét és vektorát. Határozza meg a multiplicitását, ha a lineáris operátor működik n-dimenziós lineáris tér.
Tétel VI.1. Az A operátor sajátérték-családjának megfelelő sajátvektorcsaládja, , lineárisan független.
Bizonyíték. Alkalmazzuk a módszert matematikai indukció. Számára a tétel igaz, a sajátvektor definíciója szerint nullától eltérő.
Legyen bármely , például -ra a tétel igaz, de nem igaz -ra. Ekkor, ha a , , …, , vektorrendszer lineárisan függő, azaz vannak , , számok, nem mindegyik egyenlő 0-val, például , ami igaz
Az A lineáris operátort rá alkalmazva a (VI.5) figyelembevételével kapjuk
A (VI.6)-ot megszorozva (VI.7)-ből kivonva azt kapjuk
Megkapta lineáris kombináció az induktív feltevés miatt lineárisan független, azaz minden at együttható egyenlő 0-val, beleértve a , de feltevés szerint , akkor , de akkor , ami a tétel hipotézise szerint lehetetlen. ▼
Következmény. Belépő lineáris operátor n-dimenziós lineáris tér, nem lehet több, mint n páronként eltérő sajátértékek.
Egy lineáris operátor sajátvektorának definíciójából következik, hogy a kép és az előkép x kollineárisak. Ez azt jelenti, hogy nem minden lineáris operátor működik egy mező feletti lineáris térben valós számok, legalább egy sajátvektora van. Például a tengelyek tetszőleges szöggel történő elforgatásához, amely nem többszöröse p, nem kapunk kollineáris vektorokat.
Folytassuk az egyenlet levezetését, amelyet minden sajátvektor kielégít.
Hagyja, hogy a lineáris operátor lépjen be n-dimenziós valós lineáris tér Lés legyen , , valamilyen bázis, végül pedig az A operátor mátrixa ebben a bázisban. Egy lineáris operátor akkor és csak akkor degenerált, ha a mátrixa degenerált, azaz. Ebből arra következtetünk, hogy a sokféleség l egybeesik a lineáris operátor hibájával.
Megjegyzendő, hogy ha B bármely invertálható operátor, akkor ez kimutatható
vagyis akkor és csak akkor 
, ahol . Ez azt jelenti, hogy minden spektrális fogalom (spektrum, sajátértékek, multiplicitás, dimenzió stb.) invariáns, ha A-t egy hasonló operátorral helyettesítjük. Figyelembe véve, hogy definíció szerint egy determináns elemeinek polinomja, megkapjuk
,
ahol az együtthatók a determináns (vagy mátrix) elemeinek függvényei és nem függenek attól l. Max fokozat l a determinánsnak csak egy tagjában szerepel, elemeinek szorzatából áll a főátlón, ezért . Így polinomot kapunk
Kibővítve a meghatározót, megvan
amelyet úgy hívnak karakterisztikus polinom operátor A valós lineáris térben L.
Ahhoz, hogy egy szám egy operátor sajátértéke legyen A szükséges és elégséges, hogy kielégítse az egyenletet, vagyis ez lenne a karakterisztikus polinom gyöke.
Példa VI.6. A karakterisztikus polinomok egybeesése az operátorok egyenlőségének a jele?
Megoldás. Nem, nem, mivel a karakterisztikus polinom ugyanaz a hasonló mátrixok családjában. Valójában a lineáris operátorok egybeesnek, ha mátrixaik egybeesnek. Tekintsünk két bázist és . Legyen az A operátornak egy mátrixa a bázisban, és az alapban - . Akkor ezek a mátrixok hasonlóak, azaz 
, ahol K valami nem degenerált mátrix. Bármelyikre, tekintettel arra, van
Meghatározás
Ehhez a mátrixhoz , , hol E- azonosságmátrix , egy polinom -ben, amelyet ún karakterisztikus polinom mátrixok A(néha "világi egyenlet" is (világi egyenlet)).
A karakterisztikus polinom értéke az, hogy a mátrix sajátértékei a gyökei. Valójában, ha az egyenletnek nincs nullától eltérő megoldása, akkor a mátrix degenerált, és a determinánsa nulla.
Kapcsolódó definíciók
Tulajdonságok
.Linkek
- V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina Felső matematika. Lineáris algebra . - Ivanovo Állami Energia Egyetem.
Wikimédia Alapítvány. 2010 .
- Referencia jelleggörbe
- Harald (Norvégia királya) III.
Nézze meg, mi a "mátrix karakterisztikus polinomja" más szótárakban:
Karakterisztikus polinom- A matematikában a karakterisztikus polinom jelentheti: egy mátrix karakterisztikus polinomját, egy lineáris ismétlődő sorozat karakterisztikus polinomját, egy közönséges karakterisztikus polinomját. differenciálegyenlet.… … Wikipédia
JELLEMZŐ POLINOM- mátrixok a K mező felett polinom a K mező felett Az X. m. fok egyenlő az A négyzetmátrix nagyságrendjével, a b1 együttható a mátrix nyomvonalával t rendű fő minorok, különösen bn= detA… Matematikai Enciklopédia
Egy mátrix minimális polinomja- Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd: Minimális polinom. A mátrix minimális polinomja a minimális fokú annihiláló unitárius polinom. Tulajdonságok A minimális polinom felosztja egy mátrix karakterisztikus polinomját ... ... Wikipédia
lambda mátrixok- Főcikk: Mátrixok függvényei A lambda mátrix (λ mátrix, polinommátrix) egy négyzetes mátrix, amelynek elemei polinomok valamilyen számmező felett. Ha van olyan mátrixelem, amely polinom... Wikipédia
MÁTRIX SPEKTRUM- saját értékrendje. Lásd még: Egy mátrix karakterisztikus polinomja... Matematikai Enciklopédia
Mátrix jellemző szám- A sajátvektor pirossal van jelölve. Ez a kékkel ellentétben nem változtatta irányát és hosszát a deformáció során, ezért a λ = 1 sajátértéknek megfelelő sajátvektor. A piros vektorral párhuzamos bármely vektor ... ... Wikipédia
Hasonló mátrixok- Az azonos rendű A és B négyzetes mátrixokat hasonlónak mondjuk, ha létezik egy nem szinguláris P mátrix, amelynek sorrendje megegyezik, így: Hasonló mátrixokat kapunk, ha ugyanazt adjuk meg. lineáris transzformáció mátrix különböző ... ... Wikipédiában
Karaktermátrix
Karakterisztikus egyenlet- A karakterisztikus polinom olyan polinom, amely egy mátrix sajátértékeit határozza meg. Egy másik jelentés: A lineáris ismétlődés karakterisztikus polinomja egy polinom. Tartalom 1 Definíció ... Wikipédia
Hamilton tétele- Hamilton Cayley tétele a mátrixelmélet híres tétele, William Hamilton és Arthur Cayley nevéhez fűződik. Hamilton Cayley-tétel Bármely négyzetmátrix kielégíti karakterisztikus egyenlet. Ha... Wikipédia