6. előadás
4.6 Két négyzetmátrix szorzatának determinánsa.
Két négyzetmátrix szorzata n a sorrend mindig meghatározott. Itt nagy jelentősége van a következő tételnek.
Tétel. A szorzatmátrix determinánsa megegyezik a faktormátrixok determinánsainak szorzatával:
Bizonyíték. Legyen
és 
,
.
Állíts össze egy segéddeterminánst
.
A Laplace-tétel következményeként a következőket kapjuk:
.
Így, 
, ezt megmutatjuk 
. Ehhez a determinánst a következőképpen alakítjuk át. először először P
, add hozzá 
-adik oszlop. Aztán az első P oszlopokat rendre megszorozva ezzel 
, add hozzá 
-edik oszlop stb. Az utolsó lépésnél 
-adik oszlop lesz hozzáadva az elsőhöz P oszlopokat rendre megszorozva ezzel 
. Ennek eredményeként megkapjuk a meghatározót
.
A kapott determináns kiterjesztése a Laplace-tétel segítségével az utolsó szempontjából P oszlopokban találjuk:
Tehát bebizonyítottuk az egyenlőséget 
és 
, amiből az következik 
.
4.7 Inverz mátrix
1. definíció
.
Legyen adott egy négyzetmátrix DE P- a sorrend. Négyzetes mátrix 
azonos rendű ún fordított a mátrixhoz DE, ha , hol E-identitásmátrix P- a sorrend.
Nyilatkozat. Ha van mátrix inverze a mátrixnak DE, akkor egy ilyen mátrix egyedi.
Bizonyíték. Tegyük fel, hogy a mátrix 
nem az egyetlen mátrix inverze a mátrixszal DE. Vegyünk egy másik B inverz mátrixot. Ezután a feltételeket
Vegye figyelembe a terméket 
. Megvan az egyenlőség
amiből az következik 
. Így az inverz mátrix egyedisége bizonyítást nyer.
A létezési tétel bizonyításakor inverz mátrix szükségünk van az "adjungált mátrix" fogalmára.
2. definíció . Hagyja a mátrixot
.
melynek elemei algebrai komplementerek 
elemeket 
mátrixok DE, nak, nek hívják csatolt
mátrixról mátrixra DE.
Vegye figyelembe, hogy az adjungált mátrix megalkotásához Val vel mátrix elemek DE helyettesítenie kell őket algebrai komplementerekkel, majd transzponálnia kell a kapott mátrixot.
3. definíció.
négyzetmátrix DE hívott nem degenerált
, ha 
.
Tétel.
A mátrix érdekében DE inverz mátrixa volt 
, szükséges és elégséges, hogy a mátrix DE degenerálatlan volt. Ebben az esetben a mátrix 
képlet határozza meg
,
(1)
ahol 
- mátrixelemek algebrai komplementerei DE.
Bizonyíték. Hagyja a mátrixot DE inverz mátrixa van 
. Ekkor teljesülnek azok a feltételek, amelyek arra utalnak. Az utolsó egyenlőségből azt kapjuk, hogy a determinánsok 
és 
. Ezeket a determinánsokat a reláció kapcsolja össze 
. mátrixok DEés 
nem degenerált, mivel determinánsaik nem nullák.
Most hagyjuk a mátrixot DE nem degenerált. Bizonyítsuk be, hogy a mátrix DE inverz mátrixa van 
és az (1) képlet határozza meg. Ehhez vegye figyelembe a munkát
mátrixok DEés a hozzá kapcsolódó mátrixot Val vel.
A mátrixszorzás szabálya szerint az elem 
művek 
mátrixok DEés Val vel a következő formában van: . Mivel az elemek szorzatainak összege én-edik sor a megfelelő elemek algebrai komplementerein j-
sor nulla at 
és a determináns at 
. Ennélfogva,
ahol E– identitásmátrix P- a sorrend. Az egyenlőség 
. És így, 
, ami azt jelenti 
és mátrix 
a mátrix inverze DE. Ezért a nem szinguláris mátrix DE inverz mátrixa van, amelyet az (1) képlet határoz meg.
Következmény 1
.
Mátrix meghatározó tényezők DEés 
arányával összefügg 
.
2. következmény . A társított mátrix fő tulajdonsága Val vel a mátrixhoz DE kifejezve
egyenlőségek 
.
Következmény 3 . Nem degenerált mátrix determinánsa DEés a hozzá kapcsolódó mátrixot
Val vel egyenlőség köti 
.
A 3. következmény az egyenlőségből következik 
és a determinánsok tulajdonságai, amelyek szerint ha megszorozzuk P- ennek a számnak a hatványa. Ebben az esetben
honnan az következik 
.
Példa. DE:
.
Döntés. Mátrix meghatározó
különbözik a nullától. Ezért a mátrix DE van egy fordítottja. Ennek megtalálásához először kiszámítjuk az algebrai komplementereket:
,
,
,
,
,
,
,
.
Most az (1) képlet segítségével írjuk fel az inverz mátrixot
.
4.8. Elemi transzformációk mátrixokon. Gauss algoritmus.
Meghatározás
1.
Alatt elemi átalakulások
méret feletti mátrix 
megértse a következő lépéseket.
A mátrix bármely sorának (oszlopának) szorzása tetszőleges nullától eltérő számmal.
kiegészítés bármely én-a mátrixának bármelyik sora j- sor, megszorozva egy tetszőleges számmal.
kiegészítés bármely én-a mátrix bármelyik oszlopa j- oszlop szorozva egy tetszőleges számmal.
Egy mátrix sorainak (oszlopainak) permutációja.
2. definíció.
mátrixok DEés NÁL NÉL hívni fogjuk egyenértékű
,
ha az egyik elemi transzformációkkal a másikká alakítható. Írni fog 
.
A mátrix ekvivalencia a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
3. definíció . lépett mátrixnak nevezzük DE a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) ha én-a sor nulla, azaz. akkor csak nullákból áll 
-adik karakterlánc is null;
2) ha az első nem nulla elemek
én-th és 
-adik sorok számokkal ellátott oszlopokba vannak rendezve kés l, azután 
.
Példa. mátrixok
és 
lépcsőzetesek, és a mátrix
nem egy lépés.
Mutassuk meg, hogyan tudjuk elemi transzformációkkal redukálni a mátrixot DE lépcsős kilátáshoz.
Gauss algoritmus
.
Tekintsük a mátrixot DE méret 
. Az általánosság elvesztése nélkül azt feltételezhetjük 
. (Ha a mátrixban DE van legalább nem nulla elem, akkor a sorok, majd az oszlopok felcserélésével megbizonyosodhat arról, hogy ez az elem az első sor és az első oszlop metszéspontjába esik.) Adjunk hozzá a mátrix második sorához DE először megszorozva 
, a harmadik sorba - az első, szorozva ezzel 
stb.
Ennek eredményeként azt kapjuk
.
Elemek a közelmúltban 
a sorokat a következő képletek határozzák meg:
,
,
.
Tekintsük a mátrixot
.
Ha minden mátrixelem 
akkor egyenlők nullával
és az ekvivalens lépésmátrix. Ha a mátrix elemei között 
legalább egy különbözik nullától, akkor az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy 
(ezt a mátrix sorainak és oszlopainak átrendezésével érhetjük el 
). Ebben az esetben a mátrix átalakítása 
ugyanaz, mint a mátrix DE, kapunk
illetőleg,
.
Itt 
,
,
.
és 
,
,
… ,
. A mátrixban DE t sorokat, és a jelzett módon lépcsőzetes formára redukálni, nem kell több, mint t lépések. A folyamat ezután leállhat k-adik lépés akkor és csak akkor, ha a mátrix összes eleme
egyenlők nullával. Ebben az esetben
és 
,
,
… ,
.
4.9. Az inverz mátrix megtalálása a segítségével elemi átalakulások.
Nagy mátrix esetén célszerű megtalálni az inverz mátrixot mátrixok feletti elemi transzformációkkal. Ez a módszer a következő. Írj ki egy összetett mátrixot! 
és a Gauss-módszer sémája szerint ennek a mátrixnak a sorain (azaz egyidejűleg a mátrixban) hajtják végre DEés a mátrixban E) elemi transzformációk. Ennek eredményeként a mátrix DEátalakul az identitásmátrixba, és a mátrixba E- mátrixba 
.
Példa. Keresse meg a mátrix inverzét a mátrixhoz
.
Döntés.Írjunk egy összetett mátrixot 
és a Gauss-módszernek megfelelő elemi karakterlánc-transzformációkkal alakítsa át. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
.
Ezekből az átalakulásokból arra következtetünk
.
4.10 Mátrix rang.
Meghatározás.
Egész szám r hívott rang
mátrixok DE, ha kisebb rendje van r, különbözik a nullától, és minden kisebb rendű magasabb r egyenlők nullával. A mátrix rangját a szimbólum jelöli 
.
A mátrix rangját a módszerrel számítjuk ki kiskorúak szegélyezése .
Példa. Számítsa ki egy mátrix rangját a fringing minor módszerrel
.
Döntés.
A fenti módszer nem mindig kényelmes, mert. egy nagy kiszámításához kapcsolódik
a meghatározók száma.
Nyilatkozat. Egy mátrix rangja nem változik sorainak és oszlopainak elemi transzformációi során.
A megadott állítás a mátrix rangjának kiszámításának második módját jelzi. Ez az úgynevezett elemi transzformációk módszere . Egy mátrix rangjának meghatározásához a Gauss-módszerrel lépcsőzetes formára kell hozni, majd kiválasztani a maximum nullától eltérő minort. Magyarázzuk meg ezt egy példával.
Példa. Elemi transzformációk segítségével számítsa ki a mátrix rangját
.
Döntés. Végezzünk el elemi transzformációs láncot a Gauss-módszer szerint. Ennek eredményeként ekvivalens mátrixok láncát kapjuk.
Meghatározás. Két mátrix szorzata DEés NÁL NÉL mátrixnak nevezzük Val vel, melynek eleme a kereszteződésben található én-edik sor és j-edik oszlop, egyenlő az elemek szorzatainak összegével én-a mátrix sora DE a megfelelő (sorrendben lévő) elemeken j-a mátrix oszlopa NÁL NÉL.
Ez a definíció magában foglalja a mátrixelem képletét C:
Mátrix termék DE mátrixhoz NÁL NÉL jelöljük AB.
1. példa Keresse meg két mátrix szorzatát! DEés B, ha
,
.
Döntés. Kényelmes megtalálni két mátrix szorzatát DEés NÁL NÉLírja be a 2. ábrán látható módon:
A diagramon a szürke nyilak a mátrix melyik sorának elemeit mutatják DE a mátrix melyik oszlopának elemein NÁL NÉL szorozni kell, hogy megkapjuk a mátrix elemeit Val vel, és a mátrixelem színei C a mátrixok megfelelő elemei össze vannak kötve Aés B, amelynek termékeit hozzáadva mátrixelemet kapunk C.
Ennek eredményeként megkapjuk a mátrixok szorzatának elemeit:
Most már minden megvan ahhoz, hogy felírjuk két mátrix szorzatát:
.
Két mátrix szorzata AB csak akkor van értelme, ha a mátrix oszlopainak száma DE megegyezik a mátrix sorok számával NÁL NÉL.
Ezt a fontos funkciót könnyebben megjegyezheti, ha gyakrabban használja a következő emlékeztetőket:
A mátrixok szorzatának van egy másik fontos jellemzője a sorok és oszlopok számával kapcsolatban:
Mátrixok szorzatában AB a sorok száma megegyezik a mátrix sorok számával DE, és az oszlopok száma megegyezik a mátrix oszlopainak számával NÁL NÉL .
2. példa Határozza meg a mátrix sorainak és oszlopainak számát C, amely két mátrix szorzata Aés B a következő méretek:
a) 2 x 10 és 10 x 5;
b) 10 x 2 és 2 x 5;
3. példa Keresse meg a mátrixok szorzatát Aés B, ha:
.
A B- 2. Ezért a mátrix dimenziója C = AB- 2x2.
Mátrixelemek kiszámítása C = AB.
A mátrixok talált szorzata: .
Ennek és más hasonló problémáknak a megoldását itt ellenőrizheti mátrix termékkalkulátor online .
5. példa Keresse meg a mátrixok szorzatát Aés B, ha:
.
Döntés. Sorok száma a mátrixban A- 2, a mátrix oszlopainak száma B C = AB- 2x1.
Mátrixelemek kiszámítása C = AB.
A mátrixok szorzatát oszlopmátrixként írjuk fel: .
Ennek és más hasonló problémáknak a megoldását itt ellenőrizheti mátrix termékkalkulátor online .
6. példa Keresse meg a mátrixok szorzatát Aés B, ha:
.
Döntés. Sorok száma a mátrixban A- 3, a mátrix oszlopainak száma B- 3. Ezért a mátrix dimenziója C = AB- 3x3.
Mátrixelemek kiszámítása C = AB.
A mátrixok talált szorzata: 
.
Ennek és más hasonló problémáknak a megoldását itt ellenőrizheti mátrix termékkalkulátor online .
7. példa Keresse meg a mátrixok szorzatát Aés B, ha:
.
Döntés. Sorok száma a mátrixban A- 1, a mátrix oszlopainak száma B- 1. Következésképpen a mátrix dimenziója C = AB- 1x1.
Számítsa ki a mátrix elemét! C = AB.
A mátrixok szorzata egy elem mátrixa: .
Ennek és más hasonló problémáknak a megoldását itt ellenőrizheti mátrix termékkalkulátor online .
Szoftver implementáció két mátrix szorzatát a C++ nyelvben elemzi a megfelelő cikk a "Számítógépek és programozás" blokkban.
Mátrix hatványozásEgy mátrix hatványra emelése a mátrixnak ugyanazzal a mátrixszal való megszorzását jelenti. Mivel a mátrixok szorzata csak akkor létezik, ha az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix sorainak számával, csak a négyzetes mátrixok emelhetők hatványra. n egy mátrix hatványa a mátrix önmagával való megszorzásával n egyszer:
8. példa Adott egy mátrix. Megtalálni A² és A³ .
Keresse meg saját maga a mátrixok szorzatát, majd nézze meg a megoldást
9. példa Adott egy mátrix 
Keresse meg az adott mátrix és a transzponált mátrix szorzatát, a transzponált mátrix és az adott mátrix szorzatát!
Két mátrix szorzatának tulajdonságai1. tulajdonság. Bármely A mátrix és a megfelelő sorrendű E azonosságmátrix szorzata mind a jobb, mind a bal oldalon egybeesik az A mátrixszal, azaz. AE = EA = A.
Más szóval, az azonosságmátrix szerepe a mátrixszorzásban megegyezik az egységek szerepével a számok szorzásában.
10. példa Győződjön meg arról, hogy az 1. tulajdonság igaz, keresse meg a mátrix szorzatait
a jobb és bal oldali identitásmátrixhoz.
Döntés. A mátrix óta DE három oszlopot tartalmaz, akkor meg kell találnia a terméket AE, ahol
-
a harmadik rend identitásmátrixa. Keressük meg a munka elemeit Val vel = AE :
Kiderült, hogy AE = DE .
Most pedig keressük a munkát EA, ahol E a másodrendű identitásmátrix, mivel az A mátrix két sort tartalmaz. Keressük meg a munka elemeit Val vel = EA :
14. A tétel a mátrixok szorzatának determinánsáról.
Tétel:
Bizonyíték: Legyenek adottak n rendű négyzetmátrixok. 
és 
. A kvázi háromszög mátrix determinánsára vonatkozó tétel alapján ( 
) nekünk van: 
ennek a mátrixnak a sorrendje 2n. A determináns megváltoztatása nélkül a következő transzformációkat hajtjuk végre egy 2n rendű mátrixon: add az első sorhoz . Egy ilyen transzformáció eredményeként az első sor első n pozíciója mind 0 lesz, a második (a második blokkban) pedig az A mátrix első sora és a mátrix első oszlopa szorzatainak összegét tartalmazza. B. Ha ugyanazokat a transzformációkat 2 ... n sorral elvégeztük, a következő egyenlőséget kapjuk: 
Ahhoz, hogy a megfelelő determinánst kvázi háromszög alakúvá hozzuk, cseréljünk fel benne 1 és 1+ n oszlopot, 2 és 2+ n … n és 2 n oszlopot. Ennek eredményeként az egyenlőséget kapjuk: 
Megjegyzés: Nyilvánvaló, hogy a tétel tetszőleges véges számú mátrixra érvényes. Különösen 
.
15. Az inverz mátrix létezésének tétele.
Meghatározás: Ha egy 
a mátrixot nem szingulárisnak (nem szingulárisnak) nevezik. Ha egy 
akkor a mátrixot degeneráltnak (speciálisnak) nevezik.
Tekintsünk egy tetszőleges A négyzetmátrixot. Ennek a mátrixnak az elemeinek algebrai komplementereiből összeállítunk egy mátrixot és transzponáljuk. C mátrixot kapunk: 
A C mátrixot csatoltnak nevezzük az A mátrixhoz képest. Az A*C és B*C szorzatát kiszámítva azt kapjuk, hogy 
Ennélfogva 
, és így 
ha 
.
Így az A -1 létezése az A mátrix nem szingularitásából következik. Másrészt, ha A-ban A -1 van, akkor az AX=E mátrixegyenlet megoldható. Ennélfogva 
és. A kapott eredményeket összevonva a következő állítást kapjuk:
Tétel: A P mező feletti négyzetmátrixnak akkor és csak akkor van inverze, ha nem szinguláris. Ha létezik inverz mátrix, akkor a következő képlettel találjuk meg: 
, ahol C a társított mátrix.
Megjegyzés:
16. Mátrix rangjának meghatározása. A moll alaptétel és következménye.
Meghatározás: Az A mátrix k-edik rendű mollja a k-edik rendű determináns, amelynek elemei tetszőleges k sor és k oszlop metszéspontjában helyezkednek el.
Meghatározás: Az A mátrix rangját nevezzük legmagasabb rendű ennek a mátrixnak a 0 kisebb részétől eltérő. Jelölve r(A). tiszta 0<=r(A)<=min(m,n). Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от 0, а все минорыr+1 порядка и выше равны 0.
Meghatározás: Minden 0-tól eltérő mátrix-moll, amelynek sorrendje megegyezik a mátrix rangjával, ennek a mátrixnak a bázis-molljának nevezzük. Nyilvánvaló, hogy egy mátrixnak több alapmollja is lehet. Az alap-mollokat alkotó oszlopokat és sorokat bázisnak nevezzük.
Tétel: Az A=(a i) m, n derivált mátrixban minden oszlop azon alaposzlopok lineáris kombinációja, amelyben az alapmoll található (ugyanez a soroknál).
Bizonyíték: Legyen r(A)=r. A mátrixból kiválasztunk egy alapmolt. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az alap-moll a mátrix bal felső sarkában található, pl. az első r sorban és az első r oszlopban. Ekkor az alap moll Mr így fog kinézni: 
. Be kell bizonyítanunk, hogy az A mátrix bármely oszlopa a mátrix azon első oszlopainak lineáris kombinációja, amelyben az alap-moll található, azaz be kell bizonyítani, hogy vannak olyan λ j számok, amelyek az A mátrix bármely k-edik oszlopára érvényesek az egyenlőség: ahol 
…
.
Adjunk hozzá néhány k-adik oszlopot és s-edik sort az alap minorhoz: 
mert ha a hozzáadott sor ill
oszlop az alap, majd a meghatározó közé tartozik 
, determinánsként két azonos sorral (oszloppal). Ha egy sort (oszlopot) adunk hozzá, akkor 
mátrix rangjának meghatározása szerint. Bontsa ki a determinánst 
az alsó sor elemei alapján kapjuk: innen kapjuk: 
ahol λ 1 … λ r nem függ az S számtól, mert És Sj nem függ a hozzáadott S-edik sor elemeitől. Az egyenlőség (1) az az egyenlőség, amelyre szükségünk van. (p.t.d.)
Következmény: Ha A négyzetmátrix és A determináns A=0, akkor a mátrix egyik oszlopa a fennmaradó oszlopok lineáris kombinációja, az egyik sor pedig a fennmaradó sorok lineáris kombinációja.
Bizonyíték: Ha egy mátrix determinánsaA=0, akkor ennek a mátrixnak a rangja<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому, по крайней мере одна строка или один столбец не входят в число базисных. Эта строка (столбец) линейно выраженная через строки (столбцы) в которой расположен базисный минор, а значит линейно выраженная через остальные строки (столбцы).
[A] =0 esetén szükséges és elegendő, hogy legalább egy sor (oszlop) a többi sor (oszlop) lineáris kombinációja legyen.
Megjegyzés. A mátrixszorzás művelete nem kommutatív, azaz. Valójában, ha az AB szorzat létezik, akkor előfordulhat, hogy a BA egyáltalán nem létezik a méretbeli eltérések miatt (lásd az előző példát). Ha AB és BA is létezik, akkor ezeknek különböző méretei lehetnek (ha).
Azonos sorrendű négyzetmátrixok esetében léteznek az AB és BA szorzatok, amelyek mérete megegyezik, de a megfelelő elemeik általában nem egyenlőek.
Bizonyos esetekben azonban az AB és BA termékek egybeesnek.
Tekintsük egy A négyzetmátrix és egy azonos sorrendű E azonosságmátrix szorzatát:
Ugyanezt az eredményt kapjuk az EA terméknél is. Tehát bármely A négyzetmátrixra AE = EA = A.
Inverz mátrix.
Meghatározás 3.7. Az A négyzetmátrixot degeneráltnak nevezzük, ha, és nem degeneráltnak, ha.
Meghatározás 3.8. A B négyzetmátrixot egy azonos rendű A négyzetmátrix inverzének nevezzük, ha AB = BA = E. Ebben az esetben B-t jelöljük.
Tekintsük az adott mátrix létezésének feltételét és számítási módját.
Tétel 3.2. Az inverz mátrix létezéséhez szükséges és elegendő, hogy az eredeti mátrix nem szinguláris legyen.
Bizonyíték.
1) Szükségszerűség: azóta (3.1. Tétel), ezért
2) Elegendőség: állítsa be a mátrixot a következő formában:
Ekkor a szorzat (vagy) bármely olyan eleme, amely nem fekszik a főátlón, egyenlő az A mátrix egyik sora (vagy oszlopa) elemeinek és egy másik oszlop elemeihez való algebrai összeadásainak szorzatával, és , ezért egyenlő 0-val (determinánsként két egyenlő oszloppal). A főátlón lévő elemek egyenlőek.
*=. A tétel bizonyítást nyert.
Megjegyzés. Fogalmazzuk meg még egyszer az inverz mátrix számítási módját: elemei az A transzponált mátrix elemeinek algebrai komplementerei, osztva a determinánsával.
Tétel. Legyen A és B két n rendű négyzetmátrix. Ekkor szorzatuk determinánsa egyenlő a determinánsok szorzatával, azaz.
| AB | = | A| | B|.
< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n
(d) (2n) = | A | | b | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B|.
Ha megmutatjuk, hogy a (d) (2n) determináns egyenlő a C=AB mátrix determinánsával, akkor a tétel bizonyítást nyer.
A (d) (2n)-ben a következő transzformációkat hajtjuk végre: 1 sorhoz hozzáadjuk az (n + 1) sort a11-gyel megszorozva; (n+2) karakterlánc szorozva a12-vel stb. (2n) karakterlánc szorozva (a) (1n) -vel. A kapott determinánsban az első sor első n eleme nulla lesz, a többi n elem pedig a következő lesz:
a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ;
a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ;
a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) .
Hasonló módon a (d) (2n) determináns 2, ..., n sorában nullákat kapunk, és ezeknek a soroknak az utolsó n eleme lesz a C mátrix megfelelő eleme. Ennek eredményeként a determináns (d) (2n) egyenlő determinánssá alakul:
(d) (2n) = | c | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >
Következmény. Véges számú négyzetmátrix szorzatának determinánsa egyenlő a determinánsaik szorzatával.
< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>
INVERZ MÁTRIX.
Legyen A = (aij) (n x n) négyzetmátrix a P mező felett.
Definíció 1. Az A mátrixot degeneráltnak nevezzük, ha a determinánsa egyenlő 0-val. Ellenkező esetben az A mátrixot nem degeneráltnak nevezzük.
2. definíció. Legyen А н Pn. A B Î Pn mátrixot A-val inverznek nevezzük, ha AB = BA=E.
Tétel (a mátrix invertálhatóságának kritériuma) Az A mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha nem degenerált.
< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.
Engedd, vissza, | A | ¹ 0. Meg kell mutatnunk, hogy létezik olyan B mátrix, amelyre AB = BA = E. Bként a következő mátrixot vesszük:
ahol A ij az a ij elem algebrai komplementere. Azután
Megjegyzendő, hogy az eredmény egy azonosságmátrix lesz (elég a Laplace-tétel 1. és 2. következményét használni), azaz. AB \u003d E. Hasonlóképpen látható, hogy BA \u003d E. >
Példa. Az A mátrixhoz keressük meg az inverz mátrixot, vagy bizonyítsuk be, hogy nem létezik.
det A = -3 Þ létezik az inverz mátrix. Most figyelembe vesszük az algebrai összeadásokat.
A 11 \u003d -3 A 21 \u003d 0 A 31 \u003d 6
A 12 \u003d 0 A 22 \u003d 0 A 32 \u003d -3
A 13 \u003d 1 A 23 \u003d -1 A 33 \u003d -1
Tehát az inverz mátrix így néz ki: B = =
Algoritmus egy mátrix inverz mátrixának megtalálására
1. Számítsa ki a det A-t.
2. Ha egyenlő 0-val, akkor az inverz mátrix nem létezik. Ha det A nem egyenlő
0, algebrai összeadásokat veszünk figyelembe.
3. Az algebrai összeadásokat a megfelelő helyekre tesszük.
4. Osszuk el a kapott mátrix összes elemét det A-val.
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK.
Definíció 1. Egy a1x1+ ....+an xn=b alakú egyenlet, ahol a, ... ,an számok; x1, ... ,xn ismeretlenek, lineáris egyenletnek nevezzük n ismeretlen.
s egyenletek n az ismeretlent rendszernek nevezzük s lineáris egyenletek val vel n ismeretlen, azaz.
(1)
Az (1) rendszer ismeretleneinek együtthatóiból álló A mátrixot az (1) rendszer mátrixának nevezzük. .
Ha az A mátrixhoz hozzáadunk egy szabad tagok oszlopát, akkor az (1) rendszer kiterjesztett mátrixát kapjuk.
X = - ismeretlenek oszlopa. - ingyenes tagok oszlopa.
Mátrix formában a rendszer alakja: AX=B (2).
Az (1) rendszer megoldása a rendezett halmaz n számok (α1 ,…, αn) úgy, hogy ha behelyettesítjük (1)-be x1 = α1, x2 = α2 ,…, xn = αn , akkor számszerű azonosságokat kapunk.
2. definíció. Az (1) rendszert konzisztensnek nevezzük, ha vannak megoldásai, és egyébként inkonzisztensnek.
Definíció 3. Két rendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik halmazai megegyeznek.
Van egy univerzális módszer az (1) rendszer megoldására - a Gauss-módszer (az ismeretlenek egymást követő kiküszöbölésének módszere)
Tekintsük részletesebben azt az esetet, amikor s = n. Az ilyen rendszerek megoldására létezik egy Cramer-módszer.
Legyen d = det ,
dj - d determinánsa, amelyben a j-edik oszlop helyébe szabad tagok oszlopa kerül.
CRAMER SZABÁLYA
Tétel (Cramer-szabály). Ha a rendszer determinánsa d ¹ 0, akkor a rendszernek egyedi megoldása van, amelyet a képletekből kapunk:
x1 = d1 / d …xn = dn / d
<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим
és tekintsük az AX = B (2) egyenletet ismeretlen X oszlopmátrixszal. Mivel A, X, B méretmátrixok n x n, n x 1, n x 1 ennek megfelelően az AX téglalap alakú mátrixok szorzata definiált, és mérete megegyezik a B mátrixéval. Így a (2) egyenletnek van értelme.
Az (1) rendszer és a (2) egyenlet közötti kapcsolat az, hogy akkor és csak akkor mi a megoldás erre a rendszerre
az oszlop a (2) egyenlet megoldása.
Valóban, ez az állítás azt jelenti, hogy az egyenlőséget
Az utolsó egyenlőség, mint a mátrixok egyenlősége, ekvivalens az egyenlőségrendszerrel
ami azt jelenti, hogy az (1) rendszer megoldása.
Így az (1) rendszer megoldása a (2) mátrixegyenlet megoldására redukálódik. Mivel az A mátrix d determinánsa nem nulla, van egy inverz A -1 mátrixa. Ekkor AX = B z A(^-1)(AX) = A(^-1)B z (A(^-1)A)X = A(^-1)B z EX = A(^-1) z-ben X = A(^-1)B(3). Ezért, ha a (2) egyenletnek van megoldása, akkor azt a (3) képlet adja meg. Másrészt A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B.
Ezért X \u003d A (^-1) B az egyetlen megoldás a (2) egyenletre.
Ahogy ,
ahol A ij az a ij elem algebrai komplementere a d determinánsban, akkor
honnan (4).
A (4) egyenlőségben zárójelben szerepel a dj determináns j-edik oszlopának elemekkel való bővítése, amelyet a d determinánsból kapunk a benne lévő csere után.
j-edik oszlop szabad tagok oszlopával. Így, xj = dj/d.>
Következmény. Ha egy homogén rendszer n lineáris egyenletből n Az ismeretlenek zérustól eltérő megoldása van, akkor ennek a rendszernek a determinánsa egyenlő nullával.